Về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ trong không gian với cấu trúc đều và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LÊ KHÁNH HƯNG
VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ
TRONG KHÔNG GIAN VỚI CẤU TRÚC ĐỀU
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LÊ KHÁNH HƯNG
VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ
TRONG KHÔNG GIAN VỚI CẤU TRÚC ĐỀU
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02
TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS. TS. TRẦN VĂN ÂN
2. TS. KIỀU PHƯƠNG CHI
NGHỆ AN - 2015
0
MỤC LỤC
Mục lục 0
Lời cam đoan iii
Lời cảm ơn iv
Các ký hiệu được dùng trong luận án vi
Mở đầu 1
1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4. Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7. Tổng quan và cấu trúc luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7.1 Tổng quan luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7.2 Cấu trúc luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Không gian đều và định lý điểm bất động 10
1.1. Không gian đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Điểm bất động của các ánh xạ co yếu . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Điểm bất động của các ánh xạ (β,Ψ
1
)-co . . . . . . . . . . . 23
1.4. Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . 33
2 Điểm bất động của một số lớp ánh xạ trong không gian
đều sắp thứ tự bộ phận và ứng dụng 40
2.1. Điểm bất động bộ đôi trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận 40
2.2. Điểm bất động bộ ba trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận 51
2.3. Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . 69
3 Điểm bất động trong đại số lồi địa phương và ứng dụng 82
3.1. Đại số lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2. Điểm bất động trong đại số lồi địa phương . . . . . . . . . . 84
3.3. Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . 90
Kết luận và kiến nghị 97
Danh mục công trình của nghiên cứu sinh liên quan đến luận
án 99
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
iii
LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trần
Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi. Tôi xin cam đoan rằng các kết quả
trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả
cho phép sử dụng và luận án không trùng lặp với bất kỳ tài liệu nào
khác.
Tác giả
iv
LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.
TS. Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi. Trước hết, tác giả xin được
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với những người Thầy của mình: PGS.
TS. Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi, những người đã đặt bài toán
và hướng nghiên cứu cho tác giả. Các Thầy đã dạy bảo, chỉ dẫn tác giả
nghiên cứu một cách kiên trì và nghiêm khắc. Tác giả đã học được rất
nhiều kiến thức khoa học, nhận được sự chia sẻ, yêu thương của các Thầy
trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Đinh Huy
Hoàng, người đã dạy bảo tác giả từ những bước đi đầu tiên trong nghiên
cứu khoa học ngay từ khi còn là sinh viên. Trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu, Thầy luôn tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi
nhất để tác giả học tập và hoàn thành luận án.
Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại
học Vinh, Trường THPT Chuyên - Trường Đại học Vinh đã quan tâm
động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung
học tập và nghiên cứu.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Khoa Sư phạm Toán học, Tổ
Giải tích, Phòng đào tạo Sau đại học và các Phòng chức năng khác của
Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành
nhiệm vụ của nghiên cứu sinh.
Xin cảm ơn các thầy cô giáo, các anh chị em nghiên cứu sinh của

Trường Đại học Vinh và tất cả bạn bè của tác giả về những chia sẻ, động
viên trong quá trình học tập và nghiên cứu.
v
Cuối cùng, tác giả vô cùng biết ơn mọi thành viên trong gia đình của
mình, đã luôn tạo mọi điều kiện và dành tất cả sự quan tâm, chia sẻ mọi
khó khăn cùng tác giả suốt những năm tháng qua để tác giả có thể hoàn
thành luận án này.
Nghệ An, năm 2015
Tác giả
vi
CÁC KÝ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN ÁN
N : Tập hợp các số tự nhiên, hay tập hợp {0, 1, 2, . . .}.
N
∗
: Tập hợp các số tự nhiên khác 0, hay tập hợp {1, 2, 3, . . .}.
R : Tập hợp các số thực.
R
+
: Tập hợp các số thực không âm, hay [0, +∞).
I : Tập hợp chỉ số.
A
n
: Tích Descartes của n tập A.
id
X
: Ánh xạ đồng nhất từ tập X vào chính nó.
f
n
(x) : Hợp thành f


f(. . . (x) . . .)

với n lần f.
C(X, R) : Không gian tất cả các hàm liên tục từ X vào R.
Φ : Họ các hàm φ
α
: R
+
→ R
+
, α ∈ I, đơn điệu tăng, liên tục
thỏa mãn φ
α
(0) = 0 và 0 < φ
α
(t) < t với mọi t > 0.
Φ
1
: Họ các hàm φ
α
: R
+
→ R
+
, α ∈ I, đơn điệu không giảm
thỏa mãn φ
α
(0) = 0 và 0 < φ
α
(t) < t với mọi t > 0.

Ψ : Họ các hàm ψ
α
: R
+
→ R
+
, α ∈ I, đơn điệu tăng, liên tục
thỏa mãn ψ
α
(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0.
Ψ
1
: Họ các hàm ψ
α
: R
+
→ R
+
, α ∈ I, đơn điệu không giảm
thỏa mãn ψ
α
(0) = 0 và với mỗi α ∈ I tồn tại ψ
α
∈ Ψ
1
sao cho
sup

ψ
j

n
(α)
(t) : n = 0, 1, 2, . . .

≤ ψ
α
(t) và
+∞

n=1
ψ
n
α
(t) < +∞
với mọi t > 0.
Π : Họ các hàm ϕ
α
: R
+
→ R
+
, α ∈ I, liên tục thỏa mãn
ϕ
α
(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0.
1
MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
1.1. Kết quả đầu tiên về điểm bất động của các ánh xạ thu được
từ năm 1911. Lúc đó, L. Brouwer đã chứng minh rằng: Mỗi ánh xạ liên

tục từ một tập lồi compắc bất kỳ trong không gian hữu hạn chiều vào
chính nó có ít nhất một điểm bất động. Năm 1922, S. Banach đã giới
thiệu lớp ánh xạ co trong các không gian mêtric và chứng minh nguyên
lý ánh xạ co nổi tiếng: Mỗi ánh xạ co từ một không gian mêtric đầy đủ
(X, d) vào chính nó có duy nhất điểm bất động. Sự ra đời của Nguyên
lý ánh xạ co Banach cùng với ứng dụng của nó để nghiên cứu sự tồn tại
nghiệm của các phương trình vi phân đánh dấu một sự phát triển mới
của hướng nghiên lý thuyết điểm bất động. Sau đó, nhiều nhà toán học
đã tìm cách mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach lên các lớp ánh xạ và
không gian khác nhau. Chỉ riêng việc mở rộng ánh xạ co, đến năm 1977
đã được B. E. Rhoades tổng kết và so sánh với 25 dạng tiêu biểu ([62]).
1.2. Nguyên lý ánh xạ co Banach ([14]) gắn liền với lớp ánh xạ co
T : X → X trong không gian mêtric đầy đủ (X, d) với điều kiện co
(B) d(T x, T y) ≤ kd(x, y), với mọi x, y ∈ X trong đó 0 ≤ k < 1.
Đã có nhiều nhà toán học tìm cách mở rộng Nguyên lý ánh xạ co
Banach lên các lớp ánh xạ và không gian khác nhau. Mở rộng đầu tiên
thu được bởi E. Rakotch ([59]) bằng cách làm giảm nhẹ điều kiện co có
dạng
(R) d(T x, T y) ≤ θ

d(x, y)

d(x, y), với mọi x, y ∈ X, trong đó θ : R
+
→
[0, 1) là hàm đơn điệu giảm.
Năm 1969, D. W. Boyd và S. W. Wong ([22]) đã đưa ra một dạng mở
rộng hơn của kết quả trên, khi xét điều kiện co có dạng
2
(BW) d(T x, T y) ≤ ϕ


d(x, y)

, với mọi x, y ∈ X, trong đó ϕ : R
+
→ R
+
là hàm nửa liên tục trên bên phải và thỏa mãn 0 ≤ ϕ(t) < t với mọi
t ∈ R
+
.
Cùng thời gian trên, F. E. Browder ([23]), M. Furi và A. Vignoli ([40])
cũng xét một điều kiện co dạng tương tự. Trong các bài báo của M. Furi
([39]), R. M. Bianchini và M. C. Grandolfi ([20]), các tác giả đã đưa ra
điều kiện co dạng
(F) d(T x, T y) ≤ ϕ

d(x, y)

, với mọi x, y ∈ X, trong đó ϕ(t) là hàm đơn
điệu tăng và thỏa mãn lim
n→∞
ϕ
n
(t) = 0 với mọi t > 0.
Năm 1975, F. Matkowski ([55]) đã làm nhẹ hơn điều kiện (F) khi xét
điều kiện co sau đây
(M) d(T x, T y) ≤ ϕ

d(x, y)


, với mọi x, y ∈ X, trong đó ϕ(t) < t với mọi
t > 0.
Năm 2001, B. E. Roades ([63]) khi cải tiến và mở rộng kết quả của
Y. I. Alber và S. Guerre-Delabriere đã đưa ra điều kiện co dạng
(R1) d(T x, T y) ≤ d(x, y) − ϕ

d(x, y)

, với mọi x, y ∈ X, trong đó ϕ :
R
+
→ R
+
là hàm liên tục, đơn điệu tăng sao cho ϕ(t) = 0 khi và chỉ khi
t = 0.
Tiếp tục theo hướng giảm nhẹ điều kiện co, năm 2008, P. N. Dutta và
B. S. Choudhury ([34]) đã đưa ra điều kiện co dạng
(DC) ψ

d(T x, T y)

≤ ψ

d(x, y)

− ϕ

d(x, y)


, với mọi x, y ∈ X, trong
đó ψ, ϕ : R
+
→ R
+
là hàm liên tục, đơn điệu không giảm sao cho ψ(t) =
0 = ϕ(t) khi và chỉ khi t = 0.
Lưu ý rằng trong điều kiện co (DC), nếu ta lấy ψ(t) = t và ϕ(t) = (1−k)t
với mọi t ∈ R
+
, thì ta thu được điều kiện co (B).
Năm 2009, R. K. Bose và M. K. Roychowdhury ([21]) đã đưa ra khái
niệm ánh xạ co yếu suy rộng mới với điều kiện co sau đây nhằm nghiên
cứu điểm bất động chung của các ánh xạ.
(BR) ψ

d(T x, Sy

≤ ψ

d(x, y)

−ϕ

d(x, y)

, với mọi x, y ∈ X, trong đó
ψ, ϕ : R
+
→ R

+
là các hàm liên tục sao cho ψ(t) > 0, ϕ(t) > 0 với t > 0
và ψ(0) = 0 = ϕ(0), hơn nữa, ϕ là hàm đơn điệu không giảm và ψ là hàm
đơn điệu tăng.
3
Năm 2012, B. Samet, C. Vetro và P. Vetro ([64]) đã giới thiệu khái
niệm ánh xạ kiểu α-ψ-co trên không gian mêtric đầy đủ, với điều kiện co
dạng
(SVV) α(x, y)d(T x, T y) ≤ ψ

d(x, y)

, với mọi x, y ∈ X trong đó ψ :
R
+
→ R
+
là hàm đơn điệu không giảm thỏa mãn

+∞
n=1
ψ
n
(t) < +∞ với
mọi t > 0 và α : X × X → R
+
.
1.3. Trong những năm gần đây, nhiều tác giả tiếp tục theo hướng
tổng quát hóa các điều kiện co cho các ánh xạ trên không gian mêtric
sắp thứ tự bộ phận. Theo hướng này, năm 2006, T. G. Bhaskar và V.

Lakshmikantham ([19]) đã đưa ra khái niệm điểm bất động bộ đôi của
các ánh xạ F : X × X → X có tính chất đơn điệu trộn và thu được một
số kết quả cho lớp ánh xạ đó trên không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận
và thỏa mãn điều kiện co
(BL) Tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho d

F (x, y), F (u, v)

≤
k
2

d(x, u)+d(y, v)

,
với mọi x, y, u, v ∈ X mà x ≥ u, y ≤ v.
Năm 2009, tiếp tục mở rộng các định lý điểm bất động bộ đôi, V.
Lakshmikantham và L. Ciric ([51]) đã thu được một số kết quả cho lớp
ánh xạ F : X × X → X có tính chất g-đơn điệu trộn với g : X → X trên
không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận và thỏa mãn điều kiện co sau đây.
(LC) d

F (x, y), F (u, v)

≤ ϕ

d

g(x), g(u)


+ d

g(y), g(v)

2

,
với mọi x, y, u, v ∈ X mà g(x) ≥ g(u), g (y) ≤ g(v) và F (X × X) ⊂ g(X).
Năm 2011, V. Berinde và M. Borcut ([18]) đưa ra khái niệm điểm bất
động bộ ba cho lớp các ánh xạ F : X × X ×X → X và đã thu được một
số định lý điểm bất động bộ ba cho các ánh xạ có tính chất đơn điệu
trộn trên không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận thỏa mãn điều kiện co
(BB) Tồn tại các hằng số j, k, l ∈ [0, 1) sao cho j + k + l < 1 thỏa mãn
d

F (x, y, z), F (u, v, w)

≤ jd(x, u)+kd(y, v)+ld(z, w), với mọi x, y, z, u, v, w ∈
X mà x ≥ u, y ≤ v, z ≥ w.
Sau đó, năm 2012, H. Aydi và E. Karapinar ([12]) đã mở rộng kết quả
trên và thu được một số định lý điểm bất động bộ ba cho lớp các ánh xạ
F : X × X × X → X có tính chất đơn điệu trộn trên không gian mêtric
4
sắp thứ tự bộ phận thỏa mãn điều kiện co yếu sau đây.
(AK) Tồn tại hàm φ sao cho với mọi x ≤ u, y ≥ v, z ≤ w ta có
d

T F (x, y, z), T F (u, v, w)

≤ φ


max

d(T x, T u), d(T y, T v), d(T z, T w)


.
1.4. Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có động lực
từ những ứng dụng rộng rãi của nó, đặc biệt là trong lý thuyết phương
trình vi phân và tích phân mà dấu ấn đầu tiên là việc áp dụng Nguyên
lý ánh xạ co Banach để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương
trình vi phân thường.
Trong lý thuyết phương trình vi phân và tích phân hiện đại, việc chứng
minh sự tồn tại hay việc xấp xỉ nghiệm vẫn thường được quy về áp dụng
thích hợp một định lý điểm bất động nào đó. Đối với các bài toán biên
với miền bị chặn thì các định lý điểm bất động trong không gian mêtric
là đủ để làm tốt công việc trên. Tuy nhiên, đối với các bài toán biên với
các miền không bị chặn thì các định lý điểm bất động trong không gian
mêtric là không đủ để thực hiện. Vì vậy, vào thập niên 70 của thế kỷ
trước, song song với việc tìm cách mở rộng lớp ánh xạ người ta đã tìm
cách mở rộng lên các lớp không gian rộng hơn. Một trong những hướng
mở rộng tiêu biểu là tìm cách mở rộng các kết quả về điểm bất động của
các ánh xạ trên không gian mêtric lên lớp các không gian lồi địa phương,
rộng hơn nữa là các không gian đều và đã thu hút được sự quan tâm của
nhiều toán học mà nổi bật là V. G. Angelov.
Trong ([10]), V. G. Angelov đã xét họ các hàm thực Φ = {φ
α
: α ∈ I}
sao cho với mỗi α ∈ I, φ
α

: R
+
→ R
+
là hàm đơn điệu tăng, liên tục,
φ
α
(0) = 0 và 0 < φ
α
(t) < t với mọi t > 0. Từ đó ông đã giới thiệu khái
niệm ánh xạ Φ-co, đó là ánh xạ T : M → X thỏa mãn điều kiện
(A) d
α
(T x, T y) ≤ φ
α

d
j(α)
(x, y)

với mọi x, y ∈ M và với mọi α ∈ I,
trong đó M ⊂ X và thu được một số kết quả về điểm bất động của lớp
ánh xạ này. Bằng cách đưa ra khái niệm không gian có tính chất j-bị
chặn, V. G. Angelov đã thu được một số kết quả về tính duy nhất điểm
bất động của lớp ánh xạ trên.
Theo hướng mở rộng các kết quả về điểm bất động lên lớp các không
gian lồi địa phương, năm 2005, B. C. Dhage ([29]) thông qua nghiên
5
cứu nghiệm của phương trình toán tử x = AxBx trong đó A : X → X,
B : S → X là hai toán tử thỏa mãn A là D-Lipschitz, B là hoàn toàn

liên tục và x = AxBy kéo theo x ∈ S với mọi y ∈ S, với S là một tập con
đóng, lồi và bị chặn của đại số Banach X, sao cho thỏa mãn điều kiện co
(Dh) ||T x −T y|| ≤ φ

||x −y||

với mọi x, y ∈ X, trong đó φ : R
+
→ R
+
là hàm liên tục không giảm, φ(0) = 0,
đã thu được một số định lý điểm bất động trong các đại số Banach.
1.5. Trong thời gian gần đây, cùng với sự xuất hiện những lớp ánh xạ
co mới, những kiểu điểm bất động mới trong không gian mêtric, hướng
nghiên cứu lý thuyết điểm bất động đã có những bước phát triển mới
mạnh mẽ. Với những lý do trên, nhằm mở rộng các kết quả về lý thuyết
điểm bất động trên cho lớp các không gian có cấu trúc đều, chúng tôi
chọn đề tài ‘‘Về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ
trong không gian với cấu trúc đều và ứng dụng” làm đề tài luận
án tiến sĩ.
2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận án là mở rộng các kết quả về sự tồn tại
điểm bất động trong không gian mêtric của một số lớp ánh xạ lên lớp
không gian với cấu trúc đều và ứng dụng chúng để chứng minh sự tồn
tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị
chặn.
3 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các không gian đều, các ánh
xạ co suy rộng trên không gian đều, điểm bất động, điểm bất động bộ
đôi, điểm bất động bộ ba của một số lớp ánh xạ trong không gian với

cấu trúc đều, một số lớp phương trình tích phân.
4 Phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu các định lý điểm bất động trong không gian
đều và ứng dụng vào bài toán sự tồn tại nghiệm của các phương trình
tích phân với hàm độ lệch không bị chặn.
6
5 Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của Giải tích
hàm, Lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân và Lý
thuyết điểm bất động trong quá trình thực hiện đề tài.
6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Luận án đã mở rộng được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất
động trong không gian mêtric cho không gian với cấu trúc đều. Đồng thời
đã xét được sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân với
độ lệch không bị chặn, mà chúng ta không thể áp dụng các định lý điểm
bất động trong không gian mêtric.
Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên
cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích nói chung, Lý thuyết
điểm bất động và ứng dụng nói riêng.
7 Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1 Tổng quan luận án
Trong luận án này, chúng tôi trình bày một số mở rộng các định lý
điểm bất động của một số lớp ánh xạ với các điều kiện co suy rộng trong
không gian với cấu trúc đều, đưa ra một số ví dụ minh họa. Sau đó, áp
dụng các kết quả thu được để chứng minh sự tồn tại cũng như tồn tại
duy nhất nghiệm của một số lớp phương trình tích phân phi tuyến với
độ lệch không bị chặn.
Trong Chương 1, trước hết chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và
các kết quả đã biết về không gian đều cần dùng cho các trình bày về
sau. Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu khái niệm ánh xạ (Ψ, Π)-co, mà nó

là mở rộng khái niệm (ψ, ϕ)-co của P. N. Dutta và B. S. Choudhury trên
không gian đều, và thu được một kết quả về sự tồn tại điểm bất động
của ánh xạ (Ψ, Π)-co trên không gian đều. Bằng cách đưa ra khái niệm
không gian đều có tính chất j-đơn điệu giảm, chúng tôi thu được kết quả
về sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ (Ψ, Π)-co. Tiếp theo,
mở rộng khái niệm ánh xạ α -ψ-co trên không gian mêtric cho không gian
7
đều, chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ (β, Ψ
1
)-co trên không gian đều
và thu được một số định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ này. Các định
lý thu được trong không gian đều xem như là các mở rộng của những
định lý trong không gian mêtric đầy đủ. Cuối cùng, ứng dụng định lý thu
được về điểm bất động của lớp ánh xạ (β, Ψ
1
)-co trên không gian đều,
chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình
tích phân phi tuyến với độ lệch không bị chặn. Lưu ý rằng, khi xét một
lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn, chúng ta không
thể áp dụng các định lý điểm bất động đã biết trong không gian mêtric.
Các kết quả chính của Chương 1 là Định lý 1.2.6, Định lý 1.2.9, Định lý
1.3.11 và Định lý 1.4.3. Cụ thể, Định lý 1.2.6 chỉ ra sự tồn tại, tồn tại
duy nhất điểm bất động của một lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co trên không gian
đều; Định lý 1.2.9 khẳng định sự tồn tại, tồn tại duy nhất điểm bất động
chung của hai ánh xạ co trên không gian đều; Định lý 1.3.11 đưa ra điều
kiện tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động của các ánh xạ (β, Ψ
1
)-co.
Cuối cùng, Định lý 1.4.3 khẳng định sự tồn tại nghiệm trong C(R
+

, R)
của một lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn.
Trong Chương 2, chúng tôi xét trên không gian đều sắp thứ tự bộ
phận. Đầu tiên, trong mục 2.1, chúng tôi thu được các kết quả về điểm
bất động bộ đôi cho một lớp ánh xạ trong không gian đều sắp thứ tự
bộ phận khi mở rộng điều kiện co (LC) của V. Lakshmikantham và L.
Ciric cho ánh xạ trong không gian đều. Trong mục 2.2, bằng cách mở
rộng điều kiện co (AK) của H. Aydi và E. Karapinar cho ánh xạ trong
không gian đều, chúng tôi thu được các kết quả về điểm bất động bộ
ba của một lớp ánh xạ trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận. Trong
mục 2.3, bằng cách đưa vào các khái niệm nghiệm bộ đôi trên và dưới,
nghiệm bộ ba trên và dưới, áp dụng các kết quả thu được trong mục 2.1,
2.2, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm duy nhất của một
vài lớp phương trình tích phân phi tuyến với độ lệch không bị chặn. Kết
quả chính của Chương 2 là Định lý 2.1.5, Hệ quả 2.1.6, Định lý 2.2.5, Hệ
quả 2.2.6, Định lý 2.3.3 và Định lý 2.3.6. Cụ thể, Định lý 2.1.5, Hệ quả
2.1.6 kết luận sự tồn tại, tồn tại duy nhất điểm bất động bộ đôi của một
lớp ánh xạ; Định lý 2.2.5, Hệ quả 2.2.6 khẳng định sự tồn tại, tồn tại
duy nhất điểm bất động bộ ba của một lớp ánh xạ. Cuối cùng, các Định
8
lý 2.3.3 và Định lý 2.3.6 khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm trong
C(R
+
, R) của một vài lớp phương trình tích phân phi tuyến với độ lệch
không bị chặn.
Trong Chương 3, đầu tiên chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ
bản về đại số lồi địa phương cần dùng cho các trình bày về sau. Tiếp
theo, trong mục 3.2, bằng cách mở rộng khái niệm D-Lipschitz cho các
ánh xạ trên các đại số lồi địa phương và dựa vào các kết quả đã biết trong
đại số Banach, không gian đều, chúng tôi thiết lập một định lý điểm bất

động trong đại số lồi địa phương mà nó là mở rộng của kết quả thu được
bởi B. C. Dhage ([29]). Cuối cùng, trong mục 3.3, áp dụng định lý thu
được chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình
tích phân trong đại số lồi địa phương với độ lệch không bị chặn. Kết quả
chính của Chương 3 là Định lý 3.2.5, Định lý 3.3.2. Cụ thể, Định lý 3.2.5
khẳng định phương trình toán tử x = AxBx trong đại số lồi địa phương
có nghiệm; Định lý 3.3.2 kết luận phương trình tích phân phi tuyến với
độ lệch không bị chặn có nghiệm trong C(R
+
, R).
Trong luận án này, chúng tôi cũng giới thiệu nhiều ví dụ nhằm minh
họa cho các kết quả thu được và ý nghĩa mở rộng của các định lý được
đưa ra.
7.2 Cấu trúc luận án
Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra, luận án
còn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, Kết luận và
Kiến nghị, Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan
đến luận án và Tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày mở rộng các định lý điểm bất động của một số
lớp ánh xạ trên không gian mêtric cho không gian đều. Trong phần đầu
của chương, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về không gian tôpô,
không gian đều. Trong mục 1.2, chúng tôi nghiên cứu điểm bất động của
ánh xạ co yếu trong không gian đều. Mục 1.3 dành cho việc nghiên cứu
về điểm bất động của ánh xạ (β, Ψ
1
)-co trong không gian đều. Mục 1.4,
ứng dụng các kết quả về điểm bất động của ánh xạ (β, Ψ
1
)-co để xét sự
tồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến.

9
Chương 2 nhằm trình bày một số mở rộng các kết quả trong không
gian mêtric cho không gian đều sắp thứ tự bộ phận. Trong mục 2.1,
chúng tôi đưa ra các định lý điểm bất động bộ đôi. Mục 2.2, chúng tôi
xét sự tồn tại điểm bất động bộ ba. Mục 2.3, chúng tôi ứng dụng các
kết quả thu được để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương
trình tích phân phi tuyến.
Chương 3 dành cho việc nghiên cứu định lý điểm bất động trong đại số
lồi địa phương và ứng dụng của kết quả thu được. Trong mục 3.1, chúng
tôi trình bày lại một số kiến thức, khái niệm về đại số lồi địa phương.
Mục 3.2 dành cho việc trình bày và chứng minh định lý điểm bất động
của một lớp ánh xạ trên đại số lồi địa phương. Cuối cùng, trong mục 3.3,
chúng tôi đã ứng dụng kết quả thu được để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm
của phương trình tích phân phi tuyến.
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo,
trong đó có 01 bài thuộc danh mục SCIE; đã được nhận đăng trong 02
bài báo khác, trong đó có 01 bài thuộc danh mục SCIE và đang gửi công
bố trong 01 bài báo. Từng phần trong nội dung của luận án cũng đã
được trình bày tại
• Seminar của Tổ Giải tích; thuộc Khoa Toán Trường Đại học Vinh;
• Các Hội nghị NCS; của Trường Đại học Vinh (2010 - 2014);
• Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp tại Huế 20-24/8/2012;
• Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8 tại Nha Trang 10-14/8/2013.
10
CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN ĐỀU
VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày một số kiến thức
cơ bản về không gian đều và những kết quả sử dụng cho phần sau. Tiếp
theo, chúng tôi đưa ra các định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co

trong không gian đều. Trong phần cuối của chương, chúng tôi mở rộng
các định lý điểm bất động của lớp ánh xạ α-ψ-co trong không gian mêtric
được trình bày trong ([64]) lên không gian đều. Sau đó, chúng tôi ứng
dụng các kết quả mới này để chứng tỏ một lớp phương trình tích phân
với độ lệch không bị chặn có nghiệm duy nhất.
1.1 Không gian đều
Mục này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về không gian đều cần
dùng cho những trình bày về sau. Những kiến thức này đã được trình
bày trong các tài liệu ([2], [9], [48]).
Cho tập X khác rỗng, U, V ⊂ X × X. Ta ký hiệu
1) U
−1
= {(x, y) ∈ X × X : (y, x) ∈ U}.
2) U ◦V = {(x, z) : ∃y ∈ X, (x, y) ∈ U, (y, z) ∈ V } và viết U
2
thay cho
U ◦ U.
3) ∆(X) = {(x, x) : x ∈ X} và gọi ∆(X) là đường chéo của X.
4) U[A] = {y ∈ X : ∃x ∈ A để (x, y) ∈ U}, với A ⊂ X và viết U [x]
thay cho U[{x}].
1.1.1 Định nghĩa. Họ U các tập con của X ×X được gọi là cái đều hay
cấu trúc đều trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau
11
1) ∆(X) ⊂ U với mọi U ∈ U.
2) Nếu U ∈ U thì U
−1
∈ U.
3) Nếu U ∈ U thì tồn tại V ∈ U sao cho V
2
⊂ U.

4) Nếu U, V ∈ U thì U ∩V ∈ U.
5) Nếu U ∈ U và U ⊂ V ⊂ X × X thì V ∈ U.
Cặp (X, U) được gọi là một không gian đều.
1.1.2 Ví dụ. 1) Cho (X, d) là một không gian mêtric. Khi đó, họ U =
{U
n
: n = 1, 2, . . .}, trong đó
U
n
=

(x, y) ∈ X × X : d(x, y) <
1
n

là cái đều trên X.
2) Mỗi không gian véctơ tôpô là không gian đều.
Trong thực tế, mỗi cấu trúc đều luôn được sinh ra bởi một họ các giả
mêtric trên X. Kết quả này đã được chứng minh bởi N. Bourbaki trong
([48]).
1.1.3 Định lý. Cấu trúc đều trên X được sinh ra bởi một họ các giả
mêtric liên tục đều trên X.
1.1.4 Định lý. Giả sử (X, U) là không gian đều. Với mỗi A ∈ U và
x ∈ X ta ký hiệu U
A
(x) = {y ∈ X : (x, y) ∈ A}. Khi đó, họ τ = {U
A
(x) :
x ∈ X, A ∈ U} là một tôpô trên X và τ được gọi là tôpô của không gian
đều (tôpô sinh bởi cấu trúc đều).

1.1.5 Nhận xét. 1) Nếu X là không gian mêtric hoặc là không gian
véctơ tôpô thì tôpô sinh bởi cấu trúc đều trùng với tôpô xuất phát.
2) ([2]) Đối với không gian lồi địa phương X, tôpô của nó được sinh
bởi một họ các nửa chuẩn {p
α
}
α∈I
. Khi đó, họ các nửa chuẩn sẽ cảm
sinh ra các giả mêtric {d
α
}
α∈I
(gọi là các giả mêtric liên kết) cho bởi
d
α
(x, y) = p
α
(x −y) với mọi x, y ∈ X.
1.1.6 Mệnh đề. Cho X là không gian đều với cấu trúc đều sinh bởi họ
các giả mêtric P = {d
α
}
α∈I
. Khi đó,
1) X là không gian Hausdorff khi và chỉ khi nếu d
α
(x, y) = 0 với mọi
α ∈ I thì x = y.
12
2) Dãy {x

n
} hội tụ tới x ∈ X khi và chỉ khi với mọi α ∈ I, d
α
(x
n
, x) → 0
khi n → ∞.
Ta cần thêm một số khái niệm sau đây mà chúng cần dùng cho các
phần tiếp theo của luận án.
1.1.7 Định nghĩa. ([9]) Cho X là không gian đều với cấu trúc đều sinh
bởi họ các giả mêtric P = {d
α
}
α∈I
. Khi đó,
1) Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu d
α
(x
n
, x
m
) → 0 khi
m, n → ∞ với mọi α ∈ I.
2) Không gian X được gọi là đầy đủ dãy nếu mọi dãy Cauchy trong
X đều hội tụ.
1.1.8 Chú ý. 1) Giả sử X là không gian đều. Khi đó, tôpô đều trên X
được sinh bởi một họ các giả mêtric liên tục trên X ([48]).
2) Nếu E là không gian lồi địa phương với họ bão hòa các nửa chuẩn

{p
α
}
α∈I
, thì họ các giả mêtric liên kết {d
α
}
α∈I
xác định bởi d
α
(x, y) =
p
α
(x − y) với mọi x, y ∈ E. Khi đó, tôpô đều được sinh bởi họ các giả
mêtric liên kết trùng với tôpô xuất phát của không gian E. Do đó, như
là hệ quả của các kết quả của chúng tôi sau này, ta thu được các định lý
điểm bất động trong không gian lồi địa phương.
3) ([9]) Cho I là tập chỉ số và ánh xạ j : I → I. Các phép lặp của j
được xác định theo quy nạp như sau
j
0
(α) = α, j
k
(α) = j

j
k−1
(α)

, k = 1, 2, . . .

1.2 Điểm bất động của các ánh xạ co yếu
Trong các trình bày tiếp theo, (X, P) hay đơn giản là X được hiểu
là một không gian đều Hausdorff với cấu trúc đều sinh bởi một họ bão
hòa các giả mêtric P = {d
α
(x, y) : α ∈ I}, trong đó I là một tập chỉ số.
Lưu ý rằng, (X, P) là Hausdorff nếu và chỉ nếu d
α
(x, y) = 0 với mọi α ∈ I
kéo theo x = y.
Trong ([10]), khi xét họ Φ = {φ
α
: R
+
→ R
+
, α ∈ I} các hàm đơn
điệu tăng, liên tục, φ
α
(0) = 0 và thỏa mãn 0 < φ
α
(t) < t với mọi t > 0,
13
V. G. Angelov đã giới thiệu khái niệm ánh xạ Φ-co trên M, đó là ánh xạ
T : M → X thỏa mãn điều kiện
d
α
(T x, T y) ≤ φ
α


d
j(α)
(x, y)

,
với mọi x, y ∈ M, mọi α ∈ I, trong đó M ⊂ X và thu được kết quả sau.
1.2.1 Định lý. ([10], Theorem 4) Cho X là không gian đều Hausdorff
đầy đủ dãy và T : X → X là một ánh xạ Φ-co trên X. Giả sử rằng
i) Với mọi α ∈ I và t > 0, lim
n→∞
φ
α

φ
j(α)
(. . . φ
j
n
(α)
(t) . . .)

= 0.
ii) Ánh xạ j : I → I là toàn ánh và tồn tại x
0
∈ X sao cho dãy {x
n
}
với x
n
= T x

n−1
, n = 1, 2, . . . thỏa mãn d
α
(x
m
, x
m+n
) ≥ d
j(α)
(x
m
, x
m+n
) với
mọi m, n ≥ 0, mọi α ∈ I.
Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động trong X.
Để xét tính duy nhất điểm bất động của lớp ánh xạ này, V. G. Angelov
đã đưa ra khái niệm không gian có tính chất j-bị chặn và thu được kết
quả tiếp theo.
1.2.2 Định nghĩa. ([10]) Không gian đều (X, P) được gọi là j-bị chặn
nếu với mỗi α ∈ I và x, y ∈ X tồn tại q = q(x, y, α) sao cho
d
j
n
(α)
(x, y) ≤ q(x, y, α) < ∞, với mọi n ∈ N.
1.2.3 Định lý. ([10]) Nếu thêm vào giả thiết của Định lý 1.2.1 điều kiện
X là j-bị chặn, thì điểm bất động của T là duy nhất.
Trong mục này, chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm ánh xạ (Ψ, Π)-co,
tính chất j-đơn điệu giảm và chứng minh một số định lý điểm bất động

cho ánh xạ (Ψ, Π)-co trong không gian đều. Các kết quả này là mở rộng
của các kết quả (Định lý 1.2.1, Định lý 1.2.3) của V. G. Angelov trong
([9], [10]).
Trước hết chúng tôi giới thiệu các lớp hàm có vai trò quan trọng trong
lý thuyết điểm bất động, đôi khi ta gọi chúng là các hàm điều khiển. Ký
hiệu Ψ = {ψ
α
: α ∈ I} là họ các hàm ψ
α
: R
+
→ R
+
đơn điệu tăng, liên tục,
ψ
α
(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0, với mọi α ∈ I. Ký hiệu Π = {ϕ
α
: α ∈ I}
là họ các hàm ϕ
α
: R
+
→ R
+
, α ∈ I sao cho ϕ
α
là liên tục, ϕ
α
(t) = 0 nếu

và chỉ nếu t = 0.
14
1.2.4 Định nghĩa. Cho X là không gian đều. Ánh xạ T : X → X được
gọi là (Ψ, Π)-co trên X nếu
ψ
α

d
α
(T x, T y)

≤ ψ
α

d
j(α)
(x, y)

− ϕ
α

d
j(α)
(x, y)

,
(1.1)
với mọi x, y ∈ X và với mọi α ∈ I, ψ
α
∈ Ψ, ϕ

α
∈ Π.
Chú ý, lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co trên X là rộng hơn lớp ánh xạ Φ-co trên
X. Thật vậy, nếu T là ánh xạ Φ-co trên X thì với mọi α ∈ I và φ
α
∈ Φ
ta đặt Ψ = {ψ
α
: R
+
→ R
+
, α ∈ I} với ψ
α
(t) = t với mọi t ≥ 0 và
Π = {ϕ
α
: R
+
→ R
+
, α ∈ I} với ϕ
α
(t) = t − φ
α
(t) với mọi t ≥ 0. Khi đó T
là ánh xạ (Ψ, Π)-co trên X.
1.2.5 Định nghĩa. Không gian đều (X, P) được gọi là có tính chất j-
đơn điệu giảm (j-monotone decreasing) nếu d
α

(x, y) ≥ d
j(α)
(x, y) với mọi
x, y ∈ X và mọi α ∈ I.
Sau đây, chúng tôi thiết lập một định lý điểm bất động, mà nó là mở
rộng của Định lý 1.2.1 ([10], Theorem 4) cho ánh xạ (Ψ, Π)-co.
1.2.6 Định lý. Cho X là một không gian đều Hausdorff đầy đủ dãy và
ánh xạ T : X → X. Giả sử
1) T là (Ψ, Π)-co trên X.
2) Ánh xạ j : I → I là toàn ánh và tồn tại x
0
∈ X sao cho dãy {x
n
}
với x
n
= Tx
n−1
, n = 1, 2, . . . thỏa mãn d
α
(x
m
, x
m+n
) ≥ d
j(α)
(x
m
, x
m+n

) với
mọi m, n ≥ 0, mọi α ∈ I.
Khi đó, T có điểm bất động trong X.
Hơn nữa, nếu X có tính chất j-đơn điệu giảm, thì T có điểm bất động
duy nhất.
Chứng minh. Xét x
0
và dãy {x
n
} với x
n
= T x
n−1
, n = 1, 2, . . . thỏa
mãn điều kiện 2). Trước hết, ta sẽ chứng minh với mọi α ∈ I ta có
lim
n→∞
d
α
(x
n+1
, x
n
) = 0. Đặt c
α
n
= d
α
(x
n+1

, x
n
), n = 0, 1, . . . và α ∈ I.
Vì T là ánh xạ (Ψ, Π)-co, nên với mọi α ∈ I và n ∈ N ta có
ψ
α

d
α
(x
n+1
, x
n
)

= ψ
α

d
α
(T x
n
, T x
n−1
)

≤ ψ
α

d

j(α)
(x
n
, x
n−1
)

− ϕ
α

d
j(α)
(x
n
, x
n−1
)

≤ ψ
α

d
j(α)
(x
n
, x
n−1
)

.

15
Vì ψ
α
là đơn điệu tăng, nên bất đẳng thức trên kéo theo d
α
(x
n+1
, x
n
) ≤
d
j(α)
(x
n
, x
n−1
). Nhờ điều kiện 2) ta có d
j(α)
(x
n
, x
n−1
) ≤ d
α
(x
n
, x
n−1
). Vì vậy
ta được

d
α
(x
n+1
, x
n
) ≤ d
j(α)
(x
n
, x
n−1
) ≤ d
α
(x
n
, x
n−1
).
(1.2)
Do đó, với mọi α ∈ I, dãy {c
α
n
} là giảm và bị chặn dưới. Do đó, tồn
tại giới hạn hữu hạn lim
n→∞
d
α
(x
n+1

, x
n
) = r
α
≥ 0. Nhờ (1.2) ta suy ra
lim
n→∞
d
j(α)
(x
n
, x
n−1
) = r
α
.
Mặt khác, sử dụng (1.1) ta có
ψ
α

d
α
(x
n+1
, x
n
)

= ψ
α


d
α
(T x
n
, T x
n−1
)

≤ ψ
α

d
j(α)
(x
n
, x
n−1
)

− ϕ
α

d
j(α)
(x
n
, x
n−1
)


,
với mọi n = 1, 2, . . . Cho n → ∞ ta được ψ
α
(r
α
) ≤ ψ
α
(r
α
) − ϕ
α
(r
α
) với mọi
α ∈ I, hay ϕ
α
(r
α
) ≤ 0 với mọi α ∈ I. Nhờ tính chất của ϕ
α
ta suy ra
r
α
= 0. Do đó, với mọi α ∈ I ta có lim
n→∞
d
α
(x
n+1

, x
n
) = 0.
Tiếp theo, ta chứng minh {x
n
} là dãy Cauchy. Giả sử ngược lại, {x
n
}
không là dãy Cauchy. Khi đó, tồn tại ε > 0, α
0
∈ I và các dãy con {x
m(k)
}
và {x
n(k)
} của {x
n
} sao cho n(k) là số nhỏ nhất thỏa mãn
n(k) > m(k) > k > 0, d
α
0
(x
m(k)
, x
n(k)
) ≥ ε, k = 1, 2, . . .
(1.3)
Điều này kéo theo
d
α

0
(x
m(k)
, x
n(k)−1
) < ε.
(1.4)
Vì j là toàn ánh nên tồn tại α ∈ I sao cho j(α) = α
0
. Hơn nữa, nhờ
điều kiện 2) ta có
d
α
(x
m(k)
, x
n(k)
) ≥ d
j(α)
(x
m(k)
, x
n(k)
) = d
α
0
(x
m(k)
, x
n(k)

) ≥ ε.
(1.5)
Đặt h
j(α)
k
= d
j(α)

x
m(k)
, x
n(k)

. Sử dụng bất đẳng thức tam giác và (1.4),
(1.5), ta có
ε ≤ h
j(α)
k
= d
j(α)

x
m(k)
, x
n(k)

≤ d
j(α)

x

m(k)
, x
n(k)−1

+ d
j(α)

x
n(k)−1
, x
n(k)

< c
j(α)
n(k)−1
+ ε,
với mọi k = 1, 2, . . .
Cho k → ∞ ta được lim
k→∞
h
j(α)
k
= ε. Do đó, lim
k→∞
d
j(α)

x
m(k)
, x

n(k)

= ε. Áp
16
dụng vào bất đẳng thức
d
j(α)

x
m(k)
, x
n(k)

− d
j(α)

x
m(k)
, x
m(k)−1

− d
j(α)

x
n(k)
, x
n(k)−1

≤ d

j(α)
(x
m(k)−1
, x
n(k)−1
)
≤ d
j(α)

x
m(k)−1
, x
m(k)

+ d
j(α)

x
m(k)
, x
n(k)

+ d
j(α)

x
n(k)
, x
n(k)−1


ta được lim
k→∞
d
j(α)

x
m(k)−1
, x
n(k)−1

= ε.
Mặt khác, vì ψ
α
tăng, sử dụng (1.5) và điều kiện 2) ta có
ψ
α
(ε) ≤ ψ
α

d
j(α)
(x
m(k)
, x
n(k)
)

≤ ψ
α


d
α
(x
m(k)
, x
n(k)
)

= ψ
α

d
α
(T x
m(k)−1
, T x
n(k)−1
)

≤ ψ
α

d
j(α)
(x
m(k)−1
, x
n(k)−1
)


− ϕ
α

d
j(α)
(x
m(k)−1
, x
n(k)−1
)

,
với mọi k = 1, 2, . . .
Cho k → ∞ ta được ψ
α
(ε) ≤ ψ
α
(ε) − ϕ
α
(ε). Lại nhờ tính chất của hàm
ϕ
α
ta suy ra ε = 0. Điều này mâu thuẫn với ε > 0. Do đó, {x
n
} là dãy
Cauchy. Vì X là đầy đủ dãy, nên x
n
→ x ∈ X khi n → ∞. Bây giờ ta
chứng minh x là điểm bất động của T . Thật vậy, vì T là (Ψ, Π)-co, với
mọi α ∈ I và với mọi n ≥ 1 ta có

ψ
α

d
α
(x
n
, T x)

= ψ
α

d
α
(T x
n−1
, T x)

≤ ψ
α

d
j(α)
(x
n−1
, x)

− ϕ
α


d
j(α)
(x
n−1
, x)

.
Cho n → ∞ ta được ψ
α

d
α
(x, T x)

≤ ψ
α
(0) −ϕ
α
(0) = 0.
Suy ra ψ
α

d
α
(x, T x)

= 0 và d
α
(x, T x) = 0 với mọi α ∈ I, nghĩa là x = T x.
Do đó, x là điểm bất động của T .

Để hoàn tất chứng minh định lý, ta chứng minh nếu X có tính chất
j-đơn điệu giảm, thì điểm bất động của T là duy nhất. Thật vậy, giả sử
x, y là các điểm bất động của T . Khi đó, vì X có tính chất j-đơn điệu
giảm và ψ
α
là hàm đơn điệu tăng nên với mọi α ∈ I ta có
ψ
α

d
j(α)
(x, y)

≤ ψ
α

d
α
(x, y)

= ψ
α

d
α
(T x, T y)

≤ ψ
α


d
j(α)
(x, y)

− ϕ
α

d
j(α)
(x, y)

.
Bất đẳng thức này kéo theo ϕ
α

d
j(α)
(x, y)

= 0 với mọi α ∈ I. Điều này
dẫn đến d
j(α)
(x, y) = 0, với mọi α ∈ I. Vì j là toàn ánh nên x = y. Do đó,
T có điểm bất động duy nhất.
17
Chú ý rằng, vì ánh xạ Φ-co trên X cũng là (Ψ, Π)-co trên X nên phần
kết luận tồn tại điểm bất động của Định lý 1.2.6 là mở rộng của Định lý
1.2.1. Hơn nữa, trong Định lý 1.2.6 ta không cần giả thiết i) như trong
Định lý 1.2.1.
Ví dụ sau đây minh họa cho kết quả của Định lý 1.2.6.

1.2.7 Ví dụ. Cho X = R
∞
=

x = {x
n
} : x
n
∈ R, n = 1, 2, . . .

. Với mỗi
n = 1, 2, . . . ký hiệu P
n
: X → R là ánh xạ xác định bởi P
n
(x) = x
n
với mọi
x = {x
m
} ∈ X. Xét I = N
∗
× R
+
. Với mỗi (n, r) ∈ I, ta xác định một giả
mêtric d
(n,r)
: X × X → R bởi
d
(n,r)

(x, y) = r


P
n
(x) −P
n
(y)


, với mọi x, y ∈ X.
Khi đó, họ các giả mêtric {d
(n,r)
: (n, r ) ∈ I} sinh ra một cấu trúc đều
trên X.
Bây giờ, với mỗi (n, r) ∈ I ta xác định các hàm ψ
(n,r)
(t) =
2(n −1)
2n −1
t,
ϕ
(n,r)
(t) =
2(n −1)
3(2n −1)
2
t với mọi t ≥ 0 và đặt Ψ = {ψ
(n,r)
: (n, r) ∈ I},

Π = {ϕ
(n,r)
: (n, r) ∈ I}. Xét j : I → I là ánh xạ xác định bởi j(n, r) =

n, r

1 −
1
2n


, với mọi (n, r) ∈ I và xác định ánh xạ T : X → X bởi
T x =

1−

1−
2
3

(1−x
1
), 1−

1−
2
3.2

(1−x
2

), . . . , 1 −

1−
2
3n

(1−x
n
), . . .

,
với mọi x = {x
n
} ∈ X.
Tiếp theo ta kiểm tra các giả thiết của Định lý 1.2.6.
1) T là (Ψ, Π)-co trên X. Thật vậy, ta có
d
(n,r)
(T x, T y) = r


P
n
(T x) −P
n
(T y)


= r


1 −
1
3n

|x
n
− y
n
|,
(1.6)
ψ
(n,r)

d
(n,r)
(T x, T y)

=
2(n −1)
2n −1
r

1 −
2
3n

|x
n
− y
n

|
= r
2(3n −2)
3(2n −1)
.
n −1
n
|x
n
− y
n
|,
(1.7)
d
j(n,r)
(x, y) = r

1 −
1
2n

|x
n
− y
n
|,