CÔNG THỨC mũ LOGARIT PHẦN 1

Toán Học 3[K] – Kiến Thức – Kỹ Năng – Kinh Nghiệm. [Thầy Lâm Phong]

69

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2015 - 2016:
CÔNG THỨC MŨ & LOGARIT - PHẦN 1

A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.HÀM SỐ MŨ: y = a
x

với a > 0 và a ≠ 1. (trong đó a gọi là cơ số, x gọi lại mũ )
_ Tập xác định
_ Tập giá trị
_ Hàm số luôn đồng biến trên R khi , luôn nghịch biến trên R khi
 Đồ thị minh họa: a > 1 0 < a < 1

2.HÀM SỐ LOGARIT: y = log

a
x với a > 0, a ≠ 1. ( trong đó a gọi cơ số )
_ Tập xác định
_ Tập giá trị
_ Hàm số luôn đồng biến trên R khi , luôn nghịch biến trên R khi
_ Logarit cũng có những dạng thông dụng như
 logarit thập phân: là logarit cơ số 10, thường được viết tắt là logb hoặc lgb
 logarit tự nhiên: là logarit cơ số e (e  2,718 > 1), viết tắt là lna ( đọc là log nepe a )
 Đồ thị minh họa: a > 1 0 < a < 1

3. Các công thức về MŨ ( với a > 0 và a ≠ 1
♥ a

m

. a
n

= ♥ a
m

.b
m

= ♥
a
m

a
n

= ♥ (a
m

)
n

=
♥
n
a
m

= ♥
n
ab = ♥
1
a
m

= ♥
n
a
m

=
♥
m
n
a = ♥ a
0

= ♥
n
a
n

= ♥
m
a =
4. Các công thức về LOGARIT ( với a,b,c > 0 và a ≠ 1 )
Toán Học 3[K] – Kiến Thức – Kỹ Năng – Kinh Nghiệm. [Thầy Lâm Phong]

70

♫ log

a
a
x

= x (x  R) ♫ log

a
1 = 0 ♫ log

a
a = 1 ♫ a
log

a
b

= b
♫ log

a
b + log

a
c = log

a

(bc) ♫ log

a
b - log

a
c = log

a

b
c
♫ a
log

b
x

= x
log

b
a


♫ log

a
b


=  log

a
b ♫ log

a


b =
1

log

a
b (b > 0,   R) ♫
1
log

a
b
= log

b
a
♫ log

a

1

b
= log

a
b
-1

= - log

a
b ♫ log

a

n
b = log

a
b
1
n

=
1
n
log

a
b (b > 0,   R*)
♫ log

c
b =
log

a
b
log

a
c
♫ log

a
c. log

c
b = log

a
b (b > 0, 0 < c ≠ 1)
5. Hệ quả từ định nghĩa hàm mũ và hàm logarit ( với a > 0 và a ≠ 1 )
☼ Nếu a > 1 thì a


< a


  <  ☼ Nếu 0 < a < 1 thì a


< a


  > 
☼ Cho 0 < a < b và m là số nguyên ta có:



a
m

< b
m

khi m > 0
a
m

> b
m

khi m < 0

☼ Nếu a > 1 thì log

a
b > log

a

c  b > c ☼ Nếu 0 < a < 1 thì log

a
b < log

a
c  b < c
☼ Nếu a > 1 thì log

a
b > 0  b > 1 ☼ Nếu 0 < a < 1 thì log

a
b > 0  b < 1
☼ Nếu a
m

= a
n

 m = n ☼ Nếu log

a
m = log

a
n  m = n
6. Công thức đạo hàm Mũ - Logarit.
đạo hàm của (a
u

)' = u'. a
u

.lna và đạm hàm của (log

a
u)' =
u'
u.lna


B - BÀI TẬP VẬN DỤNG
■ Bài 1A : Tính giá trị của các biểu thức sau :
A = (-1)
3

.




-7
8



3
.





-2
7



2
.(-7).




-7
14



B =
(-3)
2

.(-15)
6

.8
4

9

2

.(-5)
6

.(-6)
4

C = 4
3
2

+ 8
2
3


D = (-0,5)
-2

+ 625
0,25

+







-5
7



3



0
-



3
3
8



-1
3
E =
(-18)
7

.2
4

.(-50)

3

(-25)
4

.(-4)
5

(-27)
2

F =
125
6

.(-16)
3

.(-2)
3

25
3

.[(-5)
2

]
4

G =






1
81



-0,5
.
4
10
8

+ (0,01)
-1




-1
3
H =




(3
3
2

: 5
5
3

: 2
7
4

) : (16.5
-1
3

.2
-0,25

.3
-0,5

)



0,5

■ Bài 1B : Tính giá trị của các biểu thức sau :

 
 


 
   
 
3
0,75
5
2
3
4
4
1,5
3
2
2
3
31
2
1
53
2
0,75 0,5
3
3
1 1 2
1

1
2 3 5
1
2
0,25 -0,25
3
11
0,25 2 0,125 3 0,04
16 81
11
0,001 81 3 64 36
32 125
1 1 1
2 8 625 8. 2 625
4 27 32
IJ
KL
MN
O






  


   
      

   
   
   
       
   
   
     
       
     
     

 
2
1
1
18
3
3 2 3 1 2 4
6
4
1
0,0001 64 0,2 .125 . 5 .(0,04)
125
P



  

  




■ Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau :
Toán Học 3[K] – Kiến Thức – Kỹ Năng – Kinh Nghiệm. [Thầy Lâm Phong]

71

I =



4
1
3

- 10
1
3

+ 25
1
3










2
1
3

+ 5
1
3




J =
5
4
4
64



3
2



4
: ( 32)
1
3

K =



5
81.
5
3.
5
9. 12



:






3
3



2
. 18.
5

27. 6



L =
2
3

.2
-1

+ 5
-3

.5
4

- (-0,01)
-2

.10
-2

10
-3

:10
-2

- (0,25)

0

+ 10
-2

(0,01)
-3




■ Bài 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a.
4
x
2

.
3
x ( x  0) b.
5
b
a
3
a
b
(a, b ≠ 0) c.
5
2
3

2 2
d.
3
2
3
3
3
2
2
3
e.
4
3
a
8

f.
5
b
2

b :
3
b b

■ Bài 4A: Đơn giản và rút gọn các biểu thức sau:
A =




4a - 9a
-1

2a
0,5

- 3.a
-0,5

+
a - 4 + 3a
-1

a
0,5

- a
-0,5




2
(a > 0, a ≠ 1, a ≠
3
2
) (ĐS: A = 9a)
B =




a
0,5

+ 2
a + 2a
0,5

+ 1
-
a
0,5

- 2
a - 1



.
a
0,5

+ 1
a
0,5

(Với a > 0)
C =




a
1
6

+ b
1
6









a
1
2

- b
1
2









a
1
3

- a
1
6

.b
1
6

+ b
1
3




(ĐS: C = a - b)
D =
a
-1

+ (b + c)
-1

a
-1

- (b + c)
-1

.



1 +
b
2

+ c
2

- a
2

2bc



(a + b + c)
-2

(ĐS: D =
1

2bc
)
E =



ab -
ab
a + ab



:
4
ab - b
a - b

F =



x
0,5

- y
0,5

xy
0,5

+ x
0,5

y
+
x
0,5

+ y
0,5

xy
0,5

- x
0,5

y



.
x
1,5

.y
0,5

x + y
-

2y
x - y


■ Bài 4B: Đơn giản và rút gọn các biểu thức sau:






 
12
3
4
33
55
41
5
33
44
2
31
33
3
2
33
4
44
21

5
3
3 1 2 3 2 1 2 3 4
9
3
3
3 1 3 2 3 1 6
31
23
31
a . .
=
ab
2 2 2 2 . 1
: . .
5 5 5 5
1
.
a a a
b b b
b b a
A B C
b b b
a a a
a a a a
D E F
bb
a
a
a







   
   




















  












Toán Học 3[K] – Kiến Thức – Kỹ Năng – Kinh Nghiệm. [Thầy Lâm Phong]

72


■ Bài 5: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. (4 + 15)( 10 - 6) 4 - 15= 2
b. 8 + 2 10 + 2 5 - 8 - 2 10 + 2 5 = 20 - 4 5
c. Cho a = x
2

+
3
x
4

y
2

+ y

2

+
3
y
4

x
2

. CMR : x
2
3

+ y
2
3

= a
2
3


d. Cho a = 1 - 2 và b = 1 + 2 . CMR:
a
-1

+ b
-1

a
-3

+ b
-3

:
(ab)
2

(a + b)
2

- 3ab
.



a
2

- b
2

ab



-1
=

1
4

e. Cho a = 2. CMR:



9 - 4a
-2

3a -
0,5

+ 2a
-1,5

-
1 + a
-1

- 6a
-2

a
-0,5

+ 3.a
-1,5




4
= 64.

■ *Bài 6: Không dùng máy tính cầm tay tính:
A =
33
847 847
66
27 27
  

B. Chứng minh rằng :
   
8
4
8
4
8
8
1
3 2 3 2 3 2
32
   



■ Bài 7: So sánh các cặp số sau:

a. 2
3
4

và 2
4
5

b.



2
3



3
5

và



2
3



1

2

c.




2



5
2

và




2



10
3

d. 3
500

và 2

750


■ Bài 8: So sánh các số sau với 1:
a. (2,7)
5

b.



4
5



2
3

c.



2
2



3
d.





2



1
3

■ Bài 9: Tính giá trị các biểu thức sau:
a. Cho
9 9 33
xx

. Tính giá trị biểu thức A =
33
xx

.
b. Cho
16 16 97
xx

. Tính giá trị biểu thức B=
44
xx

.

■ Bài 10: Tính giá trị các biểu thức sau:

   
3
9 9 9 1 1 1
3 3 3
36 1 1 3 2 1 9 4
64
3
1
log 15 log 18 log 10 2log 6 log 400 3log 45
2
1
log 2 log 3 log log 4.log 3 log log 8.log 3
2
AB
C D E
     
   

■ Bài 11: Tính giá trị các biểu thức sau:

9 2 5
125 7
4
77
3
69
1 1 1
log 4 log 3 3log 5

log 8 log 2
1 log 5
4 2 2
1
log 9 log 6
log 4
log 5 log 36
1 lg2
2
81 25 .49 B = 16 4
C = 72 49 5 = 36 10 3
A
D






  



  



(ĐS: A=19, B = 592, C = 45/2, D = 30)
■ Bài 12: Rút gọn các biểu thức sau:
Toán Học 3[K] – Kiến Thức – Kỹ Năng – Kinh Nghiệm. [Thầy Lâm Phong]

73

3
5
log
a
A a a a

2
3
5
log
a
B a a a a

53
32
1
4
C log
a
a a a
aa


3 27
3
1
log 2 log 3log 4

16
81D



5 2008
5
1
log 4 2log 3log 1
2
5E



1
1
log 2 log 3log 4 2
16
2
1
aa
a
F
a
  





■ Bài 13: Tính các giá trị logarit theo các giá trị logarit cho trước.
1. Cho
2
log 5a 
,
2
log 3b 
. Tính
2
log 45
.
2. Cho
3
log 5a 
,
2
log 3b 
. Tính
3
log 100
.
3. Cho
0,5
log 3a 
,
2
log 5b 
. Tính
2
log 0,3

.
4. Biết log
12
6 = a , log
12
7 = b. Tính log
2
7 theo a và b.
5. Biết log
2
14 = a. Tính log
49
32 theo a.
6. Biết
22
log 5 ;log 3ab
. Tính
3
log 135C 
.
7. Biết
27 8 2
log 5 ;log 7 ;log 3a b c  
. Tính
6
log 35D 
.
8. Biết
2
log 14 a

. Tính
49
log 32
.
■ Bài 14: Chứng minh rằng:
a. Chứng minh:
   
3
3 3 3 3
44
log 7 3 log 49 21 9 1    
.
b. Chứng minh:
10 10
log tan4 log cot4
=0.
c. Chứng minh:
 
ax
log log
log
1 log
aa
a
bx
bx
x




d. Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn :
22
7a b ab
. CMR:
ln ln
ln
32
a b a b

.
e. Chứng minh rằng:
  
log log 2 log log log 1 log
a b a ab b b
b a b b a a    

■ Bài 15: Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính
log
a
x
, biết
log 3;log 2
aa
bc  
:
1.
32
x a b c
2.

4
3
3
ab
x
c

3.
22
4
4
3
a bc
x
ab c


■ Bài 16: Tìm tập xác định các hàm số sau:
1. y =
1
x
x
e
e
2. y =
2
1
x
e 
3. y =

 
2
ln 3 2xx

5. y = log(
2
32xx
) 6. y =
 
 
2
ln 2 3x x x
7. y =










x
xx
31
132
log
2
2

■ Bài 17A: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y = (x + 2).e
x
2. y =
 
1 2 .3 2015
xx

3. y =
2014
1
x
e
x



4. y = 2
x
-
1
x
e 
5. y = ln(x
2
+ 1) 6. y =
ln
.
x

x
xe
x


7. y = (1+x)lnx 8. y =
2
.ln 1xx
9. y = 3
x
.log
3
x+3
■ Bài 17B: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y =
 
21
1
x
xe


2.
1 osx
.2
c
y x e


3.

234
x x x
y   

Toán Học 3[K] – Kiến Thức – Kỹ Năng – Kinh Nghiệm. [Thầy Lâm Phong]

74

4.
2
.ln 1y x x
5.
2
ln x
y
x

6. y =
23
log log 2xx

7.
2
3
9
log
5
x
y
x







8.
2 2 . osx
xx
yc
9.
3
2
ln lny x x

10.


22
ln 1y x x
11.
2
4
log
4
x
y
x







12.
xx
xx
ee
y
ee






■ Bài 18: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.
1. Cho hàm số y = e
sinx
. Chứng minh rằng: y’cosx – ysinx – y’’ = 0.
2. Cho hàm số y = ln(cosx). Chứng minh rằng: y’tanx – y’’ – 1 = 0
3. Cho hàm số y = ln(sinx). Chứng minh rằng: y’ + y’’sinx + tan
2
x
= 0.
4. Cho hàm số y = e
x
.cosx . Chứng minh rằng: 2y’ – 2y – y’’ = 0
5. Cho hàm số y = ln
2

x. Chứng minh rằng: x
2
.y’’ + x. y’ = 2
6. Cho hàm số
2
2
.
x
y x e


. Chứng minh rằng:
 
2
. ' 1x y x y
.
7. Cho hàm số
 
1
x
y x e
. Chứng minh rằng:
'
x
y y e
.
8. Cho hàm số
4
2
xx

y e e


. Chứng minh rằng:
''' 2 ' 12 0y y y  
.
9. Cho hàm số
.sinx
x
ye


. Chứng minh rằng:
'' 2 ' 2 0y y y  
.
10. Cho hàm số
2
1
.
2
x
y x e
. Chứng minh rằng:
'' 2 '
x
y y y e  
.
11. Cho hàm số
2

xx
y ae be


. Chứng minh rằng:
'' 3 ' 2 0y y y  
.
12. Cho hàm số
. osx
x
y e c


. Chứng minh rằng:
 
4
40yy
.
13. Cho hàm số
1
ln
1
y
x





. Chứng minh rằng:

. ' 1
y
x y e
.
14. Cho hàm số
   
sin ln os lnxy x c
. Chứng minh rằng:
2
. ' . '' 0y x y x y  
.
15. Cho hàm số
1
1 ln
y
xx


. Chứng minh rằng:
 
. ' ln 1x y y y x
.
16. Cho hàm số
  
2
1 2010
x
y x e  
. Chứng minh rằng:
 

2
2
2
'1
1
x
xy
y e x
x
  

.


CHÚC CÁC EM HỌC TẬP HIỂU QUẢ VÀ ĐẠT KẾT QUẢ CAO NHẤT TRONG
KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2015 - 2016
- FB : Phong Lâm Hứa.
Group Toán 3[K]

Toán Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thầy Lâm Phong
Thành công là làm việc chăm chỉ và luôn nghĩ đến những gì tốt đẹp nhất !


75

Một câu chuyện ngụ ngôn về cây bút chì
Người thợ làm bút chì nâng niu sản phẩm của mình trước khi cho nó vào hộp.
“Có 5 điều mày cần phải nhớ trước khi tao để mày bước vào thế giới hỗn độn ngoài kia - Ông nói với bút chì
- Lúc nào mày cũng phải nhớ và không bao giờ được quên những điều ấy, khi đó, mày mới trở thành một
cây bút chì đẹp nhất, hiểu không”.

1. “Thứ nhất, mày luôn có thể tạo ra những thứ rất
vĩ đại, nhưng chỉ khi nào mày nằm trong tay một
ai đó.”
2. “Thứ hai, mày phải liên tục chịu đựng những sự
gọt giũa rất đau đớn, nhưng hãy nhớ, tất cả đau
đớn ấy chẳng qua là để làm cho mày đẹp hơn mà
thôi.”
3. “Tiếp theo, mày phải nhớ lúc nào mày cũng có
thể sửa chữa những lỗi mà mày ghi ra.”
4. “Và một điều nữa, hãy biết phần quan trọng nhất
trên cơ thể của mày chính là phần ruột, phần bên
trong chứ không phải là lớp vỏ ngoài.”
5. “Cuối cùng, mày, bút chì, phải để lại vết chì của mày trên bất cứ bề mặt nào mà mày được sử dụng
để viết, và phải liên tục viết, bất kể chuyện khó khăn gì, được không?”.
Cây bút chì hiểu rõ những lời người thợ nói và nó tự hứa sẽ nhớ tất cả những điều ấy, và rồi, nó vào nằm
trong hộp để bước ra thế giới với những mục đích riêng mà nó đã định.
Bây giờ, hãy thử đặt chính bạn vào vị trí của cây bút chì xem. Lúc nào bạn cũng phải nhớ và không bao giờ
được quên những điều này, khi đó, bạn sẽ trở thành một con người vĩ đại cho mà xem.
 Thứ nhất, bạn có thể làm nên những chuyện vĩ đại, nhưng chỉ khi nào bạn biết đặt mình vào trong
vòng tay của đấng tạo hóa, hãy để cho mọi người được sử dụng những món quà mà tạo hóa ban cho
bạn.
 Thứ hai, bạn sẽ phải liên tục nếm trải những đau đớn và thất bại trong cuộc sống, nhưng có trải qua
ngần ấy gian khổ, bạn mới có thể mạnh mẽ hơn được!
 Cũng cần phải nhớ lúc nào bạn cũng có thể khắc phục những sai lầm trong quá khứ.
 Tiếp theo đó, bạn phải biết phần quan trọng nhất của cơ thể bạn không phải là ngoại hình mà là tấm
lòng bên trong của bạn.
 Còn điều cuối cùng, trên mọi ngả đường mà bạn đi qua, bạn hãy để lại những dấu ấn riêng của bạn và
trong bất cứ trường hợp nào, bạn cũng phải hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Hãy làm theo ngụ ngôn về bút chì, nó sẽ giúp cho bạn cảm thấy bạn đúng là một con người đặc biệt và chỉ
có bạn mới có thể hoàn thành được những trách nhiệm mà ngay từ khi sinh ra, bạn đã được giao phó.

Đừng bao giờ để mình bi quan và cũng đừng bao giờ cho rằng cuộc đời bạn thật tầm thường và rằng bạn
không thể thay đổi bất cứ thứ gì cả!
Trái tim có nắng ! - Kenh14.vn