Tài liệu Chương 6 - Biến đổi Laplace và áp dụng trong phân tích hệ thống docx

CHƯƠNG VI
BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ÁP DỤNG
TRONG PHÂN TÍCH HỆ THỐNG
Lê Vũ Hà
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Trường Đại học Công nghệ
2009
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 21
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace của một tín hiệu x(t) được định
nghĩa như sau:
X (s) =

+∞
−∞
x(t)e
−st
dt
với s là một biến phức: s = σ + jω.
Biến đổi Laplace nghịch:
x(t) =
1
j2π

σ+j∞
σ−j∞
X (s)e
st
ds
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 21
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Miền hội tụ của biến đổi Laplace

Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Laplace là một
vùng trong mặt phẳng s sao cho với các giá trị
của s trong miền này thì biến đổi Laplace hội tụ.
Ví dụ:
Miền hội tụ của biến đổi Laplace của tín hiệu u(t) là
nửa bên phải trục jω của mặt phẳng s.
Miền hội tụ của biến đổi Laplace của tín hiệu
x(t) = −u(−t) là nửa bên trái trục jω của mặt phẳng
s.
Hai tín hiệu khác nhau có thể có biến đổi
Laplace giống nhau, nhưng khi đó miền hội tụ
của chúng phải khác nhau.
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 21
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Miền hội tụ của biến đổi Laplace
Miền hội tụ của biến đổi Laplace chỉ phụ thuộc
vào phần thực của biến s.
Miền hội tụ của biến đổi Laplace phải không
chứa các trị cực.
Nếu một tín hiệu có độ dài hữu hạn và tồn tại ít
nhất một giá trị của s để biến đổi Laplace của
tín hiệu đó hội tụ thì miền hội tụ của biến đổi
Laplace khi đó là toàn bộ mặt phẳng s.
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 21
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Miền hội tụ của biến đổi Laplace
Nếu một tín hiệu thuận có miền hội tụ của biến
đổi Laplace chứa đường σ = σ
0
thì miền hội tụ
đó phải chứa toàn bộ phần bên phải σ
0

trong
mặt phẳng s.
Nếu một tín hiệu nghịch có miền hội tụ của biến
đổi Laplace chứa đường σ = σ
0
thì miền hội tụ
đó phải chứa toàn bộ phần bên trái σ
0
trong mặt
phẳng s.
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 21
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Các tính chất của biến đổi Laplace
Tính tuyến tính:
L[αx
1
(t) + βx
2
(t)] = αL[x
1
(t)] + βL[x
2
(t)]
với miền hội tụ chứa ROC[X
1
(s)]

ROC[X
2
(s)].
Dịch thời gian:

L[x(t − t
0
)] = e
−st
0
X (s)
với miền hội tụ là ROC[X (s)].
Dịch trong miền s:
L[e
s
0
t
x(t)] = X (s − s
0
)
với miền hội tụ là ROC[X (s)] dịch đi một khoảng
bằng s
0
.
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 21
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Các tính chất của biến đổi Laplace
Co giãn trục thời gian:
L[x(αt)] =
1
|a|
X

s
a


với miền hội tụ là ROC[X (s)] bị co giãn với hệ
số α.
Đạo hàm:
L

dx(t)
dt

= sX (s)
với miền hội tụ chứa ROC[X (s)].
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 21
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Các tính chất của biến đổi Laplace
Tích phân:
L


t
−∞
x(τ)dτ

=
1
s
X (s)
với miền hội tụ chứa ROC[X (s)]

{σ > 0}.
Biến đổi Laplace của tích chập:
L[x
1

(t) ∗ x
2
(t)] = X
1
(s)X
(
s)
với miền hội tụ chứa ROC[X
1
(s)]

ROC[X
2
(s)].
Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 21