chuyên đề bồi dưỡng toán tiểu học lớp 4 lớp 5

Chuyên đề Bồi dưỡng Toán tiểu học

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng – 0125 868 0640 Page 1

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG
TOÁN LỚP 4-5

CHUYÊN ĐỀ 1:
LẬP SỐ - TÍNH TỔNG





Chuyên đề Bồi dưỡng Toán tiểu học

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng – 0125 868 0640 Page 2

I. Mở đầu
Đây là 1 dạng "người quen" mà ta thường gặp trong các bài tập về số tự nhiên ở lớp 4 và lớp 5.
Để làm tốt dạng này ta cần nắm chắc 1 vài kiến thức cơ bản sau:
- Chữ số 0 không đứng ở hàng cao nhất của 1 số tự nhiên
- Số chẵn có hàng đơn vị là 0; 2; 4; 6; 8
- Số lẻ có hàng đơn vị là 1; 3; 5; 7; 9
- Số chia hết cho 5 có hàng đơn vị là 0 hoặc 5
II. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính số lượng các số thỏa mãn điều kiện cho trước
Ở dạng bài này, chúng ta thường dùng 2 phương pháp: Liệt kê và sử dụng Quy tắc nhân
* Các bài tập mẫu:
Bài 1. Cho 4 chữ số 0, 3, 8 và 9. Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số
đã cho

Bài giải: Ở bài này ta có thể sử dụng phương pháp liệt kê, do chỉ có 4 chữ số nên số các số lập
được không quá nhiều. Chú ý rằng cần lập nên các số có 4 chữ số khác nhau nên ở mỗi số sẽ có
mặt đủ cả 0; 3; 8; 9
Chữ số 0 không đứng ở hàng nghìn, để viết được đầy đủ và tránh nhầm lẫn, ta bắt đầu viết các số
có chữ số 3 ở hàng nghìn trước:
Chọn 3 làm chữ số hàng nghìn, ta có các số : 3089; 3098; 3809; 3890; 3980; 3908. Tổng cộng
viết được 6 số
Tương tự với 2 chữ số 8 và 9 ở hàng nghìn, mỗi trường hợp ta cũng viết được 6 số
Số các số lập được là: 3 x 6 = 18 ( số )

Bài 2. Cho 5 chữ số 2; 4; 6; 7; 9. Lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã
cho ?
Bài giải:
Với những bài có nhiều chữ số, cách liệt kê như bài 1 không đem lại hiệu quả. Ta đi xét những
khả năng có thể có được ở mỗi hàng và sử dụng Quy tắc nhân.
Chuyên đề Bồi dưỡng Toán tiểu học

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng – 0125 868 0640 Page 3

Để đơn giản ta kí hiệu các số có 5 chữ số lập được có dạng abcde ( gạch trên đầu )
- Chữ số a có 5 cách chọn từ 5 chữ số đã cho
- Chữ số b có 4 cách chọn ( do đã mất 1 lượt chọn cho chữ số a)
- Chữ số c có 3 cách chọn ( do đã mất 1 lượt chọn cho a, 1 lượt cho b )
- Chữ số d có 2 cách chọn
- Chữ số e có 1 cách chọn
Sau đó, để tính số các số lập được ta đi nhân các số cách chọn với nhau
Số các số lập được là: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 ( số )

Bài 3. Cho 4 chữ số 0; 4; 5; 7. Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số từ 4 chữ số đã cho ?
Bài giải:

Ta kí hiệu các số có 4 chữ số lập được có dạng abcd ( gạch trên đầu )
Ở bài này xuất hiện chữ số 0, ta đã biết chữ số 0 không thể đứng ở hàng cao nhất, ngoài ra đề
cũng không yêu cầu các chữ số trong mỗi số phải khác nhau.
Vì vậy số cách chọn được tính như sau:
- Chữ số a có 3 cách chọn từ 4 chữ số đã cho ( loại bỏ trường hợp chữ số 0)
- Chữ số b có 4 cách chọn ( không cần trừ lượt chọn chữ số a do đề không yêu cầu các chữ số
khác nhau)
- Chữ số c có 4 cách chọn
- Chữ số d có 4 cách chọn
Số các số lập được là: 3 x 4 x 4 x 4 = 192 ( số )

Bài 4. Cho 5 chữ số 2; 4; 5; 7; 8. Lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số
đã cho ?
Bài giải::
Nếu như ở các bài trước ta thường tính số cách chọn từ chữ số hàng cao nhất đầu tiên thì ở bài
này cần để ý rằng, các số lập được là số chẵn, tức là hàng đơn vị phải chẵn. Vì vậy, ta cần tính số
lượt chọn ở hàng đơn vị trước

Chuyên đề Bồi dưỡng Toán tiểu học

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng – 0125 868 0640 Page 4

Ta kí hiệu các số có 4 chữ số lập được có dạng abcd ( gạch trên đầu )
- Chữ số d có 3 cách chọn ( là 2; 4 ; 8)
- Chữ số a có 4 cách chọn ( do đã mất 1 lượt chọn chữ số d)
- Chữ số b có 3 cách chọn
- Chữ số c có 2 cách chọn

Số các số lập được là: 3 x 4 x 3 x 2 = 72 ( số )

Bài 5. Cho 5 chữ số 0; 4; 5; 7; 8. Lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau từ 5 chữ số
đã cho ?
Bài giải:
Giống như bài 3, cần lập các số chẵn, tức là hàng đơn vị phải chẵn. Ta thấy hàng đơn vị có 3
cách chọn là 0; 4; 8. Nhưng nếu áp dụng nguyên xi cách làm như bài 4 thì sẽ dẫn đến kết quả sai,
nguyên nhân là chữ số 0 có thể đứng ở hàng đơn vị nhưng không thể đứng ở hàng đầu tiên.
Vì vậy, với những bài kiểu này, khi xét số cách chọn cho hàng đơn vị mà thấy xuất hiện cả chữ
số 0 thì ta cần chia làm 2 trường hợp. Cụ thể như sau:
Ta kí hiệu các số có 5 chữ số lập được có dạng abcde ( gạch trên đầu )
Xét 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: e = 0, ta có dạng abcd0
Lúc này chữ số a có 4 cách chọn, b có 3 cách chọn, c có 2 cách chọn và d có 1 cách chọn. Ở
trường hợp này ta lập được 4 x 3 x 2 x 1 = 24 ( số )

- Trường hợp 2: e khác 0, lúc này e sẽ có 2 cách chọn là 4 và 8
Chữ số a có 3 cách chọn ( do mất 1 lượt chọn e và a phải khác 0 ), b có 3 cách chọn, c có 2 cách
chọn và d có 1 cách chọn. Ở trường hợp này ta lập được 2 x 3 x 3 x 2 x 1 = 36 ( số )
Cộng cả 2 trường hợp, ta tìm được số các số lập được là: 24+36 = 60 (số)


Chuyên đề Bồi dưỡng Toán tiểu học

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng – 0125 868 0640 Page 5

Dạng 2: Tính tổng các số lập được thỏa mãn điều kiện cho trước
* Các bài tập mẫu:
Bài 1. Cho 3 chữ số 2, 3 và 5. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số mà mỗi số có đủ 3 chữ số đã cho.
Hỏi :
a, Lập được mấy số như thế
b, Mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng mấy lần?

c, Tính tổng các số.
Bài giải:
a, Ta lập được 6 số sau
235 325 523
253 352 532
b, Mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng 2 lần.
c, Tổng các số đó là :
(2 + 3 + 5) x 2 x 100 + (2 + 3 + 5) x 2 x 10 + (2 + 3 + 5) x 1
= 10 x 2 x (100 + 10 + 1)
= 10 x 2 x 111
= 2220
Chú ý: Bài toán này không khó, nhưng có thể thấy các câu hỏi b và c chính là 1 hướng gợi mở
trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến "Tính tổng các số lập được". Nguyên tắc làm
dạng này như sau:
- Tìm số các số lập được thỏa mãn đề bài
- Xét xem mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng bao nhiêu lần ( còn gọi là tìm số lần lặp )
- Thực hiện phép tính tính giá trị các chữ số ở mỗi hàng ứng với số lần lặp rồi cộng các kết quả
với nhau, ta được tổng các số lập được. (Ví dụ chữ số 5 đứng ở hàng nghìn 6 lần thì khi tính tổng
các số, giá trị chữ số 5 đem lại là 5 x 1000 x 6 )

Bài 2. Cho 4 chữ số 1, 2, 3, 4. Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số mà ở mỗi số có đủ 4 chữ số đẫ
cho. Tính tổng các số đó.

Chuyên đề Bồi dưỡng Toán tiểu học

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng – 0125 868 0640 Page 6

Bài giải:
Đầu tiên, dễ dàng tính được số các số lập được là: 4 x 3 x 2 x 1 =24 ( số )
Bây giờ cần xét xem mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng mấy lần. Lưu ý rằng đề bài không có chữ số

0, vì vậy tần suất xuất hiện của các chữ số ở các hàng như nhau và ta chỉ cần lấy số các số lập
được chia cho số chữ số để tính ra số lần lặp.
Mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng số lần là: 24 : 4 = 6 (lần)
Vậy tổng các số lập được :
(1 + 2 + 3 + 4) x 1000 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 100 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 10 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4)
x 1 x 6
= 10 x 6 x (1000 + 100 + 10 + 1)
= 60 x 1111
= 66660.

Bài 3. Cho 4 chữ số 0, 2, 3, 5. Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số mà ở mỗi số có đủ 4 chữ số đẫ
cho. Tính tổng các số đó.
Bài giải:
Bước 1: Số các số lập được là: 3 x 3 x 2 x 1 =18 ( số )
Bước 2: Tính số lần lặp. Ở bài toán này có xuất hiện chữ số 0, vì vậy không thể tính giống như
bài số 2. Cần để ý rằng khi tính số lần lặp ta không cần tính chữ số 0 mà chỉ tính cho 2,3,5 (vì 0
nhân lên bao nhiêu vẫn là 0 ). Ta lấy chữ số 2 làm ví dụ:
- Xét 2 đứng ở hàng nghìn, ta có số có dạng 2abc, dễ thấy a có 3 cách chọn ( sau khi bỏ 1 cách
chính là chữ số 2 ), b có 2 cách chọn và c có 1 cách chọn. Như vậy ta có 3 x2 x 1 = 6 ( số ) dạng
2abc, hay 2 sẽ đứng ở hàng nghìn 6 lần
- Xét 2 đứng ở hàng trăm, ta có số có dạng a2bc, dễ thấy a có 2 cách chọn ( sau khi bỏ 1 cách
chính là chữ số 2 và không chọn chữ số 0 ), b có 2 cách chọn và c có 1 cách chọn. Như vậy ta có
2 x2 x 1 = 4 ( số ) dạng 2abc, hay 2 sẽ đứng ở hàng trăm 4 lần
- Với hàng chục và đơn vị, ta cũng tính ra số lần lặp là 4 lần
Tương tự, chữ số 3 và 5 cũng đứng ở hàng nghìn 6 lần, các hàng còn lại mỗi hàng 4 lần
Bước 3: Tổng các số lập được là:
Chuyên đề Bồi dưỡng Toán tiểu học

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng – 0125 868 0640 Page 7

(2 + 3 + 5) x 1000 x 6 + (2 + 3 + 4) x 100 x 4 + (2 + 3 + 5) x 10 x 4 + (2 + 3 + 5) x 1 x 4
= 60000 + 4000 + 400 + 40
= 64440

Chú ý: Ta có thể tính số lần lặp bằng cách sau. Chỉ có các chữ số 2,3,5 đứng ở hàng nghìn, và
mỗi chữ số có số lần lặp như nhau nên số lần xuất hiện ở hàng nghìn của mỗi chữ số đó là: 18 : 3
= 6 ( lần )
Số lần xuất hiện ở các hàng còn lại là ( 18 - 6 ) : 3 = 4 ( lần )
Cách tính ở lời giải trên tuy dài hơn, nhưng lại rất hiệu quả trong những bài toán có điều kiện
phức tạp 1 chút, ví dụ như bài toán lập các số chẵn, số lẻ, số chia hết cho 5

Bài 4. Cho các chữ số a; 4; 6; 9. Từ 4 chữ số đó ta lập được 12 số có mặt đủ cả 4 chữ số đã cho.
Tìm a ?
Bài giải::
Bài tập này chữ số a chưa biết, vì vậy số các số lập được sẽ phụ thuộc vào giá trị của a. Như vậy
cần xét đầy đủ các khả năng có thể xảy ra của a
- Trường hợp 1: a = 0
Hàng nghìn có 3 cách chọn, hàng trăm có 3 cách chọn, hàng chục có 2 cách chọn, hàng đơn vị
có 1 cách chọn. Như vậy ta lập được 3 x 3 x 2 x 1 = 18 ( số ) - Không thỏa mãn đề bài
- Trường hợp 2: a khác 0 và khác cả các chữ số 4;6;9
Số các số lập được là : 4 x 3 x 2 x 1 = 24 ( số ) - Không thỏa mãn
- Trường hợp 3: a nhận giá trị là 1 trong 3 chữ số 4;6;9
Trong trường hợp này ta sẽ lập được 12 số ( có thể lấy ví dụ a = 4 rồi liệt kê )
Vậy a bằng 1 trong các số đã cho

Chú ý: Bài tập này rất nhiều người giải sai vì không hình dung ra đủ các trường hợp của a, đó là
khi xét a khác 0 và vẫn tính ra có 18 số ( tức là đã quên mất rằng trong trường hợp a khác 0 vẫn
còn 2 khả năng xảy ra, đó là bằng 1 trong các chữ số còn lại hoặc khác các chữ số còn lại ).
Bài toán này còn 1 hướng mở rộng thêm đó là:
Chuyên đề Bồi dưỡng Toán tiểu học

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng – 0125 868 0640 Page 8

Cho các chữ số x; 2; 5; 8. Từ 4 chữ số đó ta lập được 12 số có mặt đủ cả 4 chữ số đã cho có
tổng là 66 660. Tìm x ?
Đây là dạng bài kết hợp giữa bài số 4 ở trên và công thức tính tổng các số lập được.

III. Bài tập tự luyện
Bài 1. Từ 5 chữ số 1; 2; 6; 8; 9 lập được tất cả bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số?
Bài 2. Có bao nhiêu số có 6 chữ số dạng
abcabc
( trong đó các chữ số a, b, c khác nhau) ?|
Bài 3. Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà trong mỗi số có đúng 1 chữ số 2?
Bài 4. Từ 4 chữ số 0; 5; 6; 7 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà mỗi số đều chia
hết cho 5?
Bài 5. Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà trong mỗi số có ít nhất một chữ số 1?
Gợi ý: Để làm bài này ta chia làm 3 bước:
- Bước 1: Tính số các số có 4 chữ số
- Bước 2: Tính số các số có 4 chữ số mà trong mỗi số không có chữ số 1 (bài toán phủ định)
- Bước 3: Lấy kết quả bước 1 trừ đi kết quả ở bước 2
Bài 6. Cho 5 chữ số : 0, 2, 3, 5, 9. Hãy lập tất cả các số mà mỗi số có đủ 5 chữ số đã cho. Tính
tổng các số lập được.
Bài 7. Cho 4 chữ số : 1, 6, 6, 5. Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà mỗi số có đủ 4 chữ số đã
cho. Tính tổng các số lập được
Bài 8. Cho 5 chữ số : 0, 1, 3, 2, 5. Hãy lập tất cả các số có 5 chữ số chia hết cho 5 mà mỗi số có
đủ 5 chữ số đã cho. Tính tổng các số lập được.
Bài 9 : Cho 5 chữ số 0, 1, 4, 3, 8. Có thể viết được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ
số đã cho? Trong các số viết được có bao nhiêu số chẵn?
Bài 10. Cho các chữ số x; 2; 1; 7. Từ 4 chữ số đó ta lập được 18 số có mặt đủ cả 4 chữ số đã cho.
Tìm x? Tính tổng các số lập được

Bài 11. Cho 7 chữ số 0; 2; 1; 4; 5; 6; 8. Lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau từ các chữ
số trên biết mỗi số đều chia hết cho 15.