Luận văn phương pháp euler giải phương trình vi phân và phương trình vi phân đại số

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 •
• • •
NGUYỄN THỊ QUẾ
PHƯƠNG PHÁP EULER GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐAI SỐ
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUÂN VĂN THAC SĨ TOÁN HOC • • •
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS.Tạ Duy Phượng (Viện Toán học), người Thầy
đã hướng dẫn tác giả hoàn thành Luận văn này. Trong suốt thời gian qua Thầy đã
không quản ngại khó khăn và nhiệt tình chỉ dạy, giúp đỡ để em có thể hoàn thành
Luận văn này.
Xin cảm ơn trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học nơi tác giả đã hoàn
thành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các Thầy cô.
Và tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Gia đình, bạn bè đã luôn ở bên, thông cảm,
tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi hoàn thành Luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 20lị Tác
giả
Nguyễn Thị Quế
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong Luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 6 năm
20lị Tác giả
Nguyễn Thị Quế
3

Mục lục
Phương pháp Euler và Euler cải biên giải phương
Giải số phương trình vi phân thường bằng phương pháp Euler
Mở đầu
Chương 1.
4
4
4
8
12
15
15
15
1
8
21
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
1.2.
1.3.
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.4.
Bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp một
Phương pháp Euler cải tiến (Phương pháp Heun)
Phép nội suy và bài toán cầu phương cơ bản
trình, hệ phương trình vi phân thường
Phương pháp đường gấp khúc Euler

Phương pháp xốp xỉ tích phân
Phương pháp Euler
Qui tắc cầu phương cơ bản
Định lí tồn tại nghiệm
Phép nội suy
1.5.
và Euler cải tiến
22
34
41
41
41
4
2

4
5
Phương pháp Euler cho hệ phương trình
1.6.
1.7.
7
Ôn định và sai số của phương pháp Euler
Bậc xấp xỉ
1.7.1.
1.7.2.
1.7.3.
1.7.4.
Tính ổn định
Tính hội tụ
Ước lượng sai số

Phương pháp số giải phương trình vi phân đại số
Chương 2.
49
2.1.
Phương trình vi phân đại số
49
49
50
Định nghĩa phương trình vi phân đại số
2.1.1.
2.1.2.
Phương trình vi phân đại số chỉ số 1
2.1.3. Phương trình vi phân đại số tuyến tính 51
2.2
Một số đặc thù của phương trình vi phân đại số
Phương pháp Euler giải phương trình vi phân đại số
Phụ lục
Tài liệu tham khảo
52
60
65
2.3.
83
84
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Những phương trình vi phân giải được bằng cầu phương (tìm được công thức
nghiệm hiển) là rất ít. Vì vậy phương trình vi phân được phát triển theo hai
hướng: L Í T H U Y Ế T Đ Ị N H T Í N H

nghiên cứu tính chất nghiệm theo các dữ
liệu đầu vào (vế phải của phương trình, điều kiện ban đầu, điều kiện biên, tham
số, ) và G I Ả I S Ố

phương trình vi phân (tìm nghiệm xấp xỉ).
P H Ư Ơ N G P H Á P Đ Ư Ờ N G G Ấ P K H Ú C E U L E R

là một trong những
pH Ư Ơ N G P H Á P C Ỗ Đ I Ể N

(classical methods) giải số phương trình vi phân.
Do độ hội tụ thấp nên phương pháp Euler ít được áp dụng hơn so với phương
pháp Runge- Kutta. Tuy nhiên, gần đây, s. Smale (1981) đã phát hiện ra mối
quan hệ hữu cơ giữa phương pháp Newton giải hệ phương trình phi tuyến với
phương pháp Euler giải hệ phương trình vi phân. Điều này gợi sự quan tâm
mới đối với phương pháp Euler.
Có nhiều cách giải thích phương pháp Euler (tiếp tuyến của đường cong
nghiệm, xấp xỉ đạo hàm, khai triển Taylor, ). Trong [1] đã giải thích phương
pháp Euler như là trường hợp riêng của bài toán X Ấ P X Ỉ T Í C H P H Ẫ N .

Cách
tiếp cận này cho phép hiểu thống nhất phương pháp Euler và các cải biên của
nó trong bức tranh chung của các phương pháp giải hệ phương trình vi phân
thường.
Do nhu cầu của các bài toán kĩ thuật, công nghệ và kinh tế (hệ rôbôt, hệ hóa
học hoặc vật lí phức tạp, hệ điều khiển và kinh tế, ), bắt đầu từ những năm
1980 trở lại đây, lí thuyết P H Ư Ơ N G T R Ì N H V I P H Â N Đ Ạ I S Ố

được quan
tâm mạnh mẽ. Phương pháp Euler cũng đã được sử dụng và cải biên để giải các

hệ phương trình vi phân đại số.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn có mục đích trình bày tổng quan phương pháp Euler và các cải tiến
của nó giải phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số. Ngoài
ra, Luận văn cũng trình bày thực hành tính toán một số ví dụ giải phương trình,
hệ phương trình vi phân bằng phương pháp Euler trên M A P L E 1 6

và trên máy
tính điện tử khoa học. Luận văn gồm hai chương.
Chương 1 Trình bày tổng quan về phương pháp Euler, Euler cải tiến giải
phương trình, hệ phương trình vi phân thường. Các phương pháp này được so
sánh và minh họa qua thực hành tính toán trên máy tính V I N A C A L

570ES
PLUS và trên chương trình Maple.
Có thể coi các quy trình và chương trình trong Luận văn là các chương trình
mẫu để giải bất kì phương trình vi phân thường nào. Điều này đã được chúng
tôi thực hiện trên rất nhiều phương trình cụ thể.
Chương 2 Trình bày phương pháp Euler giải phương trình vi phân ẩn F ( T ,

X,
X ' )

— 0 hoặc phương trình vi phân đại số dạng
x'

= f{t,x,y),
<
1 = g ị t, X, y) .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có hai nhiệm vụ:
1) Nghiên cứu phương pháp Euler giải phương trình, hệ phương trình vi phân
thường và phương trình vi phân đại số.
2) Thực hành tính toán trên máy giải phương trình, hệ phương trình vi phân
thường bằng phương pháp Euler.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp số giải phương trình, hệ
phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu liên quan đến phương pháp số giải phương
trình, hệ phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số.
5. Đóng góp của luận văn
Hy vọng Luận văn là một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và
học viên cao học về phương pháp Euler giải phương trình, hệ phương trình vi
phân thường và phương trình vi phân đại số.
6. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích, giải tích số, giải tích hàm, giải
tích phức, để tiếp cận và giải quyết vấn đề.
Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan,
đặc biệt là các bài báo và các sách mới về vấn đề mà luận
văn đề cập tới.
Chương 1 Phương pháp Euler và Euler cải
biên giải phương trình, hệ phương trình vi
phân thường
1.1. Phép nội suy và bài toán cầu phương cơ bản
1.1.1. Phép nội suy
Trong các bài toán thực tế, ta thường chỉ đo được giá trị của hàm số У

=

Ĩ { T )

tại một số điểm T I , Ỉ

= 1, , N

của T

trong khoảng [a, T Í Ị

nào đó. Thí dụ, dân số
của nước ta có thể biết được theo điều tra dân số vào các năm 1960, 1980,
1995, 2009. Không có một biểu thức toán học chính xác nào cho phép tính số
dân trong các năm đó. Do đó ta cũng không thể tính số dân của các năm khác
(thí dụ, 2000, 2010, 2020, ) một cách giải tích. Tuy nhiên, sử dụng phép nội
suy, ta có thể tính được (xấp xỉ) số dân trong năm bất kì nào đó.
Có thể, công thức toán học của hàm số У

= F ( T

) là đã biết, nhưng khá cồng
kềnh, không thuận tiện (tốn thời gian và bộ nhớ) khi tính toán giá trị (chính
xác) của nó tại các điểm cụ thể. Dùng phép nội suy ta có thể dễ dàng tính được
giá trị (gần đúng) của hàm У

= F ( T

) tại bất kỳ điểm nào trong đoạn [ A , B ] .
Hơn nữa, phép nội suy còn cho phép ta tính gần đúng đạo hàm, tích phân, của
hàm số У

= F I T

) trên đoạn [a, B ] .

Bài toán nội suy tổng quát được phát biểu
như sau.
Giả sử không biết công thức giải tích của hàm số Y

= F ( T

) nhưng biết bảng
giá trị của Y

chỉ tại các điểm T I , I

= 1, , N ,

tức là ta chỉ biết các giá trị Ui =


=
1,,n. Ngoài ra ta không có thông tin gì thêm
về hàm Y

= F ( T ) .
Bài toán đặt ra là: Tìm giá trị của Y { = F ( T

)) tại vị trí Ĩ

nào đó. Giá trị của
Y

tại Ĩ

không có trong bảng nội suy cho trước ( Ĩ

^ T Ị , I —

1, , T L . ) .
Có nhiều phương pháp để xác định giá trị của Y

tại Ĩ .

Các phương pháp này
đều có chung một cách giải, đó là: “Tìm một hàm theo các giá trị trong bảng
nội suy X Ấ P X Ỉ

hàm F ( T Y \
Hàm xấp xỉ thường được chọn sao cho đơn giản và dễ tính toán. Hàm xấp xỉ
có thể là đa thức, hàm mũ, hàm lượng giác, chuỗi Taylor, chuỗi Fourie,
Khi hàm xấp xỉ I F ( T )

là một đa thức đại số thì phép nội suy tương ứng
được gọi là N Ộ I S U Y B Ằ N G Đ A T H Ứ C Đ Ạ I S Ố .

Dưới đây ta sẽ xem xét
phép nội suy bằng đa thức đại số.
Nội suy bằng đa thức đại số
Đa thức đại số là những hàm khá thuận tiện trong sử dụng (bất biến đối với
phép cộng, nhân, lấy tích phân và đạo hàm, , tức là sau các phép toán trên áp
dụng vào đa thức ta được kết quả vẫn là đa thức). Hơn nữa, các hàm liên tục

đều xấp xỉ được (địa phương) bằng đa thức. Thật vậy, ta có
Định lý 1.1.1. Giả sử hàm f(t) liên tục trên đoạn [a, 6]. Khiấy với
mỗi
e > 0 cho trước tồn tại một đa thức P(t) sao cho
I F ( T )

— P ( T

)I < € V Ớ I M Ọ I T

G (a, B

).
Định lí nói rằng, đa thức nội suy P ( T

) nằm trong e-ống có trục là
đường cong F ( T ) .
Bài toán nội suy một hàm số bằng đa thức được phát biểu như sau: Cho các
mốc nội suy A

< T

0

< T I < ■ ■ ■ < T

N

< B .

Hãy tìm đa thức bậc N ,
P ( T

) = A

Ữ

T

N

+ . + A

N

- I T + A

N

sao cho P ( T Ị

) = Y I : = Ỉ =

0,1,2, ,71.
Ý nghĩa hình học của phép nội suy đa thức là:
Xây dựng đường cong đa thức Y = P ( T

) đi qua N

điểm (T Ị , Y I ) ,I =

0,1,2, , N .

đã cho.
Như vậy, các hệ số D Ị

của đa thức cần tìm phải thoả mãn hệ phương trình
đại số tuyến tính
t™a
0
+ t™
1
ữi + + a
n
_ií
0
+ ữ
n
= Ho,
t™ao + t™
1
dị+ +a
n
-ịti + a
n
=
yi,