Đề thi và đáp án thi thử ĐH lần II 2011

Trờng thpt nam phù cừ đề thi thử đại học lần II năm 2011
Tổ toán tin Môn thi : Toán
******** (Thời gian làm bài: 180 phút)
Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm):
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số
4
2
5
3
2 2
x
y x
= +
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ x
M
= a. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì
tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M.
Câu II (2,0 điểm)
1/ Giải phơng trình:
4 4 4 4 4
3
( ) ( ) 4
4 4 2
sin x sin x cos x cos x sin x

+ + + + + =
.
2/ Tìm tất cả các số thực x thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
a)

2 2
( 3 ) 2 3 2 0x x x x
(1)
b)
2
(6 27) 8.(6 27) 3
x x x+
+ + =
(2)
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
1
2
0
(1 )
1
sinx
cosx
ln dx
sinx

+

+

+



Câu IV (1,0 điểm)
Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, AA = AB = AC và mặt phẳng (AAB)

vuông góc với mp(AAC). Tính
. ' ' 'ABC A B C
V
.
Câu V (1,0 điểm)
Cho p, q là các số tự nhiên lớn hơn 1 và
0;
2
x





. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
p q
T cos x sin x
=
Phần riêng ( 3,0 điểm): Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A/ Theo chơng trình Chuẩn.
Câu VI.a (3,0 điểm)
1/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(1;2), đờng chéo BD có phơng trình:
2 1 0x y+ + =
. Điểm M nằm trên đờng thẳng AD sao cho M và D nằm về hai phía so với A và AM = AC. Đờng
thẳng MC có phơng trình:
1 0x y+ =
. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD.
2/ Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) và mặt cầu (S) có phơng trình:
2 2 2

2 2 2 1 0x y z x y z+ + + + =
. Viết phơng trình mp(P) đi qua hai điểm A, B và (P) cắt (S) theo một
đờng tròn có bán kính bằng 1.
3/ Trong các số phức z thoả mãn điều kiện:
1 2 1z i+ + =
, tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
B/ Theo chơng trình Nâng cao.
Câu VI.b (3,0 điểm)
1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đờng tròn (C):
2 2
( 1) ( 2) 9x y + =
. Tìm trên đờng thẳng


:
9 0x y+ =
các điểm M sao cho từ M kẻ đợc tới (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 60
0
.
2/ Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) và đờng thẳng (d):
1
2 ( )
2
x t
y t t R
z t
=


= +

=

Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua A và cắt đờng thẳng (d) sao cho khoảng cách từ B đến

lớn nhất.
3/ Tìm môđun của số phức:
3
1 2 (1 )
1
i i
z
i
+
=
+
.
Hãy làm theo cách của bạn
Hết
Biểu điểm và đáp án môn toán
Câu Nội dung Điểm
Câu I
(2,0
đ
)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. ( 1,0
đ

)
1) Tp xỏc nh D=R
2) Sự biến thiên
a) Chiều biến thiên
Ta có
( )
3 2
' 2 6 2 3y x x x x= =
,
' 0 0, 3y x x= = =
0,25
1
Trên các khoảng
( ; 3)
và
(0; 3)
,
' 0y <
nên hàm số nghịch biến
Trên các khoảng
( 3;0)
và
( 3; )+
,
' 0y >
nên hàm số đồng biến
b) Cực trị
Tại
0x
=

, hàm số đạt CĐ:
5
(0)
2
CD
y y= =
Tại
3x =
, hàm số đạt CT:
( 3) 2
CT
y y= =
c) Giới hạn: :
lim ; lim
x x
y y
+
= + = +
d) Bảng biến thiên:
x


3
0
3

+
y - 0 + 0 - 0 +
y
+

5
2

+
-2 -2
3) Đồ thị
* Điểm uốn
Ta có
2
'' 6 6y x=

'' 0 1y x= =

Do y đổi dấu khi x đi qua
1
nên đồ thị có hai điểm uốn U
1
(-1;0) và U
2
(1;0)
* Đồ thị đi qua các điểm
3 5 3
( 2; ),( 3; 2),(0; ),( 3; 2),(2; )
2 2 2

* Nhận xét:
Đồ thị nhận oy làm trục đối xứng
Đồ thị cắt oy tại
5

(0; )
2
C
0,25
0,25
0,25
2/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại
M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M. (1,0
đ
)
+ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M
Vì
4
2
5
( ) ( ; 3 )
2 2
a
M C M a a +
Ta có:
3 3
' 2 6 '( ) 2 6y x x y a a a= =
Vậy tiếp tuyến của (C) tại
4
2
5
( ; 3 )
2 2
a
M a a +

có PT:
4
3 2
5
(2 6 )( ) 3
2 2
a
y a a x a a= + +
+ Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M.
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và (C) là nghiệm của phơng trình:
4 4
2 3 2 2 2 2
5 5
3 (2 6 )( ) 3 ( ) ( 2 3 6) 0
2 2 2 2
x a
x a a x a a x a x ax a + = + + + + =



=++=
=

0632)(
22
aaxxxg
ax
Yêu cầu bài toán đợc thoả mãn khi: g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác a

<







<






=
>=

1
3
1
03
066)(
0)63(
2
2

2
22'
)(
a
a
a
a
aag
aa
xg
Vậy giá trị a cần tìm là:
{ }
( 3; 3) \ 1a
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu II
(2,0
đ
)
1/ Giải phơng trình:
4 4 4 4 4
3
( ) ( ) 4
4 4 2
sin x sin x cos x cos x sin x

+ + + + + =
(*) (1,0

đ
)
Ta có PT(*) sin
4
x + cos
4
x + sin
4
(x+
4

) + cos
4
(x+
4

)
4
3
4
2
sin x=
0,25
2
1 2sin
2
x cos
2
x + 1 2sin
2

(x+
4

).cos
2
(x+
4

)
4
3
4
2
sin x=
1-
2
1
sin
2
2x +1 -
2
1
sin
2
(2x +
2

)
4
3

4
2
sin x=
2 -
2
1
sin
2
2x -
2
1
cos
2
2x
4
3
4
2
sin x=

2
3
sin
4
4x =
2
3

sin
2

4x = 1
cos 4x = 0 4x =
2

+ k x =
8

+ k
4

với k Z
Vậy PT có các nghiệm là: x =
8

+ k
4

với k Z
0,25
0,25
0,25
2/ Tìm tất cả các số thực x thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: (1,0
đ
)
a)
2 2
( 3 ) 2 3 2 0x x x x
(1)
b)
2

(6 27) 8.(6 27) 3
x x x+
+ + =
(2)
a) Giải bất pt:
2 2
( 3 ) 2 3 2 0x x x x
(1)
Ta có (1)

2
2
2
2 3 2 0
2 3 2 0
( 3 ) 0
x x
x x
x x

=



>

{ }
[
)
1
1
; 2 3;
2
T

= +



b) Giải pt:
2
(6 27) 8.(6 27) 3
x x x+
+ + =
(2)
Ta có (2)

(6 27) 8.(6 27) 9.3
x x x
+ + =

6 27 6 27
8. 9
3 3
x x

+
+ =
ữ ữ
ữ ữ

Vì
6 27 6 27
. 1
3 3

+
=
ữ ữ
ữ ữ

nên đặt
6 27
, 0
3
x
t t

+
= >

ữ
ữ

PT trở thành:
2
1 ( / )
8 9 1 0
1
( / )
8
t t m
t t
t t m
=


+ =

=

Với
1 0t x
= =
Với
6 27
3
1 1
log
8 8
t x

+
= =

2
6 27
3
1
0, log
8
T
+


=



Vậy số thực thoả mãn đồng thời hai điều kiện trên là:
6 27
3
1
log
8
x
+
=
*Lu ý: ở điều kiện (1) nếu thiếu TH:
2
2 3 2 0x x =
sẽ bị mất nghiệm x = 2.

0,25
0,25
0,25
0,25
3
Nghĩa là bất PT:
( ) 0
( ). ( )
( ) 0
( ) 0
g x
f x g x o
g x
f x

=




>








Câu III

(1,0
đ
)
Tính tích phân: I =
1 sin
2
0
(1 )
ln
1 sin
x
cosx
dx
x

+

+

+


( 1,0
đ
)
Ta có

++++=
2
0

2
0
2
0
)sin1ln()cos1ln(sin)cos1ln(

dxxdxxxdxxI
(I)
1
( I
2
) (I
3
)
Chứng minh: I
1
= I
3
Đặt:
2
x t dx dt

= =
Đổi cận
0
2
0
2
x t
x t

= =




= =


2 2
1
0 0
ln(1 sin ) ln(1 sin )I t dt x dx

= + = +

. Suy ra I
1
- I
3
= 0
Tính:

+=
2
0
2
)cos1ln(sin

dxxxI
Đặt:
:sincos1 xdxdtxt
=+=
Đổi cận
0 2
1
2
x t
x t

= =



= =


Khi đó:

=
2
1
2
ln tdtI
Đặt:

=
=
dtdv
tu ln






=
=
tv
dt
t
du
1




=
2
12
ln ttI
2
1
2
1
)ln( tttdt =

2ln 2 1=
Vậy:
2 2 1I ln
=
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu IV
(1,0
đ
)

Gọi M là trung điểm của BC và O là trọng tâm tam giác ABC
Vì AA = AB = AC nên
' ( )A O ABC
do
'AO BC AA BC
0,25
0,25
B
A
B
C
M
I
4
A

A
C
Gọi I là hình chiếu của B trên AA
' ( )AA BIC

0
90BIC =
và
2 2
BC a
IM = =
Tacó:
6
' ( ) ' ' '
' ' 6
MI AM a
AA BIC AA IM A AO MAI A O
A O AA
= =
Vậy
2 3
. ' ' '
3 6 . 2
. ' .
4 6 8
ABC A B C ABC
a a a
V S A O= = =

Kết luận

0,5
Câu V
(1,0
đ
)
Cho p, q là các số tự nhiên lớn hơn 1 và
0;
2
x





. Tìm GTLN của biểu thức:
.
p q
T cos x sin x=
Vì
0T

0;
2
x





, nên T đạt GTLN khi

2 2 2
( ) .( )
p q
T cos x sin x=
lớn nhất
Xét hàm số:
2 2
( ) .( )
p q
y cos x sin x
=
với
0;
2
x





. Đặt t =
2
cos x
, xét hàm số:

( ) (1 )
p q
f t t t
=
với

[ ]
0;1t
Ta có
[ ]
1 1
'( ) (1 ) ( ).
p q
f t t t p p q t

= +

'( ) 0
p
f t t
p q
= =
+
hoặc t = 0 hoặc t = 1
Bảng biến thiên:

t
0
p
p q
+
1
f(t) 0 + 0 - 0
f(t) 0 0
Nhìn vào BBT ta thấy
[ ]

0;1
( ) ( ) ( )
p q
p q p
max f t t
p q p q p q
= =
+ + +

Từ đó
[ ]
0;1
( ) ( )
p q
p q q
max y x arctan
p q p q p
= =
+ +
Kết luận
* Chú ý: Có thể làm theo cách khác (Sử dụng bất đẳng thức Côsi)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
VIa
(3,0
đ
)

1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình bình hành ABCD (1,0
đ
)
Vì
( ;1 )C MC C t t
. Giả sử
AC BD I =
1 3
( ; )
2 2
t t
I
+

Do
7 ( 7;8), ( 3;5)I BD t C I =
Vì
AMC ACM MCB
= =
MC là phân giác trong
ACB

của tam giác ABC
Từ A kẻ
1 1 1 1
( ). / (0;1) ( 1;0)AA MC A BC G s AA MC J J A =
PT của BC:
4 3 4 0x y+ + =
Ta có
1 13

( ; 2) ( ;12)
2 2
B BC BD B D=
Vậy
1
( ; 2)
2
B
,
( 7;8)C
,
13
( ;12)
2
D
0,25
0,25
0,25
0,25
2) Viết ptmp(P) đi qua A, B và (P) cắt (S) theo một đờng tròn có bán kính bằng 1. (1,0
đ
)
Mặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) và bán kính R = 2
Mặt phẳng (P) đi qua A(0; -2; -6) nhận véctơ
2 2 2
( , , ),( 0)n a b c a b c+ +
r
làm véctto pháp tuyến
có PT:
2 6 0ax by cz b c+ + + + =

Từ giả thiết:
0,25
5
( )maxf t

(2;0; 2) ( )

( ;( )) 3
B P
d I P





=


tìm đợc a, b, c suy ra PT mp(P)
Kết luận có hai mặt phẳng: (P
1
): x + y z 4 = 0 và (P
2
): 7x 17y + 5z 4 = 0
0,5
0,25
3/ Trong các số phức z thoả mãn đ/k:
1 2 1z i+ + =
(*) tìm số phức z có môđun nhỏ nhất (1,0
đ

)
Gi z = x + yi , (
,x y R
) và M(x ; y ) l im biu din s phc z.
Ta có :
2 2
1 2 1 ( 1) ( 2) 1z i x y+ + = + + + =
ng trũn (C) :
2 2
( 1) ( 2) 1x y+ + + =
cú tõm (-1;-2)
ng thng OI cú phng trỡnh y = 2x
S phc z tha món iu kin (*) v cú mụdun nh nht khi v ch khi im biu din nú thuc (C) v
gn gc ta O nht, ú chớnh l mt trong hai giao im ca ng thng OI v (C)

Khi ú ta ca nú tha món h
2 2
1 1
1 1
2
5 5
,
2 2
( 1) ( 2) 1
2 2
5 5
x x
y x
x y
y y

= = +

=




+ + + =


= = +


Dễ dàng kiểm tra đợc z =
1 2
1 ( 2 )
5 5
i + + +
là số phức thoả mãn yêu cầu bài toán.
0,25
0,5
0,25
Câu
VIb
(3,0
đ
)
1/ Tìm trên đờng thẳng (d):
9 0x y+ =

các điểm M sao cho từ M kẻ đợc tới (C) hai tiếp
tuyến tạo với nhau một góc 60
0
. (1.0
đ
)
Đờng tròn (C) có tâm I(1 ; 2) và bán kính R = 3
Vì
( ; 9)M M m m +
Giả sử từ M kẻ đợc tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB với A, B là các tiếp điểm
Xét hai trờng hợp :
a)
0
30IMB =
Ta có :
0
6
30
IB
IM
sin
= =
Từ đẳng thức : IM = 6
2
1 2
1
2 16 14 0 (1;8), (7;2)
7
m
m m M M

m
=

+ =

=

b)
0
60IMB =
Trờng hợp này không có giá trị nào của m thoả mãn
Kết luận : Vậy có hai điểm
1 2
(1;8), (7;2)M M
thoả mãn yêu cầu bài toán.
0,25
0,25
0,25
0,25
3/ Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua A và ( 1,0
đ
)
Giả sử

cắt d tại M nên
(1 ; 2 ;2 )M t t t +
Ta có
2

2
28 152 208
( , )
3 10 20
t t
d B
t t
+
=
+
Xét hàm
2 2
2 2 2
28 152 208 16(11 8 60)
( ) '( )
3 10 20 (3 10 20)
t t t t
f t f t
t t t t
+
= =
+ +

2
28
'( ) 0 , ( )
30
3
11
t

t
f t lim f t
t

=


= =

=

BBT
Từ BBT ta thấy
( ) 12 2 ( , ) 12 2
max
maxf t t d B t= = = =
Khi đó đờng thẳng

có PT:
1 4 2
1 4 3
x y z
= =

0,25
0,25
0,5
6
3/ Tìm môđun của số phức:
3

1 2 (1 )
1
i i
z
i
+
=
+
(1,0
đ
)
Ta có :
3 2 3
1 2 (1 ) 1 2 (1 3 3 )
1 1
i i i i i i
z
i i
+ + +
= =
+ +
, do
2 3
1,i i i= =
nên
3 4 7 1
1 2 2
i
z i
i

+
= = +
+
Vậy
2 2
7 1 5 2
2 2 2
z

= + =
ữ ữ

Kết luận
5 2
2
z =
0,5
0,5
Chú ý :
+ Trên đây chỉ là biểu điểm chấm và đáp án vắn tắt, trong bài làm thí sinh phải trình bày lời giải
đầy đủ, chi tiết.
+ Nếu thí sinh làm theo cách khác nhng vẫn đúng thì vẫn cho điểm theo quy định.
+ Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25.
7