Một hướng mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm trong không gian banach thực nửa sắp thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGÔ QUANG HƯNG
MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ LÕM
TRONG KHÔNG GIAN BANACH NỬA SẮP THỨ TỰ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ Hy
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ
Hy, thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải
để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập.
Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu cùng toàn thể
các thầy cô giáo trường THPT Vân Nội, Đông Anh, Hà Nội đã giúp đỡ,
tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Ngô Quang Hưng
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ

Hy, luận văn: Một hướng mở rộng định lí tồn tại điểm bất động
của toán tử lõm trong không gian Banach nửa sắp thự tự là
công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Ngô Quang Hưng
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự . . . . . . . 4
1.1. Khái niệm nón trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . 4
1.2. Quan hệ thứ tự trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Các phần tử thông ước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Một số nón đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Không gian định chuẩn thực l
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1. Định nghĩa không gian l
2
và một số tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2. Nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian l
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.3. Các phần tử thông ước trong không gian l
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Chương 2. Toán tử lõm trong không gian Banach nửa sắp thứ
tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1. Khái niệm toán tử lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2. Một số tính chất đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2. Toán tử lõm trên không gian Banach thực nửa sắp thứ tự l
2
42
2.3. Mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm . .
45
2.3.1. Định lí mở rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2. Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của bộ môn giải tích
hàm phi tuyến, chính vì thế ngay từ đầu thế kỷ 19 các nhà toán học
trên thế giới đã rất quan tâm và phát triển nó hết sức sâu rộng và trở
thành công cụ để giải quyết nhiều bài toán do thực tiễn đặt ra.
Năm 1956, nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki M.A đã nghiên cứu
lớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach
thực với một nón cố định. Năm 1962, ông mở rộng cho toán tử lõm tác
dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong đó một
nón là tập con của nón còn lại.
Năm 1975, GS. TSKH Bkhatin I.A đã mở rộng các kết quả trên trong
công trình cho lớp toán tử phi tuyến (K, u
0
)-lõm lần lượt tác dụng trong
không gian Banach thực với một nón cố định và trong không gian Banach
thực với hai nón cố định chung nhau ít nhất một phần tử khác không.

Các lớp toán tử được các nhà toán học Kranoxelxki và Bakhtin nghiên
cứu đều có tính chất u
0
-đo được.
Năm 1987, PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy mở rộng các kết quả đối với lớp
toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm chính quy, trong
đó không yêu cầu toán tử có tính chất u
0
-đo được.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sự
1
hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ Hy, tôi
chọn nghiên cứu đề tài: Một hướng mở rộng định lí tồn tại điểm
bất động của toán tử lõm trong không gian Banach nửa sắp
thự tự.
Trong các bài báo, công trình của các tác giả nêu trong mục tài liệu
tham khảo từ [1] đến [9], khi mở rộng định lí các tác giả thường bổ sung
điều kiện đối với các toán tử, còn đề tài này mở rộng một số định
lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm theo hướng bổ
sung các điều kiện cho nón.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, mở rộng một số định lí về sự tồn tại điểm
bất động của toán tử lõm theo hướng bổ sung các điều kiện cho nón.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự, bao gồm: khái
niệm nón, quan hệ thứ tự trong không gian định chuẩn, phần tử u
0
-đo
được;
- Tìm hiểu về những nón đặc biệt, nón các phần tử với tọa độ không âm

trong không gian l
2
;
- Tìm hiểu về khái niệm toán tử lõm, toán tử lõm tác dụng trong không
gian l
2
;
- Một hướng mở rộng một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của
toán tử lõm và áp dụng.
2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về
toán tử lõm, điểm bất động của toán tử lõm trong không gian Banach
nửa sắp thứ tự.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong nước và nước
ngoài liên quan đến điểm bất động của toán tử lõm trong không gian
Banach nửa sắp thứ tự.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập tài liệu và các bài báo liên quan đến điểm bất động của toán
tử lõm trong không gian Banach nửa sắp thứ tự;
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất;
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Những đóng góp của đề tài
Trình bày tổng quan về không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự, về toán
tử lõm tác dụng trong không gian l
2
, sự tồn tại điểm bất động của lớp
toán tử trên, vận dụng lý thuyết tổng quan đã trình bày vào không gian
l
2

.
3
Chương 1
Không gian định chuẩn nửa sắp thứ
tự
1.1. Khái niệm nón trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử E là một không gian định chuẩn thực và K
là tập hợp con khác rỗng của E. Tập hợp K được gọi là một nón nếu tập
hợp K thỏa mãn các điều kiện sau:
i) K là tập đóng trong không gian E;
ii) Với mọi x, y ∈ K ta có x + y ∈ K;
iii) Với mọi x ∈ K và mọi α ∈ R
+
ta có αx ∈ K;
iv) Với mọi x ∈ K và x = θ ta có −x /∈ K, ở đây θ kí hiệu là phần
tử không của không gian E.
Ta có một vài tính chất đơn giản của nón K trong không gian định
chuẩn thực E.
Định lý 1.1.1. Giả sử K là một nón trong không gian E. Khi đó K là
một tập hợp lồi.
Chứng minh. Với mọi α ∈ [0, 1], với bất kì x, y ∈ K, theo tính chất iii)
ta có αx ∈ K và (1 − α)y ∈ K. Do đó, theo ii) suy ra
αx ∈ K + (1 − α)y ∈ K ∀α ∈ [0, 1].
4
Vậy K là tập hợp lồi.

Định lý 1.1.2. Giả sử K
1
, K
2

là hai nón trong không gian E. Khi đó,
nếu K = K
1
∩ K
2
chứa ít nhất một phần tử khác không, thì K cũng là
một nón trong không gian E.
Chứng minh. Ta kiểm tra các điều kiện i)-iv) trong Định nghĩa 1.1.1.
i) K là tập đóng trong không gian E vì giao hữu hạn các tập hợp
đóng là một tập hợp đóng;
ii) Với mọi x, y ∈ K = K
1
∩ K
2
ta có x, y ∈ K
1
và x, y ∈ K
2
.
Vì K
1
, K
2
đều là nón nên x + y ∈ K
1
và x + y ∈ K
2
. Do đó,
x + y ∈ K
1

∩ K
2
= K;
iii) Với mọi x ∈ K = K
1
∩ K
2
và mọi α ∈ R
+
, ta có αx ∈ K
1
, αx ∈
K
2
nên αx ∈ K
1
∩ K
2
= K;
iv) Với mọi x ∈ K = K
1
∩ K
2
và x = θ ta có −x /∈ K
1
và −x /∈ K
2
nên −x /∈ K = K
1
∩ K

2
.
Vậy K = K
1
∩ K
2
là một nón trong không gian E. 
Định lý 1.1.3. Giả sử M là một tập con khác rỗng của không gian định
chuẩn E thỏa mãn các điều kiện: lồi, đóng, bị chặn và θ /∈ M. Khi đó
tập
K(M) = {tz : t ≥ 0, z ∈ M}
là một nón.
5
Chứng minh. Trước tiên ta thấy rằng M ⊂ K(M) nên K(M) = ∅.
Theo giả thiết về tập M, ta luôn tìm được hai số dương c, C (c ≤ C)
sao cho
∀z ∈ M, c ≤ ||z|| ≤ C, ∀z ∈ M. (1.1.1)
Thật vậy, do M là tập bị chặn nên ta có được bất đẳng thức thứ hai
trong (1.1.1).
Ta chứng minh bất đẳng thức c ≤ ||z||, ∀z ∈ M. Ta thấy, nếu
inf
z∈M
||z|| = 0, thì theo tính chất của cận dưới đúng trong tập hợp
số thực R, tồn tại một dãy {z
n
}
∞
n=1
⊂ M sao cho dãy số thực {z
n

}
thỏa mãn
lim
n→∞
||z
n
|| = 0.
Suy ra
lim
n→∞
z
n
= θ trong E.
Khi đó, do M là tập đóng nên θ ∈ M, điều này trái với giả thiết M
không chứa phần tử không. Như vậy, tồn tại c > 0 sao cho
||z|| ≥ inf ||z|| = c > 0, ∀z ∈ M,
ta thu được bất đẳng thức thứ nhất trong (1.1.1). Để chỉ ra K(M) là
một nón, ta chứng tỏ các điều kiện của Định nghĩa 1.1.1 được thỏa mãn.
Thật vậy,
i) Ta chứng minh K(M) là một tập đóng.
Lấy một dãy bất kỳ {z
n
}
∞
n=1
⊂ K(M) sao cho
lim
n→∞
z
n

= z
trong không gian E.
6
Hiển nhiên, nếu z = θ thì θ = 0.z
1
∈ M, ∀z
1
∈ M, nên z ∈ K(M).
Giả sử z = θ. Theo định nghĩa giới hạn, với (ε =
1
2
||z|| > 0), (∃n
0
∈
N
∗
) sao cho ∀n ≥ n
0
, ta có
||z
n
− z|| <
1
2
||z||. (1.1.2)
Khi đó
z
n
 −z ≤ ||z
n

− z|| <
1
2
||z||,
nên
1
2
||z|| ≤ ||z
n
|| <
3
2
||z||, ∀n ≥ n
0
. (1.1.3)
Mặt khác, do z
n
∈ K(M), nên z
n
= t
n
z
1
n
, t
n
≥ 0, z
1
n
∈ M (n = 1, 2, . . .).

Theo (1.1.3)
1
2
||z|| < ||t
n
z
1
n
|| = t
n
||z
1
n
|| <
3
2
||z||,
nên từ (1.1.1) ta nhận được
1
2C
||z|| < t
n
<
3
2c
||z||, ∀n ≥ n
0
.
Do đó, tồn tại một dãy con (t
n

i
)
∞
i=1
⊂ (t
n
)
∞
n=1
sao cho
lim
i→∞
t
n
i
= t
0
.
Rõ ràng
1
2C
||z|| ≤ t
0
≤
3
2c
||z||, tức là t
0
> 0.
Xét dãy con (z

n
i
)
∞
i=1
ta có
||z
n
i
−
1
t
0
z|| = ||(z
n
i
−
t
n
i
t
0
z
n
i
) + (
t
n
i
t

0
z
n
i
−
1
t
0
z)||
≤
1
t
0
|t
n
i
− t
0
|||z
n
i
|| +
1
t
0
||z
n
i
− z||
≤

C
t
0
|t
n
i
− t
0
| +
1
t
0
||z
n
i
− z|| → 0 (i → ∞).
7
Vậy
lim
i→∞
||z
n
i
−
1
t
0
z|| = 0.
Do đó
1

t
0
z ∈ M và z = t
0
(
1
t
0
z) ∈ K(M).
Chứng tỏ K(M) là tập đóng.
ii) & iii) Với mọi u, v thuộc K(M), và với bất kỳ α, β ∈ R
+
. Giả sử
u = t
1
z
1
, v = t
2
z
2
, với t
1
, t
2
∈ R
+
, z
1
, z

2
∈ M. Khi đó, nếu có ít nhất
một trong hai số t
1
, t
2
bằng 0 hoặc một trong hai số α, β bằng 0 thì hiển
nhiên
αu + βv = αt
1
z
1
+ βt
2
z
2
∈ K(M).
Do đó ta chỉ cần xét trường hợp α, β, t
1
, t
2
đều là các số dương. Khi đó
αu + βv = αt
1
z
1
+ βt
2
z
2

= (αt
1
+ βt
2
)[
αt
1
αt
1
+ βt
2
z
1
+
βt
2
αt
1
+ βt
2
z
2
].
Vì M là tập lồi và
αt
1
αt
1
+ βt
2

> 0,
βt
2
αt
1
+ βt
2
> 0,
αt
1
αt
1
+ βt
2
+
βt
2
αt
1
+ βt
2
= 1, αt
1
+ βt
2
> 0,
nên
αt
1
αt

1
+ βt
2
z
1
+
βt
2
αt
1
+ βt
2
z
2
∈ M,
do đó αu + βv ∈ K(M).
iv) Để chứng tỏ K(M) thỏa mãn điều kiện iv) về nón ta chứng minh
bằng phương pháp phản chứng. Giả sử tồn tại u
0
∈ K(M) sao cho
u
0
= θ và −u
0
∈ K(M). Khi đó u
0
= t

1
z


1
, trong đó t

1
> 0, z

1
∈ M và
8
−u
0
= t

2
z

2
, với t

2
> 0, z

2
∈ M. Do
θ = u
0
+ (−u
0
) = t


1
z

1
+ t

2
z

2
= (
t

1
t

1
+ t

2
z

1
+
t

2
t


1
+ t

2
z

2
)(t

1
+ t

2
) ∈ K(M).
Từ hệ thức đó và từ M là tập lồi,
t

1
t

1
+ t

2
> 0,
t

2
t


1
+ t

2
> 0,
t

1
t

1
+ t

2
+
t

2
t

1
+ t

2
= 1,
suy ra
θ =
t
1
t

1
+ t
2
z
1
+
t
2
t
1
+ t
2
z
2
∈ M (do t
1
+ t
2
> 0),
điều này trái với giả thiết M không chứa phần tử không. Vậy K(M)
thỏa mãn điều kiện iv) về nón và do đó K(M) là một nón trong E. 
1.2. Quan hệ thứ tự trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử E là không gian định chuẩn thực, K là một
nón trong không gian E. Với x, y ∈ E ta viết x ≤ y nếu y − x ∈ K.
Định lý 1.2.1. Quan hệ "≤" xác định trong Định nghĩa 1.2.1 là một
quan hệ sắp thứ tự trong E.
Chứng minh. Ta kiểm tra ba tiên đề về quan hệ thứ tự.
i) Tính phản xạ:
Với mọi x ∈ K, x − x = θ ∈ K, điều này có được vì theo định nghĩa
của K ta lấy λ

0
= 0 và ∀x ∈ K thì θ = λ
0
x ∈ K. Do đó x ≤ x, ∀x ∈ K,
nên tính phản xạ được thỏa mãn.
ii) Tính đối xứng:
Giả sử x, y ∈ K, x ≤ y và y ≤ x khi đó x = y. Thật vậy, nếu trái lại
x = y thì x−y = θ. Do y−x ∈ K và x−y ∈ K nên −(x−y) = y−x ∈ K,
9
điều này mâu thuẫn với định nghĩa của K. Như vậy tính đối xứng được
thõa mãn.
iii) Tính bắc cầu:
Giả sử x, y, z ∈ K, x ≤ y, y ≤ z, khi đó, vì z−x = (z−y)+(y−x) ∈ K
nên x ≤ z, hay tính bắc cầu cũng được thỏa mãn.
Vậy quan hệ "≤" là một quan hệ thứ tự trên E. 
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử E là không gian định chuẩn thực, K là một
nón trong không gian E và "≤" là một quan hệ sắp thứ tự trên E được
xác định trên đây. Khi đó ta gọi cặp (E, ≤) (ta thường viết gọn là E) là
không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón K.
Ta có một vài khái niệm liên quan trong không gian định chuẩn thực
nửa sắp thứ tự như sau.
Định nghĩa 1.2.3. (Về dãy đơn điệu)
Dãy điểm (x
n
)
∞
n=1
⊂ E gọi là dãy không giảm, nếu
x
n

≤ x
n+1
, n = 1, 2, . . . .
Dãy điểm (y
n
)
∞
n=1
⊂ E gọi là dãy không tăng, nếu
y
n+1
≤ y
n
, n = 1, 2, . . . .
Các dãy không giảm, dãy không tăng gọi chung là dãy đơn điệu.
Định nghĩa 1.2.4. (Về tập bị chặn trên, bị chặn dưới bởi phần tử)
Tập hợp M ⊂ E gọi là bị chặn trên bởi phần tử u ∈ E, nếu
(∀x ∈ M) x ≤ u.
10
Tập hợp L ⊂ E gọi là bị chặn dưới bởi phần tử v ∈ E, nếu
(∀x ∈ L) v ≤ x.
Định nghĩa 1.2.5. (Về cận trên, cận dưới đúng)
+) Phần tử x
∗
gọi là cận trên đúng của tập M, nếu
i) (∀x ∈ M) x ≤ x
∗
;
ii) Nếu z ∈ E sao cho (∀x ∈ M) x ≤ z thì x
∗

≤ z.
Kí hiệu x
∗
= sup M.
+) Phần tử y
∗
gọi là cận trên đúng của tập L, nếu
i) (∀y ∈ L) y
∗
≤ y;
ii) Nếu w ∈ E sao cho (∀w ∈ L) w ≤ y thì w ≤ y
∗
.
Kí hiệu y
∗
= inf L.
Ta có một số tính chất đơn giản suy ra từ các định nghĩa trên.
Định lý 1.2.2. Giả sử hai dãy bất kì (x
n
)
∞
n=1
⊂ E, và (y
n
)
∞
n=1
⊂ E, thỏa
mãn x
n

≤ y
n
∀n = 1, 2, 3 Khi đó, nếu lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n
=
y trong E, thì x ≤ y.
Chứng minh. Ta có
lim
n→∞
(y
n
− x
n
) = y − x.
Vì y
n
− x
n
∈ K, ∀n = 1, 2, , và K là tập đóng, nên y − x ∈ K hay
x ≤ y. 
11
1.3. Các phần tử thông ước
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ
tự theo nón K ⊂ E, x, y ∈ E. Phần tử x gọi là thông ước với phần tử y,

nếu ∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0 sao cho αy ≤ x ≤ βy.
Nhận xét 1.3.1. Nếu phần tử x thông ước với phần tử y thì phần tử y
thông ước với phần tử x.
Thật vậy, nếu phần tử x thông ước với phần tử y thì ∃α = α(x) >
0, β = β(x) > 0 sao cho αy ≤ x ≤ βy. Do đó











y ≥
1
β
x,
y ≤
1
α
x,
⇒
1
β
x ≤ y ≤
1
α

x.
Đặt
1
β
= γ;
1
α
= µ ta có:
γx ≤ y ≤ µx.
Vậy phần tử y thông ước với phần tử x.
Định lý 1.3.1. Hai phần tử cùng thông ước với phần tử thứ ba thì thông
ước với nhau.
Chứng minh. Giả sử hai phần tử x, y ∈ E thông ước với phần tử z ∈ E.
Do đó ∃a > 0, ∃b > 0, ∃c > 0, ∃d > 0 sao cho
a.x ≤ z ≤ b.x
c.y ≤ z ≤ d.y
12
suy ra
cy ≤ z ≤ bx ≤
b
a
z ≤
bd
a
y
suy ra
c
b
y ≤ x ≤
d

a
y
suy ra
c(z)
b(z)
y ≤ x ≤
d(z)
a(z)
y
Đặt











α =
c(z)
b(z)
> 0;
β =
d(z)
a(z)
> 0;
Suy ra αy ≤ x ≤ βy.

Vậy, phần tử x thông ước với phần tử y. 
Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón
K ⊂ E, và H là một nón trong không gian E, u
0
∈ H \ {θ}, kí hiệu
H(u
0
) là tập hợp tất cả phần tử của không gian E thông ước với u
0
.
Ta có tính chất của tập H(u
0
) qua định lý dưới đây.
Định lý 1.3.2. H(u
0
) là tập lồi. Nếu u
0
∈ K \{θ} thì H(u
0
) ⊂ K \{θ}.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng tỏ H(u
0
) là tập lồi. Thật vậy, ∀x, y ∈
H(u
0
), ∀t ∈ [0, 1], thì x, y là hai phần tử thông ước với u
0
nên ta có:
∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0 sao cho αu
0

≤ x ≤ βu
0
;
∃γ = γ(y) > 0, ∃µ = µ(y) > 0 sao cho γu
0
≤ y ≤ µu
0
.
13
Do 1 −t ≥ 0 nên suy ra
tαu
0
≤ tx ≤ tβu
0
,
(1 −t)γu
0
≤ (1 − t)y ≤ (1 − t)µu
0
.
Hay
[tα + (1 − t)γ]u
0
≤ tx + (1 −t)y ≤ [tβ + (1 −t)µ]u
0
.
Điều này chứng tỏ
tx + (1 − t)y ∈ H(u
0
).

Vậy H(u
0
) là tập lồi.
Hơn nữa, nếu x ∈ H(u
0
) thì
∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0 sao cho αu
0
≤ x ≤ βu
0
.
Do u
0
= θ nên x = θ, hơn nữa, ta cũng suy ra
x −αu
0
∈ K và βu
0
− x ∈ K.
Như vậy, x ∈ K, và do đó
H(u
0
) ⊂ K \ {θ}.

1.4. Một số nón đặc biệt
Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E,
và H là một nón trong không gian E, u
0
∈ H \{θ}, kí hiệu H(u
0

) là tập
hợp tất cả phần tử của không gian E thông ước với u
0
.
14
Định nghĩa 1.4.1. Nón H gọi là chuẩn tắc nếu ∃δ > 0 sao cho
∀e
1
, e
2
∈ H : e
1
 = e
2
 = 1 thì e
1
+ e
2
 ≥ δ.
Định lý 1.4.1. Nón H là chuẩn tắc khi và chỉ khi nón H thỏa mãn điều
kiện ∃N > 0, ∀x, y ∈ H : y − x ∈ H để có bất đẳng thức
x
E
≤ Ny
E
. (1.4.1)
Chứng minh. Điều kiện đủ :
Giả sử điều kiện (1.4.1) được thỏa mãn. Khi đó,
(∀e
1

, e
2
∈ H : e
1
 = e
2
 = 1) ((e
1
+ e
2
) −e
1
= e
2
∈ H) ,
nên
1 = e
1
 ≤ N. e
1
+ e
2
 ⇔ e
1
+ e
2
 ≥ N
−1
.
Suy ra, H là nón chuẩn tắc.

Điều kiện cần:
Giả sử H là nón chuẩn tắc, ta sẽ chỉ ra ∃N > 0, ∀x, y ∈ H\{θ} : y−x ∈ H
sao cho
x
E
≤ Ny
E
.
Giả sử trái lại rằng (1.4.1) không xảy ra, tức là
(∀n ∈ N
∗
)(∃x
n
, y
n
∈ H\{θ} :y
n
− x
n
∈ H) x
n
 > n y
n
 (1.4.2)
Các hệ thức trong (1.4.2) chứng tỏ
x
n
n y
n


> 1, 0 <
n y
n

x
n

< 1, ∀n ∈ N
∗
.
Ta đặt
x
n
n y
n

= 1 + c
n
,
n y
n

x
n

= 1 − d
n
trong đó
c
n

> 0, 0 < d
n
< 1, n = 1, 2,
15
Xét các phần tử
g
n
=
x
n
x
n

+
y
n
n y
n

, và h
n
=
−x
n
x
n

+
y
n

n y
n

, n = 1, 2,
Ta có
g
n
 ≥




x
n
x
n





−




y
n
n y
n






= 1 −
1
n
> 0, ∀n ≥ 2;
h
n
 =




−x
n
x
n





−





y
n
n y
n





= 1 −
1
n
> 0, ∀n ≥ 2;
nên g
n
= θ, h
n
= θ, ∀n ≥ 2.
Hiển nhiên, g
n
∈ H, ∀n ∈ N
∗
; còn h
n
∈ H, ∀n ∈ N
∗
, được chứng minh
như sau
h
n

=
−x
n
x
n

+
y
n
n y
n

=
1
n x
n
. y
n


−
n y
n

x
n

x
n
+

x
n

n y
n

y
n

=
1
n x
n
. y
n

[(d
n
x
n
+ c
n
y
n
+ (y
n
− x
n
)] ∈ H, ∀n ∈ N
∗

.
Mặt khác,
g
n
 ≤




x
n
x
n





+




y
n
n y
n






≤ 1 +
1
n
, ∀n ∈ N
∗
;
h
n
 ≤




−x
n
x
n





+




y

n
n y
n





≤ 1 +
1
n
, ∀n ∈ N
∗
.
Nên, ∀n ≥ 2,
g
n
g
n

+
h
n
h
n

=
g
n
g

n

+
h
n
g
n

+
h
n
h
n

−
h
n
g
n

=
2y
n
n y
n
. g
n

+
g

n
 −h
n

g
n
. h
n

h
n
.
Do đó




g
n
g
n

+
h
n
h
n






≤
2
n g
n

+
1 +
1
n
− 1 +
1
n
g
n

≤
4
n −1
, ∀n ≥ 2
16
Cho n → ∞ ta được
lim
n→∞




g

n
g
n

+
h
n
h
n





= 0,
điều này mâu thuẫn với tính chất chuẩn tắc của nón H. Vậy, nếu nón H
là nón chuẩn tắc thì phải thỏa mãn (1.4.2). 
Định nghĩa 1.4.2. (Về nón h-cực trị)
Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂
E, H là một nón trong không gian E. Nón H được gọi là h-cực trị, nếu:
i) Mỗi dãy (x
n
)
∞
n=1
⊂ H không giảm và bị chặn trên bởi u ∈ H luôn
có sup(x
n
) thuộc H.
ii) Mỗi dãy (y

n
)
∞
n=1
⊂ H không tăng và bị chặn dưới bởi v ∈ H luôn
có inf(y
n
) thuộc H.
Định lý 1.4.2. Nếu H là nón h-cực trị thì H là nón chuẩn tắc.
Chứng minh. Giả sử E là không gian Banach thực, H là nón h-cực trị
trong không gian E. Giả sử trái lại H không là nón chuẩn tắc, tức là
(∀n ∈ N
∗
)(∃y
n
∈ H)(∃x
n
∈ H) x
n
 = y
n
 = 1
sao cho
x
n
+ y
n
 <
1
n

2
.
Khi đó, chuỗi:
(x
1
+ y
2
) + (x
2
+ y
2
) + + (x
n
+ y
n
) +
hội tụ tuyệt đối trong không gian Banach nên chuỗi đó hội tụ trong
không gian E.
17
Đặt
u =
∞

n=1
(x
n
+ y
n
), z
n

= x
1
+ x
2
+ + x
n
(n = 1, 2, ),
thì
z
n+1
− z
n
 = x
n+1
 = 1, ∀n ∈ N
∗
.
Suy ra (z
n
)
∞
n=1
không là dãy Cauchy trong không gian E. Tức là (z
n
)
∞
n=1
không hội tụ.
Mặt khác, dãy (z
n

)
∞
n=1
bị chặn bởi phần tử u. Hơn nữa,
z
n
≤ z
n+1
,z
n
≤
n

j=1
(x
j
+ y
j
) ≤ u
nghĩa là, dãy (z
n
)
∞
n=1
không giảm và bị chặn trên bởi phần tử u, nhưng
theo trên dãy (z
n
)
∞
n=1

không hội tụ, điều này mâu thuẫn với tính chất
của nón H. Vậy, nếu H là nón h-cực trị thì H là nón chuẩn tắc.

1.5. Không gian định chuẩn thực l
2
1.5.1. Định nghĩa không gian l
2
và một số tính chất quan trọng
Xét tập hợp
l
2
= {x = (x
n
)
∞
n=1
: x
n
∈ R,
∞

n=1
|x
n
|
2
< +∞}.
Trên l
2
trang bị hai phép toán cộng và nhân với vô hướng thông

thường xác định bởi:
18
Phép cộng:
+ : l
2
× l
2
−→ l
2
(x, y) −→ x + y
xác định bởi x + y = (x
n
+ y
n
)
∞
n=1
.
Phép nhân với vô hướng:
· : R × l
2
−→ l
2
(λ, x) −→ λx
xác định bởi λx = (λx
n
)
∞
n=1
.

Dễ dàng thấy rằng tập hợp l
2
cùng với hai phép toán cộng và nhân
với vô hướng ở trên lập thành một không gian tuyến tính thực.
Trước hết, ta thấy l
2
đóng kín với hai phép toán cộng và nhân với
vô hướng. Thật vậy, ∀x = (x
n
)
∞
n=1
, ∀y = (y
n
)
∞
n=1
∈ l
2
áp dụng bất đẳng
thức Mincovxki ∀k ∈ N
∗
ta có

k

n=1
|x
n
+ y

n
|
2

1
2
≤

k

n=1
|x
n
|
2

1
2
+

k

n=1
|y
n
|
2

1
2

≤

∞

n=1
|x
n
|
2

1
2
+

∞

n=1
|y
n
|
2

1
2
.
Cho k → ∞ ta được

∞

n=1

|x
n
+ y
n
|
2

1
2
≤

∞

n=1
|x
n
|
2

1
2
+

∞

n=1
|y
n
|
2


1
2
< +∞.
Nên x + y ∈ l
2
. +) ∀α ∈ R, ∀x = (x
n
)
∞
n=1
∈ l
2
, với mọi k ∈ N
∗
ta có

k

n=1
|αx
n
|
2

1
2
= |α|

k


n=1
|x
n
|
2

1
2
≤ |α|

∞

n=1
|x
n
|
2

1
2
.
19
cho k → ∞ ta được

∞

n=1
|αx
n

|
2

1
2
≤ |α|

∞

n=1
|x
n
|
2

1
2
< +∞
Nên αx ∈ l
2
, ∀x = (x
n
)
∞
n=1
.
Bây giờ ta kiểm tra sự thỏa mãn các tiên đề về không gian tuyến tính:
(∀x = (x
n
)

∞
n=1
∈ l
2
) (∀y = (y
n
)
∞
n=1
∈ l
2
) (∀z = (z
n
)
∞
n=1
∈ l
2
)) (∀α, β ∈ R)
ta có
1)
(x + y) + z = (x
n
+ y
n
)
∞
n=1
+ (z
n

)
∞
n=1
=

(x
n
+ y
n
) + z
n

∞
n=1
=

x
n
+ (y
n
+ z
n
)

∞
n=1
= (x
n
)
∞

n=1
+ (y
n
+ z
n
)
∞
n=1
= x + (y + z);
2) x + y = (x
n
+ y
n
)
∞
n=1
= (y
n
+ x
n
)
∞
n=1
= y + x;
3) ∃θ = (0, 0, ) ∈ l
2
: x + θ = (x
n
+ 0)
∞

n=1
= (x
n
)
∞
n=1
= x; phần tử θ là
phần tử không của l
2
.
4) ∃ −x = (−x)
∞
n=1
∈ l
2
: x + (−x) =

x
n
+ (−x
n
)

∞
n=1
= θ; phần tử −x
là phần tử đối của phần tử x.
5) (αβ)x =

(αβ)x

n

∞
n=1
=

α(β)x
n

∞
n=1
= α(βx
n
)
∞
n=1
= α(βx);
6)
(α + β)x =

(α + β)x
n

∞
n=1
= (αx
n
+ βx
n
)

∞
n=1
= (αx
n
)
∞
n=1
+ (βx
n
)
∞
n=1
= αx + βx;
7)
α(x + y) = α(x
n
+ y
n
)
∞
n=1
= (αx
n
+ αy
n
)
∞
n=1
= (αx
n

)
∞
n=1
+ (αy
n
)
∞
n=1
= α(x
n
)
∞
n=1
+ α(y
n
)
∞
n=1
= αx + αy;
20