Nghiệm mạnh của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng không bảo toàn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
TRẦN THỊ NHƯ TRANG
NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
TUYẾN TÍNH CẤP HAI DẠNG KHÔNG BẢO TOÀN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS Hà Tiến Ngoạn
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, thầy
đã tận tình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức để
tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa
Toán, phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu
và học tập.
Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học
tập và hoàn thành luận văn.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân trong gia
đình, đã luôn luôn quan tâm, khích lệ và động viên trong quá trình học
tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Tác giả
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề
tài “Nghiệm mạnh của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai
dạng không bảo toàn” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.

TS Hà Tiến Ngoạn và bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, phát
triển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Tác giả
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Các không gian H
1
(Ω), H
1
0
(Ω) và H
2
(Ω) . . . . . 4
1.2. Không gian H¨older C
k,α
(Ω) . . . . . . . . . . . 12
Chương 2. Nghiệm mạnh của phương trình elliptic . . . . . 15
2.1. Nguyên lý cực đại đối với nghiệm mạnh. . . . . . . . . 15
2.1.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2. Nguyên lý cực đại yếu và nguyên lý cực đại mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Đánh giá đối với nghiệm mạnh. . . . . . . . . . 23
2.2.1. Phân tích lập phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2. Định lý nội suy Marcinkiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3. Bất đẳng thức Calderon-Zygmund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4. Đánh giá L
p
cho nghiệm mạnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Sự tồn tại nghiệm mạnh của bài toán Dirichlet . . . . 36
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Khi nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng việc nghiên cứu tính
đặt đúng của bài toán là vấn đề tương đối khó khăn. Ban đầu người ta
tìm nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng theo nghĩa cổ điển tức
là yêu cầu nghiệm phải thỏa mãn phương trình tại mọi điểm, tuy nhiên
các phương trình đạo hàm riêng thường mô tả một hiện tượng nào đó
trong thực tiễn nên việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm theo nghĩa cổ điển
là vấn đề hết sức khó khăn. Vì vậy người ta mở rộng xét đến các nghiệm
yếu, nhưng nếu mở rộng để dễ dàng chứng minh sự tồn tại nghiệm thì
tính duy nhất nghiệm thường không thỏa mãn. Như vậy, việc giảm bớt
tính chính quy thường dẫn tới tính đặt đúng của bài toán không được
thỏa mãn. Do đó, bằng một cách nào đó ta phải đưa ra một loại nghiệm
mà thỏa mãn tính đặt đúng mà vẫn đủ chính quy mà khó khăn trong
khi nghiên cứu và áp dụng được giảm bớt, lớp nghiệm này thường gọi
là nghiệm mạnh.
Đối với phương trình elliptic tổng quát các lớp nghiệm cổ điển, nghiệm
yếu đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu. Người ta nghiên cứu nghiệm
1
yếu của các phương trình này dưới dạng bảo toàn. Đối với phương trình
elliptic cấp hai tuyến tính dạng không bảo toàn có thể đưa vào lớp
nghiệm mạnh mà nó rộng hơn lớp nghiệm cổ điển nhưng sao cho nó
thỏa mãn phương trình hầu khắp nơi.
Với mong muốn được tìm hiểu lí thuyết định tính nghiệm mạnh của
phương trình elliptic và được sự định hướng của thầy hướng dẫn, chúng
tôi chọn đề tài Nghiệm mạnh của phương trình elliptic tuyến
tính cấp hai dạng không bảo toàn để thực hiện luận văn tốt nghiệp

chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích.
Luận văn gồm 2 chương, trong chương 1, trước tiên chúng tôi trình bày
các không gian hàm dùng để nghiên cứu bài toán. Trong chương 2, phần
đầu chúng tôi trình bày nguyên lý cực đại đối với nghiệm mạnh, tiếp
theo trình bày các đánh giá đối với nghiệm mạnh và cuối chương trình
bày sự tồn tại nghiệm mạnh của bài toán Dirichlet.
Nội dung chính của luận văn được tham khảo từ chương 9 của tài liệu
[4].
2. Mục đích nghiên cứu
• Nghiên cứu lớp nghiệm mạnh của phương trình elliptic tuyến tính
cấp hai dạng không bảo toàn;
• Nghiên cứu các điều kiện về sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tổng quan về sự tồn tại duy nhất và độ trơn của lớp nghiệm mạnh.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Lớp nghiệm mạnh của phương trình elliptic truyến tính cấp hai dạng
không bảo toàn.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu và tổng quan vấn đề.
6. Đóng góp mới của luận văn
Luận văn là một tài liệu tham khảo về nghiệm mạnh của phương trình
elliptic truyến tính cấp hai dạng không bảo toàn.
3
Chương 1
Một số không gian hàm
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về các không gian hàm, các
toán tử, các bất đẳng thức thường xuyên sử dụng trong luận văn. Các
kết quả này chủ yếu dựa vào chương 7 tài liệu [4].
1.1. Các không gian H

1
(Ω), H
1
0
(Ω) và H
2
(Ω)
Ta gọi một đa chỉ số α nếu α = (α
1
, α
2
, · · · , α
n
), |α| =
n

j=1
α
j
với α
j
là
các số nguyên không âm. Ta kí hiệu
D
α
=
∂
|α|
∂x
α

1
1
· · · ∂x
α
n
n
.
Với Ω là một miền mở trong R
n
, ta kí hiệu:
• C
0
(Ω) là không gian các hàm liên tục trên Ω;
• C
k
(Ω) là không gian các hàm có đạo hàm liên tục tới cấp k ≥ 0
trong Ω;
• C
k
(Ω) là không gian các hàm có đạo hàm liên tục tới cấp k ≥ 0
trong Ω;
4
• C
k
0
(Ω) là không gian các hàm thuộc C
k
(Ω) và có giá compact trong
Ω. Ở đây giá của một hàm u : Ω → R là tập hợp
supp u := cl{x ∈ Ω : u(x) = 0}.

• C
∞
0
(Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn và có giá compact
trong Ω.
Định nghĩa 1.1.1. (Đạo hàm yếu)
Giả sử u, v ∈ L
1
loc
(Ω) và α là một đa chỉ số. Ta nói rằng v là đạo hàm
yếu cấp α của u nếu

Ω
uD
α
φdx = (−1)
|α|

Ω
vφdx
đúng với mọi hàm thử φ ∈ C
∞
0
(Ω) . Kí hiệu: D
α
u = v.
Trong trường hợp Ω = (a, b) ⊂ R, nếu u(x) có đạo hàm yếu u

(x) =
v(x) ∈ L

1
loc
(a, b) thì ta nói u(x) là khả vi yếu trên (a, b).
Bổ đề 1.1.1. (Tính duy nhất của đạo hàm yếu)
Một đạo hàm yếu cấp α của u nếu tồn tại thì được xác định một cách
duy nhất (sai khác trên tập có độ đo không).
Ví dụ 1.1.1. Trong không gian L
1
loc
(0, 2) xét các hàm
u(x) =





x nếu 0 < x ≤ 1
1 nếu 1 < x < 2
và
v(x) =





1 nếu 0 < x ≤ 1
0 nếu 1 < x < 2.
5
Khi đó ta thấy u


= v, và v được gọi là đạo hàm yếu của u.
Thật vậy, với φ bất kỳ ∈ C
∞
0
(0, 2) ta có:

2
0
uφ

dx =

1
0
xφ

dx +

2
1
φ

dx
= (xφ)|
1
0
−

1
0

φdx + φ(2) − φ(1)
= φ(1) −

1
0
φdx − φ(1) ( Vì φ(2) = 0)
= −

1
0
φdx = −

2
0
vφdx.
Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.1.2. Trong không gian L
1
loc
(0, 2) xét hàm
u(x) =





x nếu 0 < x ≤ 1
2 nếu 1 < x < 2
ta thấy không tồn tại đạo hàm yếu của u.
Để chỉ ra được điều này ta sẽ chỉ ra không tồn tại bất kỳ hàm v ∈

L
1
loc
(0, 2) thỏa mãn:

2
0
uφ

dx = −

2
0
vφdx (1.1.1)
với mọi hàm thử φ ∈ C
∞
0
(0, 2).
Giả sử tồn tại hàm v và mọi hàm thử φ để có khẳng định (1.1.1). Khi
6
đó
−

2
0
vφdx =

2
0
uφ


dx =

1
0
xφ

dx + 2

2
1
φ

dx
= (xφ)|
1
0
−

1
0
φdx + 2φ(2) − 2φ(1)
= φ(1) −

1
0
φdx − 2φ(1)
= −

1

0
φdx − φ(1).
Suy ra

2
0
vφdx −

1
0
φdx = φ(1). (1.1.2)
Chọn dãy hàm trơn {φ
m
}
∞
m=1
trong C
∞
0
(0, 2) thỏa mãn
0 ≤ φ
m
≤ 1, φ
m
(1) = 1, φ
m
(x) −→ 0 với mọi x = 1
Thay φ bởi φ
m
trong (1.1.2) và cho m −→ ∞ ta được:

1 = lim
m→∞
φ
m
(1) = lim
m→∞


2
0
vφ
m
dx −

1
0
vφ
m
dx

= 0. (vô lý)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Tương tự như quy tắc tính đạo hàm thông thường của hàm hợp ta
cũng có quy tắc tính đạo hàm yếu của hàm hợp dưới đây.
Bổ đề 1.1.2. (Bổ đề 7.5 [4, Tr. 151]) Giả sử f ∈ C
1
(R), f

∈ L
∞

(R) và
u khả vi yếu cấp một trong Ω. Khi đó hàm hợp f ◦ u cũng khả vi yếu cấp
một và ta có D(f ◦ u) = f

(u)Du.
Cố định 1 ≤ p < ∞ và cho m là một số nguyên không âm. Bây giờ ta
định nghĩa các không gian hàm mà các phần tử của nó có đạo hàm yếu
nằm trong không gian L
p
.
7
Định nghĩa 1.1.2. Không gian Sobolev W
m,p
(Ω) là tập gồm tất cả
những hàm khả tích Lebesgue u: Ω → R sao cho với mỗi đa chỉ số α,
|α| ≤ m, đạo hàm yếu D
α
u tồn tại và thuộc L
p
(Ω).
Định nghĩa 1.1.3. Nếu u ∈ W
m,p
(Ω) (1 ≤ p < ∞), ta định nghĩa chuẩn
của hàm u là:
u
k,p;Ω
= u
W
m,p
(Ω)

=



|α|≤m

Ω
|D
α
u|
p
dx


1
p
.
Ta thấy rằng chuẩn  · 
k,p;Ω
tương đương với chuẩn sau
u
W
m,p
(Ω)
=

|α|≤m
D
α
u

p
. (1.1.3)
Định lý 1.1.1. Giả sử Ω là một miền trong R
n
và m ≥ 0, 1 ≤ p < ∞.
Khi đó W
m,p
(Ω) là một không gian Banach.
Chứng minh. 1. Trước hết ta kiểm tra u
W
m,p
(Ω)
là một chuẩn.
i) u
W
m,p
(Ω)
≥ 0 và u
W
m,p
(Ω)
= 0 nếu và chỉ nếu u = 0 h.k.n trên Ω.
ii) ku
W
m,p
(Ω)
= |k| u
W
m,p
(Ω)

, ∀k ∈ R.
iii) ∀u, v ∈ W
m,p
(Ω) ta có
u + v
W
m,p
(Ω)
=



|α|≤m

D
α
u + D
α
v
L
p
(Ω)

p


1
p
≤




|α|≤m

D
α
u
L
p
(Ω)
+ D
α
v
L
p
(Ω)

p


1
p
8
≤



|α|≤m

D

α
u
L
p
(Ω)

p


1
p
+



|α|≤m

D
α
v
L
p
(Ω)

p


1
p
≤




|α|≤m

Ω
|D
α
u|
p
dx


1
p
+



|α|≤m

Ω
|D
α
v|
p
dx


1

p
= u
W
m,p
(Ω)
+ v
W
m,p
(Ω)
.
2. Ta chứng minh W
m,p
(Ω) là không gian Banach.
Giả sử {u
k
}
∞
k=1
là dãy cơ bản trong W
m,p
(Ω). Vì W
m,p
(Ω) là không gian
con của L
p
(Ω) nên {u
k
}
∞
k=1

cũng là dãy cơ bản trong L
p
(Ω), mà L
p
(Ω) là
không gian Banach. Do đó {u
k
}
∞
k=1
hội tụ về u ∈ L
p
(Ω). Tức là với mọi
 > 0 bé tùy ý, tồn tại k
0
để u
k
− u
k
0

L
p
(Ω)
<  với mọi k ≥ k
0
. Tương
đương



Ω
|u
k
− u
k
0
|
p
dx

1
p
−→ 0 khi k −→ ∞.
Hay

Ω
|u
k
− u
k
0
|
p
dx −→ 0 khi k −→ ∞.
Mặt khác, do {u
k
}
∞
k=1
là dãy cơ bản trong W

m,p
(Ω) nên với mỗi số tự
nhiên m, ta có
u
k
− u
k+m

W
m,p
(Ω)
−→ 0 khi k −→ ∞,
9
hay



|α|≤m

Ω
|D
α
(u
k
− u
k+m
)|
p
dx



1
p
−→ 0 khi k −→ ∞
⇔

|α|≤m

Ω
|D
α
u
k
− D
α
u
k+m
)|
p
dx −→ 0 khi k −→ ∞
⇔

Ω
|D
α
u
k
− D
α
u

k+m
|
p
dx −→ 0 khi k −→ ∞
⇔


Ω
|D
α
u
k
− D
α
u
k+m
|
p
dx

1
p
−→ 0 khi k −→ ∞
⇔ D
α
u
k
− D
α
u

k+m

L
p
(Ω)
−→ 0 khi k −→ ∞ với mọi α mà |α| ≤ m.
Do đó {D
α
u
k
}
∞
k=1
là dãy cơ bản trong L
p
(Ω). Do L
p
(Ω) là không gian
Banach nên D
α
u
k
−→ u
α
trong L
p
(Ω) với mỗi α : |α| ≤ m.
Bây giờ chúng ta khẳng định u ∈ W
m,p
(Ω) và D

α
u = u
α
với |α| ≤ m.
Thật vậy với φ bất kỳ ∈ C
∞
0
(Ω) ta có:
(−1)
|α|

Ω
D
α
uφdx =

Ω
uD
α
φdx = lim
k→∞

Ω
u
k
D
α
φdx
= lim
k→∞


(−1)
|α|

Ω
D
α
u
k
φdx

= (−1)
|α|

Ω
u
α
φdx.
Suy ra D
α
u = u
α
với |α| ≤ m. Như vậy D
α
u
k
−→ D
α
u trong L
p

(Ω) với
|α| ≤ m. Do đó u
k
−→ u trong W
m,p
(Ω). Định lý được chứng minh. 
Định nghĩa 1.1.4. Không gian Sobolev địa phương W
k,p
loc
(Ω) bao gồm
tất cả các hàm thuộc W
k,p
loc
(Ω

) với mọi Ω

⊂⊂ Ω.
Định nghĩa 1.1.5. Không gian Sobolev H
m
(Ω) được định nghĩa bởi:
H
m
(Ω) = W
m
2
(Ω) =

u ∈ L
2

(Ω) : D
α
u ∈ L
2
(Ω), ∀ |α| ≤ m

.
10
Định lý 1.1.2. Không gian H
m
(Ω) với m = 0, 1, là không gian Hilbert
với tích vô hướng
(u, v)
H
m
(Ω)
=

|α|≤m

Ω
D
α
uD
α
vdx.
Chuẩn tương ứng sinh ra bởi tích vô hướng này là:
u
H
m

(Ω)
=



|α|≤m

Ω
|D
α
u|
2
dx


1
2
.
Định nghĩa 1.1.6. Ta gọi không gian W
k,p
0
(Ω) là bao đóng của không
gian C
k
0
(Ω) trong không gian W
k,p
(Ω).
Trường hợp p = 2 ta kí hiệu W
k,2

0
(Ω) là H
k
0
(Ω).
Ta thấy rằng các hàm thuộc W
k,p
loc
(Ω) có giá compact trong Ω sẽ thuộc
không gian W
k,p
0
(Ω). Các hàm thuộc W
1,p
(Ω) mà triệt tiêu trên biên ∂Ω
sẽ thuộc không gian W
1,p
0
(Ω).
Ta công nhận một vài kết quả sau đây mà đã được chứng minh chi
tiết trong Chương 7 của [4].
Định lý 1.1.3. Giả sử 1 ≤ p < +∞. Khi đó không gian con C
∞
(Ω) ∩
W
k,p
(Ω) trù mật trong không gian W
k,p
(Ω).
Định lý 1.1.4. (Định lí nhúng Sobolev) Ta có

W
1,p
0
(Ω) ⊂





L
np/(n−p)
(Ω) nếu p < n,
C
0
(Ω) nếu p > n.
Hơn nữa, tồn tại hằng số C = C(n, p) sao cho với mọi u ∈ W
1,p
0
(Ω) ta
có
u
np/(n−p)
≤ CDu
p
với p < n (1.1.4)
11
và
sup
Ω
|u| ≤ C|Ω|

1
n
−
1
p
Du
p
với p > n, (1.1.5)
trong đó |Ω| là kí hiệu độ đo Lebesgue của tập Ω.
Ta có một vài kết quả về phép nhúng compact như sau.
Định nghĩa 1.1.7. Cho X, Y là hai không gian Banach. Ta nói X được
nhúng compact vào Y và viết X ⊂⊂ Y nếu X được nhúng liên tục vào
Y và ánh xạ I : X → Y là compact, tức là I biến một tập bị chặn bất
kì trong X thành một tập compact tương đối trong Y.
Định lý 1.1.5. (Định lí compact Kondrachov)
i) Nếu p < n thì với bất kì q <
np
n − p
ta có W
1,p
0
(Ω) ⊂⊂ L
q
(Ω);
ii) Nếu p > n thì W
1,p
0
(Ω) ⊂⊂ C
0
(Ω).

1.2. Không gian H¨older C
k,α
(Ω)
Định nghĩa 1.2.1. Cho D là một miền trong R
n
và x
0
∈ D. Hàm
f : D → R được gọi là liên tục H¨older với số mũ α ∈ (0, 1) tại x
0
nếu
đại lượng
[f]
α;x
0
= sup
D
|f(x) − f(x
0
)|
|x − x
0
|
α
< +∞. (1.2.1)
Ta gọi [f]
α;x
0
là hệ số α-H¨older của f tại x
0

theo miền D.
Nếu (1.2.1) đúng với α = 1 thì ta nói f liên tục Lipschitz tại x
0
.
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, nếu f liên tục H¨older tại x
0
thì f
liên tục tại x
0
.
12
Ví dụ 1.2.1. Hàm f : B
1
(0) → R xác định bởi f(x) = |x|
β
, 0 < β < 1
là liên tục H¨older tại x = 0 với số mũ β và nếu β = 1 thì f liên tục
Lipschitz.
Định nghĩa 1.2.2. Ta gọi hàm f là liên tục đều H¨older với số mũ α
trong miền D nếu nó thỏa mãn điều kiện
[f]
α;D
= sup
x,y∈D
x=y
|f(x) − f(y)|
|x − y|
α
< +∞, 0 < α ≤ 1. (1.2.2)
Hàm f gọi là liên tục đều H¨older địa phương với số mũ α trong D nếu

hàm f là liên tục đều H¨older với số mũ α trên mỗi tập con compact của
D.
Định nghĩa 1.2.3. Cho Ω là một tập mở trong R
n
và k là một số nguyên
không âm. Không gian H¨older C
k,α
(Ω) (t.ư C
k,α
(Ω)) là không gian con
của C
k
(Ω) (t.ư C
k
(Ω)) bao gồm tất cả các hàm cùng với các đạo hàm
riêng tới cấp k liên tục đều H¨older (t.ư liên tục đều H¨older địa phương)
với số mũ α trong Ω.
Ta sử dụng các kí hiệu
C
0,α
(Ω) = C
α
(Ω) và C
0,α
(Ω) = C
α
(Ω)
với α ∈ (0, 1).
Nếu α = 0 ta đặt
C

k,0
(Ω) = C
k
(Ω) và C
k,0
(Ω) = C
k
(Ω).
Không gian C
k,α
0
(Ω) gồm các hàm trong C
k,α
(Ω) và có giá compact
trong Ω.
13
Ta xét các nửa chuẩn
[u]
k,0;Ω
= |D
k
u|
0;Ω
= sup
|β|=k
sup
Ω
|D
β
u|, k = 0, 1, 2, . . . , (1.2.3)

[u]
k,α;Ω
= [D
k
u]
α;Ω
= sup
|β|=k
[D
β
u]
α;Ω
. (1.2.4)
Với các nửa chuẩn trên ta có thể định nghĩa các chuẩn tương ứng trên
các không gian C
k
(Ω) và C
k,α
(Ω) như sau:
u
C
k
(Ω)
= |u|
k;Ω
= |u|
k,0;Ω
=
k


j=0
[u]
j,0;Ω
=
k

j=0
|D
j
u|
0;Ω
, (1.2.5)
u
C
k,α
(Ω)
= |u|
k,α;Ω
= |u|
k;Ω
+ [u]
k,α;Ω
= |u|
k;Ω
+ [D
k
u]
α;Ω
. (1.2.6)
Ta có định lý sau đây đối với không gian Sobolev được nhúng vào không

gian H¨older.
Định lý 1.2.1. Giả sử Ω là miền thuộc lớp C
0,1
trong R
n
. Khi đó
i) Nếu kp < n thì không gian W
k,p
(Ω) nhúng liên tục vào không
gian W
p
∗
(Ω), p
∗
=
np
n − kp
và W
k,p
(Ω) ⊂⊂ L
q
(Ω) với bất kì q < p
∗
;
ii) Nếu 0 ≤ m < k −
n
p
< m + 1 thì không gian W
k,p
(Ω) nhúng liên

tục vào không gian C
m,α
(Ω), α =
k − n
p − m
và W
k,p
(Ω) ⊂⊂ C
m,β
(Ω)
với β < α.
14
Chương 2
Nghiệm mạnh của phương trình
elliptic
Chương này trình bày các nghiên cứu về nghiệm mạnh của phương trình
elliptic cấp hai dạng không bảo toàn. Các kết quả được tham khảo chủ
yếu từ chương 9 của [4].
2.1. Nguyên lý cực đại đối với nghiệm mạnh
2.1.1. Đặt bài toán
Xét toán tử vi phân elliptic tuyến tính có dạng
Lu = a
ij
(x)D
ij
u + b
i
(x)D
i
u + c(x)u, a

ij
= a
ji
(2.1.1)
trong đó x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ Ω ⊂ R
n
, n ≥ 2.
Từ đây trở về sau, nếu gặp chỉ số lặp trong biểu thức thì ta sẽ lấy
tổng theo chỉ số đó từ 1 đến n.
Định nghĩa 2.1.1. Toán tử L gọi là elliptic tại điểm x ∈ Ω nếu ma trận
hệ số [a
ij
(x)] là xác định dương, tức là nếu λ(x), Λ(x) tương ứng là giá
15
trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của [a
ij
(x)] thì
0 < λ(x)|ξ|
2
≤ a
ij
(x)ξ
i
ξ

j
≤ Λ(x)|ξ|
2
∀ ξ ∈ R
n
\ {0}. (2.1.2)
i) Nếu λ > 0 trong Ω thì L gọi là elliptic trong Ω;
ii) Nếu 0 < λ
0
≤ λ với hằng số λ
0
nào đó thì L gọi là elliptic ngặt;
iii) Nếu
Λ
λ
bị chặn trong Ω thì L gọi là elliptic đều trong Ω.
Giả thiết
|b
i
(x)|
λ(x)
≤ C < ∞, x ∈ Ω, i = 1, . . . , n (2.1.3)
với C là một hằng số nào đó.
Xét bài toán
Lu = f (2.1.4)
trong đó
Lu = a
ij
(x)D
ij

u + b
i
(x)D
i
u + c(x)u (2.1.5)
với các hàm hệ số a
ij
(x), b
i
(x), c(x), i, j = 1, . . . , n và hàm f xác định
trên miền Ω ⊂ R
n
.
Ta kí hiệu D là định thức của ma trận A = (a
ij
) và đặt D
∗
= D
1/n
.
Khi đó ta có
0 < λ ≤ D
∗
≤ Λ
trong đó λ, Λ tương ứng là các giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của ma
trận A.
Định nghĩa 2.1.2. Hàm u(x) gọi là một nghiệm mạnh của phương trình
(2.1.4) nếu u(x) là hàm số thuộc W
2,p
loc

(Ω), 1 ≤ p ≤ +∞ và thỏa mãn
phương trình (2.1.4) hầu khắp nơi trong Ω.
16
2.1.2. Nguyên lý cực đại yếu và nguyên lý cực đại mạnh
Giả sử hàm hệ số b(x), c(x) và hàm f(x) thỏa mãn điều kiện
|b|
D
∗
,
f
D
∗
∈ L
n
(Ω) và c ≤ 0 trong Ω. (2.1.6)
Kết quả sau gọi là nguyên lý cực đại yếu cho nghiệm mạnh của phương
trình (2.1.4).
Định lý 2.1.1. ([4, Định lý 9.1. Tr. 220]) Giả sử Ω là miền bị chặn,
toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.1.6) và Lu ≥ f trong Ω và hàm u ∈
C
0
(Ω) ∩ W
2,n
loc
(Ω). Khi đó
sup
Ω
u ≤ sup
∂Ω
u

+
+ C
f
D
∗

L
n
(Ω)
(2.1.7)
trong đó u
+
(x) = max(0, u(x)) và C là hằng số chỉ phụ thuộc vào n,
hình dạng của Ω và 
b
D
∗

L
n
(Ω)
.
Để chứng minh định lý trên ta cần các khái niệm tập tiếp xúc (contact
set) và ánh xạ pháp tuyến (normal mapping) của hàm u. Trước tiên ta
định nghĩa tập tiếp xúc trên (upper contact set).
Định nghĩa 2.1.3. Cho u là một hàm liên tục bất kì trên Ω, ta gọi tập
tiếp xúc trên của hàm u là một tập con của Ω sao cho đồ thị của u nằm
bên dưới một siêu phẳng tựa nào đó tại các điểm đó.
Kí hiệu tập tiếp xúc trên của hàm u là Γ
+

hoặc Γ
+
u
. Khi đó
Γ
+
= {y ∈ Ω : u(x) ≤ u(y) + p · (x − y), ∀x ∈ Ω với p = p(y) ∈ R
n
}
(2.1.8)
17
Định nghĩa 2.1.4. Cho u là hàm liên tục trên Ω, khi đó ánh xạ pháp
tuyến χ(y) = χ
u
(y) của một điểm y ∈ Ω là tập hợp các độ dốc (slopes)
của các siêu phẳng tựa tại y nằm trên đồ thị của u, tức là
χ(y) = {p ∈ R
n
: u(x) ≤ u(y) + p · (x − y), ∀x ∈ Ω}. (2.1.9)
Ta thấy rằng χ(y) khác rỗng nếu và chỉ nếu y ∈ Γ
+
. Hơn nữa, khi
u ∈ C
1
(Ω) thì χ(y) = Du(y) trên Γ
+
, tức là χ là trường vector gradient
của u trên Γ
+
. Một ví dụ hữu ích là hàm u(x) không khả vi dưới đây.

Ta lấy Ω = B = B
R
(z) và u là hàm mà đồ thị là một nón với đáy và
đỉnh (z, a) với a là số thực dương, tức là
u(x) = a(1 −
|x − z|
R
).
Khi đó, ta có
χ(y) =







−
a(y − z)
R|y − z|
với y = z
B
a/R
(0) với y = z.
(2.1.10)
Ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.1. Giả sử u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
0

(Ω). Khi đó ta có
sup
Ω
u ≤ sup
∂Ω
u +
d
ω
1/n
n


Γ
+
| det D
2
u|

1/n
(2.1.11)
trong đó d = diam Ω, ω
n
là thể tích hình cầu đơn vị trong R
n
.
Chứng minh. Ta có
|χ(Ω)| = |χ(Γ
+
)| = |Du(Γ
+

)| ≤

Γ
+
| det D
2
u| (2.1.12)
18
vì D
2
u ≤ 0 trên Γ
+
. Với mỗi số dương , xét ánh xạ
χ

= χ − I
trong đó I là ma trận đơn vị. Ma trận Jacobi của χ

là D
2
u−I là không
âm thực sự trong một lân cận của Γ
+
, và cho  → 0. Hơn nữa, ánh xạ
χ

là ánh xạ một-một trên Γ
+
, do đó ta có bất đẳng thức (2.1.12).
Bây giờ ta chứng tỏ u có thể đánh giá qua |χ(Ω)|. Thật vậy, giả sử u

đạt cực đại dương tại điểm y ∈ Ω và cho k là một hàm mà đồ thị của k
là một nón K với đỉnh (y, u(y)) và đáy là ∂Ω. Khi đó χ
k
(Ω) ⊂ χ
u
(Ω) vì
với mỗi siểu phẳng tựa với K đều tồn tại một siêu phẳng tiếp xúc song
song với đồ thị của u. Bây giờ, lấy
˜
k là một hàm mà đồ thị là nón
˜
K với
đỉnh (y, u(y)) và đáy B
d
(y). Hiển nhiên, χ
˜
k
(Ω) ⊂ χ
k
(Ω) và do đó
|χ
˜
k
(Ω)| ≤ |χ
u
(Ω)|.
Mặt khác, từ (2.1.10) và (2.1.12) ta có
ω
n
(

u(y)
d
)
n
≤

Γ
+
| det D
2
u|
do đó
u(y) ≤
d
ω
1/n
n


Γ
+
| det D
2
u|

1/n
.
Bổ đề được chứng minh. 
Ta có ước lượng đặc biệt của (2.1.7) khi b = 0, từ Bổ đề 2.1.1 và qua
bất đẳng thức ma trận dưới đây với A, B là đối xứng và dương:

det A det B ≤

traceAB
n

n
. (2.1.13)
19
Lấy A = −D
2
u, B = [a
ij
], trên γ
+
ta có
| det D
2
u| = det(−D
2
u) ≤
1
D
(
−a
ij
D
ij
u
n
)

n
.
Ta thiết lập các ước lượng sau.
Bổ đề 2.1.2. Với u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
0
(Ω) ta có
sup
Ω
u ≤ sup
∂Ω
u +
d
nω
1/n
n

a
ij
D
ij
u
D
∗

L
n
(Γ
+

)
. (2.1.14)
Bổ đề 2.1.3. Giả sử hàm g không âm và khả tích địa phương trên R
n
.
Khi đó, với u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
0
(Ω) ta có

B
˜
M(0)
g ≤

Γ
+
g(Du)| det D
2
u| ≤

Γ
+
g(Du)(−
a
ij
D
ij
u

nD
∗
)
n
(2.1.15)
trong đó
˜
M = (sup
Ω
u − sup
∂Ω
u)/d, d = diamΩ.
Chứng minh. Dựa trên các Bổ đề 2.1.1 và 2.1.2 với trường hợp g ≡ 1.
Ta có ước lượng tổng quát hơn sau đây

χ
u
(Ω)
g ≤

γ
+
g(Du)| det D
2
u| (2.1.16)
và vì χ
k
(Ω) ⊂ χ
u
(Ω) nên theo (2.1.10) và (2.1.13) ta thu được ước lượng

(2.1.15). 
Bây giờ ta giả sử rằng u ∈ C
0
(Ω) ∩ C
2
(Ω) và thỏa mãn Lu ≥ f trong
Ω với điều kiện (2.1.6). Ta lấy
g(p) = (|p|
n/n−1
+ µ
n/n−1
)
1−n
với µ > 0 cố định nào đó.
20
Sử dụng bất đẳng thức H¨older ta có trong Ω
+
= {x ∈ Ω : u(x) > 0},
−
a
ij
D
ij
u
nD
∗
≤
b
i
D

i
u − f
nD
∗
≤
|b||Du| + |f|
nD
∗
≤
(|b|
n
+ µ
−n
|f|
n
)
1/n
ng
1/n
D
∗
.
Do đó, theo (2.1.15) ta có

B
˜
M
g ≤
1
n

n

Γ
+
(|b|
n
+ µ
−n
|f|
n
)
D
.
Tích phân vế bên phải có thể ước lượng được nhờ sử dụng bất đẳng thức
H¨older,
g(p) ≥ 2
2−n
(|p|
n
+ µ
n
)
−1
.
Do đó ta thu được
ω
n
log(
˜
M

n
µ
n
+ 1) ≤
2
n−2
n
n

Γ
+
(|b|
n
+ µ
−n
)
D
.
Nếu f không đồng nhất 0, ta chọn µ = f/D
∗

L
n
(Γ
+
)
để đạt được
˜
M ≤ {exp[
2

n−2
n
n
w
n

γ
+
(1 +
|b|
n
D
)] − 1}
1/n
f/D
∗

L
n
(Γ
+
)
(2.1.17)
trong khi đó với f ≡ 0 ta cho µ → 0 ta được (2.1.17).
Ước lượng (2.1.7) đối với hàm u ∈ C
0
(Ω) ∩ C
2
(Ω). Ước lượng đó có
thể được mở rộng tới hàm u ∈ C

0
(Ω)∩W
2,n
loc
(Ω) nhờ lí luận xấp xỉ. Trước
tiên giả sử rằng L là elliptic đều trong Ω với tỉ số
|b|
λ
cũng bị chặn. Giả
sử {u
m
} là một dãy trong C
2
(Ω) hội tụ theo nghĩa của W
2,n
loc
(Ω) tới hàm
u. Với  > 0 bất kì, ta có thể giả sử rằng u
m
hội tụ tới u trong W
2,n
(Ω

)
và u
m
≤  + sup
∂Ω
trên ∂Ω


với miền Ω

⊂⊂ Ω. Áp dụng (2.1.7) vào hàm
21