Toán tử giả vi phân trên xuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ MINH HÀ
TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN TRÊN XUYẾN
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. BÙI KIÊN CƯỜNG
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Bùi Kiên Cường. Sự giúp đỡ và
hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn
này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một
vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất
đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp
đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Ban
giám hiệu, các thầy cô giáo, đồng nghiệp trường THPT Tam Dương,
tỉnh Vĩnh Phúc cùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên
và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và
hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Minh Hà
LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Minh Hà
BẢNG KÝ HIỆU
• N Tập số tự nhiên
• R Tập số thực.
• C Tập số phức.
• Z Tập hợp các số nguyên
• R
n
Không gian Euclide n - chiều
• T
n
= (R/2πZ)
n
Hình xuyến n chiều
• C
∞
(Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn trong Ω
• α Là đa chỉ số, α = (α
1
, , α
n

) ∈ N

• |α| Cấp của α, |α| =

n
j=1
α
j
• F
E
Biến đổi Fourier trong không gian Euclide, F
E
f(ξ) =
ˆ
f
E
(ξ) =

R
n
e
ixξ
f(x)
˜
dx
•
˜
dx = (2π)
−n
dx là vi phân có trọng

• F
T
f(ξ) =
ˆ
f
T
(ξ)

T
n
e
ixξ
f(x)
˜
dx Biến đổi Fourier trên xuyến
• D(T
n
) Không gian các hàm thử trên xuyến
• C
∞
(T
n
) Không gian các khả vi vô hạn trên xuyến
• D

(T
n
) Không gian các hàm suy rộng trên xuyến
• S(R
n

) Không gian các hàm giảm nhanh trên không gian Euclide
• E

(R
n
) Không gian các hàm suy rộng giá compact trên xuyến
• S

(Z
n
) Không gian các hàm suy rộng trên không gian rời rạc
• ∆
ξ
j
Sai phân riêng theo biến thứ j
Mục lục
Mở đầu 1
Lời mở đầu 1
1 Một số kiến thức bổ trợ 4
1.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Không gian L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Không gian các hàm giảm nhanh . . . . . . . . . 5
1.1.3. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S

(R
n
) . 5
1.2. Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Một số tính chất của biến đổi Fourier . . . . . . . 6
1.2.3. Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm . . 7
1.3. Không gian Sobolev H
s
(R
n
) và toán tử giả vi phân trên R
n
8
1.4. Một số không gian hàm và biến đổi Fourier trên xuyến . 8
2 Toán tử giả vi phân trên xuyến 13
2.1. Phép tính sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Toán tử giả vi phân trên xuyến . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Tuần hoàn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Điều kiện cho tính L
2
− bị chặn của toán tử . . . . . . . 26
2.5. Mở rộng biểu trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6. Áp dụng vào phương trình Hyperbolic . . . . . . . . . . 31
Kết luận 33
Tài liệu tham khảo 34
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết toán tử giả vi phân (PDO) có thể được coi như là một
mở rộng tự nhiên của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
và chúng chia sẻ với nhau nhiều thuộc tính thiết yếu. Việc nghiên cứu lý
thuyết giả-vi phân đã vượt ra khỏi nghiên cứu về lý thuyết toán tử tích
phân kỳ dị trong thập niên 1960, là một chủ đề tương đối trẻ, lý thuyết

này bây giờ là chủ đề nghiên cứu tương đối độc lập và có ảnh hưởng tới
nhiều lĩnh vực toán học và công nghệ.
Trong số nhiều người tiền nhiệm ảnh hưởng lớn nhất tới lý thuyết
giả vi phân, chúng ta phải đề cập đến các tác phẩm của Solomon Grig-
orievich Mikhlin, Alberto Calderón và Antoni Zygmund. Khoảng năm
1957, bằng phương pháp mới mạnh mẽ, Alberto Calderón chứng minh
định lý tính duy nhất địa phương của bài toán Cauchy của một phương
trình đạo hàm riêng. Chứng minh này liên quan đến ý tưởng của việc
nghiên cứu lý thuyết đại số các đa thức đặc trưng của phương trình đạo
hàm riêng.
Một phương pháp tự nhiên để giải quyết toán tử giả vi phân trên
đa tạp n chiều là sử dụng lý thuyết R
n
địa phương: điều này có thể thực
hiện vì lớp các toán tử giả vi phân là bất biến đối với phép đổi tọa độ.
Tuy nhiên, trong không gian tuần hoàn T
n
(xuyến), đây có thể là một
suy nghĩ vụng về bởi lý thuyết địa phương bị cản trở bởi một phần về
kĩ thuật hội tụ và những vấn đề về tọa độ địa phương. Cấu trúc nhóm
compact của xuyến là quan trọng theo quan điểm của giải tích điều hòa.
2
Năm 1979 và 1985, Mikhail Semenovich Agranovich đã trình bày
công thức hấp dẫn về toán tử giả vi phân trên hình cầu đơn vị S
1
sử
dụng chuỗi Fourier (xem [1]). Kể từ đây, việc nghiên cứu độc lập toán
tử giả vi phân tuần hoàn đã được khởi xướng. Sự tương đương của các
định nghĩa địa phương và toàn cục của toán tử giả vi phân tuần hoàn
đã được chứng minh đầy đủ bởi William McLean năm 1989 ([3]). Từ đó

trở đi, các định nghĩa toàn cục đã được ứng dụng rộng rãi và được sử
dụng bởi Agranovich, Amosov, D.N. Arnold, Elschner, McLean, Sara-
nen, Schmidt, Sloan, và Wendland cùng với các tác giả khác. Tính hiệu
quả của nó đã được ghi nhận đặc biệt trong giải tích số của phương trình
tích phân biên.
Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về toán tử giả vi phân trên xuyến
và những ứng dụng của nó, dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường
tôi lựa chọn đề tài "Toán tử giả vi phân trên xuyến" làm luận văn
tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nắm được những khái niệm cơ bản những tính chất của toán tử
giả vi phân trên xuyến cùng với những kĩ thuật đặc trưng để so sánh với
trường hợp toán tử giả vi phân trên R
n
.
Hệ thống hóa những kết quả cơ bản của lý thuyết toán tử giả vi
phân trên xuyến.
3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày tổng quan về lý thuyết toán tử giả vi phân trên xuyến,
các tính chất trong của lớp toán tử này trong một số không gian hàm
cơ bản như L
p
Sobolev,
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Giải tích Fourier, sai phân trên lớp hàm
tuần hoàn; một số không gian hàm trên xuyến và lý thuyết toán tử giả
vi phân tuần hoàn.
Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài
nước liên quan đến đối tượng nghiên cứu.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp
cận vấn đề.
Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các
bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập đến.
6. Đóng góp của luận văn
Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về một số vấn
đề cơ bản của lý thuyết toán tử giả vi phân trên xuyến.
4
Chương 1
Một số kiến thức bổ trợ
1.1. Một số không gian hàm
1.1.1. Không gian L
p
Định nghĩa 1.1. Cho không gian độ đo

E, M, µ

. Họ tất cả các hàm
số f (x) có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < ∞) của mô đun khả tích trên E, tức
là

E
|f|
p
dµ < ∞
gọi là không gian L
p
(E, µ).
Khi E là tập đo được Lebesgue trong R

k
và µ là độ đo Lebesgue,
thì ta viết L
p
(E).
Không gian L
p
(E, µ) , trong đó ta không phân biệt các hàm tương
đương nhau (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi), là một không gian tuyến
tính định chuẩn, với các phép toán thông thường về cộng hàm số và nhân
hàm số với một số và với chuẩn:
f =


E
|f|
p
dµ

1
p
.
Định nghĩa 1.2. Giả sử Ω ⊂ R
n
là một tập con đo được của R
n
,
5
1 ≤ p < ∞. Hàm f : Ω → C được gọi là thuộc L
p

(Ω) nếu nó đo được và
có chuẩn
f
L
∞
(Ω)
=


Ω
|f (x)|
p
dx

1
p
hữu hạn.
Trường hợp p = ∞, hàm f thuộc L
∞
(Ω) nếu nó đo được và bị
chặn cốt yếu, nghĩa là
f
L
∞
(Ω)
= esssup
x∈Ω
|f (x)| < ∞,
trong đó esssup
x∈Ω

|f (x)| là số nhỏ nhất M sao cho |f(x)| < M hầu
khắp x ∈ Ω.
Đặc biệt L
1
(Ω) là các hàm có tích phân hội tụ tuyệt đối với
f
L
1
(Ω)
=

Ω
|f (x)| dx.
1.1.2. Không gian các hàm giảm nhanh
Định nghĩa 1.3. Không gian vectơ S(R
n
) (thường được kí hiệu là S)
được định nghĩa là không gian các hàm ϕ(x) thuộc lớp C
∞
trên (R
n
)
sao cho x
α
D
β
ϕ(x) bị chặn với tất cả các đa chỉ số α, β ∈ N
n
. Tô pô trên
S(R

n
) được xác định bởi họ nửa chuẩn
p
M
(ϕ) = sup

x
M
|D
α
ϕ (x)| |x ∈ R
n
, |α| ≤ M

, M ∈ N,
trong đó, x
M
=

1 + |x|
2

M
2
. Các hàm ϕ ∈ S(R
n
) được gọi là các hàm
giảm nhanh.
1.1.3. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S


(R
n
)
Định nghĩa 1.4. Ta định nghĩa không gian các hàm suy rộng tăng chậm
S

(R
n
) là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(R
n
).
6
Nghĩa là, u ∈ S

(R
n
) nếu nó là một phiếm hàm u : S

(R
n
) → C sao cho:
(i) u tuyến tính: u(αϕ + βω) = αu(ϕ) + βu(ω),
∀α, β ∈ C, ∀ϕ, ω ∈ S(R
n
).
(ii) u liên tục, nghĩa là u(ϕ
j
) → u(ϕ) khi ϕ
j
→ ϕ trong S(R

n
)
Hàm trong S(R
n
) được gọi là các hàm thử đối với các hàm suy
rộng trong S

(R
n
).
1.2. Phép biến đổi Fourier
1.2.1. Biến đổi Fourier
Định nghĩa 1.5. Giả sử f ∈ L
1
(R
n
). Ta định nghĩa
ˆ
f bởi công thức
ˆ
f(ξ) = (2π)
−n
2

R
n
e
−ixξ
f(x)dx, ξ ∈ R
n

.
Hàm
ˆ
f được gọi là biến đổi Fourier của f, đôi khi ta còn dùng kí hiệu
F
E
f.
Định nghĩa 1.6. Giả sử T là hàm suy rộng tăng chậm. Khi đó biến đổi
Fourier của T được gọi là hàm suy rộng tăng chậm, ký hiệu
ˆ
T được xác
định bởi
ˆ
T (ϕ) = T ( ˆϕ), ϕ ∈ S(R
n
).
1.2.2. Một số tính chất của biến đổi Fourier
Định lý 1.1. Nếu f, g ∈ L
1
(R) thì (f ∗ g)
∧
= (2π)
n
2
ˆ
f ˆg,
trong đó (f ∗ g) =

R
n

f(x − y)g(y)dy là tích chập của hai hàm f và g .
Định lý 1.2. Giả sử ϕ ∈ S(R
n
). Khi đó
7
(i) (D
α
ϕ)
∧
(ξ) = ξ
α
ˆϕ(ξ) với mọi đa chỉ số α,
(ii) (D
β
ˆϕ)(ξ) = ((−x)
β
ϕ)
∧
(ξ) với mọi đa chỉ số β,
(iii) ˆϕ ∈ S(R
n
).
Trong đó:
D
α
= D
α
1
1
D

α
n
n
; D
j
=
1
2πi
∂
∂x
j
(j = 1, , n) .
Định lý 1.3 (Công thức liên hợp). Giả sử f, g là các hàm thuộc L
1
(R
n
).
Khi đó

R
n
ˆ
f(x)g(x)dx =

R
n
f(x)ˆg(x)dx.
Định lý 1.4 (Công thức Fourier ngược). Với mọi hàm f ∈ S(R
n
), ta

có (
ˆ
f)
∨
= f, trong đó toán tử h
∨
được định nghĩa bởi
h
∨
(x) = (2π)
−n/2

e
ixξ
h (ξ) dξ, h ∈ S (R
n
) .
1.2.3. Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm
Định nghĩa 1.7. Giả sử u ∈ S

(R
n
). Khi đó ta định nghĩa biến đổi
Fourier của u bằng công thức
ˆu(ϕ) = u( ˆϕ), ϕ ∈ S(R
n
).
Định lý 1.5. Với mọi u ∈ S

(R

n
) và ϕ ∈ S(R
n
), ta có:
(i)

(D
α
u) = ξ
α
u,
(ii)

(x
α
u) = (−D
ξ
)
α
u,
(iii)

(ϕ ∗ u) = ϕ.u,
(iv)

(ϕ · u) = (2π)
−n
ϕ ∗ u.
8
1.3. Không gian Sobolev H

s
(R
n
) và toán tử giả vi
phân trên R
n
Định nghĩa 1.8 (Không gian Sobolev H
s
(R
n
)). Cho s ∈ R, không gian
Sobolev H
s
(R
n
) gồm tất cả các hàm suy rộng tăng chậm u sao cho
ξ
s
ˆu(ξ) ∈ L
2
(R
n
) và có chuẩn
u
H
s
(R
n
)
=



R
n
ξ
2s
|ˆu(ξ)|
2
dξ

1/2
< ∞.
Định nghĩa 1.9. Giả sử m ∈ (−∞; +∞) và 0 ≤ δ < ρ ≤ 1. Ta định
nghĩa S
m
ρ,δ
là tập hợp tất cả các hàm σ (x, ξ) ∈ C
∞
(R
n
× R
n
) sao cho với
hai đa chỉ số α, β bất kì, tồn tại hằng số dương C
α,β
chỉ phụ thuộc vào
α, β, sao cho




∂
α
ξ
∂
β
x
σ (x, ξ)



≤ C
α,β

1 + |ξ|
2

(m−ρ|α|+δ|β|)/2
, x, ξ ∈ R
n
.
Ta gọi mỗi hàm σ ∈ ∪
m∈R
S
m
ρ,δ
là một biểu trưng. Khi δ = 0, ρ = 1 thì ta
sẽ ký hiệu S
m
1,0
bởi S

m
.
Định nghĩa 1.10. Giả sử σ là một biểu trưng. Khi đó, toán tử giả vi
phân T
σ
tương ứng với σ được định nghĩa bởi
(T
σ
ϕ) (x) = (2π)
−n/2

R
n
e
ix·ξ
σ (x, ξ) ϕ (ξ) dξ, ϕ ∈ S.
Định lý 1.6. Cho σ ∈ S
m
là một biểu trưng. Khi đó,
T
σ
: H
s
(R
n
) → H
s−m
(R
n
) là toán tử tuyến tính bị chặn.

1.4. Một số không gian hàm và biến đổi Fourier
trên xuyến
Ký hiệu T
n
=

R/(2πZ)

n
là hình xuyến n chiều. Ta sẽ đồng nhất
T
n
với hình hộp [0, 2π]
n
⊂ R
n
hoặc [−π, π]
n
. Các hàm xác định trên T
n
9
có thể xem như là hàm xác định trên R
n
tuần hoàn chu kỳ 2π theo mỗi
trục tọa độ.
Định nghĩa 1.11. Không gian các hàm kiểm tra D(T
n
) là không gian
véc tơ C
∞

(T
n
) tất cả các hàm khả vi vô hạn cùng với tô pô đếm được
chuẩn xác định bởi
|f|
m
= sup
R
n
{|∂
α
u(x)| | |α| ≤ m} .
Ký hiệu D

(T
n
) là không gian đối ngẫu của D(T
n
).
Định nghĩa 1.12. Cho 1 ≤ p < ∞, không gian định chuẩn L
p
(T
n
) là
không gian véc tơ tất cả các hàm số xác định và đo được trên T
n
sao
cho
f
p

=


T
n
|f(x)|
p
dx

1/p
< ∞. (1.1)
Khi p = 2, không gian L
2
(T
n
) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v)
T
n
=

T
n
u(x)v(x)dx.
Với p = ∞, ký hiệu L
∞
(T
n
) là không gian tất cả các hàm u ∈ L
1

(T
n
)
sao cho
u
L
∞
(T
n
)
:= essup
x∈T
n
|u(x)| < ∞.
Tập hợp các véc tơ e
ξ
(x) := e
ixξ
, ξ ∈ Z
n
làm thành một cơ sở trực
giao của L
2
(T
n
).
Định nghĩa 1.13 (Không gian Schwart S(Z
n
)). Ký hiệu S(Z
n

), không
gian các hàm giá trị phức xác định trên Z
n
giảm nhanh tại vô cực, nghĩa
là, hàm ϕ ∈ S(Z
n
) nếu với mọi M > 0, tồn tại hằng số C
ϕ,M
sao cho
|ϕ(ξ)| ≤ C
ϕ,M
ξ
−M
10
với mọi ξ ∈ Z
n
. Tô pô trên S(Z
n
) xác định bởi họ nửa chuẩn p
k
, k ∈ N
bởi:
p
k
(ϕ) := sup
ξ∈Z
n

ξ
k

|ϕ(ξ)|

.
Ký hiệu S

(Z
n
) là không gian đối ngẫu của S(Z
n
). Nó bao gồm tất
cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(Z
n
) có dạng
ϕ → u, ϕ :=

ξ∈Z
n
u(ξ)ϕ(ξ),
ở đó hàm u : Z
n
→ C tăng trưởng kiểu đa thức ở vô tận, tức là tồn tại
một hằng số M < ∞ và C
u,M
sao cho
|u(ξ)| ≤ C
u,M
ξ
M
với mọi ξ ∈ Z
n

.
Định nghĩa 1.14. Cho u ∈ L
1
(T
n
). Biến đổi Fourier của u, ký hiệu
F
T
u hay ˆu, là hàm số trên Z
n
, xác định bởi
u (ξ) = F
T
u (ξ) =

T
n
u (x) e
−ixξ

dx, ξ ∈ Z
n
, (1.2)
trong đó
˜
dx = (2π)
−n
dx.
Định lý 1.7. Biến đổi Fourier F
T

: D(T
n
) → S(Z
n
) là một đẳng cấu
tuyến tính và ta có công thức ngược
f(x) =

ξ∈Z
n
F
T
(ξ)e
ixξ
.
Định lý 1.8 (Đẳng thức Parseval). Nếu u ∈ L
2
(T
n
) thì ˆu ∈ l
2
(Z
n
) và
ta có
ˆu
l
2
(Z
n

)
= u
L
2
(T
n
)
.
11
Định nghĩa 1.15 (Biến đổi Fourier trên D

(T
n
)). Nhờ biến đổi Fourier
ngược F
−1
T
n
: S(Z
n
) → D(T
n
), biến đổi Fourier được mở rộng một cách
duy nhất tới ánh xạ F
T
n
: D

(T
n

) → S

(Z
n
) bởi công thức
F
T
n
u, ϕ =

u, F
−1
T
n
˜ϕ

, (1.3)
trong đó u ∈ D

(T
n
), ϕ ∈ S(Z
n
) và ˜ϕ(x) = ϕ(−x).
Nhận xét 1.1. Mọi toán tử tuyến tính liên tục A : D(T
n
) → D(T
n
) đều
có thể biểu diễn dưới dạng

Af(x) =

ξ∈Z
n
σ
A
(x, ξ)
ˆ
f(ξ)e
ixξ
,
trong đó hàm duy nhất σ
A
∈ C
∞
(T
n
× Z
n
) được gọi là biểu trưng của
toán tử A:
σ
A
(x, ξ) = e
−ixξ
Ae
ξ
(x), với e
ξ
(x) = e

ixξ
.
Ngược lại, cho σ : T
n
× Z
n
, chúng ta xác định toán tử tuyến tính Op(σ) :
D(T
n
) → D

(T
n
) bởi
Op(σ)u(x) =

ξ∈Z
n
σ(x, ξ)ˆu(ξ)e
ixξ
. (1.4)
Khi đó σ là biểu trưng của toán tử Op(σ).
Định nghĩa 1.16 (Lược delta Dirac). Lược delta Dirac δ
Z
n
: S(R
n
) → C
được xác định bởi
δ

Z
n
, ϕ =

x∈Z
n
ϕ(x)
và tổng ở vế phải là hội tụ tuyệt đối.
Định nghĩa 1.17 (Không gian Sobolev H
s
(T
n
)). Với u ∈ D

(T
n
) và
s ∈ R, chúng ta định nghĩa chuẩn ·
H
s
(T
n
)
bởi
u
H
s
(T
n
)

:=


ξ∈Z
n
ξ
2s
|ˆu(ξ)|
2

1/2
. (1.5)
12
Không gian Sobolev H
s
(T
n
) gồm tất cả các hàm suy rộng u ∈ D

(T
n
)
sao cho u
H
s
(T
n
)
< ∞.
Định lý 1.9. Với mọi s ∈ R, không gian Sobolev H

s
(T
n
) là không gian
Hilbert với tích vô hướng cho bởi
(u, v)
H
s
(T
n
)
:=

ξ∈Z
n
ξ
2s
u (ξ) v (ξ)
Định lý 1.10 (Định lý nhúng Sobolev). Cho m ∈ N và s > m + n/2.
Khi đó H
s
(T
n
) ⊂ C
m
(T
n
) .
Hệ quả 1.1. Chúng ta có đẳng thức
∩

s∈R
H
s
(T
n
) = C
∞
(T
n
). (1.6)
13
Chương 2
Toán tử giả vi phân trên xuyến
2.1. Phép tính sai phân
Định nghĩa 2.1 (Sai phân riêng). Cho σ : Z
n
→ C và v
j
∈ N
n
, (v
j
)
j
= 1
thỏa mãn (v
j
)
i
= 0 nếu i = j. Khi đó, ta gọi là sai phân riêng tiến (lùi)

thứ j, ký hiệu 
ξ
j
tương ứng 
ξ
j
(hay 
t
ξ
j
), hiệu số xác định bởi

ξ
j
σ(ξ) := σ(ξ + v
j
) − σ(ξ), (2.1)
tương ứng

ξ
j
:= σ(ξ) − σ(ξ − v
j
) (2.2)
và ký hiệu:

α
ξ
:= 
α

1
ξ
1

α
n
ξ
n
, (2.3)
và

α
ξ
:= 
α
1
ξ
1

α
n
ξ
n
. (2.4)
trong đó α = (α
j
)
n
j=1
∈ N

∗
.
Bổ đề 2.1. Với mỗi đa chỉ số α ∈ N
n
, ta có

α
ξ
σ (ξ) =

β≤α
(−1)
|α−β|

α
β

σ (ξ + β) (2.5)
14
và

α
ξ
σ (ξ) =

β<α
(−1)
|β|

α

β

σ (ξ − β) . (2.6)
Bằng phép quy nạp, ta có thể chứng minh được công thức Leibnitz
cho sai phân:
Bổ đề 2.2 (công thức sai phân Leibnitz). Cho φ, ψ : Z
n
→ C. Khi đó
∆
α
ξ
(φψ) (ξ) =

β≤α

α
β


∆
β
ξ
φ (ξ)

∆
α−β
ξ
ψ(ξ + β). (2.7)
Công thức tổng từng phần tương tự như công thức tích phân từng
phần:

Bổ đề 2.3.

ξ∈Z
n
φ (ξ)

∆
α
ξ
ψ

(ξ) = (−1)
|α|

ξ∈Z
n


∆
ξ
α

t
φ

(ξ) ψ (ξ), (2.8)
miễn là chuỗi ở cả hai vế hội tụ tuyệt đối.
Cho ξ ∈ Z
n
và γ ∈ Z

n
, ký hiệu
ξ
(γ)
=
n

j=1
ξ
(γ
j
)
j
,
trong đó
ξ
(γ
j
)
j
:=













γ
j
−1
i=0
(ξ
j
− i), γ
j
> 0,
1, γ
j
= 0,

0
i=γ
j
+1
(ξ
j
− i)
−1
, γ
j
< 0.
Khi đó,
∆
α

ξ
ξ
(γ)
= γ
(α)
ξ
(γ−α)
,
tương tự như đối với đạo hàm riêng ∂
α
ξ
ξ
γ
= γ
(α)
ξ
γ−α
.
15
Định lý 2.1 (Định lý của Taylor rời rạc). Cho hàm σ : Z → C. Khi đó
σ (ξ + η) =
N−1

α=0
1
α!

∆
α
ξ

σ

η
(α)
+ R
N
(ξ, η) , (ξ, η ∈ Z, N ∈ N) ,
(2.9)
trong đó


∆
α
ξ
R
N
(ξ, η)















1
N!
η
(N)
max
0k<η



∆
N+α
ξ
σ (ξ + k)



, η  N,
0, 0  η < N,
1
N!



η
(N)



max

ηk<0



∆
N+α
ξ
σ (ξ + k)



, η < 0,

1
N!



η
(N)



max
k∈{0, ,η}



∆
N+α

ξ
σ (ξ + k)



.
Chú ý rằng đánh giá trên gần giống với dạng sai số Lagrange trong
định lí Taylor truyền thống:





f (x + y) =

N−1
j=0
1
j!
f
(j)
(x) y
j
+ R
N
(x, y) ,
R
N
(x, y) =
1

N!
f
(N)
(x + θ) y
N
, θ ∈ [min {0, y} , max {0, y}] .
Chứng minh. Trước tiên giả sử rằng η > 0 . Sau đó, theo công thức nhị
thức,
σ (ξ + η) = (I + ∆
ξ
)
η
σ (ξ) =
η

α=0

η
α

∆
α
ξ
σ(ξ)
=
η

α=0
1
α!

∆
α
ξ
σ (ξ) η
(α)
.
(2.10)
Do đó R
N
(ξ, η) = 0 với 0 ≤ η < N. Vì thế

α
η
R
N
(ξ, η) |
η=0
= 0,
khi 0 ≤ α < N. Bây giờ cho η là một số nguyên tùy ý. Ta chú ý rằng

N
η
η
(α)
= α
(N)
η
(α−N)
= 0
16

với 0 ≤ α < N, vì vậy, khi áp dụng 
N
η
, ta được

N
η
σ (ξ + η) = 
N
η
R
N
(ξ + η) .
Do đó, ta có bài toán Cauchy





∆
N
η
R
N
(ξ, η) = ∆
N
η
σ (ξ + η)
∆
α

η
R
N
(ξ, η) |
η=0
= 0, α  N − 1.
Chỉ cần thiết lập ước lượng đối với |R
N
(ξ, η)| (nghĩa là α = 0). Ta hãy
định nghĩa σ (η) := η
(N)
/N! . Khi đó ∆
N
η
σ (η) = N
(N)
η
(N−N)
/N! = 1,
và ∆
α
ξ
σ (ξ) |
ξ=0
= 0 khi 0 ≤ α < N, do tính duy nhất nghiệm bài toán
Cauchy, ta có







−1
k
N
=0

k
N
−1
k
N−1
=1
· · ·

k
2
−1
k
1
=1
1 =
1
N!
η
(N)
, η  N,

−1
k

N
=m

−1
k
N−1
=k
N
· · ·

−1
k
1
=k
2
1 =
1
N!


η
(N)


, η < 0
Điều này kết thúc chứng minh.
Bây giờ chúng ta xét đa thức Taylor rời rạc giống khai triển cho
hàm f: Z
n
→ C. Cho b ∈ N, ta kí hiệu

I
b
k
:=

0k<b
và I
−b
k
:= −

−bk<0
. (2.11)
Thật hữu ích khi nghĩ về I
θ
ξ
như một bản rời rạc của tích phân một
lớp

θ
0
dξ. Trong ngữ cảnh rời rạc này, các sai phân ∆
ξ
có vai trò của
toán tử vi phân d/dξ.
Trong phần tiếp theo, chúng ta kí hiệu
I
θ
k
1

I
k
1
k
2
I
k
α−1
k
α
1 =











1 nếu α = 0,
I
θ
k
1 nếu α = 1,
I
θ
k

1
I
k
1
k
2
1, nếu α = 2,
17
Bổ đề 2.4. Nếu θ ∈ Z và α ∈ N thì
I
θ
k
1
I
k
1
k
2
I
k
α−1
k
α
1 =
1
α!
θ
(α)
. (2.12)
Chứng minh. Phép chứng minh theo quy nạp dựa vào quan sát k

(0)
≡
1, ∆
k
k
(i)
= i k
(i−1)
và I
b
k

k
k
(i)
= b
(i)
.
Nhận xét 2.1. Điều này cũng giống như một phiên bản rời rạc tầm
thường của định lý cơ bản của giải tích:

θ
0
f

(ξ)dξ = f(θ) − f (0) đối
với hàm đủ trơn f : R → C tương ứng với I
θ
ξ


ξ
f (ξ) = f (θ) − f (0) cho
f : Z → C.
Hệ quả 2.1. Nếu θ ∈ Z
n
và α ∈ N
n
thì
n

j=1
I
θ
k(j,1)
I
k(j,1)
k(j,2)
I
k(j,α
j
−1)
k(j,α
j
)
=
1
α!
θ
(α)
, (2.13)

trong đó

n
j=1
I
j
nghĩa là I
1
I
2
I
n
với I
j
=: I
θ
j
k(j,1)
I
k(j,1)
k(j,2)
I
k(j,α
j
−1)
k(j,α
j
)
.
Bây giờ ta có

Định lý 2.2. Cho p : Z
n
→ C và
r
M
(ξ, θ) := p (ξ + θ) −

|α|<M
1
α!
θ
(α)
∆
α
ξ
p (ξ).
Khi đó


∆
ω
ξ
r
M
(ξ, θ)


 c
M
max

|α|=M,v∈Q(θ)



θ
(α)
∆
α+ω
ξ
p (ξ + v)



, (2.14)
trong đó Q (θ) := {ν ∈ Z
n
: min (0, θ
j
) ≤ ν
j
≤ max (0, θ
j
)} .
Chứng minh. Với 0 = α ∈ N
n
, kí hiệu m
α
:= min {j : α
j
= 0} . Với

θ ∈ Z
n
và i ∈ {1, , n} ta định nghĩa ν (θ, i, k) ∈ Z
n
bởi
ν (θ, i, k) := (θ
1
, θ
i−1
, k, 0, , 0) ,
18
tức là
ν (θ, i, k)
j
=











θ
j
nếu 1 ≤ j < i
k, nếu j = i

0, nếu i < j  n.
Chúng ta khẳng định rằng phần dư có thể được viết dưới dạng
r
M
(ξ, θ) =

|α|=M
r
α
(ξ, θ) (2.15)
trong đó với mỗi α,
r
α
(ξ, θ) =
n

j=1
I
θ
j
k(j,1)
I
k(j,1)
k(j,2)
· · · I
k(j,α
j
−1)
k(j,α
j

)
∆
α
ξ
p (ξ + v (θ, m
α
, k (m
α
, α
m
α
)))
(2.16)
nhớ lại (2.11) và (2.13). Ta chứng minh của (2.16) bằng phép quy nạp:
Số hạng dư thứ nhất r
1
có dạng như đã nêu, bởi
r
1
(ξ, θ) = p (ξ + θ) − p (ξ) =
n

i=1
r
ν
i
(ξ, θ) ,
trong đó
r
ν

i
(ξ, θ) = I
θ
1
k

ν
i
ξ
p (ξ + ν (θ, i, k)) ;
ở đây r
ν
i
có dạng (2.16) với α = ν
1
, m(α) = i và α
m
α
= 1.
Giả sử rằng đẳng thức (2.16) là đúng đối với bậc |α| = M. Khi đó
r
M+1
(ξ, θ) = r
M
(ξ, θ) −

|α|=M
1
α!
θ

(α)
∆
α
ξ
p (ξ)
=

|α|=M

r
α
(ξ, θ) −
1
α!
θ
(α)
∆
α
ξ
p (ξ)

=

|α|=M
n

j=1
I
θ
j

k(j,1)
I
k(j,1)
k(j,2)
· · · I
k(j,α
j
−1)
k(j,α
j
)
∆
α
ξ
[p (ξ + v (θ, m
α
, k (m
α
, α
m
α
))) − p (ξ)] ,
19
ở đó ta sử dụng (2.16) và (2.13) thu được đẳng thức cuối cùng. Kết hợp
điều này với nhận xét
p (ξ + v (θ, m
α
, k)) − p (ξ) =
m
α


i=1
I
v(θ,m
α
,k)
i
l
∆
v
i
ξ
p (ξ + v (θ, i, l)),
ta có
r
M+1
(ξ, θ) =

|α|=M
n

j=1
I
θ
j
k(j,1)
I
k(j,1)
k(j,2)
· · · I

k(j,α
j
−1)
k(j,α
j
)
m
α

i=1
I
v(θ,m
α
,k(m
α
,α
m
α
))
i
l(i)
∆
α+v
i
ξ
p (ξ + v (θ, i, l (i)))
=

|β|=M+1
n


j=1
I
θ
j
k(j,1)
I
k(j,1)
k(j,2)
· · · I
k(j,β
j
−1)
k(j,β
j
)
∆
β
ξ
p

ξ + v

θ, m
β
, k

m
β
, β

m
β

.
Bước cuối cùng còn lại rất đơn giản. Do đó chứng minh của phép quy
nạp (2.16) được hoàn thành. Cuối cùng, ta đánh giá (2.14). Từ (2.16)
thu được


∆
ω
ξ
r
M
(ξ, θ)


=







|α|=M
∆
ω
ξ
r

α
(ξ, θ)






=







|α|=M
n

j=1
I
θ
j
k(j,1)
I
k(j,1)
k(j,2)
· · · I
k(j,α
j

−1)
k(j,α
j
)
∆
α+ω
ξ
p (ξ + v (θ, m
α
, k (m
α
, α
m
α
)))





|α|=M
1
α!



θ
(α)




max
v∈Q(θ)



∆
α+ω
ξ
p (ξ + v)



,
ở đó bước cuối cùng ta sử dụng (2.13)
Nhận xét 2.2. Nếu n ≥ 2, sẽ có nhiều hình thức lựa chọn cho số dư
r
α
(ξ, θ) . Điều này là do thực tế có thể có nhiều bước ngắn rời rạc khác
nhau trong không gian Z
n
từ ξ đến ξ + θ. Trong chứng minh trên, ta chỉ