Phương pháp tìm GTLN GTNN

THCS Hội An Đông
A MỞ ĐẦU
Các bài toán về cực trị đại số ở cấp 2 có ý nghĩa rất quan trọng đối với học sinh ở bậc
học này .Để giải các bài toán cực trị đại số , tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của
biểu thức đại số người làm toán phải sử dụng các phép biến đổi đồng nhất các biểu
thức đại số , phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng hằng đẳng thức từ các dạng
đơn giản đến các dạng phức tạp .Bởi thế , có thể nói các bài toán cực trị đại số ở cấp
2 tạo ra khả năng giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kỹ năng biến đổi đồng nhất các
biểu thức đại số.
Các bài toán cực trị đại số ở chương trình toán cấp 2 có sự liên quan mật thiết đến các
kiến thức chứng minh bất dẳng thức , các bài toán giải phương trình và hệ phương
trình , các kiên thức về tập hợp về hàm số và đồ thị hàm số.
Về mặt tư tưởng bài toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực
tế của đời sống xã hội , rèn luyện nếp nghĩ khoa học , luôn mong muốn những công
việc đạt hiệu quả cao nhất , tốt nhất .
Tóm lại các bài toán cực trị trong đại ở chưong trình toán cấp 2 là các bài toán tổng
hợp các kiến thứcvà kỹ năng tính toán rèn khả năng tư duy cho học sinh , nó có một
vai trò quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi .Bồi dưõng HS thi vào các
trường chuyên , thi vào cấp 3.
B NỘI DUNG:
I. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách
đưa về dạng A
x

≥
0 hoặc A
x

≤
0
a, Cơ sở lý luận

- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ
nhất .
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm thì số 0 có giá trị lớn nhất .
- Từ đó ta có kết luận : Nếu M = A
x
/ A
x

≥
0 thì GTNN của A
x
= 0

Nếu M = A
x
/ A
x

≤
0 thì GT LN của A
x
= 0
b, Các ví dụ .
Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A
x
= 2x
2
– 8x +1 với x là số thực bất kỳ .

Lời giải : Ta có A
x
= 2x
2
– 8x +1 = 2( x- 2 )
2
– 7 Ta có với mọi x thì
(x- 2 )
2
≥
0 Nên ta có 2( x- 2 )
2
– 7
≥
-7 .
Vậy A
x
đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7 khi x=2
Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M
x
= - 5x
2
– 4x + 1 với x là số thực bất kỳ .
Lời giải: Ta có M
x
= - 5x
2
– 4x + 1 = -5 ( x +

5
2
)
2
+
5
9

Tư liệu giáo viên
1
THCS Hội An Đông
Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 ( x +
5
2
)
2

≤
0 . Vậy M
x

≤
5
9
(dấu = xảy ra khi x =
-
5
2
. Ta có GTLN của M
x

=
5
9
với x = -
5
2
.
II . Phương pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng
cách đưa về dạng
0
2
≥
k
Ax
hoặc
0
2
≤
k
Ax
Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
x
=
x
xx
3
1615
2

++
Vói x là các số thực dương .
Lời giải: Ta có A
x
=
x
xx
3
1615
2
++
=
3
23
3
)4(
2
+
−
x
x
với mọi x >0 thì
3
23
3
)4(
2
+
−
x

x
≥
3
23
. Vậy GTNN của A
x
=
3
23
với x= 4.
Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M
x
=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
với x thuộc tập hợp số thực.
Lời giải:Ta có M
x
=
32
1063
2

2
++
++
xx
xx
= 3 +
2)1(
1
2
++x
. Vì
2)1(
1
2
++x
≤
2
1
nên ta có
M
x
= 3 +
2)1(
1
2
++x

≤
3 + 0,5 = 3,5 . Vậy GTLN M
x

= 3,5 với (x+1)
2
= 0 hay x= -1
Ví dụ 5:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
F
x,y
=
22
1)(
2442
222
+++
+−+
xyyx
xyyxy
với x, y là các số thực.
Lời giải:Ta có F
x,y
=
22
1)(
2442
222
+++
+−+
xyyx
xyyxy
=
)2)(1(

1
24
4
++
+
xy
y
vì y
4
+1
≠
0 với mọi giá trị
của x nên ta chia cả tử và mẫu cho y
4
+1 ta được : F
x,y
=
2
1
2
+x
vì x
2

≥
0 với mọi x nên
x
2
+ 2
≥

2 với mọi x ,và do đó ta có F
x,y
=
2
1
2
+x

≤
2
1
Vậy F
x,y
dật GTLN =
2
1
với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý.
III. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.
1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dương a,b, c ta có:
a + b
ab2≥
đạt được dấu = khi a=b .
a + b+ c
abc3≥
đạt được dấu = khi a=b = c .
Tư liệu giáo viên
2
THCS Hội An Đông
2. Các ví dụ :
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A
x
=
x
x 28
2
+
với x > 0.
Lời giải:Ta có A
x
=
x
x 28
2
+
= 8x +
x
2
. Ta thấy 8x và
x
2
là hai đại lượng lấy giá trị
dương áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là 8x và
x
2
ta có:
8x +
x
2
8162

2
.82 ==≥
x
x
dấu = xẩy ra khi 8x =
x
2
= > x =
2
1
.
Vậy GTNN A
x
= 8 với x =
2
1
.
Ví dụ 7 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B
x
= 16x
3
- x
6
với x thuộc tập hợp các số thực dương .
Lời giải: Trước hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng được bất đẳng thức Côsi ta
có
B
x

= 16x
3
- x
6
= x
3
(16- x
3
) . Ta có x
3
> 0 , còn 16 – x
3
> 0 khi 16 > x
3
hay x <
3
16
(*)
ta thấy x
3
và 16 – x
3
là hai đại lượng dương . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số
dương x
3
và 16- x
3
ta có 2
1616)16(
3333

=−+≤− xxxx
suy ra x
3
( 16 – x
3
)
≤
64 dấu =
xẩy ra khi x
3
= 16- x
3
=> x = 2 (Thoả mãn *). GTLN của B
x
= 64 , với x=2.
IV. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp đặt ẩn phụ :
Ví dụ 8 :
Với giá trị nào của x thì biểu thức
P
x
=
52
3568056164
2
234
++
++++
xx
xxxx
đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải: Ta có : P
x
=
52
3568056164
2
234
++
++++
xx
xxxx
= 4x
2
+ 8x+ 20 +
52
256
2
++ xx

Vì x
2
+ 2x +5 = (x+1)
2
+4 > 0 (*) nên P
x
luôn xác định với mọi x ta đặt
y = x
2
+ 2x + + 5 , ta có P
x

= 4y +
y
256
với y > 0 , ta thấy 4y và
y
256
là hai đại lượng
luôn dương .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 4y và
y
256
ta có :
4y +
y
256
6416.2.2
256
.42 ==≥
y
y
. Dấu = xẩy ra khi 4y =
y
256
=> y = 8 hoặc y = -8
từ đó tính được x= -3 hoặc x=1. Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của P
x
= 64.
Ví dụ 9 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Q
x

= (x
2
- 2x + 2)(4x- 2x
2
+ 2) với x thuộc tập hợp các số thực.
Lời giải: Đặt x
2
- 2x +2 = y ta có 4x – 2x
2
+ 2 = -y +6 . Vậy Q
x
= y ( 6- 2y).
Ta có 2Q
x
= 2y(6-2y) , ta thấy x
2
- 2x+2 = (x- 1)
2
+1 >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y<3
Tư liệu giáo viên
3
THCS Hội An Đông
Vậy 2y và 6-2y là hai số dương .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 2y và
6-2y ta có : 2y + 6-2y
)26(22 yy −≥
=> 3
≥
)26(2 yy −
=> 9
≥

2 Q
x
dấu = xẩy ra
khi
2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x
2
- 2x +2 = 1,5 => x = 1+
2
2
hoặc x= 1 -
2
2
.Vậy GTLN của Q
x
= 4,5 với x = 1+
2
2
hoặc x= 1 -
2
2
.
Ví dụ 10 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
H
x
= (8 + x
2
+ x )(20 – x
2
–x) với x là các số thực tuỳ ý .

Lời giải: Ta có : * 8+ x
2
+ x =( x+
2
1
)
2
+
4
31
>0 với mọi giá trị của x
*20 – x
2
–x > 0 khi -5 < x < 4 .
Như vậy H
x
= (8 + x
2
+ x )(20 – x
2
–x) >0 khi -5 < x <4 . Từ đó suy ra H
x
có giá trị
lớn nhất thì GTLN đó chỉ đạt ở trong khoảng xác định (-5 ; 4).
Với -5 <x <4 ta có 8+ x
2
+ x và 20 – x
2
–x luôn dương . áp dụng bất đẳng thức Côsi
cho hai đại lượng dương 8+ x

2
+ x và 20 – x
2
–x ta có :
(8+ x
2
+ x )+( 20 – x
2
–x)
)20)(8(2
22
xxxx −−++≥
 14
)20)(8(
22
xxxx −−++≥
=> 196
≥
(8 + x
2
+ x )(20 – x
2
–x) .Dấu = xẩy
ra khi 8+ x
2
+ x =20 – x
2
–x => x= 2 hoặc x= -3.
Hay H
x

≤
196 .Vậy GTLN của H
x
= 196 ,với x=2 hoặc x = -3.
V. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức chứa nhiều đại lượng .
Ví dụ 11 :
Tìm giá trị của m, p sao cho A = m
2
– 4mp + 5p
2
+ 10m – 22p + 28 đạt giá trị nhỏ
nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .
Lời giải:
Ta có A = m
2
– 4mp + 5p
2
+ 10m – 22p + 28 = ( m – 2p)
2
+ ( p – 1)
2
+27 + 10(m – 2p)
Đặt X = m-2p ta có A = X
2
+ 10 X +( p-1)
2
+ 27 = (X+5)
2
+ (p-1)

2
+ 2 .
Ta thấy (X+5)
2

≥
0 ; (p-1)
2

≥
0 với mọi m, p do đó A đạt GTNN khi X+ 5=0 và p-1=0.
Giải hệ điều kiện trên ta được p= 1 , m= -3 .Vậy GTNN của A = 2 với p= 1, m=-3
Ví dụ 12 :
Tìm giá trị của x, y sao cho F = x
2
+ 26y
2
– 10xy +14x – 76y + 59. đạt giá trị nhỏ
nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải:
Ta có F = x
2
+ 26y
2
– 10xy +14x – 76y + 59 = ( x-5y)
2
+ (y-3)
2
+14(x-5y)+50.
Đặt ẩn phụ : Z = x-5y ta có F = (Z+7)

2
+ (y- 3)
2
+1
≥
1.
Dấu = xẩy ra khi Z+7=0 và y-3 = 0 giả hệ điều kiện trên ta được x=8 y= 3 .Vậy
GTNN của F = 1 với x=8, y=3 .
Ví dụ 13 :
Tìm giá trị của x, y,z sao cho P = 19x
2
+54y
2
+16z
2
-16xz – 24yz +36xy +5. Đạt giá
trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Tư liệu giáo viên
4
THCS Hội An Đông
Lời giải:
Ta có P = 19x
2
+54y
2
+16z
2
-16xz – 24yz +36xy +5 = ( 9x
2
+ 36xy + 36y

2
) + (18y
2
-
24yz +8z
2
) + (8x
2
– 16xz + 8z
2
) + 2x
2
+ 5 hay
P = 9(x+2y)
2
+ 2(3y – 2z)
2
+ 8(x- z )
2
+ 2x
2
+ 5 .Ta thấy (x+2y)
2

≥
0 ;
(3y – 2z)
2
≥
0; (x- z )

2

≥
0; 2x
2

≥
0 với mọi giá trị của x, y, z .
Vậy GTNN của P = 5 đạt được khi x+2y = 0 và 3y- 2z =0 và x- z =0 và x=0 . Giải hệ
phương trình trên ta được x= y =z = 0 .
VI. Tìm GTLN,GTNN bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Buanhiacôpski.
*Bất đẳng thức Buanhiacôpski.
( a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
n
b
n
)
2

≤
(a
1

2
+ a
2
2
+ +a
n
2
)(b
1
2
+ b
2
2
b
n
2
)
Dấu bằng xẩy ra khi
n
n
b
a
b
a
b
a
===
2
2
1

1
*Các ví dụ :
Ví dụ 14 : Tìm các giá trị của x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất .
P = x
2
+ y
2
+z
2
. Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết : x+y+z = 1995.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 1, 1, 1 và x, y, z ta có :
(x.1 + y.1 + z.1)
2

≤
(1 + 1+ 1)(x
2
+ y
2
+ z
2
)
Hay : ( x + y +z )
2

≤
3.(x
2
+ y

2
+ z
2
) . Từ đó ta có :
P = x
2
+ y
2
+ z
2

≥
3
1995
3
)(
22
=
++ zyx
( Vì theo giả thiết x+ y +z =1995).
Vậy GTNN của P =
3
1995
2
dấu = xẩy ra khi x =y =z kết hợp với giả thiết x + y +z =
1995 .Ta có x= y =z =665.
Ví dụ 14 :
Cho biểu thức Q =
zyx .542 ++
. Trong đó x,y,z là các đại lượng thoả mãn điều kiện

x
2
+ y
2
+ z
2
= 169.Tìm GTLN của Q.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 2, 4,
5
và x, y, z ta có :
(2x + 4y +
5
z)
2

≤
{ 2
2
+ 4
2
+ (
5
)
2
}( x
2
+ y
2
+ z

2
) .
Hay Q
2

≤
{ 2
2
+ 4
2
+ (
5
)
2
}( x
2
+ y
2
+ z
2
) vì x
2
+ y
2
+ z
2
= 169 nên Q
2

≤

25.169.
Vậy GTLN của Q= 65 , dấu = xẩy ra khi
5
42
zyx
==
và x
2
+ y
2
+ z
2
= 169 từ đó tìm
được x =
5
26
;
5
26
−
. y=
.
5
52
;
5
52
−
z =
5

513
;
5
513
−
VII. Các bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho biểu thức : Q =
544
3
2
+− xx
. Tìm GTLN của Q.
Bài 2: Biểu thức : P =
2
12
2
+
+
x
x
có giá trị lớn nhất không ?
Hãy chứng tỏ khẳng định của mình.
Tư liệu giáo viên
5
THCS Hội An Đông
Bài 3: Cho biểu thức : A =
12
1
2
2

++
++
xx
xx
. Với x
≠
-1 , x >0 .Hãy tìm GTNN của A.
Bài 4: Cho biểu thức : B=
126
146
2
2
+−
+−
xx
xx
. Tìm GTLN của B.
Bài 5: Cho biểu thức: F =
x
xx
3
1615
2
++
. Với x >0. Hãy tìm GTNN của F.
Bài 6: Cho biểu thức: A =
4
2
1 x
x

+
. Hãy tìm GTLN của A.
Bài 7: Cho biểu thức: Y =
x
xx )8)(2( ++
. Với x > 0 . Hãy tìm GTNN của Y.
Bài 8: Cho biểu thức: Y =
1
122
23
−
−−+
x
xxx
. Tìm GTNN cua Y.
VIII. Hướng dẫn giải và đáp số :
Bài 1:Ta có : Q =
4
3
4)12(
3
2
≤
+−x
. Vậy GTLN của Q =
4
3
, với x= 0,5.
Bài 2: Ta có P = 1 -
2

)1(
2
2
+
−
x
x
. Vì
2
)1(
2
2
+
−
x
x
≥
0 với mọi x nên P
≤
1. Vậy GTLN của P= 1
khi x=1.
Bài 3:Ta có : A= 1 -
2
1
1
++
x
x
. Để A đạt giá trị nhỏ nhất khi
2

1
1
++
x
x
đạt GTLN muốn
vậy x+
x
1
+ 2 phải đạt GTNN. Mà x> 0 nên
x
1
> 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai
số dương x và
x
1
ta có : x +
x
1
x
x
1
.2≥
= 2 .Dấu = xẩy ra khi
x =
x
1
=> x= 1; x = -1 (Loại ).
Vậy GTNN của A = 1 -
4

3
4
1
=
, với x= 1.
Bài 4: Ta có : B=
126
146
2
2
+−
+−
xx
xx
= 1+
3)3(
2
2
+−x
. Ta thấy B có GTLN thì
3)3(
2
2
+−x

phải đạt giá trị lớn nhất , và do đó (x-3)
2
+ 3 phải đạt giá trị nhỏ nhất .
Ta có (x- 3)
2

+ 3
≥
3 với mọi x . Vậy GTLN của B =
3
5
, với x = 3.
Bài 5: Ta có F =
x
xx
3
1615
2
++
. Với x >0 chia tử cho mẫu ta có F =
5
3
16
3
++
x
x
vì x > 0
Nên
3
x
> 0;
x3
16
> 0 . áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
3

x
+
x3
16
x
x
3
16
3
2≥
=
3
8
; Dấu =
xẩy ra khi x = 4. Vậy GTNN của F = 5 +
3
8
=
3
23
; với x = 4.
Tư liệu giáo viên
6
THCS Hội An Đông
Bài 6: Ta có : A =
4
2
1 x
x
+

với x
≠
0 thì A =
2
2
1
1
x
x
+
. A đạt GTLN khi
2
1
x
+ x
2
nhỏ
nhất , ta thấy x
2
và
2
1
x
là hai số dương nên theo bất đẳng thức Côsi ta có:
x
2
+
2
1
x

2
2
1
.2
x
x≥
= 2 . Dấu = xẩy ra khi x
4
= 1 => x= 1; x = -1.
Vậy GTLN của A =
2
1
, với x= 1; x = -1.
Bài 7: Ta có : Y =
x
xx )8)(2( ++
. Với x > 0 Y = x +
x
16
+ 10
x
x
16
.2≥
+ 10 = 18
( Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x và
x
16
). Dấu = xẩy ra khi x = 4.

Vậy GTNN của Y = 18; với x = 4 .
Bài 8: Ta có : Y =
1
122
23
−
−−+
x
xxx
( với x
≠
1) Y = ( x +
2
3
)
2
-
4
5
4
5
−≥
.
Dấu = xẩy ra khi x = -
2
3
.
Vậy GTNN của Y = -
4
5

; với x = -
2
3
.
Tư liệu giáo viên
7