Các phương pháp giải cuộn và áp dụng giải cuộn phổ gamma

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ - VẬT LÝ KỸ THUẬT
CHUYÊN NGÀNH VẬT LÝ HẠT NHÂN
o0o
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Đề tài:
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI CUỘN VÀ
ÁP DỤNG GIẢI CUỘN PHỔ GAMMA
SVTH : Đặng Thị Thảo My
CBHD: TS. Trương Thị Hồng Loan
CBPB : ThS. Trịnh Hoa Lăng
TP HỒ CHÍ MINH - 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ - VẬT LÝ KỸ THUẬT
CHUYÊN NGÀNH VẬT LÝ HẠT NHÂN
o0o
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI CUỘN VÀ
ÁP DỤNG GIẢI CUỘN PHỔ GAMMA
TP HỒ CHÍ MINH - 2013
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, cô Trương Thị Hồng Loan đã luôn bên cạnh
giúp đỡ, cho em những lời khuyên quý báu không những về vấn đề chuyên môn mà còn
trong cuộc sống. Bên cạnh đó, thành quả của anh chị đi trước là những tài liệu quan
trọng hỗ trợ em thực hiện khóa luận này. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc
đến cô và các anh chị.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô bộ môn Vật lý Hạt
nhân đã giảng dạy cho em những bài học nền tảng và có tính ứng dụng cao để em có đủ
kiến thức thực hiện khóa luận này.

Em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè, những người luôn
bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa
luận tốt nghiệp.
Tp Hồ Chí Minh, ngày 16 tháng 06 năm 2013
Sinh viên
Đặng Thị Thảo My
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn 2
1.1 Xác suất và biến ngẫu nhiên[2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Hàm mật độ xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Véc tơ ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.6 Hiệp phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Thống kê và ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Lý thuyết mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Tổng thể nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Thống kê và các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 9
1.2.5 Ước lượng tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Bài toán giải cuộn[5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Tổng quan về giải cuộn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Bài toán giải cuộn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Phương pháp nghịch đảo ma trận đáp ứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Phương pháp chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Thuật toán giải cuộn Gold và thuật toán nội suy 23
2.1 Thuật toán giải cuộn Gold[4][7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Ma trận đáp ứng và thuật toán nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ii
2.2.1 Ma trận đáp ứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Thuật toán nội suy[4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Áp dụng giải cuộn Gold cho phổ gamma và xác định hoạt độ 29
3.1 Phép kiểm tra sự phù hợp của ma trận đáp ứng . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Giải cuộn Gold cho phổ gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 Giải cuộn Gold truyền thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2 Giải cuộn Gold boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.3 Giải cuộn với phổ đo được làm trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Áp dụng xác định hoạt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Kết luận 44
Tài liệu tham khảo 45
Phụ lục 46
iii
Danh sách hình vẽ
Hình 1.1 Biểu đồ tần số N(x) và biểu đồ tần suất f(x) . . . . . . . . . . . . . 5
Hình 1.2 Ước lượng
ˆ
θ là ước lượng không chệch của θ còn
ˆ
θ

là ước lượng
chệch của θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Hình 1.3 Các ước lượng
ˆ
θ và
ˆ
θ


là không chệch nhưng
ˆ
θ

là ước lượng hiệu quả
hơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Hình 1.4 (a) Phổ thực (giả thiết) µ, (b) phổ đo kỳ vọng ν = Rµ, . . . . . . . 19
Hình 2.1 Ma trận đáp ứng gamma với đường nét đậm là hàm đáp ứng mô
phỏng còn đường nét nhuyễn là hàm đáp ứng nội suy . . . . . . . . . 26
Hình 2.2 Ma trận đáp ứng được dùng trong xác định hoạt độ . . . . . . . . . 26
Hình 2.3 Minh họa nội suy hàm đáp ứng R
i
(E
i
, e) từ hai hàm đáp ứng
R
1
(E
1
, e) và R
2
(E
2
, e) với số vùng là 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Hình 3.1 So sánh phổ thực, phổ đo lý thuyết, và phổ đo thực nghiệm . . . . . 30
Hình 3.2 Đỉnh năng lượng 661 keV của phổ thực và phổ đo lý thuyết . . . . . 31
Hình 3.3 Phổ đo lý thuyết và phổ giải cuộn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Hình 3.4 Đỉnh năng lượng 345 keV của phổ giải cuộn Eu-152 ở các vòng lặp
khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Hình 3.5 Phổ giải cuộn của Cs-137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Hình 3.6 Phổ giải cuộn của Co-60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Hình 3.7 Phổ giải cuộn của Eu-152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Hình 3.8 Đỉnh năng lượng 345 keV được giải cuộn với các giá trị boost khác
nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Hình 3.9 Phổ giải cuộn sử dụng kỹ thuật boost của Eu-152 . . . . . . . . . . . 36
Hình 3.10 Các điểm biểu diễn tỷ số P/T, S/S

và S/S

boost theo năng lượng . 37
Hình 3.11 Phổ giải cuộn kết hợp làm trơn phổ Cs-137 . . . . . . . . . . . . . . 38
iv
Hình 3.12 Phổ giải cuộn kết hợp làm trơn phổ Co-60 . . . . . . . . . . . . . . . 39
Hình 3.13 Phổ giải cuộn kết hợp làm trơn phổ Eu-152 . . . . . . . . . . . . . . 39
Hình 3.14 Phổ tổng hợp Mix 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Hình 3.15 Phổ tổng hợp Mix 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Hình 3.16 Kết quả giải cuộn phổ Mix 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Hình 3.17 Kết quả giải cuộn phổ Mix 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
v
Danh sách bảng
Bảng 3.1 So sánh sự khác biệt giữa S/S

và P/T . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Bảng 3.2 So sánh S/S

và P/T cho trường hợp giải cuộn boost . . . . . . . . . 37
Bảng 3.3 Thứ tự của các thành phần trong ma trận đáp ứng và số đếm tổng
của chúng trước khi chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Bảng 3.4 Hệ số của các thành phần tham gia trong phổ đo . . . . . . . . . . . 40

Bảng 3.5 So sánh số đếm tổng của từng thành phần ở phổ Mix 1 và phổ giải
cuộn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Bảng 3.6 So sánh số đếm tổng của từng thành phần ở phổ Mix 4 và phổ giải
cuộn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
vi
Mở đầu
Xác suất thống kê đóng vai trò rất quan trọng trong hầu hết mọi ngành từ khoa học,
công nghệ, đến kinh tế, chính trị, y học. . . Đó là một lĩnh vực khoa học toán học liên
quan tới việc thu thập, phân tích và diễn giải hay giải thích và trình bày số liệu. Hiện nay,
rất nhiều chương trình hỗ trợ tính toán xử lý các số liệu thí nghiệm được sử dụng rộng
rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và đặc biệt là vật lý hạt nhân. Nhưng người sử dụng
cần phải hiểu được bản chất của các khái niệm, ý nghĩa của những thuật toán và các
công cụ mà xác suất thống kê đưa ra, thì mới có thể rút ra được những thông tin hữu ích
từ các kết quả thí nghiệm. Giải cuộn là công cụ mạnh mẽ được sử dụng phổ biến trong
việc xử lý tín hiệu, xử lý phổ cũng như xử lý hình ảnh. Nhiều phương pháp giải cuộn đã
được xây dựng trên nền tảng lý thuyết thống kê như: phương pháp giải cuộn chỉnh hóa,
phương pháp giải cuộn Bayes,
Hệ phổ kế gamma gần như là thiết bị không thể thiếu của nhiều phòng thí nghiệm hạt
nhân hiện đại, do khả năng ứng dụng cao của nó. Vì tính chất tương tác phức tạp của tia
gamma với vật chất khiến phổ gamma ghi nhận phụ thuộc rất lớn vào thiết bị. Dựa trên
thành công của việc mô phỏng hệ phổ kế HPGe bằng chương trình MCNP, thuật toán
giải cuộn đã được đưa vào áp dụng để nâng cao chất lượng phổ gamma đo từ hệ phổ kế
này cũng như áp dụng vào việc phân tích xác định hoạt độ phóng xạ tại bộ môn Vật lý
Hạt Nhân, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh.
Những khái niệm cần thiết trong xác suất thống kê, những kiến thức tổng quan về
giải cuộn, các thuật toán được sử dụng trong việc tiến hành giải cuộn phổ gamma và một
số kết quả giải cuộn được trình bày thông qua ba chương của khóa luận này:
• Chương 1: Tổng quan về xác suất thống kê và các phương pháp giải cuộn.
• Chương 2: Thuận toán nội suy và thuật toán giải cuộn Gold.
• Chương 3: Giải cuộn phổ gamma và áp dụng xác định hoạt độ.

1
Chương 1
Tổng quan về xác suất thống kê và
giải cuộn
Khi sử dụng thiết bị ghi nhận trong thí nghiệm, những ảnh hưởng của thiết bị ghi
nhận như độ phân giải, khả năng ghi nhận, các quá trình tương tác diễn ra trong thiết
bị làm sai lệch đi kết quả đo đạc mà ta quan tâm. Giải cuộn là một công cụ toán học
cho phép ta loại những ảnh hưởng của thiết bị ghi nhận ra khỏi kết quả đo đạc.
Thống kê đóng một vai trò quan trọng trong khoa học, như một công cụ cho phép ta
đánh giá bản chất bất định của số liệu đo được và ước lượng các tham số của tổng thể từ
các thống kê của mẫu. Giải cuộn có thể được xem như một bài toán ước lượng tham số.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm trong xác suất thống kê và kiến
thức tổng quan về giải cuộn.
1.1 Xác suất và biến ngẫu nhiên[2]
Trong thực tế ta thường nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên tức các thí nghiệm,
quan sát mà kết quả của nó không thể dự báo trước được. Ví dụ như khi ta thực hiện
phép thử tung xúc xắc hoặc trong lĩnh vực hạt nhân, xác định số phân rã của một nguồn
phóng xạ trong một khoảng thời gian nào đó, kết quả của chúng thay đổi từ lần thử này
sang lần thử khác cho nên việc dự đoán chắc chắn kết quả của một lần thử nào đó là
không thể. Một biến cố ngẫu nhiên (hay nói ngắn gọn là biến cố) là kết quả có thể của
một phép thử bị chi phối bởi một số quá trình ngẫu nhiên, như biến cố số chấm trên trên
mặt xúc xắc là 6 với phép thử tung xúc xắc. Mỗi biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép
thử được thực hiện. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp của phép thử được gọi là không
gian mẫu (ký hiệu Ω).
2
Chương 1. Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn
Việc biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không trong kết quả của một phép thử là điều
không thể biết hoặc đoán trước được. Tuy nhiên ta có thể định lượng khả năng xuất hiện
của biến cố nhờ vào khái niệm xác suất xuất hiện của biến cố. Lý thuyết xác suất đã có
lịch sử từ thế kỷ 17, nhiều định nghĩa khác nhau về xác suất đã được đưa ra. Riêng ở đây

ta sẽ sử dụng định nghĩa thống kê về xác suất, vì nó có thể áp dụng được khi số các kết
quả của phép thử vô hạn hoặc không đồng khả năng.
Giả sử phép thử có thể được thực hiện lặp lại nhiều lần độc lập trong những điều kiện
giống hệt nhau. Nếu trong n lần thực hiện phép thử, biến cố A xuất hiện k lần thì tỷ số:
f(A) =
k
n
(1.1)
được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử. Người ta chứng minh
được (định lý luật số lớn) khi n tăng lên vô hạn thì f(A) tiến đến một giới hạn xác định.
Ta định nghĩa giới hạn này là xác suất của biến cố A, ký hiệu P (A).
P (A) = lim
n→∞
f(A) (1.2)
Trên thực tế P (A) được tính xấp xỉ bởi tần suất f(A) khi n đủ lớn. Định nghĩa xác
suất theo thống kê hoàn toàn dựa trên các thí nghiệm quan sát thực tế để tìm xác suất
của biến cố. Tuy nhiên định nghĩa thống kê về xác suất chỉ áp dụng cho các phép thử mà
có thể lặp lại nhiều lần một cách độc lập trong những điều kiện giống nhau. Hơn nữa, để
xác định một cách tương đối chính xác giá trị của xác suất thì cần tiến hành một số n
đủ lớn lần các phép thử, mà việc này đôi khi không thể làm được vì hạn chế về thời gian
và việc lặp lại phép thử có thể gặp nhiều khó khăn.
Ngày nay, với sự phát triển của khoa học máy tính, ta có thể mô phỏng các phép thử
ngẫu nhiên mà không cần thực hiện các phép thử trong thực tế. Điều này cho phép tính
xác suất theo phương pháp thống kê dễ dàng hơn.
1.1.1 Xác suất có điều kiện
Định nghĩa xác suất có điều kiện
Xác suất của biến cố B được tính trong điều kiện biết rằng biến cố A đã xảy ra được
gọi là xác suất của B với điều kiện A. Ký hiệu P (B|A).
Nếu P (A) > 0 thì
P (B|A) =

P (AB)
P (A)
(1.3)
Trong đó P (AB) là xác suất để hai biến cố A và B cùng xảy ra.
3
Chương 1. Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn
Công thức Bayes
Nếu {A
1
, A
2
, , A
n
} là một hệ đầy đủ các biến cố. Với mọi biến cố B của cùng một
phép thử sao cho P (B) > 0 ta có:
P (A
k
|B) =
P (A
k
B)
P (B)
=
P (A
k
)P (B|A
k
)
n


i=1
P (A
i
)P (B|A
i
)
(1.4)
Trong thực tế các xác suất {P (A
1
), P (A
2
), , P (A
n
)} đã biết và được gọi là các xác suất
tiên nghiệm. Sau khi quan sát biết được biến cố B xảy ra, các xác suất của A
k
được tính
trên thông tin này (xác suất có điều kiện P (A
k
|B)) được gọi là xác suất hậu nghiệm. Vì
vậy công thức Bayes còn được gọi là công thức xác suất hậu nghiệm.
1.1.2 Biến ngẫu nhiên
Kết quả của một quá trình ngẫu nhiên được đặc trưng bởi biến ngẫu nhiên. Tùy theo
quá trình ngẫu nhiên mà biến ngẫu nhiên có thể liên tục hay rời rạc. Biến ngẫu nhiên x
là đại lượng nhận các giá trị nào đó phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên, nghĩa là với
mọi giá trị thực x ∈ R thì biến cố nhận được giá trị x là một biến cố ngẫu nhiên.
Như vậy đối với biến ngẫu nhiên người ta chỉ quan tâm xem nó nhận một giá trị nào
đó hoặc nhận giá trị trong một khoảng nào đó với một xác suất bao nhiêu.
Các biến ngẫu nhiên được phân thành hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục.
Biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó chỉ nhận một số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá

trị. Nghĩa là có thể liệt kê các giá trị thành một dãy x
1
, x
2
, Biến ngẫu nhiên liên tục
nếu các giá trị của nó có thể lấp đầy một hoặc một số các khoảng hữu hạn hoặc vô hạn.
Ví dụ như khi x là số nốt xuất hiện khi gieo một con xúc xắc thì x là biến ngẫu nhiên rời
rạc nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6. Còn sai số khi đo lường một đại lượng vật lý y nào đó
là biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị trong một khoảng.
1.1.3 Hàm mật độ xác suất
Xét một phép thử mà kết quả của nó được đặc trưng bởi một biến ngẫu nhiên liên
tục x. Không gian mẫu tương ứng tập hợp các giá trị mà x có thể nhận, và ta cần xác
định xác suất của một giá trị quan sát trong một khoảng vô cùng bé [x, x + dx]. Chúng
được xác định bởi hàm mật độ xác suất f(x).
Xác suất quan sát x trong khoảng [x, x + dx] = f(x)dx
Theo quan điểm thống kê về xác suất, f(x)dx là tỷ số số lần x được quan sát trong khoảng
[x, x +dx] trong giới hạn mà tổng số quan sát tiến về vô cùng. Hàm mật độ xác suất f(x)
4
Chương 1. Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn
được chuẩn hóa nên xác suất tổng là một:

S
f(x)dx = 1 (1.5)
Với vùng lấy tích phân S là toàn bộ miền giá trị của x, hay chính là toàn bộ không gian
mẫu.
Hình 1.1: Biểu đồ tần số N(x) và biểu đồ tần suất f(x)
Mối liên hệ giữa hàm mật độ xác suất f(x) hay tần số N(x) và tập n quan sát
x, x
1
, , x

n
có thể được biểu diễn dưới dạng biểu đồ tần số hay tần suất như Hình 1.1
(a) và (b). Trục x của biểu đồ tần số được chia thành m khoảng nhỏ với độ rộng ∆x
i
với
i = 1, . . . , m, ∆x
i
thường là các khoảng chia bằng nhau nhưng không nhất thiết. Số lần
xảy ra n
i
của x (hay số sự kiện) trong mỗi khoảng nhỏ i được thể hiện theo trục thẳng
đứng. Biểu đồ tần số được chuẩn hóa chính là biểu đồ tần suất biểu diễn hàm mật độ xác
suất f(x).
Trong những trường hợp biến ngẫu nhiên x chỉ nhận các giá trị rời rạc x
i
với i =
1, . . . , N và N có thể vô hạn. Xác suất tương ứng với chúng được biểu diễn như sau
Xác suất quan sát được giá trị x
i
= P (x
i
) = f
i
với i = 1, . . . , N và điều kiện chuẩn hóa là
N

i=1
f
i
= 1 (1.6)

5
Chương 1. Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn
1.1.4 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng
Giá trị kỳ vọng E[x] của một biến ngẫu nhiên x phân bố theo hàm mật độ xác suất
f(x) được định nghĩa là
E[x] =
+∞

−∞
xf(x)dx = µ (1.7)
Giá trị kỳ vọng của x mang ý nghĩa là trị trung bình của tổng thể hay đơn giản là giá trị
trung bình mà biến ngẫu nhiên x nhận được, thường được ký hiệu là µ. Chú ý rằng E[x]
không phải là hàm của x, mà chỉ phụ thuộc vào dạng hàm mật độ xác suất f(x). Nếu
hàm mật độ xác suất f(x) tập trung chủ yếu ở một vùng, thì E[x] đặc trưng cho phép
thử mà giá trị của x có khả năng xảy ra cao.
Nếu x rời rạc nhận các giá trị x
i
với xác suất tương ứng p
i
thì
E[x] =

i
x
i
p
i
(1.8)
Phương sai

Phương sai V [x] của một biến ngẫu nhiên là một độ đo sự phân tán thống kê của biến
đó, nó hàm ý các giá trị của biến đó thường ở cách giá trị kỳ vọng bao xa.
V [x] = E[(x − µ)
2
] (1.9)
Độ lệch chuẩn
Trong thống kê độ lệch chuẩn xác định mức độ ổn định của số liệu thống kê xoay
quanh giá trị trung bình . Giá trị của độ lệch chuẩn càng thấp thì mức độ ổn định của số
liệu càng lớn, dao động quanh giá trị trung bình càng nhỏ. Độ lệch chuẩn được tính bằng
căn bậc hai của phương sai.
σ =

E[(x − µ)
2
] (1.10)
1.1.5 Véc tơ ngẫu nhiên
Một bộ gồm n biến ngẫu nhiên (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) gọi là một véc tơ ngẫu nhiên n chiều.
Véc tơ ngẫu nhiên n chiều (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) là liên tục hay rời rạc nếu tất cả các biến ngẫu

nhiên thành phần x
1
, x
2
, . . . , x
n
là liên tục hay rời rạc.
6
Chương 1. Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn
1.1.6 Hiệp phương sai
Trong lý thuyết xác suất và thống kê, hiệp phương sai là độ đo sự biến thiên cùng
nhau của hai biến ngẫu nhiên (phân biệt với phương sai - đo mức độ biến thiên của một
biến).
Nếu hai biến có xu hướng thay đổi cùng nhau (nghĩa là, khi một biến có giá trị cao hơn
giá trị kỳ vọng thì biến kia có xu hướng cũng cao hơn giá trị kỳ vọng), thì hiệp phương
sai giữa hai biến này có giá trị dương. Mặt khác, nếu một biến nằm trên giá trị kì vọng
còn biến kia có xu hướng nằm dưới giá trị kì vọng, thì hiệp phương sai của hai biến này
có giá trị âm.
Hiệp phương sai giữa hai biến ngẫu nhiên giá trị thực x và y, với các giá trị kì vọng
E[x] = µ và E[y] = ν được định nghĩa như sau:
Cov[x, y] = E[(x − µ)(y − ν)] (1.11)
Công thức trên còn có thể được viết là:
Cov[x, y] = E[x · y] − µν (1.12)
Nếu x và y độc lập, thì
E[x · y] = E[x] · E[y] = µν (1.13)
nên hiệp phương sai của chúng bằng 0.
Cov[x, y] = µν − µν = 0 (1.14)
Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng, nếu x và y có hiệp phương sai bằng 0, hai biến
này không nhất thiết độc lập.
Đơn vị đo của hiệp phương sai Cov[x, y] là đơn vị của x nhân với đơn vị đo của y.

Trái lại, tương quan (correlation), đại lượng phụ thuộc vào hiệp phương sai, là một độ
đo không có đơn vị về sự phụ thuộc tuyến tính giữa các biến ngẫu nhiên. Các biến ngẫu
nhiên có hiệp phương sai bằng không được gọi là không tương quan (uncorrelated).
1.2 Thống kê và ước lượng
Thống kê toán là bộ môn toán học nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên
trên cơ sở thu thập và xử lý số liệu thống kê các kết quả quan sát về những hiện tượng
ngẫu nhiên. Nếu ta thu thập được tất cả các số liệu liên quan đến đối tượng cần nghiên
cứu thì ta có thể biết được đối tượng. Tuy nhiên trong thực tế điều đó không thể thực
hiện được vì quy mô của đối tượng nghiên cứu quá lớn hoặc trong quá trình nghiên cứu
đối tượng nghiên cứu bị phá hủy. Vì vậy việc lấy mẫu để nghiên cứu được sử dụng rất
phổ biến.
7
Chương 1. Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn
1.2.1 Lý thuyết mẫu
Nhiều bài toán trong thực tế dẫn đến nghiên cứu thuộc tính (về mặt định tính hay
định lượng) đặc trưng cho các phần tử của một tập hợp nào đó. Chẳng hạn nếu muốn
xác định phông phóng xạ của đất ở khu vực nào đó, ta không thể đo ở mọi vị trí của
vùng đó mà phải chọn một số vị trí đặc trưng để đo. Việc nghiên cứu toàn bộ các phần
tử của một tổng thể thường gặp những khó khăn sau:
- Do quy mô của tập hợp cần nghiên cứu quá lớn nên việc nghiên cứu toàn bộ đòi
hỏi nhiều chi phí và thời gian, có thể không kiểm soát được dẫn đến bị chồng chéo
hoặc bỏ sót.
- Trong nhiều trường hợp không thể nắm được toàn bộ các phần tử của tập hợp cần
nghiên cứu, do đó không thể tiến hành cho toàn bộ.
- Có thể trong quá trình nghiên cứu sẽ phá hủy đối tượng nghiên cứu. . .
Vì thế trong thực tế phương pháp nghiên cứu toàn bộ thường chỉ áp dụng đối với các tập
hợp có quy mô nhỏ, đối với trường hợp tổng thể lớn hay có thể vô hạn ta dùng phương
pháp nghiên cứu chọn mẫu.
1.2.2 Tổng thể nghiên cứu
Toàn bộ tập hợp các phần tử có mang cùng thuộc tính cần nghiên cứu (định tính hay

định lượng) nào đó được gọi là tổng thể, ký hiệu E.
Số lượng các phần tử của tổng thể được gọi là là kích thước của tổng thể, ký hiệu N.
Thường thì kích thước N của tổng thể là hữu hạn, song nếu tổng thể quá lớn hoặc không
thể nắm được toàn bộ tổng thể ta có thể giả thiết rằng kích thước của tổng thể là vô hạn.
Các phần tử của tổng thể được nghiên cứu thông qua các thuộc tính nghiên cứu.
Thuộc tính nghiên cứu này có thể được định tính hoặc định lượng. Nếu thuộc tính nghiên
cứu có tính định lượng, nghĩa là được thể hiện bằng cách cho tương ứng mỗi phần tử của
tổng thể E nhận một giá trị thực nào đó, thì thuộc tính này được gọi là một biến, ký
hiệu x. Bằng cách mô hình hóa ta có thể xem biến x là một biến ngẫu nhiên xác định
trên tổng thể E. Việc chọn ra từ tổng thể một tập con nào đó gọi là phép lấy mẫu. Tập
hợp con này được gọi là một mẫu.
Xét một tổng thể N phần tử có thuộc tính nghiên cứu x, trị trung bình µ và phương
sai σ
2
của tổng thể được tính như sau:
µ =
1
N
N

i=1
x
i
(1.15)
8
Chương 1. Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn
σ
2
=
1

N
N

i=1
(x
i
− µ)
2
(1.16)
1.2.3 Mẫu ngẫu nhiên
Một mẫu là mẫu ngẫu nhiên nếu trong phép lấy mẫu đó mỗi phần tử lấy từ tổng thể
được chọn một cách độc lập và có xác suất được chọn như nhau.
Giả sử các cá thể của tổng thể được nghiên cứu thông qua thuộc tính x. Mẫu ngẫu
nhiên kích thước n là một dãy gồm n biến ngẫu nhiên: x
1
, x
2
, . . . , x
n
độc lập cùng phân
bố với x, ký hiệu W = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
). Thực hiện một phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên
W chính là thực hiện một phép thử đối với mỗi phần tử của mẫu. Giả sử mỗi biến ngẫu
nhiên x
i

nhận một giá trị x
i
(i = 1, 2, . . . , n), khi đó các giá trị x
1
, x
2
, . . . , x
n
tạo thành
một bộ giá trị của mẫu ngẫu nhiên, hay gọi là một thể hiện của mẫu ngẫu nhiên, ký hiệu
w = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
).
1.2.4 Thống kê và các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên
Thống kê
Một thống kê của mẫu là một hàm của các biến ngẫu nhiên của phần tử mẫu. Thống
kê của mẫu ngẫu nhiên W = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) có dạng:
T = T (x
1
, x

2
, . . . , x
n
)
Như vậy thống kê T cũng là một biến ngẫu nhiên tuân theo một quy luật phân bố xác
suất nhất định và có các tham số đặc trưng kỳ vọng E[T ], phương sai V [T ]. . . mặt khác,
khi mẫu ngẫu nhiên nhận một giá trị cụ thể w = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) thì T cũng nhận một
giá trị cụ thể là T = T (x
1
, x
2
, . . . , x
n
).
Các thống kê cùng với quy luật phân bố của chúng mang thông tin tóm tắt để mô tả
một tập mẫu, từ đó gián tiếp mô tả thông tin của tổng thể mà ta nghiên cứu.
Trung bình mẫu
Trung bình mẫu của mẫu ngẫu nhiên W = (x
1
, x
2
, , x
n
) được định nghĩa là:

x =
1
n
n

i=1
x
i
(1.17)
Kỳ vọng của trung bình mẫu E(¯x) chính là trị trung bình của tổng thể µ
E(¯x) = µ (1.18)
9
Chương 1. Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn
Phương sai mẫu
Trong nhiều tình huống thực tế, giá trị chính xác của phương sai tổng thể σ
2
không
thể xác định trước được.
Phương pháp chung để ước lượng phương sai của một tổng thể (hữu hạn hoặc vô hạn)
là lấy một mẫu hữu hạn các cá thể từ tổng thể. Giả sử rằng mẫu thu được có các giá trị
đo được là x
1
, . . . , x
n
.
Phương sai của mẫu (gọi tắt là phương sai mẫu) (x
1
, . . . , x
n
), được tính bởi:

ˆs
2
=
1
n
n

i=1
(x
i
− x)
2
(1.19)
trong đó x là trung bình mẫu.
Tuy nhiên, ˆs
2
là một ước lượng chệch (biased) của phương sai tổng thể. Ước lượng sau
đây là một ước lượng không chệch (unbiased) của phương sai tổng thể.
s
2
=
1
n − 1
n

i=1
(x
i
− x)
2

(1.20)
Độ lệch chuẩn của mẫu, ký hiệu s, có thể được tính theo căn bậc hai của phương sai mẫu.
1.2.5 Ước lượng tham số
Xét một biến ngẫu nhiên x được mô tả bởi hàm mật độ xác suất f (x). Ở đây, không
gian mẫu là tập hợp tất cả các giá trị mà x có thể nhận. Lấy một mẫu kích thước n là
một tập gồm n quan sát độc lập của x. Ta có thể định nghĩa không gian mẫu mới là một
tập hợp tất cả các giá trị có thể cho véc tơ ngẫu nhiên n chiều x = (x
1
, . . . , x
n
). Do đó,
có thể xem toàn bộ phép thử bao gồm n phép đo như chỉ một phép thử ngẫu nhiên, được
đặc trưng bởi n đại lượng x
1
, . . . , x
n
. Vì ta đã giả sử rằng các quan sát đều độc lập với
nhau và mỗi x
i
được mô tả bởi một hàm mật độ xác suất f (x), nên hàm mật độ xác suất
đồng thời của mẫu f
m
(x
1
, . . . , x
n
) được tính theo:
f
m
(x

1
, x
n
) = f(x
1
)f(x
2
) f(x
n
) (1.21)
Mặc dù trong thực tế chiều của véc tơ ngẫu nhiên (tức số các phép đo) có thể rất lớn,
nhưng để đơn giản ta cho hàm mật độ xác suất của mẫu là tích của n hàm mật độ xác
suất có dạng đồng nhất. Trường hợp khi ta thực hiện n phép thử với một biến ngẫu nhiên
x mà hàm mật độ xác suất f(x) của nó chưa biết. Vấn đề chính của thống kê là tìm ra
các đặc trưng của hàm f(x) dựa trên các quan sát x
1
, . . . , x
n
. Rõ ràng, ta cần xây dựng
các hàm thống kê của x
i
để ước lượng cho các đặc trưng của hàm mật độ xác suất f(x).
Thông thường hàm mật độ xác suất f(x; θ) phụ thuộc vào một tham số chưa biết θ (hay
10
Chương 1. Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn
nhiều tham số). Mục tiêu của ta là xây dựng một hàm của giá trị quan sát x
i
để ước
lượng các tham số chưa biết. Trong trường hợp hàm mật độ xác suất là hàm phân phối
Poisson:

f(x, θ) =
e
λ
λ
x
x!
(1.22)
thì θ = λ với λ > 0.
Như đã trình bày, một hàm của các phép đo x
1
, , x
n
(không chứa bất kỳ tham số
chưa biết nào) được gọi là một thống kê. Các thống kê đặc trưng cho mẫu, còn các tham
số đặc trưng cho tổng thể. Một thống kê được sử dụng để ước lượng một tham số nào đó
của hàm mật độ xác suất (như trị trung bình, phương sai hay các tham số khác) thì gọi
là một ước lượng. Ước lượng cho đại lượng θ được ký hiệu
ˆ
θ, để phân biệt với θ.
Ước lượng (Estimator) và giá trị ước lượng (Estimate)
Ước lượng của tham số θ của tổng thể ký hiệu là
ˆ
θ. Dựa vào mẫu (x
1
, . . . , x
n
) ta xây
dựng hàm
ˆ
θ =

ˆ
θ(x
1
, . . . , x
n
) để ước lượng cho θ,
ˆ
θ được gọi là hàm ước lượng của θ và gọi
tắt là ước lượng của θ. Ước lượng
ˆ
θ chỉ phụ thuộc vào giá trị quan sát x
1
, x
2
, . . . , x
n
chứ
không phụ thuộc vào các tham số chưa biết θ của tổng thể.
Giá trị ước lượng là giá trị cụ thể của ước lượng
ˆ
θ và được xem như giá trị ước lượng
của tham số θ của tổng thể.
Các tiêu chuẩn ước lượng
Vì một ước lượng
ˆ
θ(x
1
, x
2
. . . , x

n
) là một hàm của các giá trị đo được, nên bản thân
nó là một biến ngẫu nhiên. Do vậy, nếu toàn bộ thí nghiệm được thực hiện nhiều lần, mỗi
lần với một mẫu mới x = (x
1
, , x
n
) với kích thước n, ước lượng
ˆ
θ(x) sẽ nhận các giá trị
khác nhau, phân bố theo hàm mật độ xác suất g(
ˆ
θ; θ), và phụ thuộc một cách tổng quát
vào giá trị θ. Hàm phân bố xác suất của một thống kê được gọi là phân bố mẫu. Do đó
giá trị của ước lượng là một biến ngẫu nhiên có các đặc trưng như kỳ vọng và phương
sai. Hay nói cách khác giá trị ước lượng có thể dao động tùy theo mẫu, nó có ít khả năng
để có thể bằng chính xác giá trị mà nó ước lượng. Để có thể lựa chọn được giá trị ước
lượng phù hợp với các tiêu chí trong những trường hợp cụ thể, ta dựa vào các đánh giá
như: độ chệch, tính hiệu quả, tính nhất quán
Giá trị kỳ vọng của một ước lượng
ˆ
θ với hàm mật độ xác suất mẫu g(
ˆ
θ; θ) được tính
như sau
E[
ˆ
θ(x)] =

ˆ

θg(
ˆ
θ; θ)d
ˆ
θ
=

. . .

ˆ
θ(x)f(x
1
; θ) . . . f(x
n
; θ)dx
1
. . . dx
n
(1.23)
11
Chương 1. Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn
Ước lượng không chệch: ước lượng
ˆ
θ được gọi là ước lượng không chệch của tham số
thống kê θ nếu kỳ vọng của
ˆ
θ là θ.
E[
ˆ
θ] = θ (1.24)

Nếu
ˆ
θ là ước lượng chệch của θ (E[
ˆ
θ] = θ) thì độ sai khác:
b = E[
ˆ
θ] − θ (1.25)
gọi là độ chệch (Bias) của ước lượng.
Trung bình của x được ước lượng bởi:
x =
1
n
n

i=1
x
i
đây là ước lượng không chệch (unbiased), nghĩa là E[x] = µ.
Hình 1.2: Ước lượng
ˆ
θ là ước lượng không chệch của θ còn
ˆ
θ

là ước lượng chệch của θ
Ước lượng hiệu quả: gọi
ˆ
θ
1

và
ˆ
θ
2
là hai ước lượng không chệch của θ dựa trên số lượng
của mẫu quan sát giống nhau. Ước lượng
ˆ
θ
1
được gọi là hiệu quả hơn ước lượng
ˆ
θ
2
nếu:
V [
ˆ
θ
1
] < V [
ˆ
θ
2
] (1.26)
và hiệu quả tương đối giữa hai ước lượng là tỷ số giữa hai phương sai của chúng. Nếu
ˆ
θ là
ước lượng không chệch của θ và không có một lượng không chệch nào có phương sai nhỏ
hơn phương sai của
ˆ
θ thì

ˆ
θ được gọi là ước lượng tốt nhất (Best Estimator) hay
ˆ
θ còn
gọi là ước lượng không chệch có phương sai nhỏ nhất của θ (Minimum Variance Unbiased
Estimator).
12
Chương 1. Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn
Hình 1.3: Các ước lượng
ˆ
θ và
ˆ
θ

là không chệch nhưng
ˆ
θ

là ước lượng hiệu quả hơn
Sai số bình phương trung bình (Mean Squared Error - MSE): được định nghĩa
như sau:
MSE[
ˆ
θ] = E[(
ˆ
θ − θ)
2
] = V [
ˆ
θ] + b

2
(1.27)
Khi độ chệch bằng không thì:
MSE[
ˆ
θ] = V [
ˆ
θ] (1.28)
Trong một số trường hợp, ước lượng
ˆ
θ là ước lượng chệch (với độ chệch nhỏ), nhưng lại
có phương sai nhỏ hơn các ước lượng không chệch. Khi đó ta vẫn có thể chọn
ˆ
θ dù nó là
ước lượng chệch nhưng độ phân tán của nó nhỏ hơn nhiều so với các ước lượng kia.
Ước lượng nhất quán: ước lượng
ˆ
θ =
ˆ
θ(x
1
, . . . , x
n
) gọi là ước lượng nhất quán của θ
khi với mọi ε > 0 luôn có:
lim
n→∞
P





ˆ
θ − θ



< ε

= 1 (1.29)
nghĩa là
ˆ
θ hội tụ theo xác suất tới θ khi n → ∞.
Trong quá trình nghiên cứu, có thể xuất hiện giá trị bất thường và để giá trị bất
thường này không ảnh hưởng quá nhiều đến giá trị ước lượng ta chọn ước lượng nhất
quán.
1.3 Bài toán giải cuộn[5]
1.3.1 Tổng quan về giải cuộn
Trong các thí nghiệm vật lý, ta thường tiến hành xác định phân bố f(x) của một đại
lượng là biến ngẫu nhiên x. Với một thiết bị ghi nhận lý tưởng ta có thể ghi nhận x ứng
với mỗi sự kiện diễn ra và xác định được phân bố f(x) bằng phổ của x. Nhưng với các
thiết bị ghi nhận thực tế việc xác định phân bố f(x) rất phức tạp bởi các ảnh hưởng sau
đây của thiết bị ghi:
13
Chương 1. Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn
• Giới hạn ghi nhận: Xác suất để ghi nhận được một sự kiện (khả năng ghi nhận
của đầu dò) luôn nhỏ hơn 1. Khả năng ghi nhận phụ thuộc vào giá trị của biến ngẫu
nhiên x.
• Biến đổi giá trị cần ghi nhận: Thay vì ghi nhận được x thì ghi nhận được một
đại lượng khác có liên quan là y. Sự biến đổi đại lượng x thành y do các quá trình

tương tác diễn ra trong khi ghi nhận sự kiện của đầu dò.
• Hạn chế phân giải: Đại lượng đo được y bị “nhòe” đi do giới hạn của độ phân
giải (hay giới hạn về độ chính xác đo đạc) của đầu dò. Do đó biến ngẫu nhiên x và
đại lượng đo được y chỉ có liên hệ thống kê với nhau.
Các nguyên nhân trên làm cho việc ghi nhận x khác biệt một cách ngẫu nhiên với giá trị
thực sự của nó, và do đó làm sai lệch phân bố mà ta cần tìm. Việc loại bỏ các sai lệch
trên khỏi phân bố được ghi nhận và xây dựng lại phân bố mà ta nghiên cứu gọi là giải
cuộn, ngoài ra nó còn được gọi là bài toán ngược, giải chập trong toán học hay khử nhòe
trong xử lý hình ảnh.
Cần nhấn mạnh là trong nhiều trường hợp ta không cần giải cuộn các phân bố bị sai
lệch. Chẳng hạn như khi cần so sánh kết quả với dự đoán lý thuyết. Trong những trường
hợp đó ta chỉ cần hiệu chỉnh sự sai lệch của thiết bị vào dự đoán lý thuyết rồi so sánh
trực tiếp với kết quả đo. Cách làm này đơn giản hơn nhiều so với việc giải cuộn kết quả
đo rồi so sánh với dự đoán lý thuyết ban đầu.
Tuy nhiên, không giải cuộn thì không thể so sánh kết quả đo bằng thiết bị này với các
kết quả của các thí nghiệm sử dụng thiết bị khác vì hàm đáp ứng của thiết bị khác nhau.
Tương tự khi nghiên cứu vấn đề nào đó phải thực hiện thí nghiệm trong nhiều năm, hàm
đáp ứng của thiết bị thay đổi đi nên ta không thể so sánh các kết quả thí nghiệm với
nhau. Việc lưu giữ lại kết quả đo cùng với hàm đáp ứng tương ứng thường rất khó thực
hiện hay không khả thi. Áp dụng giải cuộn ta có thể so sánh các kết quả được ghi nhận
từ các thiết bị khác nhau cũng như so sánh kết quả giải cuộn với mô hình dự đoán lý
thuyết.
1.3.2 Bài toán giải cuộn
Trong các thí nghiệm vật lý hạt nhân, ta thường tiến hành xác định phân bố f(x)
của một đại lượng là biến ngẫu nhiên x, ví dụ như phân bố năng lượng của điện tử do
quá trình phân rã beta của hạt nhân phóng xạ gây ra thì biến x là năng lượng của điện
tử được phát ra. Với một thiết bị ghi nhận lý tưởng ta có thể ghi nhận x ứng với mỗi sự
kiện diễn ra và xác định được phân bố f(x) bằng phổ của x. Nhưng do ảnh hưởng của
việc ghi nhận giá trị đo được của x khác biệt một cách ngẫu nhiên với giá trị thực sự của
14

Chương 1. Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn
nó. Do đó mỗi sự kiện quan sát được đặc trưng bởi hai đại lượng: giá trị thực x (mà ta
không không biết) và giá trị ghi nhận được (hay đo được) y.
Chú ý rằng có thể một sự kiện nào đó diễn ra nhưng không được ghi nhận. Với ví dụ
phân rã beta, một điện tử được sinh ra có thể hoàn toàn không được ghi nhận do đầu dò
không nhìn được toàn bộ góc khối của nguồn phóng xạ, hoặc do năng lượng điện tử dưới
ngưỡng không tạo ra đủ tín hiệu để có thể ghi nhận. Xác suất để một sự kiện cho ta một
giá trị đo nào đó chính là hiệu suất ghi nhận ε (x) và phụ thuộc vào giá trị thực của x.
Giả sử các giá trị thực tuân theo hàm phân bố xác suất f
true
(x). Để xây dựng một ước
lượng có thể sử dụng được cho f
true
(x), ta cần đặt một bộ hữu hạn các tham số tượng
trưng cho nó. Nếu không biết trước dạng hàm của f
true
(x) thì nó có thể được mô tả như
một biểu đồ tần suất hay phổ được chuẩn hóa có M kênh. Xác suất để tìm x ở kênh j
bằng tích phân hàm f
true
trên toàn kênh j.
p
j
=

kênh j
f
true
(x) dx (1.30)
Giả sử ta thực hiện một thí nghiệm trong đó có một số sự kiện xảy ra nhất định là

m
tot
khác với số sự kiện ghi nhận được. Số sự kiện m
tot
có thể được xem là biến không
đổi hoặc biến ngẫu nhiên. Gọi giá trị kỳ vọng của tổng số sự kiện là µ
tot
= E[m
tot
], do
đó số sự kiện kỳ vọng ở kênh j là:
µ
j
= µ
tot
p
j
(1.31)
Ta xem véc tơ µ = (µ
1
, , µ
M
) như “phổ thực”, nhưng chúng không phải là số sự kiện
thực trong các kênh mà là giá trị kỳ vọng nên µ
i
không nhất thiết nguyên. Ví dụ ta có
thể xem số sự kiện thực ở kênh i như một biến ngẫu nhiên m
i
có trị trung bình µ
i

. Tuy
nhiên, ta không thể có m
i
một cách trực tiếp do ảnh hưởng của thiết bị ghi. Vì vậy, ta sẽ
xây dựng các ước lượng cho các tham số µ
i
.
Tương tự như vậy, ta cũng xây dựng phổ của các giá trị đo. Giả sử với một mẫu các
giá trị đo y có phân bố g(y) được mô tả bởi một phổ có N kênh tương ứng với véc tơ
ngẫu nhiên n = (n
1
, , n
N
). Tổng quát, số kênh N có thể lớn hơn hoặc bằng số kênh M
của phổ thực. Giả sử kênh thứ i có n
i
sự kiện, và như vậy tổng số sự kiện là

i
n
i
= n
tot
.
Thường ta xem các biến n
i
là biến độc lập Poisson với giá trị kỳ vọng là ν
i
. Do vậy, xác
suất để quan sát được n

i
sự kiện ở kênh i được xác định bởi
P (n
i
; ν
i
) =
ν
n
i
i
e
−ν
i
n
i
!
(1.32)
Vì tổng của các biến Poisson cũng là biến Poisson, nên n
tot
cũng tuân theo phân bố
Poisson với giá trị kỳ vọng ν
tot
=

i
ν
i
. n
tot

được xem như một tham số không đổi, và n
i
tuân theo một phân bố đa chiều. Dù tuân theo phân bố nào đi nữa, ta gọi các giá trị kỳ
vọng của chúng là:
ν
i
= E[n
i
] (1.33)
15
Chương 1. Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn
Dạng của phân bố xác suất của bộ dữ liệu n = (n
1
, , n
N
)(có thể là Poisson, đa thức, )
cần cho việc xây dựng hàm cơ hội cực đại, và được sử dụng trong giải cuộn bằng phương
pháp cơ hội cực đại. Hay ta có thể có ma trận hiệp phương sai:
V
ij
= Cov[n
i
, n
j
] (1.34)
cần cho các phương pháp dựa trên nguyên lý bình phương tối thiểu.
Mối liên hệ giữa phân bố thực f(x) và phân bố đo g(y) được biểu diễn như sau:
g(y) =

r(y|x)f (x)dx (1.35)

Hàm r(y|x) gọi là hàm đáp ứng đặc trưng cho ảnh hưởng của thiết bị ghi. Với giá trị
x = x
0
cho trước, hàm r(y|x
0
) mô tả phân bố của giá trị thực x
0
theo giá trị đo y. Bài
toán giải cuộn chính là đi xây dựng lại phân bố f(x) từ phân bố ghi nhận được g(y). Việc
giải cuộn đòi hỏi phải có hàm đáp ứng r(y|x) nghĩa là cần phải biết rõ về các ảnh hưởng
của thiết bị ghi. Khi các phân bố của x và y được biểu diễn dưới dạng phổ hay nhận các
giá trị rời rạc, phương trình (1.35) có thể chuyển thành phương trình tuyến tính như sau:
ν = Rµ (1.36)








ν
1
ν
2
.
.
.
ν
N









=








R
11
R
12
· · · R
1M
R
21
R
22
· · · R
2M
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
R
N1
R
N2
· · · R
NM

















µ
1
µ
2
.
.
.
µ
M








ν
i
=
M

j=1
R
ij
µ
j

(1.37)
R là ma trận đáp ứng, các thành phần của nó R
ij
là xác suất có điều kiện để một sự kiện
được tìm thấy với giá trị đo y ở kênh i khi xảy ra giá trị thật x ở kênh j.
R
ij
= P (ghi nhận ở kênh i|giá trị thực ở kênh j) (1.38)
Ảnh hưởng của các thành phần ngoài đường chéo của R là làm sai lệch đi dạng ban đầu.
Một đỉnh trong phổ thực tập trung chủ yếu ở một kênh sẽ được ghi nhận ở nhiều kênh
khác nhau. Hai đỉnh tách biệt bởi vài kênh sẽ bị chồng chập thành một đỉnh rộng hơn.
Trong thực tế, ta phải chú ý đến khả năng thiết bị ghi nhận được giá trị trong khi
không có sự kiện thực nào xảy ra, các giá trị này được xem như đóng góp của phông.
Như trường hợp phân rã beta, nó có thể là kết quả của tín hiệu giả trong đầu dò, sự hiện
diện của các nhân phóng xạ trong mẫu mà ta không quan tâm, tương tác do các hạt từ
bên ngoài thiết bị như bức xạ vũ trụ, Giả sử rằng ta có giá trị kỳ vọng β
i
của các sự
16
Chương 1. Tổng quan về xác suất thống kê và giải cuộn
kiện được ghi nhận ở kênh i do phông sinh ra, như vậy ta bổ sung thêm véc tơ phông
β = (β
1
, , β
N
) vào vế phải phương trình (1.36).
ν = Rµ + β (1.39)









ν
1
ν
2
.
.
.
ν
N








=









R
11
R
12
· · · R
1M
R
21
R
22
· · · R
2M
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
R
N1
R
N2
· · · R

NM
















µ
1
µ
2
.
.
.
µ
M









+








β
1
β
2
.
.
.
β
N









ν
i
=
M

j=1
R
ij
µ
j
+ β
i
(1.40)
Ma trận đáp ứng R
ij
trong trường hợp tổng quát không đối xứng và cũng không vuông,
với các chỉ số thứ nhất i = 1, , N chỉ số kênh của phổ đo và chỉ số thứ hai j = 1, , M
chỉ kênh của phổ thực. Lấy tổng toàn bộ các kênh theo chỉ số thứ nhất ta được hiệu suất
ghi nhận của kênh j.
N

i=1
R
ij
= ε
j
(1.41)
Để ý rằng β
i
cũng chịu những ảnh hưởng như giới hạn phân giải và hiệu suất của đầu

dò. Chúng thường được xác định bằng các thí nghiệm chuẩn hoặc từ mô phỏng Monte
Carlo cho cả các quá trình phông và đáp ứng của đầu dò. Các giá trị β
i
coi như đã biết dù
trong thực nghiệm nó chỉ đúng với một độ chính xác nhất định. Sự bất định của phông
cũng là một nguyên nhân gây ra sai số hệ thống trong kết quả giải cuộn.
Tóm lại, ta có các véc tơ ngẫu nhiên sau:
(1) phổ thực (giá trị kỳ vọng của số các sự kiện thực trong mỗi kênh) µ = (µ
1
, , µ
M
)
(2) phổ thực được chuẩn hóa (tức xác suất) p = (p
1
, , p
M
) = µ/µ
tot
(3) kỳ vọng của phổ đo ν = (ν
1
, , ν
N
)
(4) phổ đo đạc thực nghiệm (dữ liệu) n = (n
1
, , n
N
)
(5) hiệu suất ε = (ε
1

, , ε
N
)
(6) và kỳ vọng của phổ phông β = (β
1
, , β
N
)
Ma trận đáp ứng R
ij
có i = 1, , N là chỉ số kênh của phổ đo và j = 1, , M là chỉ
số kênh của phổ thực, ta cũng giả sử là biết R và β. Các vector µ, ν, β và ma trận R có
liên hệ theo phương trình (1.39) với µ, ν và β có dạng véc tơ cột. Mục đích của ta là xây
dựng các ước lượng ˆµ hay ước lượng xác suất ˆp cho phổ thực.
17