BÀI TOÁN điều KHIỂN CHO một lớp PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN nửa TUYẾN TÍNH đa TRỄ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
****************
NGUYỄN THỊ KIM THÚY
BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO MỘT LỚP
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH ĐA TRỄ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. Trần Đình Kế
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo - tiến sĩ Trần Đình Kế. Tác giả xin bày tỏ
lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với thầy. Thầy đã dành
nhiều thời gian hướng dẫn, chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và kinh
nghiệm quý báu, luôn động viên để tác giả vươn lên trong học tập và
vượt qua những khó khăn trong chuyên môn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội
2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô, đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và
hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng nghề Cơ khí Nông
nghiệp và Khoa Khoa học cơ bản đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả
học tập và hoàn thành tốt luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm sự gúp đỡ động viên của gia đình, bạn
bè, các thành viên lớp cao học Toán giải tích khóa 2012 - 2014 để tác
giả hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2014
Tác giả

Nguyễn Thị Kim Thúy
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Đình Kế, luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Bài toán điều khiển
cho một lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính đa trễ” được
hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Kim Thúy
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Nửa nhóm các toán tử tuyến tính . . . . . . . 5
1.1.1. Nửa nhóm và phần tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Nửa nhóm compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Bài toán điều khiển tuyến tính . . . . . . 10
Chương 2. Bài toán điều khiển phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . 18
2.2. Kết quả bổ trợ . . . . . . . . . 22
2.3. Tính điều khiển được xấp xỉ . . . . . . 37
Chương 3. Ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1. Ứng dụng cho hệ điều khiển xác định bởi phương trình truyền
nhiệt nửa tuyến tính đơn trễ . . . . . . . . . 42
3.2. Ứng dụng cho hệ điều khiển xác định bởi phương trình truyền
nhiệt nửa tuyến tính với hai trễ . . . . . . . . 44
3.3. Ứng dụng cho hệ điều khiển xác định bởi phương trình truyền
nhiệt nửa tuyến tính đa trễ . . . . . . . 48

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điều khiển toán học đối với các hệ vi phân là chủ đề nghiên
cứu lớn. Bài toán điều khiển đối với các hệ vi phân trong không gian
hữu hạn chiều đã được quan tâm nghiên cứu từ những năm đầu của thế
kỷ 20 trước những đòi hỏi của thực tiễn ứng dụng. Theo hướng này, bài
toán điều khiển tuyến tính đã được giải quyết tương đối trọn vẹn. Nhiều
lớp bài toán phi tuyến cũng được các nhà toán học quan tâm nghiên
cứu bằng cách sử dụng phương pháp tuyến tính hóa. Trong những năm
gần đây, bài toán điều khiển đối với các hệ vi phân trong không gian vô
hạn chiều (ví dụ như hệ vi phân thường có trễ hoặc các hệ phương trình
đạo hàm riêng) được nghiên cứu rộng rãi. Một trong những khác biệt so
với bài toán hữu hạn chiều là tính điều khiển được chính xác cho các hệ
vô hạn chiều khó thực hiện được ngay cả với phương trình tuyến tính
(ví dụ bài toán điều khiển với phương trình parabolic). Do vậy, người ta
thường đặt vấn đề về tính điều khiển được xấp xỉ trong những trường
hợp này. Luận văn đặt mục tiêu tìm hiểu về lý thuyết điều khiển vô hạn
chiều thông qua một lớp bài toán điều khiển với phương trình vi phân
2
nửa tuyến tính chứa đa trễ trong không gian Hilbert:
y

(t) = A
0
y(t) +
N


i=1
A
1i
y(t −h
i
) +
N

i=1

0
−h
i
a
i
(s)A
2i
y(t + s)ds
+ G(t, y
t
) + (Bu)(t), 0 ≤ t ≤ b,
y(θ) = ξ(θ), −h ≤ θ ≤ 0.
Các kết quả nghiên cứu trình bày trong bài báo [19] sẽ là những nội
dung nghiên cứu chính của luận văn. Trong đó, lý thuyết điểm bất động
sẽ được sử dụng để chứng minh tính điều khiển được xấp xỉ của hệ vi
phân nói trên dưới các giả thiết hợp lý của các toán tử và hàm phi tuyến
xuất hiện trong phương trình. Đề tài luận văn được chọn là: “ Bài toán
điều khiển cho một lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính
đa trễ”.
2. Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu lý thuyết điều khiển đối với các hệ vi phân vô hạn chiều thông
qua một lớp bài toán điều khiển với phương trình vi phân nửa tuyến
tính đa trễ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu bài toán điều khiển với phương trình vi phân tuyến tính; Tìm
hiểu về lý thuyết điểm bất động; Chứng minh chi tiết các kết quả về
tính điều khiển được xấp xỉ đối với hệ vi phân nửa tuyến tính đa trễ.
3
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: bài toán điều khiển đối với phương trình vi phân
nửa tuyến tính đa trễ trong không gian Hilbert.
Phạm vi: tính giải được và tính điều khiển được xấp xỉ của bài toán nói
trên.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn
đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài
báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới.
6. Đóng góp mới
Chứng minh chi tiết các kết quả về tính điều khiển được xấp xỉ cho hệ
vi phân nửa tuyến tính đa trễ trong bài báo [19]. Cố gắng mở rộng các
kết quả này cho trường hợp không duy nhất nghiệm.
4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Nửa nhóm các toán tử tuyến tính
Trong mục này, chúng tôi trình bày gắn gọn các khái niệm và kết quả
về nửa nhóm liên tục mạnh mà chúng tôi sử dụng trong luận văn. Phần
chứng minh của các mệnh đề có thể tìm thấy trong tài liệu [5].
1.1.1. Nửa nhóm và phần tử sinh
Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian Banach. Một họ toán tử tuyến

tính bị chặn (T (t))
t≥0
trên X gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hay C
0
-nửa
nhóm) trên X nếu nó thỏa mãn
(i) T(0) = I;
(ii) T(t + s) = T (t)T (s), ∀t, s ≥ 0;
(iii) T(.)x : [0, +∞) → X, t → T(t)x liên tục với mỗi x ∈ X.
Nếu các tính chất trên thỏa mãn với mọi t, s ∈ R thì (T (t))
t∈R
là một
nhóm liên tục mạnh trên X.
Định nghĩa 1.2 (Định nghĩa hàm sinh). (T(t))
t≥0
là nửa nhóm liên tục
mạnh trên không gian Banach X. Đặt
D(A) =

x ∈ X : ∃lim
h↓0
T (h)x −x
h

.
5
Toán tử A : D(A) ⊆ X → X, x → Ax = lim
h↓0
T (h)x −x
h

gọi là hàm sinh
của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))
t≥0
.
Mệnh đề 1.1. Hàm sinh của nửa nhóm liên tục mạnh là toán tử tuyến
tính đóng, có miền xác định trù mật trong không gian Banach X và xác
định duy nhất.
A là toán tử tuyến tính đóng.
• Tập giải thức của A là ρ(A) = {λ ∈ C : λI − A là song ánh }.
• Phổ của A là σ(A) = C −ρ(A).
• Giải thức R(λ, A) = (λI −A)
−1
, λ ∈ ρ(A).
Bổ đề 1.1. (T (t))
t≥0
là nửa nhóm liên tục mạnh có hàm sinh A, T (t) ≤
Me
ωt
. Nếu Reλ > ω thì λ ∈ ρ(A) và
R(λ, A) =
∞

0
e
−λs
T (s)ds.
Công thức R(λ, A) :=
∞

0

e
−λs
T (s)ds gọi là công thức biểu diễn tích phân
của giải thức.
Định lý 1.1 (Định lí Hille -Yosida). Điều kiện cần và đủ để một toán tử
tuyến tính đóng A với miền xác định trù mật trong không gian Banach
X sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))
t≥0
là tồn tại các số thực
M, ω sao cho với mọi số thực λ > ω thì λ ∈ ρ(A) và
R(λ, A)
n
 ≤
M
(λ −ω)
n
, n = 1, 2
Trong trường hợp này T (t) ≤ Me
ωt
.
6
Định nghĩa 1.3. A là toán tử tuyến tính đóng, D(A) trù mật trong X.
D(A
∗
) = {x
∗
∈ X
∗
: ∃y
∗

∈ X
∗
:< y
∗
, x >=< x
∗
, Ax >, ∀x ∈ D(A)}. Khi
đó ta định nghĩa toán tử liên hợp A
∗
như sau: A
∗
x
∗
= y
∗
.
Định lý 1.2. A là toán tử tuyến tính đóng có miền xác định trù mật
trong không gian Banach X. Khi đó A sinh ra một nửa nhóm liên tục
mạnh (T (t))
t≥0
trên X thỏa mãn T (t) ≤ e
ωt
, ∀t ≥ 0 khi và chỉ khi với
mọi λ > ω ta có
(λI − A)x
X
≥ (λ − ω)x
X
, x ∈ D(A).
(λI − A

∗
)x
∗

X
∗
≥ (λ − ω)x
∗

X
∗
, x
∗
∈ D(A
∗
).
Đặc biệt nếu X là không gian Hilbert, điều kiện trên được viết lại như
sau
βx
2
≥ Re{< Ax, x >}, x ∈ D(A).
βx
2
≥ Re{< A
∗
x, x >}, x ∈ D(A
∗
).
Cho A ∈ L(X). Xét
T (t) = e

tA
=
∞

k=0
t
k
A
k
k!
.
Dễ thấy vế phải hội tụ và các điều kiện (i), (ii), (iii) được thỏa mãn, vậy
e
tA
là nửa nhóm liên tục mạnh.
1.1.2. Nửa nhóm compact
Định nghĩa 1.4 (Nửa nhóm liên tục tức thì theo chuẩn). Nửa nhóm liên
tục mạnh (T (t))
t≥0
gọi là liên tục tức thì theo chuẩn nếu T(.) : (0, ∞) → L(X)
liên tục theo chuẩn.
7
Định lý 1.3. Giả sử A là hàm sinh của nửa nhóm liên tục mạnh ổn định
mũ đều (T (t))
t≥0
trên không gian Hilbert H (tức là tồn tại  > 0, M ≥ 1
sao cho T (t) ≤ Me
−t
với mọi t ≥ 0). Các tính chất sau tương đương
(i) (T (t))

t≥0
là liên tục tức thì theo chuẩn.
(ii) lim
Rr→±∞
R(ir, A) = 0.
Định nghĩa 1.5. (Nửa nhóm compact)
(i) Nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))
t≥0
gọi là nửa nhóm compact nếu T(t)
compact với mọi t > 0.
(ii) Toán tử tuyến tính A với ρ(A) = 0 có giải thức compact nếu R(λ, A)
là compact với mọi λ ∈ ρ(A).
Định lý 1.4. Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))
t≥0
. Các tính chất sau
tương đương
(i) (T (t))
t≥0
là compact.
(ii) (T (t))
t≥0
là liên tục tức thì theo chuẩn và hàm sinh có giải thức
compact.
1.1.3. Bài toán Cauchy
Định nghĩa 1.6. Xét bài toán:
(ACP )






˙x(t) = Ax(t), t ≥ 0,
x(0) = x
0
ở đó t ∈ R
+
, x(.) là hàm nhận giá trị trong không gian Banach X. Toán
tử A : D(A) ⊆ X → X là tuyến tính, x
0
∈ X là giá trị ban đầu.
8
(i) Bài toán trên gọi là bài toán Cauchy liên kết với (A, D(A)) và có
giá trị ban đầu x
0
.
(ii) Hàm x : R
+
→ X gọi là nghiệm của (ACP) nếu x khả vi liên tục,
x(t) ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và thoả mãn bài toán (ACP).
Nhận xét 1.1. Nếu A là hàm sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))
t≥0
thì x(t) = T (t)x
0
, x
0
∈ D(A), là nghiệm duy nhất của (ACP).
Định nghĩa 1.7. Hàm liên tục x : R
+
→ X được gọi là nghiệm suy
rộng, hay nghiệm tích phân của bài toán (ACP) nếu

t

0
x(s)ds ∈ D(A)
với mọi t ≥ 0 và
x(t) = A
t

0
x(s)ds + x
0
.
Nhận xét 1.2. Nếu A là hàm sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))
t≥0
thì x(t) = T (t)x
0
, x
0
∈ X, là nghiệm tích phân duy nhất của (ACP).
Với f ∈ C([0, t], X). Xét bài toán
˙x(t) = Ax(t) + f(t), (1.1)
x(0) = x
0
. (1.2)
Giả sử x(t) là nghiệm thì
x(t) = T (t)x
0
+
t


0
T (t −s)f(s)ds. (1.3)
Định lý 1.5. Nếu A sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))
t≥0
trên
không gian Banach X và
(i) f ∈ C
1
([0, t], X),
9
(ii) x
0
∈ D(A),
thì (1.3) khả vi liên tục trên [0, t] và là nghiệm của bài toán (1.1)-(1.2).
Bổ đề 1.2. Nếu A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))
t≥0
trên
không gian Banach X và T (t − s)f(s) ∈ D(A) với mọi t > s, f ∈
L
1
([0, t], X) và AT (t − s)f(s) ∈ L
1
([0, t], X) thì (1.3) là nghiệm duy
nhất của (1.1)-(1.2).
Định nghĩa 1.8 (Nghiệm tích phân). Nếu f ∈ L
p
([0, t], X), p ≥ 1 ta
nói rằng
x(t) = T (t)x
0

+
t

0
T (t −s)f(s)ds.
là nghiệm tích phân của (1.1) −(1.2) trên [0, t].
1.2. Bài toán điều khiển tuyến tính
Ta xét bài toán điều khiển sau





˙z(t) = Az(t) + Bu(t), t > 0,
z(0) = z
0
,
(1.4)
trong đó A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh {T (t)} trong không
gian Banach Z, B là toán tử bị chặn từ không gian Banach U vào Z, u
được gọi là yếu tố điều khiển, u ∈ L
p
loc
(R
+
, U), p ≥ 1.
Xét nghiệm tích phân của (1.4)
z(t) = T (t)z
0
+


t
0
T (t −s)Bu(s)ds,
ta kí hiệu nghiệm này là z(·, z
0
, u).
10
Định nghĩa 1.9. Hệ (1.4) được gọi là điều khiển được chính xác trên
[0, t
1
] nếu với mọi z
0
, z
1
∈ Z, tồn tại một điều khiển u ∈ L
p
(0, t
1
; Z) sao
cho nghiệm tích phân tương ứng thỏa mãn z(t
1
) = z
1
.
Kí hiệu B(u) =

t
1
0

T (t
1
− s)Bu(s)ds, u ∈ L
p
(0, t
1
; U). Dễ dàng thấy
rằng (1.4) điều khiển được chính xác trên [0, t
1
] nếu và chỉ nếu RgB = Z.
Mệnh đề sau đây cho ta một phản ví dụ về tính điều khiển được chính
xác.
Mệnh đề 1.2. Nếu toán tử B compact thì B cũng là toán tử compact.
Khi đó nếu dim Z = +∞ thì hệ (1.4) không thể điều khiển được chính
xác.
Trong nhiều ứng dụng, ta thường xét U là không gian hữu hạn chiều.
Khi đó B là toán tử compact và hệ (1.4) không thể điều khiển được
chính xác khi Z là không gian vô hạn chiều. Vì lí do này, ta cần các khái
niệm điều khiển được yếu hơn.
Định nghĩa 1.10. Hệ (1.4) gọi là điều khiển được xấp xỉ trên [0, t
1
] nếu
∀ε > 0, ∀z
0
, z
1
∈ Z, tồn tại điều khiển u ∈ L
p
(0, t
1

; U) sao cho nghiệm
tích phân z(., z
0
, u) thỏa mãn z(t
1
) −z
1
 < ε.
Định nghĩa trên tương đương với RgB = Z.
Định nghĩa 1.11. Hệ (1.4) gọi là điều khiển được chính xác về 0 nếu
∀z
0
∈ Z tồn tại điều khiển u sao cho z(t
1
, z
0
, u) = 0.
Tính điều khiển được về 0 của (1.4) tương đương với RgB ⊃ RgT (t
1
).
Sau đây ta đi tìm các điều kiện cần và đủ cho tính điều khiển được chính
xác (xấp xỉ, về 0) của hệ (1.4). Trước tiên ta cần các bổ đề sau.
11
Bổ đề 1.3. Nếu Z và U là các không gian Banach phản xạ thì toán tử
liên hợp của B được xác định như sau:
B
∗
: X
∗
−→ L

q
(0, t
1
; U
∗
)
x
∗
−→ B
∗
T
∗
(t
1
− ·)x
∗
.
Bổ đề 1.4. Cho V, W, Z là các không gian Banach và F ∈ L(V, Z), G ∈
L(W, Z). Khi đó
1) Các điều kiện sau là tương đương
a) RgF ⊂ RgG.
b) KerF
∗
⊃ KerG
∗
.
2) Nếu V, W và Z là phản xạ thì các điều kiện sau là tương đương
a) RgF ⊂ RgG.
b) Tồn tại γ > 0 sao cho F
∗

z
∗

V
∗
 γG
∗
z
∗

W
∗
với mọi z
∗
∈ Z
∗
.
Định lý 1.6. Giả sử p > 1, u ∈ L
p
(0, t
1
; U) và U, X là các không gian
Banach phản xạ. Khi đó hệ (1.4) điều khiển được chính xác nếu và chỉ
nếu ∃γ > 0 sao cho
γB
∗
T
∗
(·)z
∗


L
q
(0,t
1
;U
∗
)
 z
∗

Z
∗
, trong đó
1
p
+
1
q
= 1.
Ví dụ 1.1.
Xét hệ điều khiển đối với phương trình dao động














z
tt
= z
xx
+ u, x ∈ (0, 1), t > 0,
z(0, t) = z(1, t) = 0,
z(x, 0) = z
0
(x).
(1.5)
12
Kí hiệu H = L
2
(0, 1), Az = −z
xx
, z ∈ D(A) với D(A) = H
2
(0, 1) ∩
H
1
0
(0, 1).
Đặt
Aω =



0 I
−A 0




ω
1
ω
2


với D(A) = D(A) ×D(A
1/2
).
Ta biết rằng A sinh ra một nhóm liên tục mạnh trên H = D(A
1/2
) ×H,
kí hiệu là {T (t)}
t≥0
. Với ω = (ω
1
, ω
2
) ∈ H
1
0
(0, 1) × L
2

(0, 1) ta có
T (t)


ω
1
ω
2


=



2[(ω
1
, Φ
n
) cos nπt +
1
nπ
(ω
2
, Φ
n
) sin nπt]Φ
n

2[−nπ(ω
1

, Φ
n
) sin nπt + (ω
2
, Φ
n
) cos nπt]Φ
n


,
với Φ
n
(x) = sin nπx.
Khi đó hệ (1.5) có thể viết lại dưới dạng:
ω

= Aω + Bu với B =


0
I


.
Ta dễ dàng kiểm tra được T
∗
(t) = T (−t) và B
∗
= [0, I]. Lúc này điều

kiện để hệ (1.5) điều khiển được chính xác trên đoạn [0, t
1
] là tồn tại
γ > 0 sao cho:
γB
∗
T
∗
(·)ω
L
2
(0,t
1
;H)
≥ ω
H
. (1.6)
Tính toán trực tiếp, ta có (1.6) tương đương với:
γ
2


n
2
π
2
(ω
1
, Φ
n

)
2

t
1
−
sin 2nπt
1
2nπ

+ (ω
1
, Φ
n
)(ω
2
, Φ
n
)(1 −cos 2nπt
1
)
+(ω
2
, Φ
n
)
2

t
1

+
sin 2nπt
1
2nπ

≥ ω
2
H
.
Chú ý rằng ω
H
tương đương với


n
2
π
2
(ω
1
, Φ
n
)
2
+ (ω
2
, Φ
n
)
2


1
2
,
13
do vậy γ trong (1.6) có thể tìm được nếu
4

t
2
1
−
sin
2
2nπt
1
4n
2
π
2

n
2
π
2
≥ (1−cos 2nπt
1
)
2
, n = 1, 2, và t

1
>




sin 2nπt
1
2nπ




.
Do bất đẳng thức cuối luôn đúng với t
1
> 0 nên điều kiện nói trên được
thỏa mãn. Nói cách khác, hệ (1.5) điều khiển được chính xác trên mọi
đoạn [0, t
1
] với t
1
> 0.
Định lí sau đây cho ta điều kiện để hệ (1.4) điều khiển được xấp xỉ.
Định lý 1.7. Giả thiết như Định lí 1.6. Khi đó, hệ (1.4) điều khiển
được xấp xỉ trên [0, t
1
] khi và chỉ khi

t

1
s=0
KerB
∗
T
∗
(s) = {0}.
Ví dụ 1.2.
Xét hệ điều khiển đối với phương trình truyền nhiệt:





z
t
= z
xx
+ u, x ∈ (0, 1), t > 0,
z(0, t) = z(1, t) = 0, z(x, 0) = z
0
(x).
(1.7)
Toán tử A xác định bởi Az = z
xx
với D(A) = H
2
(0, 1) ∩ H
1
0

(0, 1) sinh
ra nửa nhóm {T (t)} như sau:
T (t)z =
∞

n=1
2e
−n
2
π
2
t
sin nπx

1
0
sin nπy.z(y)dy, z ∈ L
2
(0, 1)
với u ∈ L
2
(0, t
1
; L
2
(0, 1)), B = I và B
∗
= I, T
∗
(t) = T (t), ∀t ≥

0. Ta sẽ chỉ ra rằng hệ (1.7) không thể điều khiển được chính xác
nhưng điều khiển được xấp xỉ. Thật vậy, giả sử tồn tại γ > 0 sao cho
γB
∗
T
∗
(·)z
L
2
(0,t
1
;L
2
(0,1))
≥ z
L
2
(0,1)
.
Khi đó ta có
γ

∞

n=1
2

1 −e
−2n
2

π
2
t
1
2n
2
π
2



1
0
z(y) sin nπydy

2

1
2
≥ z
L
2
(0,1)
. (1.8)
14
Nhưng z
L
2
(0,1)
tương đương với


∞

n=1
2


1
0
z(y) sin nπydy

2

1
2
nên bất đẳng thức (1.8) không thể xảy ra (kiểm tra z(y) = sin nπy).
Mặt khác, nếu z ∈

t
1
s=0
KerB
∗
T
∗
(s) thì ta có
∞

n=1
2e

−n
2
π
2
t
sin nπx

1
0
z(y) sin nπydy = 0, ∀t ∈ [0, t
1
].
Từ đây suy ra

1
0
z(y) sin nπydy = 0, ∀n (xem Bổ đề 1.5) và do đó z = 0.
Vậy theo Định lí 1.7, hệ (1.7) điều khiển được xấp xỉ.
Dưới đây ta xét một ví dụ quan trọng về tính điều khiển được xấp
xỉ, nhưng trước tiên ta cần Bổ đề sau.
Bổ đề 1.5. Giả sử {λ
n
}
n≥1
là dãy số thỏa mãn:
c > λ
1
> λ
2
> ··· > λ

n
> ···
và {a
n
} là dãy số sao cho

∞
i=1
e
λ
i
t
a
i
= 0 với mọi t ∈ [0, t
1
]. Khi đó
a
i
= 0, ∀i.
Xét hệ điều khiển sau





˙z = Az +

m
i=1

b
i
u
i
,
z(0) = z
0
,
(1.9)
trong không gian Hilbert H tách được, trong đó A là toán tử cho bởi:
Az =
∞

n=1
λ
n
r
n

k=1
(Φ
nk
, z)Φ
nk
,
15
ở đây Φ
nk
là các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ
n

(thực) của A.
Khi đó nếu {λ
n
} bị chặn trên thì A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh
{T (t)} xác định bởi
T (t)z =
∞

n=1
e
λ
n
t
r
n

k=1
(Φ
nk
, z)Φ
nk
.
Trong hệ (1.9), b
i
∈ H, u
i
là các hàm thực, u
i
∈ L
p

(0, t
1
), 1 < p < +∞.
Kí hiệu u = (u
1
, , u
m
), Bu =

m
i=1
b
i
u
i
thì u ∈ L
p
(0, t
1
; U). Ngoài ra
B
∗
z = ((b
1
, z), , (b
m
, z)) .
Ta biết rằng hệ (1.9) điều khiển được xấp xỉ trên [0, t
1
] nên từ đẳng thức

∞

n=1
e
λ
n
t
r
n

k=1
(b
j
, Φ
nk
)(z
∗
, Φ
nk
) = 0, t ∈ [0, t
1
], j = 1, , m,
suy ra z
∗
= 0. Từ Bổ đề 1.5, ta có thể phát biểu như sau: Hệ (1.9) điều
khiển được xấp xỉ trên [0, t
1
] nếu từ hệ
r
n


k=1
(b
j
, Φ
nk
)(z
∗
, Φ
nk
) = 0, j = 1, , m; n = 1, 2,
suy ra z
∗
= 0. Từ đây ta có điều kiện tương đương:
rank





(b
1
, Φ
j1
) (b
2
, Φ
j1
) ··· (b
m

, Φ
j1
)
.
.
.
(b
1
, Φ
jr
j
) (b
2
, Φ
jr
j
) ··· (b
m
, Φ
jr
j
)





= r
j
. (1.10)

Từ điều kiện (1.10) ta nhận thấy số các điều khiển (m) của hệ (1.9)
không được nhỏ hơn các bội r
j
.
Xét trường hợp đặc biệt khi H = L
2
(0, 1), Az = z
xx
, D(A) = H
2
(0, 1)∩
H
1
0
(0, 1). Khi đó λ
n
= −n
2
π
2
, là các giá trị riêng đơn (r
n
= 1, ∀n), Φ
j1
(x) =
16
sin jπx. Với m = 1, ta thấy (1.10) trở thành điều khiển đơn giản:

1
0

b
1
(y) sin nπydy = 0, ∀n = 1, 2,
Định lí sau đây cho ta điều kiện về tính điều khiển được về 0 của hệ
(1.4).
Định lý 1.8. Giả sử X và U là các không gian Banach phản xạ và
1 < p < +∞. Khi đó hệ (1.4) điều khiển được về 0 trên [0, t
1
] nếu và
chỉ nếu tồn tại γ > 0 sao cho
γB
∗
T
∗
(·)z
∗

L
q
(0,t
1
;U
∗
)
≥ T
∗
(t
1
)z
∗


Z
∗
, trong đó
1
p
+
1
q
= 1.
17
Chương 2
Bài toán điều khiển phi tuyến
2.1. Đặt vấn đề
Xét tính điều khiển được xấp xỉ với hệ điều khiển cho bởi phương trình
vi tích phân sau
˙y (t) = A
0
y (t) +
N

i=1
A
1i
y (t −h
i
) +
N

i=1

0

−h
i
a
i
(s) A
2i
y (t + s)ds
+ G (t, y
t
) + (Bu) (t) , 0 ≤ t ≤ b, (2.1)
y (θ) = ξ (θ) , −h ≤ θ ≤ 0.
Ở đây, 0 ≤ h
1
≤ h
2
≤ ··· ≤ h
N
= h; y (t) nhận giá trị trong không
gian Hilbert X và u (t) nhận giá trị trong không gian Hilbert U với
t ∈ [0, b]; a
i
: [−h
i
, 0] → R là các hàm bị chặn; A
0
là phần tử sinh của một
C
0

- nửa nhóm compact T (t) trong X ; A
1i
, A
2i
: X → X, i = 1, 2, , N
và B : L
2
(0, b; U) → L
2
(0, b; X) là các toán tử tuyến tính bị chặn;
ξ ∈ C ([ − h, 0]; X) không gian Banach các hàm liên tục từ [ − h, 0] vào
X với chuẩn sup kí hiệu bởi |· |
C
; G : [0, b] × C([ − h, 0]; X) → X được
xác định như sau
G (t, y
t
) = f (t, y
t
) +
0

−h
g (t, s, y
t
, y
t
(s))ds,
18
ở đây f : [0, b]×C([−h, 0]; X) → X và g : [0, b]×[−h, 0]×C([−h, 0]; X)×

X → X là hai phần tử phi tuyến. Với y ∈ C([−h, b] ; X), y
t
là một phần
tử của C ([ −h, 0]; X) xác định tại từng điểm như sau y
t
(θ) = y (t + θ)
với θ ∈ [−h, 0].
Nghiệm của (2.1) với mỗi hàm điều khiển u (·) ∈ L
2
(0, b; U) kí hiệu
bởi y (·; u) gọi là hàm trạng thái của (2.1) ứng với điều khiển u. Nói
riêng, trạng thái của (2.1) tại t=b, y (b; u) được gọi là trạng thái cuối
tương ứng với điều khiển u.
Tập hợp
R
b
(N) :=

y (b; u) : u (·) ∈ L
2
(0, b; U)

gọi là tập đạt được của hệ (2.1). Trong các phần tiếp theo, R
b
(N) được
hiểu là bao đóng của R
b
(N) trong X.
Định nghĩa 2.1. Hệ (2.1) gọi là điều khiển xấp xỉ được trên [0, b] nếu
R

b
(N) = X. Ngoài ra, nếu R
b
(N) = X, hệ được gọi là điều khiển chính
xác trên [0, b].
Hệ sau gọi là hệ tuyến tính tương ứng với hệ (2.1):
˙y (t) = A
0
y (t) +
N

i=1
A
1i
y (t −h
i
) +
N

i=1
0

−h
i
a
i
(s) A
2i
y (t + s)ds + (Bu) (t) ,
y (θ) = ξ (θ) , −h ≤ θ ≤ 0. (2.2)

Tập đạt được của (2.2) được kí hiệu là R
b
(L). Tương tự, hệ (2.2) được
gọi là điều khiển xấp xỉ được trên [0, b] nếu R
b
(L) = X.
Phương trình vi tích phân phi tuyến có trễ là mô hình trừu tượng
cho các hệ vi phân hàm hoặc phương trình đạo hàm riêng. Nghiên cứu
19
tính điều khiển được với hệ này có rất nhiều ứng dụng quan trọng.
Balachandran và Dauer [1] đã tóm tắt nhiều kết quả về tính điều khiển
chính xác của các hệ điều khiển khác trong không gian Banach. Ngoài
ra, tính điều khiển chính xác địa phương được nghiên cứu dưới các điều
kiện khác nhau sử dụng nguyên lý ánh xạ co (xem [10, 11]) . Tuy nhiên,
như chứng minh của Triggiani [17], nếu X là không gian Banach vô hạn
chiều, hệ điều khiển tuyến tính
˙y (t) = Ay (t) + Bu (t) , y (0) = y
0
,
là không điều khiển chính xác trên [0, b] nếu B là compact hoặc T (t)
là nửa nhóm compact. Một trong những trường hợp đặc biệt là hệ điều
khiển xác định bởi phương trình đạo hàm riêng parabolic trong miền
bị chặn. Do đó, khái niệm về tính điều khiển chính xác là rất hạn chế
với nhiều phương trình đạo hàm riêng parabolic, tính điều khiển được
xấp xỉ là thích hợp hơn thay cho điều khiển chính xác với nhiều hệ điều
khiển.
Sự điều khiển được xấp xỉ với hệ điều khiển nửa tuyến tính có trễ
được nghiên cứu trong nhiều công trình (xem [2, 18]). Hầu hết trong số
đó đều tập trung vào việc tìm kiếm điều kiện nhiễu phi tuyến sao cho
hệ nửa tuyến tính là điều khiển được xấp xỉ dưới giả thiết về tính điều

khiển được xấp xỉ của hệ tương ứng tuyến tính.
Với hệ điều khiển nửa tuyến tính đa trễ, một số kết quả về tính
điều khiển được xấp xỉ đã được thiết lập. Jeong và Roh [9] đã thảo luận
tính điều khiển được xấp xỉ với một lớp hệ điều khiển có trễ dưới một
vài điều kiện dạng bất đẳng thức. Jeong et al. [8] đã xem xét tính điều
20
khiển được xấp xỉ cho một lớp hệ nửa tuyến tính có trễ dưới với điều
kiện về miền giá trị của toán tử điều khiển. Naito và Park [15], Ryu et
al. [16] đã nghiên cứu tính điều khiển được xấp xỉ cho một hệ Volterra
có trễ. Dauer và Mahmudov [3] đã thảo luận tính điều khiển được xấp
xỉ của hệ nửa tuyến tính trong đó yếu tố điều khiển xuất hiện cả trong
hàm nhiễu phi tuyến. Wang [19] cũng nghiên cứu tính điều khiển được
xấp xỉ với một lớp các hệ điều khiển nửa tuyến tính có trễ.
Luận văn trình bày một nghiên cứu về tính điều khiển được xấp xỉ
của hệ (2.1) theo một số giả thiết tự nhiên liên quan đến độ tăng trưởng
của hạng tử phi tuyến và tính compact của nửa nhóm T (t). Tính điều
khiển được xấp xỉ của hệ (2.1) được chứng minh nếu hệ tuyến tính tương
ứng là điều khiển được xấp xỉ.
Kết quả về tính điều khiển được xấp xỉ trong luận văn này phát
triển kết quả của Jeong trong [8], trong đó các điều kiện về tính Lipschitz
đều hoặc bị chặn đều của hàm phi tuyến được thay thế bằng điều kiện
Lipschitz địa phương và điều kiện về độ tăng trưởng dưới tuyến tính.
Ngoài ra, ta cũng bỏ qua điều kiện phép nhúng D (A
0
) ⊂ V là compact
và hệ (2.1) tổng quát hơn hệ xét trong [8] khi hạng tử phi tuyến G (t, y
t
)
là tổng quát hơn G (t, x) của [8]. Do đó phương pháp sử dụng để chứng
minh tính điều khiển được cũng được cải tiến để xử lý tình huống hàm

G chỉ thỏa mãn tính chất Lipschitz cục bộ.
21
2.2. Kết quả bổ trợ
Chúng ta bắt đầu phần này bằng việc giới thiệu nghiệm cơ bản S (t) của
phương trình tuyến tính tổng quát liên kết với (2.2), nghiệm cơ bản này
nhận giá trị là toán tử
S (t) = T (t) +
t

0
T (t − s) [
N

i=1
A
1i
S (s −h
i
)
+
N

i=1
0

−h
i
a
i
(σ) A

2i
S (s + σ) dσ]ds, S (t) = 0, −h ≤ t < 0, (2.3)
S (0) = I.
Trong đó T (t) là C
0
- nửa nhóm bị chặn trên [0, b]. Ta sẽ chỉ ra rằng
S (t) cũng bị chặn trên [0, b]. Ký hiệu L (X) là không gian Banach các
toán tử tuyến tính bị chặn trên X với chuẩn toán tử. Để đơn giản ta sử
dụng ký hiệu · như là chuẩn trong không gian X, U và L (X) trong
trường hợp không có sự nhầm lẫn nào.
Bổ đề 2.1. S (t) là bị chặn trên [0, b], tức là tồn tại số thực M > 0 sao
cho
max {S (t) : t ∈ [0, b]} := M < ∞.
Chứng minh. Chú ý a
i
là bị chặn trên [−h
i
, 0] , ∀i = 1, 2, , N và T (t)
là C
0
nửa nhóm, ta có
max {a
i
(t) : t ∈ [−h
i
, 0] , i = 1, 2, , N} := K
0
< ∞
và
max {T (t) : t ∈ [0, b]} := K

1
< ∞.
22