Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - GV. Ngô Quang Minh

10/13/2012
1
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
§1. Bổ túc về hàm số
§2. Giới hạn của hàm số
§3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn
§4. Hàm số liên tục
…………………………….
§1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ
1.1. Khái niệm cơ bản
1.1.1. Định nghĩa hàm số
• Cho
,
XY

¡
khác rỗng.
Ánh xạ
:
fXY

với
()
xyfx


a
là một hàm số.
Khi đó:
– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu D
f
, là tập X.
– Miền giá trị (MGT) của f là:


()
GyfxxX

.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
– Nếu
1212
()()
fxfxxx

thì f là đơn ánh.
– Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh.
–

Nếu
f
vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì
f


là
song ánh
.

VD 1.
a) Hàm số
:
f

¡¡
thỏa
()2
x
yfx

là đơn ánh.
b) Hàm số
:[0;)
f

¡
thỏa
2
()

fxx

là toàn ánh.
c) Hsố
:(0;)
f

¡
thỏa
()ln
fxx

là song ánh.
• Hàm
số
()
yfx

được gọi là hàm chẵn nếu:
()(), .
f
fxfxxD



• Hàm số
()
yfx

được gọi là hàm lẻ nếu:

()(), .
f
fxfxxD


ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
Nhận xét

– Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.

–
Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

1.1.2. Hàm số hợp
• Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện
gf
GD

.
Khi đó, hàm số
()()()[()]
hxfgxfgx


o
được gọi là

hàm số hợp của
f
và

g
.

Chú ý

()()()().
fgxgfx

oo

VD 2. Hàm số
222
2(1)1
yxx

là hàm hợp của
2
()2
fxxx

và
2
()1

gxx

.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
1.1.3. Hàm số ngược

• Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f,
ký hiệu
1
gf


, nếu
(),
f
xgyyG

.
Nhận xét

–
Đồ thị hàm số
1

()
yfx



đối xứng với đồ thị của
hàm số
()
yfx

qua
đường thẳng
yx

.
VD 3. Cho
()2
x
fx

thì
1
2
()log
fxx


, mọi x > 0.
ØØ
ChươngChương

3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
1.2. Hàm số lượng giác ngược

1.2.1. Hàm số
y =
arcsin
x

• Hàm số
sin
yx

có hàm ngược trên
;
22






là

1
:[1; 1];

22
f










arcsin
xyx

a
.

VD 4.

arcsin00

;



arcsin(1)
2



;


3
arcsin
23


.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

Chú ý
arcsinarccos,[1; 1].
2
xxx




1.2.2. Hàm số y = arccos x
• Hàm số
cos
yx


có hàm ngược trên
[0;]

là

1
:[1; 1][0;]
f





arccos
xyx

a
.

VD 5. arccos0
2


;

arccos(1)

;

3
arccos
26


;
12
arccos
23


.
10/13/2012
2
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

1.2.3. Hàm số y = arctan x
• Hàm số
tan
yx

có hàm ngược trên
;

22











là

1
:;
22
f













¡

arctan
xyx

a
.

VD 6.

arctan00

;



arctan(1)
4


;


arctan3
3


.

Quy ước.





arctan,arctan.
22



ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

1.2.4. Hàm số y = arccot x
• Hàm số
cot
yx

có hàm ngược trên
(0;)

là

1
:(0;)

f


¡

cot
xyarcx

a
.

VD 7. cot0
2
arc


;


3
cot(1)
4
arc

 ;

cot3
6
arc



.

Quy ước.
cot()0,cot().
arcarc


………………………………………
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
2.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có
giới
hạn là L (hữu hạn) khi
0
[; ]
xxab

,
ký hiệu
0

lim()
xx
fxL


, nếu
0

cho trước ta tìm được
0

sao cho khi
0
0
xx

thì
()
fxL

.
Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy)
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có
giới
hạn là L (hữu hạn) khi
0
[; ]
xxab

,

ký hiệu
0
lim()
xx
fxL


, nếu mọi dãy {x
n
} trong
0
(; )\{}
abx
mà
0
n
xx

thì
lim()
n
n
fxL


.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm

sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi
x

,
ký hiệu
lim()
x
fxL


, nếu
0

cho trước ta tìm
được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì
()
fxL

.
• Tương tự, ký hiệu
lim()
x
fxL



, nếu
0

cho
trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho
khi x < N thì
()
fxL

.

Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là

khi
0
xx

,
ký hiệu
0
lim()
xx
fx


, nếu
0
M


lớn tùy ý cho
trước ta
tìm được
0

sao cho khi
0
0
xx


thì
()
fxM

.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
• Tương tự, ký hiệu
0
lim()
xx
fx



, nếu
0
M

có
trị
tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được
0


sao cho
khi
0
0
xx

thì
()
fxM

.
Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)
• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi
0
xx

với
0
xx


thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x
0

(hữu
hạn), ký hiệu
0
0
lim()
xx
fxL


hoặc
0
lim()
xx
fxL



.
• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi
0
xx

với
0
xx


thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x
0
(hữu
hạn), ký hiệu
0
0
lim()
xx
fxL


hoặc
0
lim()
xx
fxL



.
Chú ý.

0
0
0
lim()lim()lim().
xx
xxxx
fxLfxfxL






ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
2.2. Tính chất
Cho
0
lim()
xx
fxa


và
0
lim()
xx
gxb


. Khi đó:
1)
0

lim[.()].
xx
CfxCa


(
C
là hằng số).
2)
0
lim[()()]
xx
fxgxab


.
3)
0
lim[()()]
xx
fxgxab


;
4)
0
()
lim, 0
()
xx

fxa
b
gxb


;
5) Nếu
00
()(),(; )
fxgxxxx

thì
ab

.
6) Nếu
00
()()(),(; )
fxhxgxxxx

và

00
lim()lim()
xxxx
fxgxL


thì
0

lim()
xx
hxL


.
10/13/2012
3
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
VD 1. Tìm giới hạn
2
1
2
lim
3
x
x
x
x
L
x














.
A.
9
L

; B.
4
L

; C.
1
L

; D.
0
L

.
Giải. Ta có:

2.
1
2
2
lim2.
3
x
x
x
x
LB
x















Định lý

Nếu
00
lim()0, lim()
xxxx
uxavxb


thì:
0
()
lim[()].
vxb
xx
uxa



ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
Các kết quả cần nhớ

1)
00
11

lim,lim
xx
xx



.


2) Xét
1
10
1
10

lim

nn
nn
mm
x
mm
axaxa
L
bxbxb









, ta có:
a)
n
n
a
L
b
 nếu
nm

;
b)
0
L

nếu
nm

;

c)
L

nếu
nm

.

3)
00
sintan
limlim1
xx
xx
xx




.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
VD 2. Tìm giới hạn
2
2
3
lim1
21
x
x

x
L
x











.
A.
L

; B.
3
Le

; C.
2
Le

; D.
1
L


.

4) Số e:
 
1
0
1
lim1lim1.
x
x
xx
xe
x













Giải.
2
2
2.

3
3
21
21
2
l
2
m
3
1
1
i
x
x
x
x
x
x
L
x
x























.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
Khi
x

thì
22
33
0,2.3
2121

xx
x
xx



2
21
3
3
2
3
lim1
21
x
x
x
x
eLeB
x













.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

VD 3. Tìm giới hạn


1
2
4
0
lim1tan
x
x
Lx



.
A.
L


; B.
1
L

; C.
4
Le

; D.
Le

.

Giải.
 
2
2
1
.
1
tan
t
4
0
an
2
tanlim1
x
x
x

x
L x










 
2
2
1tan
.
1
4
4
2
tan
0
lim1tan
x
x
x
x
xeC






















.
………………………………………
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

§3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN

3.1. Đại lượng vô cùng bé

a) Định nghĩa


Hàm số
()
x

được gọi là
đại lượng vô cùng bé
(VCB)

khi
0
xx

nếu
0
lim()0
xx
x


(
0
x
có thể là vô cùng).

VD 1.


3
()tansin1
xx

là VCB khi
1
x


;


2
1
()
ln
x
x
 là VCB khi
x

.
10/13/2012
4
ØØ
ChươngChương

3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

b) Tính chất của VCB

1)
Nếu
(), ()
xx

là các VCB khi
0
xx

thì

()()
xx

và
().()
xx

là VCB khi
0
xx


.

2) Nếu
()
x

là VCB và
()
x

bị chận trong lân cận
0
x


thì
().()
xx

là VCB khi
0
xx

.

3)
0
lim()()()
xx

fxafxax


, trong đó
()
x

là

VCB khi
0
xx

.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

c) So sánh các VCB
•

Định nghĩa


Cho

(), ()
xx

là các VCB khi
0
xx

,
0
()
lim
()
xx
x
k
x




.

Khi đó:


– Nếu
0
k

, ta nói

()
x

là VCB cấp cao hơn
()
x

,

ký hiệu
()0(())
xx

.

– Nếu
k

, ta nói
()
x

là VCB
cấp thấp hơn

()
x

.

– Nếu
0
k

, ta nói
()
x

và
()
x

là các VCB

cùng cấp.

– Đặc biệt, nếu
1
k

, ta nói
()
x

và
()
x

là các VCB

tương đương, ký hiệu
()()
xx

:
.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

VD 2.
•
1cos
x

là VCB cùng cấp với
2
x
khi
0
x

vì:

2
22
00
2sin
1cos1
2
limlim
2
4
2
xx
x
x
x
x












.
•

22
sin3(1)9(1)
xx

:
khi
1
x

.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
•
Tính chất củ
a VCB tương đương
khi
x
→
x
0

1)

()()()()0(())0(())

xxxxxx

:
.


2) Nếu
()(), ()()
xxxx

::
thì
()()
xx

:
.


3) Nếu
1122
()(), ()()
xxxx

::
thì
1212
()()()()
xxxx


:
.


4) Nếu
()0(())
xx

thì
()()()
xxx

:
.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
•
Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao


Cho
(), ()
xx


là
tổng các VCB

khác cấp
khi
0
xx


thì
0
()
lim
()
xx
x
x



bằng giới hạn tỉ số hai VCB
cấp thấp
nhất
của tử và mẫu.

VD 3. Tìm giới hạn
3
42
0
cos1

lim
x
xx
L
xx




.

Giải.
0
2
3
4
(1cos
lim
)
x
x
L
x
x
x






2
0
1cos1
lim
2
x
x
x



.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
•
Các VCB tương đương cần nhớ khi
x
→
0

1)
sin

xx
:
;






2)
tan
xx
:
;


3)
arcsin
xx
:
; 4)
arctan
xx
:


5)
2
1cos
2

x
x :
; 6)
1
x
ex

:
;
7)
ln(1)
xx

:
; 8) 11
n
x
x
n

:
.


Chú ý



Nếu
()

ux
là VCB khi
0
x

thì ta có thể thay
x
bởi

()
ux
trong 8 công thức trên.
10/13/2012
5
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

VD 4. Tính giới hạn
2
2
0
ln(12sin)
lim
sin.tan

x
xx
L
xx


 .

Giải
.
Khi
0
x

, ta có:

222
222
ln(12sin)2sin2.
2
sin.tan
xxxxxx
xxxxxx


::
.

Vậy
2

L

.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

VD 5. Tính


22
3
0
sin113tan
lim
sin2
x
xxx
L
xx




.

Vậy
0
1
2
lim
24
x
x
L
x


.

Giải
.

Khi
0
x

, ta có:




22
tan
xx
:

(cấp 2),
33
sin
xx
:
(cấp 3),




sin1111
2
x
xx
::
(cấp 1).
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

Chú ý

Quy tắc VCB tương đương
không áp dụng được
cho
hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm
triệt tiêu
tử
hoặc mẫu của phân thức.

VD 6.
22
00
2(1)(1)
limlim
xxxx
xx
eeee
xx







2
0
()
lim0
x
xx

x



(Sai!).


33
00
limlim
tan
xx
xx
xxxx




(Sai!).
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
VD 7.
3
cos1

2sin
x
xx


là VCL khi
0
x

;

3
2
1
cos43
xx
xx


là VCL khi
x

.
Nhận xét
.
Hàm số
()
fx
là VCL khi
0

xx

thì

1
()
fx
là VCB khi
0
xx

.

3.2. Đại lượng vô cùng lớn

a) Định nghĩa


Hàm số
()
fx
được gọi là
đại lượng vô cùng lớn
(VCL)

khi
0
xx

nếu

0
lim()
xx
fx


(
0
x
có thể là vô cùng).
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

b) So sánh các VCL
•
Định nghĩa


Cho
(), ()
fxgx
là các VCL khi
0
xx


,
0
()
lim
()
xx
fx
k
gx


.


Khi đó:
– Nếu
0
k

, ta nói
()
fx
là VCL cấp thấp hơn
()
gx
.
– Nếu
k


, ta nói
()
fx
là VCL
cấp cao hơn

()
gx
.
– Nếu
0
k

, ta nói
()
fx
và
()
gx
là các VCL

cùng cấp.
– Đặc biệt, nếu
1
k

, ta nói
()
fx
và

()
gx
là các VCL


tương đương. Ký hiệu
()()
fxgx
:
.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

VD 8.

•
3
3
x
là VCL khác cấp với
3
1
2
xx


khi
0
x

vì:
3
3333
000
312
lim:3lim3lim
2
xxx
xxx
xxxxx












.
•
33

212
xxx

:
khi
x

.
10/13/2012
6
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
•
Quy tắc ngắt bỏ VC
L
cấp
thấp


Cho
()
fx
và
()

gx
là tổng các VCL khác cấp khi
0
xx




thì
0
()
lim
()
xx
fx
gx

bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất


của tử và mẫu.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
Giải.

3
3
1
lim
3
3
x
x
A
x


.
3
7
1
limlim0
2
2
xx
x
B
x
x


.

VD 9
.

Tính
các
giới hạn
:

3
3
cos1
lim
32
x
xx
A
xx




;
32
72
21
lim
2sin
x
xx
B
xx





.
…………………………………………………………
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
§4. HÀM SỐ LIÊN TỤC


4.1. Định nghĩa

• Số
0
f
xD

được gọi là
điểm cô lập
của
f
(
x
) nếu

000
0:(; )\{}
xxxx

thì
f
xD

.
• Hàm số
()
fx
liên tục tại
0
x
nếu
0
0
lim()()
xx
fxfx


.
• Hàm
số
()
fx
liên tục trên tập

X
nếu
()
fx
liên tục tại

mọi điểm
0
xX

.

Quy ước

•
Hàm số
()
fx
liên tục tại mọi điểm cô lập của nó.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

4.2. Định lý
• Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại

0
x
là hàm số liên tục tại
0
x
.
• Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó.

• Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và


nhỏ nhất trên đoạn đó.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
•
Định lý

Hàm số
()
fx
liên tục tại
0

x
nếu
00
0
lim()lim()().
xxxx
fxfxfx





4.3. Hàm số liên tục một phía

•
Định nghĩa

Hàm số
()
fx
được gọi là liên tục trái

(phải) tại
0
x
nếu
0
0
lim()()
xx

fxfx



(
0
0
lim()()
xx
fxfx



).
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

VD 1. Cho hàm số
22
3tansin
,0
()
2
,0

xx
x
fx
x
x















.
Giá trị của

để hàm số liên tục tại
0
x

là:
A.
0


; B.
1
2

; C.
1

; D.
3
2

.

Giải. Ta có
0
lim()(0)
x
fxf



.

Mặt khác, khi
0
x


ta có:



2
22
3tansin1
222
x
xx
xx


:
10/13/2012
7
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

0
1
lim().
2
x
fx






Hàm số
()
fx
liên tục tại
0
x


00
1
lim()lim()(0)
2
xx
fxfxfB


.
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

VD 2. Cho hàm số
22
ln(cos)
,0
()
arctan2
23,0
x
x
fx
xx
x















.
Giá trị của


để hàm số liên tục tại
0
x

là:
A.
17
12

; B.
17
12

; C.
3
2

; D.
3
2

.


Giải.

Khi
0
x


, ta có
:



222
arctan23
xxx

:
;
2
ln(cos)ln[1(cos1)]cos1
2
x
xxx::
ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn
Hàm số
()
fx
liên tục tại
0
x




0
1
lim()(0)23
6
x
fxfA

.

2
222
0
ln(cos)1
2
lim()
6
arctan23
x
x
x
fx
xxx




: .

ØØ
ChươngChương
3. 3.
HàmHàm
sốsố
vàvà
giớigiới
hạnhạn

4.4. Phân loại điểm gián đoạn

•
Nếu hàm số
()
fx

không liên tục
tại
0
x
thì
0
x
được gọi
là
điểm gián đoạn
của
()
fx
.

• Nếu tồn tại các giới hạn
:
0
0
lim()()
xx
fxfx



 ,
0
0
lim()()
xx
fxfx





nhưng
0
()
fx

,
0
()

fx

và
0
()
fx

không đồng thời bằng
nhau
thì ta nói
0
x
là điểm
gián đoạn loại một
.


Ngược lại,
0
x
là điểm
gián đoạn loại hai
.
……………………………………………………………………………