Đề thi OLYMPIC Hà Nội Amsterdam năm 2011 Toán 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam


KỲ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM
MÔN TOÁN LỚP 11
Ngày thi : 25/03/2011
Thời gian : 180 phút
Bài 1 (4 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức:
3
2
1
10 70 20
2
n
n
n
n
n.C
C .
n
-
-
-
- - = -
-

Giải phương trình
( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 2 3 3 2

1 1 2 1 3 1
n n n
n n
n n n n
C x x C x x C x x nC x n .
- - -
- + - + - + + =
Bài 2 (4 điểm). Cho tam giác ABC có số đo các góc A, B, C theo thứ tự trên tạo
thành một cấp số nhân có công bội là 2. Tính giá trị của tổng
4 4 4
T sin A sin B sin C.
= + +
Bài 3 (4 điểm). Tìm các giá trị của
a
và
b
sao cho hệ phương trình sau có nghiệm
duy nhất:
2
sin 1
.
1 0
a bx
x ax
+ £
ì
í
+ + £
î

Bài 4 (4 điểm). Cho hai dãy số nguyên dương
{
}
{
}
n n
x , y
thoả mãn các điều kiện
1 1 2 2
2 2
2 1 2 1
1
; , víi
*
n n n n n n
x ,y ,x ,y
x x x y y y n
+ + + +
>
ì
ï
í
= + = + Î
ï
î
¥

Chứng minh rằng với giá trị n đủ lớn thì
n n
x y

>
.
Bài 5 (4 điểm). Cho hai đường chéo nhau
x
và
.
y
Một mặt phẳng
(
)
a
cố định cắt
x
và
y
lần lượt ở
A
và
.
B
Hai điểm
M
và
N
tương ứng di động trên hai đường
thẳng
x
và
y
sao cho luôn có

MN
song song với mặt phẳng
(
)
.
a
Tìm vị trí của
M

và
N
sao cho độ dài
MN
ngắn nhất.
HẾT