Đề thi OLYMPIC Hà Nội Amsterdam năm 2011 Toán 11 Chuyên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam


KỲ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM
MÔN TOÁN CHUYÊN LỚP 11
Ngày thi : 25/03/2011
Thời gian : 180 phút
Bài 1 (4 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức:
3
2
1
10 70 20
2
n
n
n
n
n.C
C .
n
-
-
-
- - = -
-

Giải phương trình
( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 2 3 3 2

1 1 2 1 3 1
n n n
n n
n n n n
C x x C x x C x x nC x n .
- - -
- + - + - + + =
Bài 2 (4 điểm). Cho dãy số
0
2
1
3
2
n n
x
x x , n
+
=
ì
ï
í
= - Î
ï
î
¥
. Tìm giới hạn
2
0 1 2
n
n

lim x x x x
.
Bài 3 (4 điểm). Cho hai dãy số nguyên dương
{
}
{
}
n n
x , y
thoả mãn các điều kiện
1 1 2 2
2 2
2 1 2 1
1
; , víi
*
n n n n n n
x ,y ,x ,y
x x x y y y n
+ + + +
>
ì
ï
í
= + = + Î
ï
î
¥

Chứng minh rằng với giá trị n đủ lớn thì

n n
x y
>
.
Bài 4 (4 điểm). Cho tam giác ABC nhọn và đường cao AH, (
H BC
Î
). Điểm P di
chuyển trên đoạn AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC.
a. Chứng minh rằng B, E, F, C nằm trên đường tròn tâm O’.
b. Chứng minh rằng đường thẳng PO’ luôn luôn đi qua một điểm cố định khi P di
chuyển trên đoạn AH.
Bài 5 (4 điểm). Có hai cọc tiền xu, một cọc có n đồng tiền và một cọc có k đồng tiền (
với n, k là các số nguyên dương). Một Rôbôt tự động chuyển tiền xu từ cọc này sang cọc
kia theo quy luật sau: Nếu một cọc có số tiền chẵn thì chuyển một nửa số tiền từ cọc đó
sang cọc kia (nửa số tiền còn lại vẫn ở cọc tiền cũ); khi hai cọc đều có số tiền chẵn thì
Rôbốt chọn ngẫu nhiên một cọc và cũng chuyển như trên. Quá trình trên kết thúc nếu số
đồng tiền ở hai cọc đều là số lẻ. Tìm điều kiện cần và đủ của n và k để Rôbốt sẽ ngừng
làm việc sau hữu hạn lần chuyển như vậy.
Hết