giúp học sinh học tốt phần tỉ lệ thức môn toán lớp 7
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (352.08 KB, 32 trang )
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 1
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm :
GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHẦN TỈ LỆ THỨC
MÔN TOÁN LỚP 7
Họ và tên : Nguyễn Việt Phương.
Chức vụ : Giáo viên.
Đơn vị : Trường THCS Cát Linh.
Trình độ chuyên môn :ĐH.
Bộ môn giảng dạy : Toán-Tin
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 2
MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ :
I. TÊN ĐỀ TÀI.
II. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
III. THỜI GIAN, PHẠM VI, ĐỐI TƯỢNG.
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO.
B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI :
I. KHẢO SÁT THỰC TẾ.
II. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
Dạng 1 : Tìm x,y,z.
Dạng 2 : Chứng minh tỷ lệ thức.
Dạng 3 : Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và tỷ lệ nghịch.
Dạng 4 : Chuyển động
Dạng 5 : Hình học.
C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN VÀ KẾT LUẬN :
I. KẾT QUẢ.
II. KẾT LUẬN.
D. THAY CHO LỜI KẾT.
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 3
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Qua thời gian giảng dạy môn toán lớp 7, và các tiết dự giờ đồng nghiệp ở
trường, bản thân tôi nhận thấy như sau :
Với các dạng toán tỷ lệ thức tôi thấy chưa hệ thống hóa được các dạng bài
tập, chưa đưa ra được nhiều hướng suy luận khác nhau của một bài toán và chưa
đưa ra các phương pháp giải khác nhau của cùng một bài toán để kích thích sáng
tạo của học sinh . Về tiết luyện tập giáo viên thường đưa ra một số bài tập rồi cho
học sinh lên chữa hoặc giáo viên chữa cho học sinh chép . Và đưa ra nhiều bài
tập càng khó thì càng tốt. Trong nhiều trường hợp thì kết quả dẫn đến ngược lại,
học sinh cảm thấy nặng nề, không tin tưởng vào bản thân mình dẫn đến tình trạng
chán học.
Vì vậy giáo viên cần phải có phương pháp giải bài tập theo dạng và có
hướng dẫn giải bài tập theo nhiều cách khác nhau. Nếu bài toán đó cho phép. Mỗi
dạng toán có phương pháp giải riêng để giải bài tập nhằm hình thành tư duy toán
học cho học sinh, cung cấp cho học sinh những kĩ năng thích hợp để giải quyết
bài toán một cách thích hợp.
Học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thụ động, chưa tìm ra cách giải cho
từng dạng toán cụ thể, không có tính sáng tạo trong làm bài, không làm được các
bài tập dù bài đó dễ hơn bài giáo viên đã chữa.
Xuất phát từ thực tế trên, tôi đã sắp xếp các dạng bài tập tỷ lệ thức sao cho
các em có thể giải bài tập tỷ lệ thức một cách dễ dàng nhất.
II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1. Mục đích nghiên cứu :
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 4
Xây dựng được hệ thống bài tập tỉ lệ thức để củng cố, bồi dưỡng học sinh
kiểm tra đánh giá khả năng lĩnh hội tri thức của học sinh.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu :
- Khảo sát thực trạng việc học sinh giải toán dạng tỉ lệ thức ở trường THCS
Chu Minh- huyện Ba Vì và trường THCS Cát Linh- quận Đống Đa.
III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Thời gian thực hiện : năm học 2009 – 2010 và năm học 2011 – 2012.
- Trong chương trình toán 7.
- Chọn ngẫu nhiên 40 học sinh lớp 7 trường THCS Chu Minh huyện Ba Vì
và 40 học sinh lớp 7 trường THCS Cát Linh quận Đống Đa.
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa toán 7.
- Một số đề thi học sinh giỏi toán 7.
- Một số tài liệu khác.
B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Qua quá trình giảng dạy thực tế và tham khảo đồng nghiệp, kết quả học tập
của học sinh được phản ánh rõ nét thông qua bài kiểm tra, bài thi của học sinh.
Có bài lời giải độc đáo, sáng tạo , chặt chẽ, trình bày sáng sủa, khoa học, song
cũng có bài giải sơ sài, đơn giản, thiếu chặt chẽ và thiếu sự sáng tạo.
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 5
TÓM TẮT KIẾN THỨC PHẦN TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa :
- Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
a c
b d
2. Tính chất :
- Tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
Nếu
a c
b d
thì a.d = b.c
- Tính chất 2 :
Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức :
; ; ;
a c a b d c d b
b d c d b a c a
- Như vậy, với a, b, c, d ≠ 0 từ một trong năm đẳng thức sau đây ta có thể suy ra
các đẳng thức còn lại:
Trước khi viết đề tài này thì tôi cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát nhằm
phát hiện, đánh giá chất lượng vốn có của học sinh. Mặt khác lưu giữ kết quả để
đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh.
Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát chất lượng
năm học 2009-2010 và năm học 2011 - 2012
Câu 1 : Tìm x, y, z biết:
5
3
2
zyx
và x + y + z = 150.
a c
b d
ad = bc
a d
c d
d c
b a
d b
c a
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 6
Câu 2 : Tìm x, y biết :
43
yx
và x . y = 300.
Câu 3 : Tìm x, y, z biết :
5
3
;
4
3
zyyx
và 2x – 3y + z = 6.
Đáp án :
Câu 1 : Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
15
10
150
532532
zyxzyx
=>
2
x
= 15 -> x = 2.15 = 30.
3
y
= 15 -> y = 3.15 = 45.
5
z
= 15 -> z = 5.15 = 75.
Câu 2 :
Đặt
4
3
yx
= k -> x = 3k ; y = 4k.
-> x.y = 3k . 4k = 12k
2
= 300.
-> k
2
= 25.
5
5
k
k
* Với k = 5 ->
205.4
155.3
y
x
* Với k = -5 ->
20)5.(4
15)5.(3
y
x
Câu 3 :
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 7
20
12
9
201253
12943
zyx
zyzy
yxyx
Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có :
3
2
6
202.39.2
32
20129
zyxzyx
9
x
= 3 -> x = 9.3 = 27.
12
y
= 3 -> y = 12.3 = 36.
20
z
= 3 -> z = 20.3 = 60.
Kết quả thu được của năm học 2009 – 2010 như sau :
TỔNG SỐ
Đ
ố
i t
ư
ợ
ng 1
0 -> 4 điểm
Đ
ố
i t
ư
ợ
ng 2
5 -> 7 điểm
Đ
ố
i t
ư
ợ
ng 3
8 -> 10 điểm
Số lượng % Số lượng % Số lượng %
80 40 50 30 37,5 10 12,5
Kết quả thu được của năm học 2011 – 2012 như sau :
TỔNG SỐ
Đối tượng 1
0 -> 4 điểm
Đối tượng 2
5 -> 7 điểm
Đối tượng 3
8 -> 10 điểm
Số lượng % Số lượng % Số lượng %
80 36 45 28 35 16 20
Đối tượng 1 : Các em chỉ mới làm được câu 1.
Đối tượng 2 : Các em đã làm được câu 1 và câu 2.
Đối tượng 3 : Các em đã hoàn chỉnh cả ba câu.
II. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN :
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 8
Sau khi học xong tính chất của tỷ lệ thức, tôi đã cho học sinh củng cố để
nắm vững và hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản, tính chất mở rộng của tỷ lệ
thức, của dãy tỷ số bằng nhau. Sau đó cho học sinh làm một loạt những bài toán
cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở cho việc
chọn lời giải, có thể minh họa điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán từ
đơn giản đến phức tạp sau đây.
DẠNG 1 : Tìm x, y, z.
Bài toán 1 : Tìm x, y biết :
a.
5
2
yx
và x.y = 90.
b.
97
yx
và x.y = 252.
c.
3
5
yx
và x
2
– y
2
= 4.
Giải :
a. Khởi điểm bài toán đi từ đâu, nếu đi từ tính chất cơ bản thì nên theo tính
chất nào? Nếu đi từ định nghĩa thì làm như thế nào? Học sinh thường mắc sai lầm
như sau :
9
10
90
5
.
2
.
5
2
yxyx
-> x = 2.9 = 18.
y = 5.9 = 45.
Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và hướng
cho các em hướng giải toán.
Hướng thứ nhất :
Dùng phương pháp tình giá trị của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ thống
hóa, khái quát hóa về kiến thức và học sinh đã chọn lời giải thích hợp.
Đặt
ky
kx
k
yx
5
2
52
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 9
Mà xy = 90 -> 2k.5k = 90.
10k
2
= 90
k
2
= 9 ->
3
3
k
k
* Với k = 3 -> x = 2.3 = 6.
y = 5.3 = 15.
* Với k = -3 -> x = 2. (-3) = -6.
y = 5.(-3) = -15.
Vậy (x;y) = (6;16); (-6;-15)
Hướng thứ hai :
Khái quát hóa toàn bộ tính chất của tỷ lệ thức, có tính chất nào liên quan
đến tích các tử số với nhau và học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ hai.
Ta có :
5.2
.
5252
22
yxyxyx
(tính chất mở rộng của tỷ lệ thức)
.155.39
25
6369
4
9
10
90
10254
222
2
2
2
22
yy
y
xx
x
xyyx
Vậy (x;y) = (6;15); (-6;-15)
Qua việc hệ thống hóa, khái quát hóa và lựa chọn hướng đi cho các em để
có lời giải thích hợp. Các em đã vận dụng nó để làm tốt các phần b, c, d.
Bài toán 2 : Tìm x, y, z biết :
a.
4
5
;
3
2
zyyx
và x + y + z = 37.
b.
7
5
;
4
3
zyyx
và 2x + 3y – z = 186.
c.
7
5
;
3
2
zyyx
và x + y + z = 92.
d.
8
3
;
5
3
zyyx
và 2x + 4y – 2z = -4.
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 10
Giải :
a. Để tìm được lời giải của bài toán này tôi đưa ra việc nhận xét xem liệu
có tìm được tỷ số trung gian nào để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau hay không?
Yêu cầu đó đã hướng các em hệ thống hóa kiến thức cơ bản, tính chất mở rộng để
chọn lời giải cho phù hợp.
Ta có :
1
37
37
121510121510
12153
1
43
1
545
15105
1
35
1
232
zyxzyx
zy
hay
zyzy
yx
hay
yxyx
-> x = 10.1 = 10.
y = 15.1 = 15.
z = 12.1 = 12
Vậy x = 10; y = 15; z = 12.
b. Để giải được phần b của bài toán, ngoài việc tìm được tỷ số trung gian
để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau. Tôi còn hướng cho các em tìm hiểu xem có gì
đặc biệt trong tổng 2x + 3y – z = 186 để giúp các em nhớ lại tính chất của phân
số bằng nhau. Từ đó các em đã chọn được lời giải của bài toán cho thích hợp.
Ta có :
3
62
186
2820.315.2
32
282015
28204
1
74
1
575
20155
1
45
1
343
zyxzyx
zy
hay
zyzy
yx
hay
yxyx
-> x = 15.3 = 45.
y = 20.3 = 60.
z = 28.3 = 84.
Vậy x = 45; y = 60; z = 84.
Với cách làm như vậy các em đã biết vận dụng để chọn lời giải phù hợp
cho phần c và d.
Bài toán 3 : Tìm x, y, z biết :
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 11
a. 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158.
b. 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z – 7y = 60
Giải :
Đối với bài toán 3 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã
nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến
tính chất đơn điệu của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải và chọn lời giải
cho phù hợp.
Hướng thứ nhất : Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai
tích ta có lời giải sau :
Ta có :
2
79
158
152440152440
15243
1
53
1
858
85
24408
1
38
1
535
53
zyxzyx
zy
hay
zyzy
zy
yx
hay
yxyx
yx
-> x = 40.2 = 80.
y = 24.2 = 48.
z = 15.2 = 30.
Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
Hướng thứ hai: Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức.
Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3, 5, 8. Từ đó các em có lời giải
của bài toán như sau :
Ta có BCNN (3, 5, 8) = 120
Từ 3x = 5y = 8z
120
1
.8
120
1
.5
120
1
.3 zyx
Hay
2
79
158
152440152440
zyxzyx
-> (Tương tự như trên ta có )
Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 12
Hướng thứ ba : Tôi đã đặt vấn đề hãy viết tích giữa hai số thành một
thương. Điều đó đã hướng cho các em tìm ra cách giải sau :
Từ 3x + 5y – 8z
240
120
79
158
8
1
5
1
3
1
8
1
5
1
3
1
zyxzyx
-> x =
3
1
.240 = 80.
y =
5
1
. 240 = 48.
z =
8
1
. 240 = 30.
Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
Qua ba hướng trên, đã giúp các em có công cụ để giải bài toán và từ đó các
em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em phát
huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải phần b.
* Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút. Yêu cầu các em
phải có tư duy một chút để tạo nên tích trung gian như sau :
+ Từ 2x = 3y - > 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y.
+ Từ 5y = 7z -> 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z.
-> 10x = 15y = 21z.
40840.
21
1
56840.
15
1
.84840.
10
1
840
210
15
60
21
1
.7
15
1
.5
10
1
.3
753
21
1
15
1
10
1
z
y
x
zyxzyx
Vậy x = 84; y = 56; z = 40
Các em đã tìm hướng giải cho phần b và tự cho được ví dụ về dạng toán này.
Bài toán 4 : Tìm x,y, z biết rằng :
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 13
a.
2
2
3
2
5
1
zyx
và x + 2y – z = 12
b.
4
3
3
2
2
1
zyx
và 2x + 3y – z = 50
Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế
nào để xuất hiện được tổng x + 2y – z = 12 hoặc 2x + 3y – z = 50 hoặc 2x + 3y
– 5z = 10.
Với phương pháp phân tích, hệ thống hóa đã giúp cho các em nhìn ra ngay
và có hướng đi cụ thể.
Hướng thứ nhất : Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng
nhau ta có lời giải của bài toán như sau :
Ta có :
1
9
312
9
32
265
)2(421
6
42
3.2
)2(2
2
2
3
2
5
1
zyx
zyxyyzyx
-> x – 1 = 5 -> x = 6.
y – 2 = 3 -> y = 5.
z – 2 = 2 -> z = 4
Hướng thứ hai : Dùng phương pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải sau :
Đặt :
2
2
3
2
5
1
zyx
= k
-> x – 1 = 5k -> x = 5k + 1.
y – 2 = 3k -> y = 3k + 2
z – 2 = 2k -> z = 2k + 2.
Ta có : x + 2y – z = 12 <=> 2k + 1 + 2(3k + 2) – (2k + 2) = 12
<=> 9k + 3 = 12
<=> k = 1
Vậy x = 5.1 + 1 = 6.
y = 3.1 + 2 = 5.
z = 2.1 + 2 = 4
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 14
Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để tự
giải phần (b) của bài toán 4.
Bài toán 5 : Tìm x,y,z biết rằng :
)
1 1 2
1 2 3 1
)
x y z
a x y z
y z x z x y
y z x z x y
b
x y z x y z
Đối với bài toán 5 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu, đi từ
kiến thức nào ? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để xuất hiện x +
y + z . Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷ số bằng
nhau và đã có lời giải của bài tóan phần (b) như sau :
Giải : Điều kiện x, y, z 0.
Ta có :
5,0
2
1
2
1
2
)(2321331
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
yxzxzy
z
yx
y
zx
x
zy
x + y = 0,5 – z
y + z = 0,5 – x.
x + z = 0,5 – y.
Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có :
2
15,0
2
1
x
x
x
zy
<=> 0,5 – x + 1 = 2x
<=> 1,5 = 3x
<=> x = 0,5.
2
25,02
y
y
y
zx
<=> 2,5 – y = 2y
<=> 2,5 = 3y
<=> y =
6
5
2
35,03
z
z
z
yx
<=> -2,5 – z = 2z
<=> -2,5 = 3z.
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 15
<=> z = -
6
5
Vậy (x;y;z) = (0,5 ;
6
5
; -
6
5
)
Sau khi thực hiện dạng 1 của đề tài tôi cho học sinh làm bài toán thực
nghiệm như sau :
*Đề kiểm tra lần 1:
Tìm x, y, z biết :
a.
3
2
yx
và x . y = 54
b. 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95.
c.
2
2
2
4
3
1
zyx
và 2x + 3y – 5z = 10
* Kết quả kiểm tra lần 1 năm học 2009 – 2010 :
TỔNG SỐ
Đối tượng 1
0 -> 4 điểm
Đối tượng 2
5 -> 7 điểm
Đối tượng 3
8 -> 10 điểm
Số lượng % Số lượng % Số lượng %
80 20 25 44 55 16 20
* Kết quả kiểm tra lần 1 năm học 2011 – 2012 :
TỔNG SỐ
Đối tượng 1
0 -> 4 điểm
Đối tượng 2
5 -> 7 điểm
Đối tượng 3
8 -> 10 điểm
Số lượng % Số lượng % Số lượng %
80
22
27,5
43
53,75
15
18,75
Việc hệ thống hóa, khái quát hóa các kiến thức của tỷ lệ thức còn có vai trò
rất quan trọng trong việc chứng minh tỷ lệ thức so với hệ thống các bài tập từ đơn
giản đến phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức trừu tượng, mở rộng đã cho
các em rất nhiều hướng đi để đến tới hiệu quả và yêu cầu của bài toán.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 16
Bài 1 : Tìm các số x, y, z biết rằng :
2 3 4
x y z
và x + 2y – 3z = - 20
Bài 2 : Tìm các số x, y, z biết rằng :
2 3 4
x y z
và x
2
– y
2
+ 2z
2
= 108
Hướng dẫn giải bài tập phần luyện :
Bài 1 : Ta có :
2 3 2 3 20
5
2 6 12 2 6 12 4
x y z x y z
x= 10 , y= 15 , z = 20
Bài 2 : Ta có :
2 3 4
x y z
->
2 2 2
4 9 16
x y z
->
2 2 2 2 2 2
2 2
4
4 9 32 4 9 32
x y z x y z
Từ đó ta tìm được : x
1
= 4 ,y
1
=6 , z
1
= 8
x
1
= - 4 ,y
1
= -6 , z
1
= -8
DẠNG 2 : Chứng minh tỷ lệ thức :
Bài toán 1 : Cho tỷ lệ thức
d
c
b
a
. Hãy chứng minh :
dc
dc
ba
ba
b
dc
dc
ba
ba
a
43
52
43
52
.
.
Để giải bài toán này không khó, song yêu cầu học sinh phải hệ thống hóa
kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụng vào dạng toán để tìm
hướng giải cụ thể.
* Hướng thứ nhất : Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để chứng
minh phần a.
Đặt
d
c
b
a
= k -> a = b.k
c = d.k
Ta có :
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 17
1
1
)1(
)1(
1
1
)1(
)1(
k
k
kd
kd
ddk
ddk
dc
dc
k
k
kb
kb
bbk
bbk
ba
ba
dc
dc
ba
ba
* Hướng thứ hai: Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức và
tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau :
Từ :
d
b
c
a
d
c
b
a
(Hoán vị trung tỷ)
bc
ba
dc
ba
(Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)
dc
dc
ba
ba
(Hoán vị trung tỷ).
Ngoài hai hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ vào tính
chất cơ bản của tỷ lệ thức :
Từ
bcad
d
c
b
a
Xét tích : (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd
(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd
-> (a – b)(c + d) = (a + b)(c – d) (cùng bằng ac – bd)
->
dc
dc
ba
ba
(Đpcm)
Với việc hệ thống hóa các kiến thức về tỷ lệ thức đã đưa ra một số hướng
giải. Yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải nào thích hợp, ngắn gọn, dễ hiểu, đề
trình bày lời giải cho mình trong mỗi bài, qua đó để học sinh tự giải các bài tập
phần b của bài 1.
Bài toán 2 : Cho
d
c
b
a
Hãy chứng minh :
;.
;.;.
2
2
2
2
22
22
cd
ab
dc
ba
c
cd
ab
dc
ba
b
cd
ab
dc
ba
a
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 18
Đối với bài toán 2 hướng giải tương tự như bài toán 1, song mức độ tính
toán dễ nhầm lẫn hơn. Tôi phải phân tích, cho học sinh ôn lại về lũy thừa và kiến
thức về tính chất mở rộng của tỷ lệ thức để các em dễ nhận biết, dễ trình bày hơn.
Tôi đã nhấn mạnh lại các công thức :
Nếu :
bd
ac
d
c
b
a
d
c
b
a
22
và hướng cho các em trình bày lời giải
của bài toán phần c.
Giải :
Từ :
d
b
c
a
d
c
b
a
(Hoán vị trung tỷ)
cd
ab
dc
ba
Hay
dcdc
baba
cd
ab
d
c
b
a
cd
ab
d
b
c
a
2
2
22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Tương tự bài toán phần (c) học sinh rất dễ dàng hiểu và trình bày được lời
giải phần a,b và hướng cho các em tự tìm hiểu các phương pháp khác để chứng
minh tỷ lệ thức.
Bài toán 3 : (Dành cho học sinh khá giỏi)
Cho
c
b
b
a
. Hãy chứng minh
c
a
cb
ba
22
22
Để giải được bài toán này yêu cầu học sinh phải có bước suy luận cao hơn,
không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỷ lệ thức để có hướng
giải phù hợp.
* Hướng thứ nhất : Sử dụng tính chất cơ bản rồi thay thế vào vế trái, biến đổi vế
phải ta có lời giải sau :
Từ
c
b
b
a
-> b
2
= ac . Thay vào vế trái ta có :
c
a
cac
caa
cac
aca
cb
ba
)(
)(
2
2
22
22
(Đpcm)
* Hướng thứ hai : Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức ta có
lời giải sau :
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 19
Vì cần có a
2
; b
2
nên ta nhân từng vế của
c
b
b
a
với chính bản thân nó ta có :
22
22
2
2
2
2
cb
ba
c
b
b
a
c
b
c
b
b
a
b
a
c
b
b
a
(1)
mà
c
a
ac
a
b
a
acb
c
b
b
a
2
2
2
2
(2)
Từ (1) và (2)
c
a
cb
ba
22
22
(Đpcm)
* Đề kiểm tra sau khi thực hiện dạng 2 :
Cho tỷ lệ thức :
d
c
b
a
hãy chứng minh :
2
2
2
2
.
32
32
32
32
.
dc
ba
dc
ba
b
dc
dc
ba
ba
a
* Kết quả kiểm tra dạng 2 Năm học 2009 – 2010 :
TỔNG SỐ
Đối tượng 1
0 -> 4 điểm
Đối tượng 2
5 -> 7 điểm
Đối tượng 3
8 -> 10 điểm
S
ố
l
ư
ợ
ng
%
S
ố
l
ư
ợ
ng
%
S
ố
l
ư
ợ
ng
%
80 28 35 38 47,5 14 17,5
* Kết quả kiểm tra dạng 2 Năm học 2011 – 2012 :
TỔNG SỐ
Đối tượng 1
0 -> 4 điểm
Đối tượng 2
5 -> 7 điểm
Đối tượng 3
8 -> 10 điểm
Số lượng % Số lượng % Số lượng %
80 24 30 38 47,5 18 22,5
Với các phương pháp trên trong phương pháp giảng dạy học sinh môn toán
7 đã làm cho các em tư duy rất tốt, rèn luyện được ý thức tự tìm tòi độc lập suy
nghĩ để nhớ kĩ, nhớ lâu và sáng tạo khi giải toán đạt hiệu quả cao. Đó chính là
công cụ giải toán của mỗi học sinh. Ngoài ra phương pháp này còn là công cụ
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 20
đặc biệt quan trọng cho các em giải dạng toán có lời văn về phần đại lượng tỷ lệ
thuận, đại lượng tỷ lệ nghịch.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 2:
Chứng minh rằng nếu a
2
= b.c ( với a # b và a # c ) thì :
a b c a
a b c a
HƯỚNG DẪN GIẢI :
Ta có a
2
= b.c suy ra
a c a b a b
b d c a c a
suy ra
a b c a
a b c a
DẠNG 3 : Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và đại lượng tỷ lệ nghịch.
Bài toán 1 :
Ba kho A,B,C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm 1/7 số gạo
đó, xuất ở kho B đi 1/9 số gạo đó, xuất ở kho C đi 2/7 số gạo đó. Khi đó số gạo ở
3 kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu. Biết rằng kho B nhiều hơn kho
A là 20 tạ.
Để giải bài toán này tôi lại cho học sinh đọc kĩ đề bài, tóm tắt, phân tích kĩ
mối tương quan giữa các số liệu để tìm ra hướng giải sau:
Giải :
Gọi số gạo lúc đầu ở mỗi kho A, B, C lần lượt là x, y, z (tạ) gạo (x, y, z > 0)
Số gạo lúc sau ở kho A là : x +
7
1
x =
7
8
x.
Số gạo lúc sau ở kho B là : y -
9
1
y =
9
8
y
Số gạo lúc sau ở kho C là : z -
7
2
z =
7
5
z.
Theo bài ra ta có :
7
8
x =
9
8
y =
7
5
z (1) và y – x = 20
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 21
Chia cả ba tỷ số của (1) cho BCNN (8; 5) = 40 ta có :
2
10
20
3545564535
xyzyx
=> x = 35 . 2 = 70 (tạ).
y = 45 . 2 = 90 (tạ).
z = 56 . 2 = 112 (tạ)
Vậy số gạo lúc đầu ở ba kho A, B, C lần lượt là 70 tạ, 90 tạ, 112 tạ.
Ngoài việc hướng dẫn học sinh tìm tòi những lời giải khác nhau cho bài
toán, tôi còn hướng dẫn học sinh cách khai thác bài toán bằng cách thay đổi số
liệu, dữ kiện để có bài toán mới với phương pháp giải tương tự.
Chẳng hạn :
Thay vì kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo, bằng các dữ liệu sau :
1. Tổng số gạo ở ba kho là 272 tạ
2. Số gạo ở kho C hơn kho A là 42 tạ.
3. Số gạo ở kho B ít hơn kho C là 22 tạ.
Thì ta sẽ được các bài toán mới có cùng đáp số .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 3:
Có 16 tờ giấy bạc lọai 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng. Trị giá mỗi lọai
tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi lọai có mấy tờ?
Hướng dẫn giải :
Gọi số tờ giấy bạc lọai 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng theo thứ tự là x, y,
z ( x, y, z € N
*
)
Ta có : x + y + z = 16 và 2000x = 5000y = 10000z
Biến đổi để đưa về áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau suy ra :
x = 10, y = 4, z =2
* DẠNG 4 : chuyển động.
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 22
Bài toán 1 :
Một người dự kiến đi ô tô từ A về B trong một thời gian dự định. Thực tế
thời gian đi phải giảm ¼ vận tốc so với dự định nên đến B muộn hơn thời gian dự
định là 30 phút. Tính thời gian dự định lúc đầu.
Trước khi giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc đề để hiểu kĩ đề bài.
Tìm hiểu mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian của chuyển động trên một đoạn
đường. Chú ý rằng: Trên cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là đại lượng
tỷ lệ nghịch. Từ đó thiết lập được tỷ lệ thức :
1
2
2
1
t
t
v
v
và các em đã có hướng đi
tìm t
1
; t
2
.
Giải :
Gọi v
1
là vận tốc dự định, t
1
là thời gian dự định; v
2
là vận tốc thực đi, t
2
là
thời gian thực đi.
v
1
, v
2
cùng đơn vị; t
1
, t
2
cùng đơn vị (v
1
, v
2
, t
1
, t
2
> 0)
Cùng quãng đường đi thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ nghịch.
Do đó :
1
2
2
1
t
t
v
v
mà v
2
=
4
3
v
1
.
3
34
3
4
4
3
1
12
1
1
1
2
t
tt
v
v
t
t
(theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)
3
130
1
t
-> t
1
= 30 . 3 = 90 phút.
Vậy thời gian dự định đi lúc đầu là 90 phút.
* Đề kiểm tra sau khi thực hiện dạng 4 của đề tài :
Bài toán 1 :
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 23
Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được ½
quãng đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20%, do đó đến B sớm hơn được 10 phút.
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Bài toán 2 :
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h và dự định đến B lúc 11h45’.
Sau khi đi được 4/5 quãng đường thì người đó xe đó đi với vận tốc 30 km/h nên
đến B lúc 12h.
Hỏi xe đó khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB là bao nhiêu?
* Kết quả kiểm tra dạng 4 Năm học 2009 - 2010:
TỔNG SỐ
Đ
ố
i t
ư
ợ
ng 1
0 -> 4 điểm
Đ
ố
i t
ư
ợ
ng 2
5 -> 7 điểm
Đ
ố
i t
ư
ợ
ng 3
8 -> 10 điểm
Số lượng % Số lượng % Số lượng %
80 30 37,5 40 50 10 12,5
* Kết quả kiểm tra dạng 4 Năm học 2011 - 2012 :
TỔNG SỐ
Đối tượng 1
0 -> 4 điểm
Đối tượng 2
5 -> 7 điểm
Đối tượng 3
8 -> 10 điểm
S
ố
l
ư
ợ
ng
%
S
ố
l
ư
ợ
ng
%
S
ố
l
ư
ợ
ng
%
80 28 35 39 48,75 13 16,25
* DẠNG 5 : hình học :
Bài toán :
Tìm tỷ lệ 3 cạnh của một tam giác, biết rằng nếu cộng lần lượt từng hai
đường cao của tam giác đó thì các kết quả tỷ lệ với 5,7,8.
Đối với bài toán này để đi tới vận dụng được kiến thức về tỷ lệ thức. Tôi
đã đưa các em tìm mối quan hệ giữa cạnh và đường cao tương ứng trong tam
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 24
giác. Bằng kiến thức của hình học, các em đã có hướng đi và lời giải của bài
toán.
Giải :
Gọi 3 cạnh của tam giác lần lượt là a,b,c (a,b,c > 0) và ba đường cao
tương ứng là h
a
, h
b
, h
c
(h
a
, h
b
, h
c
> 0)
Theo bài ra ta có : (h
a
+ h
b
) : (h
b
+ h
c
) : (h
c
+ h
a
) = 5 : 7 : 8 (do vai trò của
h
a
, h
b
, h
c
như nhau)
Ta có công thức :
2
2
2
cba
ABC
chbhah
S
(1)
Ta đặt
k
hhhhhh
accbba
875
-> h
a
+ h
b
= 5k
+ h
b
+ h
c
= 7k.
h
c
+ h
a
= 8k
2(h
a
+ h
b
+ h
c
) = 20k -> h
a
+ h
b
+ h
c
= 10k
Mà h
a
+ h
b
= 5k -> h
c
= 5k.
h
b
+ h
c
= 7k -> h
a
= 3k.
h
c
+ h
a
= 8k -> h
b
= 2k.
Thay h
a
, h
b
, h
c
vào (1) ta có :
2
5
2
2
2
3 kckbka
-> a.3k = b.2k = c. 5k.
-> 3a = 2b = 5c.
->
6151030
1
5
30
1
2
30
1
3
cba
cba
Vậy a : b : c = 10 : 5 : 6.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 70m và tỉ số giữa hai cạnh của
nó bằng 3 /4. Tính diện tích miếng đất đó.
Trường THCS Cát Linh
Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 25
Đáp số : 300m
2
MỘT SỐ SAI SÓT CỦA HỌC SINH VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC
Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh tiếp thu được các nội dung
trên nhờ cụ thể hóa phương pháp, phân dạng được bài tập nên học sinh biết cách
vận dụng vào bài tập.
Tuy nhiên cũng còn nhiều sai sót, thiếu chính xác cần tiếp tục uốn nắn, rèn kĩ
năng.
Sau đây là vài ví dụ minh họa :
VD1 : Tìm x, y, z biết :
3x = 5y = 8z và x + y + z = 158.
Lời giải của học sinh :
Ta có : 3x = 5y = 8z
5 8 3
x y z
