Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lý Vi-ét

Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
A . Đặt vấn đề





------------------------------------
I - Lý do chọn đề tài
Nh chúng ta đã biết phơng trình bậc hai là một nội dung quan trọng của chơng
trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai là vô cùng phong phú.
Do vậy khả năng gặp phơng trình bậc hai trong các kì thi tuyển sinh vào THPT, vào
các trờng chuyên, lớp chọn là rất cao. Mà đặc biệt là các bài toán liên quan đến định lý
Viet.
Tuy nhiên phân phối chơng trình cho phần định lý Viet là rất ít (1 tiết lý thuyết, 1
tiết bài tập), vì thế đại đa số học sinh thờng lúng túng khi đứng trớc các bài toán có liên
quan đến định lý Viet và ứng dụng một số ứng dụng của định lí này. Trớc thực tế đó,
nhằm giúp các em nắm đợc một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết đợc các bài
tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán,
tính linh hoạt của học sinh, chúng tôi đã nghiên cứu và viết chuyên đề:
Một số ứng dụng của định lý Viet
II. Mục đích nghiên cứu
- Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng của học sinh, trớc những thiên hớng
tốt, cha tốt mà tôi thấy rất cần phân loại và một số phơng pháp giải cho các em
- Thứ hai: Bản thân ngời thầy cũng rầt cần trau dồi tự học và tham khảo làm chủ kiến
thức
III. Phơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu những vấn đề lý thuyết về phuơng trình bậc hai, định lý Viet trong chơng
trình đại số lớp 9
- Nghiên cứu qua những tài liệu tham khảo, những chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi
- Qua thực tế giảng dạy đặc biệt là từ kinh nghiệm bồi dựỡng học sinh giỏi, ôn tập cho

học sinh thi vào THPT.
- Qua trao đổi , học hỏi kinh nghiệm của bạn bè đồng nghiệp, những đồng chí có nhiều
năm công tác, có bề dày kinh nghiệm
- 2 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
IV. Nhiệm vụ của đề tài
Đề cập tới một số ứng dụnh của định lý Viet. Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm
từng dạng , cách giải quyết từng dạng. Từ đó dần hình thành khả năng tổng hợp, khái
quát và các năng lực t duy khác cho học sinh.
V. Giới hạn nghiên cứu
- Chuyên đề này áp dụng đợc với mọi đối tợng học sinh. Tuy nhiên với mỗi đối tợng thì
giáo viên cần lựa chọn hệ thống bài tập với mức độ khó, dễ phù hợp.
- Chuyên đề này áp dụng tốt nhất trong việc ôn luyện học sinh giỏi, hớng dẫn học sinh
ôn thi vào THPT, đặc biệt là ôn thi vào các trờng chuyên, lớp chọn.
b. giải quyết vấn đề



- 3 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
------------------------------------
I cở sở của lý thuyết
1. Điều kiện về nghiệm của phơng bậc hai một ẩn
Phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (*).
acb 4
2
=
a) Nếu

< 0 thì (*) vô nghiệm
b) Nếu

= 0 thì (*) có nghiệm kép:
a
b
xx
2
21

==
c) Nếu

> 0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt
a
b
x
2
1
+
=
;
a
b
x
2
2

=

* Nếu (*) có nghiệm, gọi nghiệm đó là x
1
, x
2
thì:







==

=+=
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
(Viet)
Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét
Dạng 1:
ứng dụng của định lí Viét
vào việc nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0, a

0
I. Phơng pháp giải
Xét phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0) (*)
1. Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm
a
c
xx
==
21
;1
2. Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm
a
c
xx

==
21
;1
3. Nếu
nmxx
+=+
21
;
nmxx ..
21

=
và
0

thì phơng trình có nghiệm:

nxmx
==
21
;
hoặc
nxmx
==
12
;
II. Một số ví dụ
VD1: Giải phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a.
015)53(
2
=+
xx
(1)
b.
0
)3)(2(
52
3
1
2

1
2
=


+

+

mm
m
x
n
x
m
(Với m

2; m

3, x là ẩn) (2)
c. (m -3)x
2
(m +1)x 2m + 2 = 0 ( m là tham số, x là ẩn) (3)
H ớng dẫn:
- 4 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
a. ở phần này HS dễ nhận thấy a + b + c

0, a - b + c

0, nhng có a.c =
15

< 0. Do đó
phơng trình có hai nghiệm phân biệt
21
xx
<
. áp dụng hệ thức Viét có:





==
+=+
5.315.
53
21
21
xx
xx
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là:
3

và
5
b. Đây là phơng trình bậc hai có: a + b + c
0
)3)(2(

52
3
1
2
1
=


+

+

=
mm
m
mm

(Với m

2; m

3). Nên phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
m
m
xx


==
3
52

;1
21
c. ở phơng trình này không ít HS sai lầm và vội vàng kết luận ngay:
a b + c = m 3 + m + 1 2m + 2 = 0. Nên
1
1
=
x
;
22
2
=
mx
mà không thấy đợc ph-
ơng trình đã cho cha phải là phơng trình bậc hai.
Vì vậy ta cần xét m 3 = 0; m 3

0, rồi nhẩm nghiệm.
Giải:
+ Nếu m 3 = 0

m = 3 thì phơng trình (3) trở thành -4x 4 = 0

x = -1
+ Nếu m 3

0

m

3 phơng trình (3) có a b + c = 0, nên có 2 nghiệm
3
22
;1
21


==
m
m
xx
.
Kết luận:
Nh vậy, khi ta phải nhẩm nghiệm của PT dạng: ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0) (*) thì ta cần
+ Xét a = 0 sau đó nhẩm nghiệm
+ Xét a

0 kiểm tra sau đó nhẩm nghiệm
Trong thực tế HS có thể phải nhẩm nghiệm của PT bậc ba hoặc bậc 4 (dạng đặc biệt). Để
giải quyết đợc tốt các định lí, khi đó phải đa các PT ấy về dạng PT bậc 2 nhẩm đợc nghiệm.
VD2: Nhẩm nghiệm của phơng trình
0155
23
=+
xxx
(4)

H ớng dẫn
PT (4) có tổng các hệ số là: 5 + 1 5 1 = 0, nên PT (4) có nghiệm x = 1.
Khi đó ta đa PT (4) về dạng: (x -1)(5x
2
+ 6x + 1) = 0, nhẩm tiếp nghiệm: 5x
2
+ 6x + 1 = 0
Kết quả phơng trình (4) có 3 nghiệm: x
1
= 1; x
2
= -1; x
3
=
5
1

VD3:
Giải phơng trình :
+
4
x
(x +1)(5x
2
- 6x - 6 ) = 0
H ớng dẫn : Phơng trình trên có dạng
+
4
x
5x

2
(x +1) 6 ( x+ 1)
2
= 0 (5)
Nhận thấy x = -1 không phải là nghiệm của phơng trình (5) nên ta chia 2 vế cho ( x +1)
2
ta
đợc:

2
2
1








+
x
x
+ 5
1
2
+
x
x
- 6 = 0

Đặt
1
2
+
x
x
ta đợc
2
X
+ 5
X
6 = 0
Dễ dàng nhận đợc
1
X
= 1 ;
2X
= -6
- 5 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
Sau đó giải tiếp tìm đợc x
Dạng 2:
Tính giá trị của một biểu thức
giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai
I. Phơng pháp giải
Đối với bất phơng trình giữa các nghiệm của một phơng trình.
ở dạng này biểu thức ta có thể gặp là biểu thức đối xứng hoặc không đối xứng giữa các
nghiệm.
Với biểu thức đối xứng ta có thể biểu thị biểu thức đó theo S = x
1

+ x
2
và P = x
1
x
2
nhờ đó có
thể tính đợc giá trị của biểu thức mà không phải giải phơng trình.
II. Một số ví dụ
VD1: Giả sử x
1
và x
2
là các nghiệm của phơng trình bậc hai 3x
2
cx + 2c -1 = 0. Tính
theo c giá trị của biểu thức A =
3
1
1
x
+
3
2
1
x
Giải: Theo định lý viét ta có:

=
=+
3
12
.
3
6
21
21
c
xx
xx
S =
3
1
1
x
+
3
2
1
x
=
3
2

3
1
3
1
3
2
.xx
xx
+
=
( ) ( )
3
2
3
1
2121
3
21
.
3
xx
xxxxxx
++
S =
3
3
3
12
3
.

3
12
.3
3















c
ccc
=
( )
( )
2
2
12
918
+
+

c
ccc
Với biểu thức không đối xứng 2 nghiệm trớc hết ta cũng phải tính S = x
1
+ x
2
; P = x
1
. x
2
Sau
đó cần kéo biến đổi biểu thức đó nhiều xuất hiện S và P từ đó ta tính đợc giá trị của biểu
thức.
VD2: Không giải phơng trình , hãy tính hiệu các lập phơng của các nghiệm lớn và nhỏ
của phơng trình bậc hai : x
2
-
0
16
5
1
4
85
=+
x
(*)
H ớng dẫn : Phơng trình (*) có
16
1
16

21
4
16
85
==

0

Phơng trình (*) có 2 nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
. Không mất tính tổng quát. Giả sử x
1


x
2
.
áp dụng định lý viét, ta có S = x
1
+ x
2
=
4
85
và P = x
1
. x

2
=
16
21
ta có
3
2
3
1
xx

= (x
1
- x
2
)
( )
21
2
2
2
1
xxxx
++
= (x
1
- x
2
)
( )

[ ]
21
2
21
xxxx
+
Do x
1


x
2
nên
- 6 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
x
1
- x
2
=
( )
2
21
xx

=
21
2
2
2

1
2 xxxx
+
=
( )
21
2
21
4 xxxx
+
Vậy
3
2
3
1
xx

=
( )
psps

22
.4
=

16
21
16
85
.
16
84
16
85
=
16
64
.
4
1
= 1
VD3:
a. Giả sử x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình
1
2
+
axx
= 0
Tính S =
7

2
7
1
xx
+
theo a.
b. Tìm một đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận
77
3
5
5
3
+=
a
làm nghiệm.
H ớng dẫn:
a. ở đây
7
2
7
1
xx
+
không biẻu diễn trực tiếp đợc dới dạng x
1
+ x
2
và x
1
. x

2
. Tuy nhiên ta có
thể biểu diễn S =
7
2
7
1
xx
+
=
( ) ( )
( )
21
3
2
3
1
3
2
3
1
4
2
4
1
.. xxxxxxxx
+++
Nh vậy ta phải tính
4
2

4
1
xx
+
;
3
2
3
1
xx
+
theo a.
Thật vậy kí hiệu
nn
n
xxS
21
+=
. Theo Viét ta có:



=
=+
1.
21
21
xx
axx
Do đó

( )
22
2
21
2
21
2
2
2
12
=+=+=
axxxxxxS
( ) ( )
222
2
22
2
2
1
2
2
2
2
1
4
2
4
14
=+==
axxxxxxS

=
24
24
+
aa
( ) ( )
aaxxxxxxxxS 33
3
2121
3
21
3
2
3
13
=++=+=
Vậy
( ) ( )
aaaaaaaaaS 71473.24
357324
7
+=+=
b. Để tìm một đa thức bậc 7 nhận

làm nghiệm nghĩa là ta phải tìm một đa thức bậc 7 mà
khi thay

vào thế giá trị của đa thức bằng 0: Theo phần a có:
7
2

7
1
xx
+
=
aaaa 7147
357
+

aaaa 7147
357
+
-
( )
0
7
2
7
1
=+
xx
(1)
Nh vậy trớc hết ta phải lập 1 phơng trình bậc 2 có

là hệ số:
Đặt
=
1
x
5

3
7
;
=
2
x
3
5
7
ta có:
x
1
+ x
2
=
a
=+
77
3
5
5
3
; x
1
. x
2
=
1
3
5

5
3
77
=+
Do đó x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình
01
2
=+ xx

Theo (1)


0
3
5
5
3
7147
357
=

++

15
034105210105
357
=+

Vậy đa thức cần tìm là 15
34105210105
357
+
xxxx
Với biểu thức cần tính là biểu thức mà không đối xứng giữa các nghiệm trớc hết ta tách S
=x
1
+ x
2
; P= x
1
. x
2
sau đó cần có sự nhìn nhận một cách linh hoạt khéo léo để biến đổi biểu
thức đã cho nhằm x hiệu S; P từ đó tính đợc giá trị của biểu thức.
VD4: Cho phơng trình
035
2
=+
xx
. Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x
1

, x
2

Tính giá trị của biểu thức A =
12
21
+
xx
- 7 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
H ớng dẫn : ở đây biểu thức A không phải là biểu thức đối xứng giữa 2 vế nghiệm x
1
,
x
2
.Nh vậy nếu để ý kỹ ta thấy
( )
2
11
22
=
xx
(Đề thi vào lớp 10 THPT Nguyễn Trãi năm học 2005-2006)
Có x
1
+ x
2
= 5; x
1
. x

2
= 3

x
1

0

, x
2

0

Vì x
1
là nghiệm của phơng trình
035
2
=+
xx
nên
035
1
2
1
=+
xx


144

11
2
1
+=+
xxx


( )
12
1
2
1
+=
xx

( )
2
1
2

x
=
1
1
+
x

1
1
+

x
=
2
1

x
Khi đó A =
11
21
++
xx

122
212121
2
+++++=
xxxxxxA

2
A
= 5+2 - 2
1135
=++

A = 1 ( vì A
0

* ở VD7 sau không có mặt
34
PS

nhng vội vằng bình phơng 2 vế ngay khi đó gặp bế tắc.
Thế nhng nếu học sinh khéo thay thế
2
1

x
bởi
1
1
+
x
nh trên với bình phơng 2 vế thì giá
trị của biểu thức A tính đớc 1 cách dễ dàng . Với những biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc
cao thì việc biểu diễn luỹ thừa bậc cao của 1 nghiệm qua luỹ thừa thấp hơn của nghiệm đó
cũng là 1 phơng án đôi khi giúp cho việc tính toán thuận lợi hơn nhiều. Với phơng trình a
0
2
=++
cbxx
có 2 nghiệm x
1
, x
2
và S = x
1
+ x
2
; P = x
1
. x

2
. Khi đó :
( )
PSxxxxxxx
=+=
121121
2
1
3
1
x
=
( )
1
2
111
2
11
.. PxSxPSxxxx
==
=
( )
11
2
11
. PxSPxSPxPSxS
=
=
( )
SPxPS

1
2
( ) ( )
PSPxSPSxxx
==
2
1
33
11
4
1
2.
.
VD 5: Cho phơng trình
012
2
=
xx
, có 2 nghiệm x
1
, x
2
(
( )
0
2

x
thì giá trị của các biểu

thức :
A=
8832
2
2
1
3
2
4
1
+++
xxxx
B=
2
4
21
2
1
5
1
8
2
3
13 xxxxx
++
H ớng dẫn: Theo định lí Viét có S = 2; P = - 1. áp dụng các hệ thức trên ta có:
12
1
2
1

+=
xx
;
12
2
2
2
+=
xx
( )
251.214
22
3
2
+=++=
xxx
( ) ( )
51214.1.1.2.28
11
4
1
+=+++=
xxx
512
2
4
2
+=
xx
( )

1
2
111
4
11
5
1
512512.. xxxxxxx
+=+==
=
( )
122951212
111
+=++
xxx
Ta có :
A=
8832
2
2
1
3
2
4
1
+++
xxxx
- 8 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét

404)(18
41818
8836410512
88)12(3)25(2512
21
21
2121
2121
=++=
++=
++++++=
++++++=
xx
xx
xxxx
xxxx
B =
2
4
21
2
1
5
1
8
2
3
13 xxxxx
++
=

( )
2
2
21
2
11
2
1
812
2
3
13512 xxxxxx
++++
=
144
2
3
169
2
2
21
2
1
+++
xxxx
=
12
2
3
13

21
+
xx
Vì phơng trình có ac = -1

0 nên
1
x
,
2
x
trái dấu mà
00
12

xx
Khi đó
B = 3
( )
12
2
3
1
21
++
xx
B = 3
( )
2
1

.3
2
3
13
2121
+=++
xxxx
= 3.2 -
0
11
2
1
=
*. Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình. Trong thực tế nhiều khi ta phải
tính biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình . Để làm đợc các bài tập kiểu này ta phải
tìm S,P trong từng phơng trình rồi xem xét, thay thế 1 cách hợp lý ( thờng thì phải thay thế
nhiều lần ) ta sẽ tách đợc giá trị của biểu thức đó.
VD2: Giả sử
21
, xx
là hai nghiệm của phơng trình
01
2
=++
axx
và
43
, xx
là nghiệm của ph-
ơng trình

01
2
=++
bxx
. Tính giá trị của biểu thức:
M =
( ) ( ) ( ) ( )
42413231
... xxxxxxxx
++
theo a và b.
Hớng dẫn: Theo hệ thức Viét ta có:



=
=+
1.
21
21
xx
axx
và



=
=+
1.
43

43
xx
bxx
Do đó
( ) ( )
433241214231
. xxxxxxxxxxxx
+=+
= 1 +
1
3241

xxxx
=
3241
xxxx

và
( ) ( )
=+
4132
. xxxx
43314221
xxxxxxxx
+
= 1 +
1
3142

xxxx

=
3142
xxxx



M =
( ) ( )
31423241
. xxxxxxxx

M =
2
32143
2
243
2
1
2
421
xxxxxxxxxxxx
+
M =
2
3
2
2
2
1
2

4
xxxx
+
M=
( ) ( )
2
2
2
1
2
4
2
3
xxxx
++
M=
( )
[ ]
( )
[ ]
21
2
2143
2
43
2.2 xxxxxxxx
++
M=
( ) ( )
2222

22 abab
=
- 9 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
VD 6: Gọi a,b là hai nghiệm của phơng trình :
01
2
=++
pxx
b,c là hai nghiệm của phơng trình :
02
2
=++
qxx
Chứng minh hệ thức
( ) ( )
6.
=
pqcbab
H ớng dẫn : Vì a,b là hai nghiệm của phơng trình :
01
2
=++
pxx
b,c là hai nghiệm của phơng trình :
02
2
=++
qxx
nên theo định lý Viét ta có

:



=
=+
1ab
pba
;



=
=+
2bc
qcb
Ta có
( ) ( )
cbab

.
=
acbcabb
+
2
=
( )
bcabacbcabb
++++
2

2
= b
( ) ( ) ( )
bcabbacba
++++
2
=
( )( ) ( )
bcabcbba
+++
2
=
( )( ) ( )
6212
=+
pqqp
( Điều phải chứng minh)
Bài tập áp dụng :
BT1. Cho phơng trình :
022
2
= xx
Không tính nghiệm của phơng trình. hãy tính:
a.
3
2
3
1
xx
+

b.
21
xx

c.
11
1
2
2
2
2
1
+
+
+
x
x
x
x
d.
1221
xxxx
+
e.
21
xx
+
BT2. Cho phơng trình :
0135
2

=
xx
Không tính nghiệm của phơng trình , hãy tìm giá trị
của mỗi biểu thức:
A=
2
21
3
22
2
1
3
1
3232 xxxxxx
+
B =
11
1
2
1
2
2
1
2
1
+
++
+
+
x

x
x
x
x
x
x
x
-









21
11
xx
C.
1221
22 xxxx
+
BT3. Cho phơng trình
07
2
=+++
mmxx
Không tính nghiệm

1
x
và
2
x
theo m, hãy tính .
A =
2
2
2
1
xx
+
B =
11
1
2
2
2
2
1
+
+
+
x
x
x
x
C =
2

212
2
1
2
221
2
1
434
xxxx
xxxx
+
+
4. Cho phơng trình
0
2
=++ cbxax

( )
0

a
có 2 nghiệm
21
; xx
Tính theo a,b,c các biểu thức
A=
( )( )
1221
3535 xxxx

B=
21
2
12
1
33 xx
x
xx
x

+

5. cho phơng trình
015
2
=
xx
gọi
21
; xx
là các nghiệm của phơng trình trên. Tính :
A=
( ) ( )
14.14
2
2
21
2
1

xxxx
B =
( ) ( )
25.25
2
2
3
2
2
1
3
1
++
xxxx
6. Cho phơng trình
( )
0334
22
=+++
aaxax
gọi
21
; xx
là 2 nghiệm của phơng trình. Tìm giá
trị của a để.
- 10 -