Đáp án Toán chuyên vào lớp 10 2010 CĐ 2009 http://violet.vn/thayNSTHcoL
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (307.76 KB, 3 trang )
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN
NĂM HỌC 2010 – 2011
KHÓA NGÀY 21/06/2010
Đáp án : TOÁN
Câu
Hướng dẫn chấm Điểm
1
(4 đ)
Câu 1 : (4 điểm)
1) Giải hệ phương trình :
1
y 1
x 1
2
5y 3
x 1
+ =
+
+ =
+
1 2
3y 1
y 1 2y 2
x 1 x 1
2
2 2
5y 3
5y 3 5y 3
x 1
x 1 x 1
−
=
+ = − = −
+ +
⇔ ⇔
+ =
+ = + =
+
+ +
1
x
2
1
y
3
=
⇔
=
2) Giải phương trình:
2 2 2
(2x x) 2x x 12 0
− + − − =
Đặt t = 2x
2
– x, pt trở thành
t
2
+ t – 12 = 0
⇔
t = 3 hay t = – 4
t = 3
⇔
2x
2
– x = 3
⇔
x = – 1 hay x = 3/2
t = – 4
⇔
2x
2
– x = – 4 ( vơ nghiệm)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = – 1, x = 3/2
0,5x4
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2
(3 đ)
Câu 2 : (3 điểm)
Cho phương trình x
2
– 2(2m + 1)x + 4m
2
+ 4m – 3 = 0 (x là ẩn số) (*)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
(x
1
< x
2
) thỏa
1 2
x 2 x
=
∆
’ = (2m + 1)
2
– (4m
2
+ 4m – 3) = 4 > 0, với mọi m
Vậy (*) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
1 2
x 2m 1,x 2m 3
= − = +
1 2
x 2 x 2m 1 2 2m 3
= ⇔ − = +
7
m
2m 1 2(2m 3)
2
5
2m 1 2(2m 3)
m
6
= −
− = +
⇔
− = − +
= −
0
,5 đ
0
,5đ
0,5đ
1,5đ
3
(2 đ)
Câu 3 : (2 điểm)
Thu gọn biểu thức:
7 5 7 5
A 3 2 2
7 2 11
+ + −
= − −
+
Xét M =
7 5 7 5
7 2 11
+ + −
+
Ta có M > 0 và M
2
=
14 2 44
2
7 2 11
+
=
+
suy ra M =
2
A =
2 ( 2 1) 1
− − =
1
đ
1đ
tuoitre.vn
2
4 (4
ñ)
Caâu 4 : (4 ñieåm)
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp ñường tròn (O). Gọi P là ñiểm chính giữa
cung nhỏ AC. Hai ñường thẳng AP và BC cắt nhau tại M. Chứng minh rằng:
a)
ABP AMB
=
b) MA. MP = BA. BM
M
P
A
O
B
C
a)
1 1 1
( ) ( )
2 2 2
= − = − = =
AMB sñAB sñPC sñAC sñPC sñAP ABP
b)
= ⇒ = =
PA PC CAP ABP AMB
suy ra
CM = AC = AB
∆
MAC ~
∆
MBP (g – g)
. . .
⇒ = ⇒ = =
MA MC
MA MP MBMC MBAB
MB MP
2ñ
1ñ
1ñ
5
(3 ñ)
Caâu 5 : (3 ñieåm)
a)
Cho ph
ươ
ng trình: 2x
2
+ mx + 2n + 8 = 0 (x là
ẩ
n s
ố
và m, n là các s
ố
nguyên)
Gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình có các nghi
ệ
m
ñề
u là s
ố
nguyên. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: m
2
+ n
2
là h
ợ
p s
ố
.
G
ọ
i x
1
, x
2
là 2 nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
⇒
x
1
, x
2
nguyên,
1 2
m
x x
2
+ = −
, x
1
x
2
= n + 4
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
m n (2x 2x ) (x x 4) 4x 4x x x 16
+ = + + − = + + +
2 2
1 2
(x 4)(x 4)
= + +
x
1
2
+ 4, x
2
2
+ 4 là các số nguyên lớn hơn 1 nên m
2
+ n
2
là hợp số.
b) Cho hai số dương a, b thỏa a
100
+ b
100
= a
101
+ b
101
= a
102
+ b
102
. Tính P = a
2010
+
b
2010
Ta có 0 = a
100
+ b
100
– (a
101
+ b
101
) = a
101
+ b
101
– (a
102
+ b
102
) .
⇒
a
100
(1 – a) + b
100
(1 – b) = a
101
(1 – a) + b
101
(1 – b)
⇒
a
100
(1 – a)
2
+ b
100
(1 – b)
2
= 0
⇒
a = b = 1
⇒
P = a
2010
+ b
2010
= 2
0,5ñ
0,5ñ
0
,5ñ
1ñ
0,5ñ
6 (2ñ)
Caâu 6 : (2 ñieåm)
Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = 2a. Gọi (O) là ñường tròn tâm O
bán kính a. Tìm ñiểm M thuộc (O) sao cho MA + 2MB ñạt giá trị nhỏ nhất.
tuoitre.vn
3
F
E
B
A
C
O
D
M
Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D với C là trung ñiểm của OA. Gọi E là trung
ñiểm của OC.
* Trường hợp M không trùng với C và D: Hai tam giác OEM và OMA ñồng dạng
(
OM 1 OE
MOE AOM,
OA 2 OM
= = = ).
⇒
ME OM 1
AM OA 2
= =
⇒
MA = 2EM
* Tr
ườ
ng h
ợ
p M trùng v
ớ
i C: MA = CA = 2EC = 2EM
* Tr
ườ
ng h
ợ
p M trùng v
ớ
i D: MA = DA = 2ED = 2EM
V
ậ
y luôn có MA = 2EM
MA + 2MB = 2(EM + MB)
≥
2EB = h
ằ
ng s
ố
.
D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi M là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñ
o
ạ
n BE v
ớ
i
ñườ
ng tròn (O).
V
ậ
y MA + 2MB nh
ỏ
nh
ấ
t khi M là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñ
o
ạ
n BE v
ớ
i
ñườ
ng tròn (O).
1ñ
0
,5 ñ
0,5ñ
7(2ñ)
Caâu 7 : (2 ñieåm)
Cho a, b
là cá
c s
ố
d
ươ
ng
thỏ
a
2 2 2
a 2b 3c
+ ≤
. Ch
ứ
ng minh
1 2 3
a b c
+ ≥
.
Ta có
1 2 9
(1) (a 2b)(b 2a) 9ab
a b a 2b
+ ≥ ⇔ + + ≥
+
2 2 2
2a 4ab 2b 0 2(a b) 0
⇔ − + ≥ ⇔ − ≥
(
Đ
úng)
2 2 2 2 2
a 2b 3(a 2b ) (a 2b) 3(a 2b )
(2)
+ ≤ + ⇔ + ≤ +
2 2 2
2a 4ab 2b 0 2(a b) 0
⇔ − + ≥ ⇔ − ≥
(Đúng)
Từ (1) và (2) suy ra
2 2
1 2 9 9 3
a b a 2b c
3(a 2b )
+ ≥ ≥ ≥
+
+
( do a
2
+ 2b
2
≤
3c
2
)
0,5 ñ
0
,5ñ
1ñ
tuoitre.vn
