Phép biến đổi hilbert và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2







NGUYỄN HOÀNG LAN ANH






PHÉP BIẾN ĐỔI HILBERT VÀ ÁP DỤNG



Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÀO









HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau
đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Hoàng Lan Anh
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận
văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi

Hilbert và áp dụng” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân
tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Hoàng Lan Anh
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Tích phân suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Tích phân suy rộng loại 1 (Tích phân trên khoảng vô hạn) 3
1.1.2. Tích phân suy rộng loại 1 của hàm số không âm . . . . . 5
1.1.3. Định lý Dirichlet và định lý Abel . . . . . . . . . . 5
1.1.4. Tích phân hội tụ tuyệt đối. . . . . . . . . . . 6
1.1.5. Tích phân suy rộng loại 2 (Tích phân của hàm không bị
chặn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Tích phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Tích phân phụ thuộc tham số trên một đoạn . . . . . . . . . . . 10
1.2.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3. Tích phân phụ thuộc tham số của các hàm không bị chặn 14
1.3. Biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier. . . . . . . . 17
1.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi
Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.4. Tích chập và biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
i
Chương 2. Phép biến đổi Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Biến đổi Hilbert ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1. Định lý 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2. Định lý 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3. Định lý 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.4. Định lý 2.4. (Công thức Parseval) . . . . . . . . . . 31
2.4. Tích chập của phép biến đổi Hilbert. . . . . . . . 31
Chương 3. Ứng dụng của biến đổi Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1. Bài toán biên đối với phương trình Laplace. . . . . . . 33
3.2. Bài toán về phương trình sóng nội tại phi tuyến . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1. Trường hợp 1 (Lý thuyến Nước Sâu [2], [9]). . . . . 37
3.2.2. Trường hợp 2 (Lý thuyết Nước Nông [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.3. Trường hợp 3 (Lý thuyết sóng nước sâu hữu hạn [5]). . 41
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
ii
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài. Biến đổi tích phân là một phép tính toán tử,
được hình thành từ những năm cuối thế kỷ XIX. Về mặt lịch sử, khái
niệm biến đổi tích phân được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổi
tiếng về lý thuyết khai triển một hàm số thành chuỗi hàm lượng giác
của Fourier và sau đó được phát triển tới tích phân Fourier hay biến
đổi Fourier. Ý nghĩa quan trọng của phép biến đổi tích phân là cung
cấp những phương pháp toán tử hiệu lực để giải quyết những bài toán
về phương trình vi phân, phương trình sai phân và phương trình tích
phân. Về lĩnh vực này phải kể đến hai phép biến đổi tích phân được
đánh giá rất quan trọng không chỉ trong Toán học mà còn nhiều ngành

khoa học kỹ thuật khác, đặc biệt là trong lĩnh vực Vật lý học, đó là biến
đổi Fourier và biến đổi Laplace.
Năm 1912, nhà Toán học David Hilbert (1862 - 1943) đã đăng bài báo rất
nổi tiếng về Toán học trong việc giải quyết một lĩnh vực thuộc phương
trình tích phân. Trong bài báo này, ông đã giới thiệu một phép biến đổi
tích phân, như ngày nay được gọi là phép biến đổi Hilbert. Tuy nhiên,
phép biến đổi này cùng các tính chất cơ bản của nó được hoàn thiện
một cách chi tiết bởi hai nhà Toán học G. H. Hardy (năm 1924) và E.
C. Titchmarsh trong suốt những năm 1925 - 1930.
Phép biến đổi Hilbert được xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của Toán học
ứng dụng, các bài toán thuộc lĩnh vực Vật lý - Toán và nhiều vấn đề
thuộc lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác. Trong thời điểm đương thời xuất
1
hiện phép biến đổi này, người ta chỉ biết đến vai trò của nó trong một
số lĩnh vực về cơ học chất lỏng, khí động học, xử lý tín hiệu và điện tử
học mà chưa thấy được đầy đủ những ứng dụng như ngày nay.
Được sự định hướng của người hướng dẫn, cùng với mong muốn thêm
nữa về việc tìm hiểu tính hiệu lực của phép biến đổi trong một số lĩnh
vực khác, tôi chọn đề tài ”Phép biến đổi Hilbert và áp dụng" để
hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành
Toán giải tích.
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu về
phép biến đổi Hilbert và một số áp dụng của nó.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu về khái niệm và
một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Hilbert, phép biến đổi Hilbert
ngược, mối quan hệ giữa phép biến đổi Hilbert và một số phép biến đổi
tích phân khác.
Nghiên cứu ứng dụng của phép biến đổi Hilbert trong việc giải Bài toán
biên đối với phương trình Laplace; Bài toán về phương trình sóng nội
tại phi tuyến.

4. Phương pháp nghiên cứu. Tra mạng tìm tài liệu, phân tích và
tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn.
5. Dự kiến đóng góp của đề tài. Trình bày một cách có hệ thống về
khái niệm cùng các tính chất cơ bản của phép biến đổi Hilbert.
Trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Hilbert.
2
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Tích phân suy rộng
1.1.1. Tích phân suy rộng loại 1 (Tích phân trên khoảng vô hạn)
Định nghĩa 1.1. Cho hàm f (x) xác định trên [a, +∞). Giả sử rằng
f(x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b] với b > a. Nếu tồn tại
lim
b→+∞
b

a
f(x)dx (∗) thì giới hạn đó gọi là tích phân suy rộng loại 1
của hàm f(x) trên đoạn [a, +∞) và ký hiệu là
+∞

a
f(x)dx. Như vậy
+∞

a
f(x)dx = lim
b→+∞
b


a
f(x)dx. (1.1)
Nếu giới hạn (∗) tồn tại và hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ. Nếu giới
hạn (∗) bằng ±∞ hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân phân kỳ.
Tương tự, nếu f(x) xác định trên (−∞, a] thì ta định nghĩa
a

−∞
f(x)dx = lim
b→−∞
b

a
f(x)dx.
Nếu f (x) xác định trên (−∞, +∞) thì ta định nghĩa
+∞

−∞
f(x)dx =
a

−∞
f(x)dx +
+∞

a
f(x)dx.
3
Trong định nghĩa cuối cùng , nếu tích phân tồn tại thì không phụ thuộc
vào việc chọn số a.

Ví dụ 1.1. Tính tích phân suy rộng
+∞

1
dx
x
2
Bởi vì
b

1
dx
x
2
= −
1
x




b
1
= 1 −
1
b
nên tích phân hội tụ và ta có
+∞

1

dx
x
2
= lim
b→∞

1 −
1
b

= 1.
Định lý 1.1. (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ). Giả sử f (x) là hàm số
xác định trên [a, +∞). Giả sử rằng f(x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn
[a, b] với b > a. Khi đó, tích phân
+∞

a
f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi: với
mọi ε > 0 tồn tại b
0
> a sao cho với mọi b

, b

> b
0
ta có







b


b

f(x)dx






< ε.
Định lý 1.2. Giả sử f(x) là hàm số xác định trên [a, +∞). Giả sử rằng
f(x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b] với b > a. Khi đó, tích phân
+∞

a
f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi tích phân
+∞

c
f(x)dx với c > a cũng hội
tụ và
+∞

a

f(x)dx =
c

a
f(x)dx +
+∞

c
f(x)dx.
Định lý 1.3. Giả sử các tích phân
+∞

a
f(x)dx và
+∞

a
g(x)dx hội tụ. Khi
4
đó, tích phân
+∞

a
(α.f(x) ± β.g(x))dx; với α và β là các hằng số thực,
cũng hội tụ và ta có
+∞

a
(α.f(x) ± β.g(x))dx = α
+∞


a
f(x)dx ± β
+∞

a
g(x)dx.
1.1.2. Tích phân suy rộng loại 1 của hàm số không âm
Định lý 1.4. Cho f (x) và g(x) là các hàm số xác định trên [a, +∞).
Giả sử 0 ≤ f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [a, +∞). Khi đó
(i) Nếu
+∞

a
g(x)dx hội tụ thì
+∞

a
f(x)dx hội tụ;
(ii) Nếu
+∞

a
f(x)dx phân kỳ thì
+∞

a
g(x)dx phân kỳ.
Định lý 1.5. Cho f (x) và g(x) là các hàm không âm trên [a, +∞) và
có

lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= k ∈ (0, +∞).
Khi đó các tích phân
+∞

a
f(x)dx và
+∞

a
g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng
phân kỳ.
1.1.3. Định lý Dirichlet và định lý Abel
Định lý 1.6. (Dấu hiệu Dirichlet). Cho f (x) và g(x) là các hàm xác
định và liên tục trên [a, +∞). Giả sử rằng
(i) Hàm số f (x) có nguyên hàm F (x) bị chặn trên [a, +∞), tức là
5
tồn tại số M > 0 sao cho
|F (b)| =






b


a
f(x)dx






≤ M, với mọi a ≤ b < +∞;
(ii) Hàm số g(x) có đạo hàm liên tục trên [a, +∞) và đơn điệu về
0 khi x → +∞.
Khi đó, tích phân
+∞

a
f(x).g(x)dx hội tụ.
Định lý 1.7. (Abel). Cho f(x) và g(x) là các hàm xác định và liên tục
trên [a, +∞). Giả sử rằng
(i) Tích phân
+∞

a
f(x)dx hội tụ;
(ii) Hàm số g(x) có đạo hàm liên tục trên [a, +∞) và đơn điệu bị
chặn trong khoảng đó, tức là tồn tại số M > 0 sao cho
|g(x)| ≤ M với mọi x ∈ (a, +∞] .
Khi đó, tích phân
+∞

a

f(x).g(x)dx hội tụ.
1.1.4. Tích phân hội tụ tuyệt đối
Định nghĩa 1.2. Tích phân
+∞

a
f(x)dx được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu
tích phân
+∞

a
|f(x)|dx hội tụ. Nếu một tích phân hội tụ nhưng không
hội tụ tuyệt đối thì ta nói tích phân đó bán hội tụ.
6
Định lý 1.8. Nếu tích phân
+∞

a
|f(x)|dx hội tụ thì tích phân
+∞

a
f(x)dx
hội tụ.
1.1.5. Tích phân suy rộng loại 2 (Tích phân của hàm không bị
chặn)
Định nghĩa 1.3. Cho hàm y = f(x) xác định trên đoạn (a, b], không
bị chặn trên trong lân cận của điểm a, nhưng khả tích trên mọi đoạn
[c, b] , c > a. Khi đó, nếu tồn tại lim
ε→0

b

a+ε
f(x)dx (∗∗) thì giới hạn đó gọi
là tích phân suy rộng loại 2 của hàm f(x) trên đoạn [a, b] và ký hiệu là
b

a
f(x)dx. Như vậy
b

a
f(x)dx = lim
ε→0
b

a+ε
f(x)dx. (1.2)
Nếu giới hạn (∗∗) bằng ±∞ hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân phân
kỳ.
Tương tự, nếu f(x) không bị chặn tại a thì ta định nghĩa
b

a
f(x)dx = lim
ε→0
b−ε

a
f(x)dx.

Nếu f (x) không bị chặn tại c thì ta định nghĩa
b

a
f(x)dx = lim
ε→0
c−ε

a
f(x)dx + lim
ε→0
b

c+ε
f(x)dx.
7
Định lý 1.9. (Tiêu chuẩn Cauchy). Giả sử f(x) xác định trên (a, b],
không bị chặn trên trong lân cận của điểm a, nhưng khả tích trên mọi
đoạn [c, b] , a < c ≤ b. Khi đó, tích phân
b

a
g(x)dx hội tụ khi và chỉ
khi với mọi số ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi c

, c

∈ R mà
a < c


≤ c

≤ c

+ δ ≤ b thì ta có






c


c

f(x)dx






< ε.
Định lý 1.10. Cho các hàm số f(x) và g(x) xác định trên (a, b], không
bị chặn tại a, nếu 0 ≤ f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ (a, b] thì
b

a
g(x)dx hội tụ,

kéo theo
b

a
f(x)dx hội tụ;
b

a
f(x)dx phân kỳ, kéo theo
b

a
g(x)dx phân
kỳ.
Định lý 1.11. Cho f(x) và g(x) xác định trên (a, b], không bị chặn tại
a và có
lim
x→a+
f(x)
g(x)
= k ∈ (0, +∞).
Khi đó, tích phân
b

a
f(x)dx và tích phân
b

a
g(x)dx cùng hội tụ hoặc

phân kỳ.
Định nghĩa 1.4. Cho f(x) xác định trên (a, b], không bị chặn tại a.
Tích phân
b

a
f(x)dx gọi là hội tụ tuyệt đối nếu
b

a
|f(x)|dx hội tụ.
Định lý 1.12. Cho f(x) xác định trên (a, b], không bị chặn tại a. Nếu
b

a
|f(x)|dx hội tụ thì tích phân
b

a
f(x)dx hội tụ.
8
Ví dụ 1.2. Xét sự hội tụ của tích phân
1

0
dx
x
α
, với α là số thực cho trước.
Trường hợp 1: α = 1, ta có

1

0
dx
x
= lim
ε→0
1

0+ε
dx
x
= lim
ε→0
(−ln ε) = +∞.
Trường hợp 2: α = 1, thì
1

ε
dx
x
α
=
x
1−α
1 −α





1
ε
=
1
1 −α
−
ε
1−α
1 −α
. Do đó
Nếu α < 1 thì lim
ε→0
1

ε
dx
x
=
1
1 −α
.
Nếu α > 1 thì lim
ε→0
1

ε
dx
x
= +∞.
Như vậy, nếu α ≥ 1 thì tích phân phân kỳ và nếu α < 1 thì tích phân

hội tụ.
Liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng. Xét tích phân suy rộng
b

a
f(x)dx = lim
ε→0
b

a+ε
f(x)dx
Thực hiện phép đổi biến số x = a +
1
y
, ta được
b

a+ε
f(x)dx =
1
ε

1
b −a
f

a +
1
y


dy
y
2
=
1
ε

1
b −a
ϕ(y)dy
9
trong đó ϕ(y) =
1
y
2
f

a +
1
y

. Cho ε → 0 ta được
b

a
f(x)dx =
+∞

1
b −a

ϕ(y)dy.
Vậy bằng những phép biến đổi đơn giản ta luôn đưa được một tích phân
loại này thành loại kia.
1.2. Tích phân phụ thuộc tham số
1.2.1. Tích phân phụ thuộc tham số trên một đoạn
Định nghĩa 1.5. Cho hàm số hai biến số f(x, t) xác định trên hình chữ
nhật R =

(x, t) ∈ R
2
: a ≤ x ≤ b, c ≤ t ≤ d

sao cho với mỗi t ∈ [c, d]
cố định hàm x → f(x, t) khả tích trên đoạn [a, b]. Khi đó, tích phân
I(t) =
b

a
f(x, t)dx; t ∈ [c, d] (1.3)
là một hàm số xác định trên [c, d] và được gọi là tích phân phụ thuộc
tham số của hàm f(x, t) trên đoạn [a, b].
Định lý 1.13. (Tính liên tục). Nếu hàm f (x, t) liên tục trên hình chữ
nhật R = [a, b] ×[c, d], thì tích phân phụ thuộc tham số
I(t) =
b

a
f(x, t)dx,
là hàm liên tục trên đoạn [c, d].
10

Định lý 1.14. (Tính khả vi). Giả sử hàm f(x, t) liên tục trên hình chữ
nhật R = [a, b] × [c, d]. Nếu với mỗi t ∈ [c, d] cố định hàm x → f(x, t)
liên tục trên [a, b] và đạo hàm riêng
∂f
∂t
(x, t) liên tục trong hình chữ
nhật R, thì tích phân phụ thuộc tham số
I(t) =
b

a
f(x, t)dx; t ∈ [c, d]
là hàm khả vi trên đoạn [c, d] và
I

(t) =
b

a
∂f
∂t
(x, t)dx.
Định lý 1.15. (Tính khả tích). Nếu hàm f(x, t) liên tục trên hình chữ
nhật D = [a, b] ×[c, d], thì hàm I(t) =
b

a
f(x, t)dx khả tích trên [c, d] và
ta có công thức
d


c
I(t)dt =
d

c


b

a
f(x, t)dx


dt =
d

c
dt
b

a
f(x, t)dx.
Ví dụ 1.3. Cho hàm
f(x, t) = e
xt
; x ∈ [a, b], t ∈ (−∞, ∞).
Với t = 0, thì f(x, 0) = 1 nên
I(0) =
b


a
f(x, 0)dx =
b

a
dx = b − a.
Với t = 0 thì
I(t) =
b

a
f(x, t)dx =
b

a
e
xt
dx =
1
t
e
xt




x=b
x=a
=

e
bt
− e
at
t
.
11
Như vậy tích phân phụ thuộc tham số
I (t) =

b
a
e
xt
dx =



b −a khi t = 0
1
t
(e
bt
− e
at
) khi t = 0
là một hàm xác định trên (−∞, ∞).
1.2.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
Định nghĩa 1.6. Cho hàm f(x, t) xác định trên tập hợp
R = {(x, t) : a ≤ x < +∞, c ≤ t ≤ d}.

Giả sử, với mỗi t ∈ [c, d] hàm x → f(x, t) khả tích suy rộng trong khoảng
[a, +∞). Khi đó, tích phân
I(t) =
+∞

a
f(x, t)dt (1.4)
là một hàm xác định trên [c, d] và được gọi là tích phân suy rộng phụ
thuộc tham số của hàm f(x, t).
Tích phân trên hội tụ theo nghĩa: với mọi ε > 0 tồn tại b
0
= b
0
(ε, t) ≥ a
sao cho với mọi b > b
0
ta có






b

a
f(x, t)dx − I(t)







< ε.
Tích phân (1.4) được gọi là hội tụ đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại b
0
=
b
0
(ε) ≥ a sao cho với mọi b > b
0
ta có






b

a
f(x, t)dx − I(t)






< ε, với mọi t ∈ [c, d]
12

Định lý 1.16. Tích phân I(t) =
+∞

a
f(x, t)dt hội tụ đều trên [c, d] nếu
và chỉ nếu lim
b→+∞
sup
t∈[c,d]






+∞

b
f (x, t) dx






= 0.
Định lý 1.17. (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của tích phân). Cho
hàm f(x, t) xác định trên tập hợp R = {(x, t) : a ≤ x < +∞, c ≤ t ≤ d}.
Giả sử, với mỗi t ∈ [c, d] hàm f(x, t) khả tích trên mọi đoạn [a, b] với
b > a. Khi đó, tích phân

I(t) =
+∞

a
f(x, t)dt,
hội tụ đều trên [c, d] nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0 tồn tại b
0
≥ a sao cho
với mọi b

≥ b ≥ b
0
ta có






b


b
f(x, t)dx







< ε, với mọi t ∈ [c, d].
Ví dụ 1.4. Cho hàm số f(x, t) = e
−tx
. Giả sử t > 0 cố định, hàm số
x → e
−tx
liên tục trên [0, +∞) nên khả tích trên mọi đoạn [0, b] với
b ≥ 0. Ta có
b

0
e
−tx
dx =

−
1
t
e
−tx





x=b
x=0
=
1
t


1 −e
−tb

.
Do đó
I(t) =
+∞

0
e
−tx
dx = lim
b→∞
b

0
e
−tx
dx =
1
t
.
13
1.2.3. Tích phân phụ thuộc tham số của các hàm không bị chặn
Định nghĩa 1.7. Giả sử hàm f(x, t) xác định trên tập hợp R = (a, b] ×
[c, d] và hàm x → f(x, t) không bị chặn tại a. Nếu tồn tại giới hạn
I(t) = lim
δ→0
b


a+δ
f(x, t)dx, (1.5)
thì giới hạn đó là một hàm số theo biến t ∈ [c, d] và gọi là tích phân phụ
thuộc tham số của hàm không bị chặn và ký hiệu là
I(t) =
b

a
f(x, t)dx.
Tích phân I(t) =
b

a
f(x, t)dx được gọi là hội tụ đều trên [c, d] nếu với
mỗi ε > 0 tồn tại δ
0
> 0 sao cho a + δ
0
< b và






a+δ

a
f(x, t)dx







< ε; với mọi 0 < δ ≤ δ
0
và mọi t ∈ [c, d].
Định lý 1.18. Giả sử hàm f(x, t) liên tục trên tập hợp R = [a, +∞) ×
[c, d] và tích phân
I(t) =
+∞

a
f(x, t)dx,
hội tụ đều trên [c, d] thì hàm số I(t) liên tục trên [c, d].
Định lý 1.19. Giả sử hàm f(x, t) liên tục trên tập hợp R = [a, +∞) ×
[c, d] và tích phân
I(t) =
+∞

a
f(x, t)dx,
14
hội tụ đều trên [c, d]. Khi đó, ta có
d

c
I(t)dt =

+∞

a
dx
d

c
f(x, t)dt;
tức là
d

c
dt
+∞

a
f(x, t)dt =
+∞

a
dx
d

c
f(x, t)dt.
1.3. Biến đổi Fourier
1.3.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.8. (Định nghĩa tích phân Fourier). Tích phân Fourier của
hàm f khả tích tuyệt đối trên toàn trục thực là
+∞


0
[a(y) cos(yx) + b(y) sin(yx)] dy; (1.6)
trong đó
a(y) =
1
π
+∞

−∞
f(t) cos(yt)dt, b(y) =
1
π
+∞

−∞
f(t) sin(yt)dt. (1.7)
Dạng khác của công thức Fourier
f(x) = v.p
1
2π
∞

−∞
dy
∞

−∞
f(t)e
iy(x−t)

dt = 0. (1.8)
Định nghĩa 1.9. (Định nghĩa biến đổi Fourier). Nếu ta đặt
Φ(y) =
1
√
2π
∞

−∞
f(t)e
iyt
dt;
15
thì dạng nói trên của công thức tích phân Fourier trở thành
f(x) = v.p
1
√
2π
∞

−∞
Φ(y)e
ixy
dy.
Người ta gọi phép ứng với mỗi hàm f với hàm số
ˆ
f(y) = Φ(y) = v.p
1
√
2π

∞

−∞
f(t)e
iyt
dt, (1.9)
là phép biến đổi Fourier và thường ký hiệu là F , nghĩa là
ˆ
f = F (f) = Φ.
Tương tự như vậy người ta định nghĩa biến đổi Fourier của hàm ngược
là phép ứng mỗi hàm số f với hàm số
Ψ(y) = v.p
1
√
2π
∞

−∞
f(t)e
iyt
dt; (1.10)
và thường được ký hiệu bởi F
−1
. Như vậy F
−1
[f] = Ψ.
Chú ý. Tích phân Fourier có thêm một dạng nữa
f(x) = v.p
1
2π

∞

−∞
dy
∞

−∞
f(t)e
iy(t−x)
dt = 0.
hay là
f(x) = v.p
1
√
2π
∞

−∞


1
√
2π
∞

−∞
f(t)e
iyt
dt



e
−ixy
dy = 0.
Ví dụ 1.5. Tìm biến đổi Fourier của exp( − ax
2
)
16
Theo định nghĩa ta có
F (k) =
1
√
2π
∞

−∞
e
−ikx−ax
2
dx
=
1
√
2π
∞

−∞
exp

−a


x +
ik
2a

2
−
k
2
4a

dx
=
1
√
2π
exp

−
k
2
4a

∞

−∞
e
−ay
2
dy

=
1
√
2a
exp

−
k
2
4a

Như vậy, biến đổi Fourier của hàm đã cho là hàm F (k) =
1
√
2a
exp

−
k
2
4a

.
1.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
Mệnh đề 1.1. Nếu f là hàm liên tục, khả tích tuyệt đối trên toàn trục
số và có đạo hàm từng phía tại mỗi điểm, thì
F
−1
[F [f]] = F


F
−1
[f]

= f.
Mệnh đề 1.2. Phép biến đổi Fourier và ngược của nó có tính chất tuyến
tính, nghĩa là
F [λ
1
f
1
+ λ
2
f
2
] = λ
1
F [f
1
] + λ
2
F [f
2
]
và
F
−1
[λ
1
f

1
+ λ
2
f
2
] = λ
1
F
−1
[f
1
] + λ
2
F
1
[f
2
] .
Mệnh đề 1.3. Phép biến đổi Fourier cũng như ngược của nó là phép
tương ứng 1 − 1.
17
Mệnh đề 1.4. Phép biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối
(trên toàn trục thực) là một hàm bị chặn (trên toàn trục số) và ngoài
ra ta có



ˆ
f(y)




≤
1
2
√
π
∞

−∞
|f(x)|dx.
Mệnh đề 1.5. Biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối trên
toàn trực thực là một hàm liên tục và tiến tới 0 khi biến số tiến tới −∞
hoặc ∞.
1.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi
Fourier
Mệnh đề 1.6. Nếu hàm khả tích tuyệt đối f có các đạo hàm đến cấp
n liên tục và khả tích tuyệt đối trên toàn trục số thì
F

f
(k)

= (iy)
k
F [f] ; k = 0, 1, 2,
và tồn tại hằng số M sao cho
|F [f]| ≤
M
|y

n
|
.
Mệnh đề 1.7. Nếu hàm f(x) là liên tục và các hàm f (x), xf(x), , x
n
f(x)
là khả tích tuyệt đối trên toàn trục số, thì biến đổi Fourier của f là khả
vi đến bậc n và
i
k
F
(k)
[f] = F

x
k
f

; k = 0, 1, 2, , n.
1.3.4. Tích chập và biến đổi Fourier
18
Định nghĩa 1.10. Tích chập của hai hàm số ϕ và ψ là một hàm số, ký
hiệu là ϕ ∗ ψ được xác định bởi công thức
(ϕ ∗ψ)(x) =
∞

−∞
ϕ(t)ψ(x − t)dt. (1.11)
Tích phân trên tồn tại nếu các hàm ϕ và ψ là bị chặn và khả tích tuyệt
đối. Khi đó, tích phân

∞

−∞
|ϕ(t)ψ(x − t)|dt,
là tích phân hội tụ đều trên toàn trục số (theo dấu hiệu Weierstrass và
|ϕ(t)ψ(x − t)| ≤ M |ϕ(t)| với M là hằng số chặn hàm ψ trên toàn trục
số). Rõ ràng tích chập cũng là một hàm bị chặn bởi hằng số
M
∞

−∞
|ϕ(t)|dt.
Như vậy tích chập của hai hàm liên tục, bị chặn và khả tích trên toàn
trục số sẽ là một hàm khả tích tuyệt đối trên toàn trục số. Hơn nữa, do
tính hội tụ đều, nên phép đổi chỗ các dấu tích phân trong công thức sau
đây là hợp lệ
∞

−∞
|(ϕ ∗ψ)(x)|dx ≤
∞

−∞
dx
∞

−∞
|ϕ(t)ψ(x − t)|dt
=
∞


−∞
|ϕ(t)|dt
∞

−∞
|ψ(x − t)|dx
=
∞

−∞
|ϕ(t)|dt
∞

−∞
|ψ(s)|ds.
19
Do đó, tích chập của hai hàm này cũng là một hàm khả tích tuyệt đối
trên toàn trục số. Như vậy, phép tích chập biến hai hàm trong lớp hàm
liên tục, bị chặn và khả tích tuyệt đối trên toàn trục số thành một hàm
trong chính lớp này.
Ví dụ 1.6. Tìm tích chập của
f(x) = cos x và g(x) = exp(−a |x|) ; a > 0
Theo định nghĩa ta có
(f ∗ g)(x) =
∞

−∞
f(x − ξ)g(ξ)dξ =
∞


−∞
cos(x −ξ)a
−a|ξ|
dξ
=
0

−∞
cos(x −ξ)a
aξ
dξ +
∞

0
cos(x −ξ)a
−aξ
dξ
=
∞

0
cos(x + ξ)a
−aξ
dξ +
∞

0
cos(x −ξ)a
−aξ

dξ
= 2 cos x
∞

0
cos ξa
−aξ
dξ
=
2a cos x
(1 + a
2
)
.
Mệnh đề 1.8. Tích chập có tính chất giao hoán và kết hợp.
Định lý 1.20. (Định lý tích chập). Nếu F {f(x)} = F (k) và F {g(x)} =
G(k). Khi đó
F {f(x) ∗g(x)} = F(k)G(k); (1.12)
hay
f(x) ∗ g(x) = F
−1
{F (k)G(k)}; (1.13)
20