Phương pháp trung bình bình phương và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2








NGUYỄN CHÍ THÂN







PHƯƠNG PHÁP TRUNG BÌNH BÌNH PHƯƠNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN KHẢI








HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Khải. Sự giúp đỡ
và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình
thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong
cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính
trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu,
các thầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung học phổ thông Bất Bạt cùng
gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận
lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 19 tháng 02 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Chí Thân
Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 19 tháng 02 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Chí Thân
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Không gian vecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Không gian định chuẩn và không gian Banach . . 10
1.4. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Không gian L
2
[a; b] . 16
1.6. Chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 2. XẤP XỈ TRUNG BÌNH BÌNH PHƯƠNG . . 18
2.1. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert . 18
2.2. Xấp xỉ tốt nhất trong L
2
[a; b] bằng các đa thức đại số . 21
2.3. Xấp xỉ tốt nhất trong L
2
[a; b] bằng hệ đa thức trực giao . . 24
2.3.1. Định nghĩa đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2. Một số tính chất của đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3. Đa thức trực giao Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.4. Đa thức trực giao Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.5. Đa thức trực giao Chebyshev loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.6. Đa thức trực giao Chebyshev loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.7. Đa thức trực giao Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.8. Đa thức trực giao Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.9. Đa thức trực giao Laghe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.10. Đa thức trực giao lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1
2.4. Xấp xỉ hàm cho dưới dạng bảng . . . . . . 54
2.4.1. {ϕ} là cơ sở đại số ϕ
i
= x
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.2. {ϕ} = {1, sin x, cos x, . . . , sin mx, cos mx}, x ∈ [0; 2π] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.3. {ϕ} = {e
mx
}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong thực tế tính toán, ta thường gặp một số khó khăn khi thực
hiện các phép toán với các bài toán mà hàm số f (x) có biểu thức khá
phức tạp hoặc hàm số được cho dưới dạng bảng. Để khắc phục vấn đề
trên người ta xây dựng hàm số P (x) đơn giản hơn, là xấp xỉ với f(x).

Có rất nhiều phương pháp để xấp xỉ hàm và một trong những phương
pháp có nhiều ứng dụng là phương pháp xấp xỉ trung bình bình phương.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp xấp xỉ trung
bình bình phương và ứng dụng của nó, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc
sĩ của mình
“Phương pháp trung bình bình phương và một số ứng dụng”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày hệ thống lý thuyết về xấp xỉ trung bình bình phương và
nêu một số ứng dụng của nó.
Lý thuyết xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert, xấp xỉ tốt nhất
trong L
2
[a; b], phương pháp bình phương tối thiểu.
Một số ứng dụng của nó trong các ví dụ khác nhau.
3
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp xấp xỉ trung bình bình phương.
Phạm vi nghiên cứu: Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert,
không gian L
2
[a; b] và phương pháp bình phương tối thiểu.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc, tìm hiểu tư liệu trong sách, báo.
Sử dụng các phương pháp của giải tích.
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu của đề tài.
5. Dự kiến đóng góp của đề tài
Trình bày một cách có hệ thống và rõ ràng một số vấn đề của lý
thuyết xấp xỉ trung bình bình phương.
Ứng dụng của lý thuyết xấp xỉ trung bình bình phương để giải và
sáng tạo một lớp bài toán.

4
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1. Cho tập hợp tùy ý X = ø. Một metric trong X là ánh
xạ
d : X × X → R
thỏa mãn các điều kiện sau:
i) d (x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X;
d (x, y) = 0 ⇔ x = y;
ii) d (x, y) = d (y, x) ∀x, y ∈ X;
iii) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) ∀x, y, z ∈ X.
Tập hợp X và một metric trong X gọi là một không gian metric,
ký hiệu là (X, d). Số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y.
Nếu M là một tập con khác rỗng của X thì M cùng với d hạn chế
trên M là một không gian metric con của không gian metric X.
Định nghĩa 1.2. Dãy điểm {x
n
} trong không gian metric (X, d) được
gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim
n→∞
d (x
n
, x) = 0.
Ký hiệu lim
n→∞
x
n
= x hay x
n

→ x khi n → ∞.
Định nghĩa 1.3. Một dãy điểm {x
n
} trong không gian metric (X, d)
được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim
m,n→∞
d (x
m
, x
n
) = 0.
5
Định nghĩa 1.4. Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử của X.
Định lý 1.1. Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ là không
gian metric đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử F là một tập đóng trong không gian metric đầy
đủ (X, d). Giả sử {x
n
} là một dãy cơ bản trong F tức là
lim
m,n→∞
d (x
m
, x
n
) = 0.
Suy ra {x
n
} là một dãy cơ bản trong X.

Do X là không gian đầy đủ nên dãy {x
n
} hội tụ, tức là
∃x
0
∈ X : x
n
→ x
0
, n → ∞
Như vậy (x
n
) ⊂ F : x
n
→ x
0
∈ X, n → ∞. Do F là tập đóng nên
x
0
∈ F .
Vậy F là không gian metric đầy đủ.
Ví dụ 1.1. Xét X = R với khoảng cách d(x, y) = |x − y|. Khi đó X là
một không gian metric, hơn nữa X còn là một không gian metric đầy
đủ.
Ví dụ 1.2. Xét X = Q với khoảng cách d(x, y) = |x − y|. Khi đó X là
một không gian metric, nhưng X không phải là một không gian metric
đầy đủ.
Ví dụ 1.3. Trong không gian metric đầy đủ (X, d), hình cầu đóng
S (x
0

, r) = {x ∈ X : d (x, x
0
) ≤ r}, r ∈ R
+
là không gian metric đầy đủ.
6
Định nghĩa 1.5. Cho hai không gian metric tùy ý (X, d
1
) và (Y, d
2
).
Ánh xạ A : X → Y gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số α ∈ [0, 1) sao
cho ∀x
1
, x
2
∈ X ta đều có
d
2
(A(x
1
), A(x
2
)) ≤ αd
1
(x
1
, x
2
) ,

α gọi là hệ số co của ánh xạ co A.
Định lý 1.2. (Nguyên lý Banach về ánh xạ co)
Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó
đều có một điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Lấy một điểm bất kỳ x
0
∈ X và lập dãy x
n
= A (x
n−1
) ,
n = 1, 2, ta được
d (x
2
, x
1
) = d (Ax
1
, Ax
0
) ≤ αd (x
1
, x
0
) = αd (Ax
0
, x
0
) ,
d (x

3
, x
2
) = d (Ax
2
, Ax
1
) ≤ αd (x
2
, x
1
) ≤ α
2
d (Ax
0
, x
0
) ,
. . .
d (x
n+1
, x
n
) = d (Ax
n
, Ax
n−1
) ≤ αd (x
n
, x

n−1
) ≤ α
n
d (Ax
0
, x
0
) , n = 1, 2,
Từ đó suy ra ∀n, p = 1, 2, ta có
d (x
n+p
, x
n
) ≤
p

k=1
d (Ax
n+k
, Ax
n+k−1
) ≤ d (Ax
0
, x
0
)
p

k=1
α

n+k−1
=
α
n
− α
n+p
1 − α
d (Ax
0
, x
0
) ≤
α
n
1 − α
d (Ax
0
, x
0
) .
Vì 0 ≤ α < 1 nên lim
n→∞
d (x
n+p
, x
n
) = 0, ∀p ∈ N
∗
nghĩa là (x
n

) là
dãy cơ bản trong không gian metric đầy đủ (X, d).
Từ đó tồn tại lim
n→∞
x
n
= x
∗
∈ X. Ta có
d (Ax
∗
, x
∗
) ≤ d (Ax
∗
, x
n
) + d (x
n
, x
∗
) = d (Ax
∗
, Ax
n−1
) + d (x
n
, x
∗
)

≤ αd (x
n−1
, x
∗
) + d (x
n
, x
∗
) , ∀n = 1, 2,
7
Cho n → ∞ ta được d (Ax
∗
, x
∗
) = 0 hay Ax
∗
= x
∗
, nghĩa là x
∗
là điểm
bất động của ánh xạ A.
Giả sử tồn tại điểm y
∗
∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ A thì
d (x
∗
, y
∗
) = d (Ax

∗
, Ay
∗
) ≤ αd (x
∗
, y
∗
)
⇒ (1 − α) d (x
∗
, y
∗
) ≤ 0 ⇒ d (x
∗
, y
∗
) = 0, (0 ≤ α < 1)
⇒ x
∗
= y
∗
Vậy x
∗
là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A.
1.2. Không gian vecto
Định nghĩa 1.6. Tập X cùng với phép cộng (+) và nhân vô hướng (.)
được gọi là một không gian vecto trên R nếu các điều kiện sau được thỏa
mãn:
Với mọi x, y, z ∈ X, với mọi α, β ∈ R, ta có
1) x + y = y + x;

2) (x + y) + z = x + (y + z);
3) Tồn tại phần tử trung hòa θ ∈ X sao cho x + θ = x;
4) Với mỗi x ∈ X, tồn tại phần tử đối của x là (−x) ∈ X sao cho
x + (−x) = θ;
5) (α + β)x = αx + βx;
6) α(x + y) = αx + αy;
7) α(βx) = (αβ)x;
8) 1x = x;
với 1 là phần tử đơn vị.
Mỗi phần tử x ∈ X được gọi là một vecto, các điều kiện trên được
8
gọi là các tiên đề về không gian vecto.
Định nghĩa 1.7. Giả sử X là một không gian vecto. Tập con X
1
của
X được gọi là một không gian vecto con của không gian X nếu X
1
cùng
với hai phép toán cảm sinh của X trên X
1
tạo thành một không gian
vecto.
Định nghĩa 1.8. Cho X là một không gian vecto. Biểu thức dạng
α
1
x
1
+ α
2
x

2
+ . . . + α
n
x
n
; α
i
∈ R, x
i
∈ X
được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ vecto {x
1
, . . . , x
n
}.
Định nghĩa 1.9. Cho hệ n vecto {x
1
, . . . , x
n
} trong không gian vecto
X. Xét đẳng thức vecto
α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α

n
x
n
= θ.
Nếu đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi α
1
= α
2
= . . . = α
n
= 0
thì ta nói hệ n vectơ đó độc lập tuyến tính.
Nếu tồn tại một bộ số α
1
, . . . , α
n
với
n

i=1
α
2
i
> 0 sao cho đẳng thức
trên được thỏa mãn thì ta nói rằng hệ n vecto trên phụ thuộc tuyến
tính.
Định nghĩa 1.10. Hệ vô hạn các phần tử {x
i
}
i∈I

thuộc không gian
vecto X được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của nó
là độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.11. Cho n là một số nguyên dương và X là một không
gian vecto. Nếu tồn tại n vecto x
1
, . . . , x
n
∈ X độc lập tuyến tính và
9
mọi hệ n + 1 vecto trong X đều phụ thuộc tuyến tính thì ta nói không
gian X có số chiều là n và kí hiệu dimX = n. Nếu không tồn tại n như
vậy ta nói không gian X là vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.12. Cho X là không gian vecto. Tập hợp các phần tử
x
1
, . . . , x
n
∈ X được gọi là một cơ sở của X nếu với mỗi x ∈ X, x luôn
biểu diễn được dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của x
1
, . . . , x
n
và biểu
diễn này là duy nhất.
Định lý 1.3. Không gian vecto X có số chiều n khi và chỉ khi cơ sở
của X gồm n phần tử. Nếu X có số chiều là n thì mọi hệ vectơ độc lập
tuyến tính gồm n phần tử đều là cơ sở của nó.
Định nghĩa 1.13. Giả sử X và Y là hai không gian vecto. Khi đó, ánh
xạ A : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu A thỏa mãn hai điều

kiện:
i) A(x
1
+ x
2
) = A(x
1
) + A(x
2
) ∀x
1
, x
2
∈ X.
ii) A(αx) = αA(x) ∀x ∈ X, ∀α ∈ R.
1.3. Không gian định chuẩn và không gian Banach
Định nghĩa 1.14. Cho X là không gian vecto trên R. Chuẩn trong X,
ký hiệu ., là một ánh xạ từ X vào tập số thực R thỏa mãn các tiên đề
sau
i) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ;
ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ R) αx = |α|x;
iii) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y.
10
Số x gọi là chuẩn (hay độ dài) của vecto x.
Một không gian vecto X cùng với một chuẩn xác định trong không
gian đó được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn.
Định lý 1.4. Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn, đặt
d (x, y) = x −y, ∀x, y ∈ X (1.1)
Khi đó, d là một metric trên X.
Nhận xét 1.1. Từ định lí 1.4 ta có mọi không gian tuyến tính định

chuẩn đều là không gian metric với metric (1.1).
Định nghĩa 1.15. Dãy điểm {x
n
} của không gian tuyến tính định chuẩn
X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu
lim
n→∞
x
n
− x = 0.
Ký hiệu lim
n→∞
x
n
= x hay x
n
→ x khi n → ∞.
Định nghĩa 1.16. Dãy điểm {x
n
} trong không gian tuyến tính định
chuẩn X được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu
lim
m,n→∞
x
n
− x
m
 = 0.
Định nghĩa 1.17. Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là
không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần

tử trong X.
Ví dụ 1.4. a) R
n
- Không gian vectơ Euclide n-chiều là không gian
Banach với chuẩn
x =

n

i=1
x
i
2
, ∀x ∈ R
n
.
b) C[a; b] - Không gian các hàm số liên tục trên đoạn [a; b] là không gian
11
Banach với chuẩn
x = max
t∈[a;b]
|x (t)|, ∀x ∈ C
[a;b]
.
1.4. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.18. Cho không gian vecto X trên R. Ánh xạ
ϕ : X × X → R
thỏa mãn các điều kiện sau được gọi là một tích vô hướng trên X:
i) ϕ(x, x) ≥ 0 ∀x ∈ X;
ϕ(x, x) = 0 ⇔ x = θ.

ii) ϕ(y, x) = ϕ(x, y) ∀x, y ∈ X.
iii) ϕ(x + x

, y) = ϕ(x, y) + ϕ(x

, y) ∀x, x

, y ∈ X.
iv) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y) ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ R.
ϕ(x, y) được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y và kí hiệu
là x, y.
Định lý 1.5. (Bất đẳng thức Schwarz)
Đối với mỗi x ∈ X ta đặt
x =

x, y. (1.2)
Khi đó, ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz
|x, y| ≤ xy.
Định nghĩa 1.19. Không gian vecto X trên R cùng với một tích vô
hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
12
Nhận xét 1.2. Công thức (1.2) xác định một chuẩn trên không gian X.
Từ đó, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với
chuẩn (1.2).
Định nghĩa 1.20. Không gian X được gọi là không gian Hilbert nếu
X là không gian tiền Hilbert và đầy đủ theo chuẩn (1.2).
Định nghĩa 1.21. Cho không gian Hilbert X.
i) Hai phần tử x, y ∈ X gọi là trực giao và ký hiệu x⊥y nếu x, y = 0.
ii) A là tập con khác rỗng của X. Phần tử x ∈ X gọi là trực giao với
tập A nếu x⊥y, ∀y ∈ A và ký hiệu x⊥A.

Định lý 1.6. (Định lý Pythagore)
Cho không gian Hilbert X. Nếu x, y ∈ X và x⊥y thì
x + y
2
= x
2
+ y
2
.
Định nghĩa 1.22. Một hệ {e
n
}
n≥1
các phần tử của không gian Hilbert
X gọi là hệ trực chuẩn nếu e
i
, e
j
 = δ
ij
, trong đó
δ
ij
=



1 i = j
0 i = j
i, j = 1, 2 . . .

Định lý 1.7. (Định lí về trực giao hóa Hilbert - Schmidt)
Cho một hệ {x
n
} các vecto độc lập tuyến tính (gồm hữu hạn hay
đếm được các phần tử) của một không gian tiền Hilbert X. Đặt
e
1
=
x
1
x
1

,
e
2
=
x
2
− x
2
, e
1
e
1
x
2
− x
2
, e

1
e
1

,
13
. . . . . .
e
n+1
=
x
n+1
−
n

i=1
x
n+1
, e
i
e
i




x
n+1
−
n


i=1
x
n+1
, e
i
e
i




.
. . . . . . . . . . . .
Khi đó {e
n
} là hệ trực chuẩn.
Chứng minh. Do giả thiết độc lập tuyến tính nên các vecto x
n
đều
khác 0. Do đó, các vecto e
n
là xác định.
Hơn nữa ta thấy e
n
 = 1 với mọi n nên ta chỉ cần chứng minh
tính trực giao của hệ {e
n
}.
Thật vậy, đặt

y
1
= x
1
y
2
= x
2
− x
2
, e
1
e
1
. . . .
y
n+1
= x
n+1
−
n

i=1
x
n+1
, e
i
e
i
. . . . . . . .

Vì e
1
, e
1
 = 1 nên y
2
, e
1
 = x
2
, e
1
 − x
2
, e
1
e
1
, e
1
 = 0 tức là
y
2
⊥e
1
, do đó e
2
⊥e
1
.

Giả sử e
1
, . . . , e
n
trực giao từng đôi một, ta thấy rằng vì e
i
, e
i
 = 1
nên y
n+1
, e
i
 = x
n+1
, e
i
 − x
n+1
, e
i
e
i
, e
i
 = 0, tức là y
n+1
⊥e
i
và do

đó e
n+1
⊥e
i
với mọi i = 1, . . . , n.
Vậy {e
n
} là một hệ trực chuẩn. Định lý được chứng minh.
14
Định lý 1.8. (Bất đẳng thức Bessel)
Nếu {e
n
}
n≥1
là một hệ trực chuẩn nào đó trong không gian Hilbert
X thì với mọi x ∈ X ta có bất đẳng thức

n≥1
|x, e
n
|
2
≤ x
2
.
Định nghĩa 1.23. Một hệ trực chuẩn {e
n
}
n≥1
gọi là đầy đủ trong không

gian Hilbert X nếu duy nhất vecto không trực giao với tất cả các phần
tử của hệ, nghĩa là: x⊥e
n
(n = 1, 2, . . .) ⇒ x = θ.
Định lý 1.9. Cho {e
n
}
n≥1
là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert
X.
Các mệnh đề sau là tương đương:
a) {e
n
}
n≥1
là hệ trực chuẩn đầy đủ.
b) x =
∞

n=1
x, e
n
e
n
, ∀x ∈ X.
c) x
2
=
∞


n=1
|x, e
n
|
2
, ∀x ∈ X (phương trình đóng).
d) x, y =
∞

n=1
x, e
n
e
n
, y, ∀x, y ∈ X (đẳng thức Parseval).
Định lý 1.10. Nếu {e
n
}
n≥1
là một hệ trực chuẩn trong không gian
Hilbert X và với y tùy ý thì




y −
N

i=1
y, e

i
e
i




≤




y −
N

i=1
a
i
e
i




với a
1
, a
2
, , a
N

là các hằng số bất kì.
15
1.5. Không gian L
2
[a; b]
Định nghĩa 1.24. Hàm p(x) xác định trên đoạn [a; b] được gọi là hàm
trọng trên [a; b] nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] .
ii) Tập {x ∈ [a; b] : p(x) = 0} có độ đo Lebesgue bằng không.
Định nghĩa 1.25. Không gian L
2
[a; b] là tập các hàm bình phương khả
tích với hàm trọng p(x) xác định trên [a; b], nghĩa là
f(x) ∈ L
2
[a; b] ⇔
b

a
p(x)[f(x)]
2
dx < +∞.
Định nghĩa 1.26. Trong không gian L
2
[a; b], hai hàm f (x) và g(x) gọi
là bằng nhau nếu
b

a
p(x)[f(x) −g(x)]

2
dx = 0.
Định lý 1.11. Với f = f (x) ∈ L
2
[a; b], đặt
f =


b

a
p(x)[f(x)]
2
dx


1
2
.
Khi đó, . là một chuẩn trên L
2
[a; b] và cùng với chuẩn đó thì
L
2
[a; b] là không gian Banach.
Định lý 1.12. Với f(x), g(x) ∈ L
2
[a, b], khi đó
f, g =
b


a
p(x)f(x)g(x)dx. (1.3)
là tích vô hướng. Cùng với tích vô hướng trên L
2
[a, b] trở thành không
gian Hilbert.
16
1.6. Chuỗi Fourier
Định nghĩa 1.27. Cho f : [−π; π] → R là hàm khả tích, chuỗi lượng
giác
a
0
2
+
+∞

k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx); x ∈ R, a
k
, b
k
∈ C
được gọi là chuỗi Fourier của f.
Ta kí hiệu f(x) ≈
a

0
2
+
+∞

k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx), trong đó các số
a
0
=
1
π
π

−π
f(x)dx;
a
k
=
1
π
π

−π
cos kx.f(x)dx;
b

k
=
1
π
π

−π
sin kx.f(x)dx, k ∈ Z.
được gọi là các hệ số Fourier của f.
Định lý 1.13. (Định lý Feje’r)
Nếu f (x) là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π thì dãy {σ
n
(x)} hội
tụ đều tới f(x), ở đó
σ
n
(x) =
n

k=0
S
k
(x)
n
;
S
k
(x) =
k


m=0
(a
m
cos mx + b
m
sin mx).
Định lý 1.14. Cho f(x) ∈ L
2
[−π; π] và ε > 0. Khi đó tồn tại hàm h(x)
liên tục, tuần hoàn với chu kì 2π sao cho
π

−π
[f(x) −h(x)]
2
dx < ε.
17
Chương 2
XẤP XỈ TRUNG BÌNH BÌNH
PHƯƠNG
2.1. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert
Bài toán. Cho H
0
là không gian con đóng hữu hạn chiều của không
gian Hilbert H và x là phần tử cho trước thuộc H. Tìm h
0
∈ H
0
sao cho
x − h

0
 = d
0
:= inf
h∈H
0
x − h = d (x, H
0
) .
Ta kí hiệu h
0
= arg min
h∈H
0
x − h và gọi là xấp xỉ tốt nhất của x
trong H
0
.
Mệnh đề 2.1. h
0
= arg min
h∈H
0
x − h khi và chỉ khi x − h
0
⊥H
0
.
Chứng minh.
Điều kiện cần. Nếu h = θ ∈ H

0
thì x − h
0
⊥h.
Lấy θ = h ∈ H
0
tùy ý. Khi đó ta có
x − h
0
+ αh
2
≥ x − h
0

2
, ∀α ∈ R
⇔ α
2
h
2
+ 2α x −h
0
, h ≥ 0, ∀α ∈ R.
Vế trái là tam thức bậc hai theo α, bất phương trình có nghiệm
với mọi α ∈ R nên ∆

= x − h
0
, h
2

≤ 0
⇔ x − h
0
, h = 0 hay x − h
0
⊥h.
18
Do tính chất tùy ý của h ∈ H
0
nên x − h
0
⊥H
0
.
Như vậy x −h
0
⊥H
0
.
Điều kiện đủ. Lấy h là phần tử tùy ý của H
0
. Khi đó ta có
x − h
2
= x − h
0
+ h
0
− h
2

= x − h
0

2
+ h
0
− h
2
⇒ x − h
2
≥ x − h
0

2
, ∀h ∈ H
0
(do h
0
− h ∈ H
0
nên x − h
0
⊥h
0
− h).
Vậy h
0
= arg min
h∈H
0

x − h. Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 2.2. Xấp xỉ tốt nhất h
0
= arg min
h∈H
0
x − h là tồn tại và duy
nhất.
Chứng minh.
Tính duy nhất. Nếu h
1
, h
2
∈ H
0
là các xấp xỉ tốt nhất của x. Theo mệnh
đề 2.1 ta có x − h
2
⊥H
0
, do đó x − h
2
⊥h
2
− h
1
:
x − h
1


2
= x − h
2
+ h
2
− h
1

2
= x − h
2

2
+ h
2
− h
1

2
.
Vì x − h
1
 = x − h
2
 = d(x, H
0
) nên h
2
≡ h
1

.
Sự tồn tại. Vì H
0
là hữu hạn chiều nên có thể gọi {e
1
, . . . , e
n
} là một cơ
sở của H
0
với dimH
0
= n. Ta biểu diễn được h
0
=
n

i=1
c
i
e
i
.
Do x − h
0
⊥H
0
nên x − h
0
⊥e

j
, ∀j =
1, n
⇔ x − h
0
, e
j
 = 0 ∀j = 1, n
⇔ x, e
j
 − h
0
, e
j
 = 0 ∀j = 1, n
⇔





n

i=1
c
i
e
i
, e
j

 = x, e
j

∀j = 1, n
(2.1)
19
Hệ phương trình (2.1) là hệ phương trình đại số tuyến tính . Hệ {e
1
, . . . , e
n
}
độc lập tuyến tính nên định thức của ma trận hệ số là G(e
1
, . . . , e
n
) = 0,
vậy hệ (2.1) có nghiệm duy nhất c
i
, i = 1, n. Từ đó h
0
là tồn tại. Định lí
được chứng minh.
Nhận xét 2.1. Như vậy để tìm xấp xỉ tốt nhất h
0
=
n

i=1
c
i

e
i
ta cần giải
hệ (2.1) ở trên, ngoài ra ta có ước lượng bình phương sai số còn gọi là
phương sai
ρ
2
n
= x − h
0

2
, n = dim H
0
.
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. Hệ {e
1
, . . . , e
n
} trực giao nghĩa là e
i
, e
j
 = e
i

2
δ
ij

.
Từ hệ (2.1) ta có
c
i
=
x, e
i

e
i

2
. (2.2)
Vì x
2
= x − h
0

2
+ h
0

2
⇒ x − h
0

2
= x
2
− h

0

2
, (h
0
∈ H
0
; x − h
0
⊥H
0
)
nên ρ
2
n
= x − h
0

2
= x
2
− h
0

2
= x
2
−
n


i=1
|x, e
i
|
2
e
i

2
.
Từ định lý 1.9 (phương trình đóng), suy ra ρ
n
→ 0 (n → ∞).
Trường hợp 2. Hệ {e
1
, e
2
, . . . , e
n
} là cơ sở bất kì của H
0
.
ρ
2
n
= x − h
0

2
= x − h

0
, x − h
0
 = x − h
0
, x − x −h
0
, h
0

⇒ ρ
2
n
= x − h
0
, x = x
2
− h
0
, x = x
2
−
n

i=1
c
i
x, e
i
. (2.3)

Từ (2.1) và (2.3) ta có hệ







n

i=1
c
i
e
i
, e
j
 − 1 x, e
j
 = 0 (j =
1, n)
n

i=1
c
i
x, e
i
 − 1


x
2
− ρ
2
n

= 0
(2.4)
20
Vì {c
1
, . . . , c
n
, −1} là nghiệm không tầm thường của hệ (2.4) nên hệ (2.4)
có định thức bằng 0. Nghĩa là
det












e
1

, e
1
 e
1
, e
2
 ··· e
1
, e
n
 x, e
1

e
2
, e
1
 e
2
, e
2
 ··· e
2
, e
n
 x, e
2

··· ··· ··· ··· ···
e

n
, e
1
 e
n
, e
2
 ··· e
n
, e
n
 x, e
n

x, e
1
 x, e
2
 ··· x, e
n
 x
2
− ρ
2
n













= 0
⇔ G(e
1
, e
2
, . . . , e
n
, x) −ρ
2
n
G(e
1
, e
2
, . . . , e
n
) = 0.
⇔ ρ
2
n
=
G(e
1

, e
2
, . . . , e
n
, x)
G(e
1
, e
2
, . . . , e
n
)
.
2.2. Xấp xỉ tốt nhất trong L
2
[a; b] bằng các đa thức
đại số
Xét không gian Hilbert L
2
[a; b], sự hội tụ trong L
2
[a; b] được gọi
là sự hội tụ trung bình với trọng p(x). Kí hiệu P
n
là không gian con
của L
2
[a; b] sinh bởi {1, x, . . . , x
n
} thì dim P

n
< +∞. Áp dụng kết
quả ở mệnh đề 2.2 thì với mỗi y ∈ L
2
[a; b], tồn tại duy nhất đa thức
P
n
(x) = a
0
+ a
1
x + + a
n
x
n
là xấp xỉ tốt nhất phần tử y, nghĩa là:
ρ
2
= y − P
n
(x)
2
=
b

a
p(x)[y(x) − P
n
(x)]
2

dx = inf
Q
n
∈P
n
y − Q
n
(x)
Các hệ số {a
i
}
n
i=0
của đa thức xấp xỉ tốt nhất P
n
(x) được tìm từ
hệ phương trình:
21
















c
0
a
0
+ c
1
a
1
+ + c
n
a
n
= b
0
c
1
a
0
+ c
2
a
1
+ + c
n+1
a
n
= b

1
············
c
n
a
0
+ c
n+1
a
1
+ + c
2n
a
n
= b
n
(2.5)
với c
i
=
b

a
p(x)x
i
dx, b
i
=
b


a
p(x)y(x)x
i
dx và phương sai ρ
2
n
tính theo
công thức
ρ
2
n
=
















c
0

c
1
··· c
n
b
0
c
1
c
2
··· c
n+1
b
1
··· ··· ··· ··· ···
c
n
c
n+1
··· c
2n
b
n
b
0
b
1
··· b
n
y, y

















×

















c
0
c
1
··· c
n
c
1
c
2
··· c
n+1
c
2
c
3
··· c
n+2
··· ··· ··· ···
c
n
c
n+1
··· c
2n

















−1
Trong các ví dụ dưới đây tác giả sử dụng phần mềm Maple 16 để
tính toán, các kết quả được làm tròn đến 10 chữ số sau dấu chấm thập
phân.
Ví dụ 2.1. Xấp xỉ trung bình bình phương hàm số f(x) = 3
x
trên [−1; 1]
bằng đa thức đại số bậc 5.
Lời giải. Tìm đa thức xấp xỉ tốt nhất dưới dạng P
5
(x) =
5

i=0
a
i

x
i
.
Trước hết ta tính
c
k
=
1

−1
x
k
dx =
1 − (−1)
k+1
k + 1
(k = 0, 10)
22