một số dạng toán về dãy số và giới hạn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (214.71 KB, 16 trang )
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN
1 Giới hạn dãy số
1.1 Dãy số
Định nghĩa 1.1. Dãy số (thực) là một hàm số xác định trên tập con của tập số tự nhiên
Với
⊂
¥M
, thay cho ký hiệu
:u → ¡M
( )
n u na
ta thường dùng ký hiệu
( ) ,{ } ,( )
n n n n n n
u u u
∈ ∈M M
hay
{ }
n n
u
Định nghĩa 1.2. Cho dãy
( )
n n
u
∈¥
•
Dãy
( )
n
u
được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nếu
1n n
u u n
+
≤ ∀ ∈¥
•
Dãy
( )
n
u
được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nếu
1n n
u u n
+
≥ ∀ ∈¥
•
Dãy
( )
n
u
được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nghiêm ngặt nếu
1n n
u u n
+
< ∀ ∈¥
•
Dãy
( )
n
u
được gọi là
dãy (đơn điệu) giảm nghiêm ngặt nếu
1n n
u u n
+
> ∀ ∈¥
Nhận xét.
•
Nếu
( ) ,( )
n n
x yZ Z
thì
( )
n n
x y+ Z
•
Nếu
( ) ,( )
n n
x y] ]
thì
( )
n n
x y+ ]
•
Nếu
( )
n
x Z
thì
( )
n
x− ]
. Và nếu
( )
n
x ]
thì
( )
n
x− Z
•
Nếu hai dãy dương
( ),( )
n n
x y
cùng tăng (giảm) thì
( )
n n
x y
tăng (giảm).
•
Một dãy có thể không tăng, cũng không giảm. Ví dụ
( 1)
n
n
x n= − ∀ ∈¥
Định nghĩa 1.3. Cho dãy số
( )
n n
x
∈¥
.
•
Dãy
( )
n
x
được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại hằng số
M
sao cho
n
x M n≤ ∀
•
Dãy
( )
n
x
được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại hằng số
m
sao cho
n
x m n≥ ∀
•
Dãy
( )
n
x
vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn.
Định lí 1.1. Dãy
( )
n
x
bị chặn khi và chỉ khi tồn tại ghằng số
0c ≥
sao cho
| |
n
u c n≤ ∀
1.2 Giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1.4. Dãy số
( )
n
u
được gọi là hội tụ về
α
, ký hiệu
lim
n
n
u
α
→∞
=
, nếu với mọi
0
ε
>
cho trước tùy ý, tìm
được chỉ số
0
n
sao cho với mọi
0
n n≥
đều có
| |
n
u
α ε
− <
Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng
1.
lim
n
c c
→∞
=
2.
1
lim 0
n
n
→∞
=
3.
1
lim 1
n
n
n
→∞
+
=
Định lí 1.2. (Tính duy nhất của giới hạn) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất
Định lí 1.3. (Tính thứ tự của dãy hội tụ) Cho
lim
n
n
x
→∞
= l
và
a ∈¡
. Khi đó
•
Nếu
a < l
thì
0 0
( : )
n
n n n a x∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ <¥
•
Nếu
a > l
thì
0 0
( : )
n
n n n a x∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ >¥
Định lí 1.4. (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức) Cho
lim
n
n
x
→∞
= l
và
a ∈¡
. Khi đó
•
Nếu
0 0
( : )
n
n n n x a∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ ≥¥
thì
a≥l
•
Nếu
0 0
( : )
n
n n n x a∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ ≤¥
thì
a≤l
Định lí 1.5. (Định lý giới hạn kẹp giữa) Cho ba dãy số
( ),( ),( )
n n n
x y z
thỏa mãn
•
0 0
:
n n n
n n n z x y∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ ≤ ≤¥
•
các dãy
( ),( )
n n
y z
cùng hội tụ đến
l
Khi đó dãy
( )
n
x
hội tụ và
lim
n
n
x
→∞
= l
Định lí 1.6. (Tính chất đại số của dãy hội tụ) Cho hai dãy hội tụ
( ),( )
n n
x y
và
lim ;lim
n n
n n
x a y b
→∞ →∞
= =
. Khi đó
•
Dãy
( )
n
x−
hội tụ và
lim( )
n
n
x a
→∞
− = −
•
Dãy
(| |)
n
x
hội tụ và
lim | | | |
n
n
x a
→∞
=
•
Dãy
( )
n n
x y+
hội tụ và
lim( )
n n
n
x y a b
→∞
+ = +
•
Dãy
( )
n n
x y−
hội tụ và
lim( )
n n
n
x y a b
→∞
− = −
•
Dãy
( )
n
kx
hội tụ và
lim( )
n
n
kx ka
→∞
=
•
Dãy
( · )
n n
x y
hội tụ và
lim( · )
n n
n
x y ab
→∞
=
•
Với
0b ≠
thì dãy
1
n
y
÷
được xác định từ một chỉ số nào đó, hội tụ và
1 1
lim
n
n
y b
→∞
÷
=
•
Với
0b ≠
thì dãy
n
n
x
y
÷
được xác định từ một chỉ số nào đó, hội tụ và
lim
n
n
n
x
a
y b
→∞
÷
=
Ví dụ 1.2. Tìm các giới hạn sau
•
2
2
3 2
lim
3 2
n
n n
n n
→∞
− +
+ −
•
2
3 2
2 3 1
lim
3 4 5
n
n n
n n
→∞
− +
+ −
•
2 1 2
lim
n
n n
n
→+∞
+ − −
•
2 2
lim ( 2 1 1)
n
n n n n
→+∞
+ − − + +
•
0
0
(3 1)
lim
(2 3)
n
k
n
n
k
k
k
=
→+∞
=
+
+
∑
∑
1.3 Dấu hiệu hội tụ của dãy số
1.3.1 Tiêu chuẩn Weiersstrass
Định lí 1.7. Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ
Cụ thể, một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ, một dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Ví dụ 1.3. Cho các dãy số
( ),( )
n n
x y
được xác định như sau
1 1 1 1
0, 0, , , 1.
2
n n
n n n n
x y
x a y b x x y y n
+ +
+
= > = > = = ∀ ≥
Chứng minh rằng các dãy số
( ),( )
n n
x y
hội tụ và
lim lim
n n
x y=
.
Lời giải. Ta xét hai trường hợp sau:
(i) Nếu
a b≥
thì bằng quy nạp ta chỉ ra được dãy
( )
n
x
là dãy giảm bị chặn dưới bởi
a
, còn dãy
( )
n
y
là dãy tăng bị
chặn trên bởi
a
. Do đó theo định lý 1.7 tồn tại
lim ,lim
n n
x y
và từ giả thiết chuyển qua giới hạn ta được
lim lim
n n
x y=
.
(ii) Nếu
a b
≤
tương tự như trường hợp (i).
Ví dụ 1.4. Cho dãy số
( )
n
x
được xác định như sau
1 2 2 1
1, 2, , 1
n n n
x x x x x n
+ +
= = = + ∀ ≥
.
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải. Dễ thấy bằng quy nạp ta chỉ ra được
( )
n
x
là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 4. Do đó theo định lý 1.7 ta
có tồn tại
lim
n
x a=
. Từ đẳng thức
2 1n n n
x x x
+ +
= +
chuyển qua giới hạn ta được
2a a=
nhưng do
0a
>
nên
chỉ lấy
4a
=
. Vậy
lim 4
n
a =
.
Bài tập tương tự
Bài tập 1.5. Cho dãy số
( )
n
x
xác định bởi
1 1
2, 2 , 1, 2,
n n
x x x n
+
= = + = …
Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ
và tìm
lim
n
n
x
→∞
.
Bài tập 1.6. Cho dãy số thỏa mãn điều kiện
( )
1
1
0 1, 1
4
n n n
x x x
+
< < − >
.
Chứng minh dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn đó.
Bài tập 1.7. (Định lý Cantor) Cho hai dãy số thực
( ),( )
n n
a b
thỏa mãn các điều kiện sau:
[ ] [ ]
1 1
; , ,
n n n n n n
a b a b a b
+ +
≤ ⊆
với mọi
n
∈
¥
và
( )
lim 0
n n
b a− =
.
Khi đó tồn tại số thực
c
sao cho
[ ]
{ }
0
,
n n
n
a b c
∞
=
=
I
và
lim lim
n n
a b c= =
.
Bài tập 1.8. (VMO 2005). Cho dãy số thực
( ), 1,2,3
n
x n =
được xác định bởi:
1
x a=
và
3 2
1
3 7 5
n n n n
x x x x
+
= − +
với
1,2,3, n =
trong đó
a
là một số thực thuộc đoạn
4
0,
3
.
Chứng minh rằng dãy số
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài tập 1.9. (VMO 2002B). Xét phương trình
2 2
1 1 1 1 1
0
2 1 4x x x x k x n
+ + + + + + =
− − − −
,
trong đó
n
là tham số nguyên dương.
1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương
n
, phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm trong khoảng
( )
0,1
; kí hiệu nghiệm đó là
n
x
.
2. Chứng minh rằng dãy số
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n → +∞
.
Bài tập 1.10. Cho số thực
a
. Cho dãy số
( ),
n
x n∈¥
, được xác định bởi:
0
x a=
và
1
sin
n n n
x x x
+
= +
với mọi
n∈¥
.
Chứng minh rằng dãy số
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n → +∞
và tính giới hạn đó.
1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy
Định nghĩa 1.5. Dãy
( )
n
x
được gọi là dãy Cauchy nếu thỏa mãn điều kiện
0, : , , , ,
m n
N m n m n N x x
ε ε
∀ > ∃ ∈ ∀ ∈ ≥ − <¥ ¥
Định lí 1.8. Dãy số
( )
n
x
hội tụ khi và chỉ khi
( )
n
x
là dãy Cauchy.
Ví dụ 1.11. Cho hàm số
:f →¡ ¡
thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
f x f y q x y− ≤ −
, với mọi
,x y ∈¡
,
trong đó
( )
0,1q ∈
là hằng số cho trước. Với
c ∈¡
cho trước và xác định dãy
( ), 0,1, 2,3
n
x n =
như sau:
0 1
, ( ), 0,1,2,
n n
x c x f x n
+
= = =
. Chứng minh rằng dãy số
( )
n
x
hội tụ và giới hạn của dãy số là nghiệm của phương
trình
( )f x x=
.
Lời giải Trước hết ta chứng minh dãy
( )
n
x
là một dãy Cauchy. Thật vậy, với
, ,m n n m∈ >¥
ta có:
( )
( )
1 1 1 1 0
m
n m n m n m n m
x x f x f x q x x q x x
− − − − −
− = − ≤ − ≤ ≤ −
(1)
Mặt khác ta có
( )
1
0 1 1 0 1 0 1 0
1
1
1
n
n
n n n
q
x x x x x x q x x x x
q
−
−
−
− ≤ − + + − ≤ + + − = −
−
.
Từ đây suy ra
0n
x x−
bị chặn với mọi
n
. Kết hợp với (1) ta thu được với mọi
0
ε
>
tồn tại
N ∈¥
sao cho
với mọi
,m n N≥
thì
n m
x x
ε
− <
. Nên dãy
( )
n
x
là một dãy Cauchy suy ra nó hội tụ.
Từ điều kiện của hàm
f
dễ dàng chứng minh được
f
liên tục và do đó từ đẳng thức
1
( )
n n
x f x
−
=
chuyển qua giới
hạn ta được giới hạn của dãy
( )
n
x
là nghiệm của phương trình
( )f x x=
.
Bài tập tương tự
Bài tập 1.12. Cho
:f →¡ ¡
thỏa mãn điều kiện với mọi
0
ε
>
đều tồn tại
0
δ
>
sao cho: nếu
x y
ε ε δ
≤ − < +
thì
( ) ( )f x f y
ε
− <
. Xét dãy số xác định như sau:
0 1
, ( ), 0,1,
n n
x x f x n
+
∈ = =¡
Chứng minh rằng dãy
( )
n
x
hội
tụ.
Bài tập 1.13. Cho
:f →¡ ¡
thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( ( ))x f x x f x
ϕ ϕ
− ≤ −
, trong đó
:
ϕ
→¡ ¡
là hàm liên tục
và bị chặn dưới. Lấy
0
x ∈¡
và lập dãy
1
( ), 0,1, 2,
n n
x f x n
+
= =
Chứng minh rằng dãy số
( )
n
x
hội tụ.
Bài tập 1.14. Cho
:f →¡ ¡
thỏa mãn điều kiện
( )
( ) ( ) ( ) ( )f x f y k x f x y f y− ≤ − + −
, với mọi
,x y ∈¡
, trong
đó
1
2
k <
. Xét dãy số xác định như sau:
1 1
, ( ), 1
n n
x x f x n
+
∈ = ≥¡
. Chứng minh rằng dãy
( )
n
x
hội tụ và giới hạn của
dãy là nghiệm duy nhất của phương trình
( )f x x=
.
Bài tập 1.15. Cho
:f →¡ ¡
thỏa mãn điều kiện: có số
,0 1k k≤ <
sao cho
{ }
( ) ( ) max , ( ) , ( ) , .f x f y k x y f x x y f y x y− ≤ − − − ∀ ∈¡
Xét dãy số xác định như sau:
1 1
, ( ), 1
n n
x x f x n
+
∈ = ≥¡
. Chứng minh rằng dãy
( )
n
x
hội tụ và giới hạn của dãy là
nghiệm duy nhất của phương trình
( )f x x=
.
1.3.3 Nguyên lý kẹp
Định lí 1.9. Cho ba dãy số
( ),( )
n n
a b
và
( )
n
c
thỏa mãn:
N∃ ∈¥
sao cho
n n n
a b c n N≤ ≤ ∀ ≥
và
lim lim
n n
a c a= =
.
Khi đó
n
limb a=
.
Ví dụ 1.16. (Canada 1985) Dãy số
( )
n
x
thỏa mãn điều kiện
1
1 2x< <
và
2 *
1
1
1 , .
2
n n n
x x x n
+
= + − ∀ ∈¥
Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Tìm
lim
n
n
x
→∞
Lời giải. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau:
1
2 , 3
2
n
n
x n− < ∀ ≥
. Thật vậy ta kiểm tra được ngay
bất đẳng thức đúng với
3n =
. Giả sử bất đẳng thức đúng với
3n ≥
, tức là
1
2
2
n
n
x − <
. Khi đó ta có
( )
1
1
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
2 .
2 2 2 2
n n n n n
n
n n
x x x x x
x
+
+
− = − − − ≤ − − + −
< − < =
Do đó bất đẳng thức đúng đến
1n +
. Mặt khác do
1
lim 0
2
n
=
nên từ bất đẳng thức trên và nguyên lý kẹp ta có
lim 0
n
x =
.
Ví dụ 1.17. Cho dãy các hàm số
{ }
( )
n
P x
xác định như sau
2
0 1
( )
( ) 0, ( ) ( ) , 0;
2
n
n n
x P x
P x P x P x n x
+
−
= = + ∀ ≥ ∈¡
.
Tìm
lim ( )
n
n
P x
→∞
.
Lời giải Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau:
0 ( ) ,
n
P x x n≤ ≤ ∀ ∈ ¥
.
(1)
Thật vậy, với
[0,1]x∈
suy ra
2 0x x− ≤
nên
1
0 ( )
2
x
P x x≤ = ≤
. Như vậy (1) đúng với n=1. Giả sử (1) đúng đến
$n$. Xét hàm số
( )
2
1
( )
2
f t t x t= + −
với
[0,1]t ∈
. Dễ thấy hàm số
( )f t
đồng biến trên
[0,1]
. theo giả thiết quy nạp
ta có
0 ( ) 1
n
P x x≤ ≤ ≤
với mọi
[0,1]x∈
(2)
nên
1
( ) ( ( )) ( )
n n
P x f P x f x x
+
= ≤ =
với mọi
[0,1]x∈
. Mặt khác, từ (2) ta có
2
1
( ) 0 ( ) ( ) 0
n n n
x P x P x P x
+
− ≥ ⇒ ≥ ≥
.
Vậy
1
0 ( )
n
P x x
+
≤ ≤
. Do đó (1) đúng đến
1n +
nên theo nguyên lý quy nạp ta có (1) đúng với mọi
n
.
Tiếp theo ta chứng minh
2
( )
1
n
x P x
n
− ≤
+
với
[0,1],x n∈ ∀ ∈¥
. (3)
Thật vậy ta có
1
1
( )
( ) ( ) 1
2
n
n n
x P x
x P x x P x
−
−
+
− = − −
1 1
0
1
( ) 1 ( ( ) 0)
2
2
( ) 1 1
2 2 2
1
2 2
2 2 2
.
1 1 1 1
n n
n n
n
n
x
x P x do P x
x n x x
x P x
n
n x x
n
n
n n n n n
− −
+
≤ − − ≥
≤ ≤ − − = −
+ −
÷
≤ = <
÷
+ + + +
Từ đó ta thu được bất đẳng thức
2
0 ( )
1
n
x P x
n
≤ − <
+
với mọi
[0,1]x n∈ ∀ ∈¥
.
Do
2
lim 0
1n
=
+
nên theo nguyên lý kẹp ta được
lim ( )
n
P x x=
, với mọi
[0,1]x∈
.
Ví dụ 1.18. Cho
{ }
, ,( , ) 1; 1, 2, a b a b n ab ab∈ = ∈ + +¥
å
. Kí hiệu
n
r
là số cặp số
( , )u v ∈ ×¥ ¥
å å
sao cho
n au bv= +
. Chứng minh rằng
1
lim
n
n
r
n ab
→∞
=
.
Lời giải Xét phương trình
au bv n+ =
(1). Gọi
0 0
( , )u v
là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử
( , )u v
là một
nghiệm nguyên dương khác
0 0
( , )u v
của (1). Ta có
0 0
,au bv n au bv n+ = + =
suy ra
0 0
( ) ( ) 0a u u b v v− + − =
do đó
tồn tại
k
nguyên dương sao cho
0 0
,u u kb v v ka= + = −
. Do v là số nguyên dương nên
0
0
1
1
v
v ka k
a
−
− ≥ ⇔ ≤
. (2)
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số
k
nguyên dương cộng với 1. Do đó
0 0
1
1
1 1
n
v u
n
r
a ab b a
−
= + = − − +
. Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau:
0 0
1 1
1.
n
u u
n n
r
ab b a ab b a
− − ≤ ≤ − − +
Từ đó suy ra
0 0
1 1 1 1 1
.
n
u r u
ab nb na n ab nb na n
− − ≤ ≤ − − +
Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay
1
lim
n
n
r
n ab
→∞
=
.
Ví dụ 1.19. Tìm giới hạn của dãy số
( )
n
x
biết
1 2 1 3 1 1 ( 1) 1
n
x n n= + + + + − +L
Lời giải 1.
Xét hàm số
( ) 1 1 (1 )f x x x= + + + L
ta chứng minh
1
( ) 2( 1)
2
x
f x x
+
≤ ≤ +
. Từ đó
1 1
2 2
2 (1 ) ( ) 2 (1 )
n n
x f x x
−
+ ≤ ≤ +
.
Từ đó, thay
2x
=
được
1 1
2 2
3·2 3·2
n n
n
x
−
< <
. Từ đó, theo nguyên lý kẹp, suy ra
lim 3
n
n
x
→∞
=
.
Lời giải 2. Với
1 1m n≤ ≤ −
, đặt
1 1 (1 ) 1 1 ( 1) 1
m
a m m n n= + + + + + − +L
ta có
2 2 2 2
1 1
2 2
1
1 ( 1) 2
( 1) ( ( 2))
m m m m
m m
a ma a m ma m m
a m m a m
+ +
+
= + − + = − −
−
⇔
⇔ − + = +
.
Suy ra
1 2
1
| |
| ( 1) | | 2 |
| ( 1) | 2
m m
m m
m
m a a
m
a m a m
a m m
+ +
+
−
− + ≤ ≤ − +
+ + +
.
Từ đó
2 1
1 1
| 3 | | | | 1 ( 1) 1 | 0 ( )
1 1
n
n n
a a n n n n n
n n
−
− −
− ≤ − < + − + − → → ∞
+ +
Lời giải 3. Để ý rằng
n&3 1 2·4 1 2· 16 1 2 1 3 25 1 2 1 3 1 4 36= + = + = + + = + + +
bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được
2
1 2 1 3 1 1 ( 2) 3n n+ + + + + =L
Suy ra
3
n
x ≤
(1)
Nhận xét. Cho
1
α
>
. Khi đó
1 · 1 0x x x
α α
+ ≤ + ∀ ≥
.
Áp dụng nhận xét trên với
, 2x n n
α
= = +
được
2
1 ( 2) 2· 1n n n n+ + ≤ + +
.
Từ đó
2
4
1 ( 1) 1 ( 2) 1 2·( 1)· 1 2· 1 ( 1) 1n n n n n n n n n+ − + + ≤ + + − + ≤ + + − +
.
Do đó, bằng quy nạp, thu được
2
3 ( 2)
n
n
n x
−
≤ +
(2)
Từ (1),(2) và nguyên lý kẹp, suy ra
lim 3
n
n
x
→∞
=
.
Bài tập tương tự
Bài toán 1.20. Cho
, 2
α α
∈ >¡
, dãy số
( )
n
a
+
⊂ ¡
thỏa mãn điều kiện
1 2 1
, 2.
n n
a a a a n
α
−
= + + + ∀ ≥
Chứng minh rằng
lim 0
n
a
n
=
.
Bài tập 1.21. Cho dãy số dương
( )
n
a
thỏa mãn điều kiện
3 *
1 1 2
, .
n n
a a a a n
+
≤ + + + ∀ ∈¥
Chứng minh rằng với mọi
1
2
α
>
ta luôn có
lim 0
n
a
n
α
=
.
Bài tập 1.22. (VMO 2002A). Xét phương trình
2 2
1 1 1 1 1
1 4 1 1 1 2x x k x n x
+ + + + + =
− − − −
,
trong đó
n
là tham số nguyên dương.
1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương
n
, phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1; kí
hiệu nghiệm đó là
n
x
.
2. Chứng minh rằng dãy số
n
x
có giới hạn bằng 4 khi
n → +∞
.
Bài tập 1.23. (Matxcơva 2000). Ký hiệu
n
x
là nghiệm của phương trình
1 1 1
0
1x x x n
+ + + =
− −
,
thuộc khoảng
(0,1)
1. Chứng minh dãy
( )
n
x
hội tụ;
2. Hãy tìm giới hạn đó.
Bài tập 1.24. (VMO 2007) Cho số thực
2a >
và
10 10
( ) 1
n n
n
f x a x x x
+
= + + + +
1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương
n
, phương trình
( )
n
f x a=
luôn có đúng một nghiệm dương
duy nhất.
2. Gọi nghiệm đó là
n
x
, chứng minh rằng dãy
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n
dần đến vô cùng.
1.4. Khảo sát sự hội tụ của dãy số dạng
1
( )
n n
x f x
+
=
Để khảo sát sự hội tụ của dãy số có dạng
1
( )
n n
x f x
+
=
, ta thường xét hàm số
( )y f x=
và sử dụng một số
kết quả sau
Định lí 1.10. Cho dãy số
( )
n
x ⊂ ¡
xác định như sau:
1 1
, ( ), 1,2,
n n
x a x f x n
+
= = =
. Khi đó
1. Nếu
( )f x
là hàm số đồng biến thì dãy số
( )
n
x
đơn điệu.
2. Nếu
( )f x
là hàm số nghịch biến thì dãy số
( )
n
x
có chứa hai dãy con
2 2 1
( ),( )
k k
x x
+
đơn điệu ngược chiều.
3. Khi
( )f x
là hàm số nghịch biến và dãy
( )
n
x
bị chặn thì
2 2 1
lim ,lim
k k
k k
x a x b
+
→∞ →∞
∃ = =
và do đó dãy đã cho hội
tụ khi và chỉ khi
a b
=
.
Ví dụ 1.25. (VMO 1998A). Cho số thực
1a
≥
. Xét dãy số
( ), 1,2,
n
x n =
được xác định bởi
2
1 1
, 1 ln
1 ln
n
n
n
x
x a x
x
+
= = +
÷
+
với
1,2,3, n =
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải
Xét dãy số
( )
n
x
với
1
( 1)x a a= ≥
và
2
1
1 ln , 1,2,
1 ln
n
n
n
x
x n
x
+
= + =
÷
+
(i) Nếu
1a
=
thì
1( )
n
x n= ∀
suy ra
lim 1
n
n
x
→+∞
=
.
(ii) Nếu
1a
>
. Ta chứng minh bằng quy nạp
1
n
x >
với mọi
*
n∈¥
. Giả sử với
n
sao cho
1
n
x >
. Ta nhận thấy
2
1
1 1 ln 0
n n n
x x x
+
> ⇔ − − >
. Dễ thấy hàm số
2
( ) 1 lnf x x x= − −
đồng biến trên
[1; )+∞
. Mặt khác
1
n
x >
suy ra
1
1
n
x
+
>
. Vậy
1 1
n
x n> ∀ ≥
.
Tiếp theo ta chứng minh với
1 1
n
x n> ∀ ≥
thì
1
1
n n
x x n
+
> ∀ ≥
. Xét hàm số
2
( ) 1 ln
1 ln
x
g x x
x
= − −
÷
+
trên
[1; )+∞
.
Bằng cách khảo sát hàm số này ta chỉ ra được
( )g x
đồng biến trên
[1; )+∞
mà
(1) 0g =
, suy ra
( ) 0 1g x x> ∀ >
và
( ) 0 1g x x= ⇔ =
. Do đó nếu
1 1
n
x n> ∀ ≥
thì
1
1
n n
x x n
+
> ∀ ≥
. Do vậy dãy
( )
n
x
là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi
1, nên tồn tại
lim
n
b
→+∞
=
. Dễ thấy
1b ≥
và từ hệ thức truy hồi chuyển qua giới hạn ta được
2 2
1 ln 1 ln 0
1 ln 1 ln
b b
b b
b b
= + ⇔ − − =
÷ ÷
+ +
.
Theo kết quả khảo sát của hàm
( )g x
ở trên thì
( ) 0 1g b b= ⇔ =
. Vậy
lim 1
n
n
x
→+∞
=
.
Ví dụ 1.26. Cho dãy số
( )
n
x
thỏa mãn điều kiện
1 1
2
2,9; 3 , 1,2,3,
1
n
n
n
x
x x n
x
+
= = + = …
−
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải
Xét hàm số
2
( ) 3
1
x
f x
x
= +
−
với
(1, )x∈ +∞
. Dễ thấy
( )f x
là hàm số nghịch biến trên
(1, )+∞
.
(i) Ta chứng minh dãy
( )
n
x
bị chặn. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp
*
3
3 3
2
n
u n< < + ∀ ∈¥
(1). Thật vậy
Với
1n =
thì bất đẳng thức trên luôn đúng. Giả sử bất đẳng thức trên đúng đến
n
, tức là
3
3 3
2
n
u< < +
. Ta
có
1
( )
n n
u f u
+
=
và
f
là nghịch biến trên
(1, )+∞
nên
1
3
( 3) 3
2
n
u f
+
< = +
. Mặt khác do
3
n
u<
nên từ hệ
thức
1
( )
n n
u f u
+
=
ta có
1
3
n
u
+
<
. Vậy (1) được chứng minh.
(ii) Từ đó suy ra
2 2 1
lim , lim
n n
n n
a x b x
+
→+∞ →+∞
∃ = ∃ =
, trong đó
,a b
là nghiệm của hệ phương trình
( )
( )
a f b
b f a
=
=
.
(iii) Xét hàm số
( ) ( ( ))g x f f x x= −
, với
3
3 3
2
x< < +
, có
( ) ( ). ( ( )) 1g x f x f f x
′ ′ ′
= −
. Do
3
3 ( ) 3
2
f x< < +
và
( ) 0f x
′
<
với mọi
3
3 3
2
x< < +
nên
( ) 0g x
′
<
với mọi
3
3 3
2
x< < +
, cùng
với
3
( 3). ( ) 0
2
g g <
suy ra phương trình
( ) 0g x =
có nghiệm duy nhất. Do đó dãy
( )
n
x
hội tụ.
Ví dụ 1.27. (VMO 2008) Cho dãy số
( )
n
x
xác định như sau
1 2
2
0, 2
1
2 , 1,2,
2
n
x
n
x x
x n
−
+
= =
= + =
Chứng minh rằng dãy
( )
n
x
hội tụ và tìm
lim
n
n
x
→+∞
.
Lời giải 1. Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được
1 3
2
2 2
n
x n< < ∀ >
. Xét hàm số
1 1 3
( ) 2 , ;
2 2 2
x
f x x
−
= + ∈
÷
. Ta có
1 1 3
( ) 2 ·ln 0 ;
2 2 2
x
f x x
−
′
= < ∀ ∈
÷
và với mọi
1 3
;
2 2
x
∈
÷
thì
3
1 1
2 ; (0;1)
4 2
x−
∈ ⊂
÷
. Do đó
ln 2
| ( ) | 1
2
f x u
′
< = <
.
Mặt khác, theo định lý Lagrange thì với mọi
1 3
2 2
x y< ≤ <
đều tồn tại
( ; )t x y∈
sao cho
2 2 ( )( )
x y
f t x y
− −
′
− = −
.
Vậy
2 3
4 5
1 2 3
2
4 5
| | 2 2 | ·| |
·| 2 2 | ·
|
| |
n n
n n
x x
n n n n
x x
n n
x x u x x
u u x x
− −
− −
− −
− − −
− −
− −
− = − < −
= − < − LL
Từ đó
2 2 1 2 1
| | | | 0 ( )
n
n n
x x u x x n
−
− < − → → +∞
.
Từ đó, theo định lý Cauchy, dãy $(x_n)$ hội tụ về
α
là nghiệm của phương trình
1
2
2
α
α
−
= +
Giải phương trình này, thu được
1
α
=
. Vậy,
lim 1
n
n
x
→+∞
=
.
Lời giải 2. Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được
1 3
2
2 2
n
x n< < ∀ >
.
Xét hàm số
1 1 3
( ) 2 , ;
2 2 2
x
f x x
−
= + ∈
÷
. Ta có
1 1 3
( ) 2 ·ln 0 ;
2 2 2
x
f x x
−
′
= < ∀ ∈
÷
. Do đó hàm
1 3
( ), ;
2 2
y f x x
= ∈
÷
là hàm giảm. Vậy, mỗi dãy
( ) ( )
2 2 1
,
k k
x x
+
chứa hai dãy con đơn điệu ngược chiều. Từ đó, do
1 3
2
2 2
n
x n< < ∀ >
suy ra bốn dãy con
4 4 1 4 2 4 3
( ),( ),( ),( )
k k k k
x x x x
+ + +
hội tụ theo thứ tự về
, , ,
α β γ δ
.
Xét hệ phương trình
( )
( )
( )
( )
f
f
f
f
α γ
β δ
γ α
δ β
=
=
=
=
Giải hệ thu được
1
α β γ δ
= = = =
. Vậy
lim 1
n
n
x
→+∞
=
.
Lời giải 3. Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được
1 3
2
2 2
n
x n< < ∀ >
.
Xét hàm số
1 1 3
( ) 2 , ;
2 2 2
x
f x x
−
= + ∈
÷
. Ta có
1 1 3
( ) 2 ·ln 0 ;
2 2 2
x
f x x
−
′
= < ∀ ∈
÷
và với mọi
1 3
;
2 2
x
∈
÷
thì
3
1 1
2 ; (0;1)
4 2
x−
∈ ⊂
÷
. Do đó
ln 2
| ( ) | 1
2
f x u
′
< = <
.
Mặt khác, theo định lý Lagrange thì với mọi
1 3
2 2
x y< ≤ <
đều tồn tại
( ; )t x y∈
sao cho
2 2 ( )( )
x y
f t x y
− −
′
− = −
.
Vậy, với mọi
1 3
, ;
2 2
x y
∈
÷
tồn tại
ln 2
(0;1)
2
u = ∈
sao cho
| ( ) ( ) | .| |f x f y u x y− = −
. Suy ra hàm
f
là hàm co.
Bởi vậy, hai dãy con
2 2 1
( ),( )
k k
x x
+
(đều cho bởi hệ thức truy hồi
2
( )
n n
x f x
+
=
hội tụ. Bằng việc giải phương trình
giới hạn, thu được
lim 1
n
n
x
→+∞
=
.
Bài tập tương tự
Bài tập 1.28. Cho dãy số
( )
n
x
xác định như sau
0 1
2
1, , 0
1
n
n
n
x
x x n
x
+
= = ≥
+
. Tìm
lim
n
n
x
→∞
.
Bài tập 1.29. Cho trước
0a >
. Xét dãy số
( )
n
x
xác định như sau:
0
2
1
0
1
= , 0,1,2,
2
n n
n
x
a
x x n
x
+
>
+ =
÷
Khảo sát sự hội tụ của dãy.
Bài tập 1.30. Khảo sát sự hội tụ của dãy
0 1
1
( ) : 1, , 0
2
n n
n
x x x n
x
+
= = ≥
+
.
Bài tập 1.31. Khảo sát sự hội tụ của dãy
0 1
2
2
( ) : 0, , 0
1
n n
n
x x x n
x
+
≥ = ≥
+
.
Bài tập 1.32. Khảo sát sự hội tụ của dãy
0 1
2
6
( ) : 0, , 0
2
n n
n
x x x n
x
+
≥ = ≥
+
.
Bài tập 1.33. Khảo sát sự hội tụ của dãy
0 1
2
( ) : 1, 1 , 0
n n
n
x x x n
x
+
= = − ≥
.
Bài tập 1.34. Khảo sát sự hội tụ của dãy
2
0 1
3
( ) : 0, , 0
2( 1)
n
n n
n
x
x x x n
x
+
+
> = ≥
+
.
Bài tập 1.35. Khảo sát sự hội tụ của dãy
3
0 1
( ) : , 7 6, 0
n n n
x x x x n
+
∈ = − ≥¡
.
Bài tập 1.36. Khảo sát sự hội tụ của dãy
0 1
1
( ) : 0, 1, 0
n n n
n
x x x x n
x
+
> = + − ≥
.
Bài tập 1.37. Khảo sát sự hội tụ của dãy
2
0 1
( ) : , 2 , 0
n n n n
x x x x x n
+
∈ = + ≥¡
.
Bài tập 1.38. Khảo sát sự hội tụ của dãy
0 1
( ) : ( 1;0), 1 ( 1) 1 , 0
n
n n n
x x x x n
+
∈ − = + − + ≥
. Bài tập 1.39. Khảo sát sự
hội tụ của dãy
0 1 1 0
( ) : 0, , 0
n n n n
x x x x x x n
+ −
> = + + ≥L
.
Bài tập 1.40. Khảo sát sự hội tụ của dãy
1 1
( ) : 2, 2 1
n n n
x x x x n
+
= = ∀ ≥
.
Bài tập 1.41. Khảo sát sự hội tụ của dãy
2
3
0 1 2 1
( ) : 1, , , 0
n n n n
x x x a x x x n
+ +
= = = ≥
.
Bài tập 1.42. Cho dãy số
( )
n
x
xác định như sau
( )
1
2 2
1
1 2 1.
n n n
x
x x a x a n
+
∈
= + − + ∀ ≥
¡
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
a
sao cho dãy đã cho hội tụ. Khi đó, tìm
lim
n
n
x
→∞
.
Bài tập 1.43. (VMO 2005B). Cho dãy số thực
( ), 1,2,3
n
x n =
được xác định bởi
1
x a=
và
3 2
1
3 7 5
n n n n
x x x x
+
= − +
với mọi
1,2,3, n =
, trong đó
a
là một số thực thuộc đoạn
4
0,
3
.
Chứng minh rằng dãy số
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài tập 1.44. (VMO 2005A). Cho dãy số thực
( ), 1,2,3
n
x n =
được xác định bởi
1
x a=
và
3 2
1
3 7 5
n n n n
x x x x
+
= − +
với mọi
1,2,3, n =
, trong đó
a
là một số thực.
Hãy tìm tất cả các giá trị của
a
để dãy số
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó trong các trường hợp
đó.\hbt
Bài tập 1.45. (VMO 2001A). Với mỗi cặp số thực
( , )a b
, xét dãy số
( ),
n
x n∈¥
, được xác định bởi
0
x a=
và
1
.sin
n n n
x x b x
+
= +
với mọi
n∈¥
.
(1) Cho
1b =
. Chứng minh rằng với mọi số thực
a
, dãy
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n → +∞
. Hãy tính giới hạn
đó theo
a
.
(2) Chứng minh rằng với mỗi số thực
2b >
cho trước, tồn tại số thực
a
sao cho dãy
( )
n
x
tương ứng không có giới
hạn hữu hạn khi
n → +∞
.
Bài tập 1.46. (VMO 2000A). Cho
c
là số thực dương. Dãy số
( ), 0,1, 2,
n
x n =
được xây dựng theo cách sau:
1
, 0,1, 2,
n n
x c c x n
+
= − + =
nếu các biểu thức trong căn là không âm.
Tìm tất cả các giá trị của
c
để với mọi giá trị ban đầu
( )
0
0;x c∈
dãy
( )
n
x
được xác định với mọi giá trị
n
và tồn
tại giới hạn hữu hạn
lim
n
x
khi
n → +∞
.
Bài tập 1.47. (VMO 1998B). Cho số thực
a
. Xét dãy số
( ), 1,2,3,
n
x n =
được xác định bởi
( )
2
1 1
2
3
,
3 1
n n
n
n
x x
x a x
x
+
+
= =
+
với n=1, 2, 3,
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài tập 1.48. (VMO 1994B). Cho số thực
a
. Xét dãy số
( ), 0,1, 2,
n
x n =
được xác định bởi
3
0 1 1
, 6 6sin
n n n
x a x x x
− −
= = −
với mọi n=1, 2, 3,
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi
n
dần tới dương vô cực và tìm giới hạn đó.
Bài tập 1.49. (VMO 1994A). Cho số thực
a
. Xét dãy số
( ), 0,1, 2,
n
x n =
được xác định bởi
0 1 1
2
4
, arccos .arcsin
2
n n n
x a x x x
π
π
− −
= = +
÷
với mọi n=1, 2, 3,
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi
n
dần tới dương vô cực và tìm giới hạn đó.
1.5. Định lý trung bình Cesaro và dãy số dạng
1
a
n n n
x x x
+
= ±
Đây là trường hợp đặc biệt của dãy số dạng
1
( )
n n
x f x
+
=
. Tuy nhiên, chúng ta không đặt vấn đề khảo sát sự
hội tụ của những dãy dạng này, bởi vì giới hạn của chúng hoặc là 0 hoặc là
∞
; mà ở đây chúng ta quan tâm tới tất
cả các số
β
sao cho dãy
n
x
n
β
÷
hội tụ. Với những dãy số dạng này, định lý trung bình Cesaro tỏ ra rất hữu hiệu.
Định lí 1.11. Nếu dãy số
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn là
a
thì dãy số các trung bình
1 2
n
x x x
n
+ + +
÷
cũng có giới
hạn là
a
.
Chứng minh.
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
0a =
. Với mọi
0
ε
>
tồn tại
*
N ∈¥
sao cho với mọi
n N≥
thì
2
n
u
ε
<
và
1 2
2
N
u u u
n
ε
+ + +
<
. Từ đó ta có
( )
1 2 1 2 1
2 2
n N N n
n N
u u u u u u u u
n N
n n n n
ε ε
ε
+
−
+ + + + + + + +
≤ + < + < ∀ ≥
.
Ví dụ 1.50. Nếu
( )
1
lim
n n
n
x x a
+
→∞
− =
thì
lim .
n
n
x
a
n
→∞
=
Lời giải. Đặt
1n n n
u x x
−
= −
. Khi đó dễ thấy dãy
( )
n
u
thỏa mãn điều kiện của Định lý Cesaro nên ta có
1
lim
n
n
u u
a
n
→∞
+ +
=
hay
lim
n
n
x
a
n
→∞
=
.
Ví dụ 1.51. Chứng minh rằng nếu dãy số dương
( )
n
a
hội tụ về
a
dương thì
1 2
lim
n
n
n
a a a a
→∞
=
.
Lời giải. Ta có
lim ln ln
n
n
a a
→∞
=
. Áp dụng Định lý Cesaro, ta có:
1
ln ln
lim ln
n
n
a a
a
n
→∞
+ +
=
hay
1 2
lim
n
n
n
a a a a
→∞
=
.
Ví dụ 1.52. Cho dãy số dương
( )
n
a
. Chứng minh rằng
1
lim 0
n
n
n
a
a
a
+
→∞
= >
thì
lim
n
n
n
a a
→∞
=
.
Lời giải. Đặt
1
, 2
n
n
n
a
b n
a
+
= ≥
. Dễ thấy dãy
( )
n
b
thỏa mãn ví dụ 1.50 nên
1 2
lim
n
n
n
b b b a
→∞
=
hay
lim
n
n
n
a a
→∞
=
.
Bài tập tương tự
Bài tập 1.53. Cho dãy
( )
n
x
xác định bởi
2
1 1
1/ 2,
n n n
x x x x
+
= = −
. Chứng minh rằng
lim 1.
n
n
nx
→∞
=
Bài tập 1.54. Cho dãy
( )
n
x
xác định bởi
1 1
1, sin
n n
x x x
+
= =
. Chứng minh rằng
lim 1.
n
n
nx
→∞
=
Bài tập 1.55. (TST VN 1993). Dãy số
{ }
n
x
xác định bởi
1 1
1
1,
n n
n
x x x
x
+
= = +
. Hãy tìm tất cả các số
α
để dãy số
( )
n
a
n
α
có giới hạn hữu hạn khác 0.
Bài tập 1.56. Cho dãy số xác định bởi
( )
1 1
0, 1 sin 1 , 1
n n
a a a n
+
= = − − ≥
. Tính
1
1
lim
n
k
n
k
a
n
→∞
=
∑
.
Bài tập 1.57. Xét dãy số
( )
n
x
xác định bởi
1 1
3
1
1, 1
n n
n
x x x n
x
+
= = + ∀ ≥
. Chứng minh rằng tồn tại
,a b
sao cho
lim 1
n
b
n
x
an
→∞
=
.
2 Bài toán dãy số qua các kì thi IMO
2.1 IMO 2009
Bài 2.1.1 (IMO 2009) . Giả sử
1 2 3
, , , s s s
là một dãy tăng ngặt các số nguyên dương sao cho các dãy con
1 2 3
, , ,
s s s
s s s
và
1 2 3
1 1 1
, , ,
s s s
s s s
+ + +
đều là cấp số cộng. Chứng minh rằng
1 2 3
, , , s s s
cũng là một cấp số cộng.
Bài 2.1.2 (Mở rộng IMO 2009). Cho
k
là một số nguyên dương cho trước. Giả sử
1 2 3
, , , s s s
là một dãy tăng
nghặt các số nguyên dương sao cho các dãy con
1 2 3
, , ,
s s s
s s s
và
1 2 3
, , ,
s k s k s k
s s s
+ + +
đều là cấp số cộng. Chứng minh
rằng
1 2 3
, , , s s s
cũng là một cấp số cộng.
Chứng minh.
Gọi
D
và
E
lần lượt là công sai của các cấp số cộng
1 2 3
, , ,
s s s
s s s
và
1 2 3
, , ,
s k s k s k
s s s
+ + +
. Đặt
1
s
A s D= −
và
1
s k
B s E
+
= −
. Theo công thức tính số hạng tổng quát của một cấp số cộng và với số nguyên dương
n
ta có
1 1
( 1) , ( 1) .
n n
s s s k s k
s s n D A nD s s n E B nE
+ +
= + − = + = + − = +
Từ dãy
1 2 3
, , , s s s
là một dãy tăng ngặt, nên với mọi số nguyên dương
n
và với chú ý
n n k
s k s
+
+ ≤
ta có
1 ,
n n n k
s s k s
s k s s
+
+
+ − < ≤
từ đó ta thu được
1 ( 1) ,A nD k B nE A n D+ + − < + ≤ + +
điều này tương đương với
0 1 ( ) ,k B A n E D kD< − + − + − ≤
nếu
D
khác
E
thì cho
n → ∞
ta thấy mâu thuẫn với bất đẳng thức trên nên
D E=
và do đó
0 1 .k B A kD
≤ − + − ≤
(1)
Đặt
{ }
1
min : 1,2,
n n
m s s n
+
= − =
. Khi đó
1 1 1 1
( ) ( )
s k s s k s
B A s E s D s s km
+ +
− = − − − = − ≥
(2)
và
1 1
1 1
( ) ( ) ( ).
s k s
s s B D A D
kD A s k D A s D s s s s m B A
+
+ +
= + + − + = − = − ≥ −
(3)
Ta xét hai trường hợp
(a)
B A kD
− =
.
Khi đó, với mỗi số nguyên dương
, ( )
n n k
s k s
n s B nD A n k D s
+
+
= + = + + =
, từ đây kết hợp với dãy
1 2 3
, , , s s s
là một
dãy tăng ngặt ta có
n k n
s s k
+
= +
. Mặt khác do
1
n n n k n
s s s s k
+ +
< < < = +
nên
1
1
n n
s s
+
= +
và do đó
1 2 3
, , , s s s
là
một cấp số cộng với công sai bằng 1.
(b)
B A kD− <
.
Chọn số nguyên dương
N
sao cho
1N N
s s m
+
− =
. Khi đó
( ) (( ( 1) ) ( ))m A B D k m A N D B ND k− + − = + + − + +
1
( 1)
s s k
N N
A N D B ND k s s k
s s s s
+
+
+ + + + +
≤ − = −
1 1
( ) ( ( ) ) ( )
N N N N
A s D B s k D s s D A B kD
+ +
= + − + + = − + − −
,mD A B kD= + − −
do vậy
( ) ( ( )) 0.B A km kD m B A− − + − − ≤
(4)
Từ các bất đẳng thức (2), (3) và (4) ta thu được các đẳng thức sau:
B A km− =
và
( )kD m B A= −
.
Giả sử tồn tại số nguyên dương
n
sao cho
1n n
s s m
+
> +
. Khi đó
1
1
( 1) ( )
n n
n n s s
m m m s s s s
+
+
+ ≤ − ≤ −
2
( )
( ( 1) ) ( )
m B A
A n D A nD D m
k
−
= + + − + = = =
,
vô lý.
Vì vậy điều giả sử là sai nên
1n n
s s m
+
= +
với mọi
n∈¥
hay dãy
1 2
, , s s
là một cấp số cộng có công sai bằng
m
.
Nhận xét
Bây giờ ta thay cấp số cộng bởi cấp số nhân khi đó bài toán trên còn đúng không?
Bài 2.1.3. Giả sử
1 2 3
, , , s s s
là một dãy tăng nghặt các số nguyên dương sao cho các dãy con
1 2 3
, , ,
s s s
s s s
và
1 2 3
1 1 1
, , ,
s s s
s s s
+ + +
đều là cấp số nhân. Chứng minh rằng
1 2 3
, , , s s s
cũng là một cấp số nhân.
Bài 2.1.4. (Mở rộng của bài toán 2.1.3) Cho
k
là một số nguyên dương. Giả sử
1 2 3
, , , s s s
là một dãy tăng
nghặt các số nguyên dương sao cho các dãy con
1 2 3
, , ,
s s s
s s s
và
1 2 3
, , ,
s k s k s k
s s s
+ + +
đều là cấp số nhân. Chứng minh
rằng
1 2 3
, , , s s s
cũng là một cấp số nhân.
IMO 2010
Bài 2.2.1
Cho
1 2 3
, , , a a a
là một dãy số thực dương. Giả sử với số nguyên dương
s
cho trước, ta có
{ }
max :1 1
n k n k
a a a k n
−
= + ≤ ≤ −
,
với mọi
n s>
. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương
l
và
N
, với
l s≤
và thỏa mãn
n l n l
a a a
−
= +
với mọi
n N≥
.
Chứng minh.
Từ điều kiện bài toán và với mỗi
n
a
(
n s>
) ta có đẳng thức sau
1 2
n j j
a a a= +
với
1 2 1 2
, ,j j n j j n< + =
nếu
1
j s>
thì ta có thể viết được
1
j
a
giống như
n
a
. Cuối cùng, ta có thể viết được đẳng thức dưới đây
1 2
,
k
n i i i
a a a a= + + +
(1)
1 2
1 , , 1, 2, ,
j k
i s i i i n j k≤ ≤ + + + = =
. (2)
Cố định chỉ số
1 l s
≤ ≤
sao cho
1
min .
l i
i s
a a
m
l i
≤ ≤
= =
Ta xác định dãy
{ }
n
b
với
n n
b a mn= −
,
0
l
b =
.
Ta sẽ chứng minh với mọi
n
thì
0
n
b ≥
, và dãy
{ }
n
b
thỏa mãn các tính chất giống như dãy
{ }
n
b
.
Thật vậy nếu
n s≤
thì ta có ngay
0
n
b ≥
theo cách xác định của
m
. Bây giờ ta xét nếu
n s>
và sử dụng phương
pháp quy nạp cùng với đánh giá sau
1 1 1 1
max ( ) max ( )
n k n k k n k
k n k n
b a a nm b b nm nm
− −
≤ ≤ − ≤ ≤ −
= + − = + + −
1 1
max ( ),
k n k
k n
b b
−
≤ ≤ −
= +
ta thu được
0
n
b ≥
.
Nếu
0
k
b =
với mọi
1 k s
≤ ≤
, khi đó
0
n
b =
với mọi
n
, vì vậy
n
a mn=
, và trường hợp này là tầm thường.
Nếu tồn tại
1 1k n
≤ ≤ −
sao cho
n
b
khác 0, ta xác định
{ }
1
max , min :1 , 0 .
i i i
i s
M b b i s b
ε
≤ ≤
= = ≤ ≤ >
Khi đó với
n s>
ta đạt được
1 1
max ( ) ,
n k n k l n l n l
k n
b b b b b b
− − −
≤ ≤ −
= + ≥ + =
vì vậy
2
0.
n n n l n l
M a b b b
− −
≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
Ta có dãy
( )
n
b
cũng có tính chất (1), (2) giống như dãy
( )
n
a
, ta có với mỗi
n
b
chứa trong tập
{ }
[ ]
1 2
1
:1 , , 0,
k
i i i k
T b b b i i s M= + + + ≤ ≤ ∩
.
Ta chứng minh tập này chỉ có hữu hạn phần tử. Thật vậy, với mọi
x T∈
, biểu diễn được
1 2
1
(1 , , )
k
i i i k
x b b b i i s= + + + ≤ ≤
. Khi đó chỉ có tối đa
M
ε
số
j
i
b
khác 0 (vì nếu ngược lại thì
.
M
x M
ε
ε
> =
điều
này vô lý). Vì vậy
x
chỉ có thể biểu thành tổng của
k
số
j
i
b
với
M
k
ε
≤
, và do đó tập này chỉ có hữu hạn.
Từ đó ta có ngay dãy
n
b
là một dãy tuần hoàn với chu kì
l
từ một chỉ số
N
trở đi, có nghĩa là
n n l n l l
b b b b
− −
= = +
với
n N l> +
,
và do đó
( ( ) ) ( )
n n n l l n l l
a b nm b n l m b lm a a
− −
= + = + − + + = +
với mọi
n N l> +
.
Từ bài toán này ta có thể xây dựng được một số dạng bài tập sau và điều kiện dãy số dương là không cần
thiết.
Bài 2.2.2
Cho
1 2 3
, , , a a a
là một dãy số thực. Giả sử với số nguyên dương
s
cho trước, ta có
{ }
min :1 1
n k n k
a a a k n
−
= + ≤ ≤ −
với mọi
n s>
. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương
l
và
N
, với
l s≤
và thỏa mãn
n l n l
a a a
−
= +
với mọi
n N≥
.
Bài 2.2.3
Cho
1 2 3
, , , a a a
là một dãy số thực dương. Giả sử với mỗi số nguyên dương
s
, ta có
{ }
max . :1 1
n k n k
a a a k n
−
= ≤ ≤ −
với mọi
n s>
. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương
l
và
N
, với
l s≤
và thỏa mãn
.
n l n l
a a a
−
=
với mọi
n N≥
.
Chứng minh.
Đặt
ln
n n
b a=
thì dãy
1 2 3
, , , b b b
là một dãy số thực và với cách chứng minh tương tự như bài 2.2.1 ta sẽ
thu được kết quả bài toán trên.
