Khoá luận tốt nghiệp xây dựng chương trình mô phỏng các thuật toán cơ bản trên cây đỏ đen

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA CÔNG NGHỆ
THÔNG TIN
* * * * * * * * *****
TRẦN THỊ SIM
XÂY DƯNG CHƯƠNG TRÌNH MÔ PHỎNG
CÁC THUÃT TOÁN cơ BẢN TRÊN CÂY ĐỎ
ĐEN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
• • • •
Chuyên ngành: Khoa học máy tính
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • •
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
*************
HÀ NỘI - 2015
TRẦN THỊ SIM
XÂY DựNG CHƯƠNG TRÌNH MÔ PHỎNG
CÁC THUẬT TOÁN cơ BẢN TRÊN CÂY ĐỎ
ĐEN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
• • • •
Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. BÙI THẾ HỒNG
Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo
PGS. TS Bùi Thế Hồng, đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho em hoàn
thành khóa luận này.
Em cũng xin chân thảnh cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Công nghệ
thông tin, cũng như các thầy, cô giáo trong trường đã giảng dạy và giúp đỡ em
trong các năm học vừa qua. Chính các thày, cô giáo đã xây dựng cho chúng em
HÀ NỘI - 2015
những kiến thức nền tảng và kiến thức chuyên môn để em có thể hoàn thành khóa
luận tốt nghiệp và chuẩn bị cho những công việc của mình sau này.

Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và bạn bè đã giúp đỡ động
viên em rất nhiều trong suốt quá trình học tập để em có thể thực hiện tốt khóa
luận này.
Do kiến thức và thời gian còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi
những thiếu sót. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo
và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên
Trần Thị Sim
Tên em là: Trần Thị Sim
Sinh viên lớp: K37A - CNTT, khoa Công nghệ thông tin, trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2.
Em xin cam đoan:
1. Đề tài “Xây dựng chương trình mô phỏng các thuật toán cơ bản trên
HÀ NỘI - 2015
cây đỏ đen ” là sự nghiên cứu của riêng em, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
PGS.TS Bùi Thế Hồng.
2. Khóa luận hoàn toàn không sao chép của tác giả nào khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chiu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Người cam đoan
Trần Thỉ Sim
HÀ NỘI - 2015
MỤC LỤC
DANH MỤC HÌNH
•
1.1. Hình ảnh một cây
1.2. Cây nhị phân
1.3. Cây nhị phân không có thứ tự
1.4. Cây nhị phân lệch
1.5. Cây zíc-zắc
1.6. Cây nhị phân hoản chỉnh

1.7. Cây nhị phân đầy đủ
1.8. Cây nhị phân gần đầy
1.9. Cây nhị phân tìm kiếm
1.10. Tìm nút trên cây với khóa x=55
1.11. Xóa nút trên cây với khóa X =40
1.12. Xóa một nút trên cây với khóa X = 37
1.13. Xóa một nút với khóa X = 18
1.14. Thêm một nút với khóa X = 10 vào cây
1.15. Cây nhị phân ban đầu
1.16. Thêm nút có khóa X = 7
1.17. Tái cân bằng lại cây khi thêm nút với khóa X = 7
2.1. Các nút được chèn theo thứ tự tăng dần
2.2. Ví dụ về cây đỏ đen
2.3. Lật màu
2.4. Các biến dạng của nút khi được chèn với X là cháu ngoại
2.5. Các biến dạng của nút khi được chèn với X là cháu nội
2.6. Các khả năng khi chèn nút
2.7. Nút p đỏ và X là cháu ngoại
2.8. p đỏ và X là nút cháu nội
2.9. Minh họa trường họp 2
2.10 Minh họa trường hợp 3
2.11. Minh họa trường hợp 4
MỞ ĐÀU
1. Lý do chọn đề tài
Trong khoa học máy tính, cấu trúc dữ liệu là một cách lưu dữ liệu ừong
máy tính sao cho nó có thể được sử dụng một cách hiệu quả. Thông thường,
một cấu trúc dữ liệu được chọn cẩn thận sẽ cho phép thực hiện thuật toán hiệu
quả hom. Việc chọn cấu trúc dữ liệu thường bắt đầu từ việc chọn một cấu trúc
dữ liệu trừu tượng. Một cấu trúc dữ liệu được thiết kế tốt cho phép thực hiện
nhiều phép toán, sử dụng càng ít tài nguyên, thời gian xử lý và không gian bộ

nhớ tốt.
Tìm kiếm là một đòi hỏi rất thường xuyên trong đời sống hàng ngày
cũng như trong xử lý tin học. vấn đề tìm kiếm xét một cách tổng quát, có thể
hiểu là tìm một đối tượng thỏa mãn một số đòi hỏi nào đó, trong một tập rộng
lớn các đối tượng.
Có nhiều phương pháp tìm kiếm cơ bản và phổ biến, đối với dữ liệu ở bộ
nhớ trong nghĩa là tìm kiếm trong, đối với dữ liệu ở bộ nhớ ngoài là tìm kiếm
ngoài. Đối với tìm kiếm trong, tìm kiếm nhị phân là một phương pháp khá
thông dụng, chi phí ít, đạt kết quả tốt. Tuy nhiên, khi sử dụng tìm kiếm nhị
phân, dãy khóa đã phải sắp xếp rồi, nghĩa là thời gian chi phí cho sắp xếp cũng
phải kể đến. Nếu dãy khóa luôn biến động thì lúc đó chi phí cho sắp xếp lại nổi
lên rất rõ và chính điều ấy bộc lộ nhược điểm của phương pháp này.
Để khắc phục nhược điểm vừa nêu ừên đối với tìm kiếm nhị phân và đáp
ứng yêu cầu tìm kiêm đối với bảng biến động, một phương pháp mới được hình
thành dựa trên cơ sở bảng được tổ chức dưới dạng cây nhị phân mà ta gọi là
cây nhị phân tìm kiếm.
Trong đó cây đỏ đen là một cấu trúc dữ liệu hay, cùng với cây nhị phân
tìm kiếm là những cấu trúc dữ liệu có điểm mạnh trong việc lưu trữ và tìm
kiếm dữ liệu. Song cây đỏ đen với đặc tính tái cân bằng lại cây đã tạo nên sự
khác biệt cho phương pháp này. Chính vĩ vậy em đã chọn đề tài: “Xây dựng
7
chương trình mô phỏng các thuật toán cơ bản trên cây đỏ đen” để làm khóa
luận.
2. Mục đích của đề tài
Đề tài nhằm nghiên cứu lý thuyết về cây đỏ đen, một dạng cây tìm kiếm
nhị phân tự cân bằng để thấy được những điểm mạnh của kiểu cấu trúc dữ liệu
này. Trên cơ sở thực hiện mô phỏng các phép toán chèn, xóa, tìm kiếm trên cây
đỏ đen, đề tài nhằm khẳng định những tính chất, và việc sử dụng cấu trúc dữ
liệu cây đỏ đen vào việc lưu trữ dữ liệu và thực hiện tìm kiếm ừong bài toán
tìm kiếm là việc nên làm.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu và làm rõ những khái niệm, tính chất về cấu trúc dữ liệu cây,
cây nhị phân, cây nhị phân tìm kiếm. Trên cơ sở đó xây dựng cấu trúc cây đỏ
đen.
Nghiên cứu các phép toán chèn, xóa, tìm kiếm trên cấu trúc dữ liệu cây
đỏ đen, đánh giá chúng so với cây nhị phân tìm kiếm.
Mô phỏng các phép toán chèn, xóa, tìm kiếm một node trên cây đỏ đen.
4. Đổi tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Cây đỏ đen
Phạm vi nghiên cứu: Các phép chèn, xóa, tìm kiếm các node trên cây đỏ
đen.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ỷ nghĩa khoa học: Cây đỏ đen ra đời, phát triển và có cơ sở khoa học
vững chắc đã giúp cho việc nghiên cứu chứng minh được việc sử dụng phương
pháp cây đỏ đen vào việc lưu trữ dữ liệu và thực hiện việc tìm kiếm trong bài
toán tìm kiếm là việc nên làm. Hiện nay, việc làm thế nào để giảm thiểu chi phí
tìm kiếm là một lĩnh vực đang được các chuyên gia nghiên cứu và phát triển.
Ý nghĩa thực tiễn: Chương trình thử nghiệm nếu thành công sẽ biết được
hình dạng của cây phát triển như thế nào và đó là một cây nhị phân tìm kiếm
8
cân bằng từ đó giảm thiểu chi phí tìm kiếm dữ liệu đối với dữ liệu trong một
danh sách tuyến tính .
6. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu qua việc đọc sách, báo và các tài liệu liên quan nhằm xây dựng
cơ sở lý thuyết của khóa luận và các biện pháp cần thiết để giải quyết các vấn
đề của khóa luận.
+ Phương pháp chuyên gia
Tham khảo ý kiến của các chuyên gia để có thể thiết kế chương trĩnh phù
hợp với yêu cầu thực tiễn. Nội dung xử lý nhanh đáp ứng được yêu cầu ngày

càng cao của người sử dụng.
+ Phương pháp thực nghiệm
Thông qua quan sát thực tế, yêu cầu của cơ sở, những lý luận được nghiên
cứu và kết quả đạt được qua những phương pháp trên.
7. Cấu trúc khóa ỉuân
Ngoài lòi cảm ơn, mở đầu, kết luận và hướng phát triển, tài liệu tham khảo,
khóa luận được chia thành 3 chương:
Chương 1: Cây nhị phân tìm kiếm - Chương này giới thiệu tổng quan về
cây, khái niệm và các tính chất của cây, cây nhị phân, cây nhị phân tìm kiếm và
các giải thuật tìm kiếm, các thao tác chèn và xóa, tìm kiếm trên cây nhị phân
tìm kiếm, tính chất của cây nhị phân tìm kiếm.
Chương 2: Cây đỏ đen - Chương này trình bày về khái niệm, tính chất cây
đỏ đen, các phép toán chèn, xóa, tìm kiếm trên cây đỏ đen, những hiệu quả khi
sử dụng cây đỏ đen.
Chương 3: Xây dựng chương trình mô phỏng - Chương này phát biểu về
bài toán cây đỏ đen và chương trình mô phỏng các thuật toán chèn, xóa, thêm
node ừên cây đỏ đen.
CHƯƠNG 1. CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIỂM
1.1. Định nghĩa
9
Cây là một cấu trúc dữ liệu có vai trò quan trọng ừong việc phân tích và
thiết kế các thuật toán. Lưu trữ và biểu diễn kiểu cây có thể thấy trong nhiều
lĩnh vực của cuộc sống. Ví dụ một cuốn gia phả lưu thông tin về các thành viên
trong một dòng họ, trong đó các thành viên thứ bậc khác nhau được phân thành
các cấp khác nhau trong biểu diễn hình cây gia phả. Sơ đồ tổ chức của 1 đơn vị
cũng thường được biểu diễn thông qua một cấu trúc cây. Các đơn vị con nằm ở
cấp dưới đơn vị trực tiếp quản lý. Các đơn vị ngang hàng nằm cùng cấp. Trong
lĩnh vực máy tính, cách lưu trữ dữ liệu của hệ điều hành cũng áp dụng kiểu lưu
trữ cây. Các tệp tin được lưu trữ trong các cây thư mục, trong đó các thư mục
con nằm trong thư mục cha.Cây có thể được định nghĩa như sau:

Cây là một tập hợp các nút (các đinh) và các cạnh, thỏa mãn một số yêu
càu nào đó. Mỗi nút của cây đều có một định danh và có thể mang thông tin nào
đó. Các cạnh dùng để liên kết các nút với nhau. Một đường đi trong cây là một
danh sách các đinh phân biệt mà đỉnh trước có liên kết với đinh sau.
Một tính chất quan trọng hình thành nên cây, đó là có đúng một đường đi
nối hai nút bất kì trong cây. Nếu tồn tại hai nút trong cây mà có ít hoặc nhiều
hơn một đường đi thì lúc đó có một đồ thị.
Mỗi cây thường có một nút được gọi là nút gốc. Mỗi nút đều có thể coi là
nút gốc của cây con bao gồm chính nó và các nút bên dưới nó. Trong biểu diễn
hình học của cây, nút gốc thường nằm ở vị trí cao nhất, tiếp theo là các nút kế
tiếp.
1
0
Hình 1.1. Hình ảnh một cây Như vậy có thể thấy rằng
cây bao gồm gốc và các cây con nối với gốc. Qua đó, có thể định nghĩa cây
dưới dạng đệ qui như sau. Cây có thể là:
+ Một nút đứng riêng lẻ (và nó chính là gốc của cây).
+ Hoặc một nút kết họp với một số cây con bên dưới.
Mỗi nút trong một cây (trừ nút gốc) có đúng 1 nút nằm trên nó, gọi là
nút cha (parent). Các nút nằm ngay dưới nút đó được gọi là nút con (subnode).
Các nút nằm cùng cấp được gọi là các nút anh em (sibling). Nút không có nút
con nào được gọi là nút lá (leaf) hoặc nút tận cùng.
Chiều cao của nút là đường đi dài nhất từ nút tới nút lá. Chiều cao của
cây chính là chiều cao của nút gốc. Độ sâu của 1 nút là độ dài đường đi duy
nhất giữa nút gốc và nút đó.
1.2. Cây nhị phân
Cây nhị phân là một dạng quan trọng của cấu trúc cây. Cây nhị phân có
các đặc điểm là: Mọi nút trên cây chỉ có tối đa là 2 nút con. Đối với mỗi cây
con của mỗi nút thì phân biêt cây con trái và cây con phải.
Hình 1.2. Cây nhị phân Cây nhị phân là loại cây có cấu

trúc đơn giản và có nhiều ứng dụng trong tin học. Các cây
nhị phân sau đây là khác nhau, xong chúng đều là cây nhị
phân không có thứ tự.
1
1
Hình 1.3. Cây nhị phân không có thứ tự
a) Cây lệch trái b) Cây lệch phải
Hình 1.4. Cây nhị phân lệch
Hình
1.5.
Cây
zíc -
zắc
Hình 1.8. Cây nhị phân gần đầy
Hình 1.7. Cây nhị phân đày đủ
Hình 1.6. Cây nhị phân hoản chỉnh
Các hình trên là một số dạng đặc biệt của cây nhị phân. Các cây nhị phân
hình 1.4 được gọi là cây nhị phân suy biến vì thực chất nó có dạng của một danh
sách tuyến tính.
Cây nhị phân hình 1.5 được gọi là cây nhị phân hoàn chỉnh. Các nút ứng
với các mức trừ mức cuối cùng đều đạt tối đa và mức cuối cùng các nút đều dạt
về ừái.
Cây nhị phân hình 1.6 có các nút tối đa ở cả mọi mức nên còn gọi là cây
nhị phân đầy đủ. Cây nhị phân đày đủ là một trường hợp đặc biệt của cây nhị
phân hoàn chinh.
Cây nhị phân hình 1.7 là cây gần đầy, khác với cây (hình 1.6) ở chỗ các nút
ở mức cuối không dạt về phía trái.
Cây nhị phân có một số tính chất sau:
+ Trong các phân cây nhị phân cùng có số lượng nút như nhau thì cây
nhị phân suy biến có chiều cao lơn nhất, cây có nhị phân hoàn chỉnh

hoặc cây nhị phân gàn đây có chiều cao nhỏ nhất, loại cây này cũng là
cây có dạng “cân đối” nhất.
+ Số lượng tối đa các nút ở mức i trên cây nhị phân là 2
i_1
, tối thiểu là 1
(i>l).
+ Số lượng tối đa các nút trên cây một cây nhị phân có chiều cao là 2
h
-l,
tối thiểu là h (h>l).
+ Cây nhị phân hoản chỉnh, không đầy đủ, có n nút thì chiều cao của nó
là: h =[log
2
( n + 1)] + 1
+ Cây nhị phân đầy đủ, có n nút, thì chiều cao của nó là h = log
2
(n + 1)
1.3. Cây nhị phân tìm kiếm
Cây nhị phân tìm kiếm ứng với n khóa là một cây nhị phân mà mỗi nút của
nó đều được gán một giá tñ khóa nào đó trong các giá tñ khóa đã cho và đối với
mọi nút trên cây tính chất sau đây luôn được thỏa mãn:
1
5
+ Mọi khóa thuộc cây con trái nút gốc đều nhỏ hơn khóa ứng với nút
đó.
+ Mọi khóa thuộc cây con phải nút gốc đều lớn hơn khóa ứng với nút
đó.
Ở đây thứ tự chọn quy ước là thứ tự tăng dần đối với số và thứ tự từ điển
đối với chữ.
Hình 1.9. Cây nhị phân tìm kiếm Nhờ ràng buộc về khóa

trên cây nhị phân tìm kiếm, việc tìm kiếm trở nên có định hướng. Hơn nữa, do cấu
trúc cây việc tìm kiếm trở nên nhanh đáng kể. Chi phí tìm kiếm trung bình chỉ
khoảng log
2
N.
1.4. Giải thuât tìm
kiếm ■
1.4.1. Tìm một node trên cây tìm kiếm
Đối với một cây nhị phân tìm kiếm để tìm xem một khóa X nào đó có trên
cây đó không, đầu tiên phải so sánh X với khóa ở gốc và có 1 trong 4 tình huống
sau đây sẽ xuất hiện:
+ Không có gốc (cây rỗng): X không có ừên cây phép tìm kiếm không
thỏa mãn.
+ X trùng với khóa gốc: Phép tìm kiếm được thỏa mãn.
+ X nhỏ hơn khóa ở gốc: Tìm kiếm tiếp tục bằng cách xét cây con trái
của gốc với cách làm tương tự.
1
6
+ X lớn hơn khóa ở gốc: Tìm kiếm được thực hiện tiếp tục bằng cách xét
cây con bên phải của gốc với cách làm tương tự.
Hình 1.10. Tìm nút trên cây với khóa x=55 Như ở
cây hình 1.10, nếu X = 55 thì sẽ thực hiện
+ So sánh X với 44: x>44 chuyển sang cây con phải.
+ So sánh X với 88: x<88 chuyển sang cây con bên trái.
+ So sánh X với 55: x=55, vậy tìm kiếm đã được thỏa mãn. Giải thuật tìm
kiếm trên cây tìm kiếm nhị phân như sau:
Cay timkiem (cay p , int x)
{
while(p!= NƯLL)
{

if( p->data ==x) retum p; elseif(x<p->data)
p = p->left;
else p = p->right;
}
retum NULL;
}
1.4.2. Xóa một nút trên cây tìm kiếm
1
7
Việc hủy một phần tử X ra khỏi cây phải bảo đảm điều kiện ràng buộc
của CNPTK (cây nhị phân tìm kiếm).
Có 3 trường họp khi hủy nút X có thể xảy ra:
+ X - nút lá.
+ X - chỉ có 1 cây con (trái hoặc phải).
+ X - có đủ cả 2 cây con Trường họp thứ nhất: Chỉ đơn giản
hủy X vì nó không móc nối đến phần tử nào khác.
Hình 1.11. Xóa nút trên cây với khóa X =40 Trường họp thứ
hai: Trước khi xóa X thì phải móc nối cha của X với con duy nhất của nó.
Hình 1.12. Xóa một nút trên cây với khóa X = 37 Trường họp cuối
cùng: Không thể hủy trực tiếp do X có đủ hai con mà sẽ hủy gián tiếp. Thay vì hủy
X, mà là tìm một phần tử thế mạng y. Phần tử này có tối đa một con. Thông tin lưu
tại y sẽ chuyển lên lưu tại X. Sau đó, nút bị hủy thật sẽ là y giống như hai trường
hợp đàu.
Vấn đề là phải chọn y sao cho khi lưu y vào vị trí của X, cây vẫn là cây nhị
phân tìm kiếm.
Có 2 phần tử thỏa mãn yêu cầu:
+ Phần tử nhỏ nhất (trái nhất) trên cây con phải.
1
8
+ Phần tử lớn nhất (phải nhất) trên cây con trái.

Việc chọn lựa phàn tử nào là phần tử thế mạng hoàn toàn phụ thuộc vào ý
thích của người lập ừình.
Giải thuật xóa trên cây nhị phân tìm kiếm nhị phân như sau: int delkey
(cay&p, int x)
{
if (p==NULL) return p;
else if (p->key>x) return delkey(p->left, x);
else if (p->key<x) return delkey (p->right,x);
else
{
Node *q=p;
if (p->left=NULL) p=p->right; else if (p->right ==NULL)
p= p->left; else
{
Node *s=p, *t=s->left; while (t->right !
=NULL) {
S=t;
T= t->right;
}
q->key=t->key; s->right=t->left;
delete t;
}
}
return 1;
}
Hình 1.13. Xóa một nút với khóa X = 18
1.4.3. Thêm một nút trên cây tìm kiếm
Đối với một cây nhị phân tìm kiếm để thêm X vào cây, đầu tiên phải so
sánh X với khóa ở gốc và có 1 trong 4 tình huống sau đây sẽ xuất hiện:
+ Không có gốc (cây rỗng): Thêm X vào cây.

1
9
+ X trùng với khóa gốc
+ X nhỏ hơn khóa gốc: Tìm kiếm thực hiện tiếp tục bằng cách
xét cây con trái của gốc với cách làm tương tự.
+ X lớn hom khóa ở gốc: Tìm kiếm được thực hiện tiếp tục
bằng cách xét cây con phải của gốc với cách làm tương tự.
2
0
a) Cây ban đâu
b) Sau khi nút với khóa X =10 Hình 1.14. Thêm một nút với
khóa X = 10 vào cây Như với cây ở hình 1.14, nếu X =10
thì sẽ thực hiện :
+ So sánh X với 5: x>5 vậy phải chuyển sang cây con phải.
+ So sánh X với 8: x>8 vậy phải chuyển sang cây con phải.
+ So sánh X với 9: x>9 cho nên thêm một nút với khóa x= 10 vào bên phải.
Thuật toán thêm nút vào cây nhị phân tìm kiếm sẽ như sau: Cay themnut
(Cay &p, int x)
{
Cay t = tao nut (x);
Cay q,f; if (p = NULL)
{
t=p;
}
else
{
t = q; f = NULL; while (q !=NULL)
{
f=q;
if (x<q->data)

{
q = q->left;
}
else
{
q = q->right;
}
}
if (x< f->data)
{
f->left = p ;
}
2
1
else
{
f->right = p ;
}
}
retump ;}
Rõ ràng với giải thuật nêu trên có dạng cây nhị phân tìm kiếm dựng được
hoàn toàn phụ thuộc vào dãy khóa đưa vào. Như vậy có nghĩa là, trong quá trình
xử lý động không thể biết trước được cây sẽ phát triển ra sao, hình dạng như thế
nào. Rất có thể là một cây nhị phân hoàn chỉnh hoặc một cây nhị phân cân đối,
nên chi phí tìm kiếm có cấp độ lớn chỉ là 0(log
2
n), một trường hợp rất thuận lợi
như luôn mong đợi. Nhưng cũng có thể là một cây nhị phân suy biến, không khác
gì một danh sách tuyến tính mà tìm kiếm trên cây đó chính là tìm kiếm tuần tự
với chi phí có cấp 0(n), điều này cũng dễ đưa tới một khuynh hướng lo ngại khiến

thiếu tin tưởng vào phương pháp tìm kiếm này.
Tới đây cũng có thể xuất hiện thêm câu hỏi là: Tại sao không tìm cách
dựng một cây nhị phân tìm kiếm luôn cân bằng để có thể đạt chi phí tối thiểu?
2
2
Hình 1.15. Cây nhị phân ban đầu Tìm kiếm với khóa X
= 7 trên hình 1.15. Như phép tìm kiếm với X như trên sẽ không được thỏa mãn
và phải chèn thêm nút có khóa bằng 7 vào cây trên hình 1.11. Như vậy, cây sẽ
không còn cân đối nữa như (hình 1.16).
Khi thêm nút có khóa X = 7 vào cây thì cây trở nên không cân bằng
nữa, việc này làm cho chi phí tìm kiếm trở lên tốn kém hơn. Điều tất nhiên
đặt ra lúc này là phải “tái cân bằng” lại để được cây cân bằng như hình
1.17
2
3
Hình 1.17. Tái cân bằng lại cây khi thêm nút với khóa X = 7.
2
4
CHƯƠNG 2.
CÂY ĐỎ ĐEN
2.1. Giới thiệu
Cây tìm kiếm nhị phân là một cấu trúc lưu trữ dữ liệu tốt với tốc độ tìm
kiếm nhanh. Tuy nhiên trong một số trường hợp cây tìm kiếm nhị phân có một số
hạn chế. Nó hoạt động tốt nếu dữ liệu được chèn vào cây theo thứ tự ngẫu nhiên.
Nhưng nếu dữ liệu được chèn vào theo thứ tự đã đuợc sắp xếp sẽ không hiệu quả.
Khi các trị số càn chèn đã đuợc sắp xếp thì cây nhị phân trở nên không cân bằng.
Khi cây không cân bằng, nó mất đi khả năng tim kiếm nhanh (hoặc chèn hoặc
xóa) một phần tử đã cho. Chúng ta khảo sát một cách giải quyết vấn đề của cây
không cân bằng: Đó là cây đỏ đen (cây tìm kiếm nhị phân có thêm một vài đặc
điểm).

Có nhiều cách tiếp cận khác để bảo đảm cho cây cân bằng: Chẳng hạn cây
2-3-4 nhưng trong phần lớn trường họp, cây đỏ đen là cây cân bằng hiệu quả
nhất, ít ra thì khi dữ liệu được lưu trữ trong bộ nhớ chứ không phải ừong những
tập tin. Trước khi khảo sát cây đỏ đen, hãy xem lại cây không cân bằng được tạo
ra như thế nào.
2
5
Hình 18.1. Các nút được chèn theo thứ tự tăng dần