Tich luy chuyen mon thang 5. 2011

BàI 1: Phơng pháp giải toán (3 tiết)
I. Mục tiêu:
- Cung cấp cho hs phơng pháp giải toán nói chung và giải bàn toán hình học nói riêng
- Rèn luyện kỹ năng giải toán hình học theo đúng quy trình
II. Nội dung:
I) Quy trình giải một bài toán
1. Tìm hiểu đề toán:
Để giải đợc một bài toán, trớc hết phải tìm hiểu đề bài và ham thích giải bài toán đó.
Để hiểu rõ đề toán, trớc hết phải đọc kĩ đề bài toán sao cho thấy đợc toàn bộ bài toán càng
rõ ràng, càng sáng sủa càng tốt, tránh vội vã đi vào các chi tiết. Bắt đầu đi sâu nghiên cứu
đề toán; trớc hết phân tích bài toán, tách ra những yếu tố chính của bài toán, xem xét các
yếu tố chính nhiều lần, ở nhiều mặt. Nếu là bài toán chứng minh thì yếu tố chính là giả
thiết và kết luận. Nếu là bài toán về tìm tòi thì yếu tố chính là ẩn (cái cần tìm, cái cha
biết), là dự kiện (những cái đã biết) và điều kiện (mối liên quan giữa các cái cần tìm và đã
cho) của bài toán.
Có những bài toán liên quan tới một hình vẽ, thì phải vẽ hình. Có những bài toán lại
cần đa vào các kí hiệu. Điều này cũng có ý nghĩa giúp ta hiểu bài toán.
a) Hình vẽ:
Đối với bài toán hình học. Nói chung phải vẽ hình. Hình vẽ làm hiện lên các yếu tố
cũng nh các chi tiết cùng mối liên hệ giữa các chi tiết đã cho trong đề bài. Vì thế, thờng
sau khi vẽ hình đúng, đề toán đợc hiểu rõ ràng, cụ thể hơn.
Khi vẽ hình cần chú ý:
- Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trờng hợp đặc biệt vì
nh thế dễ gây nên ngộ nhận. Chẳng hạn, đối với các đoạn thẳng, không nên vẽ bằng
nhau. Đối với các đờng thẳng, không nên vẽ vuông góc với nhau, đối với tam giác không
nên vẽ cân hay vuông nếu nh bài toán không đòi hỏi.
- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, dễ nhìn thấy những quan hệ (song song, cắt
nhau, vuông góc ) và tính chất (đờng trung trực, phân giác, tam gíac cân, tam giác
vuông ) mà bài toán đã cho. Có những trờng hợp còn phải khéo léo lựa chọn trình tự vẽ
các phần tử hình trong bài.
Ngoài ra, để làm nổi bật vai trò khác nhau của các đờng, các hình, trong hình vẽ có

thể vẽ bằng nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt, hoặc dùng màu khác nhau.
Đối với những bài toán không phải là hình học, ta cũng có thể dùng một biểu diễn
hình học để diễn tả đề toán, chẳn hạn sơ đồ đoạn thẳng. Cảm nhận trực giác trên biểu diễn
hình học này có thể giúp ta đẽ nắm bắt đợc nội dung cơ bản của đề toán nh Pôlya đã nêu:
Tìm một biểu diễn hình học rõ ràng, sáng sủa cho những bài toán không phải là bài toán
hình có thể cho phép tiến một bớc rõ rệt tới cách giải.
b) Kí hiệu:
Khi nghiên cứu đề toán, nhiều trờng hợp phải chọn kí hiệu và đa kí hiệu vào một
cách thích hợp. Dùng các kí hiệu toán học có thể ghi lại các đối tợng và mối liên quan
giữa chúng trong bài toán một cách ngắn gọn, dễ nhớ, dễ quan sát. Cách kí hiệu thích hợp
có thể nhanh chóng giúp ta hiểu đợc đề toán.
1
Thời gian dành để chọn kí hiệu sẽ đợc trả công rất hậu bởi thời gian tiết kiệm đợc
nhiều tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn(Pôlya)
Khi chọn các kí hiệu cần chú ý:
- Một kí hiệu phải có nội dung và dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu nớc đôi.
- Thứ tự các kí hiệu và quan hệ giữa chúng phải giúp ta liên tởng đến thứ tự và quan
hệ giữa các đaị lợng tơng ứng.
- Không dùng một kí hiệu để chỉ hai đối tợng khác nhau. Các kí hiệu cùng loại để
chỉ các đối tợng cùng loại. Chẳng hạn, với tam giác ABC: A, B, C chỉ các đỉnh; a, b,
c chỉ độ dài các cạnh tơng ứng đối diện với nhau qua các đỉnh A, B, C;
2. Xây dựng chơng trình giải:
Tìm tòi lời giải là một bớc quan trọng trong hoạt động giải toán. Nó quyết định sự
thành công hay không thành công, đi đến sự thành công nhanh hay chậm của việc giải
toán. Điêù cơ bản ở bớc này là biết định hớng đúng để tìm ra đợc đờng đi đúng. Không có
một thuật toán tổng quát nào để giải đợc mọi bài toán cả, sau đây là những lời khuyên của
những ngời có kinh nghiệm giải toán.
a) Sử dụng các bài toán đã giải:
Việc tìm ra con đờng đi đúng trong việc giải một bài toán nhiều khi quá thuận lợi
nếu ta nhớ lại đợc là ta đã từng tìm ra con đờng đi đến cách giải một bài toán tơng tự hoặc

gần giống với bài toán cần giải. Thực tế cho thấy ngời ra đề khó mà đặt ra một bài toán
hoàn toàn mới, không giống hay liên quan một chút nào với các bài toán đã có. Mặt khác
cũng có thể có rất nhiều bài toán liên quan đến bài toán đang phải giải. Cần phải chọn lựa
đợc một hay một số bài trong đó mà thực sự có lợi: Hãy xét cho kĩ cái cha biết và thờng
nghĩ tới một bài toán quen thuộc cũng cha cái biết đó hay một cái cha biết tơng tự. Hãy
nhớ lại một bài toán đã đợc giải gần giống với bài toán đang xét. Cần phải lợi dụng bài
toán đã giải này về phơng pháp giải, về kết quả, về kinh nghiệm.
b) Biến đổi bài toán:
Để đi đến cách giải một bài toán cần phải huy động và tổ chức những kiến thức học
từ trớc. Cần phải nhớ lại và vận dụng hàng loạt những yếu tố cần thiết cho việc giải toán.
Việc biến đổi bài toán tạo ra những liên hệ mới, những khả năng mới gợi lại trong trí nhớ
những gì liên quan đến bài toán đang xét.
Chẳng hạn, phải chứng minh m
3
- m chia hết cho 6 với mọi số nguyên m. Ta thử
biến đổi bài toán bằng cách phân tích biểu thức thành nhân tử:
m
3
- m = m(m
2
- 1) = m(m-1)(m+1)
Đến đây, trên kí hiệu ta nhớ lại rằng m-1, m và m+1 chính là 3 số nguyên liên tiếp.
Với ba số nguyên liên tiếp ta lại nhớ lại rằng: cứ 3 số nguyên liên tiếp có một số chẵn,
(tức là chia hết cho 2) và một số chia hết cho 3. Từ đó việc chứng minh không còn gì khó
nữa.
c) Phân tích bài toán thành những bài toán đơn giản hơn:
Một bài toán, đặc biệt là bài toán khó thờng tạo ra từ sự kết hợp những bài toán đơn
giản hơn. Ngời giải toán có kinh nghiệm thờng phải biết phân tích bài toán đang xét thành
những bài toán nhỏ để giải, sau đó lại kết hợp chúng để có đợc lời giải của bài toán ban
2

đầu. Ví dụ, để giải bài toán: Chứng minh p
4
- 1 chia hết cho 240 với p là số nguyên tố lớn
hơn 5. Từ nhận xét 240 = 3.5.16, với ba thừa số này thì đôi một nguyên tố cùng nhau, ta
có thể đa bài toán về 3 bài toán đơn giản hơn: Chứng minh p
4
- 1 chia hết cho 3,Chứng
minh p
4
- 1 chia hết cho 5 và Chứng minh p
4
- 1 chia hết cho 16 với p là số nguyên tố lớn
hơn 5.
d) Mò mẫm, dự đoán bằng cách thử một số trờng hợp có thể xảy ra:
Trờng hợp đặc biệt, trờng hợp tổng quát. Hãy xem một số trờng hợp riêng, kết quả
của nó đôi khi khá đơn giản, sẽ là những gợi ý quý báu để đi đến lời giải bài toán
Chẳng hạn, cho bài toán: Qua điểm M trên cạnh BC của tam giác ABC, hãy dựng
một đờng thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau
Trớc hết ta sẽ xét một số tròng hợp đặc biệt:
- Nếu M là trung điểm của BC thì đờng thẳng cần dựng là trung tuyến AM
- Nếu M trùng với B hoặc C thì đờng thẳng phải dựng là trung tuyến BI
Trong trờng hợp tổng quát, nếu ta đa bài toán về một trong hai trờng hợp đặc biệt trên
thì xem nh đã tìm ra lời giải
Chẳng hạn đa về trờng hợp thứ hai: Giả sử BM < CM. Ta phải dựng một tam giác có
đỉnh là M và có diện tích bằng diện tích tam giác ABC bằng cách kẻ BD//AM thì
S
MCD
=S
ABC
. Khi đó trung tuyến MI của tam giác MCD chính là đờng thẳng cần dựng.

e) Một số gợi ý khi xây dựng chơng trình giải:
- Bạn đã gặp bài toán này lần nào cha ? Hay đã gặp bài toán này ở dạng khác ?
- Bạn có biết bài toán nào có liên quan không ? Một định lí có thể dùng đợc không ?
- Xét kĩ cái cha biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn t-
ơng tự
- Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng đợc không ? Có
thể sử dụng kết quả của nó không ? Hay sử dụng phơng pháp ? có cần phải đa thêm một
số yếu tố phụ thì mới sử dụng đợc nó không ?
- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ? Một cách khác nữa? Quay về các định
nghĩa.
- Nếu bạn cha giải đợc bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán có liên quan mà dễ
hơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một trờng hợp riêng ? Một bài toán tơng tự ?
Bạn có thể giải một phần bài toán đợc không ? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua
phần kia. Khi đó, ẩn đợc xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi nh thế nào ?
Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không ? Bạn có thể nghĩ ra những dự
3
kiện khác có thể giúp bạn xác định đợc ẩn không ? Có thể thay chủ đôỉ ẩn, hay dữ kiện
hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và các giữ kiện mới đợc gần nhau hơn
- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện cha ? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện cha ? Đã để ý hết mọi
khái niệm chủ yếu trong bài toán cha ?
3. Thực hiện chơng trình giải:
Sau khi tìm đợc cách giải rồi thì tiến hành thực hiện chơng trình giải. Việc tiến hành
thực hiện này là công việc chủ yếu, là kết quả đánh giá hoạt động giải toán. Khi đã tìm
thấy cách giải rồi thì việc thực hiện giải không có gì khó khăn nữa, nhng tính chất công
việc có khác nhau.
Khi đang tìm kiếm lời giải thì có thể tự do mò mẫm, dự đoán và không ngại gì mà
không dùng một cách lập luận tạm thời. Nhng khi thực hiện giải thì phải thay đổi quan
niệm đó và chỉ thừa nhận những lí lẽ chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Một
điều quan trọng trong việc trình bày lời giải là trình tự các chi tiết, nhất là đối với các bài
toán phức tạp. Phải trình bày sao cho tờng minh sự liên hệ giữa mỗi chi tiết, cũng nh sự

liên hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải ấy. Trình tự
mà ta trình bày trong lời giải có thể rất khác với trình tự mà ta đã theo để tìm kiếm lời giải
ấy. Trình tự trình bày các chi tiết trong lời giải cần phải gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa.
4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
Đây là một bớc cần thiết và bổ ích mà trên thực tế ít ngời giải toán thực hiện nó. Trong
khi thực hiện chơng trình giải, rất có thể ta đã mắc phải thiếu sót, lầm lẫn ở chỗ nào đó.
Việc kiểm tra lại lời giải sẽ giúp chúng ta sửa chữa sai sót đáng tiết đó. Mỗi sai lầm đều
cho ta một kinh nghiệm quý báu trong giải toán. Mặc khác việc nhìn nhận, xem xét, phân
tích lại con đờng đã đi cùng phơng pháp tiến hành còn có thể giúp ta tìm thấy một cách
giải khác tốt hơn hoặc phát hiện ra những sự kiện mới bổ ích giúp ta khai thác hoặc sáng
tạo ra những bài toán mới. Khai thác một bài toán sau khi giải thòng đợc tiến hành theo
các hớng: Thay đổi một phần hoặc tất cả giả thiết hoặc kết luận. Phải kiên nhẫn và chịu
khó nghiên cứu lời giải tìm đợc để có thể hoàn thiện cách giải và bao giờ cũng giúp ta
hiểu cách giải sâu sắc hơn. Chính điều đó sẽ làm phong phú thêm kinh nghiệm giải toán,
củng cố và phát triển năng lực giải toán
II) Các phơng pháp suy luận thờng gặp trong giải toán:
1. Phân tích và tổng hợp:
Theo tâm lí học, phân tích và tổng hợp những hai thao tác t duy cơ bản. Vì vậy, để phát
triển trí tuệ cho học sinh cần coi trọng việc rèn luyện cho học sinh năng lực phân tích và
tổng hợp
Phân tích là dùng trí óc để chia tách cái toàn thể ra từng phần, hoặc tách từng thuộc
tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó. Ngợc lại, tổng hợp là dùng trí óc
hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau
nằm trong cái toàn thể. Tuy là những thao tác trái ngợc nhau nhng phân tích và tổng hợp
liên hệ chặt chẽ với nhau, là hai mặt của một quá trình thống nhất
Trong hoạt động giải toán, tiên phải nhìn nhận bao quát đề toán một cách tổng hợp,
xem bài toán đó thuộc loại gì, phân tích bài toán thành cái đã cho và cái phải tìm, tìm ra
mối liên hệ giữa chúng. Việc giải bài toán đòi hoải học sinh phải biết phân tích bài toán
4
thành nhiều bài toán khác đơn giản hơn, chia ra các trờng hợp khác nhau, giải chúng rồi

tổng hợp lại.
Để tìm kiếm lời giải cho một bài toán, ta cũng có những phơng pháp suy nghĩ theo hai
hớng ngợc nhau là phân tích và tổng hợp. Có thể nói phân tích là đi từ cái cha biết, cái
phải tìm đến cái đã cho, cái đã biết. Ngợc lại, phuơng pháp tổng hợp là đi từ cái đã biết,
cái đã cho đến cái phải tìm, cái cha biết.
Ngời ta thờng kết hợp cả hai phơng pháp này trong giải toán: Dùng phơng pháp phân
tích để tìm lời giải, sau đó trình bày lời giải theo phơng pháp tổng hợp.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x
2
-x-1 >0, với mọi x
Bằng phơng pháp phân tích ta trình bày nh sau:
x
2
-x+1 >0

x
2
-2.
2
1
x+1 >0

x
2
-2.
2
1
x+
4
1

+
4
3
>0

(x-
2
1
)
2
+
4
3
>0, điều này đúng với
mọi x.
Bằng phơng pháp tổng hợp ta trình bày lời giải nh sau:
Ta có: (x-
2
1
)
2
+
4
3
>0,

x
Từ đó suy ra: x
2
-2.

2
1
x+
4
1
+
4
3
>0
Hay: x
2
-2.
2
1
x+1 >0
Do đó: x
2
-x+1 >0
2. Quy nạp:
Nếu các khẳng định trên một số trờng hợp riêng ta rút ra kết luận chung cho tất cả các
trờng hợp. Suy luận đó gọi là quy nạp.
Ngời ta chia quy nạp thành hai loại: quy nạp hoàn toàn và quy nạp không hoàn toàn
Quy nạp là quy nạp mà kết luận chung đợc khẳng định cho tất cả các trờng hợp đợc
xét (số trờng hợp là hữu hạn)
Quy nạp là quy nạp mà kết luận chung đợc khẳng định từ một số trờng hợp cụ thể. Do
đó kết luận có thể không chính xác hoặc có thể sai lầm. Vì vậy kết luận trong trờng hợp
này có thể xem là một dự đoán, một giả thuyết. Tuy nhiên, những kết luận nh thể cũng có
ý nghĩa to lớn trong sự phát triển toán học qua việc tìm cách chứng minh hay bác bỏ một
giả thuyết.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: m

3
-m

3, với

m

Z
- Với m=3k (k

Z); Ta có: m
3
- m =3(9k
3
-k)

3
- Với m=3k+1 (k

Z); Ta có: m
3
- m =3(9k
3
+9k
2
+2k)

3
- Với m=3k+2 (k

Z); Ta có: m
3
- m =3(9k
3
+18k
2
+4k+2)

3
Kết luận: m
3
-m

3, với

m

Z
3. Tơng tự:
Từ hai đối tợng giống nhau ở một số dấu hiệu ta rút ra kết luận rằng hai đối tợng đó
cũng giống nhau ở dấu hiệu khác thì suy luận ấy gọi là tơng tự
5
Chẳng hạn, hai đối tợng X, Y cùng có tính chất a, và X có tính chất b thì ta kết luận Y
cũng có tính chất b.
Nh vậy, cũng nh quy nạp không hoàn toàn, kết luận của suy luận tơng tự chỉ là một dự
đoán, giả thuyết góp phần thúc đẩy toán học phát triển. Trong giải toán, phơng pháp này
giúp ta liên hệ giữa bài toán cần giải với bài toán đã giải có thể giúp ta nhanh chóng tìm
ra lời giải.
Ví dụ 3: Tơng tự bài toán chia một tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau
(Kẻ đờng trung tuyến). Ta giải đợc bài toán chia một tam giác thành ba tam giác có diện

tích bằng nhau
4. Đặc biệt hoá:
Đặc biệt hoá là suy luận chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tợng sang một tập
hợp đối tợng nhỏ hơn nằm trong tập hợp ban đầu
Đặc biệt hoá có tác dụng kiểm tra kết quả lời giải trong các trờng hợp riêng. Nói
chung sử dụng phơng pháp đặc biệt hoá trong giải toán giúp ta tìm thấy cách giải hoặc ph-
ơng hớng giải.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm M bất kì nằm trong tam giác
đều cho trớc (M có thể nằm trên cạnh của tam giác) đến ba cạnh của tam giác luôn
không dổi.
Ta xét một số trờng hợp đặc biệt:
(a) (b) (c)
(a) M trùng một đỉnh của tam giác, khi đó tổng khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam
giác bằng chiều cao của tam giác đều
(b) M nằm trên một cạnh của tam giác, bằng cách kẻ đờng phụ ta cũng chứng minh đ-
ợc tổng khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác bằng chiều cao của tam giác đều
(c) Từ những trờng hợp đặc biệt trên thì việc tìm lời giải đã đợc định hớng rõ rệt: Tổng
khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác bằng chiều cao của tam giác đều (không
đổi)
5. Tổng quát hoá
Tổng quát hoá là suy luận chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tợng sang một tập
hợp đối tợng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu
Tổng quát hoá có ý nghĩa rất lớn trong toán học cũng nh mọi lĩnh vực khoa học khác.
Trong giải toán, việc tổng quát hoá có thể cho ta bài toán rộng hơn, có tính khái quát hơn
có khi lại giúp ta dễ dàng tìm đợc lời giải.
6
Ví dụ 5: Từ ví dụ 4 ta có thể tổng quát thành bài toán: Chứng minh rằng tổng khoảng
cách từ một điểm M bất kì nằm trong đa giác giác đều cho trớc (M có thể nằm trên cạnh
của đa giác) đến tất cả các cạnh của đa giác luôn không dổi. Việc tìm lời giải cho ví dụ
này tơng tự ví dụ 4 bằng cách xét các trờng hợp đặc biệt

III) ví dụ áp dụng
Bài 1:
a)Tìm đa thức bậc ba sao cho:
f(x)-f(x-1) = x
2
b) Từ kết quả đó hãy tính tổng: T= 1
2
+ 2
2
+ + n
2
Bớc 1: Phân tích, tìm cách giải:
Hoạt động giáo viên Hoạt động của học sinh
a) Đa thức cần tìm có bậc 3 nên nó có
dạng nào?
Nh vậy bài toán yêu cầu ta phải tìm gì
?
Theo điều kiện bài toán ta có điều gì ?
Để tìm đa thức f(x) ta có thể sử dụng
phơng pháp nào ?
Khai triển và rút gọn vế trái ta có:
Từ đó ta có những đẳng thức nào ?
b) Với đa thức tìm đợc và đặc biệt là
tính chất x
2
=f(x) - f(x-1), ta cho x lần
lợt nhận các giá trị 1, 2, 3n và thay
vào T sẽ đợc điều gì ?
f(x) = ax
3

+ bx
2
+ cx +d
a, b, c, d
f(x) - f(x-1)
=(ax
3
+bx
2
+cx+d)-[a(x-1)
3
+b(x-1)
2
+c(x-1) +d]
= x
2
Phơng pháp hệ số bất định
3ax
2
+ (2b - 3a) x + (a-b+c) = x
2
3a=1; 2b-3a=0; a-b+c=0
Suy ra: a=
3
1
; b=
2
1
; c=
6

1
Vậy f(x)=
3
1
x
3
+
2
1
x
2
+
6
1
x +d (d tuỳ ý)
Cho x lần lợt nhận các giá trị 1, 2, 3n và
thay vào T ta đợc:
T= 1
2
+ 2
2
+ + n
2
= f(1)-f(0)+f(2)-f(1)++f(n)-f(n-1)
=f(n)-f(0)
=
3
1
n
3

+
2
1
n
2
+
6
1
n
=
6
)12)(1( ++ nnn
Bớc 2: Trình bày lời giải:
Hoạt động giáo viên Hoạt động của học sinh
7
Cho học sinh trình bày
lời giải
a) Đa thức cần tìm có dạng: f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx +d
Theo bài ra ta có:
f(x)-f(x-1)=(ax
3
+bx
2
+cx+d)-[a(x-1)
3
+b(x-1)

2
+c(x-1)+d] = x
2


3ax
2
+ (2b - 3a) x + (a-b+c) = x
2
Do đó 3a=1 a=
3
1
2b-3a=0

b=
2
1

a-b+c=0 c=
6
1
Vậy f(x)=
3
1
x
3
+
2
1
x

2
+
6
1
x +d (d tuỳ ý)
b) T= 1
2
+ 2
2
+ + n
2
= f(1)-f(0)+f(2)-f(1)++f(n)-f(n-1)
=f(n)-f(0)
=
3
1
n
3
+
2
1
n
2
+
6
1
n =
6
)12)(1( ++ nnn
Bớc 3. Khai thác bài toán:

Hoạt động giáo viên Hoạt động của học sinh
Bằng phơng pháp tơng
tự ta có thể sáng tạo
các bài toán mới từ bài
toán đã cho hay không
?
Bài 1.1
a)Tìm đa thức bậc bốn sao cho: f(x) - f(x-1) = x
3
b)Từ kết quả đó hãy tính tổng: T= 1
3
+ 2
3
+ + n
3
Bài 1.2
a)Tìm đa thức bậc năm sao cho: f(x) - f(x-1) = x
4
b)Từ kết quả đó hãy tính tổng: T= 1
4
+ 2
4
+ + n
4
Bài 1.3
a)Tìm đa thức bậc sáu sao cho: f(x) - f(x-1) = x
5
b)Từ kết quả đó hãy tính tổng: T= 1
5
+ 2

5
+ + n
5

Ngày soạn: 22/12/2009
Ngày dạy:24/12/2009
Phơng pháp giải bài toán chứng minh hình học
1. Chứng minh hai đoạn thăng bằng nhau:
1. Một số gợi ý để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
- Hai đoạn thẳng có cùng số đo
8
- Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba
- Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, trung bình nhân của hai đoạn thẳng bằng
nhau từng đôi một
- Dựa vào t/c của tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông
- Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau
- T/c trung điểmđoạn thẳng, trung tuyến tam giác, trung trực, phân giác
- T/c hình bình hành, chữ nhật,thoi, vuông
- T/c đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền, cạnh đối diện với góc 30
0
của tam giác
vuông
- Tính chất ba đờng phân giác, ba đờng trung trực của tam giác
- Đờng trung bình của tam giác, hình thang
- Mối quan hệ giữa cung, dây cung
- Tính chất của tỉ sô bằng nhau
- Một số định lý: Pitago, Talet
- Tính chất đoạn chắn
- T/c phép đối xứng, tịnh tiến, quay
2. Một số ví dụ minh hoạ:

Bài 1: Trong

ABC lấy điểm P sao cho

PAC =

PBC. Từ P dựng PM

BC; PK

CA.
Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh: DK = DM.
a) Lời giải:
(0,25 đ)
Gọi E, F lần lợt là trung điểm của PA và PB
Ta có: EPFD là hình bình hành (EP//DF; ED//PF)
Nên: DF = EP
DE = FP
Mà: KE= EP (KE là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông APK)
MF=FP(MF là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông BPM)
Suy ra: DF=KE (1)
DE=MF(2)
Mặt khác:

PED=

PFD(EPFD là hình bình hành)
Mà:

KEP=

PAC+

AKE=2

PAC (

AKE cân tại E)

MFP=

PBC+

BMF=2

PBC (

BMF cân tại F)

PAC =

PBC (gt)
Suy ra:

KEP=

MFP (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:

KED=

DFM (c.g.c)
Do đó: DK=DM
b) Khai thác bài toán:
- Thay đổi kết kuận: Gọi N là trung điểm của KM, chứng minh KM

DN
9
Bài 2: Cho tam giác ABC đều, AP là phân giác.Trên mp bờ BC chứa A, vẽ tia Px sao cho
góc CPx bằng góc BAC, tia này cắt AC tại E. c/m PB=PE
a) Cách giải:
b) Khai thác:
2.1. Thay tam giác đều ABC bởi tam giác cân
2.2. Thay tam giác cân ABC bởi tam bất kỳ
Kẻ PE

AB, PH

AC
Ta có: PK=PH
Mà:

BPK+

KPE+

CPx=180
0

EPH+

KPE+

BAC=180
0

CPx=

BAC
Suy ra :

BPK=

EPH
Do đó

PKB=

PHE
Nên: PB=PE
Bài 3. Cho tam giác ABC có

B<90
0
và

B=2

C, vẽ đờng cao AH. Trên tia đối của tia

BA lấy điểm E sao cho BE=BH. đờng thẳng qua EH cắt AC ở D. Chứng minh DA=DC,
AE=HC.
Khai thác:
- Trên HC lấy K sao cho KC=AB. Chứng minh AHKD nội tiếp
- Chứng minh KD

AC
10
Bài 4: Cho đờng tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh Ox, Oy của góc xOy tại A và B. Từ A
vẽ tia // với OB cắt (O) tại C. Đoạn OC cắt đờng tròn (O) tại E, Hai đờng thẳng AE
và OB cắt nhau tại K. Chứng minh K là trung điểm của OB
Gợi ý:

OEK đồng dạng với

AOK

BEK đồng dạng với

ABK
Khai thác: a) C/m

AOK=

AEC
Bài 5. Cho hình thang ABCD (AD//CB), AD > BC có các đờng chéo AC và BD vuông góc
với nhau tại O. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM =
2
CBAD +
. Chứng minh rằng

MAC cân.

Gọi EF là đờng trung bình của hình thang ABCD
Từ C kẻ đờng thẳng song song với BD cắt AD tại N
Ta có: AC

BD nên CN

AC (1)
Mà : BCND là hình bình hành (BC//DN; CN//BD), nên: CB=DN;
Mặt khác: AM =
2
CBAD +
=
2
DNAD +
Suy ra: AD+DN = 2AM
Hay M là trung điểm của AN (2)
11
Từ (1) và (2) suy ra:
CM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông ACN nên CM=
2
AN
=AM
Vậy

MAC cân tại M
Bài 6. Cho tứ giác lồi ABCD có A+C=180
0

, AB<AD. AC là phân giác của góc BAD.
Chúng minh BC=DC
Gợi ý: Lấy E thuộc AD sao cho AE=AB
Bài 7. Cho (O;AB/2). C thuộc cung AB (khác A và B). Vẽ CH vuông góc với AB (H thuộc
AB). Vẽ (C,CH) cắt (O) tại D và E, DE cắt Ch tại M. C/m MH=MC.
Phơng pháp chứng minh hai góc bằng nhau

I. Mục tiêu:
- Cung cấp cho hs phơng pháp chứng minh hai góc bằng nhau
- Rèn luyện kỹ năng giải toán hình học
II. Nội dung:
1. Một số gợi ý để chứng minh hai góc bằng nhau:
1. Hai đoạn thẳng có cùng số đo
2. Hai góc cùng bằng góc thứ ba
3. Cùng bằng tổng, hiệu, của hai góc bằng nhau từng đôi một
4. Dựa vào t/c của tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông
5. Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng
6. T/c hình bình hành, chữ nhật,thoi, vuông
7. Tính chất ba đờng phân giác,
8. Mối quan hệ giữa góc nội tiếp, góc ở tâm,
9. Tam giác, tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp
10.Hai góc có cạnh tơng ứng song song, tơng ứng vuông góc
11.Các hàm số lợng giác: sin, cos
12.T/c phép đối xứng, tịnh tiến, quay
2. Ví dụ:
Bài 1: Cho tam giác ABC, trên AB lấy điểm D, trên AC lấy E sao cho: BD=CE. Gọi N, M
là trung điểm của DE, BC, đờng thẳng MN cắt AB, AC ở P và Q. Chứng minh góc MPB
bằng góc MQC.
Gợi ý:
C1. Gọi F là trung điểm DC

C2. Lấy F đối xứng với C qua N (hoặc đối xứng với B qua N)
12
C3. Lấy F đối xứng với D qua M (hoặc đối xứng với E qua M)
Khai thác: Thay đổi một số đk để có bài toán mới
1.1. Cho góc MPB bằng góc MQC Gọi N, Chứng minh BD=CE
1.2. Từ M kẻ Mx//AC, My//BD, chứng minh, đờng thẳng MN là phân giác của góc xMy
Bài 2: Cho hbh ABCD và P nằm ngoài sao cho:

PDA=

PBA (B và D nằm ở hai phía so
với đt PB). Chứng minh

APB=

DPC
Gợi ý: Dựng hbh ABPQ
Khai thác:
- Có thể dựng hbh ADPQ
2.1. Thay GT thành KL và KL thành GT
2.2. CM:

APD=

BPC
2.3. Gọi E là giao điểm của PC và AB, Hai tam giác EPB và APD đồng dạng
Chứng minh hai đờng thẳng //:
1. Một số gợi ý:
- Dựa vào t/c hai đờng thẳng //
- Hai đờng thẳng cùng // hoặc cùng vuông góc với đờng thẳng thứ 3

- T/c hbh, hcn, hthoi
- T/c đờng trung bình
- Định lý Ta lét đảo
2. Ví dụ:
Bài 1. Cho tứ giác lồi ABCD, từ A và B kẻ các đờng thẳng // với BC, AD. Các đờng thẳng
này cắt BD, Ac tại E và F. CM: EF//DC
13
Gợi ý:Dựa vào Talet, nhân các tỉ lệ với nhau
Bài 2. Cho tam giác ABC (AC>AB), trên đoạn AC lấy E sao cho CE=AB. Gọi P, Q theo
thứ tự là trung điểm của BC và AE. CM PQ//đờng phân giác của góc BAC
Gợi ý: Dựng tam giác cân ACN
Bài 3. Cho hình thang ABCD, trên BC lấy E, trên AD lấy F sao cho DE//BF. CM AE//CF
Gợi ý: Dùng Talet, nhân các tỷ lệ với nhau
Bài 4. Cho 2 đ tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ một cát tuyến qua A cắt hai đờng
tròn tại B và C. CM tiếp tuyến tại B và C // với nhau
Bài 5. Cho 2 đ tròn (O) và (O) tiếp xúc trong tại A. vẽ hai cát tuyến qua A cắt (O) tại B và
C, cắt (O) tại D và E. CM: BC//DE
14
Bài 6. Cho 2 đ tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài tại A. vẽ hai cát tuyến qua A cắt (O) tại B
và C, cắt (O) tại D và E. CM: BC//DE
Gợi ý: Kẻ tt chung tại A
Bài 7. Cho 2 đ tròn (O) và (O) cắt nhau tại B và C. Từ A thuộc (O) vẽ 2 cát tuyến cắt 2
đtròn (O) tại D và E. CM: DE// tiếp tuyến tại A của (O).
Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc:
1. Một số gợi ý:
- Tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù
- Dựa vào t/c tổng ba góc trong tam gíac
- Quan hệ giữa vuông góc và //
- Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn
- Tính chất ba đờng cao, ba đờng trung trực trong tam giác

- T/c tam giác cân, đều
- Định lý Pitago
- Quan hệ giữa đờng kính và dây cung
- T/c trung tuyến của tam giác
- T/c tiếp tuyến của đờng tròn
2. Ví dụ:
Bài 1:
Cho hình thang vuông ABCD (A=D=90
0
) có CD=2.AB. Gọi H là chân đờng vuông góc
hạ từ D xuống AC và M là trung điểm HC. Chứng minh đờng thẳng DM vuông góc với
đt BM.
Gợi ý: Gọi E là trung điểm DC, O là giao điểm của AE và BD
Ta có: ABED là hình vuông, EM

HC suy ra tam giác AME vuông tại M
Nên: OA=OB=OE=OD=OM
Do đó tam giác BMD vuông tại M (đpcm)
Cách 2: Gọi F là trung điểm của DH, c/m AFMB là hbh
15
Bài 2
Cho tam giác cân ABC, H là trung điểm của BC, E là hình chiếu của H trên AC, O là
trung điểm của HE. c/m AO

BE
Gợi ý:
Cách 1: Gọi F là trung điểm EC, ta có: BE//HF, FO//HC nên FO

AH
Do đó O là trực tâm của tam giác AHF suy ra AO

HF
Vậy AO

BE
Cách 2:
Ta có:

AHE
:

HCE (g.g)
Nên
AH HE
=
HC CE

AH 2Ho
=
2HC 2CE

AH Ho
=
BC CE
Mà

AHO=

BCE
Do đó:

AHO
:

BCE
Suy ra:

HAO=

CBE nên tứ giác AMHB nội tiếp
Vậy AO

BE
Khai thác:
2.1. c/m

AHO
:

BCE
2.2. c/m tứ giác AMHB nội tiếp
2.3.
Bài 3.
Cho tam giác nhọn ABC nt đt (O;R), hai đ cao BD và CE. C/m AO

DE
Gợi ý: Kẻ tt Ax
16
C¸ch 2: KÐo dµi CE vµ BD c¾t ®t t¹i M vµ N, c/m MN//ED, MN
⊥

AO
Bµi 4. Cho tam gi¸c ABC nt ®t (O:R) (AC>AB). §t (I) tiÕp xóc víi AB vµ ®i qua C c¾t AD
t¹i D. C/m BD
⊥
AO
Gîi ý: KÎ tt Ax
Bµi 5
Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A nt ®t (O). D lµ trung ®iÓm cña AB , E lµ träng t©m tam gi¸c
ACD. C/m OE
⊥
CD
Gîi ý:
17
Gọi M,N là trung điểm của AD, AC
G là giao điểm của AO và DC nên G là trọng tâm tam giác ABC
C/m DO

AB, GE//AB, GE

DO, GO

DE, nên O là trực tâm tam giác DEG
Suy ra: OE

CD
Bài 6
Ngày soạn: 9/2/2009
Ngày dạy: 11/2/2009
Bài toán tìm số
Bài 1. Tìm số chẵn lớn nhất có 5 chữ số mà 3 chữ số đầu (giữ nguyên vị trí từ trái sang

phải) tạo thành một số chính phơng và 3 chữ số cuối (giữ nguyên vị trí từ trái sang phải)
tạo thành một số lập phơng đúng.
Giải:
Gọi số cần tìm là: A=abcde. Ta có: abc=x
2
; cde=y
2
Vì chẵn nên e chẵn ,y chẵn
Vì y
3
là một số có 3 chữ số nên: 5<=y<=9 nên y=6 hoặc y=8
Nếu y=6 thì y
3
=216 nên c=2
Nếu y=8 thì y
3
=512 nên c=5; d=1; e=2
Vì abc=x
2
không có tận cùng = 2 nên c=5
Vì x
2
có 3 chữ số; c=5 nên x=15 hoặc x=25
Mà A lớn nhất nên x lớn nhất hay x=25
Nên abc=625
Vậy A=62512
Bài 2.
18
Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 3, Nếu thêm chữ số 0 vào
giữa các chữ số rồi cộng vào số mới một số = 2 lần số hàng trăm của nó thì đợc một sô

lớn gấp 9 lần số phải tìm.
Giải
Gọi số phải tìm là ab (0<a<=9: 0<=b<=9)
Ta có ab

3 và a0b=2a=9ab
Hay a+b

3 và 3a=2b
Vì (2,3)=1 nên a

2; b

3
Mà a+b

3; b

3 nên a

3
Do dó a=6 và b=9
Bài 3
Một số gồm 4 chữ số giống nhau chia cho một số có 3 chữ số giống nhau thì đợc thơng là
16 và có d. Nếu số bị chia và số chia đều giảm một chữ số thì thơng không đổi và d giảm
200. Tìm các số đó.
Giải:
Ta có: aaaa=16 bbb+r (1<=a,b<=9)
aa=16 bb +(r-200) (200<=r<=bbb)
Suy ra: 5a=8b+1

nên 8a+1

5 suy ra 8b có tận cùng là 4 hoặc 9 hay b=3; a=5
Bài 4.
phơng trình nghiệm nguyên
I. Sử dụng các tính chất số học:
1. Tìm số nguyên tố thoả mãn: x
2
-2y
2
=1
Ta có 2y
2
=x-1
- Nếu x

3 thì x=3 vì x nguyên tố khi đó y=2 (thoả)
- Nếu x không

3 thì x=3k+1 hoặc x=3k+2
Nên x
2
-1

3 suy ra 2y
2

3
Mà (2,3)=1 nên y
2

3 suy ra y=3 ( vì y nguyên tố)
Khi đó x
2
=19( không thoả mãn)
Vậy số phải tìm là: x=3; y=2
2. Tìm nghiệm nguyên của pt: 6x
2
+5y
2
=74
5y
2
=74-6x
2
Mà 74-6x
2
<=74 nên y
2
<=9
74-6x
2
chẵn nên 5y
2
hay y
2
chẵn
Do đó y
2
=0, 4

- Nếu y
2
=0 thì không thoả mãn
- Nếu y
2
=4 thì y=

2 và x=

3
3. Tìm nghiệm nguyên tố của pt: xyz=3(x+y+z)
3(x+y+z)

3 nên x,y,z ít nhất có một số chia hết cho 3
Không mất tính tổng quát, giả sử x

3 thì x=3
Suy ra 3yz=3(3+y+z)
(y-1)(z-1)=4
(y-1)=1; (z-1)=4
(y-1)=4;(z-1)=1
(y-1)=2;(z-1)=2
19
Do đó: y=2; z=5
hoặc y=5; z=2
hoặc y=3; z=3
Vậy pt có nghiệm (3;3;3); (3;5;2) và các hoán vị của nó
4. Tìm nghiệm nguyên tố của pt: x
y
+1=z

x,y,z nguyên tố nên x,y,z>=2 nên x
y
>=4 do đó z>=5 và z lẻ nên x
y
chẵn
Do đó x chẵn nên x=2 (vì x nguyên tố)
Vậy z=2
y
+1
- Nếu y chẵn thì y=2 khi đó z=5
- Nếu y lẻ thì 2
y
+1

(2+1) nên z

3
Mà z>= 5 nên z không nguyên tố
Vậy pt có nghiệm (2;2;5)
II. Sử dụng BĐT để thu hẹp miền giá trị rồi thế từng giá trị:(phơng pháp đánh
giá).
5. Tìm nghiệm nguyên của pt:1+x+x
2
+x
3
=y
3
1+x+x
2
>0 nên x

3
<y
3
Mà (x+2)
3
=x
3
+3x
2
.2+3x.4+1= x
3
+6x
2
+12x.+1
=x
3
+ x
2
+x+1+5(x+
2
)
10
11
+
20
19
Nên y
3
<(x+2)
3

Vậy x
3
<y
3
<(x+2)
3
Hay x< y<x+2
Do đó y=x+1, thay vào pt ban đầu:
x
3
+ x
2
+x+1= (x+1)
2
x=0; x=1
Vậy pt có 2 nghiệm: (0;1) và (-1;0)
6. x
4
-y
4
+z
4
+2x
2
y
2
+3x
2
+4z
2

+1=0
x
4
-y
4
+z
4
+2x
2
y
2
+3x
2
+4z
2
+1=0
y
4
= x
4
+z
4
+2x
2
y
2
+3x
2
+4z
2

+1=( x
2
+z
2
+1)
2
+ x
2
+ 2z
2

( x
2
+z
2
+1)
2
Mà y
4
=( x
2
+z
2
+2)
2
-x
2
-3<(x
2
+z

2
+2)
2
Vậy ( x
2
+z
2
+1)
2


y
4
< (x
2
+z
2
+2)
2
Hay y
2
= x
2
+z
2
+1, thay vào pt đầu:
ta đợc x=z=0; y=

1
7. x

4
+x
2
+1=y
2
(x
2
)
2
< x
4
+x
2
+1<=(x
2
+1)
2
y
2
= x
2
+1
Thay vào ta có: x=0, y=1, -1
8. y
3
-x
3
=2x+1
(x-1)
3

< x
3
+2x+1<(x+2)
2
(Cần CM)
9. x
4
+x
2
+4=y
2
-y
x
2
(x
2
+1)< x
4
+x
2
+4<(x
2
+2)(x
2
+3)
Nên y
2
-y=(x
2
+1)(x

2
+2)
10.x
3
-y
3
-2y
3
-3y-1=0
II. Quy về các hệ bậc nhất:
11.y
2
=-2(x
6
-x
3
y-32)
y
2
=-2(x
6
-x
3
y-32)
2x
6
+y
2
-2 x
3

y=64
(x
3
)
2
+(x
3
-y)
2
=8
2
(x
3
)
2
=0 (x
3
)
2
=8
2

hoặc
(x
3
-y)
2
=8
2
(x

3
-y)
2
=0
Vậy x=0; y=

8 hoặc x=

2; y=

8
20
12.(x
2
-10x+2y)(y
2
+6y+14)=20
[(x-5)
2
+4][(y+3)
2
+5]=20
13.x
2
+x+6=y
2
Nhân cả 2 vế với 4
14.x
2
-4xy+5y

2
=169
IV. Các phơng pháp khác:
15.12x
2
+6xy+3y
2
=28(x+y)
12x
2
+6xy+3y
2
=28(x+y)
3y
2
+(6x-28y)+12x
2
-28x=0

=-27x
2
+196
Để pt có nghiệm thì



0;

là số chính phơng
Vậy x=0 hoặc x=

1
Nghiệm: (0;0); (1;8); (1;10)
16.1!+2!+3!+ +x!=y
2
x=1 thì y=

1
x=2 thì y

Z
x=3 thì y=

3
x=4 thì y

Z
y

5 thì 1!+2!+3!+4!+5! +x! có tận cùng là 3
tận cùng là 3 tận cùng là 0
Mà y
2
không có tận cùng là 3 nên ptvn
BTVN
17.Tìm nghiệm nguyên dơng:
a)
1
111
=++

zyx
b)
1
1111
2222
=+++
dcba
c)
1001
947
13117
=++
zyx
Tính toán các yếu tố hình học
Bài 1.
Cho tam giác ABC có

A=20
0
;

B=80
0
. Trên AC lấy M sao cho AM=BC. Tính

BMC
21
Gợi ý: Dựng tam giác đều BCE trong tam giác ABC
C/m

AMB=

BEA suy ra

AMB=150
0
nên

BMC=30
0
Bài 2.
Cho tam giác ABC. Trên BC lấy D sao cho BD=1/3 BC. Biết

B=45
0
,

ADC = 60
0
.
Tính

ACB.
Gợi ý: Dựng tam giác đều DEM
Bài 3.
Cho tam giác ABC cân tại A,

A=40
0
. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia

bx sao cho

CBx=10
0
. Trên tia Bx lấy D sao cho BD=BA. Tính

BDC.
22
Gợi ý: Vẽ tam giác đều BEC
Bài 4.
Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, M nằm trong tam giác sao cho MA=2cm;
MB=3cm;

AMC=135
0
. Tính MC.
Gợi ý: Dựng tam giác vuông cân ADM, DM
2
=2AD
2
=8

BAM=

CAD (c,g,c) nên DC=MB=3

DMC vuông tại M
Suy ra: MC
2
=DC

2
-DM
2
=9-8=1
Bài 5.
Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, M nằm trong tam giác sao cho
MA:MB:MC=2:3:1. CM

AMC=135
0
.
Bài 6.
Cho tam giác ABC đều . D thuộc AC. Từ D vẽ đt

AB, từ C vẽ đt

BC hai đt này cắt
nhau tại E. Gọi M là trung điểm của AD, tính

MBE
23
Gợi ý: Dựng tam giác đều BEF
Ta có:

ABF=

CBE (c.g.c) nên FA=EC và FA
Mà EC=ED (

DEC cân tại E)

Suy ra ECD đều
Mặt khác: FA//ED (cùng

AB)
Do đó FAED là hbh và M là trung điểm của FE
Vậy

MBE=30
0
Bài 7.
Cho tứ giác ABCD có

C=50
0
;

D=80
0
, AD=BC. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của
các cạnh AB và CD. Tính

EFC
Bài 8.
Cho tam giác ABC
cân tại A có

A=80
0
. Gọi D nằm
trong tam giác sao

cho

DBC=10
0
,

DCB = 30
0
. Tính

BAD.
Gợi ý: Dựng tam
giác đều EBC

EAB=

CDB
(g.c.g) nên BA=BD
hay

BAD cân tại B
Mà BAD=60
0
-
20
0
=40
0
Nên

BAD=70
0
24