Diendantoanhoc.net
DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF
Tháng06/2015
Diendantoanhoc.net
Lêi nãi ®Çu
Tài liệu này không phải là tài liệu chính thức của Diễn đàn toán học
(VMF) nhưng do cá nhân tôi là thành viên của trang diễn đàn thảo luận toán
học này nên tôi xin mạo muội ghi xuất xứ là VMF mong quản trò của trang
web bỏ qua yếu tố trên.
Hàng năm mỗi giáo viên trung học phổ thông đều làm một sáng kiến
kinh nghiệm về lónh vực chuyên môn giảng dạy, tuy nhiên lượng kiến thức mà
thầy (cô) dày công bỏ ra nghiên cứu đa phần bò bỏ quên. Hôm nay tôi cố
gắng tổng hợp lại các sáng kiến kinh nghiệm để đưa vào chung thành một tài
liệu “CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN PHỔ THÔNG”. Để tiện cho việc tổng
hợp và theo dõi, tôi chia ra thành nhiều tập với độ dày mỗi tập tầm khoảng
50 trang. Chỉ là việc tổng hợp nội dung các sáng kiến để cho các bạn tham
khảo nên có điều gì sai sót mong các bạn bỏ qua.
Người tổng hợp
CD13
Tập này gồm các nội dung:
+ Một số sai lầm khi giải toán nguyên hàm – tích phân 1
+ Một số sai lầm khi giải toán nguyên hàm – tích phân 2
+ Phương pháp giải một số bài toán xác suất
+ Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức
+ Một số bài toán cực trò hình học toạ độ
+ Giải toán bằng phương pháp toạ độ
Diendantoanhoc.net
MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1
Trongquátrìnhgiảngdạynộidungnguyênhàm–tíchphântôinhậnthấynhiều
họcsinhcònmắcnhữngsailầmkhôngđángcó.Quabàiviếtnàythôngquanhữngvídụ
tôimuốncácemhọcsinhcóthểtựmìnhđiềuchỉnhkỹnănggiảitoánphầnnguyênhàm
–tíchphânđểcókếtquảtốtnhất.
1. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa
1.1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm
a, Ví dụ 1: chứng minh rằng
( ) (1 )
x
F x x e
là một nguyên hàm của hàm
( )
x
f x xe
trênR.Từđóhãytìmnguyênhàmcủahàm
( ) ( 1) .
x
g x x e
*Một học sinh đã giải như sau:
F’(x)=-e
-x
+(1+x)e
-x
=f(x)vớimọix=>F(x)làmộtnguyênhàmcủahàmf(x)trênR.
1 1
x x x x x
g x dx x e dx xe dx e dx x e c e c
(1 ) .
x x x
x e e xe
* Phân tích: họcsinhviếtchunghằngsốcchomọiphéptínhnguyênhàm.
* Lời giải đúng:
1 2
1 1
x x x x x
g x dx x e dx xe dx e dx x e c e c
x
xe c
vớic=c
1
–c
2
.
b,
Ví dụ 2: Tính
cot
xdx
* Một học sinh đã giải như sau:
cos
cot
sin
x
I xdx dx
x
. Đặt
2
cos1
sinx sin
cos sinx
x
du dx
u
x
dv xdx v
2
1 sinx.cos
.sinx 1 0 1???
sinx
sin
x
I dx I
x
* Phân tích: họcsinhviếtchunghằngsốcchomọiphéptínhnguyênhàm.
* Lời giải đúng:
sinx
cos
cot ln sinx
sin sinx
d
x
I xdx dx c
x
.
1.2.Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 3: tính
3
I 2x 1 dx
* Một học sinh đã giải như sau:
4
3
2x 1
I 2x 1 dx c
4
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Họcsinhvậndụngcôngthức
n 1
n
x
x dx c
n 1
vớin≠–1.
* Lời giải đúng:
Đặt2x+1=t
4
4
3
3
2x 1
dt dt t
dt 2dx dx 2x 1 dx t c c
2 2 8 8
Diendantoanhoc.net
1.3.Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân
Ví dụ 4: tínhtíchphân
2
2
2
dx
I
x 1
* Một học sinh đã giải như sau:
2
2 2
2 2
2 2
2
dx d(x 1) 1 1 4
I 1
x 1 3 3
x 1 x 1
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:hàmsố
2
1
y
x 1
khôngxácđịnhtại
x 1 2;2
* Lời giải đúng: Hàm số
2
1
y
x 1
không xác định tại
x 1 2;2
suy ra hàm
khôngliêntụctrên
2;2
,dođótíchphântrênkhôngtồntại.
* Chú ý đối với học sinh: khitínhtíchphân
b
a
f(x)dx
cầnchúýkiểmtraxemhàmsố
y=f(x)cóliêntụctrênđoạn[a,b]không?Nếucóthìápdụngcácphươngphápđược
họcđểtínhtíchphânđãcho,cònnếukhôngthìkếtluậnngaytíchphânđókhôngtồntại.
1.4. Sai lầm khi biến đổi hàm số
Ví dụ 5: Tínhtíchphân
4
2
0
I x 6x 9dx
* Một học sinh đã giải như sau:
4
4 4 4
2
2 2
0 0 0
0
(x 3) 1 9
I x 6x 9dx (x 3) dx (x 3)d(x 3) 4
2 2 2
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Phépbiếnđổi
2
(x 3) x 3;x [0,4]
làkhôngtươngđương.
* Lời giải đúng:
4 4
2 2
0 0
4
3
2
4 3 4
2
0 0 3
0
3
I x 6x 9dx (x 3) dx
x 3
(x 3) 9 1
x 3d(x 3) (3 x)d(x 3) (x 3)d(x 3) 5
2 2 2 2
* Chú ý đối với học sinh:
2n
2n
f x f x
(n≥1,nnguyên)
b b
2n
2n
a a
f x dx f x dx
,taphảixétdấuhàmsốf(x)trênđoan[a,b]rồidùngtính
chấtđểbỏdấugiátrịtuyệtđối.
1.5. Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến
Ví dụ 6:Tínhtíchphân
1
2
0
I 1 x dx
* Một học sinh đã giải như sau:
Đặtx=sintsuyradx=costdt
Diendantoanhoc.net
1
1 1 1
2 2
0
0 0 0
1 os2 sin2 1 1
1 sin .cos . os . . ( ) sin2
2 2 4 2 4
c t t t
I t t dt c t dt dt
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:họcsinhđổibiếnnhưngkhôngđổicận.
* Lời giải đúng:Đặtx=sintsuyradx=cost.dt
Đổicận:
x 0 t 0;x 1 t
2
2 2 2
2
2 2
0
0 0 0
1 os2 sin2
1 sin .cos . os . . ( )
2 2 4 4
c t t t
I t t dt c t dt dt
* Chú ý đối với học sinh:
Khigặp tíchphândạng
b
2 2
a
I c x dx
,nếu tíchphântồn tại thìthôngthườngta
tínhtíchphânbằngcáchđặtx=c.sint(hoặcx=c.cost)đổicận,chuyểnvềtínhtíchphân
theot.
Ví dụ 7:Tínhtíchphân
1
3
4
2
0
x
I dx
1 x
* Một học sinh đã giải như sau:
Đặtx=sintsuyradx=costdt.Đổicân:
1 1
x 0 t 0;x t arcsin
4 4
1 1 1
arcsin arcsin arcsin
3 3
4 4 4
3
2
0 0 0
sin t sin t
I cost.dt cost.dt sin t.dt
cost
1 cos t
Đếnđâyhọcsinhthườngrấtlúngtúngvìsốlẻ,dođócácemkhôngtìmrađượcđápsố.
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:khigặptíchphâncủahàmsốcóchứabiểuthức
2
1 x
thôngthườngtađặtx=sint(hoặcx=cost);nhưngđốivớivídụ7,nếulàmtheocách
nàysẽgặpkhókhănkhiđổicận.Cụthểkhix=1/4takhôngtìmchínhxácđượct.
* Lời giải đúng:
Đặtt=
2 2 2
t 1 x t 1 x 2tdt 2xdx xdx tdt
Đổicận:
1 15
x 0 t 1;x t
4 4
15 15
15
2 3
4 4
4
2
1 1
1
(1 t )( tdt) t 15 15 15 2 33 15 2
I (1 t )dt t
t 3 192 4 3 192 3
* Chú ý đối với học sinh: khigặptíchphâncủahàmsốcóchứabiểuthức
2
1 x
,nếu
câncủatíchphânlàgiátrịlượnggiáccủagócđặcbiệtthìtamớitínhtíchphânbằng
cáchđặtx=sint(hoặcx=cost)cònnếukhôngthìtaphảitìmphươngphápkhác.
1.6 Sai lầm vì dùng công thức không có trong sách giáo khoa
Ví dụ 8:Tínhtíchphân
0
2
1
1
I dx
x 2x 2
* Một học sinh đã giải như sau:
Diendantoanhoc.net
0 0
0
2 2
1
1 1
1 1
I dx dx arctan(x 1) arctan0 arctan( 1)
4
x 2x 2 (x 1) 1
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:SGKhiệnhànhkhôngcungcấpcôngthức
2
1
dx arctanx c
1 x
* Lời giải đúng:
0 0
2 2
1 1
1 1
I dx dx
x 2x 2 (x 1) 1
Đặtx+1=tant
2
2
1
dx dt (1 tan t)dt
cos t
.Đổicận:
x 0 t ;x 1 t 0
4
4 4
2
4
2
0
0 0
1
I .(1 tan t)dt dt t
4
1 tan t
* Chú ý đối với học sinh:khigặptíchphândạng
b
2 2
a
1
I dx
c x
,thìtatínhtíchphânbằng
cáchđặtx=c.tant(hoặcx=c.cott).Chúýcôngthức
2 2
2 2
1 1
1 tan t ;1 cot t
cos t sin t
.
1.7. Hiểu sai bản chất công thức
Ví dụ 9:Tínhtíchphân
2
x
0
I xe dx
*Một học sinh đã giải như sau: Đặt
x x
u x u' 1
v' e v e
2
2 2
x x 2 x 2 2 2
0 0
0
I xe e dx 2e e 2e e 1 e 1
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:họcsinhhiểusaibảnchấtcôngthứclấytíchphântừng
phần.
* Lời giải đúng:Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
2
2 2
x x 2 x 2 2 2
0 0
0
I xe e dx 2e e 2e e 1 e 1
1.8.Sử dụng sai công thức
Ví dụ 10.
Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởicácđườngy=9–x
2
;y=0;x=1;x=4.
*Một học sinh đã giải như sau:diệntíchhìnhphẳngcầntìmlà
4
4
3
2
1
1
x
S (9 x )dx (9x ) 6
3
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:họcsinhvậndụngsaicôngthứctínhdiệntíchhình
phẳng.
* Lời giải đúng:diệntíchhìnhphẳngcầntìmlà
Diendantoanhoc.net
3 4
4 3 4 3 4
3 3
2 2 2 2 2
1 1 3 1 3
1 3
x x 38
S 9 x dx 9 x dx 9 x dx (9 x )dx (x 9)dx 9x 9x
3 3 3
2.Một số bài tập tương tự
5
2
0
dx
1/
x 4
1
5
2
2
0
2/ x x 1 dx
2
4
0
dx
3/
cos x
1
3 x 2
3
1
x e x
3/ dx
x
5
2
0
dx
5/
x 3x 2
0
6/ 1 sin2xdx
2
2
2
1
2
1
7/ x 2.dx
x
3
3 2
0
8/ x 2x x.dx
3
2 2
6
9/ tan x cot x 2.dx
8
2
4
x 16
10/ dx
x
5
3
2
0
2x 2x 3
11/ dx
x 1
1
3
3
8
0
x dx
12/
1 x
7
3
2
0
x dx
13/
1 x
2
2
1
dx
14/
x 1 x
.
Diendantoanhoc.net
MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 2
Mộtsốsailầmcủahọcsinhkhitínhtíchphân
Bài 1:Tínhtíchphân:I=
2
2
2
)1(x
dx
*Sailầmthườnggặp:I=
2
2
2
)1(x
dx
=
2
2
2
)1(
)1(
x
xd
=-
1
1
x
2
2
=-
3
1
-1=-
3
4
*Nguyênnhânsailầm:
Hàmsốy=
2
)1(
1
x
khôngxácđịnhtạix=-1
2;2
suyrahàmsốkhôngliêntụctrên
2;2
nênkhôngsửdụngđượccôngthứcNewtơn–Leibnitznhưcáchgiảitrên.
*Lờigiảiđúng
Hàmsốy=
2
)1(
1
x
khôngxácđịnhtạix=-1
2;2
suyrahàmsốkhôngliêntụctrên
2;2
dođótíchphântrênkhôngtồntại.
*Chúýđốivớihọcsinh:
Khitính
dxxf
b
a
)(
cầnchúýxemhàmsốy=f(x)cóliêntụctrên
ba;
không?Nếucóthì
ápdụngphươngphápđãhọcđểtínhtíchphânđãchocònnếukhôngthìkếtluậnngay
tíchphânnàykhôngtồntại.
*Một số bài tập tương tự:
Tínhcáctíchphânsau:
1/
5
0
4
)4(x
dx
. 2/
dxxx
2
1
3
2
2
)1(
.
3/
dx
x
2
0
4
cos
1
4/
dx
x
xex
x
1
1
3
23
.
Bài 2:Tínhtíchphân:I=
0
sin1 x
dx
*Sailầmthườnggặp:Đặtt=tg
2
x
thìdx=
2
1
2
t
dt
;
xsin1
1
=
2
2
)1(
1
t
t
x
dx
sin1
=
2
)1(
2
t
dt
=
2
)1(2 t
d(t+1)=
1
2
t
+c
I=
0
sin1 x
dx
=
1
2
2
x
tg
0
=
1
2
2
tg
-
10
2
tg
dotg
2
khôngxácđịnhnêntíchphântrênkhôngtồntại.
*Nguyênnhânsailầm:
Đặtt=tg
2
x
x
;0
tạix=
thìtg
2
x
khôngcónghĩa.
*Lờigiảiđúng:
Diendantoanhoc.net
I=
0
sin1 x
dx
=
0
0
2
0
42
42
cos
42
2
cos1
x
tg
x
x
d
x
dx
=tg
2
44
tg
.
*Chúýđốivớihọcsinh:
Đốivớiphươngphápđổibiếnsốkhiđặtt=u(x)thìu(x)phảilàmộthàmsốliêntụcvà
cóđạohàmliêntụctrên
ba;
.
*Một số bài tập tương tự:
Tínhcáctíchphânsau:
1/
0
sin x
dx
2/
0
cos1 x
dx
Bài 3:TínhI=
4
0
2
96xx
dx
*Sailầmthườnggặp:
I=
4
0
2
96xx
dx=
4
2
9
2
1
2
3
333
4
0
4
0
2
4
0
2
x
xdxdxx
*Nguyênnhânsailầm:
Phépbiếnđổi
33
2
xx
vớix
4;0
làkhôngtươngđương.
*Lờigiảiđúng:
I=
4
0
2
96xx
dx
=
3
0
4
3
4
0
4
0
2
3333333 xdxxdxxdxdxx
=-
5
2
1
2
9
2
3
2
3
4
3
2
3
0
2
xx
.
*Chúýđốivớihọcsinh:
xfxf
n
n
2
2
Nnn ,1
I =
b
a
n
n
xf
2
2
dxxf
b
a
ta phải xét dấu hàm số f(x) trên
ba;
rồi dùng tính chất tích
phântáchIthànhtổngcácphânkhôngchứadấugiátrịtuyệtđối.
Một số bài tập tương tự:
1/I=
0
2sin1 x
dx; 2/I=
3
0
23
2 xxx
dx
3/I=
2
2
1
2
2
2
1
x
x
dx 4/I=
3
6
22
2cot
xgxtg
dx
Bài 4:TínhI=
0
1
2
22xx
dx
*Sailầmthườnggặp:
I=
4
011
11
1
0
1
0
1
2
arctgarctgxarctg
x
xd
Diendantoanhoc.net
*Nguyênnhânsailầm:
Họcsinhkhônghọckháiniệmarctgxtrongsáchgiáokhoahiệnthời.
*Lờigiảiđúng:
Đặtx+1=tgt
dtttgdx
2
1
vớix=-1thìt=0
vớix=0thìt=
4
KhiđóI=
4
0
4
0
4
0
2
4
1
1
tdt
ttg
dtttg
*Chúýđốivớihọcsinh:
Cáckháiniệmarcsinx,arctgxkhôngtrìnhbàytrongsáchgiáokhoahiệnthời.Học
sinhcóthểđọcthấymộtsốbàitậpápdụngkháiniệmnàytrongmộtsáchthamkhảo,vì
cácsáchnàyviếttheosáchgiáokhoacũ(trướcnăm2000).Từnăm2000đếnnaydocác
kháiniệmnàykhôngcótrongsáchgiáokhoanênhọcsinhkhôngđượcápdụngphương
phápnàynữa.Vìvậykhigặptíchphândạng
b
a
dx
x
2
1
1
tadùngphươngphápđổibiếnsố
đặtt=tgxhoặct=cotgx;
b
a
dx
x
2
1
1
thìđặtx=sinthoặcx=cost
*Một số bài tập tương tự:
1/I=
8
4
2
16
dx
x
x
2/I=
dx
x
xx
1
0
2
3
1
322
3/I=
3
1
0
8
3
1 x
dxx
Bài 5:
Tính:I=
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
*Suyluậnsailầm:Đặtx=sint,dx=costdt
dt
t
t
dx
x
x
cos
sin
1
3
2
3
Đổicận:vớix=0thìt=0
vớix=
4
1
thìt=?
*Nguyênnhânsailầm:
Khigặptíchphâncủahàmsốcóchứa
2
1 x
thìthườngđặtx=sintnhưngđốivớitích
phânnàysẽgặpkhókhănkhiđổicậncụthểvớix=
4
1
khôngtìmđượcchínhxáct=?
*Lờigiảiđúng:Đặtt=
2
1 x
dt=
xdxtdtdx
x
x
2
1
Đổicận:vớix=0thìt=1;vớix=
4
1
thìt=
4
15
Diendantoanhoc.net
I=
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
=
4
15
1
4
15
1
4
15
1
3
2
2
3
2
192
1533
3
2
192
1515
4
15
3
1
1 t
tdtt
t
tdtt
*Chúýđốivớihọcsinh:Khigặptíchphâncủahàmsốcóchứa
2
1 x
thìthườngđặtx
=sinthoặcgặptíchphâncủahàmsốcóchứa1+x
2
thìđặtx=tgtnhưngcầnchúýđến
cậncủatíchphânđónếucậnlàgiátrịlượnggiáccủagócđặcbiệtthìmớilàmđượctheo
phươngphápnàycònnếukhôngthìphảinghĩđếnphươngphápkhác.
*Một số bài tập tương tự:
1/tínhI=
dx
x
x
7
0
2
3
1
2/tínhI=
2
1
2
1xx
dx
Bài 6:tínhI=
1
1
4
2
1
1
dx
x
x
*Sailầmthườngmắc:I=
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
dx
x
x
x
x
x
x
Đặtt=x+
dx
x
dt
x
2
1
1
1
Đổicậnvớix=-1thìt=-2;vớix=1thìt=2;
I=
2
2
2
2t
dt
=
dt
tt
)
2
1
2
1
(
2
2
=(ln
2t
-ln
2t
)
2
2
2
2
2
2
ln
t
t
=ln
22
22
ln2
22
22
ln
22
22
*Nguyênnhânsailầm:
2
2
2
4
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
làsaivìtrong
1;1
chứax=0nênkhôngthể
chiacảtửcảmẫuchox=0được
*Lờigiảiđúng:
xéthàmsốF(x)=
12
12
ln
22
1
2
2
xx
xx
F
’
(x)=
1
1
)
12
12
(ln
22
1
4
2
2
2
x
x
xx
xx
DođóI=
1
1
4
2
1
1
dx
x
x
=
12
12
ln
22
1
2
2
xx
xx
ln
2
1
1
1
22
22
*Chúýđốivớihọcsinh:Khitínhtíchphâncầnchiacảtửcảmẫucủahàmsốchoxcần
đểýrằngtrongđoạnlấytíchphânphảikhôngchứađiểmx=0.
Diendantoanhoc.net
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT
Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản
Cácbàitoántínhxácsuấtđơngiảnkhôngcónghĩalàbàitoándễ.Ởđâytôimuốn
đềcậpđếncácbàitoánchỉsửdụngcôngthứcđịnhnghĩaxácsuấtcổđiểnmàkhôngcần
dùngđếnquytắccộng,quytắcnhânxácsuất
Bài toán 1.
ChomộtlụcgiácđềuABCDEF.ViếtcácchữcáiA,B,C,D,E,Fvao6thẻ.Lấy
ngẫunhiênhaithẻ.Tìmxácsuấtsaochođoạnthẳngmàcácđầumútlàcácđiểmđược
ghitrên2thẻđólà:
a) Cạnhcủalụcgiác.
b) Đườngchéocủalụcgiác.
c) Đườngchéonối2đỉnhđốidiệncủalụcgiác.
(Bài 8 – trang 77 sách Đại số và giải tích 11)
Phân tích
Đâycóthểcoilàmộtbàitoánđếm:đếmtổngsốcạnhvàđườngchéocủamộtlục
giácđều.Chúngtađãbiếttừ6điểmphânbiệtsaochokhôngcó3điểmnàothẳnghàng
cóthểtạorađược đoạnthẳng.
Dođónếugọi:
làbiếncố“Đoạnthẳngmàcácđầumútlàcácđiểmđượcghitrênhaithẻlà
cạnhcủalụcgiác”
làbiếncố“Đoạnthẳngmàcácđầumútlàcácđiểmđượcghitrênhaithẻlà
đườngchéocủalụcgiác”
làbiếncố“Đoạnthẳngmàcácđầumútlàcácđiểmđượcghitrênhaithẻlà
đườngchéonốihaiđỉnhđốidiệncủalụcgiác”
Vàtacó
Bài toán 2.
Xếpngẫunhiênbabạnnamvàbabạnnữngồivàosáughếkêtheohàngngang.
Tìmxácsuấtsaocho:
a) Namnữngồixenkẽnhau.
Diendantoanhoc.net
b) Babạnnamngồicạnhnhau.
(Bài 6 – trang 76 sách Đại số và giải tích 11)
Phân tích:
Đâytuylàmộtbàitoánxácsuấtnhưngthựcchấtnólạilàmộtbàitoánđếmtrongtổ
hợp.Đólàtậphợpcủacácbàitoántổhợpnhỏquenthuộcnhưsau:
(1) Cóbaonhiêucáchxếp3bạnnamvà3bạnnữvào6ghếkêtheohàngngang
(Đápsố: cách).
(2) Cóbaonhiêucáchxếp3bạnnamvà3bạnnữvà6ghếkêtheohàngngang,biết
rằngnamnữngồicạnhnhau,
(Đápsố: cách).
(3) Cóbaonhiêucáchxếp3bạnnamvà3bạnnữvà6ghếkêtheohàngngang,biết
rằngbabạnnamngồicạnhnhau.
(Đápsố:4. cách)
Nhưvậybàitoántrênđượcgiảinhưsau
Lời giải:
Gọi làbiếncố“Xếp3họcsinhnamvà3họcsinhnữvào6ghếkêtheohàngngang
mànamvànữxenkẽnhau”
Và làbiếncố“Xếp3họcsinhnamvà3họcsinhnữvào6ghếkêtheohàngngang
mà3bạnnamngồicạnhnhau”
Tacó
Suyra
Nhưvậyphầnlớncácbàitoándạng1làcácbàitoánsửdụngcôngthứcvàkĩthuật
củatoántổhợp.Đốivớicácbàitoánnhưvậythìhọcsinhchỉcầnphảinắmvữngcông
thứcvềtổhợpvàđịnhnghĩaxácsuất.
Bêncạnhđó,cónhữngbàitoánchỉcầndùngphươngphápliệtkê.
Bài toán 3.
Gieomộtconsúcxắc,cânđốivàđồngnhất.Giảsửconsúcxắcsuấthiệnmặtb
chấm.Xétphươngtrình
Tínhxácsuấtsaochophươngtrìnhcónghiệm.
(Bài4trang74sách Đại số và giải tích 11)
Lời giải:
Kýhiệu“consúcxắcsuấthiệnmặtbchấm”làb:
Diendantoanhoc.net
Khônggianmẫu:
GọiAlàbiếncố:“Phươngtrìnhcónghiệm”
Tađãbiếtphươngtrình cónghiệmkhi
Dođó
Tuynhiên,phươngphápliệtkêchỉcóhiệuquảkhisốphầntửcủabiếncốlànhỏ.Nếusố
phầntửlớnthìviệcliệtkêtrởnênkhókhănvàdễxétthiếuphầntử
Bài toán 4.
Trênmộtcáivònghìnhtròndùngđểquaysổsốcógắn36consốtừ01đến36.
Xácsuấtđểbánhxesaukhiquaydừngởmỗisốđềunhưnhau.Tínhxácsuấtđểkhiquay
hailầnliêntiếpbánhxedừnglạiởgiữasố1vàsố6(kểcả1và6)tronglầnquayđầuvà
dừnglạiởgiữasố13và36(kểcả13và36)tronglầnquaythứ2.
Phân tích:Rõrànglàtrongbàitoánnàytakhôngthểsửdụngphươngphápliệtkêvìsố
phầntửcủabiếncốlàtươngđốilớn.Ởđâytasẽbiểudiễntậphợpdướidạngtínhchất
đặctrưngđểtínhtoán.
GọiAlàbiếncốcầntínhxácsuất
Có6cáchchọni,ứngvớimỗicáchchọnicó25cáchchọnj(từ13đến36có25số)dođó
theoquytắcnhân
Tacùngxétmộtbàitoánkháthúvịsau:
Bài toán 5
Gieomộtđồngtiềncânđốiđồngchấtliêntiếpchođếnkhilầnđầutiênxuấthiệnmặt
ngửahoặccả6lầnxuấthiệnmặtsấpthìdừnglại.
a) Môtảkhônggianmẫu.
b) Tínhxácsuất:
A:“Sốlầngieokhôngvượtquába”
B:“Sốlầngieolànăm”
C:“Sốlầngieolàsáu”
Phân tích:Đốivớibàitoánnàyrấtnhiềuhọcsinhlúngtúngkhôngbiếtcáchxácđịnh
khônggianmẫuvìhọcsinhvốnquenvớicácbàitoánchotrướcsốlầngieo.Bàitoánnày
trướchếtphảixácđịnhđượcsốlầngieo.Giáoviêncóthểgợiýchohọcsinhbằngcác
câuhỏinhư:
Diendantoanhoc.net
o Nếukhôngcógiảthiết“cả6lầnxuấthiệnmặtsấpthìdừnglại”thìtaphảigieo
đồngtiềnbaonhiêulần?
o Nếukếthợpvớigiảthiết“cả6lầnxuấthiệnmặtsấpthìdừnglại”thìtaphảigieo
đồngtiềntốiđabaonhiêulần?
Tấtnhiênvớicâuhỏiđầutiênhọcsinhkhôngthểđưaramộtconsốcụthểvìnếu
gieo100lầnvẫncóthểlàcả100lầnđềuxuấthiệnmặtsấpdođóvẫnchưathểdừnglại
nhưnghọcsinhđãhìnhdungradạngcácphầntửđầutiên.Vớicâuhỏithứhaihọcsinh
cóthểtrảlờiđượcsốlầngieotốiđalà6.Từđóhọcsinhcóthểxácđịnhđượckhônggian
mẫu.
Lời giải
a) Khônggianmẫu
b) Tacó:
Sauđâytôixintrìnhbàyphươngphápgiảimộtsốbàitoánbằngcáchsửdụngcácquy
tắctínhxácsuấtđãhọc.
Dạng 2: Biến cố đối
Trongtoánhọc,cónhữngbàitoánkhitínhtoántrựctiếprấtdàidòngvàphứctạp.
Khiđóphươngphápgiántiếplạirấthiệuquảvàchotacáchlàmngắngọn.Phươngpháp
sửdụngbiếncốđốilàmộtphươngphápnhưvậy
Bài toán 6
Gieođồngtiềnxucânđốiđồngchất3lần.Tínhxácsuấtcủacácbiếncố:
a) BiếncốA:“Trong3lầngieocóítnhấtmộtlầnxuấthiệnmặtngửa”.
b) BiếncốB:“Trong3lầngieocócảhaimặtsấp,ngửa”.
Phân tích:
Họcsinhcóthểgiảiquyếtbàitoántheođịnhhướnglà:ítnhất1lầnxuấthiệnmặt
ngửathìcó3khảnăngcóthểxảyralà:1lầnxuấthiệnmặtngửa,hailầnxuấthiệnmặt
ngửa,balầnxuấthiệnmặtngửa.
Dovậyhọcsinhsẽgiảibàitoánnhưsau:
Suyra
Diendantoanhoc.net
Tuynhiênlàmnhưvậydàivàrấtdễbỏquêntrườnghợp.Tuynhiênnếuđểýrằng
biếncốđốicủabiếncốAlàbiếncố :“Khôngcólầnnàoxuấthiệnmặtngửa”.Dođó
bàitoánnàysẽđượcgiảinhưsau:
Lời giải
Khônggianmẫu
a) TacóbiếncốđốicủabiếncốAlàbiếncố:
:“Khôngcốlầnnàoxuấthiệnmặtngửa”
Vàtacó
b) Tươngtựtacó:
Bài toán 7.
Gieongẫunhiênmộtconsúcsắccânđốiđồngchấthailần.Tínhxácsuấtcủacác
biếncốsau:
a) BiếncốA:“Tronghailầngieoítnhấtmộtlầnxuấthiệnmặtmộtchấm”
b) BiếncốB:“Tronghailầngieotổngsốchấmtronghailầngieolàmộtsốnhỏ
hơn11”
Phân tích:Đốivớibàitoánnàydùngphươngphápsửdụngbiếncốđốilàphươngpháp
tốiưubởilẽnếutínhtrựctiếptaphảixétrấtnhiềutrườnghợp
o ĐốivớibiếncốA
Mặtmộtchấmxuấthiệnlầnthứnhất
Mặtmộtchấmxuấthiệnlầnthứhai
Hailầngieođềuxuấthiệnmặtmộtchấm(khảnăngnàylạinằmtrongcả
haikhảnăngtrên)
o ĐốivớibiếncốB.Tổngsốtronghailầngieolàmộtsốnhỏhơn11tứclàcó10
khảnăngxảyra:1,2,…,10
Lời giải:
Khônggianmẫu
a) Tacóbiếncốđối
b) Tacó:
Diendantoanhoc.net
Phươngphápsửdụngbiếncốđốilàmộtphươngpháphay,tuynhiênđểvậndụng
đượcphươngphápnàyhọcsinhcầnnắmđượchaiyếutố:
o Nhận dạng loại toán: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”, “tất
cả”…hoặctínhchẵn,lẻ,vônghiệm,cónghiệm,…nếutínhkiểubùgọnhơnthìta
dùngbiếncốđối
o Xácđịnhtốtmệnhđềphủđịnhvàphéptoánlấyphầnbùcủamộttậphợpđểtránh
xácđịnhsaibiếncốđối.
Dạng 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân
Bài toán 8.
Gieođồngthờihaiconsúcsắc.Tínhxácsuấtsaocho:
a) Haiconsúcsắcđềuxuấthiệnmặtchẵn.
b) Tíchsốchấmtrên2consúcsắclàsốchẵn.
Phân tích:
a) Đốivớibàitoánnàyphầnlớnhọcsinhđềugiảibằngcáchđếmsốphầntửcủa
biếncố.họcsinhtrungbìnhthườngliệtkêphầntửvàđếmtrựctiếp.Tấtnhiênlàcách
giảinàyrấtdàivàcóthểlàmsótphầntửdẫntớigiảisai.Họcsinhkháhơnthìsửdụng
tínhtoánđểđếmsốphầntửnhưsau:
Tacó
Chọn làbiếncố“Haiconsúcsắcđềuxuấthiệnmặtchẵn”
Dođó
Có3cáchchọn ,vớimỗicáchchọn tacó3cáchchọn .Dođócó9cách
chọn
Tôithấyrằngđâylàmộtlờigiảihợplý,tuynhiênbàitoánnàycóthểđượcgiải
quyếtmộtcáchđơngiảnhơnkhitasửdụngquytắcxácsuất.Chonêngiáoviêncóthể
gợimở,dẫndắthọcsinhđểđitớigiảibàitoántheođịnhhướngnàynhưsau:
GọiAlàbiếncố“Consúcsắcthứnhấtxuấthiệnmặtchẵn”
Diendantoanhoc.net
Blàbiếncố“Consúcsắcthứhaixuấthiệnmặtchẵn”
Xlàbiếncố“Haiconsúcsắcđềuxuấthiệnmặtchẵn”
Thấyrằng và làhaibiếncốđộclậpvà
(Trong 6 mặt thì có 3 mặt chẵn)
Dovậytacó:
b) Gọi làbiếncố“Tíchsốchấmtrên2consúcsắclàsốchẵn”
Có3khảnăngxảyrađểtíchsốchấmtrênconsúcsắclàsốchẵn:
Consúcsắcthứnhấtxuấthiệnmặtchẵn,consúcsắcthứhaixuấthiệnmặtlẻ.
Consúcsắcthứnhấtxuấthiệnmặtlẻ,consúcsắcthứhaixuấthiệnmặtchẵn.
Cảhaiconsúcsắccùngxuấthiệnmặtchẵn.
Vàtacó “Tíchsốchấmtrên2consúcsắclàsốlẻ”chỉcó1khảnănglàcảhaicon
súcsắcđềuxuấthiệnmặtlẻ.
Nhưvậymộtlầnnữatalạithấyưuthếcủabiếncốđối.
Tacó và , độclậpnêntacó:
Vàdođó
Bàitoántrêntađãsửdụngquytắcnhânxácsuất.Muốnsửdụngđượcquytắcnhânphải
khẳngđịnhđượchaibiếncốlàđộclập.Vậyhaibiếncốthườngđộclậptrongcácphép
thửnào?Tấtnhiênởđâytôikhôngthểnêutấtcảmàchỉđưaramộtsốtrườnghợpquen
thuộc
o Gieohaiđồngtiềnhoặcgieođồngtiềnhailầnthìbiếncốxảyratrong
lầngieonàyđộclậpvớibiếncốxảyratronglầngieokia.Tươngtựđốivớicon
súcsắc.
o Haixạthủbắnsungthìsựbắntrúnghaytrượtcủangườinàykhông
ảnhhưởngtớingườikia.Dođócácbiếncốliênquanđếnngườinàyđộclậpvới
biếncốliênquanđếnngườikia.Tươngtựđốivớimộtngườibắnhaiphátsung
o Cóhaicáihòmđựngbóng.Lấytừmỗihòmramộtquảbóngthìbiến
cốlấyrabóngcủahòmnàysẽđộclậpvớibiếncốlấyrabóngởhòmkia.Tương
tựđốivớibàitoánlấybi,lấycầu
Chúýrằng:NếuAvàBđộclậpthì và ; vàB;Avà cũngđộclập
Diendantoanhoc.net
Cũnggiốngnhưquytắccộngvàquytắcnhântrongtoántổhợp,đốivớibiếncố
xảyrakhảnăngnàyhoặckhảnăngkiathìtasửdụngquytắccộngxácsuất.Còn
vớibiếncốthựchiệnlientiếphaihànhđộngthìtadùngquytắcnhân
Bài toán 9.
Tronghòmcó10chitiết,trongđócó2chitiếthỏng.Tìmxácsuấtđểkhilấyngẫu
nhiên6chitiếtthìcókhôngquá1chitiếthỏng.
Phân tích:Trong6chitiếtthìcókhôngquá1chitiếthỏngnghĩalàkhôngcóchitiếtnào
hỏnghoặccómộtchitiếthỏng.Bàitoánnàykhôngthểgiảitheodạng1màphảisửdụng
phéptínhxácsuất.Đâylàbàitoándùngquytắccộngxácsuất
Lời giải
Gọi làbiếncố“Trong6chitiếtlấyrakhôngcóchitiếtnàohỏng”
làbiếncố“trong6chitiếtlấyracó1chitiếthỏng”
làbiếncố“Trong6chitiếtlấyracókhôngquá1chitiếthỏng”
Khiđó .Do và xungkhắcnhaunên
Sốcáchlấyra6chitiếttừ10chitiếtlà
Có8chitiếtkhôngbịhỏngnên
Sốcáchlấy5chitiếttừ8chitiếtbịhỏnglà
Sốcáchlấy1chitiếttừ2chitiếthỏnglà
Theoquytắcnhântacó
Dovậytacó:
Bài toán 10
Cóhaihộpcùngchứacácquảcầu.Hộpthứnhấtcó7quảcầuđỏ,5quảcầuxanh.
Hộpthứhaicó6quảcầuđỏ,4quảcầuxanh.Từmỗihộplấyrangẫunhiên1quả
cầu.
a) Tínhxácsuấtđể2quảcầulấyracùngmàuđỏ.
Diendantoanhoc.net
b) Tínhxácsuấtđể2quảcầulấyracùngmàu.
Phân tích:Bàitoánnàyvẫncóthểgiảitheodạng1,tuynhiênviệcgiảirấtdàidòngvà
phứctạp.Nếusửdụngphốihợpquytắccộngvàquytắcnhânthìviệcgiảiquyếtbàitoán
trởnênđơngiảnhơnrấtnhiều.
Lời giải
a) Gọi:
Alàbiếncố“Quảcầulấyratừhộpthứnhấtmàuđỏ”
Blàbiếncố“Quảcầulấyratừhộpthứhaimàuđỏ”
Xlàbiếncố“Haiquảcầulấyracùngmàuđỏ”
Tacó ,
MặtkhácAvàBđộclậpnên
b) Gọi:
Ylàbiếncố“Haiquảcầulấyracùngmàuxanh”
Zlàbiếncố“Haiquảcầulấyracùngmàu”
Tacó
Mặtkhác và độclậpnên
Thấyrằng nên
Nhữngbàitoánsửdụngquytắccộngxácsuấtvàquytắcnhânxácsuấtlàcácbàitoán
luôntínhđượcxácsuấtcủabiếncốcơsở(cácbiếncốcầntínhxácsuấtbiểudiễnquacác
biếncốnày).Chúngtađểýcácxácsuấtsau:
o Khigieomộtđồngtiềnxucânđối,đồngchấtthì
Xácsuấtxuấthiệnmặtsấplà
Xácsuấtxuấthiệnmặtngửalà
o Khigieomộtconsúcsắccânđốiđồngchấtthì
Xácsuấtxuấthiệntừngmặtlà
Xácsuấtxuấthiệnmặtcósốchấmlàchẵn:
Diendantoanhoc.net
Xácsuấtxuấthiệnmặtsốchấmlàlẻ:
Xácsuấtxuấthiệnmặtsốchấmlàsốchiahếtcho3:
Đốivớicácphépthửkhácthìtuỳtheotừngbàitoántasẽtínhđượcxácsuất
này.Vàcũngcónhiềubàitoánchotrựctiếpxácsuât.Bàitoánsaulàmộtvídụ
Bài toán 11
Có2lôhàng.Ngườitalấyngẫunhiêntừmỗilôhàngmộtsảnphẩm.Xácsuấtđểđược
sảnphẩmchấtlượngtốtởtừnglôhànglầnlượtlà .Hãytínhxácsuấtđể:
a) Trong2sảnphẩmlấyracóítnhấtmộtsảnphẩmcóchấtlượngtốt.
b) Trong2sảnphẩmlấyracóđúng1sảnphẩmcóchấtlượngtốt.
Phân tích:Đâylàbàitoánchotrướcxácsuấtnênchắcchắntaphảisửdụngphéptoán
tínhxácsuấtđểgiảiquyết.Biếncốcơsởsẽlà“Lấyđượcsảnphẩmtốttừlôhàngthứ
nhất”và“Lấyđượcsảnphẩmtốttừlôhàngthứhai”
Lời giải:
Gọi “Lấyđượcsảnphẩmtốttừlôhàngthứnhất”
“Lấyđượcsảnphẩmtốttừlôhàngthứhai”
Khiđótacó:
a) Gọi làbiếncố“Trong2sảnphẩmlấyracóítnhấtmộtsảnphẩmcóchấtlượng
tốt”.
Suyra
Dobabiếncố làđộclậpnêntacó
b) Gọi làbiếncố“Trong2sảnphẩmlấyracóđúngmộtsảnphẩmcóchấtlượng
tốt”.
Suyra
Do xungkhắcvàbiếncố vàB;Avà độclậpnêntacó
Diendantoanhoc.net
Bài toán 12
Mộtphòngđượclắphaihệthốngchuôngbáođộngphòngcháy,mộthệthốngbáo
khithấykhóivàmộthệthốngbáokhithấylửaxuấthiện.Quathựcnghiệmthấyrằngxác
suấtchuôngbáokhóilà ,chuôngbáolửalà vàcả2chuôngbáolà .Tính
xácsuấtđểkhicóhỏahoạnítnhấtmộttrong2chuôngsẽbáo.
Phân tích:Biếncốcầntínhxácsuấtlàchuôngbáokhóibáohoảhoạnhoặcchuôngbáo
lửabáolửasẽbáohoảhoạn.Dođóbàitoánnàychắcchắnlàdùngquytắccộng.Tuy
nhiênhaibiếncốcơsởlạikhôngxungkhắc.Trongtrườnghợpnàytaphảisửdụngquy
tắccộngmởrộng
Lời giải
Gọi làbiếncố“Chuôngbáokhithấykhói”
làbiếncố“Chuôngbáokhithấylửa”
làbiếncố“Ítnhấtmộttronghaichôngbáokhihỏahoạn”
Theogiảthiếtbàitoántacó
Dođótacó:
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1/Từcỗbài52con,rútngẫunhiên3con.Tínhxácsuấtđể
a/Cóítnhấtmộtconát
b/CóđúngmộtconK
c/Cả3concósốkhácnhauđềuthuộctậphợp{2,3,…10}
2/Trongmộtchiếchộpcó5bóngtrắng,6bóngxanh,7bóngđỏlấyngẫunhiên4
quảbóng.Tìmxácsuấtđểcó4quảbóngcóđủ3mầu.
3/Gieongầunhiênconsúcsắccânđốiđồngchất2lần:Tínhxácsuấtcủacácbiến
cố:
a/A:“Cóítnhấtmộtmặtlẻ”
b/B:“Cómộtmặtchẵnvàmộtmặtlẻ”
c/C:“Tổngsốchấmhaimặtlàmộtsốchẵn”
4/Gieongẫunhiênmộtconsúcsắccânđốiđồngchất3lần,tínhxácsuấtđể:
a/Cóítnhấtmộtlầnxuấthiệnmặt6chấm
b/Tổngcácsốchấmtrên3mặtlàsốlẻ
5/Trongmộthộpcó10chiếcthẻđượcđánhsố0,1,2,….9.Lấyngầunhiênlien
tiếp4thẻvàxếpcạnhnhautheothứtựtừtráisangphảitìmxácsuấtđể4thẻxếpthành1
sốtựnhiênsaochotrongđóchỉmộtchữsố1
6/Mộtmáybaycó5độngcơ,trongđócó3độngcơởcánhphảivà2độngcơở
cánhtrái.Mỗiđộngcơởcánhphảicóxácsuấtbịhỏnglà0,1,cònmỗiđộngcơởcánh
tráicóxácsuấthỏnglà0,05.Cácđộngcơhoạtđộngđộclậpvớinhau.Tínhxácsuấtđể
máybaythựchiệnchuyếnbauantoàntrongcáctrườnghợpsau:
a/Máybaybayđượcnếucóítnhấthaiđộngcơlàmviệc
b/Máybaybayđượcnếucóítnhấtmỗiđộngcơtrênmỗicánhlàmviệc
Diendantoanhoc.net
7/Mộtbàithitrắcnghiệmgồm12câuhỏi.Mỗicâuhỏicó5câutrảlời,trongđó
chỉcómộtcâuđúng.Mỗicâutrảlờiđúngđược4điểm,mỗicâutrảlờisaibịtrừ1điểm
.Mộthọcsinhkémlàmbàibằngcáchchọnhúhoạmộtcâutrảlời.Tínhxácsuấtđể:
a/Họcsinhđóđược13điểm
b/Họcsinhđóđượcđiểmâm
8/Trongmộtlớphọccó6bóngđèn,mỗibongxácsuấtbịcháylà0,25.Lớphọc
cóđủánhsángnếucóítnhất5bóngđèn.Tínhxácsuấtđểlớphọckhôngđủánhsáng
9/Mộtđoàntầucó4toađỗởmộtsânga.Có4hànhkháchtừsângalêntầu,mỗi
ngườiđộclậpvớinhauvàchọnngẫunhiên1toa.Tínhxácsuấtđể1toacó3người,1toa
cómộtngườivà2toacònlạikhôngcóai.
10/Có30tấmthẻđánhsốtừ1đến30chọnngầunhiênra10tấmthẻtínhxácsuất
để:
a/Tấtcả10tấmthẻđềumangsốchẵn
b/Cóđúng5sốchiahếtcho3
c/ Có5tấmthẻ mang số lẻ,5 tấm thẻ mang sốchẵn trongđó chỉ mộttấmthẻ
mangsốchiahếtcho10.
11/Từmộthộpcó7quảcầuxanh,6quảcầuđỏ.Lấyngẫunhiên5quả.Tínhxác
suấtcủacácbiếncố:
a) A:“Trong5quảlấyracócảhaimầu”
b) B:“Trong5quảlấyracóítnhất2quảmàuđỏ”
12/Xácsuấtđể mộtxạthủ bắnbiatrúngđiểm10là ;trúng điểm9là ;
trúngđiểm8là vàíthơnđiểm8là .Xạthủấybắnmộtviênđạn.Tìm
xácsuấtđểxạthủđượcítnhất9điểm.
Diendantoanhoc.net
SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I. Nhắc lại các tính chất của vectơ.
1. Tính chất 1:
0)(
2
2
aa
.Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi
0a
.
2. Tính chất 2:
baba
.Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi
a
và
b
cùngchiều.
3. Tính chất 3:
baba
.Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi
a
và
b
cùngphương.
II. Sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh bất đẳng thức.
1. Sử dụng tính chất 1.
Ví dụ 1.
ChotamgiácABC,chứngminhrằng:cos2A+cos2B+cos2C
2
3
.
* Hướng giải quyết của bài toán:Đểsửdụngđượccáctínhchấtcủavéctơvàobàitoán
nàythìcôngthứcnàocóchứavectơvàcóchứacảcôsin.Vậyđósẻlàtíchvôhướngcủa
haivectơ,đólà:
. os ,
OAOB OA OB c OA OB
,
. os ,
OB OC OB OC c OB OC
. os ,
OAOC OA OC c OA OC
vàkhiđónếutagọiRlàbánkínhcủađường
trònngoạitiếptamgiácABCthì
R OA OB OC
.Từđó,tanghĩtớiviệcdùngtính
chất1đểchứngminh.Cụthểnhưsau:
* Giải:
GọiO,RlầnlượtlàtâmvàbánkínhđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.
Tacó:
2 2 2
2
2
2 2
2
( ) 2( . . . ) 0
3 3
3 2 (cos2 cos 2 cos2 ) 0 os2 os2 os2
2 2
OA OB OC OA OB OC OAOB OB OC OC OA
R
R R A B C c A c B c C
R
Suyrađiềuphảichứngminh.
Ví dụ 2.
ChotamgiácABC.Chứngminhrằng:
6cosA.cosB.cosC
cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C(1).
* Hướng giải quyết bài toán.Tathấytrongbiểuthứccầnchứngminhxuấthệntổng
cácbìnhphương.Vìthếcóthểsửdụngđượctínhchất1.Nhưngởbàitoántrênchúngta
cầnlưuý,phảixétcáctrườnghợpcủatamgiácABC.Vìởbàitoántrênkhôngnóiđólà
tamgiácnhưthếnào.Cụthể,talàmbàitoánnàynhưsau:
* Giải:
NếutamgiácABClàtamgiáctù(cómộtgóctù)thì(1)hiểnnhiênđúngvìkhiđó
vếtráiâm,cònvếphảidương.
NếutamgiácABCkhôngphảilàtamgiáctùthìtrênmặtphẳngtađặtcácvectơ
OPONOM ,,
saocho:
cos ; cos ; cosOM A ON B OP C
và
ˆ ˆ
ˆ
( , ) ; ( , ) ; ( , )
OM ON C ON OP A OP OM B
Ápdụngtínhchất(1),tacó:
Diendantoanhoc.net
0)(
2
OPONOM
0.2.2.2
222
MOOPOPNOONMOOPONOM
0)cos.cos.coscos.cos.coscos.cos.(cos2coscoscos
222
CBACBACBACBA
2 2 2
os os os 6cos cos cosc A c B c C A B C
.Điềuphảichứngminh.
2. Sử dụng tính chất 2.
*
baba
.Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi
a
và
b
cùngchiều
Tathườngsửdụngphươngphápnàykhigặpcácbàitoánchứngminhbấtđẳng
thứccóchứatổngcủacáccănbậchaimàbiểuthứctrongdấucănbậchaicóthểđưavề
tổngcủacácbìnhphương.
Ví dụ 1:Chứngminhrằng:
1
2
aa
+
1
2
aa
2(1)vớimọiathuộcR.
* Hướng giải quyết bài toán:
BàitoánnàynếuđơnthuầnchỉsửdụngviệcchứngminhBĐTthôngthườngthìsẻ
rấtkhóđốivớihs,vìbàitoáncóhaicănbậchainênviệcbiếnđổisẻrấtkhó.Nhưngnếu
chúýcácđốitượngtrongbàitoánvàbiếtkhaitháctínhchất2nêutrênthìbàitoántrở
nêndểdànghơn.Cụthể,gvchỉchohshướngsuynghĩsau:
Hai biểu thức trong căn bậc hai có thể biến đổi thành tổng các bình phương.
2
2
2
1 3
1
2 2
a a a
và
2
2
2
1 3
1
2 2
a a a
. Từ đó, ta có thể đặt:
1 3
;
2 2
u a
;
1 3
;
2 2
v a
, đến đây sử dụng tính chất 2 ta được diều phải chứng
minh.Cụthểnhưsau:
* Giải:BĐT(1)
22
)
2
3
()
2
1
( a
+
22
)
2
3
()
2
1
( a
2
TrongmặtphẳngtoạđộOxyđặt:
)
2
3
;
2
1
( au
;
)
2
3
;
2
1
( av
Áp dụng tính chất 2, ta có:
2 2
2 2
1 3 1 3
2
2 2 2 2
u v a a u v
2 2
1 1 2
a a a a
.Điềuphảichứngminh.
Ví dụ 2.Chứngminhrằng:
22
yxyx
+
22
zyzy
+
22
xzxz
)(3 zyx
vớix,y,z>0.
*Hướng giải quyết bài toán:Bàitoánnàyvềcơbảnkhôngkhácgìnhiềusovớibài
toántrước.Nêntalàmnhưsau:
Giải:TrongmặtphẳngtoạđộOxytađặt:
);
2
3
;
2
( y
y
xu
);
2
3
;
2
( z
z
yv
);
2
3
;
2
( x
x
zw
Từtínhchất
wvuwvu
tacó:
2 2 2 2 2 2
3 3 3
w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
y z x
u v x y y z z x