Tải bản đầy đủ (.pdf) (3 trang)

Tài liệu Ứng dụng của Đại số vào việc chứng minh và phát hiện ra các bđt trong tam giác docx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (265.07 KB, 3 trang )


Chúng ta
ñi từ bài toán ñại số sau: Với
0,
2
x
π
 
∀ ∈
 
 
ta luôn có :

2
sin
2 2
x x x
tg x x
π
< < < <
Chứng minh:

Ta ch

ng ming 2 b
ñ
t:
2
sin
x
x


π
> và
2
2
x x
tg
π
<
-
ðặ
t
1
( ) sinf x x
x
= là hàm s

xác
ñị
nh và liên t

c trong
0,
2
π
 


 
. Ta có:
,

2
os x- sin x
( )
xc
f x
x
= .

ðặ
t
( ) os x- sin xg x xc=
trong
0,
2
π
 


 
khi
ñ
ó
( ) ( )
,
sin 0g x x x g x= − ≤ ⇒
ngh

ch bi
ế
n trong

ñọ
an
0,
2
π
 
 
 
nên
( ) ( )
0g x g<
=0 v

i
0,
2
x
π
 



 
.Do
ñ
ó
( )
,
0f x 〈
v


i
0,
2
x
π
 
∀ ∈


 
suy ra
( )
2
2
f x f
π
π
 
> =
 
 

hay
2
sin
x
x
π
> v


i
0,
2
x
π
 
∀ ∈
 
 

-
ðặ
t
( )
1
h x tgx
x
= xác
ñị
nh và liên t

c trên
0,
2
π
 


 

.Ta có
( )
,
2 2
sin
0
2 os
2
x x
h x
x
x c

= >
0,
2
x
π
 
∀ ∈
 
 

nên hàm s


( )
h x

ñồ

ng bi
ế
n, do
ñ
ó
( )
2 2
x
h x h
π
 
< =
 
 
hay
2
2
x x
tg
π
< v

i
0,
2
x
π
 
∀ ∈
 

 

Còn 2 b
ñ
t
2 2
x x
tg > và
sin x x<
dành cho b

n
ñọ
c t

ch

ng minh.

Bây giờ mới là phần ñáng chú y
Xét
ABC∆
:
BC a=
,
BC b=
,
AC b=
. G


i
A, B, C

ñộ
l

n các góc b

ng radian;
r, R, p, S
l

n
l
ượ
t là bán kính
ñườ
ng tròn n

i ti
ế
p, bán kính
ñườ
ng tròn ngo

i ti
ế
p, n

a chu vi và di


n tích tam giác;
l
a
, h
a
, m
a
, r
a
, t
ươ
ng

ng là
ñọ
dài
ñườ
ng phân giác,
ñườ
ng cao,
ñườ
ng trung tuy
ế
n và bán kính
ñườ
ng
tròn bàng ti
ế
p


ng v

i
ñỉ
nh A...

Bài toán 1:
Ch

ng minh r

ng: Trong tam giác ABC nh

n ta luôn có :
2 2 2
os os os
4
p p
Ac x Bc B Cc C
R R
π
< + + <

Nhận xét :Từ ñịnh lí hàm số sin quen thuộc trong tam giác ta có :
sin sin sin
p
A B B
R
+ + = và

bài
toán
ñại số
ta d

dàng
ñư
a ra bi
ế
n
ñổ
i sau
2 2 2
4
os 2 os sin os
2
A
Ac A tg c A A Ac A
π
< = < , t


ñ
ó
ñư
a
ñế
n
l


i gi

i nh
ư
sau.
Lời giải:
Ta có
2 2 2
4
os 2 os sin os
2
A
Ac A tg c A A Ac A
π
< = <

2
os sin
p
Ac A A
R
⇒ < =
∑ ∑

2 2
4
os sin os
4
p p
Ac A A Ac A

R R
π
π
> = ⇒ >
∑ ∑ ∑

T


ñ
ây suy ra
ñ
pcm.
Trong m

t tam giác ta có nh

n xét sau : 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tg tg tg tg tg tg
+ + = k
ế
t h

p v

i
2
2

x x
tg
π
<
nên ta có
2
2 2 2 2 2 2
1 . . .
2 2 2 2 2 2 4
A B B C C A A B B C C A
tg tg tg tg tg tg A B B C C A
π
π π π π π π
+ + > + + = ⇒ + + >
(1).
M

t khác
2 2
x x
tg >
nên ta c
ũ
ng d

dàng có 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B B C C A A B B C C A
tg tg tg tg tg tg
+ + < + + =

t


ñ
ây ta l

i có
. . . 4A B B C C A+ + <
(2). T

(1) và (2) ta có bài toán m

i.
Bài toán 2:
Cmr: Trong tam giác ABC nh

n ta luôn có :
2
. . . 4
4
A B B C C A
π
< + + <

Lưu y:
Khi dùng cách này
ñể
sáng t

o bài toán m


i thì
ñề
toán là
ABC∆
ph

i là nh

n vì trong
bài
toán
ñại số
thì
0,
2
x
π
 
∀ ∈
 
 
.L

i gi

i bài toán t
ươ
ng t


nh
ư
nh

n xét

trên.
Nhưng bữa sau ñem vào
l
ớp ñố Tú thì tú trả lời thật là “sốc”
: áp d

ng b
ñ
t
( )
2
3
a b c
ab bc ca
+ +
+ + ≤ thì ta có ngay
( )
2
2
. . .
3 3
A B C
A B B C C A
π

+ +
+ + ≤ = . T


ñ
ây ta có bài toán “ch

t” h
ơ
n và “
ñẹ
p” h
ơ
n :
2 2
. . .
4 3
A B B C C A
π π
〈 + + ≤
Ngoài ra,
chúng ta còn cách ch

ng minh ghê g

m h
ơ
n là “d

n bi

ế
n”, sau
ñ
ây là cách d

n bi
ế
n c

a
b

n
Hữu Vinh
: t

t

vi
ế
t sau
Bây gi

ta th


ñ
i t

công th


c
l
a
, h
a
, m
a
, r
a
ñể
tìm ra các công th

c m

i
Trong
ABC∆
ta luôn có:
( )
A
2 os
sin
2
2 sin sin sin
2 2
sin
2
a a a
bcc

A A bc A
S bc A cl bl l
A
b c
b c
= = + ⇒ = =
+
+

1 1 1 1
A
2 2
2 os
2
a
b c b c
l bc b c
bcc
+ +
 
⇒ = > = +
 
 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 sin sin sin
a b c
l l l a b c R A B C
 
⇒ + + > + + > + +
 

 
1 1 1 1 1 1 1
2
a b c
l l l R A B C
 
⇒ + + > + +
 
 
. Nh
ư
v

y chúng ta có
Bài toán 3
Bài toán 3 :
Cmr:

Trong tam giác ABC nh

n ta luôn có :
Trong tam giác ABC nh

n ta luôn có :
1 1 1 1 1 1 1
2
a b c
l l l R A B C
 
⇒ + + > + +

 
 

Lời giải
tu
ơ
ng t

nh
ư
ph

n bi
ế
n
ñổ
i

trên.
Mặt khác,
ta l

i có
( )
2 sin sin
A
2 os
2sin
2
2 2

a
R B C
bc b c
A
l
c
π
+
+
= =
 

 
 
. Áp dung
bài toán ñại số
ta
ñượ
c :
( )
( )
2
2 2
a
B C
R
R B C
bc
A
A l

π
π
π
π
+
+
> >



( ) ( )
( )
4
a
R B C R B C
bc
B C l B C
π
π
+ +
> >
+ +



4
a
bc R
R
l

π
π
> >
Hoàn toàn t
ươ
ng t

ta có :
4
c
ab R
R
l
π
π
> > và
4
b
ca R
R
l
π
π
> > . T


ñ
ây, c

ng 3 chu


i b
ñ
t ta
ñượ
c
Bài toán 4 :
Cmr:

Trong tam giác ABC nh

n ta luôn có :
12
3
c a b
R ab bc ca
R
l l l
π
π
< + + <
Lời giải
tu
ơ
ng t

nh
ư
ph


n bi
ế
n
ñổ
i

trên.
Trong tam giác ta có k
ế
t qu

sin
b c
h h
A
c b
= = , sin
c a
h h
B
a c
= = và sin
a b
h h
C
b a
= = , mà t

k
ế

t qu


c

a
bài toán ñại số
ta d

dàng có
2 sin sin sinA B C
π
< + + <
,mà
( )
1 1
2 sin sin sin
a
A B C h
b c
 
+ + = +
 
 

1 1 1 1
b c
h h
c a a b
   

+ + + +
   
   
, t


ñ
ây ta có
ñượ
c
Bài toán 5.
Bài toán 5 :
Cmr:

Trong tam giác ABC nh

n ta luôn có :
1 1 1 1 1 1
4 2
a b c
h h h
b c c a a b
π
     
< + + + + + <
     
     

Lời giải
tu

ơ
ng t

nh
ư
ph

n bi
ế
n
ñổ
i

trên.
Ta xét ti
ế
p bài toán sau :
Bài toán 6
Cmr: Trong tam giác nh

n ta luôn có:
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
4
3
a b c
m m m
A B C A B C

R
π
+ +
+ + < < + +
Nhận xét:
Liên h

v

i
2
a
m
trong tam giác ta có
2 2 2
2
2 4
a
b c a
m
+
= − , t


ñ
ó ta suy ra
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
3 sin sin sin

4
a b c
m m m a b c R A B C+ + = + + = + + và t


ñư
a
ñế
n l

i gi

i.
Lời giải:
Áp d

ng
bài toán ñại số
ta
ñượ
c:
2
2 2
2
4
sin
x
x x
π
< < ta l


n l
ượ
t có:
2
2 2
2
4
sin
A
A A
π
< < ,
2
2 2
2
4
sin
B
B B
π
< < và
2
2 2
2
4
sin
C
C C
π

< < .
C

ng 3 chu

i b
ñ
t trên ta
ñượ
c :
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
4
sin sin sin
A B C A B C A B C
π
+ + < + + < + + , mà ta

( )
2 2 2 2 2 2 2
3 sin sin sin
a b c
m m m R A B C+ + = + +



( )
2 2 2
2 2 2

2
sin sin sin
3
a b c
m m m
A B C
R
+ +
= + + , t


ñ
ây ta
ñượ
c:
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
4
3
a b c
m m m
A B C A B C
R
π
+ +
+ + < < + + (
ñ
pcm).

Bây gi

ta th

sáng t

o m

t b

t
ñẳ
ng th

c liên quan t

i
r
a
, ta có công th

c tính
r
a


2
a
A
r ptg= , t



bài toán ñại số
2
2 2
x x x
tg
π
< < ch

c ch

n ta d

dàng tìm th

y
2
2
a
r
A A
p
π
< < , t
ươ
ng t

ta c
ũ

ng có
2
2
a
r
B B
p
π
< < và
2
2
a
r
C C
p
π
< < , c

ng 3 chu

i b
ñ
t ta thu
ñượ
c
( )
2
2
a b c
A B C

r r r
A B C
p
π
+ +
+ +
+ +
< <

ta thu
ñượ
c
Bài toán 7
Bài toán 7:
Cmr: Trong tam giác ABC nh

n ta luôn có:
( )
2
2
a b c
A B C
r r r
A B C
p
π
+ +
+ +
+ +
< <


Lời giải
tu
ơ
ng t

nh
ư
ph

n bi
ế
n
ñổ
i

trên.

×