Luận văn toán tử giả vi phân trên xuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM
HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ MINH HÀ
TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN TRÊN XUYEN
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. BÙI KIÊN CƯỜNG
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Bùi Kiên Cường. Sự giúp đỡ
và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn
này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học
chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Ban giám hiệu, các
thầy cô giáo, đồng nghiệp trường THPT Tam Dương, tỉnh Vĩnh Phúc cùng gia đình,
người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành
khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả
Nguyễn Thị Minh Hà
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng
dẫn của TS. Bùi Kiên Cường.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành
quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin
cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả

LỜI CẢM ƠN
Nguyễn Thị Minh Hà
LỜI CAM ĐOAN
BẢNG KÝ HIỆU
• N Tập số tự nhiên
• M Tập số thực.
• c Tập số phức.
• z Tập hợp các số nguyên
• Không gian Euclide n - chiều
• T" = (M/27rZ)" Hình xuyến N chiều
• ơ°° (Í2) Không gian các hàm khả vi vô hạn trong
• A Là đa chỉ số, A = (cki, , A
n
) € N*
• |a| Cap cua Qí, |oí| — ' y

J j

— 1
• TE Biến đổi Fourier trong không gian Euclide, PEỈÌÌ) = ÍE{0 /r»
E
I X
^F{X)ẪX
• DX = (27R)~
N
DX là vi phân có trọng
• FT№ = /t(£) F
T
N E
I X

^F(X)ẪX Biến đổi Fourier trên xuyến
• T>(T
N
) Không gian các hàm thử trên xuyến
• Ơ^CT
71
) Không gian các khả vi vô hạn trên xuyến
• V'(T
N
) Không gian các hàm suy rộng trên xuyến
• «S(M
n
) Không gian các hàm giảm nhanh trên không gian Euclide
• £'(M
n
) Không gian các hàm suy rộng giá compact trên xuyến
• S'{Z
N
) Không gian các hàm suy rộng trên không gian rời rạc
• Sai phân riêng theo biến thứ J
Mục lục
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết toán tử giả vi phân (PDO) có thể được coi như là một mở rộng tự
nhiên của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính và chúng chia sẻ với
nhau nhiều thuộc tính thiết yếu. Việc nghiên cứu lý thuyết giả-vi phân đã vượt ra
khỏi nghiên cứu về lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị trong thập niên 1960, là một
chủ đề tương đối trẻ, lý thuyết này bây giờ là chủ đề nghiên cứu tương đối độc lập
và có ảnh hưởng tới nhiều lĩnh vực toán học và công nghệ.
Trong số nhiều người tiền nhiệm ảnh hưởng lớn nhất tới lý thuyết giả vi

phân, chúng ta phải đề cập đến các tác phẩm của Solomon Grigorievich Mikhlin,
Alberto Calderón và Antoni Zygmund. Khoảng năm 1957, bằng phương pháp mới
mạnh mẽ, Alberto Calderón chứng minh định lý tính duy nhất địa phương của bài
toán Cauchy của một phương trình đạo hàm riêng. Chứng minh này liên quan đến ý
tưởng của việc nghiên cứu lý thuyết đại số các đa thức đặc trưng của phương trình
đạo hàm riêng.
Một phương pháp tự nhiên để giải quyết toán tử giả vi phân trên đa tạp N
chiều là sử dụng lý thuyết địa phương: điều này có thể thực hiện vì lớp các toán tử
giả vi phân là bất biến đối với phép đổi tọa độ. Tuy nhiên, trong không gian tuần
hoàn T
71
(xuyến), đây có thể là một suy nghĩ vụng về bởi lý thuyết địa phương bị
cản trở bởi một phần về kĩ thuật hội tụ và những vấn đề về tọa độ địa phương, cấu
trúc nhóm compact của xuyến là quan trọng theo quan điểm của giải tích điều hòa.
Năm 1979 và 1985, Mikhail Semenovich Agranovich đã trình bày công thức
hấp dẫn về toán tử giả vi phân trên hình cầu đơn vị S
1
sử dụng chuỗi Fourier (xem
[1]). Kể từ đây, việc nghiên cứu độc lập toán tử giả vi phân tuần hoàn đã được khởi
xướng. Sự tương đương của các định nghĩa địa phương và toàn cục của toán tử giả
vi phân tuần hoàn đã được chứng minh đầy đủ bởi William McLean năm 1989
6
([3]). Từ đó trở đi, các định nghĩa toàn cục đã được ứng dụng rộng rãi và được sử
dụng bởi Agranovich, Amosov, D.N. Arnold, Elschner, McLean, Sara- nen,
Schmidt, Sloan, và Wendland cùng với các tác giả khác. Tính hiệu quả của nó đã
được ghi nhận đặc biệt trong giải tích số của phương trình tích phân biên.
Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về toán tử giả vi phân trên xuyến và
những ứng dụng của nó, dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường tôi lựa chọn
đề tài "Toán tử giả vi phân trên xuyến” làm luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu

Nắm được những khái niệm cơ bản những tính chất của toán tử giả vi phân
trên xuyến cùng với những kĩ thuật đặc trưng để so sánh với trường hợp toán tử giả
vi phân trên .
Hệ thống hóa những kết quả cơ bản của lý thuyết toán tử giả vi phân trên
xuyến.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày tổng quan về lý thuyết toán tử giả vi phân trên xuyến, các tính
chất trong của lớp toán tử này trong một số không gian hàm CƠ bản như Ư
Sobolev,
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Giải tích Fourier, sai phân trên lớp hàm tuần hoàn;
một số không gian hàm trên xuyến và lý thuyết toán tử giả vi phân tuần hoàn.
Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên
quan đến đối tượng nghiên cứu.
7
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề.
Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới
trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập đến.
6. Đóng góp của luận văn
Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về một số vấn đề cơ bản
của lý thuyết toán tử giả vi phân trên xuyến.
8
Chương 1
Một số kiến thức bổ trỢ
1.1. Một số không gian hàm
1.1.1. Không gian ư
Định nghĩa 1.1. Cho không gian độ đo Họ tất cả các hàm
số / (x) có lũy thừa bậc p ( l < p < o o ) của mô đun khả tích trên E, tức là
gọi là không gian Ư{E, ỊÌ).

Khi E là tập đo được Lebesgue trong và ỊI là độ đo Lebesgue, thì ta viết
Ư{E).
Không gian L
P
(E, ỊÌ) , trong đó ta không phân biệt các hàm tương đương
nhau (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi), là một không gian tuyến tính định chuẩn,
với các phép toán thông thường về cộng hàm số và nhân hàm số với một số và với
chuẩn:
11/11
9
Định nghĩa 1.2. Giả sử íỉ c là một tập con đo được của M
n
,1 < P < 00. Hàm /
: D, —¥ c được gọi là thuộc L
P
(D,) nếu nó đo được và có chuẩn
ll/IL»(n) = (y l/(*)r«k)'
hữu hạn.
Trường hợp P = oo, hàm / thuộc L°°(Ù) nếu nó đo được và bị chặn cốt yếu,
nghĩa là
II ĩ II L°° (n) =
eSSSU
Px€ÍÍ I/ MI <
trong đó esssup
xefi
1/0*01 là số nhỏ nhất M sao cho \F(X)\ < M hầu khắp X G Í2.
Đặc biệt là các hàm có tích phân hội tụ tuyệt đối với
\\ỉ\\l'(íì) = Ị ịf{x)\dx.
J íĩ
1.1.2. Không gian các hàm giảm nhanh

Định nghĩa 1.3. Không gian vectơ «S(M
n
) (thường được kí hiệu là S) được định
nghĩa là không gian các hàm ÍP(X) thuộc lớp C°° trên (K
n
) sao cho X
A
D
/3
IP(X) bị
chặn với tất cả các đa chỉ SỐ A,Ị3 E N
n
. Tô pô trên «S(M") được xác định bởi họ
nửa chuẩn
P M { Ỳ ) = sup |(a;)
M
ID
A
I P (x)| \ X € |dí| < M I , M € N,
, _ ______________________________________
trong đó, (X)
M
= í 1 + |x|
2
j
2
. Các hàm IP € <S(R
n
) được gọi là các hàm giảm
nhanh.

1.1.3. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm <s (K
71
)
Định nghĩa 1.4. Ta định nghĩa không gian các hàm suy rộng tăng chậm <s (M
71
) là
không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S(W
L
).
1
0
Nghĩa là, U G «S (M
n
) nếu nó là một phiếm hàm U : «S (M
n
) —¥ c sao cho:
(i) U

tuyến tính: U(AXP

+ ỊỈLS) = AU((F) + /3U(U),
Va,Ị3e e 5(R").
(ii)U

liên tục, nghĩa là U((FJ)

!-»• U{ÍP)

khi <FJ

I-» (F trong 5
,
(M
rt
)
Hàm trong <S(M
rt
) được gọi là các hàm thử đối với các hàm suy rộng trong
«s (M").
1.2. Phép biến đổi Fourier
1.2.1. Biến đổi Fourier
Định nghĩa 1.5. Giả sử / G L
1
(M
71
). Ta định nghĩa / bởi công thức /(Í) =
(2tt)V
e
-«/(
I
)i,(er.
Hàm / được gọi là biến đối Fourier của /, đôi khi ta còn dùng kí hiệu
T E Ĩ .
Định nghĩa 1.6. Giả sử T là hàm suy rộng tăng chậm. Khi đó biến đổi Fourier của
T được gọi là hàm suy rộng tăng chậm, ký hiệu T được xác
định bởi
T(
v
) = T(ộ),
v

eS(R
n
).
1.2.2. Một số tính chất của biến đổi Fourier
Định lý 1.1. NẾU F,G £ L^R) THÌ (F * G)
A
= (27r)â/£,
trong đó (f * g) = f
R
n ĩ{x — y)g{y)dy là tích chập của hai hàm f và g
Định lý 1.2. G iả s ử i p € <S(R
n
). K hi đ ó
1
1
(г) (D
a
ự?)
A
(£) = với mọi đa chỉ số a,
(ii) (DPộ)(£) = ((—хУ<р)
А
{£) với mọi đa chỉ số ß,
( U I ) Ф £ /S'(K
rỉ
).
Trong đó:
lỡ
D
a

= D“
1
D
ữn
- D A = — _____—(i = 1 Г))
1
■■
j
2 ndXị '
J

Định lý 1.3 (Công thức liên hợp). Giả sử f, g là các hàm thuộc
Khi đó f
Rn
f(x)g(x)dx = f
Rn
f(x)g(x)dx.
Định lý 1.4 (Công thức Fourier ngược). Với mọi hàm f € «S(K")
;
ta có (/)
v
=
f, trong đó toán tử h
y
được định nghĩa bởi
h
v
(x) = (2тг)-
п/2
Je

i x
^h (£) d£, heS (R
n
).
1.2.3. Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm
Định nghĩa 1.7. Giả sử и G 5 (М
П
). Khi đó ta định nghĩa biến đổi Fourier của И
bằng công thức
Ù ( I P ) = И ( Ф ) , ( Р € -S'(M
7Ỉ
).
Định lý 1.5. Với mọi и € S'(R
n
) và ự) € S(R
n
), ta có:
(ỉ) (D
a
u) = £
a
u,
(ii)(x
a
u) = (—Dç)
a
u,
(in) (ip * и) = Ip.и,
(iv) (ip • и) = (2-7Г)~
n

(p * и.
1.3. Không gian Sobolev i7
s
(M
n
) và toán tử giả vi phân
trên M
n
Định nghĩa 1.8 (Không gian Sobolev H
8
(M.
N
)). Cho S € M, không gian Sobolev
H
S
(M.
n
) gồm tất cả các hàm suy rộng tăng chậm U sao cho (£)
s
«(£) € L
2
(M") và có
chuẩn
IMIií‘(M") = ( [ (0
2S
KO|
2
rf
f) ' < °
0

-
v
J R"
y
Định nghĩa 1.9. Giả sử M e (—oo;+oo) và 0 < Ỗ < P < 1. Ta định nghĩa S™
Õ
là tập
hợp tất cả các hàm Ơ (X, € C°° (M
71
xR") sao cho với
hai đa chỉ số A, /3 bất kì, tồn tại hằng số dương C
A
P chỉ phụ thuộc vào A, Ị3, sao
cho
|(a
{
“ạ?ff(s,í))| < c«^(i + líi
2
) , X,Ỉ 6 K".
Ta gọi mỗi hàm Ơ G là một biểu trưng. Khi ỏ = 0, P = 1 thì ta
sẽ ký hiệu 5™0 bởi S
M
.
Định nghĩa 1.10. Giả sử Ơ là một biểu trưng. Khi đó, toán tử giả vi phân T
Ơ
tương
ứng với Ơ được định nghĩa bởi
(:T
Ơ
TP) (z) = (27r)

_n/2
Ỉ E
I X <
Ơ (X, f) Ạ (£) , (P E S.
jR
n
Định lý 1.6. Cho ơ E s
m
là một biểu trưng. Khi đó,
T
ơ
: H
s
(M.
n
) —»• H
s
~
m
(M.
n
) là toán tử tuyến tính bị chặn.
1.4. Một số không gian hàm và biến đổi Fourier trên
xuyến
Ký hiệu T
n
= (M/(2TTZ)Ỵ là hình xuyến N chiều. Ta sẽ đồng nhất T
71
với hình
hộp [0, 27r]

rỉ
c hoặc [—7T, TT]
N
. Các hàm xác định trên T
71
CÓ thể xem như là hàm xác định trên M
n
tuần hoàn chu kỳ 2TT theo mỗi trục tọa
độ.
Định nghĩa 1.11. Không gian các hàm kiểm tra T>(T
N
) là không gian véc tơ C^T
71
)
tất cả các hàm khả vi vô hạn cùng với tô pô đếm được chuẩn xác định bởi
l/L = sup {|ỡ“w(x)| I H < ra} .
M"
Ký hiệu T>'(T") là không gian đối ngẫu của V(T
N
).
Định nghĩa 1.12. Cho 1 < P < oo, không gian định chuẩn L
P
(T
N
) là không gian véc
tơ tất cả các hàm số xác định và đo được trên T
71
sao cho
=
(L \f(

x
)\
p< ỉ x
)
/p
<
00
• í
1
-
1
)
V jỴn /
Khi P = 2, không gian L
2
(T
n
) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u,v)j n= / u{x)v{x)dx.
JT
n
Với P = oo, ký hiệu L
00
(T
rì
) là không gian tất cả các hàm U £ L
1
(T
N
) sao cho

IMIL°°(T") < °°-
Tập hợp các véc tơ E^(X) := E
I X
^,Ệ € 7J
N
làm thành một cơ sở trực giao của
L
2
(T
N
).
Định nghĩa 1.13 (Không gian Schwärt <S(Z
n
)). Ký hiệu S(Z
N
), không gian các hàm
giá trị phức xác định trên z
n
giảm nhanh tại vô cực, nghĩa là, hàm IP € S(z
n
) nếu với
mọi M > 0, tồn tại hằng số CỰ M sao cho
Mí)l <c
vM
iỉ)-
M
với mọi £ € Ъ
П
. Tô pô trên S(z
n

) xác định bởi họ nửa chuẩn PK,K € N bởi:
p
k
(<p) := sụp j(£)
fc
MOl} •
Ký hiệu ^'(Z
71
) là không gian đối ngẫu của SỢ/
1
). Nó bao gồm tất cả các
phiếm hàm tuyến tính liên tục trên <S(Z
n
) có dạng
ч> ^ (и,^) := 'Yh W(£M0>
£eZ"
ở đó hàm И \ z
n
—>■ С tăng trưởng kiểu đa thức ở vôtận, tức là tồn tại
một hằng số M < oo và C
U
M sao cho
MOI <
C
^M <0
M
với mọi ^ G z
N
.
Định nghĩa 1.14. Cho И € L

x
(T
n
). Biến đổi Fouriercủa И, ký hiệu
TTU hay Û, là hàm số trên z
n
, xác định bởi
ũ(í) = ĩr«(í)= / U(X)E~
I L (
DX, íeZ", (1.2)
trong đó dx = (27Г)~
N
DX.
Định lý 1.7. 5«ến đ ổi F ou ri er J~ T : P(T
n
) —>• íS(Z
n
) /ầ mộỂ đ ẳn g c ấ u
t uy ế n tí nh v à t a có cô ng t h ức n gư ợc
f (x ) = £
Định lý 1.8 (Đẳng thức Parseval). iVe« И G L
2
(T") Ш Û G L
2
(ТА
71
) VÀ
Định nghĩa 1.15 (Biến đổi Fourier trên V'(T
N
)). Nhờ biến đổi Fourier ngược TỊN '■

<S(Z") —> T>(T
71
), biến đổi Fourier được mở rộng một cách duy nhất tới ánh xạ
TY™ : T>'(T
N
) —> «S'(Z
n
) bởi công thức
(Tt n U , <p) = (u, ,
(1.3)
trong đó U € £>'(T
n
), IP G «S(Z
n
) và (P{X) = IP(—X).
Nhận xét 1.1. Mọi toán tử tuyến tính liên tục A : V(T
N
) —> V(T
N
) đều có thể biểu
diễn dưới dạng
A
f(
x
) = <*A(x,€)f(€)e
ix
Z,
trong đó hàm duy nhất ơA G ơ
00
^

71
X z
n
) được gọi là biểu trưng của toán tử A:
ƠA (X,€) = e~
i x
^Ae^(x), với e^(x) = e
i x
^.
Ngược lại, cho Ơ : T
n
X z
n
, chúng ta xác định toán tử tuyến tính OP(Ơ) : V(T
N
) ->•
V{T
N
) bởi
0p(ơ)u(x) =
ơ
(
x
Ầ)ủ(O
eix
^ (
1Ả
)
£ez
n

Khi đó Ơ là biểu trưng của toán tử OP(Ơ).
Định nghĩa 1.16 (Lược delta Dirac). Lược delta Dirac ốz» : «SỢR
71
) —>• c được
xác định bởi
(5
Z
n,<p) = tp(x)
x£Z
n
và tổng ở vế phải là hội tụ tuyệt đối.
Định nghĩa 1.17 (Không gian Sobolev i7
s
(T
n
)). Với U e V'(T
n
) và S € M, chúng ta
định nghĩa chuẩn II * llir-(T") bởi
IMIir*(T»)
:=
( té)
2s
\

ủ



( 0 \

2



)

1

• (1-5)
£eZ"
Không gian Sobolev H
S
(T
n
) gồm tất cả các hàm suy rộng U € V{T
n
) sao cho |M|
ffs(Tri)
< 00.
Định lý 1.9. Với mọi sGl, không gian Sobolev H
s
(T
n
) là không gian Hilbert
với tích vô hướng cho bởi
(u,v)
HS{Jn)
:= (£)
2s

£(£)^(0
£eZ
n
Định lý 1.10 (Định lý nhúng Sobolev). CHO ra E N VÀ S > M + N/2. KHI ĐÓ
H
S
{T
N
) c C
M
{T
n
) .
Hệ quả 1.1. Chúng ta có đẳng thức
(1.6)
Chương 2
Toán tử giả vi phân trên xuyến
2.1. Phép tính sai phân
Định nghĩa 2.1 (Sai phân riêng). Cho Ơ : z
n
—> c và V j G N
n
, (VJ). = 1 thỏa
mãn (VJ)I

= 0 nếu I Ỷ J- Khi đó, ta gọi là sai phân riêng tiến (lùi) thứ J
:
ký
hiệu tương ứng (hay AỊ ), hiệu số xác định bởi
A

e,<7(£) := ơ(í + »j) - <r (í ) ,
(2.2)
(2.3)
(2.4)
trong đó a = (c t j )
n
= 1
€ N*.
Bổ đề 2.1. Với mỗi đa chỉ số a € N " , ta có
Bằng phép quy nạp, ta có thể chứng minh được công thức Leibnitz cho
sai phân:
(2.1
)
Bổ đề 2.2 (công thức sai phân Leibnitz). CHO Ậ, LỊ) : z
n
—Ì c. KHI ĐÓ
Af m (í) = E (») (
a
£^ «))
A
r^(í+P)- (2-
7
)
p < a
Công thức tổng từng phần tương tự như công thức tích phân từng
phần:
Bổ đề 2.3.
£ <t> (í) (A^) (í) = (-1)'“' ((Ã
e
°)V) (í)*l>(í), (2.8)

ị e Z
n
£ e Z
n
miễn ỉà chuỗi ở cả hai vế hội tụ tuyệt đối.
Cho ( G Z" và 7 G Z", ký hiệu
«
w
= ní]
7i)
.
3=1
trong đó
re»
1
(íj
"
7i >
°’
7j = 0,
n,-
7)+1
-í)"
1
.7,-<0.
Khi đó,
ẠQ^(7) _
/
y(a)^(7-a)
tương tự như đối với đạo hàm riêng

a
.
Định lý 2.1 (Định lý của Taylor rời rạc). CHO HÀM Ơ : z —»• c. KHI ĐÓ
1
ơ { £ + ' n ) = ỵ
2
\ (
A
ĩ
ơ
) ^
( a ) + R n
( £ ’ r ì
Q = 0
(e,»Ị6Z, TVeN),
(2.9)
trong đó
Chú ý rằng đánh giá trên gần giống với dạng sai số Lagrange trong định lí
Taylor truyền thống:
f(x+y) = ỵ2 -V
(j)
yj
+
^ ^ ’
*—0=0 j!
#ÌV (ar, y) = /
(iV )
(s +
ớ
) y

N
>
ớ
£ [
min
{°> y} >
max
{°> ỉ/}] •
CHỨNG MINH. Trước tiên giả sử rằng 77 > 0 . Sau đó, theo công thức nhị
thức,
°{£+R)) = Ự+A
e
) V (£) = í
77
)
A
?
ơ
(0
Q=o ' '
a=0
Do đó R
N
(£, 77) = 0 với 0 < 77 < N. Vì thế
A“RN {LV) u=0 = 0, khi 0 < A < N. Bây
giờ cho 77 là một số nguyên tùy ý. Ta chú ý rằng
Ajy°> = «<%<“-*> = 0
AF
+A
Ơ (£ + Ả;)

ĩ7 ^ iV,
0 ^ 77 <
-/V,
TỊ < 0,
0,
1
Ãn
V
( N )
AF
+A
A (É + Ả:)
ĩ ]
ĩĩlŨXq^k^
o
‘í
( N )
Af
+
v (í + K)
max
A
T!
(2.10)
với 0 < a < N, vì vậy, khi áp dụng A^, ta được
+ 77) = ( t + T Ị ).
Do đó, ta có bài toán Cauchy
R N (£, Ì ) = A^cr (£ + R Ị )
A °R N (£, »7) u=0 = 0, a ^ N - 1.
Chỉ cần thiết lập ước lượng đối với \R

N
(£,77)1 (nghĩa là A = 0). Ta hãy
định nghĩa Ơ (77) := RJ(
N
Ì/N\ . Khi đó
A^cr (77) = N(
N
)TỊ(
N
~
N
)/N\ =
1
, và A^cr (£) |f
=
0 = 0
khi 0 < A < N, do tính duy nhất nghiệm bài toán Cauchy, ta có
o^k<b —b^k<0
Thật hữu ích khi nghĩ về LỊ như một bản rời rạc của tích phân một lớp D£.
Trong ngữ cảnh rời rạc này, các sai phân có vai trò của toán tử vi phân D/D£.
Trong phần tiếp theo, chúng ta kí hiệu
1 nếu A = 0, LỊ 1 nếu A = 1, IỤLL
1, nếu a = 2,
/VIK 2 K>ot
BỔ đề 2.4. Nếu 6 £ z và a £ N thì
/?/‘' /*"-‘1 = -V“>.
«1 K 2 K
a
CHỨNG MINH. Phép chứng minh theo quy nạp dựa vào quan sát K=
1, AKK^ = Ỉ và LỊ A

K
= B^\
Nhận xét 2.1. Điều này cũng giống như một phiên bản rời rạc tầm thường của
định lý cơ bản của giải tích: /q F'(£)D£ = F(9) — / (0) đối với hàm đủ trơn / : M
—»• c tương ứng với LỊ / (£) = / (ớ) — / (0) cho
Hệ quả 2.1. JVế« ỡ € z
n
a € N
n
íM
71
1
í)
Bây giờ ta có
Định lý 2.2. CHO P : Z
N
—»• c và
r« (í, 0) := p (£ + 0) - E V^A^ptí).
|a|<M
Khi đó
|A£r
M
(£,Ỡ)| ^ C
M
raaz 0
(a)
A“
+
X£ + v)
1 ? 1

I o t \ = M . v G Q ( 6 ]
5
|a|=M,veQ(ớ)
TRONG ĐÓ Q (9) := {P € z
rỉ
: min (0, ớj) < z/j < MAX (0, ớj)}
CHỨNG MINH.

Với 0
^
ữ G
N ” ,
kí hiệu M
A
\= MỈN{J
:
ATJ ^

0} . Với 9 e z
n
và I €
{ 1 , n } ta định nghĩa ỉ/ (ớ, 2, Ả:) G z
n
bởi
z/(ớ,i,fc) := (ỚI, Ấũ,0,0),
(2.12
)
□
(2.14)
9J

nếu 1 < J < I
K
:
nếu J = I
0, nếu I < J ^ N.
Chúng ta khẳng định rằng phần dư có thể được viết dưới dạng
r
M
(í, 0) =
r
« (í'
\ a \ = M
trong đó với mỗi a,
n
R* (É,
ớ
) = n í
ơjl)
^(
(
j;
2
1
)
)
• ■ • I
K
K
LF^

L )
A«P (Z + V (E, M
A :
K {M
A
,A
M
J))
3 =
1
(2.16)
nhớ lại (2.11) và (2.13). Ta chứng minh của (2.16) bằng phép quy nạp:
Số hạng dư thứ nhất T\ có dạng như đã nêu, bởi
71
N (£, 0) = P (£ + Ỡ) - P (£) =
R
VI (f >
Ỡ
) >
1 — 1
trong đó
R
V I
(£, ớ) = AỊ? p (£ + I/ (ớ, I, K)); ở đây
R
V
. có dạng (2.16) với A = UI,7ĨI(A) = Ỉ và A
M
= 1.
Giả sử rằng đẳng thức (2.16) là đúng đối với bậc \CE\ = M.Khi đó

r
M+l
(ỉ,e)= r
M
( í , 6 ) ~ °
(
p ( í )
\ a \ = M
\ a \ = M
= E (>•« (í, 9) - V“>A£P (í))
\ a \ = M ' '
__ \ ' I I
T@j Ỵk{j,í) —
~ 2-^ề 11 k { j , 1 ) k ( j , 2 ) k ( h
a
i )
\ a \ = M 3 = 1
\p(£ + V (9,m
a
,k (m
ữ
,a
ma
))) -p(£)],
tức là
(2.15)
ở đó ta sử dụng (2.16) và (2.13) thu được đẳng thức cuối cùng. Kết hợp điều này
với nhận xét
p (£ + V (ớ, m
a

, k)) - p ( £ ) = ỵ2
I
i
ỉ=l
71 771
Q
(t = V TT T
0 j
T
k
W T
k
(j,<X j-l) T v(0 ,m
a
,k(m
a
,a
m a
))
i
vs >
ơ
; - 1 1
Ấ
k ( j , l )
Ấ
k ( j , 2 ) ' ' '
I
k ( j , a
i

)
\ a \ = M 3 = 1 *= 1
A“
+
”‘p(í + «(<M,ỉ(«)))
= y. nc. I
\ P \ = M + 1 3 = 1 Aịp (f + V (e, mạ, k (mp, P m p ) ) )
■
Bước cuối cùng còn lại rất đơn giản. Do đó chứng minh của phép quy nạp (2.16)
được hoàn thành. Cuối cùng, ta đánh giá (2.14). Từ (2.16) thu được
E
A
f'
r
« (í-
e
)
\ a \ = M
n
£ ử'
\ a \ = M j = 1
A“
+
> (£ + V (ớ, M
A
, K (M
A
, a
m
J))

v 1
0(«)
Qí!
|Q|=M
ở đó bước cuối cùng ta sử dụng (2.13)
Nhận xét 2.2. Nếu N > 2, sẽ có nhiều hình thức lựa chọn cho số dư T
A
(£, 9). Điều
này là do thực tế có thể có nhiều bước ngắn rời rạc khác nhau trong không gian z
rỉ
từ £ đến £ + 0. Trong chứng minh trên, ta chỉ
chọn một cách, theo đó chọn các điểm
ta có
^M+I
0
j ịHỈA) tHĩiPí-
1
) k ( j ,
1 ) k ( j , 2 ) k( i , P j )
^*(4,0)1 =
e
i T
k
( j>!)
k ( j , 1 )
k ( j , 2 )
max
v e Q ( 6 )
□
ỉ— 1

Nhưng nếu N = 1, chỉ có một con đường rời rạc ngắn nhất từ £ G Z" đến 9 € z, và
trong trường hợp đó
Từ định lý Taylor rời rạc trình bày ở trên kéo theo kết quả Taylor cho hàm
khả vi sau đây:
Hệ quả 2.2. CHO P € C°° (M
71
) VÀ
Khi đó
\dỊr
M
«,ớ)| max 9
a
d*
+u
p{ỉi+ v) , (2.17)
1
* ' I I I _ * / S
\ a \ = M , v e Q
R
n ( ớ )
trong đó
Q r (0) := { v € : m i n (0,9 j ) ^ V j ^ m a x { 0, 9 j )} .
Nhận xét 2.3. Chúng ta thấy rằng trong đánh giá số dư ở trên, các khối Q (0) c z
N
và
Q^N (ớ) c có thể được thay thế bằng (rời rạc, tương ứng, liên tục) đường dẫn từ 0
đến ớ; đặc biệt Q^N (9) có thể được thay thế bằng đường thẳng từ 0 đến 9.
2.2. Toán tử giả vi phân trên xuyến
Cho m G M v à O ^ Ố C p ^ l . Khi đó S™
S

(T
n
X z
n
) bao gồm
n
những hàm ơ G ơ
00
(T
n
X z
n
) thỏa mãn
|A?ỡMx,í)| < C'
TO/
,
m
<í)'"^
l
“
l+WI
(2.18)
với mọi X € T
n
, và với mọi A,SS € N
n
. Nếu Ơ A G S
m
s
(T

n
X z
n
), ta ký hiệu lớp
toán tử tuyến tính với biểu trưng ƠA bởi OPS™
S
(T
n
xZ").
Lớp S™
s
(T
n
хГх Z") bao gồm các hàm a € С
00
(T
n
X т
п
X z
n
)
sao cho
\ a \ < M
(2.19)
với mọi / € T>{ T
n
).
Nhận xét 2.4. Trên T
71

, lớp biểu trưng (P,S) thông thường của Hôrmander bậc M
€ к trùng với các lớp OPS™
5
(T
n
X z
n
).
B ổ đề 2. 5. C ho a G s ™
ô
(T
n
xT "x z
n
) , và đ ị nh n gh ĩa a
a
(x ,
у , £) := — l)
a
a (ж, у , , t ro ng đó а € N
n
. K hỉ đ ó ,
A“a € 5
ш
”
р|а|
(T» x T
n
x z») Ш ỡp (fl
a

) = Op (A“a) .
C H Ứ N G M I N H . Rõ ràng A Ç D € S ™
Õ

p
^
a
' (T
n
xT"x z
n
). Bây giờ
/ / ( » ) [ £ (e
i<,,_l)
- I dy
Như vậy OP (A
a
) = OP (Aç a) . □
Định lý 2.3. Với mỗi biên độ a £ S™
s
(T
71
X T
71
X z
n
) tồn tại duy nhất biểu trưng
ơ £ s™
5
(T

n
X z
n
) thỏa mẫn Op (à) = Op (cr), trong đó
ơ
(я, ^ịA“aị
a)
a (x, у, О I
y=x
. (2.20)
Q^o
Định nghĩa 2.2 (Toán tử giả vi phân trên xuyến). Nếu
với mọi x
:
y € T
n
, và với mọi a , ß , 7 G N
n
; hàm a như vậy được gọi là một biên độ
bậc 771 € К kiểu (p , ổ), về mặt hình thức, ta xác định
[ í {y)'^2a
a
(x,y,ị)e
i t
-
z v ) i
dy
J ТГп, ___