Một số nghịch lý trong xác suất và ứng dụng

1

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô Th.S
Hoàng Thị Duyên, người đã chỉ dạy cho tôi những kiến thức, kinh nghiệm trong
suốt quá trình thực hiện khóa luận này. Nếu không có sự hướng dẫn, giúp đỡ,
động viên tận tình của cô thì tôi nghĩ khóa luận này của tôi rất khó có thể hoàn
thiện.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, cán bộ, giảng viên trường Đại
Học Quảng Bình, giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên đã cùng với tri thức và
tâm huyết của mình để truyền đạt kiến thức cho tôi trong 3 năm học tập. Với
vốn kiến thức được tiếp thu trong quá trình học không chỉ là nền tảng cho quá
trình thực hiện khóa luận mà còn là hành trang quí báu để tôi bước vào đời một
cách vững chắc và tự tin.
Xin cảm ơn những người bạn đã cùng tôi sát cánh trong suốt thời gian học
tập vừa qua.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến công lao to lớn không gì có thể đền
đáp của cha mẹ_những người đã sinh thành, nuôi dưỡng con nên người, luôn
nhắc nhở, động viên con hoàn thành tốt nhiệm vụ.

Xin chân thành cảm ơn!




2
MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1
LỜI NÓI ĐẦU 4

CHƯƠNG 1 6
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6
1.1. Không gian mẫu và biến cố 6
1.2 Mối quan hệ giữa các biến cố 7
1.3 Các phép toán trên các biến cố 8
1.4 Định nghĩa xác suất 10
1.4.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển 10
1.4.2 Định nghĩa xác suất theo hệ tiên đề Kolmogorov 12
1.5 Công thức tính xác suất 12
1.5.1 Công thức cộng xác suất 12
1.5.2 Công thức nhân xác suất 13
1.6 Phân bố xác suất đều 16
CHƯƠNG 2 18
MỘT SỐ NGHỊCH LÝ TRONG XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG 18
2.1 Bài toán Monty Hall 18
2.1.1 Giới thiệu về bài toán 18
2.1.2 Giải quyết bài toán 20
2.1.3 Nhận xét 21
2.1.4 Mở rộng bài toán 21
2.1.4.1. Bài toán 21
2.1.4.2. Giải quyết bài toán 22
2.2 Nghịch lý ngày sinh 24
2.2.1 Giới thiệu về nghịch lý 24
2.2.2 Giải quyết nghịch lý 24
2.3. Nghịch lý Simpson 26
2.3.1. Bài toán 1 26
2.3.2. Giải bài toán 1 27
3
2.3.3. Bài toán 2 27
2.3.4 Giải quyết bài toán 2 28

2.4 Bài toán: Hoàng tử có chị em gái không? 28
2.4.1 Giới thiệu bài toán 28
2.4.2 Giải bài toán 29
2.5 Bài toán: Văn Phạm có là thủ phạm? 29
2.5.1 Bài toán 29
2.5.2.Giải quyết bài toán 31
2.6 Ứng dụng 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO 34
KẾT LUẬN 34




4
LỜI NÓI ĐẦU

Thời đại ngày nay là thời đại công nghệ thông tin hiện đại cùng với sự
phát triển như vũ bão của các ngành khoa học kỹ thuật ,vì vậy sự nghiệp giáo
dục cần đáp ứng những đòi hỏi của cách mạng khoa học công nghệ. Đóng góp
cho sự phát triển đó có một phần không nhỏ của Toán học.
Toán học nảy sinh từ thực tiễn và ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn nhất
là toán ứng dụng, trong các loại toán ứng dụng phải kể đến xác suất thống kê.
Nó được bắt đầu từ những thư từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại người
Pháp là Pascal (1623- 1662) và Fermat (1601- 1665) xung quanh cách giải đáp
một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà nhà quý tộc Pháp
Đờmê-rê đặt ra cho Pascal. Năm 1812 nhà toán học Pháp Laplace đã dự báo
rằng: “Môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa
hẹn trở thành một đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người”. Đặc biệt là
vào năm 1933 Kolmogrov đã đưa ra một hệ tiên đề để xây dựng Xác suất thống
kê trở thành một khoa học chính xác và trừu tượng. Kể từ đó Xác suất thống kê

trở thành ngành toán học đa diện gồm cả chiều sâu lý luận lẫn nội dung ứng
dụng. Đối tượng nghiên cứu của Xác suất thống kê là các hiện tượng ngẫu
nhiên, các quy luật ngẫu nhiên mà chúng ta thường gặp trong thực tế. Khác với
một số môn toán trừu tượng, lý thuyết xác suất thống kê được xây dựng trên các
công cụ toán học hiện đại như giải tích hàm, độ đo,… nhưng lại gắn liền với
thực tế cuộc sống trong tự nhiên và xã hội.
Ngày nay lý thuyết xác suất và thống kê toán được ứng dụng một cách
rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực như kinh tế, tài chính, sinh học, y học,…
Navigation đã nói : “Có bao giờ bạn thấy mình gặp may mắn hay rủi ro?
Khi nào may mắn, khi nào rủi ro? Nếu nắm được quy luật này thì tuyệt vời phải
không?” Lý thuyết xác suất đang hướng tới điều đó.
Trong cuộc sống, có rất nhiều điều ta tưởng chừng đơn giản, nghĩ thoáng
qua thôi ta có thể biết được kết quả, nhưng kết quả đó đúng hay sai? Nhìn vào
có vẻ như kết quả là đúng hiển nhiên nhưng vì sao lại sai? Liệu những mâu
thuẫn đó có được giải quyết không? Và đó chính là nghịch lý. Các nghịch lý
5
trong xác suất luôn là những đề tài thú vị đặt ra trong cuộc sống. Việc giải quyết
các nghịch lý trong xác suất có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong cuộc sống
cũng như trong khoa học. Các nghịch lý trong xác suất là nguồn gốc của việc
nảy sinh ra nhiều lý thuyết toán học quan trọng như lý thuyết trò chơi, lý thuyết
may rủi,… và cũng là căn cứ quan trọng để đánh giá một số vấn đề trong thực
tiễn. Hơn nữa, chúng cũng là một trong các chủ đề quan trọng và thường xuyên
được sử dụng cho các trò chơi giải trí, cho các hoạt động ngoại khóa của người
học, giúp người học hứng thú hơn trong học tập. Để giải quyết các nghịch lý
trong xác suất ta phải nắm vững các kiến thức về xác suất và xác suất có điều
kiện. Với những lý do trên, tôi đã quyết định chọn đề tài khóa luận là
“Một số nghịch lý trong xác suất và ứng dụng”.
Mục đích của khóa luận là đưa ra các nghịch lý, cách giải quyết các
nghịch lý và một số ứng dụng của nó.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được chia thành

hai chương
Chương 1. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ
bản về xác suất, xác suất có điều kiện và Định lý Bayes có liên quan trực tiếp
đến việc nghiên cứu cho chương sau.
Chương 2. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số nghịch lý trong
xác suất bao gồm: Bài toán Monty Hall, nghịch lý ngày sinh, nghịch lý Simpson,
nghịch lý Hoàng tử có chị em gái không?, nghịch lý Văn Phạm có là thủ phạm?.
Sau đó, chúng tôi đưa ra một số ứng dụng của các nghịch lý đó.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian, kiến thức và kinh
nghiệm của bản thân còn khiêm tốn nên khóa luận này không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Chúng tôi rất mong được sự thông cảm, góp ý chân thành của
các thầy giáo, cô giáo và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện và có hiệu
quả cao hơn. Xin chân thành cảm ơn!



6


CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian mẫu và biến cố
Khi nghiên cứu tự nhiên và xã hội, ta phải theo dõi các hiện tượng, phải làm
một thí nghiệm, phải cân, đong, đo, đếm, …, trong điều kiện cho phép, có thể
lặp lại nhiều. Ta gọi chung các công việc này là phép thử.
Khi lặp lại các phép thử ta thấy có những phép thử cho cùng một kết quả, thí
dụ đun nước ở điều kiện cao độ và áp suất bình thường thì đến
100
C

°
nước sẽ
sôi, trứng gà trong đàn gà nếu không có trống thì khi ấp sẽ không nở, …, ta gọi
đó là các kết quả tất yếu.
Ngoài ra, có những phép thử khi lặp lại sẽ cho những kết quả khác nhau, số kết
quả đó có thể là hữu hạn, có thể là vô hạn, có thể lấy giá trị rời rạc hay liên tục
mà khi thực hiện phép thử ta không thể đoán trước được kết quả nào xuất hiện,
tuy nhiên ta có thể liệt kê tất cả các kết quả của nó. Ta gọi các phép thử như trên
là phép thử ngẫu nhiên.
Mỗi kết quả của một phép thử ngẫu nhiên được gọi là một sự kiện sơ cấp
hay biến cố sơ cấp, ký hiệu là
ω
. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là
không gian các sự kiện sơ cấp hay không gian mẫu, ký hiệu là
Ω
.
Một tập con các biến cố sơ cấp của
Ω
là một sự kiện và được gọi là biến
cố ngẫu nhiên. Ta có thể đặt tên cho các biến cố ngẫu nhiên nếu ta tìm được nét
chung cho các sự kiện sơ cấp thuộc biến cố đó. Nói riêng, tập con rỗng
φ
của
Ω

được gọi là biến cố không thể, là sự kiện không bao giờ xảy ra khi phép thử
được thực hiện, như vậy biến cố không bao gồm một biến cố sơ cấp nào. Tập
Ω

được gọi là biến cố chắc chắn, là sự kiện tất yếu sẽ xảy ra khi phép thử thực

hiện, như vậy biến cố chắc chắn gồm tất cả các biến cố sơ cấp.
7
Ví dụ 1.1.1 Gieo một lần con xúc xắc và quan sát số chấm xuất hiện trên mặt
con xúc xắc là một phép thử ngẫu nhiên. Gọi A
i
là sự kiện “mặt trên của nó có i
chấm”, i =1, , 6. Các sự kiện A
1
, A
2
, …, A
6
là những biến cố sơ cấp;
Không gian các biến cố sơ cấp là
Ω
= { A
1
, A
2
, …, A
6
}.
Ví dụ 1.1.2 Gieo một đồng xu cân đối đồng chất. Đó là một phép thử ngẫu
nhiên. Gọi S là sự kiện “mặt sấp xuất hiện”, N là sự kiện “mặt ngửa xuất hiện”.
Các sự kiện S, N là những biến cố sơ cấp; Không gian các biến cố sơ cấp là
{ , }
S N
Ω =
.
1.2 Mối quan hệ giữa các biến cố

Định nghĩa 1.2.1
i) Biến cố
A
được gọi là kéo theo biến cố
B
nếu biến cố
A
xảy ra thì biến cố
B

xảy ra, kí hiệu
A B
⊂
.
ii) Hai biến cố
A
và
B
được gọi là bằng nhau nếu
A
kéo theo
B
và
B
kéo
theo
A
.
iii) Các biến cố không đồng thời xảy ra nếu sự xuất hiện của một trong chúng
loại trừ sự xuất hiện của các biến cố khác trong cùng một phép thử.

4i) Các biến cố đồng thời xảy ra nếu chúng có thể cùng xuất hiện trong một
phép thử (còn gọi là các biến cố tương thích).
5i) Các biến cố được gọi là đồng khả năng nếu sự xuất hiện của biến cố này hay
biến cố khác với khả năng như nhau.
Ví dụ 1.2.2 Trong phép thử gieo một lần con xúc xắc. Xét các biến cố
A
i
: “Xuất hiện mặt i chấm”, i = 1,…,6;

A
c
: “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”;
A
: “ Xuất hiện mặt có số chấm là 2 hoặc 4 hoặc 6”;
A
l
: “Xuất hiện mặt có số chấm lẻ”;
A
nt
: “Xuất hiện mặt có số chấm nguyên tố”;
Ta có
A
c
và
A
là hai biến cố bằng nhau. Các biến cố
A
2
,
A

4
,
A
6
kéo theo biến
cố
A
c
, các biến cố
A
1
,
A
3
,
A
5
kéo theo biến cố
A
l
.
8
1.3 Các phép toán trên các biến cố
Để giải các bài toán xác suất, ta thường biểu diễn biến cố phức tạp theo các biến
cố đơn giản hơn.
Phép hợp (tổng)
Định nghĩa 1.3.1 Hợp của hai biến cố
A
và
B

là biến cố xảy ra khi có ít nhất
một trong hai biến cố
A
hoặc
B
xảy ra, ký hiệu
A B
∪
hoặc
A B
+
.
Tổng quát, biến cố A được gọi là hợp của n biến cố
A
1
,
A
2
, …,
A
n
nếu A
xảy ra khi có ít nhất một trong n biến cố đó xảy ra. Ký hiệu
1 2

n
A A A A
= ∪ ∪ ∪
hoặc
1

n
i
i
A A
=
=
∑
.
Ví dụ 1.3.2 Trong phép thử gieo một con xúc xắc ta có
2 4 6
c
A A A A
= ∪ ∪
.
Ví dụ 1.3.3 Hai xạ thủ cùng bắn đạn vào bia (mỗi xạ thủ bắn một viên đạn). Gọi
A
là biến cố ‘‘Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia’’
B
là biến cố ‘‘Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia’’
C
là biến cố ‘‘Bia trúng đạn’’.
Ta có
C A B
= ∪
.
Phép giao (tích)
Định nghĩa 1.3.4 Tích của hai biến cố
A
và
B

là biến cố xảy ra nếu cả
A
và
B

xảy ra, ký hiệu là
A B
⋅
hoặc
A B
∩
. Tổng quát, biến cố
A
được gọi là tích của n
biến cố
A
1
,
A
2
, …,
A
n
nếu
A
xảy ra khi tất cả các biến cố A
1
, A
2
, …, A

n
xảy
ra. Ký hiệu
1 2

n
A A A A
= ⋅
.
Ví dụ 1.3.5 Hai xạ thủ cùng bắn đạn vào bia (mỗi xạ thủ bắn một viên đạn). Gọi
E là biến cố ‘‘xạ thủ thứ nhất bắn trật’’. Gọi D là biến cố ‘‘xạ thủ thứ hai bắn
trật’’ và F là biến cố ‘‘bia không trúng đạn’’. Ta có
F D E DE
= ∩ =
.
Định nghĩa 1.3.6 Hai biến cố
A
,
B
được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng
không đồng thời xảy ra trong một phép thử, tức là
A B
φ
∩ =
.
Dãy biến cố
A
1
,
A

2
, …,
A
n
được gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất
kỳ trong chúng xung khắc với nhau.
Ví dụ 1.3.7 Trong phép thử gieo một lần con xúc xắc, các biến cố
A
i
,
A
j

(
; , 1,6
i j i j≠ =
) là xung khắc,
A
c
và
A
l
là xung khắc.
9
Định nghĩa 1.3.8 Tập hợp các biến cố của một phép thử mà khi phép thử được
thực hiện thì một biến cố trong chúng nhất thiết phải xảy ra và hai biến cố bất kỳ
trong chúng là xung khắc được gọi là nhóm đầy đủ các biến cố của phép thử đó.
Như vậy, nhóm
A
1

,
A
2
, …,
A
n
được gọi là nhóm đầy đủ các biến cố của phép
thử nếu khi phép thử đó được thực hiện thì có duy nhất một biến cố trong nhóm
đó xảy ra.
Ví dụ 1.3.9 Trong phép thử gieo một lần con xúc xắc thì dãy
A
1
,
A
2
, …,
A
6
lập thành một hệ đầy đủ các biến cố.
Ví dụ 1.3.10 Kiểm tra 3 sản phẩm, gọi
A
0
,
A
1
,
A
2
,
A

3
tương ứng là các biến
cố có 0, 1, 2, 3 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm kiểm tra. Các biến cố này lập
thành một nhóm đầy đủ các biến cố.
Phép hiệu
Định nghĩa 1.3.11 Hiệu của hai biến cố
A
và
B
là biến cố xảy ra nếu
A
xảy ra và
B
không xảy ra. Ký hiệu là
A
\
B
.
Định nghĩa 1.3.12 Biến cố đối lập của biến cố
A
, ký hiệu là
A
là một biến cố
mà biến cố này xảy ra khi A không xảy ra. Ta có
\
A A
= Ω
.
Ví dụ 1.3.13 Trong ví dụ 1.2.2 ta có
c l

A A
=
và ngược lại
l c
A A
=
.
Nhận xét 1.3.15
i) Nếu
A
là biến cố chắc chắn thì biến cố đối lập với
A
là biến cố không
thể và ngược lại ;
ii) Hai biến cố đối lập thì xung khắc nhưng hai biến cố xung khắc chưa
chắc đối lập.
Ví dụ 1.3.16 Có 3 viên bi trắng, 4 viên bi vàng và 5 viên bi đỏ. X lấy ra 2 viên
bi. A là biến cố “X lấy được 2 viên bi trắng”. B là biến cố “X lấy được 2 viên bi
vàng”.Hai biến cố A và B này xung khắc nhưng không đối nhau.
Ví dụ 1.3.17 Một nhà máy sản xuất 3 sản phẩm. Gọi
i
A
là biến cố ‘‘sản phẩm
thứ i là sản phẩm tốt’’. Khi đó
i
A
là biến cố ‘‘sản phẩm thứ i là phế phẩm’’.
Nếu gọi
A
là biến cố ‘‘có một sản phẩm tốt trong ba sản phẩm do nhà máy

sản xuất’’ thì
10
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A A A A A A A A A A
= ⋅ ⋅ ∪ ⋅ ⋅ ∪ ⋅ ⋅

Nếu gọi
B
là biến cố ‘‘có 2 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm do nhà máy sản
xuất’’ thì
1 3
2 3 1 2 3 1 2
B A A A A A A A A A
= ⋅ ⋅ ∪ ⋅ ⋅ ∪ ⋅ ⋅
.
Nếu gọi
C
là biến cố ‘‘có 3 sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm do nhà máy sản
xuất’’ thì
1 2 3
C A A A
= ⋅ ⋅
.
1.4 Định nghĩa xác suất
Theo dõi nhiều lần một phép thử và các sự kiện liên quan đến phép thử ta
thấy có sự kiện hay xuất hiện, hay xảy ra, có sự kiện ít xuất hiện, ít xảy ra, sự
kiện tất yếu luôn xảy ra còn sự kiện không thể không bao giờ xảy ra. Thí dụ,
gieo một con xúc xắc, sự kiện xuất hiện mặt chẵn và sự kiện xuất hiện mặt lẻ có
mức độ xuất hiện như nhau, sự kiện ra mặt có số nhỏ hơn 7 là sự kiện tất yếu, sự
kiện ra mặt có số lớn hơn 7 là sự kiện không thể, sự kiện ra mặt chia được cho 2

ít xuất hiện, sự kiện ra mặt có số chấm 4 ít xuất hiện hơn.
Như vậy trong một phép thử, một sự kiện có mức độ hay khả năng xuất
hiện mà ta muốn đánh giá hay đo bằng một con số. Giả sử
A
là biến cố của một
phép thử nào đó, ta tìm được một con số để đánh giá mức độ xuất hiện của nó
thì ta sẽ gọi con số đó là xác suất của biến cố
A
, ký hiệu
( )
P A
. Khi đó
( )
P A
= 1
nếu
A
là biến cố chắc chắn và
( )
P A
= 0 nếu
A
là biến cố không thể.
Vậy xác suất của biến cố là một số biểu thị khả năng xảy ra của biến cố đó
khi thực hiện phép thử.
Có nhiều định nghĩa khác nhau về xác suất, tùy theo mức độ hiểu biết về
kiến thức toán học ta có thể lần lượt đưa ra các định nghĩa sau.
1.4.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển
Để có được định nghĩa, người ta luôn giả thiết rằng phép thử
T

chỉ có một
số m hữu hạn các kết quả và các kết quả này là đồng khả năng, nghĩa là khi tiến
hành phép thử các biến cố có khả năng xuất hiện như nhau.
11
Định nghĩa 1.4.1.1 Xác suất của biến cố
A
là tỷ số giữa trường hợp thuận lợi
cho
A
và số kết quả của phép thử, hay
( )
m
P A
n
=

Trong đó, m là số trường hợp thuận lợi cho
A

n là số kết quả có thể xảy ra của phép thử.
Tính chất 1.4.1.2
i) Nếu
A
là biến cố ngẫu nhiên thì
0 ( ) 1
P A
< <
;
ii) Nếu
A

là biến cố chắc chắn thì
( ) 1
P A
=
;
iii) Nếu
A
là biến cố không thể thì
( ) 0
P A
=
;
Như vậy nếu
A
là biến cố bất kỳ thì
0 ( ) 1
P A
≤ ≤
.
Ví dụ 1.4.1.3 Gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để
a) Mặt trên của nó có một chấm.
b) Mặt trên của nó có số chấm là số chẵn.
Giải
a) Gọi
A
là biến cố ‘‘Mặt trên của con xúc xắc có một chấm’’.
Vì con xúc xắc cân đối, đồng chất nên khả năng xuất hiện các mặt là như nhau.
Vì số kết quả có thể của phép thử
6
n

=
và số trường hợp thuận lợi cho
A
là
1
m
=
nên
1
( )
6
P A
=
.
b) Gọi
B
là biến cố ‘‘Mặt trên của con xúc xắc có số chấm là số chẵn’’. Số khả
năng thuận lợi cho
B
là
3
n
=
.
Vậy,
3 1
( )
6 2
P B
= =

.
Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển chỉ áp dụng để tính xác suất
khi phép thử có hữu hạn các kết quả và các kết quả là đồng khả năng. Tuy nhiên
trên thực tế ta thường gặp những phép thử không có những tính chất đó. Chẳng
hạn, bắn đạn vào bia là một phép thử không đồng khả năng (xạ thủ A bắn 10
12
phát đạn vào bia, đợt 1 bắn trúng 7 viên nhưng đợt 2 chưa chắc bắn trúng được 7
viên).
1.4.2 Định nghĩa xác suất theo hệ tiên đề Kolmogorov
Tiên đề 1:
( ) 0
P A
≥
với mọi biến cố A.
Tiên đề 2 : Nếu tập các biến cố
A
1
,
A
2
, …,
A
n
xung khắc với nhau từng
đôi một thì :
1
1
( ) ( )
n n
n

n
P A P A
∞
∞
=
=
=
∑U
.
Tiên đề 3:
( ) 1
P
Ω =
.
P(A) thỏa mãn hệ tiên đề trên được gọi là xác suất của biến cố A.
1.5 Công thức tính xác suất
1.5.1 Công thức cộng xác suất
Định lý 1.5.1.1 Nếu
A
và
B
là hai biến cố bất kỳ thì

( ) ( ) ( ) ( )
P A B P A P B P AB
∪ = + −
.
Nhận xét
i) Nếu
A

và
B
là hai biến cố xung khắc thì biến cố tích
A
B
là
biến cố không thể. Khi đó
( ) (A) P(B)
P A B P
∪ = +

ii) Với
A
là biến cố bất kỳ trong một phép thử. Khi đó xác suất của
biến cố đối lập của
A
là
( ) 1 ( )
P A P A
= −

iii) Tổng quát, nếu
A
1
,
A
2
, …,
A
n

là n biến cố xung khắc từng đôi thì
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( );
n n
P A A A P A P A P A
∪ ∪ ∪ = + + +

iv) Nếu
A
1
,
A
2
, …,
A
n
là một nhóm đầy đủ các biến cố thì
1
( ) 1
n
i
i
P A
=
=
∑
.
Ví dụ 1.5.1.2 Một nhóm sinh viên gồm 15 người, trong đó có 6 sinh viên ở
Quảng Bình, 4 sinh viên ở Hà Tĩnh và 5 bạn còn lại ở Nghệ An. Cả 15 bạn đứng
sau 15 cánh cửa giống nhau được đánh số từ 1 đến 15. Bạn hãy chọn ngẫu nhiên

cùng lúc 3 cửa. Tìm xác suât để
13
a, Cả 3 sinh viên đứng sau cánh cửa đó đều cùng quê?
b, Có đúng 2 sinh viên cùng quê?
c, Có ít nhất 2 sinh viên cùng quê?
d, Không có sinh viên nào cùng quê?
Giải
a, Gọi
A
: “3 sinh viên đứng sau ba cánh cửa đều cùng quê”
Q
A
: “3 sinh viên được chọn cùng ở Quảng Bình”
T
A
: “3 sinh viên được chọn cùng ở Hà Tĩnh”
N
A
: “3 sinh viên được chọn cùng ở Nghệ An”
Khi đó
Q
A
,
T
A
,
N
A
đôi một xung khắc và
Q T N

A A A A
= ∪ ∪
. Do đó
3 2 3
6 5 5
3
15
34
( ) ( ) ( ) ( ) 0,075
455
Q T N
C C C
P A P A P A P A
C
+ +
= + + = = =
.
b, Gọi
B
: “Trong 3 sinh viên đứng sau ba cánh cửa đó có 2 sinh viên cùng
quê”
Q
B
: “Trong 3 sinh viên có 2 sinh viên cùng quê Quảng Bình”
T
B
: “Trong 3 sinh viên có 2 sinh viên cùng quê Hà Tĩnh”
N
B
: “Trong 3 sinh viên có 2 sinh viên cùng quê Nghệ An”

Khi đó
2 1 2 1 2 1
6 9 4 11 5 10
3
15
.C . .
301
( ) ( ) ( ) ( ) .
455
Q T N
C C C C C
P B P B P B P B
C
+ +
= + + = =

c, Gọi C: “Có ít nhất 2 sinh viên cùng quê”. Khi đó
34 301 355
( ) ( ) ( ) 0,7363
455 455 455
P C P A P B= + = + = =

d, Gọi
D
: “Không có sinh viên nào cùng quê”. Khi đó
D C
=
nên
P(D) 1 (C) 0,2637
P

= − =

Định lý 1.5.1.3 Nếu
A
,
B
và
C
là 3 biến cố bất kỳ thì
( ) ( ) ( ) ( ) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)
P A B C P A P B P C
∪ ∪ = + + − − − +
.
1.5.2 Công thức nhân xác suất
a, Xác suất có điều kiện
14
Định nghĩa 1.5.2.1 Xác suất của biến cố
A
được tính với điều kiện biến cố
B

đã xảy ra được gọi là xác suất của
A
với điều kiện
B
. Ký hiệu
P( / )
A B
.
Ví dụ 1.5.2.2 Một túi đựng 5 quả cầu (trong đó có 2 quả màu trắng) hoàn toàn

giống nhau. Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) lần lượt từ túi ra 2 quả cầu. Tính
xác suất để lần thứ hai được quả cầu trắng, biết rằng lần thứ nhất lấy được quả
cầu trắng?
Giải
Gọi
A
là biến cố “lần thứ hai lấy được quả cầu trắng” và
B
là biến cố “lần
thứ nhất lấy được quả cầu trắng”. Ta cần tìm
( / )
P A B
.
Ta thấy lần thứ nhất đã lấy được quả cầu trắng (
B
đã xảy ra) nên trong túi còn 4
quả cầu, trong đó có 1 quả trắng. Vậy
1
( / ) 0,25
4
P A B = =
.
Định lý 1.5.2.3 Nếu
A
và
B
là hai biến cố bất kỳ trong một phép thử và
( ) 0
P B
>

, ta có công thức
( )
( / )
( )
P AB
P A B
P B
=
(*)
Công thức (*) được gọi là công thức xác suất có điều kiện.
b, Công thức nhân xác suất
Nếu
A
,
B
là hai biến cố bất kỳ, từ công thức xác suất có điều kiện ta có
( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )
P AB P B P A B P A P B A
= ⋅ = ⋅
;
Tổng quát ta có
1 2 1 2 1 3 1 2 1 1
( ) (A ) ( / ) ( / ) ( / )
n n n
P A A A P P A A P A A A P A A A
−
⋅ ⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
.
Định nghĩa 1.5.2.4
i) Hai biến cố

A
và
B
được gọi là độc lập với nhau nếu
( / ) ( )
P A B P A
=
, điều
đó có nghĩa là khả năng xảy ra của biến cố
B
không ảnh hưởng đến khả
năng xảy ra của biến cố
A
. Khi đó
( ) (A) P(B)
P AB P
= ⋅

ii) Các biến cố
A
1
,
A
2
, …,
A
n
được gọi là độc lập trong toàn bộ nếu mỗi biến
cố bất kỳ trong chúng độc lập với giao của các biến cố còn lại, nghĩa là
1 ir

( / A A ) ( )
k i k
P A P A
=

15
với mọi
j
i k
≠
,
1,
j r
=
và
1,
r n
=
.
Định lý 1.5.2.5 Nếu các biến cố
A
1
,
A
2
, …,
A
n
độc lập trong toàn bộ thì
1 2 1 2

( ) (A ) ( ) (A )
n n
P A A A P P A P⋅ ⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅⋅
.
d, Công thức xác suất đầy đủ
Giả sử
A
1
,
A
2
, …,
A
n
lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố. Khi đó với
mỗi biến cố
B
ta có
1
(B) ( ) P(B/ A )
n
i i
i
P P A
=
=
∑
.
Ví dụ 1.5.2.6 Một nhà máy có 3 phân xưởng 1, 2, 3 với số sản phẩm tương ứng
là 20%, 30% và 50%, trong đó tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 5%, 2% và 1%.

Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Tính xác suất để sản phẩm đó là
phế phẩm?
Giải
Gọi
i
A
là biến cố: “sản phẩm lấy được thuộc phân xưởng thứ i”,
1,2,3
i
=
;
B
là biến cố: “sản phẩm lấy được là phế phẩm”
Khi đó
A
1
,
A
2
, …,
A
n
lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố với
1 2 3
( ) 0,2;P(A ) 0,3; ( ) 0,5
P A P A= = =
.
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta được
1 1 2 2 3 3
P( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

20 50 30 2 50 1
0,21
100 100 100 100 100 100
B P A P B A P A P B A P A P B A
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

d, Công thức Bayes
Giả sử
A
1
,
A
2
, …,
A
n
lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố và
B
là biến
cố nào đó của phép thử với
( ) 0
P B
>
. Khi đó với
1,2, ,
i n
=
ta có
( ) (B/ A )

( / B)
( )
i i
i
P A P
P A
P B
⋅
=
,
1,2, ,
i n
=

Ví dụ Có 3 chuồng thỏ: chuồng thứ nhất có 3 con thỏ trắng và 2 con thỏ nâu,
chuồng thứ 2 có 4 con thỏ trắng và 3 con thỏ nâu, chuồng thứ 3 có 3 con thỏ trắng
và 3 con thỏ nâu. Chọn ngẫu nhiên một chuồng và từ đó bắt ngẫu nhiên một con
thỏ.
a. Tìm xác suất để bắt được con thỏ trắng.
16
b. Biết con thỏ bắt được là con thỏ trắng. Tìm xác suất để con thỏ đó thuộc
chuồng thứ nhất.
Giải Gọi
1
A
: “Con thỏ bắt được thuộc chuồng thứ nhất”
2
A
: “Con thỏ bắt được thuộc chuồng thứ 2”
3

A
: “Con thỏ bắt được thuộc chuồng thứ 3”
B: “Con thỏ bắt được là con thỏ trắng”.
Khi đó
A
1
,
A
2
,
A
3
lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố với
1 2 3
1
( ) ( ) ( )
3
P A P A P A
= = =
.
a, Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta được
1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )
P B P A P B A P A P B A P A P B A
= ⋅ + ⋅ + ⋅


1 3 1 4 1 3 39
3 5 3 7 3 6 70
= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

.
b, Áp dụng công thức Bayes ta có
1 1
1
1
( ) ( / )
14
5
( / )
39
( ) 39
70
P A P B A
P A B
P B
⋅
= = =
.
1.6 Phân bố xác suất đều
Định nghĩa: Phân bố xác suất P trên không gian xác suất hữu hạn với N phần tử
}, ,{
1
AA
N
=Ω
được gọi là phân bố xác suất đều nếu như
( ) ( )
N
APAP
N

1

1
===
.
Các phân bố xác suất đều là các phân bố quan trọng hay gặp trong thực tế.
Lý do chính dẫn đến phân bố xác suất đều là tính đối xứng, cân bằng, hay hoán
vị được của các sự kiện thành phần.
Ví dụ 1.6.1 Lấy một bộ bài tú lơ khơ mới có 52 quân, đặt nằm sấp. Khi đó xác
suất để rút một con bài trong đó ra một cách tùy ý được con “2 Cơ” (hay bất kỳ
con nào khác) bằng
1
52
.
17
Ví dụ 1.6.2 Giả sử một gia đình có 3 con. Xác suất để gia đình đó có 2 con trai 1
con gái là bao nhiêu?
Giải. Chúng ta có thể lập mô hình xác suât với 4 sự kiện thành phần: 3 trai, 2 gái
1 trai, 1 trai 2 gái, 3 gái. Thế nhưng 4 sự kiện thành phần đó không “cân bằng”
với nhau, và bởi vậy không kết luận được rằng xác suất của “2 trai 1 gái” là
1
4
.
Để có không gian xác suất với phân bố đều, ta có thể lập mô hình xác suất với 8
sự kiện thành phần như sau
{ , , , , ,GTG,GGT,GGG}
TTT TTG TGT TGT GTT
Ω =

Trong đó, T là con trai, G là con gái. Sự kiện ‘‘2 trai 1 gái’’ là hợp của 3 sự kiện

thành phần trong mô hình xác suất này : TTG, TGT, GTT. Như vậy, xác suất để
gia đình đó có 2 trai, 1 gái là
3
8
.

18




CHƯƠNG 2
MỘT SỐ NGHỊCH LÝ TRONG XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG

2.1 Bài toán Monty Hall
2.1.1 Giới thiệu về bài toán
Bài toán xuất phát từ một trò chơi truyền hình nổi tiếng của Mỹ là Let’s
make a deal (Nào cùng thỏa thuận) với người dẫn chương trình đồng thời cũng
đồng sáng lập trò chơi tên là Monty Hall.



Hình 1.
Giả sử bạn là thí sinh tham dự chương trình. Bạn bước vào một vòng thi,
trước mặt bạn là ba cánh cửa đánh số 1, 2, 3. Monty cho bạn biết bên trong ba
cửa này có hai cửa là con dê, cửa còn lại là chiếc xe hơi.
19

Hình 1
Bạn có quyền được chọn một trong ba cánh cửa này, nếu sau cánh cửa đó

là xe hơi thì bạn sẽ được thưởng xe hơi. Nhưng nếu sau cánh cửa đó là con dê,
bạn phải mang nó về. Bạn muốn có một chiếc xe hơi hay mang con dê về nhà?
Nếu bạn muốn xe hơi thì câu hỏi được đặt ra là: Làm thế nào để chọn được cửa
có xe hơi, hay chọn cửa có xác suất trúng xe hơi cao nhất?
Hiện ta chưa có dự kiện nào để dự đoán nên nếu ta chọn ngẫu nhiên một
cửa bất kỳ, do trong ba cửa này chỉ có một cửa có xe hơi nên xác suất để ta trúng
được xe hơi là 1/3 và xác suất trúng con dê là 2/3.
Ta sẽ chọn ngẫu nhiên một cửa, chẳng hạn là cửa số 1. Monty Hall đương
nhiên biết cửa nào có xe hơi, cửa nào có con dê. Sau khi bạn chọn cửa số 1.
Monty sẽ mở cửa số 2, bên trong đó là một con dê xuất hiện.

20
Hình 2
Sau đó, Monty sẽ hỏi rằng bạn muốn giữ lại cửa số 1 hay thay đổi quyết
định sang cửa số 3. Theo bạn, bạn sẽ làm gì?
2.1.2 Giải quyết bài toán
Có lẽ nhiều bạn sẽ nhận định rằng giữ lại hay thay đổi thì cũng vậy, ta
vẫn không biết cửa nào có
xe hơi, cửa nào có con dê nên xác suất ta trúng xe là
1/2. Vì vậy việc giữ hay đổi đều mang tính may rủi là chính. Điều này, nghe vẫn
có vẻ hợp lý.
Để đơn giản hóa vấn đề, ta hãy thiết lập hết tất cả các trường hợp xảy ra.
Cụ thể như sau:
• Ta có các cách sắp xếp 1 chiếc xe hơi, 2 con dê vào 3 cửa được đánh số
theo thứ tự 1,2,3 với X là xe hơi, D là con dê theo các trường hợp như sau:
+ Xét trường hợp: {X,D,D} Bạn chọn cửa số 1. Monty sẽ mở cửa số 2 hoặc 3.
Nếu bạn đổi, bạn được dê. Nếu bạn không đổi, bạn nhận được xe hơi.
+ Xét trường hợp: {D,X,D} Bạn chọn cửa số 1, Monty sẽ mở cửa số 3. Nếu
bạn đổi, bạn được xe. Nếu bạn không đổi, bạn nhận được dê.
+ Xét trường hợp: {D,D,X} Bạn chọn cửa số 1, Monty sẽ mở cửa số 2. Nếu

bạn đổi, bạn được xe. Nếu bạn không đổi, bạn nhận được con dê.
Đằng sau
cánh cửa 1

Đằng sau
cánh cửa 2
Đằng sau
cánh cửa 3
Kết quả nếu ở
tại cửa số 1
Kết quả nếu chuyển
sang cửa cung cấp
Xe hơi
Con dê Con dê
Thắng xe
Thắng dê
Con dê
Xe hơi
Con dê Thắng dê
Thắng xe
Con dê Con dê
Xe hơi
Thắng dê
Thắng xe

• Qua ba trường hợp, bạn thấy rằng nếu như bạn không đổi, xác suất bạn
được xe là 1/3, còn nếu bạn đổi thì xác suất đã tăng đến 2/3. Vậy cách tốt nhất
đó là bạn hãy đổi cửa sẽ cho bạn khả năng trúng được xe cao nhất.
21
2.1.3 Nhận xét

Thay vì lúc đầu, bạn chọn cửa số 1 thì bây giờ bạn chọn ngẫu nhiên 1
trong 3 cửa. Vẫn làm theo cách thủ công trên, giả sử bạn chọn cửa số 2. Bạn có
các trường hợp như sau:
+ Trường hợp 1: bên trong ba cánh cửa là {X,D,D}
Nếu bạn chọn cửa số 2, Monty sẽ mở cửa số 3. Nếu bạn đổi, bạn được
xe hơi.
Nếu bạn không đổi, bạn được dê.
+ Trường hợp 2: {D,X,D} Bạn chọn cửa số 2, Monty sẽ mở cửa 1 hoặc 3. Nếu
bạn đổi, bạn được dê. Nếu bạn không đổi, bạn được xe hơi.
+ Trường hợp 3: {D,D,X} Bạn chọn cửa số 2, Monty sẽ mở cửa số 1. Nếu bạn
đổi, bạn được xe. Nếu bạn không đổi, bạn được dê.
Như vậy, nếu bạn đổi xác suất bạn được xe hơi là
2
3
, nếu bạn không đổi
xác suất được xe là
1
3
. Tương tự với trường hợp bạn chọn cửa số 3 thì vẫn ra xác
suất trúng xe hơi khi giữ là
1
3
và khi đổi là
2
3
.
2.1.4 Mở rộng bài toán
Với trường hợp số cửa ít ta có thể giải quyết theo cách thủ công này,
nhưng nếu với trường hợp nhiều cửa hơn nữa chẳng hạn 100 cửa thì sao?
Ta tiếp tục mở rộng bài toán thành 100 cửa trong đó 99 cửa có dê và chỉ duy

nhất 1 cửa có xe hơi.
2.1.4.1 Bài toán
Giả sử bạn là thí sinh tham dự trò chơi Let’s make a deal. Bạn bước vào
một vòng thi, trước mặt bạn là 100 cánh cửa đánh số từ 1 đến 100. Monty cho
bạn biết bên trong 100 cửa này có 99 cửa là con dê, và chỉ duy nhất một cửa có
xe hơi. Cũng với cách chơi đó, bạn nghĩ cửa nào sẽ có xe hơi?

22


2.1.4.2 Giải quyết bài toán
Thật khó để đoán chính xác vì xác suất bạn chọn trúng cửa có xe hơi là
1
100
trong khi
99
100
là xác suất trúng dê.
Giả sử bạn chọn cửa số 1, đương nhiên bạn sẽ không chắc chắn rằng sau
cánh cửa này có xe hơi hay không. Monty sẽ mở 98 cửa trừ cửa bạn chọn và cửa
x là cửa có xe,
2,100
x =
. Monty sẽ hỏi bạn giữ hay đổi? Lúc này nếu bạn đổi thì
xác suất bạn trúng được chiếc xe là
99
100
.
Ta thấy rằng xác suất chọn cửa có xe hơi đã thay đổi khi Monty mở cửa
có dê. Hay nói cách khác, xác suất của một biến cố thay đổi khi ta có thêm thông

tin liên quan đến biến cố đó.
Gọi :
X là biến cố “chiếc xe hơi nằm sau cửa số 1”
Y là biến cố “Monty mở 98 cửa trong 99 cửa còn lại sau khi
người chơi chọn một cửa”.
Khi đó,
( )
P X
là xác suất xe hơi ở cửa số 1. Trên thực tế, người chơi hoàn
toàn không biết chiếc xe hơi ở đâu trong 100 cửa này nên ta được :
1
( )
100
P X =
.
P(Y) là xác suất xảy ra biến cố Y, tức là xác suất mà Monty mở 98
cửa trong 99 cửa còn lại.
23
98
( )
99
P Y =
.
P(Y/X) là xác suất để Monty mở 98 trong 99 cửa khi chiếc xe hơi nằm ở
cửa số 1. Xác suất này có nghĩa là, giả sử chiếc xe ở cửa số 1 thì xác suất để
Monty có thể mở 98 cửa trong 99 cửa còn lại là
98
99
. Ông ta thừa biết sau 99 cửa
này là con dê. Vậy

98
( / ) .
99
P Y X =

P(X/Y) là xác suất chiếc xe nằm ở cửa số 1 sau khi Monty mở 98 cửa
trong 99 cửa còn lại.
Áp dụng công thức Bayes, ta được
P(X/Y)
( ). ( / )
( )
P X P Y X
P Y
=
1 98
.
100 99
98
99
=
1
100
=
.
Vậy khi Monty mở 98 cửa trong 99 cửa còn lại thì xác suất để chiếc xe
hơi ở cửa số 1 là
1
100
.
Trong hai cửa số 1 và cửa số x mà Monty không mở chắc chắn có một

cửa có xe hơi.
Gọi Z là biến cố ‘‘xe hơi nằm ở cửa số x’’. Dễ thấy hai biến cố X và Z xung khắc
nhau do xe chỉ nằm ở một trong hai cửa chứ không thể ở cả hai cửa nên ta có :
P(X) + P(Z) = 1
 P(Z) = 1 – P(X)
1 99
1
100 100
= − =

 P(Z)
99
100
=
.
Như vậy, xác suất để xe nằm ở cửa số x là
99
100
. Vì vậy, khi Monty hỏi bạn
có đổi sang cửa số x hay giữ lại cửa số 1 thì tốt nhất bạn nên đổi. Điều này sẽ
làm cho xác suất bạn trúng xe hơi cao hơn.
24
2.2 Nghịch lý ngày sinh
2.2.1 Giới thiệu về nghịch lý
Nếu tính đầy đủ, tức là tính cả ngày sinh “độc”: 29/2 (4 năm mới tổ chức
sinh nhật 1 lần ) thì có tất cả là 366 ngày sinh nhật. Nếu các bạn có một nhóm
367 người thì chắc chắn rằng sẽ có 2 người cùng ngày sinh nhật.
Vậy,
trong một nhóm có 23 người, xác suất để 2 bạn có cùng ngày
sinh là bao nhiêu ?

2.2.2 Giải quyết nghịch lý
Trước tiên, ta giả sử nhóm của bạn có n bạn. Vì mỗi bạn đều có 366 cách
chọn ngày sinh nhật, cho nên n bạn sẽ có 366
n
cách chọn ngày sinh. Tức là có tất
cả 366
n
khả năng khác nhau khi nói về ngày sinh của n bạn trong nhóm.
Bây giờ ta sẽ tính xem có bao nhiêu cách chọn ngày sinh cho n bạn trên
để sinh nhật của n bạn đều khác nhau.
Bạn đầu tiên có 366 cách chọn ngày sinh nhật.
Bạn thứ 2 có 365 cách ( vì phải khác ngày sinh nên không được chọn lại
ngày sinh của bạn thứ nhất.)
Tương tự, bạn thứ 3 có 364 cách chọn…
Như vậy, tổng số cách chọn để tất cả n bạn có ngày sinh khác nhau là:

)!366(
!366
)1366 (364.365.366
n
n
−
=−−
.
(Một cách khác, đây chính là một số cách chọn ra n ngày sinh khác nhau
từ 366 ngày và có tính đến thứ tự khi chọn, sẽ là chỉnh hợp chập n của 366 phần
tử.)
Xác suất để ngày sinh của cả n bạn trong nhóm đều khác nhau là:
( )
( )

!366366
!366
n
AP
n
−⋅
=

Suy ra xác suất để trong nhóm n bạn có ít nhất 2 bạn cùng ngày sinh là:
(
)
−=1AP
( )
!366366
!366
n
n
−⋅
.
Sử dụng phần mềm Maple ta tính được xác suất trong một số trường hợp cụ thể
như sau :
25
>




>

>




>

>

>

>

Ta thấy rằng với n=23 thì P≈0.506. Nói khác đi, có đến hơn 50% khả năng để
trong nhóm 23 bạn bất kì có 2 bạn cùng ngày sinh nhật.h