Phương pháp phần tử hữu hạn trong việc giải phương trình đạo hàm riêng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2




TRẦN QUYẾT




PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. HÀ BÌNH MINH




HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Hà Bình Minh. Sự giúp đỡ và hướng dẫn
tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này
đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề
mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với
thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường đã giúp đỡ,
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT Vĩnh Phúc, Ban giám hiệu,
các thầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung học phổ thông Liễn Sơn cùng gia
đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để
tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ cũng như hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2014
Tác giả
Trần Quyết
Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Hà Bình Minh.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những
thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng
và biết ơn.
Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được
chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày12 tháng 12 năm 2014
Tác giả
Trần Quyết
Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán biên một
chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Sự khác nhau giữa phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp
sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Giới thiệu bài toán biên một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Công thức biến phân cho bài toán biên 1 chiều . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Phương pháp phần tử hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1. Không gian các hàm tuyến tính từng khúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2. Tìm nghiệm trên không gian các hàm tuyến tính từng khúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Ước lượng sai số cho phương pháp phần tử hữu hạn . . . . . . . . 16
Chương 2. Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Pois-
son. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.1. Bài toán biên cho phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Công thức biến phân cho phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Poisson . . . . . . 24
2.3.1. Không gian các hàm tuyến tính từng khúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2. Tìm nghiệm trên không gian các hàm tuyến tính từng khúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Ước lượng sai số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chương 3. Các vấn đề về tính toán, giải số của phương pháp phần
tử hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1. Bài toán biên 1 chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Bài toán biên 2 chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phương pháp phần tử hữu hạn có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc
giải các phương trình đạo hàm riêng xuất phát từ các bài toán trong cơ học,

vật lý, v.v. . .
Phương pháp này xuất hiện từ những năm 50, 60 trong thế kỷ trước,
và được ứng dụng mạnh mẽ trong những năm gần đây với sự phát triển của
máy tính và các công cụ tính toán.
Với mong muốn tìm hiểu phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng
của nó, tôi chọn đề tài “Phương pháp phần tử hữu hạn trong việc giải
phương trình đạo hàm riêng” làm luận văn Thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Khảo cứu phương pháp phần tử hữu hạn để giải ghiệm số cho phương
trình đạo hàm riêng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Khảo cứu phương pháp phần tử hữu hạn để giải ghiệm số cho phương
trình đạo hàm riêng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp giải số cho phương trình vi phân đạo hàm riêng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp giải tích, giải tích số, ngôn ngữ lập trình
MATLAB,. . .
6. Đóng góp mới của đề tài
Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải một số bài toán trong
thực tế.
Chương 1
Phương pháp phần tử hữu hạn cho
bài toán biên một chiều
1.1. Sự khác nhau giữa phương pháp phần tử hữu hạn và phương
pháp sai phân
Phương pháp sai phân hữu hạn (PPSPHH) là một phương pháp khác để giải
số phương trình vi phân. Sự khác nhau giữa phương pháp phần tử hữu hạn
(PPPTHH) và PPSPHH là:
• PPSPHH xấp xỉ bài toán phương trình vi phân; còn PPPTHH thì xấp

xỉ lời giải của bài toán này.
• Điểm đặc trưng nhất của PPPTHH là nó có khả năng áp dụng cho những
bài toán hình học và những bài toán biên phức tạp với mối quan hệ rời
rạc. Trong khi đó PPSPHH về căn bản chỉ áp dụng được trong dạng hình
chữ nhật với mối quan hệ đơn giản.
• Điểm đặc trưng của phương pháp sai phân hữu hạn là có thể dễ dàng
thực hiện được.
• Trong một vài trường hợp, PPSPHH có thể xem như là một tập con của
PPPTHH.
• Kết quả của việc xấp xỉ bằng PPPTHH thường chính xác hơn PPSPHH.
Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác.
1.2. Giới thiệu bài toán biên một chiều
Chúng ta xét bài toán biên (D) được cho như sau:
Bài toán (D): Tìm u ∈ V sao cho



−u”(x) = f(x), 0 < x < 1,
u(0) = u(1) = 0,
(1.1)
trong đó f là một hàm liên tục cho trước, V là một không gian hàm nào
đó. Bằng cách lấy tích phân phương trình −u” = f hai lần, ta dễ dàng
thấy rằng bài toán có duy nhất nghiệm u.
Trong thực tế, bài toán biên (D) là mô hình toán học của rất nhiều bài toán
trong thực tế, chẳng hạn như một số bài toán trong cơ học dưới đây:
A. Thanh đàn hồi
Ta xét một thanh đàn hồi cố định ở cả hai đầu và chịu một lực ngang theo
phương tiếp tuyến với cường độ f(x) (Xem hình 1.1). Cho σ(x) là lực đàn
hồi và u(x) là vị trí của x theo phương ngang. Theo các định lí vật lí chúng
ta có

σ(x) = Eu

(Định luật Hooke)
−σ

(x) = f (Phương trình cân bằng)
u(0) = u(1) = 0 (Điều kiện biên)
trong đó E là mô đun đàn hồi. Nếu ở đây ta cho E = 1 và khử biến σ, ta
thu được bài toán (D).
Hình 1.1: Thanh đàn hồi
B. Dây đàn hồi
Xét một dây căng đàn hồi có độ dài l, cố định ở cả hai đầu và chịu tải trọng
theo phương thẳng đứng với cường độ f (Xem hình 1.2). Gọi u(x) là vị trí của
x theo phương thẳng đứng. Theo định luật II Newton, ta thu được bài toán D.
Hình 1.2: Dây đàn hồi
C. Thanh dẫn nhiệt
Cho u là nhiệt độ và q dòng dẫn nhiệt trong một thanh dẫn nhiệt, với một
nguồn nhiệt phân bố cường độ f. Giả sử nhiệt độ bằng không ở điểm kết
thúc, chúng ta có trong trường hợp:
−q = ku

(Định luật Fourier)
q

= f (Bảo toàn năng lượng)
u(0) = u(1) = 0.
Trong đó k là độ dẫn nhiệt. Nếu k = 1 thì ta thu được bài toán (D).
1.3. Công thức biến phân cho bài toán biên 1 chiều
Xét V là không gian hàm được cho bởi:
V :={ v : v liên tục trên [0,1],v


bị chặn, trơn từng khúc trên [0,1]
và v(0) = v(1) = 0}
Trên không gian V , ta xây dựng tích vô hướng như sau
(v, w) :=
1

0
v(x)w(x)dx, v, w ∈ V.
Ta xét phiếm hàm tuyến tính F : V → R được xác định bởi
F (v) :=
1
2
(v

, v

) − (f, v), với v ∈ V.
Các bài toán (M) và (V) được cho như sau:
Bài toán (M): Tìm u ∈ V sao cho F(u) ≤ F (v), ∀v ∈ V
và
Bài toán (V): Tìm u ∈ V sao cho (u

, v

) = (f, v), ∀v ∈ V
Ta có định lý sau:
Định lí 1.3.1. Ba bài toán (D), (M) và (V) là tương đương nhau, tức là
nghiệm của bài toán này là nghiệm của hai bài toán kia và ngược lại.
Chứng minh.

• (D) ⇒ (V). Để chỉ ra nghiệm u của bài toán (D) cũng là nghiệm của bài
toán (V), ta nhân hai vế của phương trình −u” = f với một hàm tùy ý
v ∈ V , v gọi là hàm thử, và tích phân hai vế trên khoảng (0, 1) ta có
−(u

, v) = (f, v), hay −
1

0
u

(x)v(x)dx =
1

0
f(x)v(x)dx. Áp dụng công
thức tích phân từng phần với vế trái và sử dụng điều kiện v(0) = v(1) = 0
ta được:
−
1

0
u

(x)v(x)dx = −u

(x)v(x) |
1
0
+

1

0
u

(x)v

(x)dx
⇔ −(u

, v) = −u

(1)v(1) + u

(0)v(0) + (u

, v

) = (u

, v

);
nên
(u

, v

) = (f, v) ∀v ∈ V. (1.2)
Suy ra u là nghiệm của bài toán (V).

• (V) ⇔ (M). Ta chỉ rằng các bài toán (V) và (M) có cùng nghiệm. Giả
sử u là một nghiệm của bài toán (V), cho v ∈ V và lấy w = v − u để
v = u + w và w ∈ V . Chúng ta có
F (v) = F (u + w) =
1
2
(u

+ w

, u

+ w

) − (f, u + w)
=
1
2
(u

, u

) − (f, u) + (u

, w

) − (f, w) +
1
2
(w


, w

) ≥ F (u)
từ (1.2), (u

, w

) − (f, w) = 0 và (w

, w

) ≥ 0, nên u là một nghiệm của
bài toán (M).
Mặt khác, nếu u là một nghiệm của bài toán (M) thì với mọi v ∈ V và
số thực  ta có
F (u) ≤ F(u + v).
Với u + v ∈ V . Do hàm
g() = F (u + v) =
1
2
(u

, u

) + (u

, v

) +


2
2
(v

, v

) − (f, u) − (f, v),
có cực tiểu khi  = 0 nên g

(0) = 0. Vì g

(0) = (u

, v

) − (f, v), Suy ra u
là một nghiệm của bài toán (V).
Tiếp theo, ta chứng minh nghiệm của bài toán (V) được xác định duy
nhất.
Giả sử u
1
và u
2
là hai nghiệm của bài toán (V), tức là với u
1
, u
2
∈ V ta
có

(u

1
, v

) = (f, v) ∀v ∈ V
(u

2
, v

) = (f, v) ∀v ∈ V
Trừ vế với vế các phương trình trên và chọn v = u
1
− u
2
∈ V , chúng ta
được
1

0
(u

1
− u

2
)
2
.dx = 0,

nên u

1
(x) − u

2
(x) = (u
1
− u
2
)

(x) = 0, ∀x ∈ [0, 1].
Từ đó suy ra (u
1
− u
2
)(x) là không đổi trên [0, 1] cùng với điều kiện biên
u(0) = u(1) = 0 suy ra u
1
(x) = u
2
(x), ∀x ∈ [0, 1]. Tóm lại, chúng ta
đã chỉ ra rằng nếu u là nghiệm của bài toán (D), thì u cũng là nghiệm
của hai bài toán tương đương (M) và (V). Ta có sơ đồ như sau (D) ⇒
(V) ⇔ (M)
• (V) ⇒ (D). Ta chỉ ra nếu u là nghiệm của bài toán (V) thì u cũng là
nghiệm của bài toán (D).Thật vậy, giả sử u ∈ V thỏa mãn
1


0
u

(x)v

(x)dx =
1

0
f(x)v(x)dx, ∀v ∈ V.
Nếu giả thiết u

tồn tại và liên tục thì sử dụng tích phân từng phần và
điều kiện biên u(0) = u(1) = 0 ta có −
1

0
(u

(x) + f(x))v(x)dx = 0, ∀v ∈
V .Nhưng do giả thiết (u

+ f) liên tục nên (u

+ f)(x) = 0, 0 < x < 1
và suy ra u là nghiệm của bài toán (D). Như vậy chúng ta đã thấy rằng
nếu u là nghiệm của bài toán (V) và thỏa mãn thêm giả thiết chính quy
(u

liên tục) thì u là nghiệm của bài toán (D). Ta lại thấy rằng nếu u

là nghiệm của bài toán (V) thì u cũng thỏa mãn giả thiết chính quy và
do đó chúng ta có (V) ⇒ (D) nên ba bài toán (D), (V) và (M) là tương
đương.
1.4. Phương pháp phần tử hữu hạn
1.4.1. Không gian các hàm tuyến tính từng khúc
Do không gian V được xây dựng ở phần trước là không gian vô hạn chiều,
việc tìm nghiệm của bài toán biên (D) trở nên khó khăn. Thay vì tìm nghiệm
trên không gian V , ta sẽ đi tìm nghiệm trên không gian con của V . Ta sẽ xây
dựng không gian con V
h
, hữu hạn chiều, là không gian các hàm tuyến tính liên
tục từng khúc như sau. Trước tiên, ta lấy các điểm 0 = x
0
< x
1
< < x
M
<
x
M+1
= 1 để phân hoạch khoảng (0, 1) thành các khoảng con I
j
= (x
j−1
, x
j
)
với độ dài h
j
= x

j
− x
j−1
, j = 1, , M + 1. Đặt h := max
j=1, ,M+1
h
j
, là
tham số để đo độ mịn của phân hoạch. Không gian con V
h
được định nghĩa
như sau:
V
h
:={ v : v liên tục trên [0,1], tuyến tính trên mỗi khoảng con I
j
và v(0) = v(1) = 0}
Hình 1.3: Ví dụ về một hàm v ∈ V
h
Ta nhận thấy rằng V
h
⊂ V và có số chiều hữu hạn. Để xây dựng một cơ sở
của V
h
, ta chọn các hàm cơ sở ϕ
i
∈ V
h
, i = 1, . . . , M được xác định như sau:
ϕ

i
(x) :=













0, nếu x < x
i−1
h
i
x − x
i−1
/h
i
, nếu x
i−1
≤ x < x
i
−h
i+1
x − x

i+1
/h
i+1
, nếu x
i
≤ x < x
i+1
0, nếu x ≥ x
i+1
Mỗi hàm cơ sở ϕ
i
là hàm tuyến tính từng khúc, liên tục, nhận giá trị bằng 1
tại x
i
và bằng 0 tại các điểm nút khác (xem Hình 1.4).
Hình 1.4: Là hàm cơ sở của ϕ
i
Với mỗi hàm v ∈ V
h
, đặt η
i
= v(x
i
), i = 0, . . . , M + 1. Khi đó hàm v có
thể biểu diễn theo cơ sở {ϕ
1
, ϕ
2
, . . . , ϕ
n

} như sau:
v(x) =
M

i=0
η
i
ϕ
i
(x), x ∈ [0, 1].
1.4.2. Tìm nghiệm trên không gian các hàm tuyến tính từng khúc
Trên không gian V
h
, các bài toán (D
h
), (M
h
) và (V
h
) được phát biểu như
sau:
Bài toán (D
h
): Tìm u ∈ V
h
sao cho



−u”(x) = f(x), 0 < x < 1,

u(0) = u(1) = 0
Bài toán (M
h
): Tìm u
h
∈ V
h
sao cho F (u
h
) ≤ F (v), ∀v ∈ V
h
Bài toán (V
h
): Tìm u
h
∈ V
h
sao cho (u

h
, v

) = (f, v), ∀v ∈ V
h
Ta có định lí sau đây:
Định lí 1.4.1. Ba bài toán (D
h
), (M
h
) và (V

h
) là tương đương nhau.
Chứng minh. Chứng minh hoàn toàn tương tự như Định lý 1.3.1.
Nhờ Định lý trên, thay vì việc giải bài toán (D
h
) trên không gian con V
h
,
bây giờ ta sẽ đi tìm nghiệm của bài toán (D
h
) như sau:
(V
h
): Tìm u
h
∈ V
h
sao cho
(u

h
, v

) = (f, v) ∀v ∈ V
h
. (1.3)
Để giải bài toán (V
h
), ta nhận thấy mỗi v ∈ V
h

đều là tổ hợp tuyến tính của
các hàm cơ sở ϕ
i
∈ V
h
, i = 1, . . . , M. Do đó, nếu u
h
∈ V
h
thỏa mãn (1.3), thì
các hàm cơ sở ϕ
i
∈ V
h
, i = 1, . . . , M, cũng sẽ thỏa mãn (1.3), tức là:
(u

h
, ϕ

i
) = (f, ϕ
i
), i = 1, . . . , M. (1.4)
Ngược lại, nếu tất cả các hàm cơ sở ϕ
i
∈ V
h
cũng sẽ thỏa mãn (1.3), với mọi
i = 1, . . . , M, thì bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính, ta thấy u

h
cũng thỏa mãn
(1.3).
Do u
h
(x) =

M
i=0
η
i
ϕ
i
(x), nên ta có thể viết (1.4) dưới dạng :
M

i=0
η
i
(ϕ

i
, ϕ

j
) = (f, ϕ
j
) j = 1, . . . , M. (1.5)
Hệ phương trình (1.5) chính là một hệ phương trình tuyến tính với M phương
trình, M ẩn η

1
, . . . , η
M
. Dạng ma trận của hệ (1.5) được cho dưới dạng
Aη = b, (1.6)
trong đó A = (a
ij
) là ma trận cỡ M × M, b
i
= (f, ϕ
i
) là véc tơ M chiều
A =







a
11
· · a
1M
· · · ·
· · · ·
a
M1
· · a
MM








, η =







η
1
·
·
η
M







, b =








b
1
·
·
b
M







Các phần tử a
ij
= (ϕ

i
, ϕ

j
) trong ma trận A có thể dễ dàng tính được. Trước
tiên chúng ta nhận thấy rằng (ϕ


i
, ϕ

j
) = 0 nếu |i − j| > 1 vì trong trường
hợp này hoặc là ϕ
i
(x), hoặc là ϕ
j
(x), bằng 0. Như vậy, ma trận A là ma trận
3- đường chéo, tức là, chỉ các phần tử trong đường chéo chính và hai đường
chéo liền kề khác 0 với j = 1, , M. Bằng các tính toán đơn giản, ta thu
được:
a
jj
= (ϕ

j
, ϕ

j
) =

x
j
x
j−1
1
h
2

j
dx +

x
j+1
x
j
1
h
2
j+1
dx =
1
h
j
+
1
h
j+1
,
với j = 1, , M, và
a
j,j−1
= (ϕ

j
, ϕ

j−1
) = (ϕ


j−1
, ϕ

j
) = −

x
j
x
j−1
1
h
2
j
dx = −
1
h
j
,
với j = 2, , M. Hơn nữa, A là ma trận đối xứng vì (ϕ

i
, ϕ

j
) = (ϕ

j
, ϕ


i
), do
đó
a
j−1,j
= a
j,j−1
= −
1
h
j
, với j = 2, , M.
Như vậy các phần tử của ma trận A đều tính được theo các công thức ở trên.
Ta nhận xét rằng A là ma trận xác định dương vì với mỗi η ∈ R
M
, ta chọn
v(x) :=

M
j=1
η
j
ϕ
j
(x) và có
η
T
Aη =
M


i,j=1
η
i
(ϕ

i
, ϕ

j
)η
j
− (
M

i=1
η
i
ϕ

i
,
M

j=1
η
j
ϕ

j

) = (v

, v

)  0,
Dấu bằng xảy ra nếu v

≡ 0. Từ v(0) = 0 suy ra v ≡ 0, tức là η
j
= 0
với j = 1, , M. Do vậy A là ma trận xác định dương. Chúng ta nhắc lại
rằng ma trận M × M đối xứng A = (a
ij
) được gọi là xác định dương nếu
η
T
Aη =

M
i,j=1
η
i
a
ij
η
j
> 0, ∀η ∈ R
M
, trong đó η
T

là vectơ hàng chuyển vị
của vectơ η. Chúng ta cũng nhớ lại rằng một ma trận đối xứng A là xác định
dương khi và chỉ khi các giá trị riêng của A là dương.
Do ma trận A xác định dương là không suy biến ta suy ra hệ tuyến tính
(1.6) có một nghiệm duy nhất. Chúng ta cũng lưu ý rằng A là thưa, tức là,
chỉ có một vài phần tử của A khác 0 (A là ma trận 3-đường chéo). Điều này
là quan trọng, vì nó sẽ làm đơn giản việc giải hệ phương trình tuyến tính.
Độ thưa của ma trận A phụ thuộc vào cách ta chọn các hàm cơ sở ϕ
j
∈ V
h
.
Trong trường hợp trên, ta chọn ϕ
j
= 0 trên một khoảng và chỉ giao với một
hai hàm cơ sở lân cận. Việc lựa chọn các hàm cơ sở này là một đặc trưng của
phương pháp phần tử hữu hạn.
Ví dụ 1.4.1. Trong trường hợp đặc biệt ta phân hoạch (0, 1) thành các khoảng
đều nhau, ta sẽ thu được hệ phương trình sau
1
h
















2 −1 0 · · · · 0
−1 2 −1 0 · · · ·
0 −1 2 · · · · ·
· 0 · · · · · ·
· · · · · · · 0
· · · · · · 2 −1
0 · · · · 0 −1 2































η
1
·
·
·
·
·
η
M
















=















b
1
·
·
·
·
·

b
M















, (1.7)
trong đó h là độ dài của mỗi khoảng chia.
Tóm lại, trong mục này, chúng ta đã thấy rằng phương pháp phần tử hữu
hạn dẫn đến một hệ tuyến tính các phương trình với ma trận thưa, đối xứng
và xác định dương. Giải hệ phương trình tuyến tính này, ta sẽ thu được
nghiệm của bài toán được cho trong không gian các hàm tuyến tính từng
khúc.
1.5. Ước lượng sai số cho phương pháp phần tử hữu hạn
Gọi u
h
là nghiệm của bài toán biên (D) được tìm theo phương pháp phần tử
hữu hạn trong mục trước, tức là u
h

∈ V
h
, (V
h
là không gian các hàm tuyến
tính từng khúc, hữu hạn chiều). Gọi u là nghiệm của bài toán biên (D) trong
không gian V , không gian vô hạn chiều. Ta đặt câu hỏi rằng, liệu nghiệm u
h
có phải là xấp xỉ của nghiệm u hay không?
Muốn vậy, ta sẽ đánh giá sai số |u −u
h
|. Nếu sai số này là nhỏ thì ta có thể
kết luận như trên. Đồng thời, đánh giá sai số cũng giúp ta biết rằng: để thu
được nghiệm xấp xỉ ngày càng tốt, ta cần phải gia tăng số chiều của không
gian V
h
, tức là phải xây dựng không gian V
h
với các điểm chia ngày càng mịn,
tức là h nhỏ.
Định lí 1.5.1. Sai số của nghiệm xấp xỉ u
h
và nghiệm đúng u được đánh giá
như sau:
|u(x) − u
h
(x)|  h max
0≤y≤1
|u


(y)| với 0 ≤ x ≤ 1 (1.8)
Bổ đề 1.5.1. Với mọi v ∈ V
h
ta có (u − u
h
)

  (u − v)

.
Chứng minh. Ta có các phương trình sau đây :
((u − u
h
)

, v

) = 0 ∀v ∈ V
h
. (1.9)
Nhắc lại (u

, v

) = (f, v)∀v ∈ V
h
nên từ V
h
⊂ V có
(u


, v

) = (f, v)∀v ∈ V
h
. (1.10)
Trừ (1.3) cho (1.10), chúng ta có được (1.9). Ta sẽ sử dụng kí hiệu w =
(w, w)
2
= (

1
0
w
2
.dx)
1
2
.
. là chuẩn liên quan đến tích vô hướng (., .). Chúng ta cũng nhắc lại Bất
đẳng thức Cauchy :
|(v, w)|  v w . (1.11)
Ta sẽ chứng minh đánh giá cho u − u
h
bằng cách chỉ ra rằng u
h
là xấp xỉ tốt
nhất có thể của nghiệm chính xác u. Với v ∈ V
h
tùy ý và đặt w = u

h
− v.
Khi đó w ∈ V
h
và sử dụng (1.9) với v thay thế bằng w và sử dụng bất đẳng
thức Cauchy, ta có
(u − u
h
)


2
= ((u − u
h
)

, (u − u
h
)

) + ((u − u
h
)

, w

) = ((u − u
h
)


, (u −
u
h
+ w)

) = ((u − u
h
)

, (u − v)

)  (u − u
h
)

 (u − v)

 . Chia hai vế cho
(u − u
h
)

 ta được bổ đề (1.5.1) (nếu (u − u
h
)

 = 0, rõ ràng đúng). Từ bổ
đề (1.5.1) ta có thể có được một đánh giá định lượng cho sai số (u − u
h
)



bằng cách ước tính


(u −

u
h
)



với

u
h
∈ V
h
là hàm được lựa chọn phù hợp.
Chúng ta sẽ chọn

u
h
∈ V
h
là đa thức nội suy của u tại các nút x
j
, tức là:


u
h
(x
j
) = u(x
j
), j = 0, , M + 1.
Dễ thấy, nếu

u
h
∈ V
h
được chọn theo cách này thì với 0  x  1 ta có


u

(x) −

u
h



 h max
0≤y≤1
|u

(y)| , (1.12)



u

(x) −

u
h




h
2
8
max
0≤y≤1
|u

(y)| . (1.13)
Từ (1.12) và bổ đề (1.5.1), ta có đánh giá cho sai số u − u
h
sau đây:
|(u − u
h
)

|  h max
0≤y≤1
|u


(y)| . (1.14)
Hình 1.5: Đa thức nội suy u
h
Từ (u − u
h
)(0) = 0 và (1.14) ta có:
|u(x) − u
h
(x)|  h max
0≤y≤1
|u

(y)| với 0 ≤ x ≤ 1
Chúng ta quan sát rằng ước lượng sau này ít sắc nét hơn so với ước lượng
(1.13) cho các lỗi nội suy, nơi chúng ta có một yếu tố h
2
. Với một phân tích
chính xác hơn nó có thể cho thấy rằng trên thực tế cũng là phương pháp
phần tử hữu hạn cho một yếu tố h
2
cho các lỗi u − u
h
.
Chúng ta hãy lưu ý rằng định lượng u, đại diện cho một biến dạng hoặc một
ước lượng trong ví dụ A và B ở trên, thường là lớn hơn (hoặc ít nhất là không
nhỏ hơn) quan tâm thực tiễn có lợi hơn so với đại lượng u trong chính nó, đại
diện cho một trong các trường hợp phép dời hình. Do đó, ước lượng (1.14)
được điều khiển độc lập và không chỉ là một bước trên đường đến một ước
tính của u − u

h
. Chúng ta cũng nhận thấy rằng để chứng minh (1.14), chúng
ta không cần phải cụ thể xây dựng

u
h
(mà sẽ đòi hỏi kiến thức về các nghiệm
chính xác u); chúng ta chỉ có thể hy vọng sẽ đưa ra một ước tính của lỗi nội
suy, ví dụ mẫu (1.12), (1.13). Tóm lại, bằng bổ đề (1.5.1) ta có những thông
tin định tính (u − u
h
)

 là "càng nhỏ càng tốt" và cũng sử dụng ước tính
nội suy (1.12), chúng ta có được những ước lượng sai số (1.14), trong đó đặc
biệt cho thấy các lỗi dần tiến tới 0 khi độ dài tối đa hoặc dần tiến tới 0 nếu
u

bị chặn trên [0,1].
Chương 2
Phương pháp phần tử hữu hạn cho
phương trình Poisson
2.1. Bài toán biên cho phương trình Poisson
Chúng ta xét bài toán biên (D) cho phương trình Poisson được cho như sau:
Bài toán (D): Tìm u ∈ V sao cho



−∆u = f trong Ω
u = 0 trên Γ

(2.1)
trong đó Ω là miền mở bị chặn trong R
2
với biên Γ, f là một hàm cho
trước và ∆u =
∂
2
u
∂x
2
1
+
∂
2
u
∂x
2
2
, V là một không gian hàm nào đó.
Một số bài toán trong vật lí và cơ học được mô hình hóa dưới dạng (2.1),
chẳng hạn u thể hiện cho nhiệt độ, hoặc điện thế, từ tính, hoặc là độ dịch
chuyển của một màng co dãn, như trong hình minh họa dưới đây:
Hình 2.1:
2.2. Công thức biến phân cho phương trình Poisson
Xét V là không gian hàm được cho bởi:
V :={ v : v liên tục trên Ω,
∂v
∂x
1
và

∂v
∂x
2
liên tục từng mảnh trên Ω và
V = 0 trên Γ }.
Trên không gian V , ta xây dựng tích vô hướng như sau
(v, w) :=

Ω
v(x)w(x)dx, v, w ∈ V.
Ta xét phiếm hàm tuyến tính F : V → R được xác định bởi
F (v) :=
1
2
a(v, v) − (f, v), với v ∈ V,
trong đó a(u, v) :=

Ω
u.  vdx =

Ω

∂u
∂x
1
∂v
∂x
1
+
∂u

∂x
2
∂v
∂x
2

dx. Ta xét hai bài
toán (M) và (V) được cho như sau:
Bài toán (M): Tìm u ∈ V sao cho F(u) ≤ F (v), ∀v ∈ V
và
Bài toán (V): Tìm u ∈ V sao cho a(u, v) = (f, v), ∀v ∈ V
Ta có định lý sau:
Định lí 2.2.1. Ba bài toán (D), (M) và (V) là tương đương nhau, tức là
nghiệm của bài toán này là nghiệm của hai bài toán kia và ngược lại
Chứng minh.
• (D) ⇒ (V). Để chỉ ra nghiệm u của bài toán (D) cũng là nghiệm của
bài toán (V), ta nhắc lại công thức Green như sau:

Ω
v.  wdx =

Ω

∂v
∂x
1
∂w
∂x
1
+

∂v
∂x
2
∂w
∂x
2

dx =

Γ

v
∂w
∂x
1
n
1
+ v
∂w
∂x
2
n
2

ds −

Ω
v

∂

2
w
∂x
2
1
+
∂
2
w
∂x
2
2

dx =

Γ
v
∂w
∂n
ds −

Ω
v∆wdx, tức là,

Ω
v.  wdx =

Γ
v
∂w

∂n
ds −

Ω
v∆wdx, (2.2)
trong đó v biểu thị gradient của v, tức là, v =

∂v
∂x
1
,
∂v
∂x
2

,
∂w
∂n
=
∂w
∂x
1
n
1
+
∂w
∂x
2
n
2

là đạo hàm theo hướng thông thường đối với biên Γ. Ta
nhắc lại định lí phân kì cho mối quan hệ giữa tích phân trong miền và
tích phân trên biên như sau:

Ω
divAdx =

Γ
Ands,
trong đó A = (A
1
, A
2
) là một hàm véc tơ xác định trên Ω, và divA :=
∂A
1
∂x
1
+
∂A
2
∂x
2
. Gọi u = (u
1
, u
2
) là véc tơ pháp tuyến hướng ra ngoài của Γ,
dx là vi phân trong R
2

và ds là vi phân dọc theo Γ. Áp dụng định lí phân
kì đối với A = (vw, 0) và A = (0, vw), ta thu được:

Ω
∂v
∂x
i
.dx +

Ω
v
∂w
∂x
i
.dx =

Γ
vwn
i
.ds, i = 1, 2. (2.3)
Ta nhân (2.1) với một hàm thử tùy ý v ∈ V và lấy tích phân trên Ω.