Tính h khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2






ĐOÀN HƯƠNG GIANG

TÍNH H-KHẢ VI
CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG









LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC














HÀ NỘI, 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2






NGUYỄN HỒNG THÁI





TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SUY RỘNG



Chuyên ngành: Toán giải tíchNguyww
Mã số: 60 46 01 02




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học: TS. TẠ NGỌC TRÍ










HÀ NỘI, 2014



BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2






ĐOÀN HƯƠNG GIANG

TÍNH H-KHẢ VI
CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG



Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm









HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau
đại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập.
Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện
thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả
Đoàn Hương Giang
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm,
luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tính H-khả
vi của hàm nhiều biến và ứng dụng” được hoàn thành bởi nhận
thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả
Đoàn Hương Giang
BẢNG MỘT SỐ KÝ HIỆU
R đường thẳng thực
R
n
không gian Euclid n-chiều
R

n×n
không gian các ma trận cấp n
x, y tích vô hướng của x và y
. chuẩn trong không gian R
n
Ω bao đóng của tập Ω
f : X → Y ánh xạ từ X vào Y
Φ : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y
inf f cận dưới đúng của ánh xạ f
sup f cận trên đúng của ánh xạ f
min f giá trị nhỏ nhất của ánh xạ f
max f giá trị lớn nhất của ánh xạ f
ker f hạt nhân, hạch của ánh xạ f
∂f
∂x
i
đạo hàm riêng của hàm f theo biến x
i
dom(f) miền hữu hiệu của f
f

(x) đạo hàm của f tại x
∇f(x) gradient của f tại x
f

(x) đạo hàm bậc hai của f tại x
∇
2
f(x) ma trận Hessian của f tại x
i

Mục lục
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Không gian R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Một số khái niệm cơ bản trong R
n
. . . . . . . . . 3
1.1.2. Một số tính chất trong R
n
. . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Định nghĩa hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Miền xác định của hàm nhiều biến. . . . . . . . . . . 6
1.2.3. Giới hạn của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . 6
1.2.4. Tính liên tục của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . 7
1.3. Tính khả vi của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Một số khái niệm đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . 9
1.4.1. Một số ký hiệu và định nghĩa . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2. Hàm C-khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3. Hàm khả vi Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 2. Tính H-khả vi của hàm nhiều biến. . . . . . . . . . . 14
2.1. H-vi phân và H-khả vi . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
ii
2.1.2. Một số tính chất cơ bản của H-khả vi, H-vi phân . . 19
2.2. Mối liên hệ với một số khái niệm đạo hàm suy rộng . . . 21
2.3. Ứng dụng của tính H-khả vi vào bài toán tối ưu hóa và bài toán

bù. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1. Điều kiện cần tối ưu của bài toán cực tiểu địa phương của hàm
H-khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2. Bài toán bù phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 26
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
iii
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Năm 1998, Gowda và Ravindran trong bài “Algebraic univalence theo-
rems for nonsmooth functions” (Research Report, Department of Math-
ematics and Statistics, University of Maryland, Baltimore, MD 21250,
March 15, 1998) đã đưa ra các khái niệm H-khả vi và H-vi phân cho
ánh xạ f từ R
n
vào R
n
và chỉ ra rằng đạo hàm Fréchet của hàm khả
vi, Jacobian suy rộng Clarke của hàm Lipschitzian địa phương, dưới vi
phân Bouligand của hàm nửa liên tục và C-vi phân của hàm C-khả vi là
những trường hợp riêng của H-vi phân. Từ đó đến nay, nhiều tác giả đã
nghiên cứu tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng của nó trong
toán ứng dụng (xem [4] và những tài liệu dẫn trong đó). Với mong muốn
tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và những ứng
dụng của toán giải tích, đặc biệt là: “Lý thuyết đạo hàm suy rộng và ứng
dụng”, tôi chọn đề tài “Tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng”
để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
Đạt được một sự hiểu biết tốt về tính H-khả vi của hàm nhiều biến và
ứng dụng vào Tối ưu hóa và Bài toán bù.

1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Khảo sát tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng vào Tối ưu hóa
và Bài toán bù.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi nghiên cứu: Hàm nhiều biến.
- Đối tượng nghiên cứu: Tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu tài liệu: Các bài báo đã được đăng và sách đã in liên quan
mật thiết đến tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng.
- Sử dụng các phương pháp của Toán giải tích.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài
- Một tổng quan về tính H-khả vi của hàm nhiều biến và ứng dụng.
2
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhất của hàm
trên không gian R
n
cùng với những tính chất của nó. Những kiến thức
trình bày trong chương được chọn chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [3].
1.1. Không gian R
n
1.1.1. Một số khái niệm cơ bản trong R
n
Định nghĩa 1.1. Một điểm trong không gian R
n
là một bộ n số có thứ
tự (x
1

, x
2
, , x
n
). Ta thường kí hiệu x = (x
1
, x
2
, , x
n
). Số x
i
(i = 1, n)
được gọi là tọa độ thứ i của điểm x. Kí hiệu điểm gốc 0 = (0, 0, , 0).
Định nghĩa 1.2. Tích vô hướng của hai véctơ x = (x
1
, x
2
, , x
n
) và
y = (y
1
, y
2
, , y
n
) là một số (ký hiệu x.y, (x, y) hay x, y) xác định như
sau: x, y := x
1

y
1
+ x
2
y
2
+ + x
n
y
n
.
Định nghĩa 1.3. Chuẩn (hay độ dài) của véctơ x, ký hiệu là x, một số
được xác định như sau: x =

x, x hay x =
√
x
1
2
+ x
2
2
+ + x
n
2
.
Khoảng cách giữa hai véctơ x và y là chuẩn của hiệu hai véctơ đó:
x −y =

x −y, x − y =


(x
1
− y
1
)
2
+ (x
2
− y
2
)
2
+ + (x
n
− y
n
)
2
.
Định nghĩa 1.4. Phép tương ứng A từ không gian R
n
vào không gian
R
n
được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu nó có các tính chất:
3
(i) A(x + y) = A(x) + A(y), ∀x, y ∈ R
n
;

(ii) A(λx) = λA(x), ∀λ ∈ R, ∀x ∈ R
n
.
Định nghĩa 1.5. (Phần trong, bao đóng)
Cho tập D ⊂ R
n
. Hợp của tất cả các tập mở nằm trong D gọi là phần
trong của D. Kí hiệu
0
A
hay int A. Giao của tất cả các tập đóng chứa D
gọi là bao đóng của D. Kí hiệu là A hay bdyA.
Một hình chữ nhật đóng (mở) trong R
n
là một tích Đề-các của n khoảng
đóng (tương ứng, mở) trong R.
Với bất kì r > 0, hình cầu mở tâm a, bán kính r trong R
n
là tập
B(a; r) = {x : x −a < r}.
Ta dùng kí hiệu r(x) = o(x − a) khi x → a, nghĩa là:
với ∀ε > 0, ∃δ > 0 : r(x) ≤ ε x − a, với bất kì x −a ≤ δ
(dãy r(x
k
) = o(


x
k
− a



) khi x
k
→ a, nghĩa là với ∀ε > 0, ∃N ∈ N :


r(x
k
)


≤ ε


x
k
− a


, với bất kì ∃n ≥ N).
Định nghĩa 1.6. (Ánh xạ đa trị)
Giả sử X, Y ⊂ R
n
. Kí hiệu 2
Y
là tập tất cả các tập con của Y . Một ánh
xạ đa trị F đi từ tập X vào tập Y là một ánh xạ từ X vào 2
Y
. Kí hiệu

F : X ⇒ Y . Đồ thị của ánh xạ đa trị Graph(F ) ⊂ X ×Y được xác định
như sau:
Graph(F ) = {(x, y)|y ∈ F(x)}
Ánh xạ đa trị F được gọi là không tầm thường nếu Graph(F ) = ∅,
nghĩa là tồn tại x ∈ X sao cho F (x) = ∅. Nếu F (x) = ∅ với mọi x ∈ X
thì ta nói rằng ánh xạ đa trị F là chính thường. Miền của ánh xạ đa trị
F , kí hiệu Dom(F ) là tập {x ∈ X, F (x) = ∅}. Ảnh của ánh xạ đa trị F
4
được cho bởi Im(F ) = ∪
x∈X
F (x). Nếu M là tập con khác rỗng của X và
F là ánh xạ đa trị từ X vào Y thì ta dùng kí hiệu F |
M
để chỉ ánh xạ
đa trị thu hẹp của F lên M và được định nghĩa:
F |
M
=



F (x), x ∈ M
∅, x /∈ M
Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ Dom(F )
khi và chỉ khi nếu với mỗi lân cận U của F (x), tồn tại một số dương r
sao cho:
∀y ∈ B
X
(x, r) , F (y) ⊂ U
trong đó B

X
(x, r) là hình cầu trong X có tâm x và bán kính r. F được
gọi là nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi
x ∈ Dom(F ).
Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ Dom(F )
khi và chỉ khi nếu với mỗi tập mở U ⊂ Y mà U ∩ F (x) = ∅, tồn tại
một số dương r sao cho:
∀y ∈ B
X
(x, r) , U ∩ F (y) = ∅.
Ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục dưới nếu và chỉ nếu nó nửa liên
tục dưới tại mọi x ∈ Dom(F ).
1.1.2. Một số tính chất trong R
n
- Không gian R
n
là đầy đủ.
- Mọi ánh xạ tuyến tính A : R
n
→ R
n
là liên tục.
5
- Mọi tập bị chặn trong R
n
là hoàn toàn bị chặn. Tập con A ⊂ R
n
compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn.
1.2. Hàm nhiều biến
1.2.1. Định nghĩa hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.7. Cho n là số nguyên với n ≥ 2, D ⊂ R
n
. Ta gọi ánh
xạ f : D → R
n
(n ∈ Z, n ≥ 1) với M(x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ D → u = f(M) =
f(x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
là một hàm n biến xác định trên D. D được gọi là
miền xác định của hàm f; x
1
, x
2
, , x
n
là các biến độc lập còn u gọi là
biến phụ thuộc.
1.2.2. Miền xác định của hàm nhiều biến

Người ta quy ước: Nếu cho hàm u = f(M) mà không nói gì về miền xác
định D của nó thì ta hiểu rằng miền xác định D của hàm là tập hợp các
điểm sao cho biểu thức f(M) có nghĩa.
1.2.3. Giới hạn của hàm nhiều biến
Định nghĩa 1.8. Cho D ⊂ R
n
và f : D → R
n
. Khi đó, với mỗi x ∈
D : f(x) = (f
1
(x), f
2
(x), , f
n
(x)) ∈ R
n
, giả sử a = (a
1
, a
2
, , a
n
) là một
điểm tụ của tập hợp D.
Ta nói rằng hàm f(x) có giới hạn l = (l
1
, l
2
, , l

n
) ∈ R
n
tại điểm a nếu
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D : 0 < x −a < δ ⇒ f(x) − l < ε.
Ký hiệu lim
x→a
f(x) = l.
6
Ta có: lim
x→a
f(x) = l ⇔ ∀{x
k
} ⊂ D, x
k
→ a(k → ∞) thì lim
k→∞
f(x
k
) = l.
1.2.4. Tính liên tục của hàm nhiều biến
Định nghĩa 1.9. Cho D ⊂ R
n
và f : D → R
n
. Ta nói hàm f(x) =
(x
1
, x
2

, , x
n
) liên tục tại điểm a = (a
1
, a
2
, , a
n
) ∈ D nếu:
∀ε > 0, ∃δ = δ(a, ε) > 0, ∀x ∈ D : 0 < x − a < δ ⇒ f(x) −f(a) < ε.
Điều này tương đương với lim
x→a
f(x) = f(a) (nếu a là điểm tụ).
Hàm số f được gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm
thuộc D.
Hàm số f liên tục trên miền đóng D nếu nó liên tục trên D và liên tục
tại mọi điểm a thuộc ∂D theo nghĩa:
lim
x→a
f(x) = f(a), x ∈ D.
Nếu đặt ∆f(a) = f(a
1
+ ∆x
1
, , a
n
+ ∆x
n
) − f(x
1

, , x
n
) gọi là số gia
toàn phần của hàm f tại a = (a
1
, a
2
, , a
n
) thì hàm f liên tục tại a nếu
∆f(a) → 0 khi ∆x
i
→ 0(i = 1, n).
Hàm f được gọi là liên tục đều trên tập D nếu:
∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0, ∀x

, x

∈ D, x

− x

 < δ ⇒ f(x

) −f(x

) < ε.
Hàm f được gọi là liên tục theo biến x
i
tại điểm a = (a

1
, a
2
, , a
n
) ∈ D
nếu:
∀ε > 0, ∃δ = δ(a, ε) > 0, ∀x
i
∈ D : x
i
− a
i
 < δ
⇒ f(a
1
, , x
i
, , a
n
− f(a) < ε
7
1.3. Tính khả vi của hàm nhiều biến
Định nghĩa 1.10. Cho D là một tập mở trong R
n
; a = (a
1
, , a
n
) ∈ D;

h = (h
1
, , h
n
) ∈ R
n
sao cho a + h ∈ D.
Ta nói rằng hàm số f(x) khả vi tại điểm a ∈ D nếu tồn tại các hằng số
A
1
, A
2
, , A
n
sao cho:
∆f(a) = f(a + h) − f(a) = A
1
h
1
+ A
2
h
2
+ + A
n
h
n
+ ε(h). h
trong đó, ε(h) → 0 khi h → 0.
Nếu f(x) khả vi tại a thì tồn tại các đạo hàm riêng

∂f
∂x
i
(a) (i = 1, 2, , n)
và đồng thời: ∆f(a) =
∂f
∂x
1
(a)h
1
+
∂f
∂x
2
(a)h
2
+ +
∂f
∂x
n
(a)h
n
+ ε(h). h.
Ký hiệu: f

(a) là véctơ f

(a) =

∂f

∂x
1
(a), ,
∂f
∂x
n
(a)

.
Khi đó, ∆f(a) = f

(a).h + ε(h). h; ε(h) → 0(h → 0).
Biểu thức f

(a).h được kí hiệu là df(a) và gọi là vi phân của hàm f(x)
tại a. Trong biểu thức df(a), h
i
được kí hiệu là dx
i
.
Từ đó: df(a) =
∂f
∂x
1
(a)dx
1
+
∂f
∂x
2

(a)dx
2
+ +
∂f
∂x
n
(a)dx
n
= f

(a)dx trong
đó, dx = (dx
1
, dx
2
, , dx
n
).
Nếu hàm số f(x) có các đạo hàm riêng
∂f
∂x
i
(x), i = 1, n trong lân cận
của điểm x = a và liên tục tại điểm này thì f(x) sẽ khả vi tại x = a.
Hàm số f được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm
của miền D.
8
1.4. Một số khái niệm đạo hàm suy rộng
1.4.1. Một số ký hiệu và định nghĩa
Định nghĩa 1.11. Cho tập D ⊂ R

n
, f : D → R
n
.
Nếu với ∀x
1
, x
2
∈ D, x
1
= x
2
thì f(x
1
) = f(x
2
). Ta nói f là một đơn ánh
hay ánh xạ một-một vào.
Nếu f(X) = Y thì f là một toàn ánh hay ánh xạ lên. Nói cách khác f
là toàn ánh nếu với mọi y ∈ Y đều tồn tại x ∈ X sao cho f(x) = y.
Ánh xạ f được gọi là song ánh, ánh xạ một-một lên hay ánh xạ một-
đối-một nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Định nghĩa 1.12. (Quan hệ thứ tự)
Cho K = R
n
+
; H = {x ∈ R
n
|x
i

> 0, ∀i}. Lấy x, y ∈ R
n
. Khi đó:
(i) K là một nón. Ta nói x nhỏ hơn hoặc bằng y, kí hiệu x ≤ y khi và chỉ
khi x≤
K
y ⇔ y − x ∈ K ⇔ x
i
≤ y
i
, 1 ≤ i ≤ n.
(ii) H là một nón lồi. Ta nói x nhỏ hơn y, kí hiệu x < y khi và chỉ khi
x < y ⇔ x≤
H
y ⇔ y − x ∈ H ⇔ x
i
≤ y
i
, 1 ≤ i ≤ n.
Định nghĩa 1.13. (Hàm trơn, nửa trơn)
Nếu f(x) có tất cả các đạo hàm riêng liên tục trong D thì ta nói f(x)
là hàm trơn trong D và viết là f ∈ C
∞
(D).
Hàm f : D → R
n
được gọi là hàm nửa trơn tại a ∈ D nếu với bất kì
x
k
→ a và V

k
∈ ∂f(x
k
), f(x
k
) −f(a) − V
k
(x
k
− a) = o(


x
k
− a


).
Một hàm liên tục f : R
n
→ R
n
là trơn từng khúc nếu tồn tại hàm khả
9
vi liên tục f
j
: R
n
→ R
n

, (j ∈ N, j > 1) sao cho:
f(x) ∈ {f
1
(x), f
2
(x), , f
j
(x)}, ∀x ∈ R
n
.
Định nghĩa 1.14. (P
0
-hàm và P-hàm (ma trận))
Cho hàm f : R
n
→ R
n
, ta nói rằng f là P
0
-hàm ( P-hàm) nếu với bất
kì x = y trong R
n
, max
{i:x
i
=y
i
}
(x −y)
i

[f(x) −f(y)]
i
≥ 0(> 0).
Ma trận M ∈ R
n×n
được gọi là P
0
-ma trận (P-ma trận) nếu hàm f(x) =
Mx là P
0
-hàm (P-hàm) hoặc tương đương với mọi ma trận con của M
là không âm (tương ứng, dương).
Mọi hàm đơn điệu (đơn điệu chặt) là P
0
-hàm (P-hàm).
1.4.2. Hàm C-khả vi
Định nghĩa 1.15. Hàm f : R
n
→ R
n
được gọi là C-khả vi nếu với mỗi
a ∈ R
n
, tồn tại tập con compact khác rỗng của toán tử tuyến tính T (a)
(được gọi là C-vi phân của f tại a) sao cho:
(i) Ánh xạ đa trị x → T (x) là nửa liên tục trên tại mỗi điểm a,
(ii) Với mỗi V ∈ T (x), f(x) −f(a) − V (x − a) = o(x −a).
1.4.3. Hàm khả vi Fréchet
Định nghĩa 1.16. (Hàm khả vi Fréchet) Ánh xạ f : R
n

→ R
n
được gọi
là khả vi Fréchet tại a ∈ R
n
nếu tồn tại A ∈ L(R
n
, R
n
) sao cho:
lim
h→0
f(a + h) − f(a) − A(a)h
h
= 0
Toán tử A được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại a và được ký hiệu là
f

F
(a), f được gọi là khả vi Fréchet nếu nó khả vi Fréchet tại mọi điểm
10
a ∈ R
n
.
Định nghĩa 1.17. (Hàm Lipschitz địa phương)
Cho hàm f : R
n
→ R
n
.

i) Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại a ∈ X, hay Lipschitz ở
gần a, nếu tồn tại lân cận U của a, số K > 0 sao cho:
∀x, x

∈ U, |f(x) − f(x

)| ≤ K x − x

 (∗).
ii) Hàm f được gọi là Lipschitzian địa phương với hằng số Lipschitzian
K trên tập R
n
, nếu (∗) đúng với mọi x, x

∈ R
n
.
Định nghĩa 1.18. (Vi phân Bouligand)
Xét hàm f : Ω → R
n
là hàm Lipschitz địa phương tại mỗi điểm của
tập mở Ω ⊆ R
n
(để trên những lân cận của mỗi điểm của Ω, f là hàm
Lipschitz). Sau đó, định lý Rademacher khẳng định f là khả vi Fréchet
hầu khắp nơi trong Ω). Cho Ω
f
là tập tất cả các điểm trong Ω mà f khả
vi Fréchet. Khi đó, với bất kì a ∈ Ω, (Clarke) Jacobian tổng quát:
∂f(a) = co{lim Jf(x

k
) : x
k
→ a, x
k
∈ Ω
f
}
tồn tại, khác rỗng, compact và lồi.
Tập ∂
B
f(a) := {lim Jf(x
k
) : x
k
→ a, x
k
∈ Ω
f
} được gọi là (dưới) vi
phân Bouligand của f tại a.
Định nghĩa 1.19. (Bậc của hàm tại một điểm) Với một hàm liên tục
f : Ω → R
n
, trong đó Ω là một tập mở chứa trong R
n
và p ∈ R
n
, ta sử
dụng kí hiệu deg(f, Ω, p) để kí hiệu cho bậc của f tại p trên Ω. Nếu a

là nghiệm cô lập của phương trình f(x) = p, khi đó, với mọi ε > 0 đủ
11
nhỏ, deg(f, B(a, ε), f(a)) là như nhau; ta kí hiệu giá trị chung này bởi
index(f, a).
Định nghĩa 1.20. (Hàm đơn trị yếu) Ta nói rằng một hàm f từ tập
mở Ω ⊆ R
n
vào R
n
là đơn trị yếu nếu tồn tại một dãy các hàm liên tục
một-đối-một f
k
: Ω → R
n
sao cho hàm f
k
hội tụ đều đến hàm f trên
mỗi tập con bị chặn của Ω.
Mệnh đề 1.1. Giả sử Ω là mở trong R
n
, f : Ω → R
n
là đơn trị yếu và
q ∈ f(Ω). Nếu a là một nghiệm cô lập của phương trình f(x) = q trong
Ω thì nó là nghiệm duy nhất.
R × R
Định nghĩa 1.21. Với tập con E ⊆ R
n
, co E kí hiệu hàm lồi đóng của
E và co E kí hiệu bao đóng của E. Với hàm khả vi f : R

n
→ R
n
, ∇f(a)
kí hiệu ma trận Jacobian của f tại a. Với ma trận A, A
i
kí hiệu hàng
thứ i của A.
Định nghĩa 1.22. Hàm φ : R
n
× R
n
→ R được gọi là hàm NCP (Non-
linear complementarity problem) nếu:
∀a, b ∈ R
n
: φ(a, b) = 0 ⇔ a, b = 0, a ≥ 0, b ≥ 0.
Cho hàm khả vi f : R
n
→ R
n
. Ta định nghĩa bài toán NCP(f) (bài toán
bù phi tuyến ứng với hàm f) như sau: Tìm a ∈ R
n
thỏa mãn a ≥ 0,
f(a) ≥ 0 và f(a), a = 0.
12
Với bài toán NCP (f), ta định nghĩa Φ(x) =













φ(x
1
, f
1
(x))
.
.
.
φ(x
i
, f
i
(x))
.
.
.
φ(x
n
, f
n

(x))












là hàm NCP
của NCP (f).
Kết luận
Trong chương này, ta đã trình bày một số nội dung cơ bản về hàm nhiều
biến. Những kiến thức này sẽ sử dụng đến trong chương sau.
13
Chương 2
Tính H-khả vi của hàm nhiều biến
Trong chương này, ta nghiên cứu khái niệm H-khả vi của hàm nhiều
biến và xét hai ứng dụng của H-khả vi. Ứng dụng thứ nhất, ta xét điều
kiện cần tối ưu của bài toán cực tiểu địa phương của hàm H-khả vi. Ứng
dụng thứ hai, ta xét bài toán bù phi tuyến ứng với hàm H-khả vi và chỉ
ra rằng, với điều kiện thích hợp về H-vi phân của f, cực tiểu hóa hàm
merit tương ứng với f dẫn tới lời giải của bài toán bù phi tuyến. Hai
ứng dụng này được vận dụng bởi rất nhiều những nhà nghiên cứu trên
C
1

, hàm lồi, hàm Lipschitz địa phương và hàm nửa liên tục. Những nội
dung trình bày trong chương này chủ yếu được lấy từ các tài liệu [1], [4],
[5].
2.1. H-vi phân và H-khả vi
2.1.1. Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 2.1. Cho hàm f : Ω ⊆ R
n
→ R
n
, trong đó Ω là tập con
mở trong R
n
và a ∈ Ω. Ta nói rằng tập con khác rỗng T (a) (cũng được
kí hiệu bởi T
f
(a)) trong R
n×n
là H-vi phân của f tại a nếu với mỗi dãy

x
k

⊆ Ω hội tụ tới a, tồn tại dãy con {x
k
j
} và ma trận A ∈ T (a) thỏa
14
mãn:
f(x
k

j
) −f(a) − A(x
k
j
− a) = 0



x
k
j
− a



.
Ta nói rằng f là H-khả vi tại a nếu f có H-vi phân tại a.
Nhận xét 2.1. Một định nghĩa tương đương về H-vi phân T (a) của f
tại a như sau: Với bất kì dãy x
k
:= a + t
k
d
k
với t
k
↓ 0 và


d

k


= 1, khi
đó tồn tại dãy con hội tụ t
k
j
↓ 0 và d
k
j
→ d ∈ R
n
và A ∈ T (a) thỏa mãn:
lim
j→∞
f(a + t
k
j
d
k
j
) −f(a)
t
k
j
= Ad.
Ví dụ 2.1. Xét hàm f : R
n
→ R
n

khả vi Fréchet tại a ∈ R
n
với đạo
hàm Fréchet (ma trận Jacobian) Jf(a) ∈ R
n×n
để:
f(x) −f(a) − Jf(a)(x − a) = o(x −a).
Rõ ràng, {Jf(a)} là H-vi phân của f và do đó f là H-khả vi.
Ví dụ 2.2. Xét tập mở Ω ⊆ R
n
và hàm Lipschitz địa phương f : Ω → R
n
là hàm nửa trơn tại a ∈ Ω. Nghĩa là, với bất kì x
k
→ a và V
k
∈ ∂f(x
k
),
f(x
k
) −f(a) − V
k
(x
k
− a) = o(


x
k

− a


).
Khi đó, f là khả vi theo hướng tại a và f là khả vi Bouligand (B-khả
vi), nghĩa là: f(x) − f(a) − f

(a; x − a) = o(x − a). Khi đó, với hàm
f cho trước, nửa trơn tại a, (dưới) vi phân Bouligand ∂
B
f(a) là H-vi
phân của f.
Cho x
k
→ a. Khi đó, từ tính chất hàm nửa trơn ta có:
f(x
k
) −f(a) − V
k
(x
k
− a) = o(


x
k
− a


)

15
với bất kì V
k
∈ ∂f(x
k
).
Đặc biệt, với bất kỳ V
k
∈ ∂
B
f(x
k
), vì ánh xạ x → ∂
B
f (x) có giá compact
và là nửa liên tục trên, ta xét một dãy con với V ∈ ∂
B
f(a) và dãy con
{x
k
j
} mà
f(x
k
j
) −f(a) − V
k
(x
k
j

− a) = o(


x
k
j
− a


).
Điều này chứng tỏ rằng ∂
B
f(a) là H-vi phân của f.
Ví dụ 2.3. [1] Xét f : R → R xác định bởi f(x) =

|x|. Xét a = 0. Vì
không có số α nào thỏa mãn f(x
i
) −f(0) − α(x
i
− 0) = o(x
i
− 0)
với {x
i
} là dãy con của dãy {
1
i
}. Vậy f không là H-khả vi tại a = 0.
Nhận xét 2.2. (i) H-vi phân của một hàm tại một điểm không cần là

duy nhất.
Thật vậy, cho Ω ⊂ R
n
, hàm f : Ω → R
n
là hàm khả vi Fréchet và cũng
là hàm Lipschitz địa phương tại a ∈ Ω. Theo ví dụ 2.1, do f là hàm khả
vi Fréchet nên có hàm Fréchet (ma trận Jacobian) Jf(a) ∈ R
n×n
để
f(x) −f(a) − Jf(a)(x − a) = o(x −a)
Theo định nghĩa về H-vi phân, Jf(a) là H-vi phân của f. Theo ví dụ
2.2, f là H-vi phân với:
T (a) = ∂f(a) = co{lim Jf(x
k
) :x
k
→ a, x
k
∈ Ω
f
}
Vì Jf(a) = Tf(a) nên H-vi phân của một hàm tại một điểm không cần
là duy nhất.
(ii) H-khả vi kéo theo tính liên tục.
Thật vậy, giả sử hàm f : Ω → R
n
là H-khả vi tại a. Do đó, với mỗi dãy
16
{x

k
}, x
k
→ a, ∃{x
k
j
} ⊂ {x
k
} và ma trận A ∈ T (a) sao cho
f(x
k
j
) −f(a) − A(x
k
j
− a) = o(


x
k
j
− a


).
Vì x
k
→ a nên tồn tại ít nhất một dãy con {x
k
j

} ⊂ {x
k
} sao cho
f(x
k
j
) → f(a). Trong các dãy con thỏa mãn các tính chất trên, ta lấy
dãy con sao cho số hạng đầu có chỉ số nhỏ nhất. Ký hiệu dãy đó là {x
k
1
}.
Nếu các số hạng của {x
k
1
} có các chỉ số liên tiếp nhau thì
∃k
0
∈ N :


f(x
k
) −f(a)


< ε, ∀k ≥ k
0
. Do đó, f(x) → f(a).
Nếu các số hạng của {x
k

1
} có các chỉ số không liên tiếp nhau. Xét dãy
{x
k
}\{x
k
1
}, tồn tại dãy con {x
k
2
} có chỉ số của số hạng đầu k
2
nhỏ nhất
và f(x
k
2
) → f(a). Cứ như thế, ta có các dãy {x
k
1
}; {x
k
2
}; Do đó, tồn
tại dãy x
k
i
o
→ a sao cho x
k
i

< x
k
i
0
< x
k
i+1
với k
i
đủ lớn. Từ đó, tồn tại
dãy con {x
k
ij
n
} : f(x
k
ij
n
) → f(a)(x
k
i
n
< x
k
ij
n
< x
k
i
n+1

). Điều này mâu
thuẫn với giả thiết nhỏ nhất của k
i
n+1
. Suy ra {x
k
i
} là dãy gồm các chỉ số
liên tiếp. Tồn tại k
0
∈ N,


f(x
k
) −f(a)


< ε, ∀k ≥ k
0
hay f(x
k
) → f(a).
(iii) Điều kiện H-khả vi có thể được miêu tả tương đương như sau: Với
mỗi dãy {a + t
k
d
k
} với t
k

↓ 0 và d
k
 = 1, khi đó tồn tại d
k
j
→ d ∈ R
n
và A ∈ T (a) sao cho:
f(a + t
k
j
d
k
j
) −f(a)
t
k
j
→ Ad.
Thật vậy, giả sử f là H-khả vi tại a. Đặt x
k
= a + t
k
d
k
, t
k
↓ 0,



d
k


= 1,
ta có x
k
→ a. Do vậy, tồn tại dãy {x
k
j
} ⊂ {x
k
}, x
k
j
= a + t
k
j
d
k
j
sao cho:
f(x
k
j
) −f(a) − A(x
k
j
− a) = o(



x
k
j
− a


).
Từ đó, ta có:
f(a + t
k
j
d
k
j
) −f(a) − A(t
k
j
d
k
j
) = o(


t
k
j
d
k
j



)
17
f(a + t
k
j
d
k
j
) −f(a) − t
k
j
A(d
k
j
) = o(


t
k
j
d
k
j


)
f(a + t
k

j
d
k
j
) −f(a)
t
k
j
= A(d
k
j
) + o(


d
k
j


) → Ad
Ngược lại, giả sử với mỗi dãy {a + t
k
d
k
} với t
k
↓ 0,


d

k


= 1, tồn tại dãy
{d
k
j
}, d
k
j
→ d ∈ R
n
và ma trận A ∈ T (a) sao cho:
f(a + t
k
j
d
k
j
) −f(a)
t
k
j
→ Ad.
Lấy dãy {x
k
}, x
k
→ a. Ta có:
x

k
− a =


x
k
− a


.
x
k
− a
x
k
− a
.
Đặt t
k
= x
k
− a ⇒ t
k
→ 0;d
k
=
x
k
− a
x

k
− a
⇒ d
k
 = 1. Như vậy, tồn tại
dãy {d
k
j
}, d
k
j
→ d ∈ R
n
sao cho
f(a + t
k
j
d
k
j
) −f(a)
t
k
j
→ Ad.
Từ đó,
f(x
k
j
) −f(a)

t
k
j
→ Ad
f(x
k
j
) −f(a) − A(t
k
j
d
k
j
)
t
k
j
→ 0
f(x
k
j
) −f(a) − A(x
k
j
− a) = o(


t
k
j

d
k
j


)
Vậy hàm f khả vi tại a.
(iv) Nếu một hàm f : Ω ⊆ R
n
→ R
n
là H-khả vi tại một điểm a thì tồn
tại hằng số L > 0 và lân cận B(a, δ) của a với:
f(x) −f(a) ≤ L x −a, ∀x ∈ B(a, δ).
Ngược lại, nếu f(x) −f(a) ≤ L x − a, ∀x ∈ B(a, δ) thì T (a) :=
R
n×n
có thể coi như H-vi phân của f tại a.
Thật vậy, vì f là H-vi phân tại a nên với mỗi dãy {x
k
} ⊂ Ω, x
k
→ a, tồn
18