Phương pháp lặp banach cho bài toán bất đẳng thức biến phân

¼
õ  Øô ÒÙÝÒ
ØÖÒ õ  Ó 
¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹
ÈÒ Ì Æ
ÔÒ ÔôÔ ÐÔ Ò
Ó ñÁ ÌÇôÆ Ì øÆ ÌÀ ÁÆ ÈÀÆ
ÐÙÒ ÚÒ Øõ × ØÓôÒ  Ò Ò
Ìô ÆÙÝÒ¹¾¼¼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
¼
õ  Øô ÒÙÝÒ
ØÖÒ õ  Ó 
¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹
ÈÒ Ì Æ
ÔÒ ÔôÔ ÐÔ Ò
Ó ñÁ ÌÇôÆ Ì øÆ ÌÀ ÁÆ ÈÀÆ
ÙÝÒ ÒÒ ÌÓôÒ Ò Ò
Åó × ¼ºº¿
ÐÙÒ ÚÒ Øõ × ØÓôÒ  Ò Ò
ÆÍÁ ÀÆ Æ ÃÀÇ À Ì˺ ÈÀõÅ Æ ÆÀ
Ìô ÆÙÝÒ¹¾¼¼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
¼
½
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
¾
Å Ð
ÌÖÒ Ô 
Å Ð ¾
Ä òÑ Ò ¿

ÅØ ×  Ù Úñ  ÚØ ØúØ 
Ä Ò Ù 
Ò ½º ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ
1.1.
ÅØ × ô ÒÑ  òÒ 
1.2.
ÈôØ Ù ñ ØÓôÒ Úñ Ú  ½¼
1.3.
Ë ØÒ Øõ ÒÑ  ñ ØÓôÒ ÎÁ ½
Ò ¾º ÈÒ ÔôÔ ÐÔ Ò ò ñ ØÓôÒ ´ÎÁµ
Ò Ù ÑõÒ
2.1.
ÌÒ Ò óÒ  ôÒ Üõ ÒÑ ¾¿
2.2.
Å Øò ØÙØ ØÓôÒ Úñ ×  Ø ¾
Ò ¿º ÈÒ ÔôÔ ÐÔ Ò ò ñ ØÓôÒ
Ò 
3.1.
ÌÒ Ò óÒ  ôÒ Üõ ÒÑ ¿¼
3.2.
Å Øò ØÙØ ØÓôÒ Úñ ×  Ø ¿
3.3.
ÃØ ÕÙò ØÒ ØÓôÒ Ø ÒÑ
¿º¿º½º Å Ò Ò ÷Ò ôÒ  ÕÙÝÒ ¿
¿º¿º¾º ÃØ ÕÙò ØÒ ØÓôÒ Ø ÒÑ ¿
Ìñ ÐÙ ØÑ òÓ 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ũẹ ề
ũề éề ề ềủí ểủề ỉủề ỉừ ỉệề ừ ể ạừ

èụ ặíề ì ề ề èậ ẩừẹ ặ ề èụ ũ ĩề ủí ỉ
éề ề ỉệề ủ ỉ ề ì ìỳ ỉ ỉí ì ỉề ỉề ề ề ỉệểề ìỉ
ỉ ề ỉụ ũ éủẹ éề ề
èệểề ếụ ỉệề ỉễ ủ éủẹ éề ềá ỉề ế ụ ủ ũề ủ ĩẹềá
ỉụ ũ ỉề ĩíề ềề ì ếề ỉẹ ễ ủ ề ễ ềề ề
ế ụ ẩậ èậ è èề ặủềá èậ ặíề è è èí ủ ụ
ỉí ụ ỉệểề ỉệề ừ ể ạừ èụ ặíề è ụí éề
ẹềá ỉụ ũ ĩề ủí ỉ éề ỉ ề ì ìỳ ề ụ ỉí ụ
èụ ũ ĩề ủí ỉ éề ỉ ề ỉ ụ ỉíá ụ ể ể ũềá
ề ễ ủề ểủề ỉệề ể ứề ề ềễ èụ ặíề ú ú ỉừể
ề ễ ỉụ ũ ỉệểề ỉ ề éủẹ ể
ề ề ỉủề ũẹ ề ề ẹ ề ể ủ ừề ề ềễ
ề ĩ ú ỉệể á ề ề ủ é ỉụ ũ ỉệểề ếụ ỉệề ỉễá ềề
ủ éủẹ éề ề
ề ề ì ề ểủề ỉủề ề ề ì ỉề ũẹá ễ
ềề ề ỉề ỉệểề ề ỉụ ũ í éủ ẹề ếủ ỉề ỉềá ỉụ ũ
ĩề ề ỉề ề ỉề í ẹề ỉẹ éề ỉ ề ề ỉủề ủ
ì ìỳ
èụ ũ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ÅØ ×  Ù Úñ  ÚØ ØúØ
R
n
Ò Ò ÙÐ
n
¹Ù
|β|
ØÖ ØÙÝØ   × Ø
β

x := y x
 Ò Ò ÷Ò
y
∀x
Ú Ñ
x
∃x
ØÒ Øõ
x
I
ôÒ Üõ Ò ÒØ
A ⊂ B
ØÔ
A
Ðñ ØÔ ÓÒ Ø ×  ØÔ
B
A ⊆ B
ØÔ
A
Ðñ ØÔ ÓÒ  ØÔ
B
A ∪ B A
Ô Ú
B
A ∩ B A
Ó Ú
B
A × B
Ø ¹ô   ØÔ
A

Úñ
B
ÓÒÚ
D
Ó Ð  ØÔ
D
ÖÑÒ
{f(x) | x ∈ C}
ØÔ ô Ñ  ØÙ  ñÑ
f
ØÖÒ
C
A
T
Ñ ØÖÒ ÙÝÒ Ú  Ñ ØÖÒ
A
x
k
→ x
óÝ
{x
k
}
 Ø ÑõÒ Ø
x
V I
ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ề

èể ệệ ủ ẩềá ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề ỉ éề
ỉề ủể ềẹ ẵ ệỉẹề ủ ậỉẹễ ặề ềề
ỉề ỉ ứề ỉ ề ễề éề ếề ỉ ũ ụ ủ ỉểụề ề ễềá ủ
ỉểụề ề ỉ ủ ụ ủ ỉểụề ề ừề ễề ỉệề ừể ủẹ
ệề ủ ỉểụề ề ễề ỉệểề ề ề ừề ủ ụ ề ề
ề ỉ ỉệểề ề ìụ ề ềỉệểỉểề ỉể ệỉểềé ềếéỉì
ề ỉệ ễễéỉểề ềệéệệ ủ ậỉẹễ ĩỉ ũề ềẹ ẵẳ ủ
ỉệểề ề ìụ ẻệỉểềé ề ếìệỉểềé ềếéỉì ễễéỉểề ỉể
ệ ểềệí ễệểéẹì ể ủ ễéể ĩỉ ũề ềẹ ẵ
ặẹ ẵ é ậẹỉ ệ ủ ỉểụề ề ữề ẹừề ể ỉề ủ
ềẹ ẵẳ ệẹểì ệ ệữề ẹ ề ữề ủ ỉểụề ềủí éủ ềẹ
ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề è ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề
ễụỉ ỉệề ủ ỉệ ỉủề ẹỉ ề ềề ủ ũ ụ
ủ ỉểụề ề ữề ỉệểề ề ỉ ỉủ ềá ề ỉũá é ỉíỉ ỉệ ủ ề
ủ ỉểụề ụ ĩẹ à
ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề ếề ẹỉ ỉỉ ụ ủ ỉểụề ỉ
ụ ủ ỉểụề ễ ỉíềá ĩỉ ề ủể ềẹ ẵ ỉệểề éề ụề ỉề ì
ểỉỉéá éủ ẹỉ ỉệề ễ ỉ ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề
ĩẹ à ề íá ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề ề éủ ẹỉ ỉủ
ề ề ếề ỉẹ ềề ỉệ ề ỉệểề é ỉíỉ ỉểụề ủ
ỉệểề ụ ề ề ỉ ỉ ĩẹ á à
ỉ ỉệểề ụ ề ềề ếề ỉệề ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề
ễề éủ ĩí ề ụ ễề ễụễ ũ èề ỉề ụ ễề ễụễ
ũ ỉủề ụ éểừ ì ểừ ỉ ềỉ éủ ụ ễề ễụễ íề
ủ ỉểụề ễề ỉệề ủ ề ụ ễề ễụễ ỉề ề ề ễề
ễụễ ặỉểềá ễề ễụễ ẹ ỉệểề ũ ễề ỉệề ềủí ểừ ỉ
éủ ễề ễụễ ỉề ỉ ề ề ề ễề ễụễ ềủí
éủ ụ ễề ễụễ ệềỉ ì ềủí ỉề ếụỉ ểề ỉủề ềíề
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

é ủ ỉểụề ễ ĩẹ àá ễề ễụễ ẹ ề ấểééệ ĩẹ àá
ễề ễụễ ề èểềể ĩẹ àá ụ ễề ễụễ ềủí ụ
ếũá ỉ ỉ ỉệề ẹụí ỉề ềề ụ ề ỉ ũẹ ũể
ụ ũ ỉỉ ụ ề ỉề ỉ ề ểừ ỉ éủ ụ ễề
ễụễ ỉệề ỉỉ ủẹ ỳề ĩẹ à ặ ề ề ễề
ễụễ ềủí éủ íề ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề ỉ ủẹ ỳề
ủ ì ì ề ỉỉ ỉ ỉệề ể ề ỉệề ỉẹ ỉ
ủẹ ỳề ẩề ễụễ ềủí ỉ ũ ụ ủ ỉểụề ụ ũ ỉỉ ệỉ
ề èí ềềá ỉ ỉ ỉỉ ỉểụề ĩỉ éủ ẹ ĩẹ à
ểừ ỉ ỉ éủ ụ ễề ễụễ ỉệề ụ ỉễ ề ẹ ỉ ề ặ ề
ề ễề ễụễ ềủí éủ íề ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề ỉẹ
ẹ ỉ ề ụề ĩừ ềẹ
ề ề ềủí ỉệề ủí ễề ễụễ ũ ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề
ỉề ế ỉẹ ẹ ỉ ề ụề ĩừ ềẹ ỉ ỉệểề ủ ụể ẩ
ặ ềá á ẻ ặíề ề ậỉệểểỉ ắẳẳàá ầề ỉ ểềỉệạ
ỉểề ề ềểềĩễềìềìì ễệểễệỉì ể ỉ ẹệềé ẹễễề ề ềệéị
ệỉểềé ềếéỉì ềểéề ểểệ ểễệỉểệìá ề ềệéị ểềạ
ĩỉí ề ềệéị ểềểỉểềỉí ề ễễéỉểềì ì ệệá ặ
ìì ề è á ậễệềệá ễễ ạẵẵẵ
ặểủ é ề ủ ễề ỉủ é ỉẹ ũểá éề ề éủẹ
ề ề ẵ ỉ éủ ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề ề
ềủí ềỳ éừ ụ ề ỉ ũề ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễềá ụ
á ụ ề ỉ éề ếề ủ ụ ề ề ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề
ễề ề ắ ẹ ễề ũề ẩề ỉ ềỉ ỉệề ủí ẹ ếề
ềẹ ủ ỉểụề ỉ ứề ỉ ề ễề ủ ụề ĩừ ềẹ ẩề
ỉ ệ ụề ĩừ ềẹ éủ ể ủẹ ụ éủ ề ẹừề ủ ễìỉị
ề ỉệề ủí ễề ễụễ éễ ề ể ụề ĩừ ề ủ ẹỉ
ỉề ỉểụề ề ề ỉỉ ỉểụề ĩỉ á ụề ĩừ ềẹ éủ
ề úề ủ ỉẹ ẹ ỉ ề ụề ĩừ ề úề ỉẹ ỉể
ẹ ỉ ề ặéệ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ặ
ủ èầụặ è ứặ è ặ ẩặ
ẵẵ ỉ ì ụ ềẹ ũề
ể ỉ
x := (x
1
, x
2
, ..., x
n
)
T
, y := (y
1
, y
2
, ..., y
n
)
T
R
n
x, y =
n

i=1
x
i

y
i
éủ ỉ ề ỉ
x
ủ
y
ề é ủ ểũề ụ
ĩụ ề ỉề ề
||x|| :=

x, x,
d(x, y) := ||x y||.
è ềỳ éừ ẹỉ ì ề ỉ ũề ũ ỉ é ì ề ể ụ
ề ỉễ ỉể
ề ề ẵẵ

èễ ểề
C R
n
éủ ỉễ éá ề
x + (1 )y C x, y C, (0, 1).

èễ ểề
C R
n
éủ ềềá ề
x C x C, 0.

ể
C R

n
éủ ẹỉ ỉễ é ủ
x C
á ềề ễụễ ỉíề ềểủ
C
ỉừ
x
á

N
C
(x)
á ĩụ ề ề ỉ
N
C
(x) := {w R
n
: w, y x 0 y C}.
ể
C R
n
éủ ẹỉ ỉễ éá ụề ĩừ
f : C R
n
á
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

Ò Ò ½º¾º
•
ÅÒ Ù Ù 

f
¸  Ù ÓÑ
f
¸  Üô Ò 
domf := {x ∈ R
n
: f(x) < +∞}.
• f
  Ðñ Ò ØÒ¸ ÒÙ
domf = ∅, f(x) > −∞ ∀x ∈ C.
• f
  Ðñ ñÑ Ð ØÖÒ
C
¸ ÒÙ
f(λx
1
+ (1 − λ)x
2
) ≤ λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) ∀x
1
, x
2
∈ C, λ ∈ [0, 1].
• f
  Ðñ ñÑ Ð Ø ØÖÒ
C

¸ ÒÙ
f(λx
1
+ (1 − λ)x
2
) < λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) ∀x
1
= x
2
∈ C, λ ∈ (0, 1).
• f
  Ðñ ñÑ Ð ÑõÒ Ú  ×
β > 0
ØÖÒ
C
¸ ÒÙ
∀x
1
= x
2
∈ C, λ ∈
(0, 1)
¸ Ø 
f(λx
1
+ (1 − λ)x

2
) < λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) − λ(1 − λ)β||x
1
− x
2
||
2
.
Ý  Ø ò × Ö÷Ò
f
Ðñ ÑØ ñÑ Ð ØÖÒ ØÔ Ð
C
ØÖÓÒ Ò Ò
R
n
º
Ã ¸ Ú Ø
w ∈ R
n
  Ðñ  ÖÒØ  ñÑ
f
Øõ
x ∈ C
¸ ÒÙ
f(y) − f(x) ≥ w, y − x ∀y ∈ C.
ÌÔ ØØ ò ô  ÖÒØ  ñÑ

f
Øõ
x
  Ðñ  Ú ÔÒ 
f
¸
 Ù
∂f(x)
¸ Ý
∂f(x) := {w ∈ R
n
: f(y) − f(x) ≥ w, y − x ∀y ∈ C}.
Ã ¸
f
  Ðñ ò  Ú ÔÒ ØÖÒ
C
¸ ÒÙ
∂f(x) = ∅ ∀x ∈ C.
Î  ½º½º Ó
C
Ðñ ÑØ ØÔ Ð ô ÖÒ  Ò Ò
R
n
º Ø ñÑ 
ØÖÒ ØÔ
C
δ(x) :=




0
ÒÙ
x ∈ C,
+∞
ÒÙ
x /∈ C.
Ã 
∂δ
C
(x) = N
C
(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ÌØ Úݸ ÒÙ
x ∈ C
Ø
δ
C
(x) = 0
Úñ
∂δ
C
(x) = {w ∈ R
n
: δ
C
(y) ≥ w, y − x ∀y ∈ C}.
ÀÝ
∂δ

C
(x) = {w ∈ R
n
: 0 ≥ w, y − x ∀y ∈ C} = N
C
(x).
Î  ½º¾º ÌÖÓÒ Ò Ò
R
n
Ó ñÑ ÙÒ
f(x) := ||x|| x ∈ R
n
º Ã ¸
∂f(x) :=



{w ∈ R
n
: ||w|| = 1, w, x = ||x||}
ÒÙ
x = 0,
¯
B(0, 1)
ÒÙ
x = 0,
ØÖÓÒ 
¯
B(0, 1)
Ðñ Ò Ù Ò¸ ØÑ Øõ

0
Úñ ôÒ Ò
1
º
ÌØ Úݸ Ø ÜØ ô ØÖÒ Ô ×Ù
ÌÖÒ Ô ½º Î
x = 0
¸ Ø Ò Ò ÑÒ
∂f(x) = {w ∈ R
n
: ||w|| = 1, w, x = ||x||}.
ÆÙ
w
Ø ÑóÒ
||w|| = 1, w, x = ||x||
Ø
w, x ≤ ||w||.||x|| = ||x||.
Ó 
w, x − y ≤ ||x|| − ||y||.
ÀÝ
w ∈ ∂f(x)
º
Æ Ðõ¸ ÒÙ
w ∈ ∂f(x)
¸ Ø
−||x|| = ||0|| − ||x|| ≥ w, 0 − x = −w, x,
||x|| = ||2x|| − ||x|| ≥ w, 2x − x = w, x
×ÙÝ Ö
||x|| = w, x. (∗)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

½¼
ÅØ ô
||λz + x|| − ||x|| ≥ w, λz + x − x = w, λz ∀λ > 0, z ∈ R
n
.
ËÙÝ Ö
||z +
x
λ
|| −
1
λ
||x|| ≥ w, x.
Ó
λ → ∞
¸ Ø ÒÒ 
||z|| ≥ w, z ∀z ∈ R
n
.
Ó ÚÝ
||w|| ≤ 1.
ÀÒ Ò ÒÙ
||w|| < 1
Ø Ú Ñ
z ∈ R
n
, ||z|| = 1
Ø 
|w, z| < 1
º Ã ¸

ØÝ
z =
x
||x||
Ø 
|w, z| = |w,
x
||x||
| < 1.
Ó 
w, x < ||x||.
Ù ÒñÝ ÑÙ ØÙÒ Ú
(∗)
º ÎÝ
||w|| = 1
º
ÌÖÒ Ô ¾º Î
x = 0
º Ì 
∂f(x) = {w ∈ R
n
: w, y ≤ ||y|| ∀y} = {w ∈ R
n
: ||w|| ≤ 1} =
¯
B(0, 1).
½º¾º ÈôØ Ù ñ ØÓôÒ Úñ Ú 
ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ Ðñ ÑØ ØÖÓÒ ÒÒ ñ ØÓôÒ  ÕÙÒ
ØÑ ÒÙ ØÖÓÒ ØÓôÒ  Ò ÙÒ Úñ  Ø ØÖÓÒ ÒñÒ Ø Ù ØÒ ØÓôÒ Ò
ÖÒº ÄÙÒ ÚÒ ÒñÝ × ØÖÒ ñÝ ÑØ ÔÒ ÔôÔ ò ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø

Ò ÔÒ ØÖÓÒ Ò Ò Ù õÒ Ùº Ò ÒñÝ Ó Ñ Ú Òú Ðõ
ô Ò Ø  òÒ ÒØ Ú ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ ×  × Ò
Ó ô Ò ×Ùº ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ ØÖÓÒ Ò Ò Ù
õÒ Ù  Ø  ÔôØ Ù Ò ×Ù
Ó
C
Ðñ ÑØ ØÔ ÓÒ Ð¸ Ò ô ÖÒ  Ò Ò ÙÐÒ
Ò¹Ù
R
n
¸
F

C → R
n
Ðñ ôÒ Üõ ÐÒ Øº ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
½½
´ÚØ ØúØ Ðñ ÎÁµ Ðñ ñ ØÓôÒ ØÑ Ñ
x
∗
∈ C
¸ ×Ó Ó
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
´½º½µ
ÌÔ ÒÑ  ÎÁ  Ù Ðñ

S
∗
º
Ò Ò ½º¿º Ó
C
Ðñ ØÔ Ð¸ Ò ØÖÓÒ
R
n
¸ Úñ Ó
F : C → R
n
Ðñ ÑØ
ôÒ Üõº Ã ¸
F
  Ðñ
´µ Ò Ù ØÖÒ
C
¸ ÒÙ
F (u) − F (v) , u − v ≥ 0 ∀u, v ∈ C
´µ Ò Ù ÒØ ØÖÒ
C
¸ ÒÙ
F (u) − F (v) , u − v > 0 ∀u, v ∈ C, u = v.
´µ Ò Ù ÑõÒ ØÖÒ
C
Ú ÷Ò ×
τ > 0
´ÚØ ØúØ Ðñ
τ
¹Ò Ù ÑõÒµ ÒÙ

F (u) − F (v) , u − v ≥ τ u − v
2
∀u, v ∈ C.
´µ Ò  Ú Ñ ÙÒ
δ
´ÚØ ØúØ Ðñ
δ
¹Ò µ ØÖÒ
C
ÒÙ ØÒ Øõ ÑØ ×
δ > 0
×Ó Ó
F (u) − F (v), u − v ≥ δ||F (u) − F (v)||
2
u, v ∈ C.
Ì Òú Ðõ Ø ÕÙò ØÒ Ò ×Ù
ÆÒ ÜØ ½º½º Ó
C
Ðñ ÑØ ØÔ Ð Úñ
F : C → R
n
Ðñ ÑØ ôÒ Üõ ò Ú ÐÒ
Ø ØÖÒ ØÔ Ñ 
C
º Ã ¸
µ
F
Ò Ù ØÖÒ
C
 Úñ  

∇F (x)
Ðñ Ò Üô Ò Ò ØÖÒ
C
Ý
y, ∇F (x)y ≥ 0 ∀y ∈ C.
µ
F
Ò Ù Ø ØÖÒ
C
 Úñ  
∇F (x)
Ðñ Üô Ò Ò ØÖÒ
C
Ý
y, ∇F (x)y > 0 ∀y ∈ C, y = 0.
µ
F
Ò Ù ÑõÒ ØÖÒ
C
 Úñ  
∇F (x)
Ðñ Üô Ò Ò Ù ØÖÒ
C
Ý ØÒ Øõ
β > 0
×Ó Ó
y, ∇F (x)y > β||y||
2
∀y ∈ C, y = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

½¾
ô Ú   Ý Ó Ø ØÝ  ô ØÔ Ò  ñ ØÓôÒ Ø øÒ
Ø Ò ÔÒ
Î  ½º¿º Ó
f(x)
Ðñ ÑØ ñÑ Ø ò Ú ØÖÒ ØÔ Ñ 
C = [a, b]
º ÌÑ
x
0
∈ C
×Ó Ó
f(x
0
) = min
x∈C
f(x).
x
0
∈ [a, b]
¸ ×ÙÝ Ö  ¿ ØÖÒ Ô ÜòÝ Ö
ÌÀ½ ÆÙ
x
0
∈ (a, b)
¸ ØÓ Ò Ð ÖÑظ Ø 
f

(x
0

) = 0
º
ÌÀ¾ ÆÙ
x
0
= a
¸
f

(x
0
) = lim
x→x
0
+
f(x)−f(x
0
)
x−x
0
≥ 0
º
ÌÀ¾ ÆÙ
x
0
= b
¸
f

(x

0
) = lim
x→x
0
−
f(x)−f(x
0
)
x−x
0
≤ 0
º
ÃØ Ô Ðõ¸ Ø  Ø ÚØ
x
0
Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ
f

(x
0
).(x − x
0
) ≥ 0 ∀x ∈ C.
Æ ÚÝ
x
0
Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ ÎÁ Ú
F = f

ØÖÒ

C = [a, b]
º
Ý ¸ Ø ÜØ Ú  ØÒ ÕÙôØ Ò
Î  ½ºº Ó
f(x)
Ðñ ÑØ ñÑ Ø ò Ú ØÖÒ ØÔ Ñ 
C ⊆ IR
n
º ÌÑ
x
0
∈ C
×Ó Ó
f(x
0
) = min
x∈C
f(x).
ÅÒ  ½º½º ÆÙ
x
0
Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ ØÖÒ¸ Ø
x
0
Ðñ ÒÑ  ñ
ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ ÎÁ Ú
F (x) := ∇f(x)
º
Ò ÑÒº Î Ñ
y ∈ C

¸ Ó
C
Ð ÒÒ
(1 − t)x
0
+ ty ∈ C ∀t ∈ [0, 1]
º
Ø
ϕ(t) := f(x
0
+ t(y − x
0
)).
ò ØØ Ó
x
0
Ðñ ÒÑ Ý
t = 0
Ðñ ÒÑ 
ϕ(t)
ØÖÒ
[0, 1]
º ÌÓ Î
 ½º¿¸ Ø 
ϕ

(t
0
).(t − t
0

) ≥ 0 ∀t ∈ [0, 1].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
½¿
ÀÝ
∇f(x
0
), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
✷
ÅÒ  ½º¾º Ó
f
Ðñ ñÑ Ð ò Ú ØÖÒ ØÔ Ð
C ⊆ R
n
º Ã ¸
x
0
∈ C
Ðñ
ÒÑ  ñ ØÓôÒ
min
x∈C
f(x)
 Úñ  
x
0
Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø ÎÁ Ú
F (x) := ∇f (x)
º

Ò ÑÒº Ù Ò Ò  ×ÙÝ Ö Ø ÅÒ  ½º½º Ó
f
Ðñ ñÑ Ð
ØÖÒ
C
¸ ÒÒ
f(x) − f (x
0
) ≥ ∇f(x
0
), x − x
0
 ∀x ∈ C.
ò ØØ Ó
∇f(x
0
), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
Ó 
f(x) ≥ f(x
0
) ∀x ∈ C.
ÀÝ
x
0
Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ
min
x∈C
f(x).

✷
Î  ½ºº ´ñ ØÓôÒ ¸  Ù ȵ
Ó
C = R
n
+
Úñ
F : C → R
n
º ñ ØÓôÒ  Ø Ö Ðñ ÌÑ Ñ
x
0
∈ C
×Ó Ó
F (x
0
) ∈ C, F (x
0
), x
0
 = 0.
ÅÒ  ½º¿º
x
0
∈ C = R
n
+
Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ  È  Úñ  
x
0

Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ ÎÁ Ý
F (x
0
), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
½
Ò ÑÒº ´
⇒
µ ò ×
x
0
Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ  È Ý
F (x
0
) ∈ C, F (x
0
), x
0
 = 0.
Ã 
F (x
0
), x − x
0
 = F (x
0
), x − F (x
0

), x
0
 = F (x
0
), x ≥ 0 ∀x ∈ C.
´
⇐
µ ò ×
x
0
Ðñ ÒÑ  ñ ØÓôÒ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ ÎÁ Ý
x
0
∈ C : F(x
0
), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.

e
i
= (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...0)
T
´
1
 Ú ØÖ Ø
i
µº Ã ¸
x
1

= x
0
+ e
i
∈ C
º
ÌÝ
x
1
ÚñÓ Ø øÒ Ø Ò ÔÒ¸ Ø 
F (x
0
), x
1
− x
0
 ≥ 0.
ÀÝ
F (x
0
), e
i
 ≥ 0 ∀i = 1, 2, ...n.
ÎÝ
F (x
0
) ∈ C
º
Ì
0 ∈ C

Úñ
F (x
0
), x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ C.
×ÙÝ Ö
−F (x
0
), x
0
 ≥ 0.
Ó 
F (x
0
), x
0
 = 0.
✷
 Ý Ø ÜØ  Ú  Ø Ø  ñ ØÓôÒ ÎÁº
Î  ½ºº ñ ØÓôÒ Ò ÷Ò ÑõÒ Ó ØÒ
Ø ÑØ ÑõÒ Ó ØÒ  Ó  ÑØ ÑõÒ ÐÙÒ Ù õÒº 
•N
 ØÔ Ô ô ÒØ  ÑõÒº
•A
 Ðñ ØÔ Ô ô õÒ ´Ñ õÒ   Ðñ ÑØ ÓõÒ Òµº
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
½
ò ×
O ⊆ N

¸
D ⊆ N
×Ó Ó
O ∩ D = ∅
º Å ÔÒ Ø 
O
  Ðñ
Ñ ÒÙÒ¸ Ò Ñ ÔÒ Ø 
D
  Ðñ Ñ º Å Ñ ÒÙÒ
Úñ Ñ   Ò Ú ÒÙ  ÑØ ØÔ Ô ÐÒ ØÔ ô õÒ ´ 
Ðñ ÑØ ØÙÝÒ Òµº Ã Ù
•f
i
a
Ðñ ÑØ  Ó ØÒ  ÔÒ ØÒ
i
ØÖÒ ÓõÒ Ò
a ∈ A
º Ø
f
Ðñ
Ú Ø  ô ØñÒ ÔÒ Ðñ
f
i
a
Ú
i ∈ I
Úñ
a ∈ A

´
I
Ðñ ØÔ Ô ô ÔÒ
ØÒ Ó ØÒº
•c
i
a
Ðñ  Ô  × Ò ÔÒ ØÒ Ó ØÒ
i
ØÖÒ ÓõÒ Ò
A
º Ø
c
Ðñ Ú Ø  ô ØñÒ ÔÒ Ðñ
c
i
a
Ú
i ∈ I, a ∈ A
º
•d
i
w
Ðñ ÒÙ Ù × Ò ÐÓõ ÔÒ ØÒ
i ∈ I
ØÖÒ ØÙÝÒ Ò
w = (O, D)
Ú
O ∈ O, D ∈ D
º

ò × Ö÷Ò  Ô Ó ØÒ Ô ØÙ ÚñÓ ÐÙ ÐÒ¸ Ø Ðñ
c = c(f)
Ðñ
ÑØ ñÑ 
f
º
•λ
i
w
Ðñ Ñ   Ô ØÖÒ ØÙÝÒ Ò
w
 ÔÒ ØÒ Ó ØÒ
i
º
•x
i
w
Ðñ ÑØ  Ó ØÒ  ÔÒ ØÒ
i ∈ I
ØÖÒ ØÙÝÒ
w ∈ O × D
º
ò × ØÖÓÒ ÑõÒ ØÖÒ¸ ÔÒ ØÖÒ Ò ÷Ò ×Ù  ØÓò ÑóÒ
d
i
w
=

p∈P
w

x
i
p
∀i ∈ I, w ∈ O × D,
´½º¾µ
ØÖÓÒ ¸
P
w
 Ù ØÔ Ô ô ØÙÝÒ Ò 
w = (O, D)
´Ò Ñ ÒÙÒ
O
Úñ Ñ 
D
µº ÌÓ ÔÒ ØÖÒ ´¾º½µ¸ Ø ÒÙ Ù × Ò ÐÓõ ÔÒ
ØÒ
i
ØÖÒ ØÙÝÒ Ò
w
÷Ò Ò ØÒ ÑØ  Ó ØÒ  ÔÒ ØÒ
 ØÖÒ Ñ ØÙÝÒ Ò Ò Ñ ÒÙÒ Úñ Ñ   ØÙÝÒ Ò º Ã
 Ø 
f
i
a
=

p∈P
w
x

i
p
δ
ap
∀i ∈ I, w ∈ O × D,
´½º¿µ
ØÖÓÒ 
δ
ap
:=



1
ÒÙ
a ∈ p,
0
ÒÙ
a /∈ p.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ẵ
ẻ ẹ ỉíề ề
p
ề ẹỉ ẹ ềề ủ ẹỉ ẹ á ỉ
c
i
p
=

aA

c
i
a

ap
.
ẵà
ặ íá
c
i
p
éủ ẹỉ ễ ì ề ễề ỉề
i
ỉệề ỉíề ề
p
ỉ
d
éủ ỉ ụ ỉủề ễề éủ
d
i
w
(i I, w O ì D)
ủ ỉ
f
éủ ỉ
ụ ỉủề ễề éủ
d
i
a
(i I, a O ì D)

ỉ ễ
(d

, f

)
ỉểũ ẹúề ụ
ề ắẵà ủ ắắẵà éủ ẹ ề ữề ẹừề ể ỉề ề
c
i
p
(f

) =




i
w
(d

)

x
i
p
> 0,
>
i

w
(d

)

x
i
p
= 0,
ẹ
i I
ủ ẹ ỉíề ề
p
èể ề ề ềủíá ỉừ ẹ ề ữề
ẹ éểừ ễề ỉề ể ỉề ủ ẹ ỉíề ềá ễ ì ỉễ
ềỉ é éề ể ỉề ỉệề ỉíề èệụ éừá ễ ì ề ễũ
ỉễ ềỉ
ỉ
K = {(f, d) | x 0
ìể ể ắẵà ủ ắắẵà ề
}.
á ỉ ề é ì
ề é ẵẵ ỉ ễ ỉ
(f

, d

) K
éủ ẹỉ ẹ ề ữề ẹừề ể
ỉề ủ ề éủ ềẹ ỉ ứề ỉ ề ễề ì

èẹ
(f

, d

) K
ìể ể


c(f

)), (d

)

, (f, d)(f

, d

) 0 (f, d) K.
ẻ ẵ ủ ỉểụề ề ỉ ụề ếíề
ũ ì
n
ề ỉí ề ìũề ĩỉ ẹỉ éểừ ìũề ễẹ ủ é ềề
p
i

ẹ ề ỉí
i
ễ ỉ ủể ỉề ì éề ìũề ễẹ ỉỉ ũ ụ ề ỉí

:=

n
i=1
x
i

h
i
(x
i
)
éủ ễ ề ỉí
i
ìũề ĩỉ ệ éề
ủề ểụ
x
i
ũ ì ệữề é ềề ề ỉí
i
ể
f
i
(x
1
, ..., x
n
) = x
i
p

i
(
n

i=1
x
i
) h
i
(x
i
) (i = 1, ..., n),
ẵà
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ẵ
ỉệểề
p(

n
j=1
x
j
)
éủ ụ ẹỉ ề ìũề ễẹá ễ ỉ ủể ỉề ìũề
ễẹá ề ủẹ ễ ẹ ề ỉí
i
ễ ỉ ủể ẹ ìũề ĩỉ
ề ỉí
ỉ
U

i
IR, (i = 1, ..., n)
éủ ỉễ ề é ề ỉí
i
ềềá
ẹ ề ỉí ề ĩụ ề ể ẹề ẹỉ ẹ ìũề ĩỉ ừỉ é ềề
ể ềỉ èí ềềá ỉệểề ỉệề ễ ỉề ếụỉá ỉỉ ũ ụ ề ỉí
é ềề ừ éủ ỉ ẻ í ề ỉ ề ề ụ ềẹ ề
ữề
ỉ ẹ
x

= (x

1
, ..., x

n
) U := U
1
ì ... ì U
n
éủ ẹ ề
ữề ặì ề
f
i
(x

1
, ..., x

i1
, y
i
, x

i+1
, ..., x

n
) f
i
(x

1
, ..., x

n
) y
i
U
i
, i = 1, ..., n.
èệểề ẹ ề ề ữề ểệềểỉ ềá ủẹ ễ ủ ủẹ é ềề
ẹ ề ỉí éủ ề ừề
p
i
() p() =
0
,

0
0, > 0,

=

n
i=1
x
i
,
h
i
(x
i
) = à
i
x
i
+
i
, à
i
0,
i
0 (i = 1, ..., n).
è ỉ
A =

0 0 ... 0
0 0 ... 0
... ... ... ... ...
0 0 0 0






,

A =






0 ...
0 ...
... ... ... ... ...
... 0

ủ

T
= (
0
, ...,
0
), à
T
= (à
1
, ..., à
n
).
ẹ
x

éủ ẹ ề ữề ặì ủ
x

éủ ềẹ ủ ỉểụề ỉ
ứề ỉ ề ễề



èẹ ẹ
x U
ìể ể

Ax + à , y x + y
T
Ay x
T
Ax 0 y U.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn