Một số ứng dụng của định lý giá trị trung bình

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
Nguyễn Văn Hào
1
Lê Thị Huyền My
2

Trong bài báo này chúng tôi trình bày một số phương pháp xây dựng
các bài toán từ Định lý giá trị trung bình với kỹ thuật tạo dựng hàm phụ.

1. Đặt vấn đề
Các định lý giá trị trung bình đóng vai trò quan trọng trong Toán học, cũng như nhiều
lĩnh vực khoa học khác. Trong Toán học, người ta có thể kể đến một số vấn đề như: bài toán
tồn tại nghiệm của các phương trình đại số, ước lượng khoảng chứa nghiệm của các phương
trình và toán tử trong việc giải gần đúng của lý thuyết số, bài toán tìm cực trị của hàm số…
Khởi nguồn của các định lý giá trị trung bình là Định lý Rolle như sau:
Định lý. Cho hàm
()y f x=
liên tục trên
[ , ]ab
, khả vi trên
( , )ab
và
( ) ( )f a f b=
. Khi đó,
tồn tại ít nhất một số
( , )c a bÎ
sao cho
( ) 0fc
¢
=
.

Theo một khía cạnh, nhìn lại cách chứng minh của Định lý Lagrange và Định lý
Cauchy, chúng ta thấy hai định lý đó là hệ quả của Định lý Rolle nhờ việc thiết lập hai hàm
phụ tương ứng là
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f b f a
x f x f a x a
ba
j
-
= - - -
-

và

( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f b f a
x f x f a g x g a
g b g a
j
-
= - - -
-
,
với hàm
( )

fx
(mà ở đây chúng ta gọi nó là hàm “gốc”) liên tục trên đoạn
,ab
éù
êú
ëû
và khả
vi trên khoảng
( )
,ab
. Theo ý tưởng đó, chúng tôi sử dụng các tính chất riêng biệt của một số
hàm sơ cấp kết hợp với hàm gốc
( )
fx
để có được các bài toán mới. Ở đây, các hàm phụ mới
được thiết lập theo hai cách thức sau:
1. Kết hợp hàm gốc
( )
fx
với một số hàm sơ cấp đơn giản dưới dạng tổng và dạng tích.
2. Tính chất của hàm gốc thoả mãn các giả thiết của Định lý giá trị trung bình được
chúng tôi gắn kết với các giới hạn cơ bản để tạo ra những bài toán về sự hội tụ của dãy số.
2. Nội dung
2.1. Định lý Rolle với các hàm số sơ cấp đơn giản
Như đã nói trên đây, trong các phần này chúng ta hiểu “gốc” là hàm
( )
fx
nào đó liên
tục trên đoạn
,ab

éù
êú
ëû
và khả vi trên khoảng
( )
,ab
.
2.1.1. Một số hàm phụ dưới dạng tổng
2.1.1.1. Hàm mũ

1
TS, trường ĐHSP Hà Nội 2
2
Học viên Cao học K15- Toán Giải tích, trường ĐHSP Hà Nội 2
Xét hàm phụ dưới dạng tổng của hàm gốc với hàm mũ
( ) ( )
x
h x f x t
-
=+
,
trong đó
t
là số thực nào đó mà
01t<¹
. Giả thiết của Định lý Rolle đối với hàm
( )
hx
chỉ
còn là sự thoả mãn thêm điều kiện

( ) ( )
ab
f a t f b t

+ = +
.
Từ đó suy ra tồn tại số
( )
,c a bÎ
sao cho đạo hàm của hàm
( )
hx
triệt tiêu, tức là
( )
ln 0
c
f c t t
-
¢
-=
. Như vậy, chúng ta nhận được bài toán dưới dạng tổng quát theo giá trị của
cơ số trong hàm mũ
x
t
-
như sau
Bài toán 1. Cho hàm
( )
fx
liên tục trên

,ab
éù
êú
ëû
và khả vi trên
( )
,ab
thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
ab
f a t f b t

+ = +
với số thực
01t<¹
. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một giá trị
( )
,c a bÎ
sao cho
( )
ln
c
f c t t
-
¢
=
.
Bằng việc gán cho
t
các giá trị cụ thể ta nhận được một số bài toán sau đây

Bài toán 1.1. Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
0;1
éù
êú
ëû
, khả vi trên
( )
0;1
và
( ) ( )
1
0 1 1f f e
-
+ = +
. Chứng minh rằng tồn tại số
( )
0;1c Î
sao cho
( )
c
f c e
-
¢
=
.
Bài toán 1.2. Cho hàm số
( )

fx
liên tục trên
0;1
éù
êú
ëû
, khả vi trên
( )
0;1
và thoả mãn điều
kiện
( ) ( )
1
0 1 1 2012ff
-
+ = +
. Chứng minh rằng tồn tại số
( )
0;1c Î
sao cho
( )
2012 . ln2012
c
fc
¢
=
.
2.1.1.2. Hàm logarit
Chúng ta xét hàm phụ được gắn kết với hàm logarit dưới dạng
( ) ( )

logh x f x x
a
=-
với
số thực
a
nào đó mà
01a<¹
. Điều kiện bằng nhau tại giá trị hai đầu mút của hàm
( )
hx

trên đoạn
,ab
éù
êú
ëû
trở thành
( ) ( )
log
b
f b f a
a
a
-=
. Bởi vì, đạo hàm của hàm
( )
hx
là
( ) ( ) ( )

1
lnh x f x x a
-
¢¢
=-
, nên tồn tại số
( )
,c a bÎ
thoả mãn
( )
1
ln
fc
c a
¢
=
. Từ đó, chúng ta nhận
được bài toán
Bài toán 2. Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
,ab
éù
êú
ëû
, khả vi trên
( )
,ab
. Giả sử rằng

( ) ( )
log
b
f b f a
a
a
-=
, với
0ab >
và
01a<¹
. Chứng minh rằng tồn tại số
( )
,c a bÎ
sao cho
( )
1
ln
fc
c a
¢
=
.
Thay thế một số giá trị cụ thể cho cơ số
a
của hàm logarit, chúng ta nhận được một số
bài toán
Bài toán 2.1. Cho hàm
( )
fx

liên tục trên
2011; 2011.e
éù
êú
ëû
, khả vi trên
( )
2011; 2011.e
và
thoả mãn điều kiện
( ) ( )
2011. 1 2011f e f=+
. Chứng minh rằng tồn tại số
( )
2011; 2011.ceÎ
sao
cho
( )
1
f c c
-
¢
=
.
Bi toỏn 2.2. Gi s hm
( )
fx
liờn tc trờn
1;2010
ộự

ờỳ
ởỷ
, kh vi trờn khong
( )
1;2010
tr ra
cỏc im nguyờn trờn on ú v
( ) ( )
1
1 ln 1 ; 1,2009f k f k k
k
ổử
ữ
ỗ
ữ
+ - = + =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
.
Chng minh rng tn ti
( )
;1
k
c k kẻ+
sao cho
( )

2009
1
2009
kk
k
c f c
=
Â
=
ồ
.
2.1.1.3. Hm a thc
Kớ hiu
( )
01
, 0
n
n n n
P x x xl l l l= + + + ạ
l a thc bc
n
ca bin
x
. Hm ph
( ) ( ) ( )
n
h x f x P x=-
cú o hm l
( ) ( )
1

1
n
k
k
k
h x f x k xl
-
=
ÂÂ
=-
ồ
.
iu kin v tớnh liờn tc v kh vi ca
()hx
trờn on
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
nhn c ngay t gi thit
ca hm gc
()fx
. Giỏ tr bng nhau ca hm
()hx
ti hai u mỳt tr thnh
( ) ( )
( )
1
n
kk

k
k
f b f a b al
=
- = -
ồ
.
T ú, chỳng ta nhn c
Bi toỏn 3. Cho hm
( )
fx
liờn tc trờn on
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
, kh vi trờn khong
( )
,ab
. Gi s
( )
n
Px
l a thc bc
n
tha món iu kin
( ) ( ) ( ) ( )
nn
f a P a f b P b- = -
,

tr ra cỏc im nguyờn trờn on
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
. Chng minh rng tn ti
( )
,c a bẻ
sao cho
( ) ( )
n
f c P c
Â
Â
=
.
Vi a thc
( )
2
2
2
x
Px=
chỳng ta thu c
Bi toỏn 3.1. Cho hm
( )
fx
liờn tc trờn
1;2012
ộự

ờỳ
ởỷ
, kh vi trờn
( )
1;2012
v tha món iu
kin
( ) ( )
21
1;
2
k
f k f k
+
+ - =
vi mi
1,2011k =
.
Chng minh rng tn ti
( )
;1
k
c k kẻ+
sao cho
( )
2011
1
1
2011
k

k
k
fc
c
=
Â
=
ồ
.
Vi a thc
( )
( ) 1P x x= - -
, chỳng ta cú c
Bi toỏn 3.2. Cho hm s
f
kh vi trờn
0;1
ộự
ờỳ
ởỷ
v tha món
(0) 0f =
,
(1) 1f =-
. Chng
minh tn ti hai s phõn bit
, (0; 1)abẻ
sao cho
( ). ( ) 1f a f b
ÂÂ

=
.
2.1.2. Mt s hm ph di dng tớch
2.1.2.1. Hàm mũ
Hàm
( ) ( )
.
x
h x f x t
-
=
với
01t<¹
có đạo hàm
( ) ( ) ( )
( )
ln
x
h x f x f x t t
-
¢¢
=-
.
Điều kiện bằng nhau tại hai đầu mút của hàm
()hx
trên đoạn
,ab
éù
êú
ëû

có thể viết dưới dạng
( ) ( )
ba
f a t f b t=
. Khi đó, chúng ta nhận được bài toán
Bài toán 4. Cho hàm
( )
fx
liên tục trên
,ab
éù
êú
ëû
, khả vi trên
( )
,ab
và thoả mãn điều kiện
( ) ( )
ba
f a t f b t=
với số thực
01t<¹
nào đó. Chứng minh rằng tồn tại
( )
,c a bÎ
sao cho
( ) ( )
lnf c f c t
¢
=

.
Với giá trị
te=
, chúng ta nhận được
Bài toán 4.1. Cho hàm
( )
fx
liên tục trên
0
;
n
aa
éù
êú
ëû
, khả vi trên
( )
0
;
n
aa
trừ ra
( )
1n -
điểm
( )
0
;
in
a a aÎ

,
1, 1in=-
. Chứng minh rằng nếu
( )
fx
chỉ triệt tiêu tại đúng các điểm
i
a
với mọi
0,in=
thì tồn tại các số
( )
1
;
i i i
c a a
+
Î
,
0, 1in=-
sao cho
( )
( )
1
0
1
n
i
i
i

fc
fc
-
=
¢
=
å
.
Trong bài toán này, chúng ta xét hàm
( ) ( )
x
n
h x e f x
-
=
,
x Î ¡
. Tính liên tục và khả vi của
( )
hx
nhận được từ hàm
( )
fx
và dễ dàng thấy rằng
( )
0
i
ha =
, với mọi
0,in=

. Đạo hàm của
( )
hx
là
( ) ( ) ( )
1
xx
nn
h x e f x e f x
n

¢¢
= - +
.
Theo Định lý Rolle, tồn tại các số
( )
1
;
i i i
c a a
+
Î
với mỗi
0, 1in=-
sao cho
( )
0
i
hc
¢

=
,
tức là
( )
( )
1
i
i
fc
n
fc
¢
=
. Tổng của
n
giá trị này cho ta khẳng định
( )
( )
1
0
1
n
i
i
i
fc
fc
-
=
¢

=
å
.
Cũng tương tự như thế, với hàm phụ
( ) ( )
x
h x e f x
a
=
, chúng ta được
Bài toán 4.2. Chứng minh rằng nếu
f
liên tục trong khoảng đóng
,ab
éù
êú
ëû
, khả vi trên
khoảng mở
( )
,ab
và
( ) ( ) 0f a f b==
thì với
a Î ¡
, tồn tại
( )
,x a bÎ
sao cho
( ) ( ) 0f x f xa

¢
+=
.
Thiết lập hàm phụ dưới dạng
()
( ) ( )
gx
h x e f x=
, ta được
Bài toán 4.3. Cho
()fx
và
()gx
là các hàm liên tục trên
,ab
éù
êú
ëû
, khả vi trên
( )
,ab
và giả sử
( ) ( ) 0f a f b==
. Chứng minh rằng tồn tại
( )
,c a bÎ
sao cho
( ) ( ) ( ) 0g c f c f c
¢¢
+=

.
2.1.2.2. Hàm logarit
Lập hàm phụ
( ) ( )
.logh x f x x
a
=
; với
0 , 1ab<¹
và
01a<¹
.
iu kin bng nhau ti hai giỏ tr u mỳt ca hm trờn on
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
c vit di dng
( )
( )
log
b
fb
a
fa
=
. Bi vỡ o hm ca
()hx
l
( ) ( ) ( )

1
log
ln
h x f x x f x
x
a
a
ÂÂ
=+

nờn chỳng ta nhn c bi toỏn
Bi toỏn 5. Cho hm
()fx
liờn tc trờn
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
, kh vi trờn
( )
,ab
v
( ) ( )
.log
b
f b f a a=
; vi
0 , 1ab<ạ
. Chng minh rng tn ti
( )

,c a bẻ
sao cho
( )
( )
ln
fc
fc
cc
Â
=-
.
Trng hp
ae=
, chỳng ta cú bi toỏn
Bi toỏn 5.1. Cho hm
()fx
liờn tc trờn
2
;ee
ộự
ờỳ
ởỷ
, kh vi trờn
( )
2
;ee
v
( )
( )
2

1
2
f e f e=
.
Chng minh rng tn ti
( )
2
;c e eẻ
sao cho
( )
( )
ln
fc
fc
cc
Â
=-
.
2.2. Mt s cỏch xõy dng bi toỏn gii hn ca dóy s t nh lý giỏ tr trung bỡnh
Trong phn ny, chỳng ta xõy dng mt s bi toỏn v gii hn ca dóy s bng cỏch
thit lp nhng dóy hm s tho món cỏc gi thit ca nh lý Rolle. thun li cho vic
trỡnh by kt qu, chỳng ta nhc li mt s gii hn c bn
1.
()
( ) 0
1
lim 1
()
n
n

e
n
a
a
a
đ
-
=
. 2.
( ) 0
ln(1 ( ))
lim 1
()
n
n
n
a
a
a
đ
+
=
.
3.
()
()
lim 1
()
n
a

n
a
e
n
a
a
a
đƠ
ổử
ữ
ỗ
ữ
+=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
. 4.
( ) 0
sin ( )
lim 1
()
n
n
n
a
a
a

đ
=
.

5.
( ) 0
tan ( )
lim 1
()
n
n
n
a
a
a
đ
=
.
2.2.1. Cỏc bi toỏn
Bi toỏn 6. Cho hm s
()fx
kh vi trờn on
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
. Gi s rng
( ) ( ) 0f a f b==
v
( ) 0fx ạ

vi mi
( )
,x a bẻ
. Chng minh rng tn ti dóy
{ }
1
n
n
x
Ơ
=
trong khong
( )
,ab
sao cho
()
lim 2012
( 1) ( )
n
n
n
n
fx
e f x
đƠ
Â
=
-
.

chng minh bi toỏn ny, chỳng ta xột hm s
( )
2012
( ) ( ), ,
x
n
n
H x e f x x a b
-
=ẻ
.
o hm ca
()
n
Hx
l
2012 2012
2012
( ) ( ) ( )
xx
nn
n
H x e f x e f x
n

Â
Â
= - +

2012
2012
( ) ( )
x
n
e f x f x
n
-
ổử
ữ
ỗ
Â
ữ
=-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
.
T gi thit
()fx
kh vi trờn
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
v
( ) ( ) 0f a f b==

, chỳng ta suy ra
()
n
Hx
tha món cỏc
iu kin ca nh lý Rolle. Do ú, tn ti dóy
{ }
( )
,
n
x a bè
sao cho
( ) 0
nn
Hx
Â
=
. T ú, ta cú
()
2012
()
n
n
fx
f x n
Â
=
.
S dng gii hn c bn 1, chỳng ta thu c
()

2012 2012
lim lim lim 2012
( 1) ( ) ( 1) 1
1
n
n n n
n n n
n
fx
e f x e n e
n
đ Ơ đ Ơ đ Ơ
Â
= = =
- - -
.
Gi nguyờn hm
2012
( ) ( )
x
n
n
H x e f x
-
=
v s dng cỏc gii hn c bn khỏc, chỳng ta nhn
c cỏc bi toỏn sau
Bi toỏn 6.1. Cho hm
()fx
kh vi trờn

,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
v
( ) ( ) 0f a f b==
. Chng minh rng nu
()fx
khụng ng nht bng 0 trờn khong
( )
,ab
thỡ tn ti mt dóy
{ }
n
x
trong khong
( )
,ab

sao cho
2012
()
lim 1
()
n
n
n
n
fx
e

fx
đƠ
ổử
Â
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ốứ
.
Bi toỏn 6.2. Cho hm
()fx
kh vi trờn
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
v
( ) ( ) 0f a f b==
. Chng minh rng nu
()fx
khụng ng nht bng 0 trờn khong
( )
,ab

thỡ tn ti mt dóy
{ }
n
x
trong khong
( )
,ab

sao cho

()
lim ln 1 2012
()
n
n
n
fx
n
fx
đƠ
ộự
ổử
Â
ữ
ỗ
ờỳ
ữ
ỗ
+=
ữ

ờỳ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ốứ
ờỳ
ởỷ
.
Bi toỏn 6.3. Cho hm
()fx
kh vi trờn
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
v
( ) ( ) 0f a f b==
. Chng minh rng nu
()fx
khụng ng nht bng 0 trờn khong
( )
,ab
thỡ tn ti mt dóy
{ }
n
x
trong khong
( )
,ab

sao cho
()
lim sin 2012
()
n
n
n
fx
n
fx
đƠ
ộự
Â
ờỳ
=
ờỳ
ờỳ
ởỷ
.
Bi toỏn 6.4. Cho hm
()fx
kh vi trờn
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
v
( ) ( ) 0f a f b==
. Chng minh rng nu

()fx
khụng ng nht bng 0 trờn khong
( )
,ab
thỡ tn ti mt dóy
{ }
n
x
trong khong
( )
,ab

sao cho
()
lim tan 2012
()
n
n
n
fx
n
fx
đƠ
ộự
Â
ờỳ
=
ờỳ
ờỳ
ởỷ

.
2.2.2. Mt s hm khỏc
Ngoi hm
()
n
Hx
c xột trong bi toỏn m u, ta cú th lp cỏc hm khỏc. Tng
ng vi mi hm cựng gii hn c bn, ta c cỏc bi toỏn mi.
Hm
1
( ) ( )
x
n
n
H x e f x
a
-
=
cú o hm
( )
1
1
( ) ( ) ( )
xx
nn
n
x
H x e f x e f x
n
aa

a
a
-

Â
Â
= - +


1
( ) ( )
x
n
x
e f x f x
n
a
a
a
-
-
ổử
ữ
ỗ
ữ
Â
ỗ
=-
ữ
ỗ

ữ
ữ
ỗ
ốứ
.
Khi hm
1
()
n
Hx
tho món cỏc iu kin ca nh lý Rolle nhn c t gi thit ca
hm gc cho ta khng nh
( )
1
( ) 0
nn
Hx
Â
=
. iu ú, tng ng vi
1
()
()
n
nn
fx
n
x f x
a
a

-
Â
=
.
T ú, chỳng ta cú bi toỏn
Bi toỏn 7. Cho hm
()fx
kh vi trờn on
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
v giỏ tr ca hm ti hai u mỳt u
bng 0. Chng minh rng nu
()fx
khụng ng nht bng 0 trờn khong
( )
,ab
thỡ tn ti mt
dóy
{ }
n
x
trong khong
( )
,ab
tha món
1.
1
()

lim
( 1) ( )
n
n
n
nn
fx
e x f x
a
a
-
đƠ
Â
=
-
;
2.
1
()
lim 1
()
n
n
n
nn
fx
e
x f x
a
a -

đƠ
ổử
Â
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
;
3.
1
()
lim ln 1
()
n
n
nn
fx
n
x f x
a
a
-

đƠ
ộự
ổử
Â
ữ
ỗ
ờỳ
ữ
ỗ
+=
ữ
ờỳ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ờỳ
ốứ
ởỷ
;
4.
1
()
lim sin
()
n
n
nn
fx

n
x f x
a
a
-
đƠ
ổử
Â
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
;
5.
1
()
lim tan
()
n
n
nn
fx

n
x f x
a
a
-
đƠ
ổử
Â
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
.
Hm
2
( ) ( ). os
n
x
H x f x c
n
=
cú o hm

( )
2
1
( ) ( ) os ( )sin
n
xx
H x f x c f x
n n n
Â
Â
=-
.
iu kin
( )
2
( ) 0
nn
Hx
Â
=
cho ta
()
1
tan
()
nn
n
f x x
f x n n
Â

=
.
T ú, chỳng ta cú bi toỏn
Bi toỏn 8. Cho hm
()fx
kh vi trờn
0;
4
p
ộự
ờỳ
ờỳ
ởỷ
v
(0) 0
4
ff
p
ổử
ữ
ỗ
ữ
==
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
. Khi ú, nu

()fx
khụng
ng nht bng 0 trờn khong
0;
4
p
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
thỡ tn ti mt dóy
{ }
n
x
trong khong ú sao cho
2
()
lim 1
()
n
n
nn
n f x
x f x

đƠ
Â
=
.
Tng t nh vy, i vi hm
3
( ) ( ) cot
n
x
H x f x
n
=
; vi
0;
4
x
p
ộự
ờỳ
ẻ
ờỳ
ởỷ
,
chỳng ta nhn c
Bi toỏn 9. Cho hm
()fx
kh vi trờn
0;
4
p

ộự
ờỳ
ờỳ
ởỷ
v
(0) 0
4
ff
p
ổử
ữ
ỗ
ữ
==
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
. Khi ú nu
()fx
khụng
ng nht bng 0 trờn khong ú thỡ tn ti dóy
{ }
0;
4
n
x
p

ổử
ữ
ỗ
ữ
è
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
sao cho
()
lim 1
()
nn
n
n
x f x
fx
đƠ
Â
=
.
Kt thỳc phn ny chỳng ta trỡnh by li gii y ca bi toỏn sau
Bi toỏn 10. Cho hm s
()fx
kh vi trờn
,ab
ộự

ờỳ
ởỷ
v
( ) ( ) 0f a f b==
. Gi s
()fx
khụng
ng nht bng 0 trờn
( )
,ab
. Chng minh rng tn ti dóy
{ }
( )
,
n
x a bè
sao cho
()
lim 2012
()
nn
n
n
x f x
fx
đƠ
Â
=-
.
Xột hm

( )
2012
4
( ) ln 1
n
x
H x f x
n
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=+
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
. Ta cú
( )
( ) ( )
2011
2012
4
2012
2012.
( ) ln 1
1

n
x
x
n
H x f x f x
n
x
n
ổử
ữ
Â
ỗ
ữ
Â
ỗ
= + +
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
+
.
T cỏc iu kin ca hm
()fx
, chỳng ta thy rng hm
4
()
n

Hx
tha món iu kin ca
nh lý Rolle trờn
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
. T ú, suy ra tn ti dóy
{ }
( )
1
,
n
n
x a b
Ơ
=
è
sao cho
( )
4
( ) 0
nn
Hx
Â
=
, tc l
2011
2012 2012
2012

()
()
1 ln 1
n
n
n
nn
x
fx
n
fx
xx
nn
Â
=-
ổ ử ổ ử
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
++
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
.
Do ú

2012
2012 2012
2012
()
lim lim
()
1 ln 1
n
nn
nn
n
nn
x
x f x
n
fx
xx
nn
đ Ơ đ Ơ
ộự
ờỳ
ờỳ
Â
ờỳ
=-
ờỳ
ổ ử ổ ử
ờỳ
ữữ
ỗỗ

ờỳ
ữữ
ỗỗ
++
ữữ
ỗỗ
ờỳ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
ờỳ
ởỷ


2012
2012 2012
2012
lim
1 ln 1
n
n
nn
x
n
xx
nn
đƠ
ộự

ờỳ
ờỳ
ờỳ
= - ì
ờỳ
ổ ử ổ ử
ờỳ
ữữ
ỗỗ
ờỳ
ữữ
ỗỗ
++
ữữ
ỗỗ
ờỳ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
ờỳ
ởỷ


2012=-
.
3. Kt lun
Chỳng tụi ó trỡnh by mt s phng phỏp xõy dng mt s kt qu mi i vi phộp
tớnh vi phõn ca hm s mt bin s t nh lý giỏ tr trung bỡnh. Bng vic s dng nhng

tớnh cht c trng ca hm s cp v k thut to dng hm ph, chỳng tụi a ra mt s bi
toỏn i vi hm kh vi. Thờm na, chỳng ta cng thy c mt phng phỏp vn dng kt
hp gia gii hn c bn vi nh lý giỏ tr trung bỡnh cú c mt lp cỏc bi toỏn gii
hn v dóy s khỏ c sc.

TI LIU THAM KHO
1. P. Ahern, M. Flores and W. Rudin, An invariant volume-mean-value property, J.
Funct. Anal. 111, 1993, p. 380-397.
2. W. A. Granville, Elements of the Differential and Integral Calculus (revised edition),
2008.
3. W. J. Kaczor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analysis II: Continuity and
Differentiation, Student mathematical library, Volume 12, 2001, p. 45-52.
4. K. Ramachandra, Lectures on the Mean-Value and Omega-Theorems for the Riemann
Zeta-Function, Springer-Verlag Berlin Heidelberg-New York-Tokyo, 1995.

APPLICATION OF MEAN VALUE THEOREM
Nguyen Van Hao, Le Thi Huyen My

Abstract
In this paper, we presented some methods of construction of problems by mean value
theorems with technics of creation aid functions.