Tập hút toàn cục đối với hệ phương trình brusselator

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ LIỄU
TẬP HÚT TOÀN CỤC
ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BRUSSELATOR
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ LIỄU
TẬP HÚT TOÀN CỤC
ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BRUSSELATOR
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Cung Thế Anh
HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng Sau Đại học
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 cùng các thầy, cô giáo giảng dạy lớp cao
học khóa 16 đợt 2 (2012 - 2014), đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn
thành tốt bản luận văn này.
Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS. Cung Thế Anh,
người luôn hướng dẫn và giúp đỡ tôi tro n g suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nh ưng luận văn kh ó tránh khỏi những thiếu
sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn
đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả
Nguyễn Th ị Liễu
ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả ngh iên cứu trong luận văn này là
tru ng thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Th ị Liễu
Mục lục
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 7
1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1. Các không gian L
p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Lí thuyết nửa nhóm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Một số định lí và bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Số chiều fractal và số chiều Hausdorff . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Tập hút toàn cục đối với hệ Brusselator 20
2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Sự tồn tại tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iii
MỤC LỤC

iv
2.3.1. Sự tồn tại tập hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2. Tính
κ
-co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Đánh giá số chiều f ractal của tập hút . . . . . . . . . . . . . 39
Kết luận 46
Tài liệu tham khảo 47
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề t ài
Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận ng hiệm của các hệ động lực vô hạn
chiều sinh bởi các p hương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoặc các phương
trình vi phân hàm là một bài toán quan trọng và có nhiều ý nghĩa thực tiễn.
Một tro ng những cách tiếp cận b ài toán này đối với các hệ động lực tiêu hao
vô hạn chiều là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút. Đó là một
tập compact, bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về
dáng điệu tiệm cận của hệ đang xét.
Trong những năm qua, sự tồn tại và tính chất của tập hút, sự tồn tại và
tính ổn định của nghiệm dừng đã được nghiên cứu cho nhiều lớp phương
trình parabolic phi tuyến. Tuy nhiên phần lớn các kết quả đạt được mới chỉ
là cho trường hợp phương trình vô hướng; các kết quả tương ứng đối với các
hệ parabolic phi tuyến xuất hiện trong hóa sinh và hóa lí vẫn còn ít (xem
[1]-[14]). Các phương trình parabolic phi tuyến xuất hiện một cách tự nhiên
trong nhiều bài toán của hóa sinh và hóa lí, và đang thu hút được sự quan tâm
nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước.
Lớp chung của các hệ phản ứng-khuếch tán phi tuyến có dạng
∂
u
∂
t

= d
1
∆u+ a
1
u+ b
1
v+ f (u, v) + g
1
(x),
∂
v
∂
t
= d
2
∆v+ a
2
u+ b
2
v+ f (u, v) + g
2
(x),
với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất hoặc Neumann trong miền bị chặn
Ω ⊂ R
n
, n ≤ 3, liên tục Lipschitz địa phương. Nó cũng được biết rằng phản
MỤC LỤC
2
ứng và khuếch tán của phạm trù hóa học hoặc phạm trù sinh hóa có thể tạo
ra đa dạng những mô hình không g ian. Lớp này của hệ phản ứng-khuếch tán

bao gồm một số đáng kể hệ phương trình hình thành mô hình mẫu phát sinh
từ các mô hình động lực hóa học hoặc phản ứng sinh hóa và từ lý thu yết hình
thành mô hình sinh học.
Trong nhóm này, bốn hệ sau đây thường quan trọng và dùng như các mô
hình toán học trong ngành vật lý và sinh học.
Mô hình Brusselator: a
1
= −(b+ 1), b
1
= 0, a
2
= b, b
2
= 0, f = u
2
v, g
1
=
a, g
2
= 0, trong đó a và b là các hằng s ố dương.
Mô hình Gray-Scott: a
1
= −(F + k), b
1
= 0, a
2
= 0, b
2
= −F, f = u

2
v, g
1
=
0, g
2
= F, trong đó F và k là các hằng số d ươn g .
Mô hình Glycolysis: a
1
= −1, b
1
= k, a
2
= 0, b
2
= −k, f = u
2
v, g
1
=
ρ
, g
2
=
δ
, trong đó k,
ρ
và
δ
là các hằng số dương.

Mô hình Schnackenberg: a
1
= −k, b
1
= a
2
= b
2
= 0, f = u
2
v, g
1
= a, g
2
=
b, trong đó k, a và b là các hằng số dương.
Mô hình Gray-Scott có ng uồn gốc từ việc mô tả tự xúc tác đẳng nh iệt, dẫn
tru yền liên tục, phản ứng và khuếch tán không bị k ích thích của hai hóa chất
U và V với nồng độ u(t, x) và v(t, x), (xem [7]). Từ năm 1 993, một loạt các
không gian mẫu được tạo ra bởi các giải pháp ổn định và các giải pháp phát
triển lâu năm đã tiếp xúc bằng các thực n ghiệm [8], bằng mô phỏng số, hoặc
bằng các phân tích toán học [13].
Lúc đầu, Brusselator là hệ của hai phương trình vi ph ân thông thường như
các phương trình phản ứng cân bằng cho tự xúc tác, phản ứng dao động hóa
học [3]. Tên củ a mô hình là thành phố của các nhà khoa học đã đề xuất nó.
Trong nhiều hệ tự xúc tác, động lực học phức được nhìn thấy, bao gồm các
trạng thái bội ổn định, các quỹ đạo tuần hoàn và các điểm rẽ nhánh.
MỤC LỤC
3
Phản ứng Belousov-Zhabotinsky [5] là một p hản ứng hóa h ọc chung, tron g

đó nồng độ của các chất đưa ra động thái dao động. Đặc biệt, mô hình Brus-
selator mô tả trường hợp trong đó các phản ứng hóa học theo sơ đồ:
A −→U,
B+U −→V + D,
2U +V −→ 3U,
U −→ E,
trong đó A, B, D, E,U và V là các hợ p chất hóa học. Giả sử u(t, x) và v(t, x) là
các nồng độ của U, V và giả định rằng các nồng độ của các hợ p chất đưa vào
A và B được liên tục không đổi trong quá trình phản ứng, kí hiệu bằng a và
b tương ứng. Sau đó thu được một hệ của hai ph ươn g trình ph ản ứng-khuếch
tán phi tuyến , hệ này được gọi là hệ phương trình Brusselator
∂
u
∂
t
= d
1
∆u+ u
2
v−(b+ 1)u+ a, (t, x) ∈ (0, ∞) ×Ω,
∂
v
∂
t
= d
2
∆v−u
2
v+ bu, (t, x) ∈ (0, ∞) ×Ω,
u(t, x) = v(t, x) = 0, t > 0, x ∈

∂
Ω,
u(0, x) = u
0
(x), v(0, x) = v
0
(x), x ∈Ω,
trong đó d
1
, d
2
, a, b là các hằng s ố dương . Ở đây, người ta giả định rằng hệ số
tỉ lệ cho các phản ứng trung gian phụ là bằng 1. Trên thực tế các kết quả của
luận văn này sẽ không bị ảnh hưởng bằng cách lấy các hệ số phản ứng k hác
nhau.
Lưu ý rằng có một số ví dụ nổi tiếng đã biết của tự xú c tác có thể được
mô phỏng bởi hệ phương trình Brusselator; như phản ứng ferrocyanua-iodat-
sulfite, phản ứng clorit-iodua-axit malonic, phản ứng axen-iodat, một số phản
ứng xúc tác enzim và tăng trưởng nấm mycelia, xem [3]-[4].
Kể từ năm 1970 đã có một số hạn chế nghiên cứu giải pháp khô ng gian
MỤC LỤC
4
mẫu như trạng thái ổn định của ổn định địa ph ươn g và các điểm rẽ nhánh cho
hệ phương trình Brusselator. Tro ng [6]-[10], một s ố không gian Turing phát
sinh bởi hệ phương trình Bru sselator được nghiên cứu về số lượng hoặc phân
tích, bao gồm cả mô hình tăng đột biến, mô hình sọc và những bất ổn dao
động. Trong kết quả số [2] đã được trình bày, cho thấy mô hình mazelike, mô
hình lục giác và mô hình hỗn loạn-tìm kiếm, cho hệ phương trình Brus selator
2D và phiên bản hyperbolic với các phương tr ình dòng khuếch tán. Trong [8] ,
theo các giả đ ịnh của đầu vào chậm và tỉ lệ khuếch tán chậm, sự tồn tại của

mô hình kiểu mẫu mesa cho Brusselator 1D được hiển thị cùng với mộ t mức
cho sự ổn định địa phương và một điểm rẽ nh án h Hopf với sự ổn định kiểu
bình thở bằng cách sử dụ ng phương pháp nhiễu loạn kì dị.
Lý thuyết cơ bản củ a tập hút toàn cục và các ứng dụng có thể tìm thấy trong
[11]-[12] và nhiều tài liệu tham khảo trong đó. Kể từ những năm 1980 sự tồn
tại của một tập hút toàn cục đã được chứng minh đối với một số lớp phương
trình parabolic suy biến và đã làm tắt dần các phương trình sóng phi tuyến.
Tiêu tán điển hình của mộ t phương trình phản ứng-khuếch tán đơ n được thể
hiện trong kí hiệu điều kiện tiệm cận ở bên phải hàm phi tuyến f(u), tức là:
lim
|s|→∞
sup
f (s)
s
≤ 0.
Đối với hệ của hai hay nhiều phản ứng-kh uếch tán, kí hiệu tiệm cận trong
hệ vectơ luôn luôn kh ông thỏa mãn. Một kết quả hạn chế về sự tồn tại của tập
hút toàn cục đã được chứng minh cho một phần tiêu tán hệ phản ứng-khuếch
tán, như các p hương trình FitzHugh-Nagu mo . Một số kết quả dựa trên việc
xây dựng một miền bất biến dương trên R
n
nói chung cung cấp duy nhất tập
hút địa phương.
Đối với hệ phươn g trình Brusselator trên, những khó khăn chủ yếu trong
MỤC LỤC
5
việc chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục là ở trên thực tế, đa thức phi tuyến
có tính tương tác đối nhau trong hai phương trình được ghép thành đôi không
có tiêu tán riêng hoặc tiêu tán tiệm cận, gây ra một số trở ngại nhất định trong
việc chứng minh sự tồn tại của các tập hấp thụ và thậm chí nhiều thách thức

trong hiển thị compact tiệm cận. Trong luận văn này, một phương pháp phân
tích mới được nghiên cứu và được sử dụng để hiển thị tính k-co của nửa nhóm.
Vì vậy, chúng tôi chọn vấn đề này làm đề tài nghiên cứu của luận văn với
tên gọi là: "Tập hút toàn cục đối với hệ phương t rình Brusselator".
Kết quả của luận văn này d ựa chủ yếu vào bài báo "Y. You, Global dynam-
ics of the Brusselator equations, Dynamics of PDE 4 (2007), 167 - 196".
2. Mục đích nghi ên c ứu
Nghiên cứu sự tồn tại và đán h giá số chiều fractal, số chiều Hausdorff của
tập hút toàn cục của hệ phương trình Brus selator xuất hiện trong hóa học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu sự tồn tại duy nh ất nghiệm của b ài toán.
• Nghiên cứu sự tồn tại tập hút của nửa nhóm sinh bởi ng hiệm của bài
toán.
• Đánh giá số chiều fractal và số chiều Hausdorff của tập h út toàn cục.
MỤC LỤC
6
4. Đối tượng và phạ m vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Hệ phươn g trình Brusselator.
• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal, số chiều
Hausdorff của tập hút toàn cục.
5. Phương p h áp nghiên cứu
• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: phương pháp nửa nhóm.
• Nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal, số chiều Hausdorff
của tập hút toàn cục: các phương pháp của lí thuyết hệ động lực.
6. Kết quả chính của luận văn
Trình bày các kết quả về:
• Sự tồn tại duy nh ất và sự phụ thuộc liên tục của ngh iệm vào dữ kiện ban
đầu.
• Sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm s inh bởi các nghiệm của bài
toán.

• Đánh giá số chiều fractal và số chiều Hausdorff của tập h út toàn cục.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết cho
việc trình bày các nội dung chính của luận văn. Các kết quả của chương này
được trình bày dựa trên [1]-[14].
1.1. Các khôn g gian hàm
Trong luận văn này ta sử dụng các không gian hàm s au :
1.1.1. Các không gian L
p
(Ω)
Định nghĩa 1.1.1 . L
p
(Ω), 1 ≤ p < ∞, là không gian Banach bao gồm tất cả
các hàm khả tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn được định nghĩa như sau:
u
L
p
(Ω)
:=


Ω
|u|
p
dx

1
/
p

.
Chú ý rằng L
p
(Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < +∞.
Định nghĩa 1.1.2. L
∞
(Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo
7
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
8
được và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn
u
L
∞
(Ω)
:= esssup
x∈Ω
|u(x)|.
1.1.2. Không gian Sobolev
Định nghĩa 1.1.3. Ch o Ω là một tập mở con của R
n
có biên là
∂
(Ω). Không
gian Sobolev được định nghĩa
H
1
(Ω) =

u ∈ L

2
(Ω)




∂
u
∂
x
i
∈ L
2
(Ω), ∀i =
1, n

là tập h ợ p tất cả các hàm thuộc L
2
(Ω) có đạo hàm suy rộng thuộc L
2
(Ω),
với chuẩn được định nghĩa như sau:
u
H
1
(Ω)
=

Ω


|u|
2
+ |∇u|
2

dx, vớ i hàm u ∈H
1
(Ω).
1.2. Lí th uyết nửa nhó m tuyến tính
Giả sử X là một không gian Banach phức, ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.1 . Họ ánh xạ {S(t)},t ≥ 0 gọi là một nửa nhóm tuyến tính
liên tục mạnh (hoặc đơn giản là C
0
-nửa nhóm) nếu S(t) ∈ L (X) và
a) S(0) = I;
b) S(t + s) = S(t) S(s), ∀t, s ∈[0, ∞);
c) ∀x ∈X, t →S(t)x ∈C
0
([0, +∞), X) (ta có thể thay c) bởi lim
t→0
+
S(t)x =
x).
S(t) gọi là một C
0
-nhóm nếu trong định ng hĩa trên [0, +∞) được thay thế
bởi R. Khi đó S(t)
−1
= S(−t) ∈ L (X).
Định nghĩa 1.2.2. Ta gọ i toán tử sinh của một nửa nhóm {S(t)}, t ≥0 là một

toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X định nghĩa bởi
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
9
D(A) =

x ∈ X




lim
t→0
+
S(t)x−x
t
tồn tại trong X

,
Ax = lim
t→0
+
S(t)x−x
t
, x ∈D(A).
Bây giờ ta xét một trường hợp đặc biệt: n ửa nhóm giải tích. Giả sử
ϕ
∈
(0,
π
), kí hiệu

∆
ϕ
= {z ∈C \(−∞, 0]||arg(z)|<
ϕ
};
∆
ϕ
= ∆
ϕ
∪{0}.
Định nghĩa 1.2.3. Giả s ử
ϕ
∈

0,
π
2

. Ánh xạ S : ∆
ϕ
−→ L (X) gọi là một
nửa nhóm giải tích nếu
a) S(0) = Id;
b) S(z
1
+ z
2
) = S(z
1
)S(z

2
), ∀z
1
, z
2
∈ ∆
ϕ
;
c) z → S(s) là một hàm giải tích trong ∆
ϕ
(với giá trị trong L (X));
d) ∀u ∈X, lim
z→0
z∈∆
ϕ
S(z)u = u.
Chú ý 1. Nếu u
0
∈ X và u(t) = S(t)u
0
với t ≥ 0, ở đó S(t) là một nửa nhóm
giải tích, thì
S(t)u
0
= u(t) ∈C
0
([0, +∞);X) ∩C
∞
((0, +∞);X), u(t) ∈ D(A)
với t > 0 và u là nghiệm của phương trình tiến hóa

d
dt
u(t) = Au(t),t > 0, u(0) = u
0
.
Nếu A sinh ra một nửa nhóm giải tích thì −A gọi là một toán tử quạt.
Định nghĩa 1.2.4. Giả s ử X
1
, X
2
là hai không gian Banach. Ta nói rằng ánh
xạ f : X
1
−→ X
2
là liên tục Lipschitz trên các tập bị chặn củ a X
1
nếu ∀r ≥ 0
tồn tại L(r) ≥ 0 sa o cho
f (u) − f (v)
X
2
≤ L(r) u−v
X
1
,
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
10
trong đó ∀u, v ∈ X
1

, u
X
1
≤ r, v
X
1
≤ r.
Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính ôtônôm sau
(1.1)
du
dt
= Au(t) + f (u(t)),t > 0, u(0) = u
0
.
Định nghĩa 1.2.5. a) u(t) gọi là một nghiệm cổ điển của (1.1) nếu
u ∈C
0
([0, T];X) ∩C
1
((0, T];X)∩C((0, T];D(A))
và u thỏa mãn (1.1) với mọi t ∈ [0, T].
a) u(t) gọi là một nghiệm tích phân của (1.1) n ếu u ∈C
0
([0, T];X) và thỏa
mãn
u(t) = S(t)u
0
+

t

0
S(t −s) f (u(s))ds,t ∈ [0, T].
Giả s ử S(t) là một nửa nhóm giải tích trong X vớ i toán tử sinh A = − B, ở
đó B : D(B) → X là một toán tử quạt thỏa mãn
Re
σ
(B) > 0.
Định lí 1.2.1. Giả sử
α
∈ [0, 1) và f : X
α
−→ X là Lipschitz trên các tập
bị chặn của X
α
. Khi đó với mọi r > 0, tồn tại
˜
T (r) > 0 sao cho ∀u
0
∈
X
α
, u
0

X
α
≤ r, phương trình (1.1) có một nghiệm tích phân duy nhấ t u ∈
C
0


0,
˜
T

;X
α

. Hơn nữa, u∈C
1

0,
˜
T

;X

∩C
0

0,
˜
T

;D(A)

là một nghiệm
cổ điển của (1.1).
1.3. Tập hút toàn c ục
Chúng tôi tham khảo [1], [11] và [ 12] cho các khái niệm và các thông tin
cơ bản trong lý thuyết của hệ đ ộng lực vô hạn chiều, bao gồm một số thông

tin đưa ra dưới đây cho rõ ràng .
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
11
1.3.1. Một số khái niệm
Giả sử X là một không gian Banach, ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.3.1. Một nửa nhóm (liên tục) trên X là một họ các ánh xạ
S(t) : X −→ X, t ≥ 0, thỏa mãn :
1) S(0) = I, I là phép đồng nhất;
2) S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(t + x), ∀t, s ≥ 0;
3) S(t)u
0
liên tục đối với (t, u
0
) ∈ [0;+∞) ×X.
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử {S(t)}
t≥0
là một nửa nh óm.
Phần tử u
0
∈X gọi là một điểm cân bằng (điểm dừng, điểm cố định) của nửa
nhóm S(t) nếu
S(t)u
0
= u
0
, ∀t ≥ 0.
Định nghĩa 1.3.3. Nửa nhó m {S(t)}
t≥0
gọi là tiêu hao điểm (tương ứng, tiêu
hao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn B

0
⊂X hút các đ iểm (tương ứng, hút
các tập bị chặn) của X.
Nếu nửa nhóm {S(t)}
t≥0
là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập B
0
⊂X sao cho
với mọi tập bị chặn B ⊂X, tồn tại T = T (B) ≥0 sao cho S(t) B ⊂ B
0
, ∀t ≥T.
Tập B
0
như vậy gọi là một tập hấ p thụ đối với nửa nhóm {S(t)}
t≥0
. Một nửa
nhóm tiêu hao bị chặn thường được gọi tắt là nửa nhóm tiêu hao.
Dễ thấy một nửa nhóm tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm. Điều ngược lại
nói chung không đúng, nhưng nó đúng với các nửa nhóm trong không gian
hữu hạn chiều.
Định nghĩa về tính chất
κ
-co của nửa nhóm {S(t)}
t≥0
được trình bày như
sau.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
12
Định nghĩa 1.3.4. Nửa nhóm {S(t)}
t≥0

trong không gian metric đầy đủ X
được gọi là
κ
-co nếu với mọi tập con bị chặn B của X, có
lim
t→∞
κ
(S(t)B) = 0.
Nửa nhóm {S(t)}
t≥0
trong không gian metric đầy đủ X được gọi là
ω
-
compact giới hạn, nếu với mọi tập con bị chặn B của X, ta có
lim
t→∞
κ


τ
≥t
S(
τ
)B

= 0.
Bây giờ ta định nghĩa tính compact tiệm cận.
Định nghĩa 1.3.5 . Giả sử X là một không gian Banach. Nửa nhóm S(t) gọi
là compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S(t) có thể biểu d iễn dưới dạng
(1.2) S(t) = S

(1)
(t) + S
(2)
(t) ,
ở đó S
(1)
(t) và S
(2)
(t) thỏa mãn các tính ch ất sau:
a) Với bất kì tập bị ch ặn B ⊂ X,
r
B
(t) = sup
y∈B



S
(1)
(t)y



X
→ 0,t → +∞;
b) Với bất kì tập bị chặn B ⊂ X, tồn tại t
0
sao cho tập hợp
(1.3)


γ
(2)
(t
0
)B

=


t≥t
0
S
(2)
(t)B

là compact trong X, ở đây [
γ
] là bao đóng của tập
γ
.
Một hệ động lực gọi là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta có thể
lấy S
(1)
(t) ≡0 trong biểu diễn (1.2). Rõ ràng rằng bất kì hệ động lực tiêu hao
hữu hạn chiều nào cũ n g là compact.
Dễ dàng thấy rằng đ iều kiện (1.3) được thỏa mãn nếu tồn tại một tập
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
13
compact K trong X sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂X, tồn tại t
0

(B) sao cho
S
(2)
(t)B ⊂ K, ∀t ≥ t
0
(B). Nói riêng, một hệ tiêu h ao là compact nếu nó có
một tập hấp thụ compact.
Tiếp theo ta trình bày định nghĩa tập hút toàn cụ c. Tập hút toàn cục là đối
tượng trung tâm của lí thuyết các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.3.6. Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập hút toàn
cục đối với nửa nhóm S(t) nếu:
a) A là một tập đóng và bị chặ n;
b) A là bất biến, tức là S(t)A = A , ∀t > 0;
c) A h út mọi tập con bị chặn B của X, tức là
lim
t→+∞
dist(S(t)B, A ) = 0,
ở đó dist(E, F) = sup
a∈E
inf
b∈F
d(a, b) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập
con E và F của X.
1.3.2. Một số định lí và bổ đề
Bổ đề sau đây rất hữu ích khi chứng minh tính compact tiệm cận.
Bổ đề 1.1. [1] Nửa nh óm S(t) là compact tiệm cận nếu tồn tại một tập com-
pact K sao ch o
lim
t→+∞
dist(S(t)B, K) = 0

với mọi tập B bị chặn trong X.
Chứng minh. Vì K là một tập compact nên với mọi t > 0 và u ∈ X, tồn tại
phần tử v := S
(2)
(t)u ∈ K sao cho
dist(S(t)u, K) =



S(t)u−S
(2)
(t)u



.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
14
Do đó nếu đặt S
(1)
(t)u = S(t)u −S
(2)
(t)u, dễ thấy sự phân tích (1.3) thỏ a
mãn tất cả các yêu cầu trong định nghĩa của tính compact tiệm cận.
Chú ý 2. Xem [1]: Nếu X là một không gian Banach lồi đều và nửa nhóm
S(t)có một tập hấp thụ bị chặn B, thì ba điều kiện sau là tương đương:
i) Nửa nhóm S(t) là compact tiệm cận;
ii) Nửa nhóm S(t) thuộc lớp AK tức là với mọi dãy bị chặn {x
k
} trong X

và mọi dãy t
k
→ ∞, {S(t
k
)x
k
}
∞
k=1
là compact tương đối trong X;
iii) Tồn tại một tập compact K ⊂ X sao cho dist(S(t)B, K) → 0 khi t →
∞.
Với sự nghiên cứu của compact tiệm cận đối với nửa nhóm Brusselator, ta
sẽ có cách tiếp cận sự hiển thị tính chất
κ
-co đối với nửa nhóm { S(t)}
t≥0
.
Nhớ lại định nghĩa của đ ộ đo không compact Kuratowski đối với các tập b ị
chặn tron g khô ng gian Banach X,
κ
(B)
def
=
inf



δ
: B có mộ t phủ hữu hạn bởi các tập mở trong X

với đường kính <
δ



.
Nếu B là một tập không bị chặn, ta xác định
κ
(B) = ∞. Các tính chất cơ bản
của độ đo Kuratowski được liệt kê trong bổ đề sau, xem [11 , Bổ đề 22.2].
Bổ đề 1.2. Giả s ử X là một không gian Banach và
κ
là độ đo không compact
Kuratowski của các tập bị chặn trong X. Khi đó
κ
có các tính chất sau:
1)
κ
(B) = 0 khi và chỉ khi B tiền compact trong X, tức là Cl
X
B là một tập
compact trong X.
2)
κ
(B
1
+ B
2
) ≤
κ

(B
1
) +
κ
(B
2
) với bất kì tổng tuyến tính B
1
+ B
2
.
3)
κ
(B
1
) ≤
κ
(B
2
) bất cứ khi nào B
1
⊂ B
2
.
4) Giả sử X là tổng trực tiếp của hai không gian con tuyến tính đóng X
1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
15
và X
2

,
X = X
1
⊕X
2
với dimX
1
< ∞,
và P : X → X
1
và Q : X →X
2
là phép chiếu chính tắc các toán tử. Giả sử B là
một tập bị chặn của X. Nếu
diamQ(B) <
ε
,
thì
κ
(B) <
ε
.
Bổ đề sau đây cung cấp mối quan hệ của khái niệm
κ
-co với compact tiệm
cận, xem [11, Bổ đề 23.8] và Bổ đề 1. 2.
Bổ đề 1.3. Giả sử {S(t)}
t≥0
là nửa nhóm trong một khô ng gian Banach X.
Nếu những điều kiện sau đây được thỏa mãn:

1) {S(t)}
t≥0
có một tập hấp thụ bị chặn trong X, và
2) {S(t)}
t≥0
là
κ
-co,
khi đó { S(t)}
t≥0
là compact tiệm cận và tồn tại một tập hấp thụ toàn cục A
trong X đối với nửa nhóm đó.
Trong [1 1 , C h ươn g 2], lý thuyết cơ bản về sự tồn tại của tập hút toàn cục
được chứng minh, có thể bắt đầu ngắn gọn trong bổ đề sau.
Bổ đề 1.4. [11] Giả sử {S(t)}
t≥0
là một nửa nhóm trong khôn g gian Banach
X, có hai tính chất sau:
i) Tồ n tại một tập hấp thụ bị chặn B
0
⊂ X của {S(t)}
t≥0
, và
ii) B
0
⊂ X của {S(t)}
t≥0
là compact tiệm cận trong X.
Khi đó tồn tại một tập hút toàn cục A của { S(t)}
t≥0

, đó là tập
ω
-giới hạn
của B
0
,
A =
ω
(B
0
)
def
=

τ
≥0
Cl
X

t≥
τ
(S(t)B
0
).
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
16
Định lí sau đây được dùn g để kiểm tra tính chất
κ
-co đối với nửa nhóm
{S(t)}

t≥0
.
Ta dùng kí hiệu Ω(|u| ≥ M) = {x ∈Ω : |u(x)| ≥ M}
và Ω(|u| < M) = {x ∈ Ω : |u(x)| < M}, và dùng m(·) để kí hiệu độ đo Lebesgue
của tập con trong Ω.
Định lí 1 . 3.1. [14] Giả sử Y = L
2
(Ω) hoặc H. Giả sử {S(t)}
t≥0
là nửa n hóm
trong Y. Khi đó tồn tại một tập hút toàn cục A trong Y đối với nửa nhóm này
khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn:
i) Tồn tại một tập hấp thụ bị chặn B
0
trong Y đối với nửa nhóm này.
ii) Với bất kì
ε
> 0, có các hằ ng số dương M = M(
ε
) và T = T (
ε
) sao
cho

Ω(|S(t)w
0
|≥M)
|S(t)w
0
|

2
dx <
ε
với bất kì t ≥ T, w
0
∈ B
0
.
và
κ

(S(t)B
0
)
Ω(|S(t)w
0
|<M)

→ 0 khi t → ∞,
ở đó
(S(t)B
0
)
Ω(|S(t)w
0
|<M)
def
=
{(S(t)w
0

)(·)
θ
M
(·;t, w
0
) : với w
0
∈ B
0
}.
và
θ
M
(x;t, w
0
) là hàm đặc trưng của tập con Ω(|S(t)w
0
| < M).
1.4. Số chiều fractal và số chiều Hausdorff
Định nghĩa 1.4.1. [1] Giả sử M là một tập compact trong X. Với số dương d
và
ε
ta đặt
µ
(M, d,
ε
) = inf
∑
(r
j

)
d
,
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
17
ở đó inf được lấy trên tất cả các phủ của M bởi các hình cầu có bán kính
r
j
≤
ε
. Rõ ràng
µ
(M, d,
ε
) là một hàm đơn điệu đối với
ε
. Do đó tồn tại
µ
(M, d) = lim
ε
→0
µ
(M, d,
ε
) = sup
ε
→0
µ
(M, d,
ε

).
Số chiều Hausdorff của tập h ợp M được định nghĩa bởi
dim
H
M = inf{d :
µ
(M, d) = 0}.
Định nghĩa 1.4.2. [1] Giả sử M là một tập compact trong không gian metric
X. Kh i đó số chiều fractal của M được định nghĩa bởi
dim
F
M =
lim
ε
→0
log
2
n(M,
ε
)
log
2

1

ε

=
lim
ε

→0
lnn(M,
ε
)
ln

1

ε

,
ở đó n(M,
ε
) là số tối thiểu các hình cầu đón g bán kính
ε
cần dùng để phủ
M.
Ví dụ 1.4.1. Giả sử M là một đ oạn thẳng có độ dài l. Ta có
1
2
ε
−1 ≤ n(M,
ε
) ≤
1
2
ε
+ 1.
Do đó
ln

1
ε
+ ln
l −2
ε
2
≤ lnn(M,
ε
) ≤ ln
1
ε
+ ln
l + 2
ε
2
.
Từ đây, dim
F
M = 1, tức là số chiều fractal của M đúng bằng giá trị của số
chiều hình học thông thường.
1.5. Một số bất đẳng thức thường dùng
Chúng ta nhắc lại một số bất đẳng thức sơ cấp nhưng rất quan trọ ng và
thường xuyên đ ược sử dụng:
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
18
• Bất đẳng thức Young: Cho 1 < p, q < ∞,
1
p
+
1

q
= 1. Khi đó
ab ≤
a
p
p
+
b
q
q
, (a, b > 0).
• Bất đẳng thức Young với
ε
:
ab ≤
ε
a
p
+C(
ε
)b
q
, (a, b,
ε
> 0),
với C(
ε
) = (
ε
p)

−q
/
p
q
−1
.
• Bất đẳng thức H
¨
older: Giả thiết 1 < p, q ≤ ∞,
1
p
+
1
q
= 1. Khi đó nếu
u ∈ L
q
(Ω), v ∈ L
p
(Ω) thì ta có:

Ω
|uv|dx ≤ u
L
p
(Ω)
. v
L
q
(Ω)

.
• Bất đẳng thức Gronwall: Giả sử x(t) là một h àm liên tục tuyệt đối trên
[0;T] và thỏa mãn
dx
dt
≤ g(t)x+ h(t), với hầu khắp t,
trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0;T]. Khi đó
x(t) ≤ x(0) e
G(t)
+

t
0
e
G(t)−G(s)
h(s)d (s) ,
với 0 ≤t ≤ T, ở đó
G(t) =

t
0
g(r)dr.
Nói r iêng , nếu a và b là các hằng số và
dx
dt
≤ ax+ b,
thì
x(t) ≤

x(0) +

b
a

e
at
−
b
a
.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
19
• Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho
ξ
(t) là một hàm khả tích,
không âm trên [0;T] và thỏa mãn vớ i hầu k hắp t bất đẳng thức tích phân
ξ
(t) ≤C
1

t
0
ξ
(s)ds+C
2
,
với C
1
,C
2
là các hằng số không âm. Khi đó

ξ
(t) ≤C
2

1+C
1
te
C
1
t

với hầu khắp t, 0 ≤t ≤ T.
• Bất đẳng thức Gronwall đều: Giả sử x, a và b là các h àm dương thỏa mãn
dx
dt
≤ ax+ b,
với

t+r
t
x(s)ds ≤ X,

t+r
t
a(s)ds ≤ A và

t+r
t
b(s)ds ≤ B
với r > 0 nào đó và với mọi t ≥t

0
. Khi đó
x(t) ≤

X
r
+ B

e
A
với mọi t ≥t
0
+ r.