Nghiên cứu thử nghiệm một số phương pháp nội suy trong xử lý số liệu thực nghiệm

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



Nguyễn Thị Thuỳ Dương



NGHIÊN CỨU THỬ NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY
TRONG XỬ LÝ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM



LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC






Hà Nội – 1/2015



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Thuỳ Dương


NGHIÊN CỨU THỬ NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY
TRONG XỬ LÝ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM

Chuyên ngành: Vật lý địa cầu
Mã số: 60.44.0111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. Nguyễn Đức Vinh


Hà Nội – 1/2015



MỤC LỤC
Mở đầu

Các ký hiệu và chữ viết tắt i

Danh mục các hình vẽ ii

Danh mục các bảng biểu iv

Chương 1 Các phương pháp nội suy thông dụng
5

1.1 Nội suy chính xác tại các điểm nút 6

1.1.1 Nội suy Lagrange 7

1.1.2 Nội suy Newton 8

1.1.3 Nội suy Gauss 13

1.1.4 Nội suy Sterling 14

1.1.5 Nội suy Bessel 14

1.1.6 Nội suy Spline 15

1.2 Nội suy xấp xỉ tại các nút 16

1.2.1 Phương pháp các điểm lụa chọn 17

1.2.2 Phương pháp trung bình 18

1.2.3 Phương pháp bình phương nhỏ nhất 19

Chương 2 Các phép nội suy trong phần mềm SURFER
24

2.1 Vài nét về phần mềm SURFER 24

2.2 Các phương pháp nội suy trong phần mềm SURFER 27

2.2.1 Phương pháp nghịch đảo khoảng cách (Inverse Distance to a
Power)

28

2.2.2 Phương pháp Shepard (Shepard`s Method) 32



2.2.3 Phương pháp lân cận gần nhất (Nearest Neighbor ) 33

2.2.4 Phương pháp trung bình cửa sổ trượt (Moving Average ) 33

2.2.5 Phương pháp hồi qui đa thức (Polynomial Regression ) 34

2.2.6 Phương pháp đa thức địa phương (Local Polynomial ) 35

2.2.7 Phương pháp độ cong tối thiểu (Minimum Curvature ) 36

2.2.8 Phương pháp hàm xuyên tâm cơ bản (Radial Basic Function) 37

2.2.9 Phương pháp Kriging 39

Chương 3 Thử nghiệm một số phép nội suy
41

3.1 Trường hợp nội suy bằng hồi qui đa thức 41

3.1.1 Trường hợp bài toán một biến 41

3.1.2 Trường hợp bài toán hai biến 45

3.2 Trường hợp nội suy không sử dụng hồi qui 52

Kết luận

Tài liệu tham khảo


i
Các ký hiệu và chữ viết tắt

 - độ dẫn điện [đơn vị Siemens/m]
 - hằng số điện môi
 - độ thẩm từ
 - độ suy giảm của sóng điện từ [dB/m
2
]
E - cường độ điện trường [Volt/m]
D - véc tơ cảm ứng điện

ii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Trang
Hình 1.1. Mô tả phương pháp hồi qui chính xác tại các nút 6
Hình 1.2. Kết quả nội suy Spline bằng phần mềm Maple 16
Hình 1.3. Ví dụ nội suy xấp xỉ 17
Hình 1.4. Các điểm thực nghiệm và đương cong hàm thực nghiệm 21
Hình 2.1: Cửa sổ chính của phần mềm Surfer 24
Hình 2.2. Các tiểu thực đơn của chức năng Grid 25
Hình 2.3. Các tiểu thực đơn của chức năng Map 26
Hình 2.4. Ví dụ bản đồ dạng các đường đẳng trị 26
Hình 2.5 Ví dụ hình vẽ dạng 3D 27
Hình 2.6. Sơ đồ mô tả phương pháp nghịch đảo khoảng cách 28
Hình 2.7. Cửa sổ chính của thực đơn Grid 30
Hình 2.8. Cửa sổ Option của nội suy Inverse Distance to a Power 30
Hình 2.9. Minh hoạ sử dụng đường Breakline 31

Hình 2.10. Minh hoạ dùng đường Fault 32
Hình 2.11. Minh hoạ việc điều chỉnh thông số Anisotropy 32
Hình 2.12. Cửa sổ điều chỉnh thông số của phương pháp hàng xóm gần nhất 33
Hình 2.13. Cửa sổ của phương pháp trung bình cửa sổ trượt 34
Hình 2.14. Cửa sổ chọn thông số của phương pháp đa thức địa phương 36
Hình 2.15. Cửa sổ chọn thông số của phương pháp độ cong tối thiểu 37
Hình 2.16. Cửa sổ chọn thông số của phương pháp Radial Basic Function 38
Hình 2.17. Cửa sổ chọn thông số của phương pháp Kriging 39
Hình 3.1. Đường cong trước hồi qui 42
Hình 3.2. Đường cong trước và sau khi hồi qui 43
Hình 3.3. Đường cong trước hồi qui 44
Hình 3.4. Đường cong trước và sau khi hồi qui 45
Hình 3.5. Bản đồ đẳng trị theo số liệu trên bảng 3.3 47
Hình 3.6. Bản đồ đẳng trị theo số liệu nội suy từ số liệu trên bảng 3.3 47
iii

Hình 3.7. Bản đồ đẳng trị theo số liệu nội suy từ số liệu trên bảng 3.4 49
Hình 3.8. Bản đồ đẳng trị theo số liệu nội suy từ số liệu trên bảng 3.5 51
Hình 3.9a. Bản đồ đảng trị mảng số liệu a 52
Hình 3.9b Bản đồ đảng trị mảng số liệu b 52
Hình 3.10. Dùng phương pháp nghich đảo khoảng cách với 2 số liệu hình 3.9 53
Hình 3.11. Dùng phương pháp Kriging với 2 số liệu hình 3.9 53
Hình 3.12. Dùng phương pháp độ cong tối thiểu với 2 số liệu hình 3.9 54
Hình 3.13. Dùng phương pháp Shepard với 2 số liệu hình 3.9 54
Hình 3.14. Dùng phương pháp lân cận gần nhất (Nearest neighbor) 55
Hình 3.15. Dùng phương pháp hàm xuyên tâm cơ bản (Radial Basic Function) 55
Hình 3.16. Dùng phương pháp trung bình cửa sổ trượt 56
Hình 3.17. Dùng phương pháp đa thức địa phương bậc 2 56
Hình 3.18. Dùng phương pháp đa thức địa phương bậc 3 57
Hình 3.19. Sơ đồ các điểm số liệu ban đầu trên 2 mảng số liệu hình 3.9 57

Hình 3.20. Dùng phương pháp nghịch đảo khoảng cách và Kriging 58
Hình 3.21. Dùng phương pháp độ cong nhỏ nhất và phương pháp Shepard 59
Hình 3.22.Phương pháp lân cận gần nhất và phương pháp xuyên tâm cơ bản. 59
Hình 3.23. Phương pháp nội suy đa thức bậc 2 và 3 59











iv

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Trang
Bảng 1.1. 5
Bảng 1.2. 8
Bảng 1.3. 11
Bảng 1.4. 15
Bảng 1.5. 20
Bảng 2.1. Ví dụ tệp số liệu chuẩn bị cho Grid 25
Bảng 3.1. Số liệu mô hình tuyến tính 42
Bảng 3.2. Số liệu mô hình phi tuyến 44
Bảng 3.3. Số liệu tính lý thuyết 46
Bảng 3.4. Số liệu tính lý thuyết được cắt bớt 48
Bảng 3.5. Số liệu đã cài nhiễu 50

Bảng 3.6. Hàm lượng chì khu vực X 58












3
MỞ ĐẦU

Xử lý số liệu là công việc không thể tránh khỏi trong công tác khảo sát,
thực nghiệm. Một trong những khâu xử lý số liệu là nội suy các giá trị theo
mạng lưới cần thiết. Toán học tính toán đã cung cấp cho lĩnh vực xử lý số liệu
rất nhiều thuật toán nội suy khác nhau. Việc tìm hiểu để ứng dụng một cách
hiệu quả những thuật toán này cũng là một bước quan trọng trong qui trình xử
lý số liệu. Tin học và máy tính phát triển cũng góp phần đẩy mạnh việc ứng
dụng những thuật toán phức tạp hơn, mạnh mẽ hơn. Các hãng sản xuất phần
mềm ngày càng đưa ra các phần mềm hoàn thiện hơn, chuyên nghiệp hơn để
phục vụ nhu cầu của các nhà xử lý. Cũng như nhiều quốc gia trên thế giới,
Việt Nam hàng năm đầu tư một khoản tiền khổng lồ cho công tác điều tra,
khảo sát nói chung. Một số lượng lớn thông tin được thu nhập, những thông
tin ấy đòi hỏi được xử lý tốt hơn, nhanh hơn, chính xác và rẻ hơn.
Những năm gần đây ở các Viện, các Trường, trong đó có Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, nhiều đơn vị của Trường đã đóng góp một phần đáng kể

trong nghiên cứu, xây dựng các bộ chương trình phục vụ công tác xử lý số
liệu. Lĩnh vực nghiên cứu Trái đất cũng như thăm dò khoáng sản rất quan tâm
và phát triển mảng nghiên cứu này.
Trong khuôn khổ của luận văn này , do thời gian có hạn và hạn chế về mặt
kiến thức, học viên được giao đề tài “Nghiên cứu thử nghiệm một số phương
pháp nội suy trong xử lý số liệu thực nghiệm”. Nội dung chính của bài luận
văn này là tóm tắt hệ thống các phép nội suy thông dụng, nhất là các phép nội
suy được cài đặt trong các phần mềm xử lý số liệu như bộ phần mềm
SURFER. Bản luận văn được chia làm ba phần: phần thứ nhất trình bày về
các phép nội suy dạng đường thông dụng, phần thứ hai trình bày về các phép


4
nội suy dạng mặt được cài đặt trong phần mềm SURFER. Phần cuối trình bày
một số kết quả thử nghiệm.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo ở bộ
môn Vật lý địa cầu. Xin cảm ơn các bạn cùng khóa đã tận tình giúp đỡ để
chúng tôi có thể hoàn thành luận văn này.

5
CHƯƠNG 1.
CÁC PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY THÔNG DỤNG

Một hàm f(x) bất kỳ có thể được biểu diễn bằng bảng số liệu, đồ thị hoặc
công thức. Nếu hàm được cho dưới dạng một công thức thì việc biểu diễn nó
dưới dạng bảng hay đồ thị là khá dễ dàng. Trong công tác đo đạc hay thực
nghiệm nói chung, hàm chỉ được cho dưới dạng bảng số liệu.
Giả sử hàm y=f(x) được cho dưới dạng bảng sau:
Bảng 1.1

Trong bảng trên, x
i
là đối số, y
i
là hàm số, i là chỉ số. Bài toán nội suy là việc
xác định giá trị hàm y ở những chỗ chưa có giá trị của đối số ở trong bảng
trên. Nếu hàm y=f(x) được cho dưới dạng công thức, khi ấy với mọi giá trị
đối số x ta đều có thể tính được hàm y. Trong trường hợp hàm cho dưới dạng
bảng như của chúng ta, bài toán nội suy có thể đặt ra như sau: Cho một số giá
trị hàm tại một số giá trị của đối số, cần xác định hàm trên toàn bộ đoạn có
chứa các giá trị đối số đã có giá trị hàm. Nói đơn giản hơn, nội suy là xác định

hàm tại vị trí không đo được hoặc chưa đo được dựa vào các giá trị đã đo
được xung quanh nó. Trong thực nghiệm nói chung và vật lý địa cầu nói
riêng, số liệu đo đạc là những bảng số liệu như bảng 1.1.
Bài toán nội suy rất quan trọng trong lĩnh vực mô hình hóa, xử lý số liệu
thực nghiệm, chuyển các hàm phức tạp sang dạng đơn giản thuận tiện hơn cho
các tính toán …


6
Cho đến ngày nay, tồn tại rất nhiều phương pháp giải bài toán nội suy. Có
thể phân loại [1,2,4,7] phương pháp theo độ chính xác tại các nút nội suy,
theo dạng hàm lựa chọn, theo thủ thuật toán học v.v…
1.1. Nội suy chính xác tại các điểm nút
Nội suy chính xác tại các điểm nút là phép nội suy sao cho giá trị hàm đã
có tại các điểm nút không bị thay đổi. Trên hình 1.1, các điểm tô đen là các
điểm đã cho của hàm, đường cong (x) được tính toán phải đi qua các điểm
này.

Hình 1.1. Mô tả phương pháp hồi qui chính xác tại các nút

Trong thực tế, người ta thường tìm hàm (x) dưới dạng đa thức bậc n
dạng y = a
0
+ a
1
x + a
1
x + a
2
x

2
+ ….+ a
n
x
n
vì những lý do:
- Một hàm bất kỳ có đạo hàm bậc n có thể khai chuyển thành chuỗi đa
thức
- Nội suy hàm đa thức sẽ đưa bài toán về việc giải hệ phương trình tuyến
tính
Giả sử hàm thực nghiệm cho dưới dạng bảng (như bảng 1.1), các giá trị y
0
,
y
1,
y
2 …
y
n
tương ứng với các đối số x
0
, x
1
, x
2
, … x
n
(gọi là các nút nội suy).

7
Khi ấy, các ẩn số (các hệ số của đa thức) a
0
, a
1
, a
2
, … a
n
của đa thức nội suy
sẽ được xác định thông qua việc giải hệ phương trình đại số (1.1)[7]:
(1.1)

Về mặt toán học, hệ phương trình (1.1) có nghiệm duy nhất, nghĩa là tồn tại
một đa thức bậc n, gọi là đa thức nội suy, đáp ứng điều kiện (x
i
) = y
i
( với i
= 1, 2, 3…n). Điều này cũng có nghĩa là trong mặt phẳng (x,y) tồn tại một
đường cong đi qua n+1 điểm và là biểu diễn của đa thức bậc n. Điều đó cũng
có nghĩa là nếu số điểm thực nghiệm là 2 thì qua 2 điểm đó có duy nhất một
đường thẳng y= a
0
+ a
1
x, nếu số điểm là 3 thì qua 3 điểm đó sẽ có parabol y=
a
0
+ a

1
x + a
2
x
2
.
Một điểm thú vị là ta có thể nhận được đa thức nội suy mà không phải giải
hệ (1.1). Đã có nhiều công thức có thể tìm các đa thức nội suy mà không phải
giải hệ phương trình nói trên (ví dụ công thức Lagrange, Newton, Gauss,
Bessel, Sterling …). Các công thức nội suy này được gọi là thông dụng theo ý
là chúng được trình bày trong nhiều tài liệu giáo khoa.
1.1.1. Nội suy Lagrange
Công thức Lagrange có dạng [1,2,4,7]:



8
(1.2)
Ta có thể kiểm định xem (1.2) có phải biểu thức cần tìm không. Tại nút x=x
0
,
tất cả các thành phần từ thứ 2 trở đi đều bằng không. Thành phần đầu tiên sau
rút gọn chỉ còn lại y
0
, như vậy y(x
0
)=y
0
. Tại nút x=x
1

, trừ thành phần thứ 2,
các thành phần khác bằng không, ta có y(x
1
)=y
1
. Tương tự với mọi nút, ta có
thẻ khẳng định (1.1) là đa thức cần tìm thích hợp.
Ví dụ 1.1: Cho bảng số liệu (bảng 1.2), nhiệm vụ là tìm đa thức nội suy và
tính giá trị hàm tại x=3 và x=5.
Bảng 1.2

Đưa các giá trị trong bảng 1.2 vào công thức (1.2) ta có:
(1.3)
Rút gọn (1.3) ta có y(x)= 1- 2x + 3x
2
, tại x=3 và x=5 ta tính được y(3)= 22,
y(5)=66.
Thế mạnh của nội suy Lagrange là áp dụng được cho cả trường hớp nút cách
đều và cách không đều.

1.1.2. Nội suy Newton
a. Trường hợp nút cách đều


9
Công thức nội suy Newton cho trường hợp nút cách đều có dạng
[1,2,7]:

(1.4)
Ở đây:

x
i
- các nút nội suy với chỉ số i=0, 1, 2, 3 …(n-1) có bước cách đều,
nghĩa là x
1
= x
0
+h, x
2
=x
1
+h, …, x
n-1
= x
n-2
=x
n-1
+h;
c
i
– các hệ số của công thức nội suy, với i = 0, 1, 2, 3 …n
Từ công thức (1.4) ta thấy hàm y(x) của công thức nội suy này cũng là một
đa thức bậc n , nhưng viết dưới dạng khác. Ta có thể xác định các hệ số c
i
:
Với x=x
0
, từ (1.4) ta thấy y(x
0
)=c

0
hay c
0
=y
0

Với x=x
1
ta có y(x
1
)= y
1
= c
0
+ c
1
(x
1
-x
0
) hay c
1
=(y
1
-c
0
)/(x
1
-x
0

)= (y
1
-y
0
)/(x
1
-
x
0
). Ta đặt y
1
-y
0
= Δy
0
, x
1
-x
0
=h sẽ nhận được c
1
= Δy
0
/h
Với x=x
2
thì y(x
2
)= y
2

= c
0
+ c
1
(x
2
-x
0
) + c
2
(x
2
-x
0
)(x
2
-x
1
) , đưa giá trị c
0
, c
1
vào
ta có:


Tiếp tục với các hệ số khác ta sẽ nhận được bieur thức tổng quát sau :
(1.5)
với k=1, 2, 3…n

10
Công thức cho hàm hồi qui Newton sẽ có dạng:
(1.6)
Công thức (1.6) có thể gọn hơn, đặt (x-x
0
)/h = t khi ấy:

Và công thức (1.6) có trở thành:

(1.7)
Theo khảo sát, nội suy theo công thức (1.7) cho sai số lớn dần về phần cuối
bảng số liệu, vì vậy, khi cần độ chính xác hơn ở đoạn cuối có thể sử dụng
công thức [7]:
(1.8)

Tương tự như biến đổi công thức (1.4), ta sẽ có được các hệ số C
i
:



11

Thay vào (1.8) ta có nhận được công thức (1.9):
(1.9)
Đặt (x- x
n
)/h = t và thay vào (1.9) ta có:

(1.10)
Công thức (1.9) và (1.10) được gọi là nội suy Newton lùi [7], công thức (1.6),
(1.7) gọi là nội suy Newton tiến. Ta xem xét một ví dụ áp dụng nội suy
Newton.
Ví dụ 1.2: Số liệu giả sử được trình bày trong bảng 1.3 sau:
Bảng 1.3
X
y
Δy
Δ
2
y
Δ
3
y

1 2 3 4 5 6
2 9 22 41 66 97
7 13 19 25 31
6 6 6 6
0 0 0




12
Bảng số liệu 1.3 thực chất là bảng 1.2 nhưng đầy đủ hơn, bài toán yêu cầu xác
định đa thức nội suy theo công thức nội suy Newton tiến. Theo dữ liệu đã
cho, ta có y
0

= 2, h=1 và các số gia được tính (đã tính trong bảng) Δy
0
=7, Δ
2
y
0

= 6, Δ
3
y = 0. Sử dụng công thức (1.6) ta có:

Lắp ráp số liệu từ bảng 1.3 ta nhận được:

Đơn giản hơn:

Như vậy đa thức vừa tìm được này hoàn toàn trùng với đa thức chúng ta nhận
được trong ví dụ 1.1 với nội suy Lagrange.
b. Trường hợp nút không cách đều:
Trư
ờng hợp các nút không cách đều (h ≠ const), công thức nội suy Newton
được đề xuất như sau [1,2,7]:
(1.11)
Về mặt hình thức, công thức này giống với công thức trong trường hợp nút
cách đều (1.4). Sự khác nhau là cách tính gia số σ
k
y
0
(với k =1, 2, 3…n).
- Các gia số bậc 1 có dạng:

- Các gia số bậc 2 có dạng:



13

- Dạng tổng quát :

(1.12)
Ta sẽ xem xét việc sử dụng công thức nội suy nút không cách đều (1.11) qua
ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1.3. Giả sử số liệu đã cho trong bảng 1.2 (như ví dụ 1.1). Ta tính các
gia số bậc 1 và 2.
- Các gia số bậc 1:


- Các gia số bậc 2:

Các gia số bậc 2 bằng nhau, không có đa thức bậc cao hơn, đa thức cần tìm
có bậc là 2. Đưa các gia số và số liệu trong bảng 1.2 vao (1.11) ta nhận được:

Kết quả nội suy trùng với kết quả trong các ví dụ phía trên.
1.1.3. Nội suy Gauss
Giả sử hàm thực nghiệm y(x) cho dưới dạng bảng có 2n+1 nút, các nút
cách đều nhau (h = x
i
– x
i-1
= const) :

14
Hàm nội suy Gauss cần tìm là đa thức với bậc không cao hơn 2n có dạng:
(1.13)
Ta phải xác định các hệ số c
i
của hàm (1.13):
- Khi x= x
0
ta có y(x
0
) = y
0
= c
0




Tiếp tục ta nhận được:

Đặt (x – x
0
) /h = t và đưa biến t vào (1.13) ta có:
(1.14)
Công thức (1.14) được gọi là công thức nội suy Gauss thứ nhất. Cũng như
nội suy Newton, còn có công thức nội suy Gauss thứ 2 như sau [7]:

15
(1.15)
Nội suy Gauss cũng như nội suy Newton được khuyến cáo dùng tốt cho
khoảng giữa của bảng số liệu [7]. Yếu điểm của nội suy này là chỉ dùng
trong trường hợp nút nội suy cách đều.

1.1.4. Nội suy Sterling
Công thức nội suy Sterling chính là trung bình của hai công thức Gauss
[7]. Nó có dạng sau:
(1.16)
Trong công thức trên t = (x – x
0
)/h . Nội suy Sterling vẫn có yếu điểm là
chỉ dùng được trong trường hợp nút cách đều.

1.1.5. Nội suy Bessel
Giả sử hàm y(x) cho dưới dạng bảng, có số nút là 2n + 2:

với bước cách đều h = x
i
– x
i-1
( i= -n … n+1). Công thức nội suy Bessel là
đa thức có bậc 2n+2 có dạng:


16
(1.16)
ở đây : t= ( x+x
0

)/h .
Công thức nội suy Bessel cũng chỉ sử dụng trong trường hợp nút cách đều.
1.1.6. Nội suy Spline
Có thể tăng độ chính xác đáng kể với một đa thức nội suy bậc không cao
trong từng khoảng (a,b) khá nhỏ. Đa thức nội suy đáp ứng yêu cầu như vậy
gọi là Spline.
Nội suy Spline trong những năm gần đây rất được quan tâm nghiên cứu
ứng dụng, rất nhiều ứng dụng có cài đặt nội suy Spline. Có Spline bậc 2, bậc
3 và đôi khi bậc 4, thông dụng nhất vẫn là bậc 3 [4, 7].
Ví dụ 1.4. Số liệu được cho trong bảng 1.3 dưới đây. Bài toán đặt ra là
tiến hành nội suy Spline bậc 3. Nhiều phần mềm hiện nay có cài đặt việc
giải bài toán nội suy Spline. Ví dụ này có thể giải quyết bằng phần mềm
Maple [7]. Kết quả được trình bày trên hình 1.2.
Bảng 1.3




17
1.2. Nội suy xấp xỉ tại các nút
Thông thường, kết quả đo trong thực nghiệm khó có thể nói là không có
sai số. Chính vì thế, việc định hướng tới sự chính xác tại các nút như các
phép nội suy đã nói phía trên không phải là thứ mà người xử lý số liệu lựa
chọn hàng đầu. Mong muốn hàng đầu vẫn là tìm một hàm biểu diễn được
mối quan hệ giữa x và y tốt nhất. Hàm số này thường được gọi là hàm thực
nghiệm, nó biểu diễn được qui luật biến đổi của hiện tượng, hầu hết là các
qui luật của vật lý. Hình 1.3 dưới đây là ví dụ về điểm thực nghiệm và
đường cong biểu diễn hàm thực nghiệm.

Hình 1.2. Kết quả nội suy Spline bằng phần mềm Maple

18

Hình 1.3. Ví dụ nội suy xấp xỉ
Trong hình trên, điểm tròn đen là giá trị thực nghiệm, 
i
là độ lệch giữa
giá trị đo và hàm nội suy, (x) là hàm thực nghiệm. Câu hỏi đặt ra là tiêu
chuẩn nào để lựa chọn hàm thực nghiệm. Có thể dựa vào các tiêu chuẩn sau
[7]:
- Trung bình của độ lệch nhỏ nhất, nghĩa là

- Tổng các bình phương độ lệch nhỏ nhất, nghĩa là

Trong lịch sử phát triển của khoa học tính toán và xử lý số liệu, phương
pháp nội suy xấp xỉ chia làm ba nhóm như sau [7]:
1.2.1. Phương pháp các điểm lựa chọn


19
Đây là phương pháp đơn giản, được sử dụng nhiều khi công cụ tính
toán còn yếu và thiếu. Bản chất của phương pháp này là việc lựa chọn “bằng
mắt” một đường cong lệch với thực nghiệm ít nhất. Chính vì vậy nên người
ta không thể lấy nhiều điểm cho việc này được. Sau khi chọn đường cong
thực nghiệm “xấp xỉ” nhất và dựa trên các điểm lựa chọn để viết các phương
trình. Giải hệ phương trình có được để xác định các hệ số của hàm nội suy
thực nghiệm. Điểm yếu tất nhiên của cách làm này là yếu tố chủ quan.
1.2.2. Phương pháp trung bình

Phương pháp này chỉ dựa trên tiêu chuẩn tổng các độ lệch (bậc nhất)
nhỏ nhất, nghĩa là:
(1.17)
Trong trường hợp hàm hồi qui chỉ có một hệ số (ví dụ (x)=ax) thì một
phương trình là đủ. Nhưng nếu cần xác định n hệ số của (x) thì cần có n
phương trình. Trong trường hợp này người ta chia khoảng trục x (chứa giá
trị thực nghiệm) thành n phần bằng nhau để có n phương trình. Có thể xem
xét qua ví dụ sau, giả sử hàm hồi qui được chọn là một parabol (x)= a
0
+
a
1
x + a
2
x
2
. Khi ấy 
i
= (x
i
) – y
i
. Hàm hồi qui có 3 hệ số (ẩn số ) phải tìm
nên ta chia số quan sát ra làm 3 phần với số điểm quan sát bằng k trong
khoảng thứ nhất, số điểm m trong khoảng 2 và số điểm n – (m + k) hay (n –
m – k) trong khoảng 3. Ta có 3 phương trình sau: