Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai với phương trình truyền sóng trong miền không trơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
DƯƠNG THỊ HẠ
BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN
ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
DƯƠNG THỊ HẠ
BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN
ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn
Mạnh Hùng , người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn
tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo
trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán
giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và

nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên
và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Dương Thị Hạ
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Dương Thị Hạ
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Các kí hiệu. . . . . . . . . 4
1.2. Một số không gian hàm . . . . . . . 6
1.2.1. Không gian L
p
(Ω) . . . . . . . . . 6
1.2.2. Không gian L
∞
(Ω) . . . . . . . 7
1.2.3. Không gian Sobolev . . . . . . 7
1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản. . . . . . . 11
Chương 2. Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai đối với
phương trình truyền sóng trong miền không trơn . . . . . . . . 15
2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . 15
2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . 16

2.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng. . . . 18
2.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng. . . . . . . 21
2.5. Ví dụ . . . . . . . . 26
Chương 3. Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai
đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn 27
3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . 27
3.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . 28
v
3.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng. . . . 29
3.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng. . . . . . . 32
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng là một môn học quan trọng của toán
học. Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có hai đặc thù cơ bản. Thứ
nhất là mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý vì quá trình nghiên
cứu các bài toán vật lý dẫn đến các bài toán phương trình đạo hàm
riêng. Thứ hai là mối liên hệ mật thiết của phương trình đạo hàm riêng
với các nghành toán học khác nhau như : Giải tích hàm, lý thuyết hàm,
tô pô, đại số, giải tích phức. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
hiện đại gồm có: phương trình loại Eliptic, phương trình loại Parabolic,
phương trình loại Hyperbolic. Không gian nghiệm đối với phương trình
này là một vấn đề cơ bản trong việc nghiên cứu về đạo hàm riêng tuyến
tính. Nghiệm cổ điển và nghiệm suy rộng có mối liên hệ mật thiết với
nhau. Mỗi loại phương trình khi nghiên cứu bao giờ cũng đặt ra câu hỏi
nghiệm suy rộng của phương trình có tồn tại không? có duy nhất không?
phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện đã cho của bài toán không?
Để góp phần giúp đỡ cho người học phương trình đạo hàm riêng,
những người yêu thích phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản

thân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học, nhờ sự giúp đỡ của
GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài :"Bài toán
biên không có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình
truyền sóng trong miền không trơn"
1
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu tính giải được của
bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình
truyền sóng trong miền không trơn. Kết quả nhận được là các định lí
tồn tại và duy nhất nghiệm trong không gian Sobolev của các bài toán
trên trong miền không trơn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận
văn là:
Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian
Sobolev, các bất đẳng thức cơ bản, các tài liệu liên quan. Từ đó áp dụng
vào nghiên cứu tính giải được của bài toán.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu không gian Sobolev,
nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính giải được của bài toán biên
không có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóng
trong miền không trơn.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp được sử dụng trong luận văn là phương pháp Galerkin,
phương pháp đánh giá bất đẳng thức, phương pháp không gian hàm
2
Sobolev.
6. Đóng góp mới của đề tài
Nhận được các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm hoặc tổng kết hoặc
xét những trường hợp đặc biệt của những bài toán đã được giải.

3
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Các kí hiệu
R
n
là một không gian Euclide n− chiều, x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
.
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R
n
, n ≥ 2 và S = ∂Ω là biên của
nó. Ω = Ω ∪ ∂Ω.
Kí hiệu Ω
a,b
= Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b) , 0 ≤ a < b < ∞}
là trụ trong R
n+1
.
Kí hiệu Ω
∞
h
= Ω × (h, ∞) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (h, ∞)}là trụ trong
R

n+1
.
Mặt xung quanh của nó là: S
a,b
= ∂Ω×(a, b) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)}.
S
∞
h
= ∂Ω × (h, ∞) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (h, ∞)}.
Nếu (a, b) = R thì ta viết Ω
R
= Ω
+∞
−∞
và S
R
= S
+∞
−∞
.
Ta viết Ω
T
= Ω × (0, T ) , S
T
= ∂Ω × (0, T).
Giả sử u là hàm vector phức với các thành phần u
1
, , u
n
.

Ta kí hiệu u = (u
1
, , u
n
) và D
p
=
∂
|p|
∂x
p
1
1
∂x
p
n
n
là đạo hàm suy rộng cấp
p theo biến x = (x
1
, x
n
).
u
t
k
= ∂
k
u/∂t
k

là đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t.
Ở đây p = (p
1
, , p
n
) là kí hiệu đa chỉ số với p
i
là các số nguyên không
âm, |p| = p
1
+ + p
n
.
C
∞
o
(Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong
4
Ω.
Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà hàm đó
khác không và kí hiệu là supp. Kí hiệu C
k
(Ω) là tập hợp tất cả các hàm
có đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền Ω, 0 ≤ k ≤ ∞, C
0
(Ω) = C (Ω),
và
o
C
k

(Ω) =
o
C (Ω) ∩ C
k
(Ω), ở đó
o
C
k
là tập hợp tất cả các hàm liên tục
trong Ω và có giá compact thuộc Ω.
Dãy {u
k
}
∞
k=1
hội tụ yếu đến phần tử u ∈ H nếu và chỉ nếu thoả mãn
hai điều kiện sau
i) Tồn tại một hằng số C sao cho u
k
 ≤ C với mọi k;
ii) ϕ (u
k
) hội tụ đến ϕ (u) với mọi ϕ thuộc tập hợp con trong H
∗
sao
cho bao tuyến tính các phần tử của nó trù mật trong H
∗
.
Một hàm số f đo được trên R
n

được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại
một số k sao cho |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi trên R
n
. Cận dưới lớn nhất
các hằng số k được gọi là essential supremum của |f| trên R
n
.
Kí hiệu esssup
x∈R
n
|f (x)|.
Điều kiện Lipschitz :
Hàm u : U → R (U là tập mở trong R
n
)là liên tục Lipschitz nếu
∀x, y ∈ U, C là hằng số :
|u (x) − u (y)| ≤ C |x − y| .
Ta viết:
Lip [u] := sup
x,y∈U,x=y
|u (x) − u (y)|
|x − y|
Trong bài ta sử dụng các kí hiệu sau :
v (., t) , ϕ (.)
Ω
=

Ω
v (x, t) ϕ (x) dx.
5

v (., t) , w (., t)
Ω
=

Ω
v (x, t) w (x, t) dx.
v, w
Ω
T
=

Ω
T
v (x, t) w (x, t) dxdt.
1.2. Một số không gian hàm
1.2.1. Không gian L
p
(Ω)
Định nghĩa 1.2.1. Cho Ω là một miền trong không gian R
n
và cho
0 ≤ p < +∞. Khi đó L
p
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x)
khả tổng cấp p theo Lebesgue trong Ω, tức là:

Ω
|u|
p
dx < +∞.

Không gian L
p
(Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn :
u
L
p
(Ω)
=



Ω
|u|
p
dx


1
p
.
L
2
(Ω) là không gian các hàm khả tổng bình phương trên Ω với chuẩn:
u
2
L
2
(Ω)
=


Ω
|u (x)|
2
dx.
L
2
(Ω
T
) là không gian các hàm khả tổng bình phương trên Ω
T
với
chuẩn :
u
2
L
2
(Ω
T
)
=

Ω
T
|u (x, t)|
2
dxdt
Hơn nữa, L
p
(Ω) là một không gian đầy đủ nên L
p

(Ω) là một không
gian Banach. Đặc biệt, với p = 2, không gian L
2
(Ω) là không gian Hilbert
6
với tích vô hướng
(f, g) =

Ω
f (x) g (x)dx.
1.2.2. Không gian L
∞
(Ω)
Định nghĩa 1.2.2. Cho Ω là một miền trong không gian R
n
. Khi
đó L
∞
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) đo được theo
Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn :
u
L
∞
(Ω)
= esssup
x∈Ω
|u (x)| .
Cho X là không gian Banach với chuẩn .
X
. Kí hiệu L

∞
(0, T ; X) là
không gian bao gồm tất cả các hàm u (., t) nhận giá trị trong không gian
X, xác định trên (0, T ) sao cho
u
L
∞
(0,T ;X)
= esssup
0<t<T
u
X
< ∞.
1.2.3. Không gian Sobolev
• Đạo hàm suy rộng
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử Ω là một miền trong không gian R
n
. Một hàm
v (x) ∈ L
1
(Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp p của hàm u (x) ∈ L
1
(Ω)
nếu:

Ω
u (x) D
p
ϕ (x) dx = (−1)
|p|


Ω
v (x) ϕ (x) dx.
Với mọi ϕ ∈
o
C
∞
(Ω)
Chú ý
7
Từ công thức Green cổ điển suy ra một hàm u(x) có đạo hàm thông
thường liên tục cấp p thì nó có đạo hàm suy rộng cấp p. Từ định nghĩa
đạo hàm suy rộng rút ra hàm u(x) có không quá một đạo hàm suy rộng.
Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa
thông thường. Để làm ví dụ ta lấy u(x) = |x| , x ∈ (−1, 1). Dễ kiểm tra
được hàm u(x) có đạo hàm suy rộng trong khoảng (−1, 1). Tuy nhiên,
hàm này không có đạo hàm thông thường tại điểm x = 0.
Thật vậy,
Giả sử v(x) là đạo hàm suy rộng của u(x) = |x| , x ∈ (−1, 1). Khi đó
ta có:
1

−1
|x| ϕ

(x) dx = −
1

−1
v (x) ϕ (x) dx, ∀ϕ ∈

0
C
∞
(−1, 1)
T =
1

−1
|x| ϕ

(x) dx =
0

−1
−x.ϕ

(x) dx +
1

0
x.ϕ

(x) dx
= −xϕ (x)







0
−1
+


0

−1
ϕ (x) dx −
1

0
ϕ (x) dx


+ xϕ (x)






1
0
= −
1

−1
signx.ϕ (x) dx.
Vậy v (x) = signx là đạo hàm suy rộng của u(x) = |x| , x ∈ (−1, 1).

Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp p trong miền Ω thì nó cũng có
đạo hàm suy rộng cấp p trong miền Ω

⊂ Ω . Thật vậy, giả sử u(x) có
đạo hàm suy rộng trong miền Ω là hàm v(x) và ϕ (x) là một hàm bất kì
thuộc
o
C
∞
(Ω

), Ω

là miền con của Ω. Khi coi ϕ (x) = 0 với x ∈ Ω \ Ω

ta nhận được ϕ ∈
o
C
∞
(Ω

).
8
Ta có hệ thức:

Ω

u (x) D
p
ϕ (x) dx =


Ω
u (x) D
p
ϕ (x) dx
= (−1)
|p|

Ω
v (x) ϕ (x) dx = (−1)
|p|

Ω

v (x) ϕ (x) dx
Từ đó ta nhận được u(x) có đạo hàm suy rộng trong miền Ω

cũng chính
là hàm v(x). Đạo hàm suy rộng trong miền Ω

được gọi là thu hẹp của
đạo hàm suy rộng trong Ω vào Ω

.
D
α+β
v = D
α

D

β
v

, aD
α
v
1
+ bD
α
v
2
= D
α
(av
1
+ bv
2
), ở đó a, b là các
hằng số tùy ý.
Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy
rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung, đạo hàm
suy rộng bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông
thường. Tuy nhiên, không phải là tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo
hàm suy rộng cấp p không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp
nhỏ hơn p.
• Không gian W
l
(Ω)
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử Ω là một miền trong không gian R
n

. Ta định
nghĩa W
l
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) ∈ L
2
(Ω) , x ∈ Ω
với chuẩn :
u
W
l
(Ω)
=



|p|≤l

|D
p
u|
2
dx


1
2
.
• Không gian W
1
(Ω)

9
Định nghĩa 1.2.5. Giả sử Ω là một miền trong không gian R
n
. Ta định
nghĩa W
1
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) ∈ L
2
(Ω) , x ∈
Ω với chuẩn :
u
W
1
(Ω)
=



|p|≤1

Ω
|D
p
u|
2
dx


1
2

.
• Không gian
o
W
l
(Ω)
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử Ω là một miền trong không gian R
n
. Ta định
nghĩa
o
W
l
(Ω) là bao đóng của
o
C
∞
trong chuẩn của W
l
(Ω)
• Không gian W
l,k
(e
−γt
, Ω
T
)
Định nghĩa 1.2.7. Giả sử Ω là một miền trong không gian R
n
.Ta định

nghĩa W
l,k
(e
−γt
, Ω
T
) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x, t) ∈
L
2
(Ω
T
) , (x, t) ∈ Ω
T
sao cho D
p
u (., t) , u
t
j
(., t) ∈ L
2
(Ω) , (0 ≤ |p| ≤ l, 1 ≤ j ≤ k)
với mỗi t ∈ (0, T) và
u
2
W
l,k
(e
−γt
,Ω
T

)
=

Ω
T



|p|≤l
|D
p
u|
2
+

1≤j≤k
|u
t
j
|
2


e
−2γt
dxdt < ∞.
• Không gian W
1,1
(e
−γt

, Ω
T
)
Định nghĩa 1.2.8. Giả sử Ω là một miền trong không gian R
n
.Ta định
nghĩa W
1,1
(e
−γt
, Ω
T
) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x, t) ∈
L
2
(Ω
T
) , (x, t) ∈ Ω
T
sao cho D
p
u (., t) , u
t
(., t) ∈ L
2
(Ω) với mỗi t ∈ (0, T )
và
u
2
W

1,1
(e
−γt
,Ω
T
)
=

Ω
T



0≤|p|≤1
|D
p
u|
2
+ |u
t
|
2


e
−2γt
dxdt < ∞.
Đặt L
2
(e

−γt
, Ω
T
) = W
0,0
(e
−γt
, Ω
T
)
10
1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản
• Bất đẳng thức Cauchy với ε
Cho a, b là các số thực dương và ε > 0. Khi đó
ab ≤ εa
2
+
b
2
4ε
.
Chứng minh.
Ta có
ab = (2ε)
1
2
a.
b
(2ε)
1

2
Áp dụng bất đẳng thức ab ≤
a
2
2
+
b
2
2
ta có.
(2ε)
1
2
a.
b
(2ε)
1
2
≤
2εa
2
2
+
b
2
2ε
2
= εa
2
+

b
2
4ε
Bất đẳng thức được chứng minh.
• Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz
Cho u, v ∈ R
n
. Khi đó, ta có
|uv| ≤ |u| |v| .
Chứng minh.
Cho ε > 0 và ta có:
0 ≤ |u ± εv|
2
= |u|
2
± 2εuv + ε
2
|v|
2
.
Do đó
±uv ≤
1
2ε
|u|
2
+
ε
2
|v|

2
.
11
Cực tiểu hóa vế trái, đặt ε =
|u|
|v|
với v = 0, ta được:
±uv ≤ |u| |v| .
Hay ta viết
|uv| ≤ |u| |v| .
Bất đẳng thức được chứng minh.
Trong không gian Hilbert (H), chuẩn của phần tử u được lấy là :
u =

(u, u).
Đối với u, v ∈ (H) ta có bất đẳng thức Cauchy- Schwarz
|uv| ≤ u v .
• Bất đẳng thức Gronwall - Belman mở rộng
Giả sử u và ϕ là các hàm khả tích không âm trên đoạn [t
o
, T ) , L =
const > 0 thoả mãn:
u (t) ≤ ϕ (t) + L

t
t
0
u (t) dt, ∀t ∈ [t
0
, T ) .

Khi đó
u (t) ≤ ϕ (t) + L

t
t
0
e
L(t−s)
ϕ (s) ds, ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Hơn nữa, nếu ϕ (t) có đạo hàm ϕ

(t) khả tích trên [t
0
, T ) thì
u (t) ≤ ϕ (t
0
) e
L(t−t
0
)
+ L

t
t
0
e
L(t−s)
ϕ


(s) ds, ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Chứng minh.
Đặt y (t) =
t

t
0
u (t) dt, ta có :
y

(t) = u(t) ≤ ϕ(t) + Ly(t), ∀t ∈ [t
0
, T ) .
12
hay
y

(t) − Ly(t) ≤ ϕ(t) ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Đặt z(t) = y(t)e
−Lt
ta nhận được:
z

(t) = (y


(t) − Ly(t)) e
−Lt
≤ ϕ(t)e
−Lt
.
Ta có z (t
0
) = y(t
0
) = 0 và do đó:
z(t) ≤
t

t
0
e
−Ls
ϕ(s)ds ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Suy ra
y(t) ≤
t

t
0
e
L(t−s)
ϕ(s)ds ∀t ∈ [t
0

, T ) .
Do đó
u(t) ≤ ϕ(t) + Ly(t) ≤ ϕ(t) + L
t

t
0
e
L(t−s)
ϕ(s)ds, ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Nếu ϕ (t) có đạo hàm ϕ

(t) khả tích trên [t
0
, T ) thì bằng tích phân từng
phần, ta có:
L
t

t
0
e
L(t−s)
ϕ(s)ds = −e
L(t−s)
ϕ(s)







t
t
0
+ L
t

t
0
e
L(t−s)
ϕ

(s)ds
= −ϕ (t) + ϕ(t
0
)e
L(t−t
0
)
+ L
t

t
0
e
L(t−s)

ϕ

(s)ds.
Từ đây ta suy ra:
u (t) ≤ ϕ (t
0
) e
L(t−t
0
)
+ L

t
t
0
e
L(t−s)
ϕ

(s) ds, ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Bất đẳng thức được chứng minh.
13
Ta nhận thấy rằng nếu ϕ ≡ C ≡ const trên [t
0
, T ) thì từ bất đẳng
thức trên ta suy ra bất đẳng thức Gronwall- Belman thông thường, tức
là :
u (t) ≤ Ce

L(t−t
0
)
, ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Đặc biệt nếu ϕ (t) ≡ 0 trên [t
0
, T ) thì ta có
u (t) ≤ L
t

t
0
u (s) ds ⇒ u (t) ≡ 0, ∀t ∈ [t
0
, T )
14
Chương 2
Bài toán biên có điều kiện ban đầu
thứ hai đối với phương trình truyền
sóng trong miền không trơn
Trong chương này luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm
suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương
trình truyền sóng trong miền không trơn, ta nhận được kết quả về tính
giải được của bài toán trong trụ Ω
∞
h
với đáy có biên không trơn và thỏa
mãn điều kiện Lipschitz.

2.1. Đặt bài toán
Xét toán tử vi phân cấp 2
L (x, t, ∂) =
n

i,j=1
∂
∂x
i

a
ij
(x, t)
∂
∂x
j

,
ở đây a
ij
≡ a
ij
(x, t) là hàm phức khả vi vô hạn trên Ω
∞
h
, a
ij
= a
ji
(i, j = 1, , n)

. Hơn nữa giả sử rằng a
ij
(i, j = 1, , n) là liên tục đều với x ∈ Ω theo
biến t ∈ [h, ∞).
Kí hiệu
N (x, t, ∂) =
n

i,j=1
a
ij
(x, t) cos (x
i
, ν)
∂
∂x
j
.
15
Ở đây ν là vector pháp tuyến ngoài của mặt S
∞
h
ta nhận được bài
toán sau trong trụ Ω
∞
h
.
Xét trong miền trụ Ω
∞
h

phương trình:
L (x, t, ∂) u − u
tt
= f (x, t) trên Ω
∞
h
(2.1)
Với điều kiện ban đầu
u|
t=h
= u
t
|
t=h
= 0 trênΩ (2.2)
Và điều kiện biên
N (x, t, ∂) u|
S
∞
h
= 0. (2.3)
Bài toán trên được gọi là bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai
đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn.
Bài toán ta đang xét là Hyperbolic mạnh, tức là với ξ ∈ R
n
\ {0} và
(x, t) ∈ Ω
h
, tồn tại µ
1

= const > 0, ta luôn có bất đẳng thức sau:
n

i,j=1
a
ij
(x, t) ξ
i
ξ
j
≥ µ
1
|ξ|
2
. (2.4)
2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng
Định nghĩa: Cho f ∈ L
2
(Ω). Khi đó hàm u (x, t) được gọi là nghiệm
suy rộng của bài toán (2.1) − (2.3) trong không gian W
1,1
(e
−γt
, Ω
∞
h
) nếu
u (x, t) ∈ W
1,1
(e

−γt
, Ω
∞
h
) , u (x, h) = 0, với mỗi T > 0 đẳng thức
−
n

i,j=1

a
ij
u
x
j
, η
x
i

Ω
T
h
+ u
t
, η
t

Ω
T
h

= f, η
Ω
T
h
. (2.5)
đúng với mọi hàm thử η = η (x, t) ∈ W
1,1
(e
−γt
, Ω
∞
h
) sao cho η (x, t) = 0
với t ≥ T .
16
Đặt
B (u, u) (t) = −
n

i,j=1

a
ij
u
x
j
(., t) , u
x
i
(., t)


Ω
.
Ta có bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.1. Giả sử điều kiện (2.4) thoả mãn. Khi đó tồn tại 2 hằng số
µ
0
> 0, λ
0
≥ 0 sao cho với mọi hàm cố định u = u (x, t) ∈ W
1,1
(e
−γt
, Ω
∞
h
)
ta có bất đẳng thức sau:
− B (u, u) (t) ≥ µ
0
u
2
W
1
(Ω)
− λ
0
u
2
L

2
(Ω)
. (2.6)
Chứng minh
Từ điều kiện (2.4) và từ bất đẳng thức Cauchy ta có:
µ
n

i=1
u
x
i

2
L
2
(Ω)
≤
n

i=j=1

a
ij
u
x
j
, u
x
i


Ω
= −B (u, u) (t) −

1≤i,j≤n,i=j

a
ij
u
x
j
, u
x
i

Ω
≤ −B (u, u) (t) + C (ε) u
2
W
0
(Ω)
+ ε
n

i=1
u
x
i

2

L
2
(Ω)
với 0 < ε < µ, C (ε) > 0. Từ bất đẳng thức này ta nhận được
(µ − ε)
n

i=1
u
x
i

2
L
2
(Ω)
≤ −B (u, u) (t) + C (ε) u
2
W
0
(Ω)
hay là
n

i=1
u
x
i

2

L
2
(Ω)
≤ −
1
µ − ε
B (u, u) (t) +
C (ε)
µ − ε
u
2
W
0
(Ω)
.
Đặt C
1
= max

1
µ−ε
,
C(ε)
µ−ε

> 0, ta nhận được
n

i=1
u

x
i

2
L
2
(Ω)
≤ C
1

−B (u, u) (t) + u
2
W
0
(Ω)

.
17
Vậy nên:
u
2
W
1
(Ω)
≤ −C
1
B (u, u) (t) + (C
1
+ 1) u
2

W
0
(Ω)
. (2.7)
Ta có C
2
= C
2
(ε) sao cho
u
2
W
0
(Ω)
≤ ε u
2
W
1
(Ω)
+ C
2
u
2
L
2
(Ω)
.
Thay vào (2.7) ta nhận được
u
2

W
1
(Ω)
≤ −C
1
B (u, u) (t) + (C
1
+ 1)

ε u
2
W
1
(Ω)
+ C
2
u
2
L
2
(Ω)

≤ −C
1
B (u, u) (t) + (C
1
+ 1) ε u
2
W
1

(Ω)
+ (C
1
+ 1) C
2
u
2
L
2
(Ω)
điều đó chỉ ra rằng
−B (u, u) (t) ≥
1 − (C
1
+ 1) ε
C
1
u
2
W
1
(Ω)
−
(C
1
+ 1) C
2
C
1
u

2
L
2
(Ω)
Chọn 0 < ε < min

µ,
1
C
1
+1

và đặt
µ
0
=
1 − (C
1
+ 1) ε
C
1
> 0, λ
0
=
(C
1
+ 1) C
2
C
1

ta được
−B (u, u) (t) ≥ µ
0
u
2
W
1
(Ω)
− λ
0
u
2
L
2
(Ω)
.
Bổ đề được chứng minh
2.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng
Mục này dành cho trình bày việc phát biểu và chứng minh tính duy
nhất nghiệm suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai
đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn. Tính duy nhất
của nghiệm suy rộng được khẳng định qua định lí sau.
18
Định lý 2.3.1. Giả sử rằng hệ số của toán tử L (x, t, ∂) thoả mãn điều
kiện (2.4) và thoả mãn điều kiện sau:
sup
(x,t)∈Ω
∞
h






∂a
ij
∂t





≤ µ; 1 ≤ i, j ≤ n, µ = const > 0.
Khi đó bài toán (2.1) − (2.3) có không quá một nghiệm suy rộng trong
W
1,1
(e
−γt
, Ω
∞
h
) với γ > 0.
Chứng minh
Giả sử bài toán (2.1) − (2.3) có hai nghiệm suy rộng u
1
và u
2
trong
W
1,1

(e
−γt
, Ω
∞
h
) với γ > 0. Đặt:
u (x, t) = u
1
(x, t) − u
2
(x, t)
Ta có u ∈ W
1,1
(e
−γt
, Ω
∞
h
) và u (x, h) = 0
Giả sử b là một số dương. Ta chọn hàm thử trong đẳng thức (2.5) :
η (x, t) = 0 với T > h, h < b < T .
Xét hàm
η (x, t) =






t

b
u (x, τ) dτ, h ≤ t ≤ b
0 , b ≤ t ≤ T
Thì η (x, t) ∈ W
1,1

e
−γt
, Ω
T
−∞

, η (x, T ) = 0 và η
t
(x, t) = u (x, t) , ∀t ∈
[h, b].
Thế u = η
t
vào (2.5),ta được:
−
n

i,j=1

a
ij
η
x
j
t

, η
x
i

Ω
b
h
+ η
tt
, η
t

Ω
b
h
= 0.
Cộng vào đẳng thức trên với liên hợp phức của nó ta có
− 2Re
n

i,j=1

a
ij
η
x
j
t
, η
x

i

Ω
b
h
+ 2Re η
tt
, η
t

Ω
b
h
= 0. (2.8)
19