Phương pháp điểm bất động cho bất đẳng thức biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2





PHẠM THỊ MINH THU





PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHO BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN



\

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC








HÀ NỘI, 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2






PHẠM THỊ MINH THU





PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHO BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN


Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Lê Dũng Mưu

HÀ NỘI, 2014

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm phòng sau Đại học trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2 cùng các thầy, cô giáo giảng dạy lớp cao học
khóa 16 đợt 2 (2012 - 2014), đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn
thành tốt Luận văn này.
Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS.TSKH Lê Dũng
Mưu, người luôn hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn
thành Luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy,
cô và bạn đọc để Luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 18 tháng 6 năm 2014
Học viên
Phạm Thị Minh Thu
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận
văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
Hà Nội, ngày 18 tháng 6 năm 2014
Học viên
Phạm Thị Minh Thu
ii
Mục lục
Mở đầu 1
1 Điểm bất động của ánh xạ co và không giãn 4
1.1. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Định nghĩa không gian Hilbert và một số ví dụ . 5
1.1.3. Tính trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Điểm bất động của ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Mở rộng nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. Ánh xạ co yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Phương pháp điểm bất động cho bất đẳng thức biến phân 18
2.1. Bài toán VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1. Bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan 18
iii
2.1.2. Sự tồn tại và tính duy nhất . . . . . . . . . . . . 32
iv
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cho K ⊆ R
n
là một tập khác rỗng và F : R
n
→ R
n
là một ánh xạ
từ R
n
vào R
n
. Bài toán bất đẳng thức biến phân (variational inequality,
viết tắt là VI) được phát biểu như sau:
Tìm x ∈ K thỏa mãn F (x) , x −x  0, ∀x ∈ K. (VI)

Điểm x ∈ K thỏa mãn (VI) được gọi là nghiệm của bất đẳng thức biến
phân (VI).
Tập tất cả các điểm x ∈ K thỏa mãn (VI) được gọi là tập nghiệm
của bất đẳng thức biến phân (VI) và được kí hiệu là Sol(VI) hoặc
Sol(VI(F,K)).
Một tiếp cận quan trọng trong nghiên cứu bất đẳng thức biến
phân, đặc biệt là việc nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm và phương pháp
giải là sử dụng các định lý điểm bất động. Ý tưởng chính của cách tiếp
cận này là xây dựng một ánh xạ thích hợp sao cho tập điểm bất động
của ánh xạ này cũng là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân. Cách tiếp cận điểm bất động không chỉ làm việc với không gian
hữu hạn chiều mà còn được sử dụng trong không gian Hilbert.
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự
hướng dẫn của GS.TSKH Lê Dũng Mưu, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài
nghiên cứu: "Phương pháp điểm bất động cho bất đẳng thức biến
phân".
1
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu phương pháp điểm
bất động giải bất đẳng thức biến phân. Cụ thể là sử dụng định lý điểm
bất động Brouwer để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân. Ngoài ra dùng định lý điểm bất động theo nguyên
lý ánh xạ co Banach để chứng tỏ tính duy nhất nghiệm của bất đẳng
thức biến phân đơn điệu mạnh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài nhằm tổng hợp lại một cách có hệ
thống và tương đối đầy đủ những phương pháp điểm bất động đối với
các loại ánh xạ co, ánh xạ không giãn cho một số lớp bài toán bất đẳng
thức biến phân quan trọng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là điểm bất động và bất đẳng
thức biến phân.
2
5. Phương pháp nghiên cứu
Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu.
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Dự kiến đóng góp
Tổng kết một cách có hệ thống và tương đối đầy đủ phương pháp
điểm bất động cho một số lớp bài toán bất đẳng thức biến phân trong
không gian Hilbert. Hy vọng bản thân Luận văn sẽ là một tài liệu tham
khảo cho sinh viên và học viên cao học có quan tâm tới vấn đề này.
3
Chương 1
Điểm bất động của ánh xạ co và
không giãn
Trong luận văn này chúng ta làm việc chủ yếu trên không gian
Hilbert thực H. Dưới đây ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ
bản về không gian Hilbert, điểm bất động của ánh xạ co, ánh xạ không
giãn, Các kiến thức trong chương này được lấy chủ yếu từ các tài liệu
[1], [3].
1.1. Không gian Hilbert
1.1.1. Tích vô hướng
Định nghĩa 1.1.Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P
là trường số thực R). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh
xạ từ tích Descartes X ×X vào trường P kí hiệu (., .), thỏa mãn tiên đề:
1) ∀x, y ∈ X : (x, y) = (y, x);
2) ∀x, y, z ∈ X : (x + y, z) = (x, z) + (y, z);
3) ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ P : (αx, y) = α(x, y);
4
4) ∀x ∈ X : (x, x) > 0, nếu x = θ (θ là phần tử không); (x, x) = 0,

nếu x = θ.
Tích vô hướng liên hệ với độ dài (chuẩn) của các vectơ bởi hệ thức:
(x, x) = x
2
.
1.1.2. Định nghĩa không gian Hilbert và một số ví dụ
Định nghĩa 1.2. Ta gọi một tập H = φ gồm những phần tử
x, y, z, nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều
kiện sau:
1) H là không gian tuyến tính trên trường P ;
2) H được trang bị một tích vô hướng (.,.);
3) H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x), x ∈ H.
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con của không gian H.
Ví dụ 1.1. Ký hiệu R
k
là không gian véctơ thực k chiều. Với
∀x = (x
n
) ∈ R
k
, ∀y = (y
n
) ∈ R
k
ta đặt
(x, y) =
k


n=1
x
n
y
n.
(1.1)
Dễ thấy hệ thức (1.1) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn
sinh ra bởi tích vô hướng (1.1)
x =

(x, x) =




k

n=1
x
2
n
, x = (x
n
) ∈ R
k
.
5
1.1.3. Tính trực giao
Định nghĩa 1.3. Cho không gian Hilbert H. Hai phần tử x, y ∈ H

gọi là trực giao, và ký hiệu x⊥y, nếu (x, y) = 0.
Định nghĩa 1.4. Cho không gian Hilbert H và tập con A ⊂
H, A = φ. Phần tử x ∈ H gọi là trực giao với tập A, nếu x⊥y(∀y ∈ A),
và ký hiệu x⊥A.
Từ các định nghĩa trên suy ra một số tính chất đơn giản sau đây:
1) θ⊥x ∀x ∈ H (θ là ký hiệu phần tử không của không gian Hilbert
H.
2) x ∈ H mà x⊥x thì x = θ.
3) Nếu các phần tử x, y
j
∈ H(j = 1, 2, , n) thỏa mãn điều kiện
x⊥y
j
(j = 1, 2, , n), thì ∀α
j
∈ P (j = 1, 2, , n) ta có x⊥
n

j=1
α
i
.y
j
.
4) Cho phần tử x ∈ H và dãy các phần tử (y
n
) ⊂ H hội tụ tới
y ∈ H theo chuẩn x =

(x, x). Nếu x⊥y

n
∀n ∈ N
∗
thì x⊥y.
5) Cho A là tập con trù mật khắp nơi trong không gian H. Khi
đó, nếu x ∈ H và x⊥A thì x = θ.
Định lý 1.1. (Định lý Pythagore) Nếu x, y ∈ H và x⊥y, thì
x + y
2
= x
2
+ y
2
.
Định lý 1.2. (Định lý về hình chiếu lên không gian con) Cho
không gian Hilbert H và H
0
là không gian con của H. Khi đó phần tử
bất kỳ x ∈ H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
x = y + z, y ∈ H
0
, z⊥H
0
. (1.2)
Phần tử y trong biểu diễn (1.2) gọi là hình chiếu của phần tử x lên không
gian con H
0
.
6
Định nghĩa 1.5. Hệ trực chuẩn (e

n
)
n1
trong không gian Hilbert
H gọi là cơ sở trực chuẩn của không gian H, nếu trong không gian H
không tồn tại véctơ khác không nào trực giao với hệ đó.
Định lý 1.3. (Định lý về đẳng thức Paseval) Cho (e
n
)
n1
là một hệ
trực chuẩn trong không gian Hilbert H. Năm mệnh đề sau tương đương
(từ một mệnh đề suy ra bốn mệnh đề còn lại):
1) Hệ (e
n
)
n1
là cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H;
2) ∀x ∈ H : x =

n1
(x, e
n
)e
n
;
3) ∀x, y ∈ H : (x, y) =

n1
(x, e

n
)(e
n
, y) ;
4) ∀x ∈ H : x
2
=

n1
|(x, e
n
)|
2
(phương trình đóng);
5) Bao tuyến tính của hệ (e
n
)
n1
trù mật khắp nơi trong không
gian H (nghĩa là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn
bất kỳ các phần tử thuộc hệ (e
n
)
n1
trù mật khắp nơi trong không gian H).
1.1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn
Định lý 1.4. (Định lý F.Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên
tục trong không gian Hilbert đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
f(x) = (x, a), x ∈ H,
trong đó phần tử a ∈ H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và

f = a.
Định nghĩa 1.6. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ
7
không gian Hilbert X và không gian Hilbert Y . Toán tử B ánh xạ không
gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu
(Ax, y) = (x, By), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.
Toán tử liên hợp B thường ký hiệu là A
∗
.
Định lý 1.5. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không
gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Khi đó tồn tại toán tử A
∗
là
liên hợp với toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X.
1.2. Điểm bất động của ánh xạ co
1.2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach
Định nghĩa 1.7. Ánh xạ T từ không gian mêtric (X, d) vào không
gian mêtric (Z, ρ) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho
ρ(T x, Ty)  kd(x, y), ∀x, y ∈ X.
Định lý 1.6. (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Cho (X, d) là một
không gian metric đầy đủ và T là ánh xạ co trong X. Khi đó, tồn tại duy
nhất x
∗
∈ X mà T x
∗
= x
∗
. Ngoài ra, với mọi x
0
∈ X ta có T

n
x
0
→ x
∗
khi n → ∞.
Chứng minh. Lấy x
0
tùy ý trong X và đặt x
n+1
= Tx
n
với n = 0, 1, 2
Dễ dàng kiểm tra rằng: d(x
n
, x
n+1
)  k
n
d(x
0
, x
1
).
Lấy m > n, ta có
d(x
n
, x
m
)  d(x

n
, x
n+1
) + + d(x
m−1
, x
m
) (1.3)
8
 (k
n
+ k
n+1
+ + k
m−1
)d(x
0
, x
1
)
 k
n
(1 + k + + k
m−n−1
+ )d(x
0
, x
1
)


k
n
1 −k
d(x
0
, x
1
).
Do đó, { x
n
} là dãy Cauchy và x
n
→ x
∗
∈ X.
Với mỗi n ta có
0  d(x
∗
, T x
∗
)  d(x
∗
, x
n
) + d(x
n
, T x
∗
)
 d(x

∗
, x
n
) + kd(x
n−1
, x
∗
).
Cho n → ∞ ta được d(x
∗
, T x
∗
) = 0, tức là T x
∗
= x
∗
.
Nếu còn có y
∗
∈ X mà T y
∗
= y
∗
thì ta có
d(x
∗
, y
∗
) = d(T x
∗

, T y
∗
)  kd(x
∗
, y
∗
).
Vì k < 1 và x
∗
= y
∗
.
Vậy điểm bất động của T là duy nhất và nguyên lý đã được chứng
minh.
1.2.2. Mở rộng nguyên lý ánh xạ co
Định nghĩa 1.8. Ánh xạ T trong không gian metric (X, d) được
gọi là (, δ)−co nếu với mọi  > 0 đều tồn tại δ > 0 sao cho:
Nếu   d(x, y) <  + δ thì
d(T x, Ty) < . (1.4)
Có thể kiểm tra rằng lớp ánh xạ (, δ)−co chứa cả hai lớp ánh xạ
vừa nêu, và hiển nhiên chứa lớp ánh xạ co vì chỉ cần chọn δ = (1−k)/k.
Tuy nhiên mọi ánh xạ co đều thỏa mãn điều kiện:
Nếu x = y thì
d(T x, Ty) < d(x, y). (1.5)
9
Thật vậy, nếu x = y thì đặt  = d(x, y) > 0 và ta sẽ có  =
d(x, y) <  + δ, nên theo (1.4) ta phải có d(T x, T y) <  = d(x, y).
Lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện (1.5) thường được gọi là “co yếu”.
Hiển nhiên các ánh xạ thuộc lớp này, nếu có điểm bất động thì nó phải
duy nhất.

Định lý 1.7. (xem [3]) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy
đủ và T là một ánh xạ (, δ)−co trong X. Khi đó, T có điểm bất động
duy nhất x
∗
và với mọi x
0
∈ X, ta có T
n
x
0
→ x
∗
khi n → ∞.
Chứng minh. Lấy x
0
∈ X tùy ý, đặt x
n+1
= Tx
n
; c
n
= d(x
n
, x
n+1
), n =
0, 1, 2, Có thể giả thiết c
n
> 0. Vì T là co yếu nên c
n

> 0 là dãy số
không âm và giảm, do đó c
n
→   0. Nếu  > 0 thì tồn tại δ > 0 để
có (1.4). Chọn k ∈ N (tập hợp mọi số tự nhiên) sao cho nếu n  k thì
c
n
<  + δ. Theo (1.4) ta có c
n+1
<  là điều vô lí. Vậy  = 0, tức là
c
n
→ 0.
Ta sẽ chứng minh { x
n
} là dãy Cauchy bằng phản chứng. Giả sử
có  > 0 sao cho với mọi k ∈ N tồn tại n, m  k mà d(x
n
, x
m
)  2. Chọn
k sao cho nếu i  k thì c
i
<
α
4
với α = min{ ,δ} . Chọn m > n  k để
cho d(x
n
, x

m
)  2 và xét các số d(x
n
, x
n+1
), d(x
n
, x
n+2
), , d(x
n
, x
m
).
Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là
|d(x
n
, x
i
) −d(x
n
, x
i+1
)|  d(x
i
, x
i+1
) = c
i
<

α
4
.
Vì d(x
n
, x
n+1
) = c
n
<
α
4


4
, còn d(x
n
, x
m
)  2 nên tồn tại
j ∈ { n, n + 1, , m} sao cho  +
α
2
 d(x
n
, x
j
) <  +
3α
4

. Vì  
d(x
n
, x
j
) <  + δ nên theo (1.4) ta có
d(T x
n
, T x
j
) = d(x
n+1
, x
j+1
) < .
10
Từ đây ta có
d(x
n
, x
j
)  d(x
n
, x
n+1
) + d(x
n+1
, x
j+1
) + d(x

j+1
, x
j
)
<
α
4
+  +
α
4
=  +
α
2
.
Điều này mâu thuẫn với d(x
n
, x
j
)   +
α
2
. Vậy { x
n
} là dãy Cauchy và
x
n
→ x
∗
∈ X.
T là ánh xạ co yếu, với mọi n ta có

d(x
∗
, T x
∗
)  d(x
∗
, x
n+1
) + d(x
n+1,
T x
∗
)
= d(x
∗
, x
n+1
) + d(T x
n
, T x
∗
)
 d(x
∗
, x
n+1
) + d(x
n
, x
∗

).
Cho n → ∞ ta được d(x
∗
, T x
∗
) = 0, tức là x
∗
= T x
∗
.
Vì T là co yếu nên x
∗
là duy nhất. Định lý đã được chứng minh.
1.2.3. Ánh xạ co yếu
Định lý 1.8. Cho (X, d) là một không gian mêtric compact và T
là ánh xạ co yếu trong X. Khi đó T có điểm bất động duy nhất trong X.
Chứng minh. Với mỗi x ∈ X, đặt f(x) = d(x, Tx). Vì T là ánh xạ co yếu
nên cũng liên tục, do đó f là hàm số liên tục trên không gian compact X.
Vậy tồn tại x
0
∈ X sao cho f(x
0
) = min{f(x) : x ∈ X} . Nếu f(x) > 0
thì x
0
= Tx
0
nên f(T x
0
) = d(T x

0
, T
2
x
0
) < d(x
0
, T x
0
) = f(x
0
), mâu
thuẫn. Vậy f(x
0
) = 0 và x
0
là điểm bất động của T. Tính duy nhất
của điểm bất động là hiển nhiên vì T là co yếu. Định lý đã được chứng
minh.
Định lý 1.9. (Định lý điểm bất động Caristi) Cho (X, d) là một
không gian mêtric đầy đủ và hàm số ϕ : X → (−∞, +∞] nửa liên tục
11
dưới và bị chặn dưới. Cho ánh xạ T trong X thỏa mãn điều kiện
d(x, T x)  ϕ(x) − ϕ(T x), ∀x ∈ X. (1.6)
Khi đó, T có điểm bất động trong X.
Trước khi chứng minh Định lý này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng mọi
ánh xạ co thỏa mãn điều kiện (1.6). Thật vậy, với mọi x ta có
d(x, T x) =
d(x, T x)
1 −k

−
kd(x, T x)
1 −k
.
Mặt khác, ta lại có
d(T x, T (T x))  kd(x, T x),
nên d(x, T x)  ϕ(x) − ϕ(T x) với ϕ(x) =
d(x,T x)
1−k
là hàm liên tục.
Chứng minh. Trước hết ta đưa vào quan hệ thứ tự trên X như sau:
x  y khi và chỉ khi d(x, y)  ϕ(x) −ϕ(y).
Dễ kiểm tra đó chính là một quan hệ thứ tự và ϕ là một hàm
không tăng theo quan hệ thứ tự này, tức là nếu x  y thì ϕ(y)  ϕ(x).
Ta sẽ chứng minh trong (X, ) tồn tại phần tử cực đại v. Lấy x
1
∈ X
tùy ý và đặt
S(x
1
) = { y ∈ X : x
1
 y}
= { y ∈ X : d(x
1
, y)  ϕ(x
1
) −ϕ(y)}
= { y ∈ X : d(x
1

, y) + ϕ(y)  ϕ(x
1
)} .
Vì d(x
1
, .) liên tục và ϕ nửa liên tục dưới nên S(x
1
) đóng.
Đặt α
1
= inf{ϕ(y) : y ∈ S(x
1
)} . Khi đó tồn tại x
2
∈ S(x
1
) mà
ϕ(x
2
)  α
1
+ 1.
Lại đặt S(x
2
) = { y ∈ S(x
1
) : x
2
 y}. Khi đó, S(x
2

) đóng và S(x
2
) ⊂
S(x
1
). Đặt α
2
= inf{ϕ(y) : y ∈ S(x
2
)} . Khi đó tồn tại x
3
∈ S(x
2
) mà
12
ϕ(x
3
)  α
2
+
1
2
.
Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được dãy { x
n
} với ba tính chất
sau:
x
n+1
∈ S(x

n
),
ϕ(x
n+1
)  a
n
+
1
n
, với a
n
= inf{ϕ(y) : y ∈ S(x
n
)} ,
S(x
n
) đóng và S(x
n+1
) ⊂ S(x
n
), n = 1, 2, 3,
Ta sẽ chứng minh đường kính d
n
của tập hợp S(x
n
) tiến tới 0 khi
n → ∞. Theo định nghĩa,
S(x
n
) = { y ∈ S(x

n−1
) : x
n
 y}.
Lấy x, y tùy ý trong S(x
n
). Vì x
n
 x, x
n
 y nên ta có
d(x
n
, x)  ϕ(x
n
) −ϕ(x), d(x
n
, y)  ϕ(x
n
) −ϕ(y).
Vậy d(x, y)  2ϕ(x
n
) −[ϕ(x) + ϕ(y)].
Mặt khác, theo định nghĩa của các a
n
và x
n
, ta có
ϕ(x
n

)  a
n−1
+
1
1 −n
; ϕ(x)  a
n
; ϕ(y)  a
n
; a
n
 a
n−1
.
Do đó
d(x, y)  2

a
n
+
1
n −1

− 2a
n
=
2
n −1
,
với mọi x, y ∈ S(x

n
). Vậy d
n
→ 0 khi n → ∞.
Vì không gian X đầy đủ nên theo nguyên lý Cantor
∞
∩
n=1
S(x
n
) = {v}.
Ta sẽ chứng minh v là một phần tử cực đại trong (X, ), tức là
nếu v  w thì v = w.
Thật vậy, vì v  w nên x
1
 w, vậy w ∈ S(x
1
). Vì v  w nên
x
2
 w, mà w ∈ S(x
1
) nên w ∈ S(x
2
). Cứ tiếp tục như vậy ta sẽ được
w ∈
∞
∩
n=1
S(x

n
) = { v} , tức là w = v và v là một phần tử cực đại.
13
Cuối cùng, ta chỉ ra rằng v là điểm bất động của T. Theo giả thiết,
ta có d(v, T v)  ϕ(v) −ϕ(Tv). Khi đó, theo định nghĩa của thứ tự ta có
v  T v. Nhưng vì v là cực đại nên ta có v = Tv. Định lý đã được chứng
minh.
1.3. Ánh xạ không giãn
Định nghĩa 1.9. Ánh xạ T từ không gian mêtric (X, d) vào không
gian mêtric (Z, p) được gọi là ánh xạ không giãn nếu với mọi x, y ∈ X
ta có
ρ(T x, T y)  d(x, y).
Ví dụ 1.2. Phép tịnh tiến trên đường thẳng thực, phép quay của
đường tròn đơn vị trên mặt phẳng quanh gốc tọa độ là những ví dụ về
ánh xạ không giãn mà không có điểm bất động.
Ví dụ 1.3. Ký hiệu B là hình cầu đơn vị đóng trong c
0
(không gian
của các dãy số hội tụ đến 0 với chuẩn sup). Với mỗi x = (x
1
, x
2
, ) ∈ B
ta đặt T x = (1, x
1
, x
2
, ). Khi đó T là ánh xạ không giãn trong B mà
không có điểm bất động.
Thật vậy, nếu có x

∗
= T x
∗
thì ta có
(x
∗
1
, x
∗
2
, x
∗
3
, ) = (1, x
∗
1
, x
∗
2
, ).
Nhưng khi đó ta có x
∗
i
= 1 với mọi i, nên x
∗
không thuộc c
0
.
Định nghĩa 1.10. Không gian Banach (X, .) được gọi là lồi
chặt nếu với mọi x = y mà x  1, y  1 ta có



x+y
2


< 1.
Điều này tương đương với: nếu x + y = x+ y và y = 0 thì x = λy
với một λ > 0 nào đó.
Định nghĩa 1.11. Không gian Banach (X, .) được gọi là lồi đều
14
nếu với mọi  > 0 đều tồn tại δ() > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X mà
x  1, y  1, x − y   ta luôn có




x + y
2




< 1 − δ().
Ví dụ.1.4. l
p
là không gian lồi đều với 1 < p < ∞. Mọi không
gian Hilbert đều là lồi đều.
Định nghĩa 1.12. Tập hợp K trong không gian định chuẩn X
được gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập con lồi, đóng, bị chặn H

của nó với diamH > 0 đều chứa một điểm x ∈ H sao cho
sup{ x − z : z ∈ H} < diamH,
(diam là đường kính của tập hợp).
Định lý 1.10. (xem [3]) Cho C là một tập hợp lồi, compact yếu,
có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian định chuẩn X và T : C → C là
một ánh xạ không giãn. Khi đó T có điểm bất động trong C.
Chứng minh. Đặt F = { L ⊂ C : L lồi, đóng, không rỗng, T(L) ⊂ L} .
F = φ vì C ∈ F. Với quan hệ thứ tự là bao hàm thức, (F, ⊂) trở thành
tập hợp được sắp thứ tự bộ phận.
Đặt G = { L
α
} với các L
α
∈ F và lồng nhau. Khi đó
∩
α
L
α
= φ, vì
C compact yếu và T

∩
α
L
α
⊂
∩
α
L
α


, vậy
∩
α
L
α
là cận dưới của G. Theo
bổ đề Zorn, F chứa một phần tử cực tiểu H.
Ta chứng minh H chỉ gồm một điểm bằng phản chứng. Giả sử
d = diamH > 0. Do C có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn tại z ∈ H sao cho
r = sup{z − x : x ∈ H} < d.
Vậy tập hợp D = { z ∈ H : H ⊂ B(z, r)} = φ, trong đó B(z, r)
là hình cầu đóng tâm z bán kính r. Lấy z bất kỳ trong D, do T là không
15
giãn, ta có T (H) ⊂ B(T z, r), vì vậy coT (H) ⊂ B(T z, r), trong đó co
là ký hiệu bao lồi, đóng của một tập hợp. Vì coT (H) là một tập hợp
lồi, đóng trong C nên cũng compact yếu và vì coT (H) ⊂ coH = H nên
T (coT (H)) ⊂ T (H) ⊂ coT (H), vậy coT (H) ∈ F. Vì coT (H) ⊂ H và
H là cực tiểu nên coT (H) = H. Từ đây ta có H ⊂ B(T z, r), chứng tỏ
T z ∈ D, vậy T (D) ⊂ D vì z bất kỳ trong D.
Ta sẽ kiểm tra D lồi và đóng. Cho z
1
, z
2
∈ D và z = αz
1
+(1−α)z
2
với α ∈ [0, 1]. Khi đó x −z
i

  r, i = 1, 2, với mọi x ∈ H. Từ đó
x −z  r với mọi x ∈ H nên z ∈ D, vậy D lồi.
Nếu z
n
∈ D và z
n
→ z thì do x −z
n
  r với mọi x ∈ H, suy ra
x −z  r với mọi x ∈ H nên z ∈ D, vậy D đóng.
Tóm lại, D ⊂ C là tập hợp lồi, đóng và bất biến đối với T, vậy
D ∈ F. Vì D ⊂ H và H là cực tiểu nên D = H. Khi đó, với mọi
u, v ∈ D = H ta có u −v  r, từ đây d = diamH = diamD  r < d,
ta gặp mâu thuẫn. Vậy H chỉ gồm một điểm, tức là H = { x
∗
} .
Vì H bất biến đối với T nên ta có T x
∗
= x
∗
. Định lý đã được
chứng minh.
Định lý 1.11. (xem [3]) Cho C là một tập lồi, đóng, bị chặn
trong không gian lồi đều X và T : C → C là một ánh xạ không giãn.
Khi đó tập hợp các điểm bất động của T là lồi, đóng và không rỗng.
Chứng minh. Vì X lồi đều nên phản xạ, do đó C là compact yếu và có
cấu trúc chuẩn tắc. Vậy theo Định lý Kirk, tập hợp các điểm bất động
của T không rỗng, ngoài ra nó đóng vì T liên tục. Ta cần chứng minh
tính lồi của tập hợp này.
Cho u = Tu, v = T v và m = λu + (1 − λ)v với một λ ∈ [0,1] nào

đó. Khi đó u −m = (1 −λ)(u −v) và v −m = λ(v −u). Vì T là ánh xạ
16
không giãn nên ta có
u −Tm + Tm − v  u − m + m −v = u −v.
Do u − v = (u − Tm) + (T m −v) nên
u −v  u −T m+ T m −v.
Kết hợp với bất đẳng thức trên, ta được
u −v = u −T m+ T m −v.
Đặt x = u −Tm, y = T m − v ta có x+ y = x + y.
Vì X lồi đều thì cũng lồi chặt nên đẳng thức trên chứng tỏ tồn tại
α > 0 để cho u − Tm = α(T m −v). Từ đây ta có
T m =
1
1+α
u +
α
1+α
v = βu + (1 − β)v với β =
1
1+α
.
Ta sẽ chứng minh β = λ bằng phản chứng. Giả sử β > λ. Khi đó
ta có
T v − Tm = v − T m = β u −v
> λ u −v = v − m,
mâu thuẫn với tính không giãn của X.
Tương tự, nếu β < λ thì ta cũng gặp mâu thuẫn: T u − T m >
u −m. Vậy β = λ nên T m = m. Vì mọi điểm trên đoạn nối hai điểm
bất động cũng là điểm bất động nên tập hợp các điểm bất động là tập
hợp lồi và định lý đã được chứng minh.

17
Chương 2
Phương pháp điểm bất động cho
bất đẳng thức biến phân
Trong chương này, chúng ta xem xét một vài vấn đề về lý thuyết
của bất dẳng thức biến phân với ánh xạ đơn trị liên tục dưới trong không
gian hữu hạn chiều, cũng như mối quan hệ của chúng với các vấn đề khác
của giải tích phi tuyến. Các kiến thức trong chương này được lấy chủ
yếu từ tài liệu [5], [7].
2.1. Bài toán VI
2.1.1. Bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan
Cho X là một tập không rỗng, đóng và lồi của không gian Euclide
hữu hạn chiều E, G : X → E là một ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng
thức biến phân (variational inequality, viết tắt là VI) được phát biểu
như sau:
Tìm điểm x
∗
∈ X sao cho
18
(x −x
∗
)
T
G(x
∗
)  0, ∀x ∈ X. (2.1)
Điểm x
∗
∈ X thỏa mãn (2.1) được gọi là nghiệm của bất đẳng
thức biến phân (2.1) và được kí hiệu là Sol (VI).

Định nghĩa 2.1 Cho X là một tập lồi trong E và cho Q : X → E
là một ánh xạ. Ánh xạ Q được gọi là
(a) đơn điệu mạnh trên X với τ > 0 không đổi sao cho mỗi cặp
điểm x, y ∈ X, ta có
(x −y)
T
[Q(x) −Q(y)]  τx − y
2
;
(b) đơn điệu ngặt trên X nếu với mọi x, y ∈ X, thỏa mãn
(x −y)
T
[Q(x) −Q(y)] > 0;
(c) đơn điệu trên X nếu với mỗi cặp điểm x, y ∈ X, thỏa mãn
(x −y)
T
[Q(x) −Q(y)]  0.
Do đó từ các định nghĩa suy ra:
(a) ⇒ (b) ⇒ (c).
Mệnh đề 2.1 Cho Y là một tập hợp con lồi mở của X và cho
Q : X → E là khả vi liên tục trên Y .
(i) Q là đơn điệu trên Y khi và chỉ khi ∇Q là nửa xác định dương
trên Y ;
(ii) Q là đơn điệu ngặt trên Y nếu ∇Q là xác định dương trên Y ;
(iii) Q là đơn điệu mạnh trên Y với hằng số τ khi và chỉ khi
(p)
T
∇Q(x)p  τp
2
, ∀p ∈ E, x ∈ Y.

19