Luận văn tập hút toàn cục đối với hệ phương trình brusselator

NGUYỄN THỊ LIỄU
TẬP HÚT TOÀN CỤC
Đối VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BRUSSELATOR
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGUYỄN THỊ LIỄU
TẬP HÚT TOÀN CỤC
Đối VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BRUSSELATOR
Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI
HÀ NỘI,
Người hướng dẫn kh

oa học: PGS.TS. Cung Thế Anh
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI
HÀ NỘI,
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng Sau Đại học
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 cùng các thầy, cô giáo giảng dạy lớp cao
học khóa 16 đợt 2 (2012 - 2014), đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn
thành tốt bản luận văn này.
Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS. Cung Thế Anh,
người luôn hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận
văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và
bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 12 năm 2014

rri' _ _ • 2
Tác giả Nguyễn Thị Liễu
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
m / _ _____ ■ 2
Tác giả Nguyễn Thị Liễu
4
Mục lục
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ động lực vô hạn
chiều sinh bởi các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoặc các phương
trình vi phân hàm là một bài toán quan trọng và có nhiều ý nghĩa thực tiễn.
Một trong những cách tiếp cận bài toán này đối với các hệ động lực tiêu hao
vô hạn chiều là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hũt. Đó là một
tập compact, bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về
dáng điệu tiệm cận của hệ đang xét.
Trong những năm qua, sự tồn tại và tính chất của tập hũt, sự tồn tại và
tính ổn định của nghiệm dừng đã được nghiên cứu cho nhiều lớp phương
trình parabolic phi tuyến. Tuy nhiên phần lớn các kết quả đạt được mới chỉ
là cho trường hợp phương trình vô hướng; các kết quả tương ứng đối với
các hệ parabolic phi tuyến xuất hiện trong hóa sinh và hóa lí vẫn còn ít (xem
[1]-[14]). Các phương trình parabolic phi tuyến xuất hiện một cách tự nhiên
trong nhiều bài toán của hóa sinh và hóa lí, và đang thu hút được sự quan
tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước.
Lớp chung của các hệ phản ứng-khuếch tán phi tuyến có
dạng D U

= diAu + aiu + biv +f(u,v) + gi (*),
ớt
dv
= D

2

Av + A

2

U + B

2

V + F

(U

, v) + G

2

(x),
ớt
với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất hoặc Neumann trong miền bị chặn
Q .

c M .

N

, N <

3, liên tục Lipschitz địa phương. Nó cũng được biết rằng
phản ứng và khuếch tán của phạm trù hóa học hoặc phạm trù sinh hóa có
thể tạo ra đa dạng những mô hình không gian. Lớp này của hệ phản ứng-
khuếch tán bao gồm một số đáng kể hệ phương trình hình thành mô hình
mẫu phát sinh từ các mô hình động lực hóa học hoặc phản ứng sinh hóa và
từ lý thuyết hình thành mô hình sinh học.
Trong nhóm này, bốn hệ sau đây thường quan trọng và dùng như các mô
hình toán học trong ngành yật lý và sinh học.
Mô hình Brusselator: D \

= — ( B

+ 1), B Ị

= 0, « 2

= B ,

0 2

= 0, / =
W
2

V, gi =
a, G

2

=

0

,

trong đó A

và B

là các hằng số dương.
Mô hình Gray-Scott: A \ = — ( F

+ K

), B \

= 0, « 2

= 0, 0 2

= —
F . F

= M
2
V, gi = 0? 8 2

= F ,

trong đó F

và K

là các hằng số dương.
Mô hình Glycolysis: Ỡ1

= — 1, B \

= K , Ũ

2

=

0, 0 2

= — K , F =
U
2
V,G I = P , G

2

=

ỗ, trong đó K , P

và Ô

là các hằng số dương.
Mô hình Schnackenberg:

a\ = — k,bị = 0 , 2

= b2

= 0,f = u
2

v,g

1



= a,g2

=
b, trong đó K , A V Ầ B

là các hằng số dương.
Mô hình Gray-Scott có nguồn gốc từ việc mô tả tự xũc tác đẳng nhiệt,
dẫn truyền liên tục, phản ứng và khuếch tán không bị kích thích của hai hóa
chất U

và V

với nồng độ U ( T , X

) và V ( T , X ) ,

(xem [7]). Từ năm
1993, một loạt các không gian mẫu được tạo ra bởi các giải pháp ổn định và
các giải pháp phát triển lâu năm đã tiếp xúc bằng các thực nghiệm [8

], bằng
mô phỏng số, hoặc bằng các phân tích toán học [13].
Lúc đầu, Brusselator là hệ của hai phương trình vi phân thông thường
như các phương trình phản ứng cân bằng cho tự xúc tác, phản ứng dao động
hóa học [3]. Tên của mô hình là thành phố của các nhà khoa học đã đề xuất
nó. Trong nhiều hệ tự xũc tác, động lực học phức được nhìn thấy, bao gồm
các trạng thái bội ổn định, các quỹ đạo tuần hoàn và các điểm rẽ nhánh.
Phản ứng Belousov-Zhabotinsky [5] là một phản ứng hóa học chung,
trong đó nồng độ của các chất đưa ra động thái dao động. Đặc biệt, mô hình
Brus- selator mô tả trường hợp trong đó các phản ứng hóa học theo sơ đồ:
A —>u,
B + U

—>V
+ D,

2



u + v

—

>3U, u —
>E,
trong Đ Ó A , B , D , E , U

và У là các hợp chất hóa học. Giả S Ử U ( T , X

)
vàv(f,x) là
các nồng độ của И ,

V

và giả định rằng các nồng độ của các hợp chất đưa
vào
A

và В

được liên tục không đổi trong quá trình phản ứng, kí hiệu bằng A


và
B

tương ứng. Sau đó thu được một hệ của hai phương trình phản ứng-
khuếch
tán phi tuyến, hệ này được gọi là hệ phương trình Brusselator D U
= diAu + u

2
v— (b+ l)u + a,(t,x) G (0,°o) X £2,
át
dv
3- = — U
2
V + bu,(t,x) G (0,°o) X íì,
ót
u ( t , x ) =v(í,jc) = 0,í>0,jcễ d Q , u(0,x) = Uo (x) ,v(0,jc) = Vo
(x) ,x e П, trong đó D I , ( Ỉ

2

, A , B

là các hằng số dương. Ở đây, người ta
giả định rằng hệ số tỉ lệ cho các phản ứng trung gian phụ là bằng 1. Trên
thực tế các kết quả của luận văn này sẽ không bị ảnh hưởng bằng cách lấy
các hệ số phản ứng khác nhau.
Lưu ý rằng có một số ví dụ nổi tiếng đã biết của tự xúc tác có thể được
mô phỏng bởi hệ phương trình Brusselator; như phản ứng ferrocyanua-
iodat- sulfite, phản ứng clorit-iodua-axit malonic, phản ứng axen-iodat, một
số phản ứng xúc tác enzim và tăng trưởng nấm mycelia, xem [3]-[4].
Kể từ năm 1970 đã có một số hạn chế nghiên cứu giải pháp không gian
mẫu như trạng thái ổn định của ổn định địa phương và các điểm rẽ nhánh
cho hệ phương trình Brusselator. Trong [6

]-[10], một số không gian Turing
phát sinh bởi hệ phương trình Brusselator được nghiên cứu về số lượng hoặc
phân tích, bao gồm cả mô hình tăng đột biến, mô hình sọc và những bất ổn

dao động. Trong kết quả số [2] đã được trình bày, cho thấy mô hình
mazelike, mô hình lục giác và mô hình hỗn loạn-tìm kiếm, cho hệ phương
trình Brusselator 2D và phiên bản hyperbolic với các phương trình dòng
khuếch tán. Trong [8

], theo các giả định của đầu vào chậm và tỉ lệ khuếch
tán chậm, sự tồn tại của mô hình kiểu mẫu mesa cho Brusselator 1D được
hiển thị cùng với một mức cho sự ổn định địa phương và một điểm rẽ nhánh
Hopf với sự ổn định kiểu bình thở bằng cách sử dụng phương pháp nhiễu
loạn kì dị.
Lý thuyết cơ bản của tập hút toàn cục và các ứng dụng có thể tìm thấy trong
[11] -[12] và nhiều tài liệu tham khảo trong đó. Kể từ những năm 1980
sự tồn tại của một tập hút toàn cục đã được chứng minh đối với một số lớp
phương trình parabolic suy biến và đã làm tắt dần các phương trình sóng phi
tuyến. Tiêu tán điển hình của một phương trình phản ứng-khuếch tán đơn
được thể hiện trong kí hiệu điều kiện tiệm cận ở bên phải hàm phi tuyến
F ( U ) ,

tức là:
/ (
S

)
lim sup —< 0

.
|j|—>oo S

Đối với hệ của hai hay nhiều phản ứng-khuếch tán, kí hiệu tiệm cận
trong hệ vectơ luôn luôn không thỏa mãn. Một kết quả hạn chế về sự tồn tại

của tập hút toàn cục đã được chứng minh cho một phần tiêu tán hệ phản
ứng-khuếch tán, như các phương trình FitzHugh-Nagumo. Một số kết quả
dựa trên việc xây dựng một miền bất biến dương trên K" nói chung cung
cấp duy nhất tập hút địa phương.
Đối với hệ phương trình Brusselator trên, những khó khăn chủ yếu trong
việc chứng minh sự tồn tại tập hũt toàn cục là ở trên thực tế, đa thức phi
tuyến có tính tương tác đối nhau trong hai phương trình được ghép thành
đôi không có tiêu tán riêng hoặc tiêu tán tiệm cận, gây ra một số trở ngại
nhất định trong việc chứng minh sự tồn tại của các tập hấp thụ và thậm chí
nhiều thách thức trong hiển thị compact tiệm cận. Trong luận văn này, một
phương pháp phân tích mới được nghiên cứu và được sử dụng để hiển thị
tính K

-co của nửa nhóm.
Vì yậy, chúng tôi chọn vấn đề này làm đề tài nghiên cứu của luận văn với
tên gọi là: "Tập hút toàn cục đối với hệ phương trình Brusselator".
Kết quả của luận văn này dựa chủ yếu vào bài báo " Y. You, G L O B A L
D Y N A M I C S O F T H E

B R U S S E L A T O R

E Q U A T I O N S ,
D Y N A M I C S O F P D E

4

(2007), 167 - 196".
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal, số chiều Hausdorff
của tập hút toàn cục của hệ phương trình Brusselator xuất hiện trong hóa

học.
3. Nhiệm yụ nghiên cứu
• Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán.
• Nghiên cứu sự tồn tại tập hút của nửa nhóm sinh bởi nghiệm của bài
toán.
Đánh giá số chiều fractal và số chiều Hausdorff của tập
hũt toàn cục.
MỤC LỤC
4. Đối tượng và phạm vỉ nghỉên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Brusselator.
• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal, số chiều
Hausdorff của tập hút toàn cục.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: phương pháp nửa nhóm.
• Nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal, số chiều Hausdorff
của tập hũt toàn cục: các phương pháp của lí thuyết hệ động lực.
6. Kết quả chính của luận văn
Trình bày các kết quả về:
• Sự tồn tại duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện
ban đầu.
• Sự tồn tại tập hũt toàn cục của nửa nhóm sinh bởi các nghiệm của bài
toán.
Đánh giá số chiều fractal và số chiều Hausdorff của tập
hũt toàn cục.
1
Chương 1
Kiến thức chuẩn bi
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết cho việc trình
bày các nội dung chính của luận văn. Các kết quả của chương này được trình bày dựa
trên [1]-[14].

1.1. Các không gian hàm
Trong luận văn này ta sử dụng các không gian hàm sau:
1.1.1. Các không gian Ư

(£2)
Định nghĩa 1.1.1.

ư (£2), 1 <

p <

OO, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả
tích Lebesgue bậc p trên ũ. với chuẩn được định nghĩa như sau:
Chú ý rằng L
p
(ù) là không gian Banach phản xạ khi 1 <

p < +°°.
Đỉnh nghĩa 1.1.2.

Ư° (£2)

là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo
1
được và bị chặn hầu khắp nơi trên ũ. với chuẩn
IMIl“(Q)
:=
esssup\ U

(jc)| .

XGŨ.
1.1.2. Không gian Sobolev
Đỉnh nghĩa 1.1.3.

Cho £1 là một tập mỏ con của M”

có biên là d (£2).

Không gian
Sobolev được định nghĩa
là tập hợp tất cả các hàm thuộc L
2

(ũ.) có đạo hàm suy rộng thuộc L
2



(£2),

với chuẩn
được định nghĩa như sau:
IMIh^q)
=
u

\

2

+ \^
u
\
2
) D X , V Ớ I H À M U

€ H

1

(£2).
1.2. Lí thuyết nửa nhóm tuyến tính
Giả sử X

là một không gian Banach phức, ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.1.

Họ ánh xạ {£(*)}

,t > 0

gọi là một nửa nhóm tuyến tính liên tục mạnh
(hoặc đơn giản là Co-nửa nhóm) nếu s (t) E Jế? (X)

và
a) 5(0)=/;
b) s (t + s) = s (í) S(s) ,Vf,s e [0, °o);
c) Vx € X , T

1

—^ S

(í) X

E c° ([0, +°°) ,x) ( T A C Ó T H Ể T H A Y C

) B Ở I
lim S ( T ) X =
Í-S-0

+
x).
s (í)

gọi là một Co-nhóm nếu trong định nghĩa trên [0, +°o)

được thay thế
bởi R.

KhỉđóSitỴ
1

= S(-t) e3?(X).
Định nghĩa 1.2.2.

Ta gọi toán tử sinh của một nửa nhóm {£ (í)}

,t>

0



là một toán tử
tuyến tính A : D( A) cx —> X định nghĩa bởi
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14
Bây giờ ta xét một trường hợp đặc biệt: nửa nhóm giải tích. Giả sử <p € (0

, N

), kí
hiệu
A Ẹ = { Z E

c\(-oo,0] I |arg(z)| < Ẹ } \
A Ọ

= A Ọ

u {0}.
Định nghĩa 1.2.3.

Giả sử ọ e (o, I).

Ánh xạ s :

Áẹ —» Jếf (X)

gọi là một nửa nhóm giải tích

nếu
a) S( 0) = Id;
b) S( zi+z
2
) = S(z i)S(z
2

)y zuz
2

€ A

9

;
c) z !->■

s (

5

)

là một hàm giải tích trong Aẹ (với giá trị trong Jzf (X)J;
d) Vm g X, lim S ( Z ) U = U .
z -ì 0
ỈỄAỌ
c/iíí ý 1. Nếu Uo £X \àu(t) = s (t) U o với t > 0, ở đó s (í) là một nửa nhóm giải
tích, thì
s (í) u

0
= u (í) € c° ([0, +oo) ;X) n c°° ((0, +oo) ;X) ,u(t)eD (A)
với T >

0

và U

là nghiệm của phương trình tiến hóa
—u(t) =Au(t),t > 0,m(0) =
Mo- dt
Nếu A

sinh ra một nửa nhóm giải tích thì — A

gọi là một toán tử quạt.
Đỉnh nghĩa 1.2.4.

Giả sử X 1

,X 2

là hai không gian Banach. Ta nói rằng ánh xạ f : Xị

—
> X2

là liên tục Lipschitz trên các tập bị chặn của Xị nếu Vr > 0

tồn tại L (r) > 0

sao
cho
II / (“) - / (
v
) llx
2
<
L
(
r
)\ \
U
~ v||
Xl
>
trong đó\/u,v € Xị,\\u\\
x
< r, ||v||

x

<

r.
Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính ôtônôm sau
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15
(1.1) ^

=Au(t)

+ f (u(t)) ,t > 0

,u (0

) = Щ.
dt
Định nghĩa 1.2.5.

а) и

(í)

gọi là một nghiệm cổ điển của (1.1)

nếu и e c°
([0, Г] -X) n c
1
((0, Т] -X) n с ((0, T] -D (A)) và и thỏa mãn (1.1)

với mọi t €
[о,

Т].
а) и

(í)

gọi là một nghiệm tích phân của (1.1)

nếu и

€

с

0



([о,

Т]

;X)

và thỏa mãn
u(t) = S(t)uo+ Ị s(t — s) f (u(s))ds,t G [0,г].
J
o
Giả sử S

(í) là một nửa nhóm giải tích trong X

với toán tử sinh А

=

— В ,
ở đó В

: D ( B )

—»• X

là một toán tử quạt thỏa mãn
Reơ (В

) > 0.
Đỉnh lí 1.2.1.

Giả sử ОС £ [0,1)

và f :

x
a
—

»

X là Lipschitz trên các tập bị chặn của
x
a
. Khi đó với mọi r > 0,

tồn tại т (r) > 0

sao cho Vmo €

I

й



,

IỊmoIIx« —

r
’ phương
trình (1.1)

có một nghiệm tích phân duy nhất и

€ c° (

[о, г]

;X
a
). Hơn nữa, и

G

с

1

((о,
т]

;Х) ПС
0



( [о, г)

;D

(

А))

là mộtnghiệm cổ điển của (

1

.

1

).
1.3. Tập hút toàn cục
Chúng tôi tham khảo [1], [11] và [12] cho các khái niệm và các
thông tin cơ bản trong lý thuyết của hệ động lực vô hạn chiều,

bao gồm một số thông tin đưa ra dưới đây cho rõ ràng.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11
1.3.1. Một số khái niệm
Giả sử X

là một không gian Banach, ta có các định nghĩa sau:
Đỉnh nghĩa 1.3.1.

Một nửa nhóm (liên tục) trên X là một họ các ánh xạ s (t ) :

X —

»

X, t
> 0,

thỏa mãn:
1) s( 0) = I, I là phép đồng nhất;
2) S(t)S( s) = S(

5

)

S( t) =S(t + x),Vt,s> 0\
3) s(t) Uo liên tục đối với (í, Mo) £ [0; +00) X X.
Định nghĩa 1.3.2.

Giả sử {s (í

) }

í > 0



là một nửa nhóm.
Phần tử U Q €X gọi là một điểm cân bằng (điểm dừng, điểm cố định) của nửa nhóm
s(t)

nếu
S

(í) U Q =

Mo , Ví > 0.
Định nghĩa 1.3.3.

Nửa nhóm {£ (í)}í

> 0



sọi là tiêu hao điểm (tương ứng, tiêu hao bị
chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn Во с X hút các điểm (tương ứng, hút các tập bị
chặn) của X.
Nếu nửa nhóm {5 (í) }

t>

Q

là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập B Q

с

X sao cho với mọi
tập bị chặn В С X, tồn tại T = т (в)

> 0

sao cho s (t) в с

B Q, Ví >

T. Tập B Q như vậy
gọi là một tập hấp thụ đối với nửa nhóm {5 (í))í>

0

-

Một nửa nhóm tiêu hao bị chặn
thường được gọi tắt là nửa nhóm tiêu hao.
Dễ thấy một nửa nhóm tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm. Điều ngược lại nói
chung không đúng, nhưng nó đúng với các nửa nhóm trong không gian hữu hạn chiều.
Định nghĩa về tính chất КГ-СО của nửa nhóm {5 (í)}í> 0

được trình bày như sau.
Đỉnh nghĩa 1.3.4.

Nửa nhóm {5(0}/>o

t r o n



8

không gian metrỉc đầy đủ X được gọi là
K-co nếu với mọi tập con bị chặn B của X, có
lim

K(S (t )B ) = 0.
í—>oo
Nửa nhóm {5(í)}f

> 0



t
r o n



8

không gian metrỉc đầy đủ X được gọi là co- compact giói
hạn, nếu với mọi tập con bị chặn B của X, ta có
lim K

( \ J S ( T ) B )

=0.
í—>oo
vT>f
Bây giờ ta định nghĩa tính compact tiệm cận.
Định nghĩa 1.3.5.

Giả sử X là một không gian Banach. Nửa nhóm s(t) gọi là compact
tiệm cận nếu với mọi t

>0, s(t) có thể biểu diễn dưới dạng
S{ t) = s
{ỉ)
{t ) + s
{2)
(í),
ở đó (í)

và s(í)

thỏa mãn các tính chất sau:
a) Với bất kì tập bị chặn B c X,
r
B

(t ) = sup

s
{
1

)
(t )y
y£ B
Với bất kì tập bị chặn B c

X, tồn tại to sao cho tập hợp
u 5
(2)
{t)B
J~>t0
là compact trong X, ỏ đây [

7

]

là bao đóng của tập

7

.
Một hệ động lực gọi là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta có thể lấy S

t

1
) (í)
= 0 trong biểu diễn (1.2). Rõ ràng rằng bất kì hệ động lực tiêu hao hữu hạn chiều nào
cũng là compact.
Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.3) được thỏa mãn nếu tồn tại một tập
(1.2
—Ỳ

0,f —Y

-ị
-
r
(2)
(to)B
(1.3
compact К

trong X

sao cho với bất kì tập bị chặn В С

X ,

tồn tại T O

( B )

sao
cho S W

(T ) B

С K , \ / T

> Í Q ( B ) .

Nói riêng, một hệ tiêu hao là compact nếu
nó có một tập hấp thụ compact.
Tiếp theo ta trình bày định nghĩa tập hút toàn cục. Tập hút toàn cục là đối tượng
trung tâm của lí thuyết các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.3.6.

Một tập con khác rỗng sể của X gọi là một tập hút toàn cục đối với
nửa nhóm s(t)

nếu:
a) sể là một tập đóng và bị chặn;
b) sể là bất biến, tức là s (í)

, Ví > 0;
c) hút mọi tập con bị chặn в của X, tức là
lim dist(5(í)5, Я / )

=

0

,
í—>+°°

ở đó dist

(E ,F ) = sup

inf

d( a,b) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập
a&Eb&F
con E và F của X.
1.3.2. Một số định lí và bổ đề
Bổ đề sau đây rất hữu ích khi chứng minh tính compact tiệm cận.
Bổ đề 1.1. [1]

Nửa nhóm s(t)

là compact tiệm cận nếu tồn tại một tập compact К sao
cho
lim

di st(S(t)B,K) = 0
T —»+°o
với mọi tập В bị chặn trong X.
C H Ứ N G M I N H .

Vì к là một tập compact nên với mọi T

> 0 và И

€ X ,

tồn tại
phần tử V := S ( T ) U E K

sao cho
dist ( S

(T

) U , K ) = S

(í) И

— (T

) И
Do đó nếu đặt ( T ) U = S

(í) И

—

(t)U ,

dễ thấy sự phân tích (1.3) thỏa
mãn tất cả các yêu cầu trong định nghĩa của tính compact tiệm cận. □
C H Ú Ý

2. Xem [1]: Nếu X

là một không gian Banach lồi đều và nửa nhóm

S ( T

)có một tập hấp thụ bị chặn Ồ Ễ ,

thì ba điều kiện sau là tương đương:
i) Nửa nhóm s( t) là compact tiệm cận;
ii) Nửa nhóm S ( T )

thuộc lớp A K

tức là với mọi dãy bị chặn {x
fc
} trong X
và mọi dãy T ] Ç

— >

{5 (íjfc) •**}*= 1

là compact tương đối trong X ;
iii) Tồn tại một tập compact К

с X

sao cho dist(5' (í) Ồ Ễ , K )

—)• 0 khi T

—>•
oo

Với sự nghiên cứu của compact tiệm cận đối với nửa nhóm Brusselator, ta sẽ có
cách tiếp cận sự hiển thị tính chất K - C O

đối với nửa nhóm {5 (í)}f>0

- Nhớ lại định
nghĩa của độ đo không compact Kuratowski đối với các tập bị chặn trong không gian
Banach X ,
def
I Ỗ

: В

có môt phủ hữu han bởi các tâp mở trong X

K ( B ) —

inf<
{

với đưòng kính < Ö
Nếu В

là một tập không bị chặn, ta xác định К ( В )

= °o. Các tính chất cơ bản của
độ đo Kuratowski được liệt kê trong bổ đề sau, xem [11, Bổ đề 22.2].
Bổ đề 1.2.

Giả sửx là một không gian Banach và к là độ đo không compact

Kuratowski của các tập bị chặn trong X. Khi đó к có các tính chất sau:
1) к (В) = 0

khi và chỉ khi в tiền compact trong X, tức là C lỵ B là một tập compact
trong X.
2)

Kr(ßi+ß

2

)

<

к (Bị) +

К (В 2

) với bất kì tổng tuyến tính B\ + -

6 2

-
3) к(В\) < k( B2

) bất cứ khi nào Bị с B2

-
4) Giả sử X là tổng trực tiếp của hai không gian con tuyến tính đóng XịvàX

2
,
X = X Ị

0

X2

V Ớ I

dimXi < 0 0

;
và p : X —¥ Xị và Q : X —> X2 là phép chiếu chính tắc các toán tử. Giả sử в là một
tập bị chặn của X. Nếu
diamQ(B) < £,
thì K {B) < £ .
Bổ đề sau đây cung cấp mối quan hệ của khái niệm КГ-СО với compact tiệm cận,
xem [11, Bổ đề 23.8] và Bổ đề 1.2.
Bổ đề 1.3.

Giả sử {5

(0)í>o ^

n
^
a
nhóm trong một không gian Banach X. Nếu những
điều kiện sau đây được thỏa mãn:

1)
{s (í

) }

í > 0



có một tập hấp thụ bị chặn trong X, và
2)
{£(

0

}f>

QỈ àK -c o,
khỉ đó {£ (í

) }

í > 0



là compact tiệm cận và tồn tại một tập hấp thụ toàn cục sể trong X
đối với nửa nhóm đó.
Trong [11, Chương 2], lý thuyết cơ bản về sự tồn tại của tập hút toàn cục được
chứng minh, có thể bắt đầu ngắn gọn trong bổ đề sau.

Bổ đề 1.4. [11]

Giả sử {£ (í)}f

> 0

^

m
ộ
t n
^
a
nhóm trong không gian Banach X, có hai tính
chất sau:
i) Tồn tại một tập hấp thụ bị chặn B Q

с

X của {£ (í)}

í>0

,

và
ii) Во с

X của {5 (í)}f

> 0



là compact tiệm cận trong X.
Khi đó tồn tại một tập hút toàn cục sẩ của {5 (í)}f>

0

’

đó là tập со-giới hạn của B Q ,
ứ = to (Bo) -
f
n Clx u (S(t)B
0
).
T>0 T >T
Định lí sau đây được dùng để kiểm tra tính chất К

-co đối với nửa nhóm
W0

W
Ta dùng kí hiệu Q

(|и| > M ) =

{jc € : \ U

(x) I > M

}
và£2(|w| < M )

= { X

G £2 : M } ,

và dùng M

( • ) để kí hiệu độ đo Lebesgue
của tập con trong Q .
Định lí 1.3.1. [14]

Giả sử Y

=

L
2



(

Q)

hoặc H. Giả sử {£ (í)}í

> 0



là.
ni
^
a
nhóm trong
Y. Khỉ đó tồn tại một tập hút toàn cục sể trong Y đối với nửa nhóm này khỉ và chỉ
khỉ hai điều kiện sau được thỏa mãn:
i) Tồn tại một tập hấp thụ bị chặn B Q trong Y đối với nửa nhóm này.
ii)
Với
bất kì £ ^ 0, co CŨC hang Sỡ dĩ/ểớTiỊy ii/ — j Vß
T
—
T
Sữo
cho
/ \s (í) Wo 1
2

D X

< E V Ớ I

bất kì t > Г, Wo € B Q .
J C l( \S (t )w
0

\ >M )
và
K
( (
s
( t )
B
o ) n ( \ S ( t) w
0
\ <M ) )
0
k h i t
° °1
Ỏ đó
{S(í)£o)n(|s(

f

)

Wo

|<M)

ố
-{ (
s
ừ)

w

o) (•)

ỠM (•

;t ,w
0
) :

vớ i

Wo

€

Яо}

•

và 6

м
(x ;t
:
wo) là hàm đặc trưng của tập con

П

(\ s(t)

Wo

I <

M) .
1.4. Số chiều fractal và số chiều Hausdorff
Định nghĩa 1.4.1. [1]

Giả sử M là một tập compact trong X. Với số dương d và £
ta đặt
ịl {M ,d ,È ) = in f^ {rj)
d
,
ở đó inf

được lấy trên tất cả các phủ của M bởi các hình cầu có bấn kính ĩj <

£. Rõ
ràng ju(M,

d, E ) là một hàm đơn điệu đối với E. Do đó tồn tại
= lim

Ịi (M ,d ,e) = sup

e^o e-»0
Số chiều Hausdorff của tập hợp M được định nghĩa bởi
dim

H

M

= inf{ D

: Ị U ( M , D ) =

0}.
Đỉnh nghĩa 1.4.2. [1]

Giả sử M là một tập compact trong không gian metric X. Khi đó
số chiều fractal của M được định nghĩa bởi
dimpM = ffiS jggffig = ĩỉm
£ — > 0

log
2

(l/e) e- > 0

ln(l/e)
ở đó n (

M,

è) là số tối thiểu các hình cầu đóng bán kính £ cần dùng để phủ M.
V Í D Ụ

1.4.1. Giả sử M

là một đoạn thẳng có độ dài L .

Ta có
— 1 < N ( M , £ )

< ——Ị-1.
2

e
v
’
y
2

£

Do đó
1

I -

2

E

, . 1

I

+ 2

E
ln- + ln ——< Inn ( M .

e) < ln-+ ln ———.
£
2
£ 2
Từ đây, dim^ M =

1, tức là số chiều fractal của M

đũng bằnggiá trị của số
chiều hình học thông thường.
1.5. Một số bất đẳng thức thường dùng
Chúng ta nhắc lại một số bất đẳng thức sơ cấp nhưng rất quan trọng và
thường xuyên được sử dụng:
. , 1 1
• Bât đăng thức Young: Cho 1 < P , Q < ° ° , —

+ - = 1. Khi đó
p q
a
p
b
q
a b < — + —,

(a ,

b >

0

).
p q
• Bất đẳng thức Young với £ :
ab < £a
p
+ c(e)b
q
, (a,b,£ >

0

),
vớic(e) =

(e p) ~
q
/
p
q ~
l
.
• Bất đẳng thức Holder: Giả thiết 1 < P , Q < ° ° , —

+ - = 1. Khi đó nếu
p q
U

€ Ư

(n), V € Ư

(íl) thì ta có:
J

\ U V \ D X

<

||m||^
(q)
.||v||
L9(íì)
.
• Bất đẳng thức Gronwall: Giả sử X ( T )

là một hàm liên tục tuyệt đối trên [0

;T]
và thỏa mãn
dx
— < G { T ) X + H { T

), với hầu khắp T

,
A T

trong đó G ( T )

và H

(í) là các hàm khả tích trên [0; T ]

.

Khi đó
X ( T ) < X (

0

)e
G(,)
+ Í ' E

G

^ -

G Í

-

S )

H ( S ) D ( S ) ,

với 0

< T
<

r, ở đó
G(t)= í g(r)dr.
J
Q
Nói riêng, nếu A

và B

là các hằng số và
• Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho Ẹ

(T

) là một hàm khả tích, không
âm trên [0

; T

] và thỏa mãn với hầu khắp T

bất đẳng thức tích phân
Ẹ (t ) < C\ í Ẹ (

s)ds +

C2

,
J
o
với C

\, C2

là các hằng số không âm. Khi đó
1(0 <C
2
(1+Cif«
ci
') vớ i
hầu k hắp t, 0 < t < T.
• Bất đẳng thức Gronwall đều: Giả sử X , A V Ầ B

là các hàm dương thỏa mãn
dx
— <

ax + b, D T
với
J X (s)ds<X,J a(s)ds<Avầ Ị b(s)ds<B với r > 0 nào đó và
với mọi t > ÍQ. Khi đó
x( t) < + 5^ И
với mọi T > T O

+ R .