Xấp xỉ bài toán chiếc túi ngẫu nhiên theo giải pháp thích nghi

Mục lục
trang
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Bài toán chiếc túi cổ điển và thuật toán tham lam . . . . . . . . .5
1.1.1. Bài toán chiếc túi cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Thuật toán tham lam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Kỳ vọng và phương sai của biến ng ẫu nhiên . . . . . . . .9
1.2.3. Kỳ vọng có điều kiện và martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2. Bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3. Bài toán chiếc túi ngẫu nhiên và cá c hướng tiếp cận giải . . 15
Chương 2. Giải pháp thích nghi nhằm xấp xỉ bài toán chiếc túi
ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.1. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1. Các ký hiệu và bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2. Giải pháp thích nghi và xác định cận . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Các kỹ thuật xấp xỉ của giải pháp thích nghi . . . . . . . . . . . . . .25
2.2.1. Kỹ thuật 32/7-xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
2.2.2. Kỹ thuật (2+ε)-xấp xỉ dùng cho đồ vật nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . .30
2.3. Giải pháp thích nghi có trật tự và tập ổn định . . . . . . . . . .36
2.3.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2. Thuật toán xấp xỉ cho bài toán với mô hình tập ổn định . . 37
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3
Mở đầu

Bài toán chiếc túi ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng
như thực tiễn. Do vậy, việc nghiên cứu bài toán chiếc túi ngẫu nhiên đã
được nhiều nhà toán họ c quan tâm và đưa ra nhiều hướng tiếp cận khác
nhau. Các bài báo khoa học của các nhà khoa học, mà gần đây chúng
tôi được tiếp cận tới, chẳng hạn như B. C. Dean, M. X. Goemans and J.
Vondrák (2008), A. Gaivoronski, A. Lisser and R. Lopez (2008), A. Lisser,
R. Lopez and H. Xu (2010), Anand Bhalgat (2011),
Trong vài năm gần đây, một số luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, chuyên
ngành Xác suất thống kê toán học cũng đã đề cập tới bài toán này. Chẳng
hạn: Võ Thị Tố Uyên (20 09), Ngô Thị Tình (20 11 ), Hoàng Thị Lý (2 01 2).
Khái niệm về một giải pháp thích nghi là khá phổ biến trong các tài liệu
về lập kế hoạch ngẫu nhiên. Sự khác biệt giữa các giải pháp thích nghi và
không thích nghi là một khía cạnh quan trọng của quy hoạch ngẫ u nhiên.
Trong các bài toán ngẫu nhiên, tính thích nghi thường được nghiên cứu
trong bối cảnh tối ưu chỉ một ràng buộc, đó là bài toán "chiếc túi". Có thể
dẫn ra ví dụ về một giải pháp thích nghi, khi xếp "hàng" vào "chiếc túi"
bằng thuật toán tham lam, sẽ cho ta một phương án tốt nếu biết lựa chọn
và điều chỉnh thứ tự sắp xếp.
Trong một kết quả gần đây, tác giả B. C. Dean đã cho thấy rằng các
nghiên cứu đó thường không quan tâm tới mục tiêu cụ thể về tính thích
nghi, mà ông và nhiều tác giả khác đã xem xét trong công trình của mình
trước đây. Khi tiếp cận tới các kết quả của ông cùng cộng sự từ bài báo Xấp
xỉ bài toán chiếc túi ngẫu nhiên: Lợi ích của thích nghi (Approximating the
Stochastic Knapsack Problem: The Benefit of Adaptivity), công bố 2008
[5], chúng tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài nghiên cứu: "Xấp xỉ bài toán
chiếc túi ngẫu nhiên theo giải pháp thích nghi".
4
Luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình
bày bài toán chiếc túi cổ điển và thuật toán tham lam giải nó; nêu những

khái niệm và kiến thức cở sở của lý thuyết xác suất; bài toán quy hoạch
tuyến tính nguyên ngẫu nhiên và bài toán chiếc túi ngẫu nhiên, các hướng
tiếp cận để giải nó. Các kiến thức chuẩn bị này nhằm phục vụ cho việc
nghiên cứu của đề tài.
Chương 2. Giải pháp thích nghi nhằm xấp xỉ bài toán chiếc túi
ngẫu nhiên. Đây là nội dung chính của luận văn. Trước hết chúng tôi nêu
bài toán, từ đó đưa ra giải pháp thích nghi. Tiếp theo trình bày các nội
dung xấp xỉ giải bài toán đã cho.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS.
Trần Xuân Sinh, nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy
và cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Xác suất thống kê và toán ứng dụng
đã giảng dạy, chỉ bảo cho tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.
Cũng nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo cô giáo trong
khoa Toán, Phòng Sau Đại học trường Đại học Vinh. Tôi xin bày tỏ lời
cảm ơn tới bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận tiện cho tôi hoàn
thành luận văn này.
Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai sót.
Chúng tôi mong nhận được những đóng góp của quý thầy cô giáo và các
bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Vinh, tháng 10 năm 2013
Tác giả
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Bài toán chiếc túi cổ điển và thuật toán tham lam
Trong mục này, chúng tôi trình bày bài toán chiếc túi cổ điển. Đây là lớp
bài toán thuộc lớp NP-khó. Tuy nhiên, cho tới nay đã có rất nhiều thuật
toán giải. Nhưng hầu hết các thuật toán chỉ dừng lại ở nghiệm gần đúng
(ngoại trừ có thêm một số giả thiết kèm theo). Để phục vụ cho việc nghiên

cứu của đề tài, chúng tôi chỉ đề cập tới thuật toán tham lam.
1.1.1. Bài toán chiếc túi cổ điển
Cho n đồ vật, trọng lượng tương ứng của đồ vật thứ i là a
i
và có giá trị
là c
i
(i = 1, n). Ta hãy xếp đồ vật vào túi có tải trọng là b, sao cho tổng
trọng lượng không vượt quá b và đạt giá trị lớn nhất.
Ta có thể tóm tắt bài toán như sau:
Ký hiệu I = {1, 2, , n}: tập chỉ số của đồ vật.
Ký hiệu x
i
, i = 1, n: là số đồ vật thứ i xếp vào túi, x
i
∈ {0, 1}.
Khi đó ta có bài toán là: Tìm x
i
, i ∈ I sao cho:
max

f(x) =

i∈I
c
i
x
i

với điều kiện





i∈I
a
i
x
i
≤ b,
x ∈ {0; 1}
n
.
Mô hình bài toán toán chiếc túi có rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Có
thể nói rằng đa số các bài toán trong thực tế đều có dạng bài toán chiếc
túi (đơn giản b là dạng số như mô hình đã nêu, phức tạp hơn b là dạng
vectơ - chẳng hạn bài toán khẩu phần thức ăn).
6
Khi thông tin về dữ liệu của bài toán phụ thuộc biến ngẫu nhiên thì ta
có bài toán chiếc túi ngẫu nhiên.
1.1.2. Thuật toán tham lam
1.1.2.1. Sơ đồ chung của phương pháp
a ✄ Đặc điểm chung của thuật toán tham lam
Người ta chỉ ra rằng đặc điểm chung của thuật toán tham lam là:
+ Thực hiện giải nhiều bài toán khác nhau theo mộ t trật tự nhất định.
+ Trên cơ sở thuật toán đang thực hiện, đưa ra kết quả trực tiếp và dứt
điểm cho bài toán đang xét.
+ Trong tương lai sẽ không xem xét lại quyết định trong quá khứ.
Với đặc điểm này thuật toán dễ đề xuất, thời gian tính nhanh nhưng
thường không cho kết quả đúng.

Ký hiệu M là tập phương án, S là tập lời giải gồm hữu hạn thành phần,
xuất phát ta lấy S = ∅. Giả sử lời giải của bài toán cần tối đa n thành
phần. Khi tập S chưa đủ n thành phần của bài toán, ta gọi là tập lời giải
bộ phận.
b ✄ Sơ đồ chung của thuật toán tham lam
Bước xuất phát. Đặt S = ∅;
Bước k, k = 1, 2,
Với M = ∅ và S là tập lời giải bộ phận, ta thực hiện:
k.1. Lựa chọn x ∈ M, x /∈ S;
k.2. Kiểm tra tập S ∪ {x} có là chấp nhận được không?
+ Nếu có,
gán S := S ∪{x}, k := k + 1, trở lại bước k;
+ Nếu không,
gán M := M \ {x}, trở lại bước k.
Bước kết thúc. Thuật toán dừng khi hoặc là S đủ n thành phần của
bài toán, hoặc là M = ∅.
c ✄ Tính tối ưu của thuật toán
7
Trong trường hợp thuật toán không cho lời giải tối ưu, ta chỉ cần đưa
ra một phản ví dụ.
Trong trường hợp thuật toán cho lời giải tối ưu, ta cần phải chứng minh.
Người ta đã chứng minh định lý sau đây, thể hiện tính tối ưu của thuật
toán tham lam.
1.1.2.2. Định lý. Thuật toán tham lam cho nghiệm tối ưu, nếu mỗi
bước việc chọn được thực hiện tối ưu.
1.1.2.3. Thuật toán tham lam giải bài toán chiếc túi cổ điển
Bước chuẩn bị. Sắp lại (đánh số lại) các đồ vật theo thứ tự thoả mãn
c
1
a

1
≥
c
2
a
2
≥ ≥
c
n
a
n
.
Bước 1. Nếu a
1
≥ b, thì bỏ qua đồ vật thứ nhất, xét đồ vật thứ hai.
Ngược lại, lựa chọn đồ vật thứ nhất, với trọng lượng a
1
;
Gán b := b − a
1
;
Quay trở lại bước 1 với đồ vật thứ hai.
Thuật toán được nêu như trên thể hiện rõ "tính tham lam" của người
xếp hàng vào túi. Tuy nhiên, sau đây là phản ví dụ cho thấy thuật toán
nêu trên chưa cho phương án tối ưu.
Xét bài toán với n = 3; b = 19.
Đồ vật: 1 2 3
Giá trị: 24 16 10
Trọng lượng: 12 9 9.
Với thuật toán tham lam sẽ cho ta kết quả: Chọn đồ vật thứ nhất xếp

vào túi. Khi đó tổng giá trị là 24, trọng lượng túi được xếp là 12 (chưa sử
dụng hết khả năng của túi, nhưng không thể xếp thêm vật thứ 2).
Tuy nhiên, nếu chọn xếp đồ vật thứ 2 và thứ 3 thì thì tổng trọng lượng
là 9 + 9 = 18 < 19 và tổng giá trị là 16 + 10 = 26. Đó cũng chính là
phương án tối ưu.
Như vậy thuật toán nêu trên là không tìm được phương án tối ưu.
8
Tuy nhiên, thuật toán nêu trên, nếu thực hiện khi tạm bỏ qua điều kiện
nguyên của biến x
i
thì cho kết quả giá trị tối ưu tương ứng sẽ là cận trên
của giá trị hàm mục tiêu f. Do vậy, nó sẽ là cơ sở để giải bài toán cái túi
theo phương pháp "nhánh và cận".
1.2. Một số vấn đề cơ sở của lý thuyết xác suất
Trong mục này chúng tôi chủ yếu tham khảo tài liệu [1].
1.2.1. Các khái niệm
• Đại số và σ - đại số
Giả sử Ω là một tập tùy ý khác rỗng. Ký hiệu P(Ω) là tập tất cả các
tập con của Ω.
 Lớp A ⊂ P(Ω) được gọi là một đại số nếu
A1) Ω ∈ A,
A2) Nếu A ∈ A thì
¯
A = Ω\A ∈ A,
A3) Nếu A, B ∈ A thì A ∪ B ∈ A (hoặc A ∩ B ∈ A).
 Lớp F ⊂ P(Ω) được gọi là một σ -đại số nếu nó là đại số và thoả mãn
A4) Nếu A
n
∈ F, ∀n = 1, 2, thì
∞


n=1
A
n
∈ F, (hoặc
∞

n=1
A
n
∈ F).
• Độ đo xác suất
Giả sử (Ω, F) là một không gian đo. Một ánh xạ P : F → R được gọi là
độ đo xác suất trên F nếu
P1) P(A) ≥ 0, A ∈ F,
P2) P(Ω) = 1,
P3) Nếu A
i
∈ F, i = 1, 2, , A
i
∩ A
j
= ∅, i = j thì
P

∞

i=1
A
i


=
∞

i=1
P(A
i
).
• Không gian đo và không gian xác suất
Cặp (Ω, F) được gọi là một không gian đo.
9
(Ω, F, P) được gọi là không gian xác suất, trong đó Ω = ∅ bất kỳ, F là
một σ-đại số các tập con của Ω.
• Biến ngẫu nhiên
Giả sử (Ω, F) là một không gian đo, R = [−∞; +∞]. Hàm thực X =
X(ω) xác định trên Ω lấy giá trị trên R gọi là hàm F - đo được hoặc gọi
là biến ngẫu nhiên suy rộng nếu
{ω : X(ω) ∈ B} = X
−1
(B) ∈ F
với mỗi B ∈ B(R) (trong đó B(R) là σ - đại số các tập Borel của trục thực
R ).
Nếu
X : Ω → R = (−∞; +∞)
thì X được gọi là biến ngẫu nhiên.
• Hàm Borel
Hàm ϕ : (R
n
, B(R
n

)) → (R, B(R)) đượ c gọi là hàm Borel, nếu nó là hàm
B(R
n
) - đo được, nghĩa là
ϕ
−1
(B) ∈ B(R
n
),
với mỗi B ∈ B(R).
• Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F, P), nhận giá trị trên
R. Hàm số F
X
(x) = P[X < x], (x ∈ R) được gọi là hàm phân phối của biến
ngẫu nhiên X.
1.2.2. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên
Trên cơ sở định nghĩa kỳ vọng và phương sai, chúng tôi sẽ nêu một số
tính chất của chúng.
• Định nghĩa 1. Kỳ vọng hay giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên
X là số EX, được xác định bởi
EX =

Ω
XdP.
10
• Định nghĩa 2. Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là DX
(hay varX) là một số được xác định bởi
DX = E(X − EX)
2

.
Khi đó
DX =




k
(x
k
− EX)
2
p
k
, nếu X rời rạc, và P (X = x
k
) = p
k
,

+∞
−∞
(x −EX)
2
p(x)dx, nếu X liên tục, có hàm mật độ là p(x).
• Các tính chất của kỳ vọng
1. Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0.
2. Nếu X = C thì EX = C, với C là hằng số.
3. Nếu tồn tại EX thì với mọi hằng số λ, ta có E(λX) = λEX.
4. Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY .

5. EX =




k
x
k
p
k
, nếu X rời rạc, và P(X = x
k
) = p
k
,

+∞
−∞
xp(x)dx, nếu X liên tục, có hàm mật độ là p(x).
6. (Định lý P. Levy về sự hội tụ đơn điệu) Nếu X
n
↑ X (tương ứng
X
n
↓ X) và tồn tại n để EX
−
n
< ∞ (tương ứng EX
+
n

< ∞) thì EX
n
↑
EX (tương ứng EX
n
↓ EX).
7. (Bổ đề Fatou) Nếu X
n
≥ Y, ∀n ≥ 1 và EY > −∞ thì
ElimX
n
≤ limEX
n
,
Nếu X
n
≤ Y, ∀n ≥ 1 và EY < ∞ thì
ElimX
n
≥ limEX
n
,
Nếu |X
n
| ≤ Y, ∀n ≥ 1 và EY < ∞ thì
ElimX
n
≤ limEX
n
≤ limEX

n
≤ ElimX
n
.
8. (Định lý Lebesgue về sự hội tụ bị chặn) Nếu |X
n
| ≤ Y, ∀n ≥ 1, EY <
∞ và X
n
→ X thì X khả tích, E|X
n
− X| → 0 và EX
n
→ EX, n → ∞.
11
9. (Bất đẳng thức Markov) Giả sử X ≥ 0 h.c.c. L úc đó với mọi a > 0,
ta có
P[X ≥ a] ≤
1
a
EX.
10. Nếu ϕ là hàm lồi, X và ϕ(X) khả tích thì
E(ϕ(X)) ≥ ϕ(EX).
11. Nếu X và Y độc lập thì E(XY ) = EX.EY .
• Các tính chất của phương sai
1. DX ≥ 0, DX = 0 khi và chỉ khi X = EX = hằng số h.c.c.
2. Với mọi hằng số λ thì D(λX) = λ
2
DX.
3. DX = EX

2
− (EX)
2
.
4. Nếu X, Y độc lập thì D(X ± Y ) = DX + DY.
5. Với mọi hằng số λ, ta có E(X − λ)
2
≥ E(X − EX)
2
. Dấu bằng xảy
ra khi và chỉ khi EX = λ.
1.2.3. Kỳ vọng có điều kiện và martingale
• Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất. X : Ω → R là đại lượng ngẫu
nhiên và G là σ-đại số con của F. Khi đó đại lượng ngẫu nhiên Y được gọi
là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ-đại số G nếu
(i) Y là đại lượng ngẫu nhiên G-đo được,
(ii) Với mỗi A ∈ G, ta có

A
Y dP =

A
XdP
và thường ký hiệu là Y = E(X|G).
• Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất. (X
n
, n ∈ N) là dãy các
đại lượng ngẫu nhiên. (F
n
, n ∈ N) là dãy tăng các σ-đại số. Khi đó dãy

(X
n
, F
n
)
n∈N
được gọi là martingale nếu
(i) (X
n
, F
n
)
n∈N
là dãy phù hợp,
(ii) E


X
n


< ∞, ∀n ∈ N,
(iii) Với m ≤ n, m, n ∈ N thì E(X
n
|F
m
) = X
m
h.c.c.
12

1.3. Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên
Trong mục này chúng tôi trình bày một cách khái quát về một số lớp
bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên.
1.3.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên
Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát có thể đưa về dạng
min{f(x) = c
T
x} (LP )
với điều kiện



Ax = b,
x
j
≥ 0, j = 1, 2, , n,
trong đó biến số x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
; vectơ hệ số c = (c
1
, c
2
, , c
n

) ∈
R
n
, với c
T
x =

n
j=1
c
j
x
j
; b = (b
1
, b
2
, , b
m
) ∈ R
m
; A = (A
j
) = (a
ij
)
m×n
,
với Ax =


n
j=1
a
ij
x
j
; hai vectơ (ma trận) a = (a
1
, a
2
, , a
m
) và b =
(b
1
, b
2
, , b
m
) được sắp thứ tự a ≤ b nếu a
i
≤ b
i
, ∀i = 1, m.
Bài toán quy hoạch tuyến tính nêu trên, nếu có các phần tử của ma
trận A, b, c xác định ngẫu nhiên thì được gọi là bài toán quy hoạch tuyến
tính ngẫu nhiên (Stochastic Linear Program). Để nghiên cứu bài toán quy
hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, tuỳ theo yêu cầu thực tế mà có nhiều cách
tiếp cận khác nhau.
Thông thường, người ta xét tới các trường hợp:

Nếu bài toán đặ t ra, với dữ liệu cho trước, đã xác định được phương án
tối ưu, khi dữ liệu chịu ảnh hưởng của biến cố ngẫu nhiên, phương án tối
ưu không cần thay đổi thì đó là bài toán quy hoạch ngẫu nhiên một giai
đoạn (chỉ cần một lần xét tới tập phương án).
Nếu bài toán đặ t ra, với dữ liệu cho trước, đã xác định được phương án
tối ưu, khi dữ liệu chịu ảnh hưởng của biến cố ngẫu nhiên, phương án tối
ưu cần tính toán điều chỉnh lại một lần thì đó là bài toán quy hoạch ngẫu
nhiên hai giai đoạn (cần hai lần xét tới tập phương án).
Nếu bài toán đặ t ra, với dữ liệu cho trước, đã xác định được phương án
tối ưu, khi dữ liệu chịu ảnh hưởng của biến cố ngẫu nhiên, phương án tối
13
ưu cần tính toán điều chỉnh lại hơn một lần thì đó là bài toán quy hoạch
ngẫu nhiên nhiều giai đoạn (cần hơn hai lần xét tới tập phương án). Bài
toán quy hoạ ch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn được xét đến thông qua bài
toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn.
Bài toán quy hoạch tuyến tính 2 giai đoạn có dạng ở giai đoạn 2 là
min{c
T
x + E(Q(x, z))}
với điều kiện



Ax = b,
x ≥ 0,
trong đó
Q(x, z) = min q
T
y
với điều kiện




A(z)x + Dy = b(z),
y ≥ 0.
Hàm Q(x, z) được gọi là hàm hiệu chỉnh. Với z ∈ R
n
là vectơ ngẫu nhiên;
E(Q(x, z)) biểu diễn kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Q(x, z); vectơ x và y
tương ứng là các biến của giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai; D là ma
trận cỡ m×m (thông thường có thể lấy ma trận đơn vị); y = (y
1
, y
2
, , y
m
);
Dy thể hiện độ lệch giữa Ax với b và q = (q
1
, q
2
, , q
n
) gọi là vectơ phạt
bởi tác động của biến ngẫu nhiên z.
Giai đoạn thứ nhất, biến x là nghiệm thu được trên cơ sở thông tin có
được từ thực nghiệm.
Giai đoạn thứ hai, biến y là nghiệm thu được khi hiệu chỉnh nghiệm sơ
bộ x của giai đoạn thứ nhất với thông tin xác định.
Do vậy, bài toán quy hoạch tuyến tính đã nêu, tương đương với việc giải

bài toán
min{c
T
x + E(q
T
y(z))}
14
với điều kiện
























Ax ≤ b,
T (z)x + Dy(z) = h(z),
x ≥ 0,
y(z) ≥ 0,
y(.) ∈ Y,
trong đó Y là không gian các hàm đo được.
1.3.2. Bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên
Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên, với tập phương án có một số (hoặc tất
cả) các toạ độ của biến nhận giá trị rời rạc thì ta có bài toán quy hoạch
rời rạc ngẫu nhiên. Trong lớp các bài toán quy hoạch rời rạc ngẫu nhiên,
chúng ta quan tâm tới lớp bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên.
Xét các bài toán quy hoạch nguyên dạng
min
x∈M

c(x) := E[C(x, ω)]

,
trong đó ω là một vectơ ngẫu nhiên có phân phối xác suất cho trước; M
là một tập hợp hữu hạn các điểm nguyên thuộc R
n
; C(x, ω) là một hàm
lấy giá trị thực của hai biến vectơ x và ω; E[C(x, ω)] là giá trị kỳ vọng của
C(x, ω). Chúng tôi giả thiết rằng hàm giá trị kỳ vọng c(x) được xác định
rõ và với mỗi x ∈ M hàm C(x, .) thì E[|C(x, ω)|] < ∞.
Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm tới các bài toán với những đặc
điểm sau:
1) Hàm giá trị kỳ vọng c (x) := E[C(x, ω)] không thể viết được trong
một dạng tường minh hoặc giá trị của nó không thể tính toán được một

cách dễ dàng.
2) Hàm C(x, ω) là dễ tính toán đối với x và ω cho sẵn.
3) Tập hợp M các phương án, mặc dầu hữu hạn nhưng rất rộng, vì vậy
cách tiếp cận bằng liệt kê là không thể thực hiện được.
15
Ta đã biết rằng các bài toán tối ưu rời rạc là bài toán NP-khó. Một khó
khăn ở đây là hàm mục tiêu c(x) có thể phức tạp hoặc khó để tính toán
ngay cả với phương pháp xấp xỉ. Bởi thế các bài toá n tối ưu rời rạc ngẫu
nhiên là thực sự khó. Chúng ta có thể xét các bài toán tối ưu rời rạc ngẫu
nhiên trong đó nghiệm với sai số cho phép là đủ nhỏ để xác định công thức
ước lượng của c(x) đối với mỗi x.
Quan tâm tới phương pháp này có Hochberg, Tamhane, Bechhofer, Sant-
ner, Goldsman, Futschik và Pflug. Một cách tiếp cận khác đã được Gelfand,
Milter, Alrefaei, Andradattir, Fox, Heine, Gut - jahr, Pflug và Homem-de-
Mello nghiên cứu, bao gồm các phương pháp thích nghi tốt để đếm các sự
kiện mà giá trị hàm mục tiêu không được biết đến một cách chính xác. Một
cách tiếp cận nhánh và cận để giải bà i toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên
đã được gợi ý bởi Norkin, Ermokiev, Ruszczynski, và Pflug. Còn Schultz
và Stougie đã gợi ý một cách tiếp cận đại số để giải quy hoạch nguyên
ngẫu nhiên bằng cách nhờ tới một hệ cơ sở rút gọn của cơ sở Grobner.
1.3.3. Bài toán chiếc túi ngẫu nhiên và các hướng tiếp cận giải
Như đã trình bày trong mục 1.1.1, khi thông tin về dữ liệu của bài toán
cổ điển phụ thuộc biến ngẫu nhiên thì ta có bài toán chiếc túi ngẫu nhiên.
Cũng như đã trình bày trong mục 1.3.1 và 1.3.2 bài toán chiếc túi ngẫu
nhiên thuộc lớp các bài toán đã nêu. Tuy nhiên, tùy theo sự phụ thuộc dữ
liệu của bài toán mà người ta nghiên cứu nó theo các cách tiếp cận khác
nhau. Sau đây chúng ta hãy nêu một số cách tiếp cận giải.
1.3.3.1. Bài toán với ràng buộc ngẫu nhiên
Do ràng buộc với thông tin về dữ liệu a
i

, i = 1, 2, , n không rõ ràng,
nên điều kiện buộc

n
i=1
a
i
x
i
≤ b không được xác định, phụ thuộc vào sự
xuất hiện có tính ngẫu nhiên c ủa a
i
.
Giả sử a
i
, i = 1, 2, , n phụ thuộc biến ngẫu nhiên w
i
, i = 1, 2, , n.
Ký hiệu w = (w
i
) lấy giá trị trên W ⊆ R
n
+
; độ đo xác suất P của W là
P(w ∈ W) = P(W) = 1. Khi đó bài toán chiếc túi ngẫu nhiên trở thành
16
bài toán chiếc túi với ràng buộc ngẫu nhiên
max

f =

n

i=1
c
i
x
i

với điều kiện
P

n

i=1
w
i
x
i
≤ b

≥ 1 − ε
x
i
∈ {0; 1}, i = 1, 2, , n.
trong đó ε > 0, đủ bé cho trước nào đó.
Bài toán nêu trên cũng thường được ký hiệu là bài toán (SKP ) - Stochas-
tic Knapsack Problem.
Như vậy bài toán chiếc túi lúc này đặt ra là: Tìm một điểm x
∗
∈ {0; 1}

n
với xác suất P


n
i=1
w
i
x
i
≤ b

≥ 1 − ε sao cho đạt max f.
Bài toán đặt ra không phải dễ dàng duyệt hết các phương án khi n khá
lớn. Vì vậy, người ta cần khai thác các tính chất của nó nhờ vào việc biến
đổi tương đương đưa bài toán đã cho về bài toán quy hoạch tuyến tính với
dữ liệu đã biết.
1.3.3.2. Tìm nghiệm xấp xỉ
Trong trường hợp tổng quát, người ta phải tìm đến các phương pháp
xấp xỉ, tức là xây dựng dãy các phương án tốt dần. Quá trình sẽ dừng lại
khi độ lệch của giá trị kỳ vọng hàm mục tiêu xấp xỉ với cận trên của nó
với độ chính xác cần thiết. Sa u đây, chúng tô i trình bày hai phương pháp
điển hình là phương pháp tụt và phương pháp tìm kiếm ngẫu nhiên.
a) Phương pháp tụt
Xét bài toán quy hoạch
min

f(x) : x ∈ M

,

trong đó f(x) là hàm khả vi, xác định trên tập lồi đóng M, thông thường,
ta xét hàm f(x) thuộc lớp C
1,1
(M) (hàm f(x) khả vi và đạo hàm thoả
mãn điều kiện Lipschitz trên M). Quá trình xây dựng dãy điểm x
k
gọi là
17
giảm dư nếu x
k
∈ M và f(x
k+1
) ≤ f(x
k
), k = 0, 1, Từ nay về sau, ta giả
thiết rằng tập các phương án tối ưu
M
∗
=

x
∗
∈ M : f(x
∗
) = min
x∈M
f(x)

= ∅,
đồng thời cũng giả thiết rằng x

k
/∈ M
∗
, (vì trong trường hợp ngược lại x
k
là phương án tối ưu cần tìm và quá trình giảm dư kết thúc). Hướng s ∈ R
n
chấp nhận được từ x ∈ M được gọi là hướng tụt từ x (hay là giảm từ x)
nếu f(x + λs) ≤ f(x), với mọi λ ∈ [0, λ
0
], λ
0
> 0.
Lược đồ tổng quát
Bước xuất phát. Chọn xấp xỉ ban đầu x
0
∈ M.
Bước k, (k = 1, 2, ). Tại điểm x
k
, ta chọn hướng tụt (−s
k
). (Chẳng
hạn chọn s
k
= x
k
−y
k
, trong đó y
k

∈ M được chọn sao cho f(y
k
) < f(x
k
)).
k.1. Đặt
w
k
= min
β≥0
f(x
k
− βs
k
) = f(x
k
− β
k
s
k
).
k.2. Lấy λ
k
∈ (0, 1] sao cho
f(x
k
− β
k
s
k

) ≤ (1 − λ
k
)f(x
k
) + λ
k
w
k
. (∗)
k.3. Ta xây dựng xấp xỉ thứ k + 1 theo công thức
x
k+1
= x
k
− β
k
s
k
. (∗∗)
k.4. Gán k := k + 1, trở lại bước k.
Nhận xét. Hướng −s
k
xác định trong thuật toán nêu trên là hướng tụt
từ x
k
.
Thật vậy, theo (*) và (**) thì
f(x
k+1
) = f(x

k
− β
k
s
k
) ≤ (1 − λ
k
)f(x
k
) + λ
k
w
k
= f(x
k
) + λ
k

w
k
− f(x
k
)

.
Theo cách xác định w
k
thì w
k
≤ f(x

k
− βs
k
) với mọi β ≥ 0, tính riêng
β = 0, ta được w
k
≤ f(x
k
). Đồng thời do λ
k
> 0 nên ta suy ra
f(x
k+1
) ≤ f(x
k
).
18
Điều đó chứng tỏ hướng chấp nhận (−s
k
) là hướng tụt từ x
k
.
Chúng ta có thể thấy rằng các cách chọn ngẫu nhiên hướng chấp nhận
được (−s
k
) là hướng tụt như đã nêu thì quá trình giảm dư là hội tụ.
Ngoài ra, một trong quá trình xấp xỉ ấy là sử dụng thuật toán tham
lam kết hợp với giải pháp thích nghi. Phương pháp này sẽ được trình bày
trong chương 2.
b) Phương pháp thử thống kê

ý tưởng của phương pháp thử thống kê (hay phương pháp Mo nte Carlo)
là phương pháp số giả i các bài toán bằng cách mô hình hoá các biến ngẫu
nhiên. Về mặt nội dung, phương pháp này liên quan tới ý tưởng xây dựng
một quá trình ngẫu nhiên có tất cả những đặc tính cần thiết của hệ thống
cần nghiên cứu. Phương pháp thử thống kê có thể áp dụng được ở mọi nơi,
miễn là ở đó bài toán cho phép mô tả bằng toàn thể hay một phần của lý
thuyết xác suất, dù rằng bài toán đó có thể đã có nội dung tiền định chặt
chẽ.
Các bộ phận cấu thành của phương pháp là:
- Xây dựng các mô hình xác suất của các quá trình thực tiễn cần nghiên
cứu;
- Mô hình hoá các đặc trưng ngẫu nhiên với luật phân phối cho trước;
- Giải các bài toán của lý thuyết ước lượng thống kê.
Giá trị thực tiễn của phương pháp thử thống kê là nó thay những phép
thử bởi các kết quả tính toán dựa trên các biến ngẫu nhiên. Bởi vậy, có
thể xây dựng được các đặc trưng cần thiết của quá trình cần nghiên cứu,
mà không cần dùng các phương pháp mô tả sự thay đổi của quá trình đã
cho. Bà i toán cơ bản của phương pháp thử thống kê là xác định xác suất
của các sự kiện bất kỳ và các giá trị trung bình của các biến ngẫu nhiên
qua kết quả của các phép thử lặp đi lặp lại nhiều lần.
Cơ sở của lược đồ chung về phương pháp thử thống kê là Định lý giới
hạn trung tâm. Từ Định lý giới hạn trung tâm suy ra rằng khi tăng số
19
phép thử thì độ chính xác của nghiệm tăng lên.
Như vậy, thực chất của phương pháp thử thống kê là chương trình để
tiến hành một dãy các phép thử ngẫu nhiên. Tuy nhiên, trong thực tế
thường dùng một cơ chế tiêu chuẩn để sản sinh ra các biến ngẫu nhiên có
phân phối đều trên một miền nào đó. Có thể nhận được số ngẫu nhiên ở
phương pháp thử thống kê theo một trong những phương pháp đã biết.
Nhược điểm quan trọng của phương pháp thử thống kê là để nhận được

các đặc trưng của quá trình nghiên cứu với độ chính xác cho trước thì cần
quá nhiều phép thử.
Vì vậy, phương pháp thử thống kê thường chỉ áp dụng được với các bài
toán có số ẩn không lớn lắm (số ẩn n không lớn hơn 30).
20
Chương 2
Giải pháp thích nghi nhằm xấp xỉ
bài toán chiếc túi ngẫu nhiên
2.1. Bài toán
2.1.1. Nêu bài toán
Một chiếc túi có thể chứa b đơn vị kích thước, có thể xếp n đồ vật khác
nhau, ta ký hiệu [n] = {1, 2, , n} là tập hợp các chỉ số sử dụng cho đặc
trưng bởi kích thước và giá trị của mỗi đồ vật. Vớ i mỗi đồ vật i ∈ [n], gọi
v
i
≥ 0 là giá trị và s
i
≥ 0 là kích thước. Ban đầu, chúng ta coi giá trị v
i
là tất định, trong khi kích thước s
i
là những biến ngẫu nhiên độc lập, với
phân phối tuỳ ý. Tuy nhiên, với sự phụ thuộc kích thước s
i
một cách ngẫu
nhiên sẽ kéo theo giá trị v
i
ngẫu nhiên.
Chúng ta giả thiết rằng các biến ngẫu nhiên v
i

độc lập nhau và độc lập
với cả các biến s
i
. Trong trường hợp này ta chỉ cần thay thế mỗi một biến
ngẫu nhiên v
i
bằng kỳ vọng của nó.
Trong bà i toán được nêu sau này chỉ xem xét giá trị của v
i
là tất định.
Ngoài ra, chúng ta giả thiết rằng khả năng của chiếc túi là b = 1 đơn vị
kích thước.
2.1.2. Giải pháp thích nghi và xác định cận
2.1.2.1. Định nghĩa. Cho một tập hợp các đồ vật J trong túi và khả
năng c còn lại của túi. Khi đó P được gọi là giải pháp thích nghi (Adaptive
policies) tương ứng tập J và khả năng c nếu ta chèn thêm đồ vật P(J, c)
vào túi. Lặp lại như vậy cho đến khi chiếc túi đầy (hoặc hết đồ vật chưa
chèn).
Chúng ta gọi val(P) là giá trị mục tiêu đạt được với mọi đồ vật đưa vào
21
thành công, đó là biến ngẫu nhiên sinh ra từ quá trình ngẫu nhiên theo
giải pháp thích nghi P.
Ký hiệu
ADAP T (I) := max
P
E[val(P)]
kỳ vọng tối ưu đạt được ở giải pháp thích nghi đối với mẫu ngẫu nhiên I.
Giải pháp không thích nghi (Nonadaptive policies) là một sắp thứ tự của
các đồ vật mang nhãn O := (i
1

, i
2
, , i
n
). Chúng ta ký hiệu val(O) là giá
trị đạt được khi đưa đồ vật này vào trong túi.
Ký hiệu
NONADAP T (I) := max
O
E[val(O)]
là kỳ vọng tối ưu đạt được ở giải pháp không thích nghi đối với mẫu ngẫu
nhiên I.
Có thể thấy rằng giải pháp không thích nghi là trường hợp đặc biệt của
giải pháp thích nghi P(J, c). Do đó ta luôn có ADAP T (I) ≥ NONADAP T (I).
Vấn đề chính trong nội dung chương này này là mối quan hệ giữa hai đại
lượng này.
Chúng ta thử xem có bao nhiêu giải pháp có thể tham gia để được như
giải pháp thích nghi.
Khi đó giá trị
sup
I
ADAP T (I)
NONADAP T (I)
,
trong đó supremum lấy theo mọi mẫu có thể của chiếc túi ngẫu nhiên,
được gọi là tỷ lệ thích nghi (Adaptivity gap).
Bởi vì tìm nghiệm tối ưu của bài toá n chiếc túi tất định là NP-khó và
một vài câu hỏi liên quan giải pháp thích nghi cho chiếc túi là rất khó. Xây
dựng hay mô tả giải pháp thích nghi hình như không thể làm được. Chúng
ta hãy tìm cách thiết kế thuật toán xấp xỉ cho bài toán này. Chúng ta cần

đo chất lượng của thuật toán bằng cách so sánh kỳ vọng của nó với khả
năng thích nghi (ADAP T ) tương ứng. Nếu A(I) ký hiệu giá trị kỳ vọng
22
nhận đượ c từ thuật toán A nào đó của chúng ta về mẫu I thì chúng ta nói
rằng sự bảo đảm thực hiện của A là giá trị:
sup
I
ADAP T (I)
A(I)
.
Khi giá trị s
i
thay đổi một cách ngẫu nhiên thì không thể biết trước
được, nhưng biết phân phối xác suất và kỳ vọng toán của nó. Ký hiệu
µ
i
= E

min{s
i
; 1}

.
Với mỗi tập chỉ số S, chúng ta ký hiệu
val(S) :=

i∈S
v
i
; size(S) :=


i∈S
s
i
; µ(S) =

i∈S
µ
i
.
Chúng ta cũng nói µ(S) là khối lượng của S.
2.1.2.2. Bổ đề. Ta có
P

size(S) < 1

≥ 1 − µ(S).
Chứng minh. Rõ ràng theo các ký hiệu đã nêu cho ta
P

size(S) ≥ 1

≤ E

min{size(S); 1}

≤ E


i∈S

min{s
i
; 1}

= µ(S).
Từ đó suy ra
P

size(S) < 1

≥ 1 − µ(S).
Đó là điều phải chứng minh. 
Để có đượ c giải pháp thích nghi (cây quyết định), chúng tôi sẽ trình bày
thêm khái niệm và tính chất cận của giải pháp thích nghi.
2.1.2.3. Xác định cận của giải pháp thích nghi
Trong mục này, chúng ta trả lời câu hỏi: có bao nhiêu giá trị kỳ vọng
của giải pháp có khả năng thích nghi có thể đạt được. Chúng ta thấy rằng
mặc dù sự phức tạp tiềm năng vốn có trong một chính sách thích ứng tối
23
ưu, nới lỏng bài toá n quy hoạch tuyến tính (LP ) có thể được sử dụng để
có được một ràng buộc về giá trị kỳ vọng của nó.
Chúng ta hãy cố định giải pháp có khả năng thích nghi P và xét tập
hợp các đồ vật A đưa vào bởi P trong chiếc túi. Trong tập hợp tất định rõ
ràng là µ(A) ≤ 1 cho giải pháp, bởi vì dung lượng của chúng ta là 1. Chắ c
sẽ bất ngờ trong trường hợp có thể lớn hơn 1
Ta có bổ đề sau đây:
2.1.2.4. Bổ đề. Mỗi chiếc túi ngẫu nhiên với dung lượng 1 và bất kỳ
giải pháp thích nghi, gọi A là tập hợp các đồ vật (ngẫu nhiên) có giải pháp
cố gắng đưa vào, vậy thì
E


µ(A)

≤ 2.
Chứng minh. Xét một giải pháp thích nghi và ký hiệu A
t
(biến ngẫu
nhiên) tập hợp tất cả t đồ vật đầu tiên đưa vào túi. Xuất phát, chúng ta
có A
0
= ∅. Cuối cùng giải pháp kết thúc bởi hoặc là chiếc túi đầy hoặc là
bằng cách vét kiệt toàn bộ đồ vật có sẵn. Nếu xảy ra đưa vào đồ vật thứ t

mà A
t
= A
t

, ∀t > t

thì không xảy ra các tình huống tiếp theo. Từ đó cho
thấy quá trình luôn kết thúc. Chúng ta có
E

µ(A)

= lim
t→∞
E


µ(A
t
)

= sup
t≥0
E

µ(A
t
)

.
Ký hiệu s
i
:= min
i
{s
i
; 1} là cỡ trung bình của đồ vật i. Khi đó chúng ta
có

i∈A
t
s
i
≤ 2, ∀t ≥ 0. Điều này là vì mỗi một s
i
bị ràng buộc bởi 1. Bây
giờ chúng ta xác định dãy các biến ngẫu nhiên {X

t
}
t∈Z
+
:
X
t
:=

i∈A
t

s
i
− µ
i

.
Dãy {X
t
}
t
này là một martingale: Điều kiện trên giá trị của X
t
và đồ vật
thứ i
∗
chèn tiếp theo, tức là E[X
t+1
|X

t
] = X
t
. Đây chính là sự xác định
của một martingale. Bây giờ chúng ta sử dụng sự hiểu biết về tính chất
martingale E[X
t
] = E[X
0
], ∀t ≥ 0. Trong trường hợp của chúng ta thì
E[X
t
] = E[X
0
] = 0, ∀t ≥ 0. Như chúng ta đã đề cập thì

i∈A
i
s
i
là luôn
24
luôn bị chặn bởi 2 nên X
t
≤ 2 − µ(A
t
). Lấy kỳ vọng 2 vế ta được
0 = E[X
t
] ≤ 2 − E


µ(A
t
)

.
Vậy
E

µ(A)

= sup
t≥0
E

µ(A
t
)

≤ 2.
Bổ đề chứng minh xong. 
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra giá trị cận của giải pháp thích nghi tối ưu
dùng quy hoạch tuyến tính. Ký hiệu w
i
:= v
i
.P[s
i
≤ 1] và được gọi là giá
trị hiệu quả của đồ vật thứ i, nó cũng là một cận trên của giá trị kỳ vọng

giải pháp có thể chèn vào đồ vật i. Bây giờ xét quy hoạch tuyến tính nới
lỏng của bài toán chiếc túi với giá trị đồ vật w
i
và cỡ đồ vật µ
i
, biểu diễn
bằng tham số dung lượng chiếc túi t như sau:
Φ(t) := max


i
w
i
x
i
:

i
µ
i
x
i
≤ t, x
i
∈ [0; 1]

.
Lưu ý là chúng ta sử dụng w
i
thay cho v

i
trong mục tiêu. Nếu chúng
ta có một đồ vật có cỡ lớn hơn 1 thì chúng ta không thể dùng đồ vật này
trong lời giải nghiệm nguyên. Để có được như vậy, chúng ta cần chiết khấu
thích hợ p giá trị chúng ta có thể đạt được từ đồ vật lớn như vậy, đưa chúng
ta đến sử dụng thay w
i
cho v
i
. Dùng bài toán quy hoạch tuyến tính ở trên,
chúng ta có được kết quả như sau:
2.1.2.5. Định lý. Mỗi mẫu của chiếc túi ngẫu nhiên ta có
ADAP T ≤ Φ(2).
Chứng minh. Chúng ta xét một giải pháp thích nghi P, và giả sử A là
(ngẫu nhiên) tập hợp các đồ vật mà P cố gắng đưa vào vào chiếc túi. Xét
vectơ
−→
x trong đó x
i
= P[i ∈ A]. Khối lượng mà P cố gắng để chèn vào là
E

µ(A)

=

i
µ
i
x

i
. Theo Bổ đề 2.1.2.4 cho thấy E

µ(A)

≤ 2. Do vậy
−→
x
là một phương án và

i
w
i
x
i
≤ Φ(2).
Cho fit(c, i) là ký hiệu biến thứ i thỏa mãn s
i
≤ c. Ký hiệu c
i
là dung
lượng còn lại khi P cố gắng chèn vào đồ vật i. Đây là một biến ngẫu nhiên
25
được xác định nếu i ∈ A. Bởi vì s
i
là độc lập với mỗi i ∈ A, nên kỳ vọng
lợi ích của đồ vật i là
E

v

i
fit(i, c
i
)|i ∈ A

.P[i ∈ A]
≤ E

v
i
fit(i, 1)|i ∈ A

.P[i ∈ A]
= v
i
.P[s
i
≤ 1].P[i ∈ A] = w
i
x
i
.
Do vậy,
E

val(P)

≤

i

w
i
x
i
≤ Φ(2).
Giá trị kỳ vọng đạt được bởi bất kỳ giải pháp thích nghi là bị chặn theo
cách này. Do đó ADAP T ≤ Φ(2).
Định lý chứng minh xong. 
2.2. Các kỹ thuật xấp xỉ của giải pháp thích nghi
2.2.1. Kỹ thuật 32/7-xấp xỉ
Trong mục này chúng ta phát triển thuật toán ngẫu nhiên hoá có lối
ra là giải pháp không thích nghi đạt được giá trị kỳ vọng ít nhất là
(7/32)ADAP T . Ngoài ra, thuật toán này có thể dễ dàng cho phép lấy
ngẫu nhiên.
Xét hàm Φ(t) có thể lấy nghiệm phân số của bài toán chiếc túi với dung
lượng t. Giá trị của nó đạ t được bở i sự kết hợp tham lam đồ vật có "giá
trị tối đa" có thể và lấy một phần thích hợp của đồ vật khác. Chúng ta
giả sử rằng đồ vật đã được chỉ số hoá bằng cách đánh số lại giá trị theo sự
sắp xếp
w
1
µ
1
≥
w
2
µ
2
≥
w

3
µ
3
≥ ≥
w
n
µ
n
.
Chú ý rằng thực hiện lựa chọn tham lam theo thứ tự như trên không
cho nghiệm tối ưu (ngay cả với bài toán tất định). Chẳng hạn xét với
s
1
= ε, v
1
= w
1
= 2ε và s
2
= v
2
= w
2
= 1. Theo sự sắp xếp
w
1
µ
1
=
2ε

ε
>
w
2
µ
2
=
1
1
,