tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán 12 quảng bình từ 2003 2013

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2010 - 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,0 điểm)
Giải phương trình: x
3
+ 3x
2
+ 4x + 2 = (3x + 2)
√
3x + 1.
Câu II (2,0 điểm)
a) Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f(x) =
√
x
3
−
3x
2
2
.
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a
3
b
3
+

b

3
c
3
+

c
3
a
3
≥
a
b
+
b
c
+
c
a
.
Câu III (2,0 điểm)
Cho dãy số (u
n
) xác định như sau:

u
1
= 1
u
n+1
= u

2
n
+
u
n
2010
, n ∈ N
∗
.
Tìm lim
n→+∞

u
n
u
n+1
.
Câu IV (2,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD.Trên đoạn BD lấy M không trùng với B , D. Gọi E, F lần lượt là hình
chiếu của M trên các cạnh AB, AD. Chứng minh rằng:
a) CM vuông góc với EF .
b) Ba đường thẳng CM, BF, CE đồng quy.
Câu V (2,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị nguyên dương k để phương trình: x
2
+y
2
+x + y = kxy có nghiệm nguyên
dương.
——— Hết ———

—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2010 - 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình:



1
√
x
+
y
x
=
2
√
x
y
+ 2
y

√
x
2
+ 1 − 1


=
√
3x
2
+ 3
.
Câu II (2,0 điểm)
Tìm f : R → R sao cho:

f(1) =
1
2
f(xy) = f(x)f

2010
y

+ f(y)f

2010
x

.
Câu III (2,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có:
(1 + cos A)
2
+ (1 + cos B)
2

+ (1 + cos C)
2
≥
125
64
Câu IV (2,0 điểm)
Cho hình chóp tứ diện đều S.ABC, góc giữa mặt bên và mặt đáy là ϕ. Dựng mặt phẳng (P )
đi qua AB và đường thẳng là phân giác góc ϕ cắt khối chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của
hai khối chóp đó.
Câu V (2,0 điểm)
Trong một hội nghị có các nhà toán học nam và nữ. Trong đó cứ hai nhà toán học nữ quen
chung 6 nhà toán học nam và một nhà toán học nam quen 10 nhà toán học nữ. Biết rằng có 21
nhà toán học nữ, hỏi có bao nhiêu nhà toán học nam.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2003 - 2004
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,5 điểm)
Giải phương trình: log
3
(2
√
x + 5) = log
2
x.
Câu II (2,5 điểm)

Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = xy + yz + 2zx.
Câu III (2,5 điểm)
Cho dãy số (u
n
) xác định như sau:

u
1
=
1
3
u
n+1
=
1
2
u
2
n
− 1, ∀n ∈ N
∗
.
Tìm lim

n→+∞
u
n
.
Câu IV (2,5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a; BC = a
√
2. Dựng về phía ngoài hình chữ nhật đó một
nửa đường tròn đường kính AB. Gọi M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn vừa dựng (M không
trùng với A và B). Các đường thẳng MD, M C cắt AB tại N, L. Chứng minh AL
2
+ BN
2
= AB
2
.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2003 - 2004
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,5 điểm)
Tính tổng: S =
2003

n=1


1 +
1
n
2
+
1
(n + 1)
2
.
Câu II (2,5 điểm)
Cho p là số nguyên tố và a, b là các số nguyên dương thỏa mãn
1
p
=
1
a
+
1
b
. Tìm tất cả các giá
trị của p để a hoặc b là những số chính phương ?
Câu III (2,5 điểm)
Không dùng máy tính và bảng số, chứng minh bất đẳng thức:
1 + sin
π
14
> 2 sin
π
14


3 cos
π
7
Câu IV (2,5 điểm)
Trong không gian cho hai tia Ax, By vuông góc với nhau và nhận AB = a làm đường vuông
góc chung. Trên Ax, By lần lượt lấy các điểm M, N di động sao cho AM + BN = MN (điểm M
không trùng với điểm A và điểm N không trùng với điểm B). Gọi I là trung điểm của AB và H
là hình chiếu vuông góc của I trên M N . Chứng minh rằng điểm H luôn luôn nằm trên một cung
tròn cố định khi M, N di động theo quy luật trên.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2004 - 2005
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,5 điểm)
Tìm m để phương trình cos 2x − (2m + 1) cos x + m + 1 = 0 có nghiệm x ∈

π
2
;
3π
2

.
Câu II (2,5 điểm)
Trong không gian cho tam diện vuông Sxyz. Trên các tia Sx, Sy, Sz lần lượt lấy các điểm
A, B, C không trùng với S. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) và (O; R)

là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng điểm H là trực tâm của tam giác ABC
và ta có hệ thức: OH
2
+ 2.SH
2
= R
2
.
Câu III (2,5 điểm)
Cho a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 2. Chứng minh bất đẳng thức:
log
b+c
a
2
+ log
c+a
b
2
+ log
a+b
c
2
≥ 3
Câu IV (2,5 điểm)
Tìm tất cả các cặp số hữu tỷ (x; y) thỏa mãn:

2
√
3 − 3 =


x
√
3 −

y
√
3.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2004 - 2005
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình:

x + xy + y = 2 + 3
√
2
x
2
+ y
2
= 6
.
Câu II (2,0 điểm)
Tìm giới hạn: L = lim
x→0

1 − cos x cos 2x cos 3x
x
2
.
Câu III (2,0 điểm)
Giải bất phương trình:

26 + 15
√
3

x
+ 2

7 + 4
√
3

x
− 2

2 −
√
3

x
< 1.
Câu IV (2,0 điểm)
Cho 2005 số thực không âm u
1

, u
2
, , u
2005
thỏa mãn các điều kiện:
a) u
1
= u
2005
= 2005.
b) u
n+1
= u
2
n
− u
2
n−1
+ u
n−1
, ∀n ∈ N, 2 ≤ n ≤ 2004.
Hãy xác định u
2003
.
Câu V (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Gọi P là một điểm nằm trên nửa mặt phẳng không
chứa A với bờ là đường thẳng BC. Chứng minh rằng nếu PB
2
+ AC
2

= P C
2
+ AB
2
thì AP ⊥BC.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2005 - 2006
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,5 điểm)
Giải phương trình: log
2005

2x
2
+ 2
2x
6
+ x
2
+ 1

= 2x
6
− x
2

− 1.
Câu II (2,5 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn các điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
= 2 và ab + bc + ca = 1. Chứng
minh rằng a, b, c ∈

−4
3
;
4
3

.
Câu III (2,5 điểm)
Tìm giới hạn: L = lim
x→0

√
1 + x
2
+ x

2005
−


√
1 + x
2
− x

2005
x
.
Câu IV (2,5 điểm)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh bất đẳng thức:
√
a + b − c +
√
b + c − a +
√
c + a − b ≤
√
a +
√
b +
√
c
.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2005 - 2006
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2)

Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,5 điểm)
Cho x, y là các số thực liên hệ với nhau bởi hệ thức 36x
2
+ 16y
2
− 9 = 0. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = y − 2x + 5.
Câu II (2,5 điểm)
Giải phương trình:
√
x
2
− 2x + 5 +
√
x
2
+ 2x + 10 =
√
29.
Câu III (2,5 điểm)
Cho dãy số (u
n
) xác định như sau:

u
1
= 1
u
n+1

=
u
2
n
2005
+ u
n
, ∀n ∈ N
∗
.
Tính giới hạn lim
x→+∞

u
1
u
2
+
u
2
u
3
+ +
u
n
u
n+1

.
Câu IV (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Các tiếp tuyến của
đường tròn (O) tại A và C cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B tương ứng ở các điểm M, N .
Kẻ đường cao BP của tam giác ABC (điểm P nằm trên AC). Chứng minh rằng đường thẳng BP
là phân giác của góc MP N.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2006 - 2007
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,5 điểm)
Giải phương trình:
x
x + 1
− 2

x + 1
x
= 3.
Câu II (2,5 điểm)
Cho số tự nhiên n ≥ 3. Lấy n số x
1
, x
2
, , x
2
sao cho mỗi số x
i

(i = 1, 2, , n) chỉ nhận một
trong hai giá trị là 1 hoặc −1 và thỏa mãn điều kiện x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ + x
n
x
1
= 0. Chứng minh
rằng n là bội số của 4.
Câu III (2,5 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:
a
2
b
+
b
2
c
+
c
2
a
≥ a + b + c.
Câu IV (2,5 điểm)

Cho dãy số (u
n
) xác định như sau:

u
1
= u
2
= 1
u
n+1
=
√
u
n
+
√
u
n−1
, ∀n ∈ N, n ≥ 2
.
Tìm lim
n→+∞
u
n
.
——— Hết ———
—————

1

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2006 - 2007
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu tan
A
2
, tan
B
2
, tan
C
2
theo thứ tự lập thành một cấp
số cộng thì cos A, cos B, cos C theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.
Câu II (2,5 điểm)
Cho đa thức f (x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d, trong đó a, b, c, d là các hằng số thực. Biết rằng
f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30. Hãy tính giá trị P =
f(12) + f(−8)
10
+ 22.
Câu III (2,5 điểm)
Cho các số thực a, b, c ∈ [−1; 2] và a+b+c = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a

2
+b
2
+c
2
.
Câu IV (2,5 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi P là một điểm bất kỳ nằm trên
cung nhỏ BC(cung không chứa điểm A). Chứng minh P A = P B + P C.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2007 - 2008
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,5 điểm)
Giải phương trình:
3
√
9 − x +
√
x + 3 = 4.
Câu II (2,5 điểm)
Cho các số tự nhiên a và b (a = 0, b = 0) thỏa mãn điều kiện 2a
2
+ a = 3b
2
+ b. Chứng minh

rằng số 2a + 2b + 1 là số chính phương.
Câu III (2,5 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
√
ab +
√
bc +
√
ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
P =
a
2
a + b
+
b
2
b + c
+
c
2
c + a
Câu IV (2,5 điểm)
Cho dãy số (u
n
) xác định như sau:



u

1
= 2008
u
n
=
1
2

u
n−1
+
2007
u
n−1

(n ∈ N, n ≥ 2)
.
Tìm lim
x→+∞
u
n
?
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2007 - 2008
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I (2,5 điểm)
Tính tổng: S =

1 +
1
1
2
+
1
2
2
+

1 +
1
2
2
+
1
3
3
+ +

1 +
1
2007
2
+
1
2008

2
.
Câu II (2,5 điểm)
Tìm giá trị của a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:



3x − a

y
2
+ 1 = 1
x + y +
1
y +

y
2
+ 1
= a
2
Câu III (2,5 điểm)
Cho hàm số f : R → R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) f (x + y) ≤ f (x) + f (y) ; ∀x, y ∈ R;
j) lim
x→0
f(x)
x
= 1; ∀ ∈ R.
Chứng minh rằng hàm số f(x) có đạo hàm trên R và tìm hàm số f(x).

Câu IV (2,5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a, BC = a
√
2. Dựng về phía ngoài hình chữ nhật đó
một nửa đường tròn đường kính AB. Gọi M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn vừa dựng (M
không trùng với A và B). Các đường thẳng MD, M C cắt AB lần lượt tại N, L. Chứng minh rằng:
AL
2
+ BN
2
= AB
2
.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2008 - 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,5 điểm)
Giải phương trình: 2
2009

(x + 1)
2
+ 3
2009
√

1 − x
2
+
2009

(1 − x)
2
= 0.
Câu II (2,5 điểm)
Tính giới hạn: L = lim
x→0
cos

π
2
cos x

sin (tan x)
.
Câu III (2,0 điểm)
Cho dãy số (u
n
) xác định như sau:
a) u
n
> 0; ∀ ∈ N
∗
;
b) u
1

= 1;
c) u
n+1
=
√
1+u
2
n
−1
u
n
; ∀n ∈ N
∗
.
Chứng minh rằng: u
1
+ u
2
+ + u
n
≥ 1 +
π
4

1 −

1
2

n−1


.
Câu IV (3,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB||CD), SA = 2a và vuông góc với
đáy, AB = BC = CD = a. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD.
a) Chứng minh A, M, N, P đồng phẳng và tứ giác AMNP nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Tính diện tích tứ giác AMNP theo a.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2008 - 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,5 điểm)
Giải hệ phương trình:

√
x
2
+ 2x + 22 −
√
y = y
2
+ 2y + 1

y
2
+ 2y + 22 −

√
x = x
2
+ 2x + 1
.
Câu II (2,5 điểm)
Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó tổng của 3 số bất kỳ chia cho số còn lại đều có thương
là số nguyên khác 1. Chứng minh rằng trong 4 số a, b, c, d luôn tồn tại 2 số bằng nhau.
Câu III (2,5 điểm)
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1], có đạo hàm trên khoảng (0; 1) và f (0) = f (1) =
2009
2007
.
Chứng minh rằng tồn tại số c ∈ (0; 1) sao cho 2007f(c) − 2008f

(c) = 2009, (trong đó f

(c) là đạo
hàm của hàm số f(x) tại c).
Câu IV (2,5 điểm)
Cho 4 điểm A, B, C, D có các điểm A, B cố định và C, D thay đổi sao cho A, B, C, D nằm trên
đường tròn; AC và BD là hai đường thẳng cố định vuông góc với nhau tại một điểm không trùng
với các điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng trung điểm của CD luôn nằm trên một đường cố định.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2009 - 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1)

Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (3,0 điểm)
Giải phương trình: 2008
x
+ 2010
x
= 4016x + 2.
Câu II (2,0 điểm)
Cho dãy số (x
n
) thỏa mãn

0 < x
n
< 1
x
n+1
(1 − x
n
) ≥
1
4
, ∀n ∈ N
∗
.
Chứng minh lim
n→∞
x
n
=

1
2
.
Câu III (3,0 điểm)
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng:

1 +
1
x

4
+

1 +
1
y

4
+

1 +
1
z

4
≥ 768
Câu IV (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC và D là chân đường cao hạ từ A. Gọi d là đường thẳng đi qua D và
nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC, E và F là các điểm nằm trên đường thẳng d sao cho
AE⊥BE, AF ⊥CF và E, F không trùng D. Gọi M, N là các điểm tương ứng của BC và EF . Chứng

minh AN⊥NM.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2009 - 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình:



x
2009
+ 3x − 3 + ln

x
2
− x + 1

= y
y
2009
+ 3y − 3 + ln

y
2
− y + 1


= z
z
2009
+ 3z − 3 + ln

z
2
− z + 1

= x
.
Câu II (2,0 điểm)
Hàm số f(x) xác định với mọi x thỏa mãn các điều kiện sau:

f(1) = 2010
(a − b) f(a + b) − (a + b) f(a − b) = 4ab

a
2
− b
2

Tìm hàm số f(x).
Câu III (3,0 điểm)
Chứng minh rằng nếu abc (số tự nhiên có 3 chữ số trong hệ thập phân) là một số nguyên tố thì
phương trình ax
2
+ bx + c = 0 không có nghiệm hữu tỷ.
Câu IV (2,0 điểm)

Cho 4 đường thẳng d
1
, d
2
, d
3
, d
4
đôi một song song và không có ba đường thẳng nào nằm trên
cùng một mặt phẳng. Một mặt phẳng (P ) cắt chúng theo thứ tự tại A, B, C, D. Một mặt phẳng
(P

) cắt chúng theo thứ tự tại A

, B

, C

, D

sao cho D ≡ D

. Chứng minh rằng hai khối tứ diện
D

ABC và DA

B

C


có thể tích bằng nhau.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2011 - 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (3,0 điểm)
Giải phương trình sau:
a) sin

3x −
π
4

= sin 2x sin

x +
π
4

.
b) 3x

2 +
√
9x

2
+ 3

− (x + 1)

2 +
√
x
2
+ 2x + 4

= 0.
Câu II (2,0 điểm)
Cho dãy số (u
n
) xác định như sau

u
1
= 1
u
n+1
u
n
= 1 + u
2011
n
, ∀n ∈ N
∗
.

Tính lim
n→+∞

u
2011
1
u
2
+
u
2011
2
u
3
+ +
u
2011
n
u
n+1

.
Câu III (2,0 điểm)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
P = a
3
+ b
3
+ 4c
3

Câu IV (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC cố định nội tiếp đường tròn (O). Điểm P di động trên cung BC không
chứa A (P không trùng B, C). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng
P B, P C.
a) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) Xác định vị trí của điểm P sao cho AM.P B + AN.P C đạt giá trị lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm)
Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn
x
3
+ x
xy −1
là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn
tại số nguyên dương z sao cho x + y + z = xyz.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2011 - 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,0 điểm)
Tìm các giới hạn sau:
a) lim
x→0

x
2
+ 2011


5
√
1 − 5x − 2011
x
.
b) lim
x→0
1 − cos x
√
cos 2x
x sin x
.
Câu II (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình:

x
3
+ xy
2
= y
6
+ y
4
√
3x + 1 +

y
2
+ 3 = 4

.
Câu III (2,0 điểm)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chứng minh rằng:
a
2
3

1 + b
2
− c
2
+ b
2
3

1 + c
2
− a
2
+ c
2
3

1 + a

2
− b
2
≤ 1
Câu IV (2,5 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, các mặt bên tạo với mặt đáy góc có số đo bằng α. Mặt
phẳng qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) cắt đường thẳng SD tại I. Gọi V là thể tích
của khối chóp S.ABCD và V
1
là thể tích của khối chóp D.ACI.
a) Chứng minh rằng đường thẳng SD vuông góc với mặt phẳng (ACI).
b) Tính tỷ số
V
1
V −V
1
theo α.
Câu V (1,5 điểm)
Một số được gọi là số thú vị nếu số này có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và số đó chia hết cho 1111. Hỏi có bao nhiêu số thú vị như thế.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2012 - 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,5 điểm)
Giải phương trình: x

4n
+
√
x
2n
+ 2012 = 2012, (n ∈ N
∗
).
Câu II (2,5 điểm)
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức:

u
1
= 3
u
n+1
=
1
3

2u
n
+
3
u
2
n


(n ∈ N
∗
)
. Tính lim u
n
?
Câu III (1,5 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z, chứng minh rằng:
1
x
+
1
y
+
1
z
≥
36
9 + x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2

.
Câu IV (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, N là chân đường phân giác góc

BAC. Đường
thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường thẳng AB, AM lần lượt tại P, Q theo thứ tự đó.
Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt AN tại O. Chứng minh OQ vuông góc với BC.
Câu V (1,5 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

x + 2
√
3 =
√
y +
√
z.
——— Hết ———
—————

1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học 2012 - 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,5 điểm)
Giải hệ phương trình:




x
3
− 3x
2
+ 5x + 1 = 4y
y
3
− 3y
2
+ 5y + 1 = 4z
z
3
− 3z
2
+ 5z + 1 = 4x
.
Câu II (2,0 điểm)
Cho x, y thỏa mãn x
2
+ y
2
= 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = x
2
(x + 2) + y
2
(y + 2) + 3(x + y)(xy − 4)
Câu III (1,5 điểm)
Tìm tất cả các hàm số f : N
∗

→ N
∗
thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1) Với mọi n, m ∈ N
∗
: n < m ⇔ f(n) < f(m).
2) f(2n) = f(n) + n với mọi n ∈ N
∗
.
3) Nếu f(n) là số chính phương thì n là số chính phương.
Câu IV (2,5 điểm)
Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DB, AC.
Trên đường thẳng AB lấy điểm P , trên đường thẳng DN lấy điểm Q sao cho P Q song song với
CM . Tính độ dài P Q và thể tích khối tứ diện AMNP .
Câu V (1,5 điểm)
Cho đa giác đều n cạnh (n ≥ 8). Tính số tứ giác có 4 cạnh là 4 đường chéo của đa giác đã cho.
——— Hết ———
—————

1