một số ứng dụng của đại số tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (636.45 KB, 61 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ
TUYẾN TÍNH
Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện
ThS. Trang Văn Dể Nguyễn Thị Mỹ Linh
MSSV:1100034
Lớp: SP Toán K36
C
ần Th
ơ, 2014
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 2
LỜI CÁM ƠN
Trong suốt quá trình học tập tại Trường Đại Học Cần Thơ, tôi đã nhận được
rất nhiều sự chỉ dẫn, quan tâm của các thầy cô cùng sự giúp đỡ, san sẽ của gia
đình bạn bè và các anh, chị khóa trước. Bằng những điều trên đã tiếp sức cho tôi
hoàn thành luận văn tốt nghiệp “
Một Số Ứng Dụng Của Đại Số Tuyến Tính
”
Lời đầu tiên tôi xin cám ơn thầy Trang Văn Dể - người luôn quan tâm, giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp. Thầy sẵn sàng giúp đỡ
khi tôi gặp khó khăn cả về kiến thức và cách thức để có thể hoàn thành luận văn.
Tôi xin cám ơn quý thầy cô Bộ môn Sư phạm Toán- Khoa Sư Phạm –
Trường Đại Học Cần Thơ vì quý thầy cô đã cung cấp cho tôi các kiến thức quan
trọng, cần thiết thông qua các học phần của chương trình đào tạo. Đó là nền tảng
giúp cho tôi thực hiện hoàn tất luận văn tốt nghiệp như ngày hôm nay.
Một điều quan trọng là trường học – Trường Đại Học Cần Thơ đã tạo điều
kiện tốt nhất cho tôi học tập (trung tâm học liệu , thư viện các khoa, máy tính…)
Cám ơn tất cả các bạn đã đóng góp ý kiến cũng như các tài liệu tham khảo
cùng với sự động viên. Điều đó giúp tôi có thể vượt qua nhiều khó khăn.
Tuy luận văn đã được hoàn tất nhưng tôi biết nó vẫn còn nhiều thiếu sót
cần bổ sung và chỉnh sửa. Kính mong quý thầy cô và toàn thể các bạn có thể
đóng góp ý kiến để luận văn có thể hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cám ơn!
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 3
MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN 2
MỤC LỤC 3
PHẦN MỞ ĐẦU 5
Chương 1. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ SỞ 6
1.1 Ma trận 6
1.1.1 Định nghĩa 6
1.1.2 Các định nghĩa 6
1.2 Các phép toán trên ma trận 6
1.2.1 Phép cộng các ma trận 6
a. Định nghĩa 6
b. Các tính chất của phép cộng ma trận 7
1.2.2 Phép nhân đại lượng vô hướng với ma trận 7
a. Định nghĩa 7
b. Các tính chất 7
1.2.3 Phép nhân hai ma trận 7
a. Định nghĩa 7
b. Các tính chất 7
1.3 Ma trận khả nghịch 8
1.3.1 Định nghĩa 8
1.3.1 Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi sơ cấp 8
1.4 Định thức 8
1.4.1Định nghĩa phép thế 8
1.4.2 Định nghĩa định thức 8
1.4.3 Công thức khai triển định thức 8
1.4.4 Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp 9
1.5 Hạng của ma trận 9
1.5.1 Định nghĩa 9
1.5.2 Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp 10
1.6 Hệ phương trình tuyến tính 10
1.6.1 Định nghĩa 10
1.6.2 Phương pháp khử Gauss 10
a. Định lý: 10
b. Phương pháp khử Gauss 11
c. Định lý 11
1.6.3 Hệ Cramer 12
1.6.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 12
Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 13
2.1 Ứng dụng trong các ngành Hóa- Sinh 13
2.1.1 Ứng dụng trong lĩnh vực Hóa- Sinh học 13
2.1.2 Đường thẳng bình phương tối tiểu 19
a. Định nghĩa 19
b. Định lý 20
c. Ví dụ minh họa 22
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 4
2.2 Ứng dụng trong vật lý 23
2.2.1 Xác định phương trình tổng quát của các đường cônic trong mặt phẳng
(Parapol, Hyperbol, Elip, các suy biến của đường cong) 23
a. Bài toán tổng quát 23
b. Một vài ví dụ 24
2.2.2 Ứng dụng trong bài toán tìm cường độ dòng điện của mạch điện 26
a. Sơ lượt kiến thức về mạch điện 26
b. Một vài ví dụ 29
2.3 Ứng dụng trong kinh tế 31
2.3.1 Bài toán hạch toán giá thành 31
2.3.2 Bài toán xác định nhu cầu vốn 32
2.3.3 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 35
2.3.4 Xích Markov 38
a. Khái niệm ma trận ngẫu nhiên 39
b. Khái niệm xích Markov 42
2.3.5 Một vài ứng dụng thông thường 45
2.3.6 Mô hình cân bằng thị trường 49
a. Thị trường một loại hàng hóa 49
b. Thị trường nhiều hàng hóa liên quan 50
2.3.7 Mô hình Input- output Leontief 51
PHỤ LỤC 57
PHẦN KẾT LUẬN 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO 61
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 5
PHẦN MỞ ĐẦU
Toán học là một trong các lĩnh vực quan trọng trong cuộc sống. Tuy nhiên
nhiều người vẫn cho rằng toán là một môn học mang tính khô khan. Có nhiều câu
hỏi đặt ra: Học toán để làm gì? Những kiến thức đã học có ứng dụng vào thực tế
cuộc sống không? Ứng dụng của nó ở đâu? ,…Những câu hỏi đó xuất hiện nhiều
hơn khi tôi tiếp cận với các môn học về toán cao cấp, đặc biệt khi biết đại số
tuyến tính lại được đưa vào chương trình đào tạo của rất nhiều ngành. Đó cũng
chính là lí do tôi chọn đề tài “ Một số ứng dụng của đại số tuyến tính”
Đề tài chủ yếu tìm hiểu về ứng dụng của đại số tuyến tính không chỉ trong
lĩnh vực toán học mà còn trong các lĩnh vực: kinh tế, hóa học, sinh học và vật lí.
Trên thực tế đã có rất nhiều tài liệu về “Đại số tuyến tính” kể cả trong nước và
ngoài nước. Phần lớn các tài liệu viết về cơ sở lí thuyết và hệ thống bài tập mang
tính áp dụng. Một phần trong số đó có đưa ra ứng dụng của đại số tuyến tính đặc
biệt trong lĩnh vực kinh tế. Tuy nhiên vẫn chưa tìm được tài liệu tổng hợp lại ứng
dụng của đại số tuyến tính ở các lĩnh vực trong cuộc sống. Do thời gian và trình
độ kiến thức còn nhiều hạn chế nên luận văn này chỉ tập trung tìm hiểu, tổng hợp
ứng dụng của đại số tuyến tính trong một số lĩnh vực như trên.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 6
Chương 1. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Ma trận
1.1.1 Định nghĩa
Cho m, n là các số nguyên dương. Ma trận A cấp m
n trên trường K là một
bảng chữ nhật gồm m
n phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột sau :
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
hoặc
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
Trong đó
ij
a
(với mọi
i=
1,…,
m
;
j=
1, …,
n
) là phần tử vị trí (
i
,
j
) của A.
Kí hiệu :
mn
ij
aA hoặc
ij
aA hoặc
ij
A A
Nhận xét : Nếu R
thì ma trận
mn
MA gọi là ma trận thực, còn nếu
C
thì ma trận
mn
MA gọi là ma trận phức.
1.1.2 Các định nghĩa
Cho ma trận
mn
mn
ij
aA M
Nếu
0
ij
a
với mọi i=1,…, m; j=1, …, n thì A gọi là ma trận không. Kí
hiệu O
Nếu m=n thì ma trận A gọi là ma trận vuông cấp n trên trường K. Các
phần tử
nn
aaa ,,,
2211
được gọi là các phần tử chéo của A. Các phần tử này
nằm trên đường chéo của hình vuông mà ta gọi là đường chéo chính của A.
Đường chéo còn lại là đường chéo phụ. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp
n trên trường K được kí hiệu là
n
M
Ma trận A được gọi là ma trận đơn vị nếu A có các phần tử chéo
1
ii
a với mọi i=1, 2, …, n và các phần tử còn lại bằng 0.
1.2 Các phép toán trên ma trận
1.2.1 Phép cộng các ma trận
a. Định nghĩa.
Cho
mn
MBA, . Tổng của A và B, kí hiệu A+B, là ma trận cấp n trên K
được xác định như sau
ijij
ij
BABA với mọi i=1, 2, …, m ; j=1, 2, …, n.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 7
b. Các tính chất của phép cộng ma trận.
Cho các ma trận
mn
MCB,A, . Khi đó
A+ B = B+A
(A+B) +C= A+ (B+ C)
A + O = O +A =A
1.2.2 Phép nhân đại lượng vô hướng với ma trận
a. Định nghĩa.
mn
mn
ij
aA M
và
r
. Tích vô hướng của r với A, kí hiệu là rA, là
một ma trận thuộc
mn
M được xác định bởi
ijij
ArrA
với mọi i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n
b. Các tính chất
(rs)A = r(sA)
(r+s)A = rA +sA
rO =O
1.2.3 Phép nhân hai ma trận
a. Định nghĩa
Cho ma trận
mpij
aA M
và
pnik
bB M
. Tích của ma trận A
với B, kí hiệu là AB, là một ma trận thuộc
mn
M
xác định như sau
p
j
jkijik
BAAB
1
với mọi i = 1, 2, …, m ; k = 1, 2, …., n
Tức là nếu AB
nm
ik
c
thì
p
j
jkijik
bac
1
Nhận xét
Tích của hai ma trận A với ma trận B tồn tại khi số cột của A bằng với số
dòng của B.
Với hai ma trận
n
MBA, thì tích AB và BA đều tồn tại, nhưng nói
chung
BA
AB
b. Các tính chất
A(BC) = (AB)C
A(B+C) = AB+AC
(A+B)C = AC+BC
(rA)B = A(rB) = r(AB) với
r
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 8
1.3 Ma trận khả nghịch
1.3.1 Định nghĩa
Cho ma trận
n
MA . Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma
trận
n
MB
Sao cho AB = BA =I
n
.
Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A. Kí hiệu là A
-1
1.3.1 Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi sơ cấp
Cho A là ma trận vuông cấp n trường K
2n
. Để tìm ma trận nghịch đảo
của ma trận A ta tiến hành các bước sau :
Bước 1 : Lập ma trận chia khối
n
IA
cấp
nn 2
trên K bằng cách ghép
thêm bên phải của ma trận A ma trận đơn vị I
n
.
Bước 2 : Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng đưa
n
IA về dạng
BA
'
trong đó A’ là ma trận bậc thang dòng rút gọn. Khi đó :
Nếu
n
IA' thì A khả nghịch và
B
A
-1
Nếu
n
IA'
(tức là
A'
có ít nhất một dòng không) thì A không khả nghịch.
1.4 Định thức
1.4.1Định nghĩa phép thế
Mỗi song ánh từ tập {1, 2, …, n} (n là số nguyên dương) vào chính nó
được gọi là phép thế bậc n. Tập hợp các phép thế bậc n được kí hiệu là S
n
.
Dễ thấy S
n
có đúng n ! phép thế. Nếu
n
S
thì ta thường biểu thị
dưới
dạng ma trận cấp n
2 :
n
21
n 21
1.4.2 Định nghĩa định thức
Cho ma trận
n
MA
. Định thức của A, kí hiệu là
A
hoặc detA là một
phần tử trong K được xác định :
n
S
2211
1signdetA
nn
aaa
1.4.3 Công thức khai triển định thức
Bổ đề. Cho
KMA
nij
a . Nếu tồn tại i, j sao cho a
jk
= 0, với mọi
kj
thì
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 9
detA=(-1)
i+j
a
ij
M
ij
, trong đó M
ij
là định thức cấp n-1 nhận được từ
A
bằng cách
xóa đi dòng i, cột j.
Định lý. Giả sử
KMaA
ij n
. Với mọi i, j đặt
ij
ji
ij
M1A
, với
ij
M là định thức cấp n nhận được từ A bằng cách bỏ đi dòng i, j. Khi đó ta có:
n
pjpj
a
1j
AdetA , với mọi p= 1, 2, 3, …, n
n
iqiq
a
1i
AdetA , với mọi q= 1, 2, 3, …, n
Ví dụ. Cho ma trận
RM
987
654-
321
A
3
. Tính định thức A bằng cách
khai triển theo dòng 1.
0
87
54
.3.1
97
64
.2.1
98
65
.1.1A
312111
.
Ta cũng tính được định thức của ma trận A bằng cách khai triển theo dòng
2 hoặc dòng 3. Ví dụ khai triển theo dòng 3 như sau.
0
54
21
9.1
64
31
.8.1
65
32
.7.1A
332313
Bằng phương pháp này ta có thể tính được định thức của ma trận bậc cao
thông qua các định thức bậc nhỏ hơn.
1.4.4 Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Phương pháp này dựa trên các tính chất sau :
Nếu ma trận có một dòng (cột) bằng 0 thì định thức sẽ bằng 0
Đổi chỗ hai dòng (cột) cho nhau thì định thức sẽ đổi dấu
Nhân một đại lượng vô hướng vào một dòng (cột) nào đó thì định thức
phải nhân thêm với chính đại lượng vô hướng đó.
Cộng vào một dòng (cột) nào đó với một bội của dòng (cột) khác thì định
thức sẽ không đổi.
Bằng các phép biến đổi này sẽ giúp ta tính định thức được đơn giản hơn.
1.5 Hạng của ma trận
1.5.1 Định nghĩa
Cho
mn
MA . Hạng của A, ký hiệu là rankA hay r(A), là số nguyên r
không âm thỏa mãn các điều kiện sau:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 10
Nếu A= O thì r = 0
Nếu OA
thì r chính là số nguyên dương lớn nhất sao cho A có định
thức con cấp r khác 0
1.5.2 Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp
Để tìm hạng của ma trận
\MA
mn
{O} (
2, nm
trước hết ta dùng các
phép biến đổi sơ cấp dòng (tương ứng, cột) đưa ma trận A về ma trận bậc thang
dòng (tương ứng, cột) B. Khi đó hạng của A chính là số dòng (tương ứng, cột)
khác không của B.
1.6 Hệ phương trình tuyến tính
1.6.1 Định nghĩa
Một hệ phương trình tuyến tính trên trường K, là hệ gồm m phương trình,
mỗi hệ phương trình gồm n ẩn có dạng
mnmnmm
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
11212111
Trong đó K
ij
a (gọi là các hệ số) và K
i
b (gọi là các hệ số tự do) là các
phần tử cho trước, còn các x
i
là các ẩn.
1.6.2 Phương pháp khử Gauss
a. Định lý:
Cho hai hệ gồm
m
phương trình tuyến tính
n
ẩn trên trường K có ma trận bổ
sung lần lượt là
B'A'A',BAA
khi đó nếu
A'
nhận được từ
A
bởi hữu hạn
các phép biến đổi sơ cấp dòng thì hai hệ phương trình trên có cùng một nghiệm.
Chứng minh.
Ta chỉ cần chứng minh nếu
n
cccu , ,,
210
là một nghiệm của hệ phương
trình AX=B và
là một phép biến đổi sơ cấp dòng với
BAB'A'
thì u
0
cũng là nghiệm của
B'
X
A'
nghĩa là ta cần chứng minh
ininii
bcacaca '' ''
2211
với mọi i. (1.1)
Thật vậy, do u
0
là nghiệm của AX=B nên
ininii
bcacaca
2211
với mọi i. (1.2)
Do
là một phép biến đổi sơ cấp dòng nên ta có các trường hợp sau:
Nếu
là phép biến đổi
1
(
ji
dd
với
j
i
) thì (1.1) hiển nhiên đúng.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 11
Nếu
là phép biến đổi
2
(
ji
rdd
, với
\
r
{0}) thì từ (1.2) ta
suy ra.
i
ninii
niniininii
b
cacacar
cracracracacaca
'
' ''
' ''
2211
22112211
Và đồng thời với
j
i
thì
ninii
cacaca ' ''
2211 iininii
bbcacaca '
2211
Do đó (1.1) đúng.
Nếu
là phép biến đổi
3
(
jii
rddd
, với
r
) thì từ (1.2) ta suy ra
ijinjnjnini
njninjininii
brbbcacarcaca
craacraacacaca
'
' ''
1111
1112211
Và đồng thời với
ik
thì
kknknkknknkk
bbcacacacacaca ' ' ''
22112211
Do đó (1.1) đúng. Vậy trong cả ba trường hợp trên ta đều có (1.1), tức là có
điều phải chứng minh.
b. Phương pháp khử Gauss
Dựa vào định lý trên trên ta có phương pháp khử Gauss để giải hệ phương trình
tuyến tính AX=B như sau:
Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận bổ sung
A
về dạng ma trận bậc
thang dòng. Từ ma trận bậc thang dòng này, chúng ta dễ dàng giải hệ phương
trình đã cho.Trong khi dùng các phép biến đổi dòng trên ma trận bổ sung ta cần
chú ý đến một số vấn đề sau:
Nếu ta thấy có một dòng i nào đó là dòng không thì ta bỏ dòng i đó
Nếu ta thấy hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ nhau thì ta bỏ đi một dòng.
Nếu thấy một dòng có dạng
a0 00 với a khác 0 thì kết luận ngay
phương trình đã cho vô nghiệm mà không cần biến đổi tiếp.
c. Định lý
Nếu
BAA là ma trận bổ sung của hệ phương trình AX=B thì
AA rr
hoặc
1AA rr
. Hơn nữa
Nếu
1AA rr
thì hệ vô nghiệm.
Nếu
nrr AA
thì hệ có nghiệm duy nhất.
Nếu
nrrr AA
thì hệ có nghiệm phụ thuộc vào n-r tham số.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 12
1.6.3 Hệ Cramer
Định nghĩa:
Hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình, n ẩn được gọi là hệ
Gramer nếu và chỉ nếu ma trận hệ số của nó là ma trận không suy biến (định thức
khác 0).
Hệ phương trình Gramer
nnnnnn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
11212111
Luôn luôn có nghiệm duy nhất cho bởi
D
D
i
i
x trong đó D là định thức của
ma trận hệ số, D
i
là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột thứ i của ma
trận hệ số bởi cột tự do.
1.6.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX=O có ít nhất một nghiệm là
nghiệm tầm thường. Vấn đề đặt ra là khi nào hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất có nghiệm không tầm thường. Dựa vào phương pháp khử Gauss ta có.
Mệnh đề: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX=O
nm
MA có
nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.
Hệ quả: Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
AX=O (1.1)
Trong đó ma trận
n
MA
. Khi đó
Hệ (1.1) có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường khi và chỉ khi 0A
Hệ (1.1) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi
0A
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 13
Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2.1 Ứng dụng trong các ngành Hóa- Sinh
2.1.1 Ứng dụng trong lĩnh vực Hóa- Sinh học
Ta thường gặp các tình huống trong thực tế yêu cầu chúng ta giải quyết các
vấn đề đề dựa trên các thông tin đã biết. Điều đó đã gây cho chúng ta không ít
khó khăn. Để gỉảm bớt những khó khăn đó các nhà toán học đã xem những vấn
đề cần tìm là các biến số và các thông tin đã biết ghép lại thành các mối quan hệ
giữa các biến số, đưa đến một cách giải quyết mới đó là giải hệ phương trình với
biến là cái ta cần tìm. Cách này đã giúp cho hầu hết các ngành giải quyết các vấn
đề được đơn giản hơn.
Ví dụ 1. Dung dịch thứ nhất chứa H
2
SO
4
10%, dung dịch thứ nhì chứa H
2
SO
4
30% và dung dịch thứ ba chứa H
2
SO
4
50%. Tính thể tích mỗi dung dịch được
dùng để pha trộn thành 100 lit dung dịch H
2
SO
4
25%.
Giải.
Gọi
x
1
,
x
2
,
x
3
lần lượt là thể tích (l) của dung dịch thứ nhất, thứ nhì và thứ ba.
Để thu được 100 lit dung dịch H
2
SO
4
25% chúng ta phải có:
255,03,01,0
100
321
321
xxx
xxx
Ma trận bổ sung của phương trình này là
25
100
5,03,01,0
111
Dạng rút gọn của ma trận này là
75
25
210
101
Hệ phương trình ứng với ma trận này là
752
25
32
31
xx
xx
Chúng ta viết lại hệ phương trình này
32
31
275
25
xx
xx
Vì 5,37 ra suy,02-75nên0
332
xxx
Vậy 5,370,275,25
33231
xxxxx
Một số nghiệm được liệt kê trong bảng sau:
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 14
Thể tích dung dịch thứ I
(lit)
Thể tích dung dịch thứ II
(lit)
Thể tích dung dịch thứ III
(lit)
30
35
40
45
50
55
60
65
55
45
35
25
15
5
5
10
15
20
25
30
35
Ví dụ 2. Một bác sĩ dinh dưỡng sắp xếp một chế độ ăn đặc biệt gồm 3 thức ăn.
Chế độ ăn cần 340 đơn vị canxi, 180 đơn vị sắt và 220 đơn vị vitamin A. Số đơn
vị của canxi, sắt và vitamin A trong 1 kilogram của mỗi thức ăn được cho trong
bảng sau:
Số đơn vị trong 1 kilogram
Thức ăn I Thức ăn II Thức ăn III
Canxi 30 10 20
Sắt 10 10 20
Vitamin A 10 30 20
Tính trọng lượng mỗi thức ăn dùng trong một chế độ ăn.
Giải. Gọi x
1
, x
2
, x
3
lần lượt là trọng lượng (kg) của các thức ăn I, II, III.
Chúng ta có hệ phương trình sau:
220203010
180201010
340201030
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Ma trận bổ sung của hệ phương trình này là
220
180
340
203010
201010
201030
Dạng rút gọn bậc thang của ma trận này là
4
2
8
100
010
001
Hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất là
4,2,8
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 15
Vậy có 8 kilogram thức ăn I, 2 kilogram thức ăn II và 4 kilogram thức ăn
III cần cho chế độ ăn.
Ví dụ 3. Trong một thí nghiệm, Gregor Mendel đã lai những cây đậu dị hợp tử
vàng tròn (vàng và tròn là những tính trạng trội) và những cây đậu cũng chứa
những gen mang đặc tính lặn màu xanh và nhăn thu được 560 hạt đậu của các
loại được trình bài trong ma trận.
Tròn Nhăn
A
32108
101319
Giả sử ông tiến hành thí nghiệm thứ nhì giống như vậy và thu được 640 hạt
đậu của các loại được trình bày trong ma trận
Tròn Nhăn
B
36110
124370
Kết quả của hai thí nghiệm được tổ hợp
Viết ma trận kết quả A+B. Tính tỉ lệ phần trăm của tổng số những hạt đậu
trong mỗi loại của kết quả tổ hợp.
Giải.
68218
225689
36110
124370
32108
101319
BA
Chúng ta tính
05,018,0
18,057,0
1200
68
1200
218
1200
225
1200
689
68218
225689
1200
1
BA
1200
1
Ví dụ 4. Một nhà dinh dưỡng học trộn lẫn 2 ngũ cốc thành các hỗn hợp khác
nhau. Trọng lượng protein, hydrat cacbon và chất béo ( theo số gram của mỗi
kilogram) trong mỗi loại ngũ cốc được cho bởi ma trận A. Trọng lượng của mỗi
ngũ cốc đã dùng cho ba hỗn hợp được cho bởi ma trận B
A
1g2g
15g18g
2g4g
II
I
B
8kg5kg4kg
12kg15kg16kg
a) Tìm trọng lượng của protein trong hỗn hợp X và trọng lượng của chất béo
trong hỗn hợp Z.
Vàng
Xanh
Vàng
Xanh
Ngũ cốc Ngũ cốc
Hỗn hợp X Hỗn hợp Y Hỗn hợp Z
Protein
Hydrat cacbon
Chất béo
Ngũ cốc I
Ng
ũ cốc
II
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 16
b) Tìm cỡ của AB
c) Tìm AB và ý nghĩa của nó.
Giải. a) Bằng cách tính
72
4
16
.24
chúng ta có trọng lượng của protein
trong hỗn hợp X là 72g.
Tương tự ta có trọng lượng của chất béo trong hỗn hợp Z là
g32
8
12
.12
b) Cỡ của AB là 33
c)
323536
336345348
647072
854
121516
.
12
1518
24
A.B
Z
Y
X
Các phần tử trong AB trình bày trọng lượng của protein, hydrat cacbon và
chất béo trong các hỗn hợp. Ví dụ trọng lượng của hydrat cacbon trong hỗn hợp
Y là 345g.
Ví dụ 5. Dịch cúm xảy ra trong một thành phố. Mỗi người dân trong thành phố
hoặc ốm, hoặc khỏe mạnh hoặc mang mầm bệnh. Tỉ lệ người ta trong mỗi loại
như sau:
Tuổi
A
1,01,02,0
4,03,02,0
5,06,06,0
30
trên
30
15
15
0
Dân số trong thành phố được phân bổ theo tuổi và giới tính như sau:
Tuổi B
000110000100
0005200050
0003200030
a) Tính AB
b) Có bao nhiêu nam ốm
c) Có bao nhiêu nữ mang mầm bệnh
Giải. a)
Protein
Hydrat cacbon
Chất béo
Khỏe
Ốm
Mang mầm bệnh
Nam Nữ
0-15
15-30
Trên 30
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 17
000110000100
0005200050
0003200030
1,01,02,0
4,03,02,0
5,06,06,0
AB
=
9002200021
9006600061
20010700098
b) Dựa vào câu a ta có 61 000 nam ốm
c) Dựa vào câu a ta có 22 900 nữ mang mầm bệnh.
Ví dụ 6. Có hai nhóm tuổi đối với các sinh vật thuộc loại T. Nhóm I gồm tất cả
các sinh vật dưới 1 năm tuổi, nhóm II gồm tất cả các sinh vật có từ 1 đến 2 năm
tuổi. Không có sinh vật nào sống quá 2 năm. Trung bình mỗi thành viên của
nhóm I sinh 1 con trong khi mỗi thành viên của nhóm II sinh 2 con. Mỗi năm
5
4
của nhóm I sống sót để chuyển thành nhóm II.
a) Gọi x và y lần lượt là số ban đầu của các sinh vật trong nhóm I và II, a và
b lần lượt là số sinh vật trong nhóm I và nhóm II sau một năm.
Viết phương trình ma trận biểu diễn mối quan hệ giữa
b
a
và
y
x
b) Giả sử ban đầu có 500 000 sinh vật trong nhóm I và 300 000 sinh vật
trong nhóm II. Tính số sinh vật trong mỗi nhóm sau 1 năm và sau 2 năm.
c
) Giả sử rằng vào một thời điểm nào đó có 800 000 sinh vật trong nhóm I và
600 000 sinh vật trong nhóm II. Xác định số lượng mỗi nhóm trước đó một năm.
Giải.
a) Ta có hệ phương trình
bx
ayx
5
4
2
Hệ phương trình này có thể được viết
b
a
y
x
0
5
4
21
Đây là phương trình ma trận biểu diễn mối quan hệ giữa
b
a
và
y
x
b) Chúng ta tính
Nam
Nữ
Khỏe
Ốm
Mang mầm bệnh
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 18
0
5
4
21
000400
0001001
000300
000500
000880
0009001
000400
0001001
0
5
4
21
Sau một năm : 1 100 000 trong nhóm I, 400 000 trong nhóm II
Sau hai năm : 1 900 000 trong nhóm I, 880 000 trong nhóm II
c) Để xác định số lượng của mỗi nhóm trước đó một năm, chúng ta giải
phương trình ma trận
000600
000800
0
5
4
21
y
x
0
5
4
21
có nghịch đảo là
8
5
2
1
4
5
0
Vậy
000375
000750
000600
000800
8/52/1
4/50
y
x
Trước đó 1 năm : 750 000 trong nhóm I, 375 000 trong nhóm II
Ví dụ 7. Một bác sĩ dinh dưỡng sắp xếp một bữa ăn có vitamin C, canxi và
ma-nhê-xi. Ba thức ăn được dùng với số lượng và số lượng của chúng được đo
bằng các đơn vị. Chất dinh dưỡng có trong những thức ăn này và yêu cầu ăn
kiêng được liệt kê sau đây:
Trọng lượng (mg) của các chất dinh dưỡng trong mỗi đơn vị của thức ăn
Chất dinh dưỡng Thức ăn I
Thức ăn II Thức ăn III
Tổng số các chất dinh
dưỡng được yêu cầu.
Vitamin C
Canxi
Ma-nhê-xi
10
50
30
20
40
10
20
10
40
100
300
200
a) Viết phương trình ma trận tương ứng với bài toán
b) Tìm số đơn vị của các thức ăn được dùng
Giải. a) Gọi x, y, z lần lượt là số đơn vị của thức ăn I, II, III
Chúng ta có hệ phương trình sau
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 19
200401030
300104050
100202010
zyx
zyx
zyx
Hệ phương trình này có thể được viết dưới dạng phương trình ma trận
300
200
100
401030
104050
202010
z
y
x
b) Vì ma trận
401030
104050
202010
có ma trận nghịch đảo là
657
9217
6615
330
1
nên từ phương trình ma trận trong a) người ta suy ra
200
300
100
657
9217
6615
330
1
z
y
x
Hay
33
40
,
33
50
,
11
50
zyx
Vậy số đơn vị của các thức ăn I, II, III lần lượt là
33
40
,
33
50
,
11
50
2.1.2 Đường thẳng bình phương tối tiểu
a. Định nghĩa
Hệ thức đơn giản nhất giữa 2 biến x và y là phương trình tuyến tính
baxy
.
Dữ liệu thực nghiệm thường cho ta mối liên hệ giữa hai yếu tố mà ta có thể
biểu diễn thành các điểm
nn
yxyxyx ;, ,;,;
2211
mà khi vẽ đồ thị chúng dường
như nằm trên cùng một đường thẳng baxy
nào đó. Chúng ta cần xác định a,
b sao cho đường thẳng này nằm gần những điểm này nhất.
Đường thẳng như vậy được gọi là đường thẳng bình phương tối tiểu.
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 20
Chúng ta hãy xem đường thẳng
baxy
trong hình 2.1. Tương ứng với
mỗi điểm
ii
yx ; có điểm
baxx
ii
; nằm trên đường thẳng. Khi đó :
i
y : là giá trị quan sát tức là giá trị ta thu được từ thực tế hay thí nghiệm.
bax
i
: là giá trị dự đoán (được xác định bởi đường thẳng), tức là ta dự
đoán giá trị
i
y tương ứng
baxyr
iii
: là giá trị thặng dư.
Đường thẳng bình phương tối tiểu là đường thẳng
baxy
sao cho
n
rrr
21
là nhỏ nhất. Các hệ số
a, b
của đường thẳng này được gọi là các hệ số
hồi qui tuyến tính.
b. Định lý
Đường thẳng bình phương tối tiểu baxy
đối với những điểm
,;
11
yx
,;
22
yx
nn
yx ; , nhận được bằng cách giải hệ 2 phương trình 2 ẩn số a, b:
Y
*
A
AX
A
*
, trong đó:
nn
y
y
y
b
a
x
x
2
1
2
1
Y,X,
1
1
1x
A
11
; yx
ii
yx ;
22
; yx
baxx
ii
;
baxx
22
;
baxx
11
;
baxy
x
y
1
r
2
r
i
r
Hình 2.1
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 21
Ta có thể chứng minh hệ phương trình trên luôn có nghiệm duy nhất.
Y
*
A
AX
A
*
nn
nnnn
n
nn
n
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
n
yyybnxxxa
yxyxyxxxxbxxxa
yyy
yxyxyx
bnxxxa
xxxbxxxa
yyy
yxyxyx
b
a
nxxx
xxxxxx
y
y
y
xxx
b
a
x
x
x
xxx
111
1
1
1
111
2121
221121
22
2
2
1
21
2211
21
21
22
2
2
1
21
2211
21
21
22
2
2
1
2
1
212
1
21
Nếu xem a, b là các ẩn số thì ta có ma trận bổ sung tương ứng của ma trận
trên là :
n
nn
n
nn
yyy
yxyxyx
nxxx
xxxxxx
21
2211
21
21
22
2
2
1
Xét ma trận
nxxx
xxxxxx
n
nn
A
21
21
22
2
2
1
Ta chứng minh định thức của ma trận trên khác 0. Xét
2
21
22
2
2
1
nn
xxxxxxn
Với
2
n
ta có
022
2
2121
2
2
2
1
2
21
2
2
2
1
xxxxxxxxxx
Dấu bằng xảy ra khi
21
xx (vô lí) vì
21
xx
Với
3
n
ta có
0
2222223
2
32
2
31
2
21
323121
2
3
2
2
2
1
2
321
2
3
2
2
2
1
xxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
Dấu bằng xảy ra khi
321
xxx
(vô lí) vì
321
xxx
Tương tự ta có
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 22
0
2
1 1
2
1 1
22
2
2
1
22
2
2
1
2
21
22
2
2
1
n
i
n
ik
k
ki
n
i
n
ik
k
kinn
nn
xx
xxxxxxxxn
xxxxxxn
Vậy
2Arank0Adet
. Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất.
Đường thẳng bình phương tối tiểu có thể giúp ta dự đoán được các giá trị
thực nghiệm một cách gần đúng từ đó giúp ta đề ra các phương pháp cũng như
các giải pháp hợp lý trong quá trình làm việc.
c. Ví dụ minh họa
Ví dụ 8. Dữ liệu sau nói lên sự liên quan giữa số giờ mà thuốc có trong cơ thể và
nồng độ của nó có trong cơ thể.
Số giờ Nồng độ thuốc
2
4
6
8
2,1
1,6
1,4
1,0
a) Tìm đường thẳng bình phương tối tiểu của dữ liệu trên.
b) Hãy dự đoán nồng độ thuốc sau 5 giờ.
Giải. Ta xem số giờ là giá trị của các biến x
i
còn nồng độ thuốc là giá trị của các
biến y
i
khi đó ta được:
1,0
1,4
1,6
2,1
Y
b
a
X
18
16
14
12
A
Thay A, X, B vào hệ phương trình
Y
*
A
AX
A
*
, ta được
1,6
27
4020
20120
0,1
4,1
6,1
1,2
1111
8642
18
16
14
12
1111
8642
b
a
b
a
Từ đây ta có được hệ phương trình
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 23
5
12
40
7
1,64020
2720120
b
a
ba
ba
Vậy đường thẳng bình phương tối tiểu đối với dữ liệu này là:
5
12
40
7
xy
b) Thay x=5 vào phương trình đường thẳng bình phương tối tiểu ta được
y=1,5. Đó là nồng độ của thuốc dự đoán sau 5 giờ.
2.2 Ứng dụng trong vật lý
2.2.1 Xác định phương trình tổng quát của các đường cônic trong mặt
phẳng (Parapol, Hyperbol, Elip, các suy biến của đường cong)
a. Bài toán tổng quát
Trong không gian Oxy xác định phương trình của đường cônic đi qua 5
điểm phân biệt
5544332211
;,;,;,;,; yxEyxDyxCyxByxA .
Xây dựng bài toán
Phương trình tổng quát của đường cônic có dạng
0
654
2
32
2
1
ayaxayaxyaxa (2.1)
Phương trình (2.1) có 6 hệ số, ta có thể giảm còn 5 hệ số bằng cách chia
cho một hệ số khác 0 và như vậy đủ để xác định các hệ số của nó thông qua 5
điểm phân biệt trong mặt phẳng.
Vì A, B, C, D, E thuộc cônic nên ta có hệ phương trình
0
0
0
0
0
0
65554
2
53552
2
51
64544
2
43442
2
41
63534
2
33332
2
31
62524
2
23222
2
21
61514
2
13112
2
11
654
2
32
2
1
ayaxayayxaxa
ayaxayayxaxa
ayaxayayxaxa
ayaxayayxaxa
ayaxayayxaxa
ayaxayaxyaxa
Để phương trình có nghiệm không tầm thường thì định thức của hệ phương
trình tương ứng phải bằng 0.
Từ đó ta có
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 24
0
1
1
1
1
1
1
55
2
555
2
5
44
2
444
2
4
33
2
333
2
3
22
2
222
2
2
11
2
111
2
1
22
yxyyxx
yxyyxx
yxyyxx
yxyyxx
yxyyxx
yxyxyx
(2.2)
Đây là định thức xác định phương trình cônic đi qua 5 điểm
b. Một vài ví dụ.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy. Tìm phương trình của đường conic qua 5 điểm
4;5,2;22,0;3,0;3,6;0
.
Giải. Áp dụng công thức (2.2) ta có định thức xác định phương trình đường
conic là:
0
14516545
12224248
103009
103009
1603600
1
22
yxyxyx
1416545
124248
10009
10009
163600
145545
1222248
10309
10309
16000
145165
122248
10309
10309
160360
1451654
1222424
10300
10300
160360
2
2
xy
xyx
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( /> 25
0
4516545
2224248
03009
03009
603600
1516545
1224248
13009
13009
103600
y
Ta tính định thức (bằng cách khai triển theo dòng 2 ta được)
1451654
1222424
10300
10300
160360
451654
222424
0300
60360
141654
12424
1000
16360
3
Tiếp tục tính định thức trên theo dòng 2 ta được
251152
41654
2424
6360
3
41654
2424
6360
3
Tương tự ta có giá trị các định thức sau:
0
145165
122248
10309
10309
160360
25288
145545
1222248
10309
10309
16000
0
1416545
124248
10009
10009
163600
0
1516545
1224248
13009
13009
103600
Print to PDF without this message by purchasing novaPDF ( />
