DE DA TOAN CHUYEN QUANG NINH 2010 2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHYÊN HẠ LONG
NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
(Dành cho thí sinh chuyên Toán
và chuyên Toán tin)
Ngày thi: 03/7/2010
Thời gian làm bài: 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Chữ ký GT 1:

Chữ ký GT 2:

(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1. (2,0 điểm)
Cho biểu thức:

x + 2 x 1 x 1
M :
7
x x 1 x+ x 1 x 1
 
−
= + −
 ÷
 ÷
− + −
 

với
1;0 ≠≥ xx
.
a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tính giá trị của biểu thức M khi
x 3 2 2= −
.
Bài 2. (3,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
x +xy+y x + y =185
x xy+y x + y =65



−


b) Cho phương trình:
( )
3 2 2 2
mx m +1 x m x + m+1 0
− − =
(1).
+ Chứng tỏ
x 1=−
là nghiệm của phương trình (1).

+ Tìm điều kiện của m để phương trình (1) luôn có ba nghiệm phân biệt.
Bài 3. (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ AH
⊥
BC (H
∈
BC) và BE
vuông góc với đường kính AD (E
∈
AD).
a) Chứng minh HE song song với DC.
b) Qua trung điểm K của đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC
tại M. Chứng minh
MHE
∆
cân.
Bài 4. (1,0 điểm)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:
1 a 2; 1 b 2
− ≤ ≤ − ≤ ≤
;
1 c 2
− ≤ ≤
và a + b + c = 0.
Chứng minh
2 2 2
a b c 6
+ + ≤
.
Bài 5. (1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB
=
5cm; BC
=
2cm. Trên cạnh AB lấy điểm I bất
kì (I
≠
A, B). Kẻ IM
⊥
AC (
M AC
∈
) và IN
⊥
DC (
N DC
∈
). Tìm vị trí điểm I để đường
thẳng AN là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN.
____________________Hết____________________
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:…………….
HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN: TOÁN
(Đề chính thức)
Bài Sơ lược lời giải
Cho
điểm

1
(2,0
điểm
)
a)
( ) ( )
( ) ( )
x + 2+ x x 1 x+ x 1
x 1
M :
7
x 1 x+ x 1
− − +
−
=
− +

( )
( ) ( )
2
x 1
7 7
x 1 x+ x 1
x 1 x+ x 1
−
= × =
− +
− +
0,5
0,75

b) Với
( )
2
x 3 2 2 2 1= − = −
=>
x 2 1= −

7 7
M 3 2
3-2 2+ 2 1 1 3- 2
= = = +
− +
0,25
0,5
2
(3,0
điểm
)
a) Đặt
2 2
x +y = u;
xy = v
ĐK:
u 0≥
Ta có hệ PT :
( )
( )
2
3
3

2
u +v u=185
2u =250 u=5

v=12
u + uv=185
u -v u=65



 
⇔ ⇔ ⇔
  


 

(TMĐK)
Do đó:
2 2
x +y =25
xy=12



Suy ra:
x+y=7
xy=12




hoặc
x+y=-7
xy=12



Vậy nghiệm của hệ là: (3;4) ; (4;3) (-3;-4) ;(-4;-3)
0,25
0,5
0,25
0,5
b) + Thay x
=
-1 vào PT:
( )
( )
( ) ( )
3 2
2 2
m 1 - m +1 1 -m 1 +m+1=0− − −

⇔
-m-m
2
-1+m
2
+m+1
=
0 (hiển nhiên đúng)

+) Vì x = - 1 là một nghiệm của phương trình.
Do đó:
( ) ( )
( )
2 2
1 x+1 mx - m +m+1 x+m+1 =0
 
⇔ ⇔
 
Phương trình (1) luôn có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT
( )
2 2
mx - m +m+1 x+m+1 0=
có hai nghiệm phân biệt khác -1.

⇔
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
m 0
Δ= m +m+1 -4m m+1 >0
m -1 - m +m+1 -1 +m+1 0

≠





≠



( )
2
2
2
m 0
m 0
-1± 5
m +m-1 >0 m
2
m +3m+2 0
m 1;m 2
≠

≠



 
⇔ ⇔ ⇔ ≠
 
 
≠


≠ − ≠ −



Vậy với
1 5
m 0;m ;m 1;m 2
2
− ±
≠ ≠ ≠ − ≠ −
thì phương trình (1) luôn có
ba nghiệm phân biệt.
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
3
(3,0
điểm
a) Có
·
·
0
BHA BEA 90= =
=> tứ giác BHEA nội tiếp
=>
·
·

HED ABC=
mà
·
·
ABC ADC=
=>
·
·
HED EDC=
=> HE // CD
0,75
0,75
0,5
b) Nối K với E, K với H.

1
KE=KH= AB
2
⇒
K thuộc trung trực của HE.
Có
DC CA
⊥
và HE//CD
HE AC
⇒ ⊥

Có
KM / /AC
và

HE AC⊥
KM HE⇒ ⊥

⇒
KM là trung trực của HE
⇒
ME=MH hay
MHE
∆
cân tại M.
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(1,0
điểm
)
b) Có
1 a 2− ≤ ≤
⇔

a+1 0≥
và
a 2 0− ≤
.
⇔
( ) ( )
2 2
a +1 a 2 0 a a 2 0 a a 2− ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ +

Tương tự:
2 2
b b 2; c c 2≤ + ≤ +
Do đó: a
2
+ b
2
+ c
2

≤
a + b + c + 6 = 6 (vì a + b + c =0)
0,25
0,25
0,25
0,25
5
(1,0
điểm
)
Chứng minh được năm điểm I, B, C, N, M cùng thuộc một đường tròn
đường tròn đường kính BN.
AN là tiếp tuyến của đường tròn (IMN)
⇔
AN
⊥
NB
⇔
AB
2

=
AN
2
+ NB
2
.
Đặt AI
=
x (0<x<5)
⇒
AN
2
=
4
+
x
2
; NB
2
=
4+(5-x)
2
Do đó: 4+x
2
+4+(5-x)
2
=
25
⇔
x

2
-5x+4
=
0
Giải PT tìm được: x
=
1 hoặc x
=
4 (t/m)
Khi I di chuyển trên AB sao cho AI
=
1cm hoặc AI
=
4cm thì AN là tiếp
tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN.
0,5
0,25
0,25
M
K
E
H
D
O
A
B
C
Hình bài 3
M
N

C
A
D
B
I
Hình bài 5
Các chú ý khi chấm:
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải
chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa.
2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi
tiết (đến 0,25 điểm) nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó.
Trong trường hợp sai sót nhỏ có thể cho điểm nhưng phải trừ điểm chỗ sai đó.
3. Với bài tập 3,5 không cho điểm bài làm nếu học sinh không vẽ hình.
4. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho
điểm theo sự thống nhất của cả tổ.
5. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn điểm.