Đề thi HSG Hà Nội các năm gần đây

SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1995-1996
Môn thi: Toán 12 (vòng1)
Ngày thi:23-12-1995
Thời gian làm bài:180 phút
Bài I
Xét đường cong:
3 2
y mx nx mx n= − − +
(C)
Tìm các cặp số (m; n) sao cho trong các giao điểm của (C) với trục hoành có hai giao điểm
cách nhau 1995 đơn vị và khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến trục hoành là 2000 đơn vị.
Bài II
Với những giá trị nào của m thì trong khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
ta luôn có:
3 2 2
sin 2 os 3 sin osm mc m c
α α α α
+ ≤
Bài III
Cho hai dãy số
( )
n
a
và

( )
n
b
trong đó với mọi i = 1, 2, 3… ta luôn có:
3
1
4
i
i i
a
a a
+
= −
và
i i
b a=
Chứng minh rằng: có ít nhất một giá trị của
i
a
sao cho dãy
( )
n
b
có giới hạn khác 0.
Bài IV
Cho hình Elíp
2 2
2 2
1
x y

a b
+ =
với tâm O và các tiêu điểm
1 2
,F F
. Qua O,
1
F
vẽ các đường
song song MOM', MF
1
N'. Tính tỉ số:

1 1
. '
. '
OM OM
F N F N
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1996-1997
Môn thi: Toán 12 (vòng1)
Ngày thi:21-12-1996
Thời gian làm bài:180 phút
Bài I
Cho dãy
( )
n
x
xác định bởi điều kiện:
x

1
= a ;
2
1
3
4
n n n
x x x
+
− + =
; ( n = 1; 2; 3…)
Tìm giá trị của a sao cho: x
1996
= x
1997
Bài II
Hàm số f(x) được xác định bằng hệ thức:
2
(1 ) 2 ( ) sinf x f x x− + =
Chứng minh rằng:
2
sinf(x)
2
p
Bài III
Cho phương trình:
( )
3 2
os2x+ m+3 os2 =8sin 2 os 2 sin +m+4c c c x m
α α α

− +
Hãy xác định giá trị của m sao cho với mọi giá trị của
α
thì phương trình có nghiệm.
Bài IV
Trên mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy, cho các điểm A(-1; 0); B(2; 0);
H(-2; 0); và M(-1; -0,6). Kẻ đường thẳng
( )
∆
vuông góc với AB tại H và đường tròn (C)
nhận AB làm đường kính.
Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn tiếp xúc với
( )
∆
và tiếp xúc trong với (C) sao cho điểm
M nằm ở bên ngoài đường tròn (I).
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1997-1998
Môn thi: Toán 12 (vòng1)
Ngày thi:25-12-1997
Thời gian làm bài:180 phút
Câu 1 (5 điểm):
Cho hàm số
( )
2
2
x
e
f x
e e

=
+
1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
ln 2;ln 5
 
 
2. Tính tổng
1 2 3 1996 1997
( ) ...
1998 1998 1998 1998 1998
S f f f f f
       
= + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Câu 2 (5 điểm):
Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm:
( )
( )
( )
2
4
2 sin 1
2
1
3 log 4 6 3 log 0
2 sin 1 1
x x
x a
x x

x a
π π
− −
− − +
+ + + =
− + +
Câu 3 (5 điểm):
Cho
1 2 3 4
, , ,
6 4
x x x x
π π
≤ ≤
Chứng minh rằng:
( )
( )
2
1 2 3 4
1 2 3 4
4 3 1
1 1 1 1
cotgx cotgx cotgx cotgx
cotgx cotgx cotgx cotgx
3
+
 
+ + + + + + ≤
 ÷
 

Câu 4 (5 điểm):
Trong hệ toạ độ trực chuẩn xOy cho đường thẳng (d) có phương trình:
3 17
4 12
y x= +
1. Tìm điểm M(a; b) với
,a b Z∈
sao cho khoảng cách từ M tới (d) nhỏ nhất và độ dài đoạn
OM ngắn nhất.
2. Cho đường tròn (C) tâm M(-2; 0) tiếp xúc với Oy.
Tìm tập hợp tâm các đường tròn tiếp xúc với Ox và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1998-1999
Môn thi: Toán 12
Ngày thi:9-12-1998
Thời gian làm bài:180 phút
Câu 1 (5 điểm):
Cho họ đường cong (C
m
):
3 2
3 4y x x mx m= − + + −
( m là tham số)
Đường thẳng (d): y=3-x cắt một đường cong bất kỳ (C) của họ (C
m
) tại 3 điểm phân biệt A,
I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tyuến tại B của (C) lần lượt cắt đường cong tại điểm
thứ hai là M và N. Tìm m để tứ giác AMBN là hình thoi.
Câu 2 (5 điểm):

Giải hệ phương trình:
( )
6 4
sinx
siny
10 x 1 3 2
5
;
4
x y
e
y
x y
π
π
−

=



+ = +





p p
Câu 3 (5 điểm):
Chứng minh bất đẳng thức:

1 1 1
2
1 os4a 1 os8a 1 os12ac c c
+ +
+ + −
f
Với
a∀
làm vế trái có nghĩa.
Có thể thay số 2 ở vế phải bằng một số vô tỷ để có một bất đẳng thức đúng và mạnh hơn
không?
Câu 4 (5 điểm):
Cho 2 đường tròn thay đổi (C) và (C') luôn tiếp xúc với một đường thẳng lần lượt tại 2 điểm
A và A' cố định. Tìm quỹ tích giao điểm M của (C) và (C') biết rằng chúng luôn cắt nhau dưới
một góc
α
cho trước (
α
là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đường tròn tại M ).
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1999-2000
Môn thi: Toán 12
Ngày thi:11-12-1999
Thời gian làm bài:180 phút
Câu 1 (5 điểm):
Cho hai hàm số
( )
1
x
f x

x
=
+
và
( ) arctgxg x =
1. Cmr: đồ thị của chúng tiếp xúc nhau.
2. Giải bất phương trình:
( ) ( )f x g x x≥ +

Câu 2 (5 điểm):
Cho tam giác ABC thoả mãn:
( )
( )
( )
2 2 2
2
3
4
cot cot cot
3 cot cot cot 2 2 2
a b c
m m m
A B C
abc g g g
gA gB gC
+ +
=
+ +
Cmr: tam giác ABC đều.
Câu 3 (5 điểm):

Tìm tham số a sao cho phương trình:
( )
( )
( )
2 2
1
2
4 4
log 5 10 34 2 0
4 2 2 2 4
a
x a x a
x x a x a
π
π
π π π
π π
 
+ +
− − + − − − + + =
 ÷
 ÷
− − − − +
 
có ít nhất một nghiệm nguyên.
Câu 4 (5 điểm):
Trong hệ toạ độ trực chuẩn Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:
2 2
4x y+ =
1. Tìm tham số m để trên đường thẳng y=m có đúng 4 điểm sao cho qua mỗi điểm có 2

đường thẳng tạo với nhau góc 45
0
và chúng đều tiếp xúc với đường tròn (C).
2. Cho 2 điểm A(a;b), B(c;d) thuộc đường tròn (C) chứng minh:
4 3 4 3 4 3 6a b c d ac bd− − + − − + − − ≤
.