Bài mở đầu lý thuyết xác xuất

Phần thứ nhất


Lý thuyết xác suất










XS
TK



2008

2

Xác sut
−
−−
−
Thng kê






Phm Đc Thông





Chương
1

Xác suất

Trong cuộc sống, trong nhiều trường hợp, người ta không thể ñoán chắc
rằng một sự kiện nào ñó có xảy ra hay không, mặc dù ñã nắm ñược những thông
tin về sự kiện ñó. Để giải quyết những tình huống không chắc chắn ñó, người ta
ñã nghiên cứu và ñưa vào sử dụng lý thuyết xác suất

1. PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ

Lý thuyết xác suất, hiện nay, là một lý thuyết toán học ñược xây dựng chặt
chẽ trên một hệ tiên ñề. Tuy nhiên, ñể xây dựng ñược một hệ tiên ñề chặt chẽ về
mặt toán học cho lý thuyết xác suất, người ta ñã dựa vào các khái niệm cơ bản
mang tính chất kinh nghiệm, trực quan.
1.1. Phép thử, không gian mẫu. Bộ môn Xác suất nghiên cứu về các loại
thí nghiệm có ñặc trưng là: Trước khi thực hiện, chúng ta không ñoán trước ñược
kết quả nào sẽ xảy ra, nhưng chúng ta có thể mô tả ñược tập hợp tất cả các kết quả
có thể xảy ra. Loại thí nghiệm như vậy có thể ñược lặp lại nhiều lần trong cùng
một ñiều kiện; nó ñược gọi là một Thí nghiệm ngẫu nhiên hay một Phép thử.
Khi một phép thử ñược thực hiên, một và chỉ một kết quả trong trong tập
hợp nói trên xuất hiện, và ñược gọi là một kết quả sơ cấp. Tập hợp tất cả các kết
quả sơ cấp ñược gọi là Không gian các kết quả sơ cấp. Để tiện lợi, chúng ta
xem những kết quả sơ cấp như các ñiểm và gọi là các Điểm mẫu (hay ñiểm cho
gọn). Như vậy, mỗi kết quả sơ cấp ñược biểu diễn bởi một và chỉ một ñiểm mẫu;
không gian các kết quả sơ cấp ñược biểu diễn bởi một tập hợp mà các phần tử là
các ñiểm mẫu; do ñó còn ñược gọi là Không gian mẫu và thường ñược ký hiệu
là
M
.
Không gian mẫu
M
ñược gọi là rời rạc nếu nó là một tập hợp không hơn
ñếm ñược (hữu hạn hoặc ñếm ñược).

Thí dụ: Gieo một con xúc xắc và quan sát số xuất hiện ở mặt trên của con
xúc xắc. Khi ñó, không gian mẫu có 6 ñiểm mẫu:
M
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.


Chưng 1

XÁC SUT

3


Quan sát xem một xạ thủ bắn một viên ñạn vào bia có trúng bia hay không.
Có hai kết quả sơ cấp là: “trúng bia”, ký hiệu là T, và “không trúng bia”, ký hiệu
là B. Không gian mẫu là:
M
= {T, B}.
1.2. Biến cố. Một sự kiện A ñược gọi là liên kết với một phép thử (hay với
không gian mẫu
M
tương ứng) nếu, khi phép thử ñược thực hiện, căn cứ vào kết
quả sơ cấp m xuất hiện, người ta biết ñược A có xảy ra hay không. Như vậy,
người ta có thể ñồng nhất A với một tập con của không gian mẫu
M
, với ñặc
ñiểm: "A xảy ra nếu và chỉ nếu m ∈
∈∈
∈ A", và gọi A là một biến cố trong
M

. Biến
cố không thể xảy ra, ñồng nhất với tập hợp ∅, còn ñược gọi là biến cố rỗng.
Biến cố chắc chắn xảy ra, ñồng nhất với cả không gian mẫu
M
, còn ñược gọi là
biến cố chắc chắn.
Người ta nói rằng một biến cố A kéo theo một biến cố B nếu khi A xảy ra
thì nhất ñịnh B xảy ra, và ñược viết là A ⊂
⊂⊂
⊂ B (tập con). Biến cố {m} chứa một
ñiểm mẫu m ∈
M
duy nhất ñược gọi là một biến cố sơ cấp.
Có những biến cố ñược xây dựng từ các biến cố cho trước.
1.3. Định nghĩa. Giả sử A và B là hai biến cố trong không gian mẫu
M

cho trước.
(i) Biến cố "A không xảy ra" ñược gọi là biến cố ñối của biến cố A, và
ñược ñồng nhất với
A
, phần bù của
A
trong
M
.
(ii) Biến cố "
A
và
B

cùng xảy ra" ñược ñồng nhất với tập
A
∩
∩∩
∩
B
, và ñược
gọi là Biến cố giao của
A
và
B
.
A
∩
B
còn ñược ký hiệu là
AB
.
Nếu
AB
= ∅, i.e.
A
và
B
không thể xảy ra ñồng thời, người ta nói rằng
A
và
B
xung khắc.
Tương tự, chúng ta có thể ñịnh nghĩa giao của một họ các biến cố

(
A
i
)
i∈
I
, ký hiệu:
i
i I
A
∈
∩

(iii) Biến cố " có ít nhất một trong hai biến cố
A
hoặc
B
xảy ra" ñược
ñồng nhất với tập
A
∪
∪∪
∪
B
và ñược gọi là Biến cố hợp của
A
và
B
.
Trong trường hợp

A
và
B
xung khắc,
A
∪
B
ñược viết là
A
+
B
.
Tương tự, chúng ta có thể ñịnh nghĩa hợp của một họ các biến cố
(
A
i
)
i∈
I
; ký hiệu:
i
i I
A
∈
∪
hoặc (
i
i I
A
∈

∑
nếu các
A
i
xung khắc từng ñôi )
Thuật ngữ viết tắt: i.e. (id est): nghĩa là; e.g. (exempli gratia): thí dụ
(iv) Biến cố "
A
xảy ra nhưng
B
không xảy ra" ñược ñồng nhất với tập
hợp
A
−
−−
−
B
, và ñược gọi là Biến cố hiệu của
A
với
B
. Rõ ràng,
− =
A B A B
.

4

Xác sut
−

−−
−
Thng kê






Phm Đc Thông



1.4. Thí dụ

1.4.1. Phép thử:

Gieo hai con xúc xắc khác màu và quan sát các số xuất
hiện ở mặt trên của hai con xúc xắc.
Không gian mẫu gồm 36 cặp thứ tự (a,b), với a và b thuộc tập hợp {1, 2, 3,
4, 5, 6}:
M
= {(1,1); (1,2); …; (1,6); (2,1); (2,2); …; (6,1); …; (6,6)}.
Gọi A là biến cố “xuất hiện hai số có tổng bằng 8 ”. Từ nay, ñể cho tiện,
chúng ta có thể viết biến cố như sau:
A: “xuất hiện hai số có tổng bằng 8”;
tương tự, ñặt
B: “xuất hiện hai số bằng nhau”
và C: “xuất hiện hai số chẵn”;
chúng ta có:

A = {(2,6); (3,5); (4,4); (5,3); (6,2)};
B = {(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)}
Khi ñó,
AB: “xuất hiện hai số bằng nhau và có tổng bằng 8”;
AB = {(4,4)}.

A − B: “xuất hiện hai số khác nhau và có tổng bằng 8”;
A − B = {(2,6); (3,5); (5,3); (6,2)};
Bạn ñọc hãy xác ñịnh các ñiểm mẫu của C; mô tả và xác ñịnh các ñiểm mẫu
của các biến cố: B − A, AC, BC và
A C
.
1.4.2. Phép thử: Gieo 3 ñồng tiền khác màu và quan sát dãy mặt sấp và
mặt ngửa xuất hiện. Ký hiệu S và N lần lượt chỉ mặt sấp và mặt ngửa xuất hiện,
không gian mẫu
M
gồm 8 phần tử, biểu diễn bởi:
{SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}
Xét các biến cố:
A: “ xuất hiện ít nhất hai mặt sấp”
và B: “xuất hiện 3 mặt giống nhau”,
chúng ta có:
A = {SSS, SSN, SNS, NSS}
và B = {SSS, NNN}.
Khi ñó, AB = {SSS}.
Biến cố “xuất hiện 4 mặt sấp” là biến cố ∅.


Chưng 1

XÁC SUT

5


1.4.3. Phép thử: Gieo một con xúc xắc cho ñến khi mặt 6 xuất hiện thì
dừng và ñếm số lần gieo con xúc xắc. Không gian mẫu là
M
= *. (tập hợp ñếm
ñược).
1.4.4. Phép thử: Quan sát thời gian sống τ của một linh kiện ñiện tử.
Không gian mẫu của phép thử là
M
= 
+

Kết quả sơ cấp " τ = t
o
" có nghĩa là linh kiện làm việc ñến ñúng thời ñiểm
t
o
thì bị hỏng. Biến cố " τ ≥ t
o
" biểu thị thời gian làm việc của sản phẩm không
nhỏ hơn t
o
.
Trong trường hợp này, không gian mẫu là một tập hợp không ñếm ñược.
1.5. Chú ý. Nếu không gian mẫu
M

là một tập hợp không hơn ñếm ñược
(gọi là không gian mẫu rời rạc ) thì mọi tập con của
M
ñều là một biến cố.
Nhưng nếu
M
là một tập hợp không ñếm ñược thì có thể có một số tập con của
M

không phải là các biến cố.
Tổng quát, trong lý thuyết xác suất, một không gian mẫu
M
luôn ñi ñôi với
một họ các biến cố, gồm một lớp các tập con của
M
,
ñược gọi là một σ
σσ
σ −
−−
− trường
các tập con của
M
. Lớp này thoả mãn một số tính chất, nhằm bảo ñảm ∅ và
M
là
các biến cố, và nó ñóng kín ñối với mọi phép toán hữu hạn hoặc ñếm ñược về tập
hợp. Lớp này ñược xác ñịnh bởi một hệ tiên ñề. Tuy nhiên, vì giáo trình này
không ñi sâu vào lĩnh vực thuần tuý toán học của lý thuyết xác suất, nên chúng ta
sẽ không ñề cập ñến hệ tiên ñề về xác suất.

2. KHÁI NIỆM XÁC SUẤT

Nói chung, khái niệm xác suất dùng ñể chỉ “ khả năng “ (hay cơ may) ñể
một cái gì ñó xảy ra. Khái niệm xác suất bắt ñầu hình thành từ việc nghiên cứu
các trò chơi may rủi, e.g. trò roulette và ñánh bài. Sau ñó, các nhà toán học và
các nhà khoa học ñã góp phần xây dựng thành lý thuyết xác suất. Trong thực tiễn,
giáo trình này giới thiệu vài phương pháp khác nhau ñể tiếp cận khái niệm xác
suất.
Trước hết, chúng ta xét trường hợp: Do những ñặc ñiểm vật lý của một
phép thử, mỗi ñiểm của không gian mẫu hữu hạn
M
tương ứng có “ cùng khả
năng xảy ra “; trong trường hợp ñó,
M
ñược gọi là một Không gian hữu hạn
ñẳng xác suất hay Không gian hữu hạn ñều .
2.1. Định nghĩa.

(theo phương pháp cổ ñiển)

Giả sử
A
là một biến cố có k ñiểm trong một không gian mẫu hữu hạn ñều
gồm n ñiểm. Người ta gọi số
k
n
là xác suất của biến cố A, ký hiệu: P(
A
).

=
P( )
k
n
A


6

Xác sut
−
−−
−
Thng kê






Phm Đc Thơng



Theo cách hiểu cổ điển, những điểm của khơng gian mẫu được gọi là các
“trường hợp” và những điểm của A là các “ trường hợp thuận lợi cho A ”,
thì

A
A =

Số các trường hợp thuận lợi cho
P( )
Tổng số các trường hợp của phép t
hử

Chúng ta sẽ dùng cụm từ “chọn ngẫu nhiên“ hay “vơ tư” trong các phát
biểu để chỉ trường hợp này.
Thí d
ụ. Giả sử một tập hợp gồm N phần tử, trong đó có T phần tử "được
đánh dấu". Từ tập hợp trên, chọn ngẫu nhiên ra n phần tử khơng hồn lại, gọi là
một mẫu kích thước n (hay cỡ n). Tính xác suất của biến cố:
A
k
: “có k phần tử được đánh dấu trong mẫu”,
với k là một số tự nhiên khơng lớn hơn min(T, n).
Chọn khơng hồn lại n phần tử từ tập gồm N phần tử: Có
C
n
N
cách.
Để tính P(A
k
)

, chúng ta lưu ý rằng khơng gian mẫu hữu hạn và đều.
Số trường hợp thuận lợi cho A
k
là
C .C
−

−
k n k
T N T
.
Vậy, với mọi k ∈ {max[0,n - (N - T)],…, min (T, n)},

−
−
=
.
C
C
P( )
C
n k
k
T
N T
k
n
N
A
, (1)
Xác suất cho bởi cơng thức (1) được gọi là
Phân ph
ố
i xác su
ấ
t siêu hình
h

ọ
c
(hay còn gọi là
Phân ph
ố
i xác su
ấ
t siêu b
ộ
i
).

•
Định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển dựa trên điều kiện “ lý
tưởng ” của phép thử nên cũng có những hạn chế. Nếu số kết quả sơ cấp của phép
thử là vơ hạn hoặc hữu hạn nhưng khơng đồng khả năng thì định nghĩa cổ điển
của xác suất khơng còn dùng được. Chẳng hạn, khi một xạ thủ bắn một phát súng
vào bia và quan sát xem đạn có trúng bia khơng. Có hai kết quả sơ cấp, nhưng
chúng ta khơng thể nói rằng xác suất cho mỗi trường hợp là 0,5.
Như vậy, làm thế nào để xác định xác suất bắn trúng bia của xạ thủ này?
Ngay cả việc gieo một đồng tiền, dựa vào đâu để khẳng định rằng khả năng xuất
hiện của hai “mặt sấp” và “mặt ngửa” là như nhau?.
Suy nghĩ về vấn đề này, các nhà tốn học đã khám phá ra điều thú vị sau:
Giả sử khi thực hiện một phép thử, người ta quan tâm đến sự xuất hiện một
biến cố A. Bây giờ nếu chúng ta lặp lại phép thử trên N lần trong các điều kiện
như nhau, và thấy A xuất hiện n
A
lần thì n
A
được gọi là

T
ầ
n s
ố
xu
ấ
t hi
ệ
n
của
biến cố A, và tỉ số
A
n
N
được gọi là
T
ầ
n su
ấ
t
(hay
T
ầ
n s
ố
t
ươ
ng
đố
i

)
xu
ấ
t hi
ệ
n

của biến cố A trong một dãy N phép thử.


Chưng 1

XÁC SUT

7


Bằng thực nghiệm, người ta nhận thấy rằng:

Qua nhiều dãy phép thử, có nhiều dãy tần suất khác nhau xuất hiện. Quan
sát dãy tần suất này, người ta nhận thấy có một ñặc ñiểm, mang tính qui luật. Đó
là sự ổn ñịnh khi số phép thử N khá lớn. Chúng có khuynh hướng tiến ñến một giá
trị nào ñó khi N tăng lên vô hạn. Các số liệu sau ñây minh họa ñiều trên:
Các kết quả gieo ñồng tiền của
Buffon
và
Pearson.
Người thí nghiệm Số lần gieo Số lần sấp Tần suất
Buffon
Pearson

Pearson
4040
12000
24000
2048
6019
12012
0,5080
0,5016
0,5005
Từ sự ổn ñịnh của tần suất, người ta ñưa ra:
2.2.
Đị
nh ngh
ĩ
a.

(theo t
ầ
n su
ấ
t)
Giả sử một biến cố A xuất hiện n
A
lần trong một dãy phép thử ñược lặp lại
N lần. Khi ñó, xác suất ñể A xảy ra, ký hiệu
P(A)
, là giới hạn của tỉ số
A
n

N
khi
số phép thử tăng lên vô hạn:
P( ) lim
A
n
N
N
A
→∞
=

Trong th
ự
c t
ế
, ng
ườ
i ta dùng
A
n
N
, v
ớ
i N
ñủ
l
ớ
n,
ñể

ch
ỉ
P(A).
Thí d
ụ
.
Để
k
ế
t lu
ậ
n r
ằ
ng m
ộ
t x
ạ
th
ủ
có xác su
ấ
t b
ắ
n trúng bia là 80%, ng
ườ
i
ta
ñ
ã ghi t
ầ

n su
ấ
t b
ắ
n trúng bia c
ủ
a x
ạ
th
ủ
này trong m
ộ
t lo
ạ
t b
ắ
n v
ớ
i khá nhi
ề
u
viên
ñạ
n. Cho x
ạ
th
ủ
này th
ự
c hi

ệ
n nhi
ề
u lo
ạ
t b
ắ
n trong cùng m
ộ
t
ñ
i
ề
u ki
ệ
n nh
ư

trên, ng
ườ
i ta có m
ộ
t dãy t
ầ
n su
ấ
t Giá tr
ị
trung bình c
ủ

a dãy t
ầ
n su
ấ
t này là 0,8.
Đị
nh ngh
ĩ
a xác su
ấ
t b
ằ
ng t
ầ
n su
ấ
t có m
ộ
t s
ố
nh
ượ
c
ñ
i
ể
m nh
ư
: Ch
ỉ

áp d
ụ
ng
ñượ
c cho các phép th
ử
ng
ẫ
u nhiên có th
ể
l
ặ
p l
ạ
i r
ấ
t nhi
ề
u l
ầ
n trong cùng m
ộ
t
ñ
i
ề
u
ki
ệ
n.

Đ
i
ề
u này không d
ễ
th
ự
c hi
ệ
n trong th
ự
c t
ế
. Ngoài ra, trong nhi
ề
u tr
ườ
ng
h
ợ
p, chúng ta c
ũ
ng không th
ể

ñ
ánh giá s
ố
phép th
ử

“
ñủ
l
ớ
n”
ñể
t
ạ
o ra xác su
ấ
t
theo t
ầ
n su
ấ
t.
Hai
ñị
nh ngh
ĩ
a trên c
ủ
a xác su
ấ
t cho chúng ta giá tr
ị
xác su
ấ
t khách quan.
Khi các

ñ
i
ề
u ki
ệ
n khách quan không cho phép dùng chúng thì ng
ườ
i ta d
ự
a trên
tính ch
ủ
quan
ñể
xác
ñị
nh xác su
ấ
t.
2.3.
Đị
nh ngh
ĩ
a. (theo ch
ủ
quan)
Xác su
ấ
t ch
ủ

quan c
ủ
a m
ộ
t bi
ế
n c
ố
là
m
ứ
c
ñộ
tin t
ưở
ng
c
ủ
a
m
ộ
t cá nhân

vào kh
ả
n
ă
ng x
ả
y ra c

ủ
a bi
ế
n c
ố

ñ
ó.
Xác su
ấ
t ch
ủ
quan c
ủ
a m
ộ
t bi
ế
n c
ố

ñượ
c dùng khi bi
ế
n c
ố

ñ
ó ch
ỉ

có m
ộ
t c
ơ

h
ộ
i x
ả
y ra, và nó có th
ể
x
ả
y ra ho
ặ
c không x
ả
y ra
ở
m
ộ
t th
ờ
i
ñ
i
ể
m khác.

8

Xác sut
−
−−
−
Thng kê






Phm Đc Thông



Thí d
ụ
.
M
ộ
t nhà
ñầ
u t
ư
xác
ñị
nh r
ằ

ng s
ẽ
mua m
ộ
t s
ố
lô
ñấ
t n
ế
u có xác su
ấ
t
ít nh
ấ
t 0,90 r
ằ
ng giá
ñấ
t s
ẽ
t
ă
ng 50% hay nhi
ề
u h
ơ
n trong vòng 4 n
ă
m t

ớ
i. D
ự
a
trên s
ự
nghiên c
ứ
u các d
ự
án phát tri
ể
n kinh t
ế
và v
ị
trí
ñị
a lý c
ủ
a vùng, ông ta cho
r
ằ
ng xác su
ấ
t nói trên kho
ả
ng 0,75. Do
ñ
ó, ông ta quy

ế
t d
ị
nh không
ñầ
u t
ư
vào
các lô
ñấ
t nói trên. ( V
ẫ
n v
ớ
i d
ữ
ki
ệ
n trên, m
ộ
t nhà
ñầ
u t
ư
khác, có th
ể

ñư
a ra xác
su

ấ
t khác 0,75, theo ch
ủ
quan c
ủ
a ông ta).
Sau
ñ
ây, chúng ta tr
ừ
u t
ượ
ng hoá m
ộ
t chút khái ni
ệ
m xác su
ấ
t cho không
gian m
ẫ
u r
ờ
i r
ạ
c.


2.4.
Đị

nh ngh
ĩ
a.
Gi
ả
s
ử

M
= {m
1
, m
2
, . . .} là m
ộ
t không gian m
ẫ
u r
ờ
i r
ạ
c.
Ng
ườ
i ta gán cho m
ỗ
i
ñ
i
ể

m m
i

∈

M
m
ộ
t s
ố
th
ự
c ký hi
ệ
u P({m
i
}), g
ọ
i là
xác su
ấ
t
c
ủ
a
bi
ế
n c
ố

{
{{
{
m
i
}
}}
}
.
Đ
ó là các m
ộ
t s
ố
không âm và sao cho
P(
{
m
1
}
) + P(
{
m
2
}
) + . . .=
i
i 1
P ({m })
∞

=
∑
= 1 (3)
Xác su
ấ
t P(A) c
ủ
a m
ộ
t bi
ế
n c
ố
A
b
ấ
t k
ỳ
trong
M

ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a là t
ổ
ng
các xác su

ấ
t c
ủ
a t
ấ
t c
ả
các {m
i
} v
ớ
i m
i

∈
A.
Để
ti
ệ
n vi
ệ
c ký hi
ệ
u, chúng ta vi
ế
t P(m
i
) thay cho P(
{
m

i
}
).
Rõ ràng
Đị
nh ngh
ĩ
a 2.1. là m
ộ
t tr
ườ
ng h
ợ
p
ñă
c bi
ệ
t c
ủ
a
Đị
nh ngh
ĩ
a 2.4.;
ñ
ó
là tr
ườ
ng h
ợ

p
M
=
{
m
1
, m
2
, . . ., m
n
}
là h
ữ
u h
ạ
n và m
ỗ
i
ñ
i
ể
m trong
M
có cùng
m
ộ
t xác su
ấ
t (b
ằ

ng 1/n).
•
Cho không gian m
ẫ
u
M
, trên
ñ
ó có xác
ñị
nh hàm xác su
ấ
t P: A
֏
P(A)
cho m
ọ
i bi
ế
n c
ố
A trong
M
. C
ặ
p (
M
,
P
)

ñượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
Không gian xác su
ấ
t
.
Thông th
ườ
ng, n
ế
u không có s
ự
l
ầ
m l
ẫ
n, ng
ườ
i ta c
ũ
ng vi
ế
t
M
là m
ộ

t không gian
xác su
ấ
t.

3. TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT

Gi
ả
s
ử

M
là m
ộ
t không gian xác su
ấ
t cho tr
ướ
c; t
ừ
(3), chúng ta có ngay:
P(
M
) = 1 và
N
ế
u A
1
, A

2
, …
n
A
là các bi
ế
n c
ố
t
ừ
ng
ñ
ôi xung kh
ắ
c trong
M
thì
1 1
( )
n n
k k
k k
P A P A
= =
 
 
=
 
 
∑ ∑

Ngoài ra, chúng ta c
ũ
ng có:
3.1.
Đị
nh lý.

V
ớ
i m
ọ
i bi
ế
n c
ố


A và B trong không gian xác su
ấ
t
M
,
(i) P(
∅
) = 0;
(ii)
1
( ) ( )
P A P A

= −
;


Chưng 1

XÁC SUT

9


(iii)
( ) ( ) ( )
P A B P A P AB
− = −
;
(iv)
P A B P A P B P AB
∪ = + −
( ) ( ) ( ) ( )
;
(v) N
ế
u A
⊂
B thì P(A)
≤
P(B);
(vi) P(A)
≤

1.
Ch
ứ
ng minh.
(i) Vì A = A +
∅
nên P(A) = P(A) + P(
∅
).
Do
ñ
ó, P(
∅
) = 0
(ii) Vì
M
=
A
+ A nên 1 = P(
M
) = P(
A
) + P(A).
V
ậ
y, P(
A
) = 1
−
P(A)

(iii) Vì
( )
A A B AB
= − +
nên
( ) ( ) ( )
P A P A B P AB
= − +

V
ậ
y,
( ) ( ) ( )
P A B P A P AB
− = −

(iv) Vì
( )
A B A B A
∪ = + −
nên
( ) ( ) ( ) ( )
P A B P A P B P AB
∪ = + −

(v) N
ế
u
A B
⊂

thì
( )
B A AB
= +
. Do
ñ
ó:
( ) ( ) ( ) ( )
P B P A P AB P A
= + ≥

(vi) Do A
⊂
M
và (v)
.
■

B
ằ
ng ph
ươ
ng pháp qui n
ạ
p toán h
ọ
c, chúng ta ch
ứ
ng minh
ñượ

c công th
ứ
c
m
ở
r
ộ
ng c
ủ
a công th
ứ
c c
ộ
ng xác su
ấ
t:
3.2. H
ệ
qu
ả
.
Cho n bi
ế
n c
ố
A
1
, A
2
, , A

n
(n > 1) trên cùng m
ộ
t không
gian xác su
ấ
t; ký hi
ệ
u:
1 2 3
, , ,
( ); ( ); ( ); ;
i i j i j k
i i j i j k
S P A S P A A S P A A A= = =
∑ ∑ ∑
,
trong
ñ
ó, 1 ≤ i < j < k ≤ n và trong m
ỗ
i t
ổ
ng, m
ỗ
i nhóm ch
ỉ
s
ố
( i, j, k, )

ch
ỉ
xu
ấ
t hi
ệ
n m
ộ
t l
ầ
n (S
r
có
C
r
n
s
ố
h
ạ
ng). Khi
ñ
ó:

1
1 2 3 4
1
( ) ( 1)
n
n

k n
k
P A S S S S S
−
=
= − + − + + −
∪
. (4)
Đặ
c bi
ệ
t, v
ớ
i 3 bi
ế
n c
ố
A, B và C, chúng ta có:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC)
3.3. Thí d
ụ
.
T
ừ
m
ộ
t l
ớ
p có 8 n
ữ

sinh viên và 12 nam sinh viên, ng
ườ
i ta
ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên 5 sinh viên
ñể
l
ậ
p Ban cán b
ộ
l
ớ
p (BCB). Tính xác su
ấ
t
ñể


10


Xác sut
−
−−
−
Thng kê






Phm Đc Thông



(i) BCB g
ồ
m 3 n
ữ
và 2 nam,
(ii) BCB có ít nh
ấ
t m
ộ
t n
ữ
,
(iii) BCB có ít nh
ấ
t hai nam và hai n
ữ
.
Gi
ả
i.

Đặ
t A
k
: “BCB có k nam sinh viên” ( k ∈ {0,1,2,3,4,5} ),
chúng ta có:
5
12 8
5
20
.
C
C
( )
C
k
k
k
P A
−
=
(i) BCB g
ồ
m 3 n
ữ
và 2 nam.
Xác su
ấ
t ph
ả
i tính:

3
2
12
8
5
20
.
77
2
323
( )
C
C
P A
C
= =

(ii)
Đặ
t N: “BCB có ít nh
ấ
t m
ộ
t n
ữ
”, thì
5
N A
=
.

Do
ñ
ó,
0
5
12
8
5
20
5 5
.
33 613
646 646
( ) ( ) 1 ( )
1
P N P A P A
C
C
C
= = −
= − = − =

(iii)
Đặ
t H: “BCB có ít nh
ấ
t hai nam và hai n
ữ
”, thì
2 3

H A A
= +

Do
ñ
ó,
P(H) = P(A
2
) + P(A
3
)
=
2
3
12
8
5
20
.
77 616
323 969
C
C
C
+ =

4. XÁC SU
Ấ
T
Đ

IÊU KI
Ệ
N - BI
Ế
N C
Ố

ĐỘ
C L
Ậ
P

Khi quan sát các hi
ệ
n t
ượ
ng trong
ñờ
i s
ố
ng, chúng ta th
ườ
ng g
ặ
p câu h
ỏ
i:
Vi
ệ
c x

ả
y ra m
ộ
t bi
ế
n c
ố
H có
ả
nh h
ưở
ng gì
ñế
n kh
ả
n
ă
ng x
ả
y ra c
ủ
a m
ộ
t bi
ế
n c
ố

A hay không? Thí d
ụ

ñơ
n gi
ả
n nh
ấ
t v
ề
m
ố
i quan h
ệ
này là: “ Vi
ệ
c x
ả
y ra bi
ế
n c
ố

H làm cho bi
ế
n c
ố
A nh
ấ
t
ñị
nh ph

ả
i x
ả
y ra hay ng
ượ
c l
ạ
i, lo
ạ
i tr
ừ
kh
ả
n
ă
ng kh
ả

n
ă
ng x
ả
y ra bi
ế
n c
ố
A “.
Để
tr
ả

l
ờ
i câu h
ỏ
i này, ng
ườ
i ta
ñư
a vào lý thuy
ế
t xác su
ấ
t khái ni
ệ
m “ xác
su
ấ
t
ñ
i
ề
u ki
ệ
n và s
ự

ñộ
c l
ậ
p gi

ữ
a các bi
ế
n c
ố
“.
4.1.
Đị
nh ngh
ĩ
a. Trong m
ộ
t không gian xác su
ấ
t
M
, cho bi
ế
n c
ố
H v
ớ
i xác
su
ấ
t d
ươ
ng. V
ớ
i m

ọ
i bi
ế
n c
ố
A trong
M
, ng
ườ
i ta vi
ế
t:



Chưng 1

XÁC SUT

11



( )
( )
( / )
P
P
P
A H

H
A H =
(5)
và g
ọ
i
ñạ
i l
ượ
ng
ñ
ó là xác su
ấ
t
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a bi
ế
n c
ố
A v
ớ
i gi
ả
thi

ế
t H
(ho
ặ
c khi H
ñ
ã x
ả
y ra).
Tính xác su
ấ
t có
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a nh
ữ
ng bi
ế
n c
ố
khác nhau trên cùng m
ộ
t gi
ả

thi
ế
t H ch
ẳ
ng khác gì ch
ọ
n H làm không gian m
ẫ
u m
ớ
i. Do
ñ
ó các công th
ứ
c v
ề

xác su
ấ
t
ở
các ph
ầ
n trên v
ẫ
n
ñ
úng cho xác su
ấ
t có

ñ
i
ề
u ki
ệ
n. Ch
ẳ
ng h
ạ
n:
*
P( / ) 1 P( / )
A H A H
= −
,
*
P( / ) P( / ) P ( / ) P( / )
A B H A H B H AB H
∪ = + −
.
T
ừ
công th
ứ
c (5), chúng ta có
4.2.
Đị
nh lý.

V

ớ
i m
ọ
i bi
ế
n c
ố
A và B trong m
ộ
t không gian xác su
ấ
t,
chúng ta có:

( ) ( ). ( / )
( ) ( ). ( / )
=
=
AB B A B B
AB A B A
P P P neáu P( )> 0;
P P P neáu P(A)> 0


(6)

Ng
ườ
i ta g
ọ

i (6) là Công th
ứ
c nhân xác su
ấ
t
.

Công th
ứ
c (6) có th
ể

ñượ
c m
ở
r
ộ
ng b
ằ
ng phép qui n
ạ
p nh
ư
sau:
4.3. H
ệ
qu
ả
. Trong m
ộ

t không gian xác su
ấ
t, cho các bi
ế
n c
ố

A
1
,
A
2
, . . . ,
A
n
(n
≥
2) th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n P(
A
1
A
2

…
A
n -
1
) > 0. Khi
ñ
ó,
P(
A
1
A
2

A
n
) = P(
A
1
). P(
A
2

/
A
1
). P(
A
3

/

A
1
A
2
) . . . P(
A
n

/
A
1
A
2

A
n
1
). (7)
V
ớ
i hai bi
ế
n c
ố
A và B, th
ườ
ng thì P(A/B) không b
ằ
ng P(A). Tr
ườ

ng h
ợ
p
P(A / B) P(A)
=
, ngh
ĩ
a là thông tin v
ề
s
ự
x
ả
y ra c
ủ
a bi
ế
n c
ố
B không làm thay
ñổ
i xác su
ấ
t c
ủ
a bi
ế
n c
ố
A . Khi

ñ
ó, ng
ườ
i ta nói bi
ế
n c
ố
A
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i bi
ế
n c
ố
B.
V
ớ
i công th
ứ
c (6),
ñ
i
ề
u ki
ệ
n P(A/B) = P(A) có th
ể

vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng P(AB) =
P(A).P(B). D
ạ
ng này
ñố
i x
ứ
ng
ñố
i v
ớ
i A và B, ngh
ĩ
a là n
ế
u A
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i B thì B
c
ũ

ng
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i A.
4.4.
Đị
nh ngh
ĩ
a.
Hai biến cố A và B trong một không gian xác suất ñược
gọi là ñộc lập nếu
P(AB) = P(A).P(B) (8)
Khái niệm ñộc lập cũng ñược mở rộng cho n (n > 2) biến cố.
4.5. Định nghĩa. Các biến cố A
1
, A
2
, , A
n
ñược gọi là ñộc lập nếu với
mọi số nguyên m từ 2 ñến n và với mọi nhóm biến cố
, , ,
1 2
m
k k k
A A A
( 1 ≤

k
1
< k
2
< < k
m
≤ n), chúng ta có:
( . ) ( ). ( ) ( )
1 2 1 2
m m
k k k k k k
P A A A P A P A P A
=
.
Thông thường, dựa vào bản chất của phép thử, chúng ta mặc nhiên công
nhận rằng các biến cố ñộc lập mà không phải chứng minh.

12

Xác sut
−
−−
−
Thng kê





Phm Đc Thông



4.6. Định lý. Trong một không gian xác suất, xét ba biến cố A, B và C.
(i) Nếu A và B ñộc lập thì mỗi nhóm 2 biến cố sau ñây ñều ñộc lập
(
A
và
B
), (
A
và
B
) và (
A
và
B
) cũng ñộc lập.
(ii) Nếu A, B và C ñộc lập thì mỗi nhóm 3 biến cố sau ñây ñều ñộc lập:
(
A
, B và
C
); (
A
,
B
và C); (
A

,
B
và
C
);
(
A
,
B
và
C
); (
A
,
B
và
C
); (
A
,
B
và
C
) và (
A
,
B
và
C
)

Chứng minh.
(i)
( ) ( ) ( )
P AB P B P AB
= −


( ) ( ). ( ) (1 ( )). ( )
P B P A P B P A P B
= − = −

=
P( )P( )
A B

V
ậ
y, (
A
và B)
ñộ
c l
ậ
p.
T
ừ
k
ế
t qu
ả

trên, d
ễ
dàng suy ra (
A
và
B
) và (A và
B
)
ñộ
c l
ậ
p.
(ii) Dùng (i),
ñể
ch
ứ
ng minh (
A
, B và C)
ñộ
c l
ậ
p, chúng ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng

minh
( ) ( ) ( ) ( ).
P ABC P A P B P C
=

T
ươ
ng t
ự
cho các nhóm 3 bi
ế
n c
ố
khác. (Dành cho b
ạ
n
ñọ
c)
.
■

4.7. Thí dụ.
4.7.1.
T
ừ
m
ộ
t h
ộ
p ch

ứ
a 8 viên bi
ñỏ
và 5 viên bi tr
ắ
ng ng
ườ
i ta l
ấ
y ng
ẫ
u
nhiên 2 l
ầ
n, m
ỗ
i l
ầ
n 1 viên bi,
không
hoàn l
ạ
i. Tính xác su
ấ
t
ñể
l
ấ
y
ñượ

c
(a) 2 viên bi
ñỏ
;
(b) hai viên bi khác màu;
(c) viên bi th
ứ
hai là bi tr
ắ
ng.
Giải.
V
ớ
i i ∈ {1, 2},
ñă
t:
T
i
: “viên bi l
ấ
y ra l
ầ
n th
ứ
i là bi tr
ắ
ng”,
D
i
: “viên bi l

ấ
y ra l
ầ
n th
ứ
i là bi
ñỏ
”.
(a)
Đặ
t A: “l
ấ
y
ñượ
c 2 viên bi
ñỏ
”, chúng ta có:
P(A) = P(D
1
D
2
) = P(D
1
).P(D
2
/D
1
) =
8 7
14

13 12 39
. =

(b)
Đặ
t B: “l
ấ
y
ñượ
c hai viên bi khác màu”, chúng ta có:
P(B) = P(T
1
D
2
+ D
1
T
2
) = P(T
1
D
2
) + P(D
1
T
2
)
= P(T
1
).P(D

2
/T
1
) + P(D
1
).P(T
2
/D
1
)


Chưng 1

XÁC SUT

13


P(B) =
5 8 8 5 20
13 12 13 12 39
+ =

(c) T
2
= T
1
T
2

+ D
1
T
2
, nên xác su
ấ
t ph
ả
i tính là:
P(T
2
) = P(T
1
T
2
) + P(D
1
T
2
)
= P(T
1
).P(T
2
/T
1
) + P(D
1
).P(D
2

/T
1
)
P(T
2
) =
5 8 5 5
4
13 12 13 12 13
+ =

4.7.2
Gi
ả
i l
ạ
i Thí d
ụ
1.4.7.1, nh
ư
ng thay c
ụ
m t
ừ
“
không
hoàn l
ạ
i” thành
“

có
hoàn l
ạ
i”.
Giải.
V
ớ
i gi
ả
thi
ế
t này, các c
ặ
p bi
ế
n c
ố
(T
1
, T
2
); (T
1
, D
2
); (D
1
, T
2
) và (D

1
, D
2
)
ñộ
c l
ậ
p. Do
ñ
ó,
(a) P(A) = P(D
1
D
2
) = P(D
1
).P(D
2
) =
8 8 64
13 13 169
. =

T
ươ
ng t
ự
cho các câu sau. B
ạ
n

ñọ
c t
ự
gi
ả
i.

5. SỰ PHÂN HOẠCH KHÔNG GIAN MẪU - CÔNG THỨC BAYES

Các bi
ế
n c
ố
H
1
, H
2
, . . ., H
n
trong m
ộ
t không gian m
ẫ
u
M

ñượ
c g
ọ
i là t

ạ
o
thành
một phân hoạch
c
ủ
a
M
n
ế
u: (
ñặ
t I = {1,2, …, n} )
( , ) , ( )
2
1=

∀ ∈ ≠ ⇒ = ∅



=



∪
i j
n
i
i

i j I i j H H
H M

Có tài li
ệ
u g
ọ
i chúng là m
ộ
t Nhóm
ñầy ñủ các biến cố.
Với biến cố A bất kỳ trong
M
:
A =
M
A = (H
1
∪ H
2
∪ . . . ∪ H
n
)A
= (H
1
A) + (H
2
A) + . . . + (H
n
A)

Vậy,

1
( ) ( ). ( / )
=
=
∑
n
i i
i
P A P H P A H
(9)

(9)
ñượ
c g
ọ
i là
công thức xác suất theo giả thiết
. Các xác su
ấ
t P(H
i
) và
P(A/ H
i
) th
ườ
ng
ñượ

c bi
ế
t tr
ướ
c khi th
ự
c hi
ệ
n phép th
ử
và
ñượ
c g
ọ
i là các
xác
suất tiền nghiệm
, còn các xác su
ấ
t
P H A
i
( / )
, cho bi
ế
t kh
ả
n
ă
ng tham gia c

ủ
a H
i


14


Xác sut
−
−−
−
Thng kê






Phm Đc Thông



vào vi
ệ
c x
ả
y ra bi
ế
n c

ố
A,
ñượ
c g
ọ
i là
xác suất hậu nghiệm
.

Chúng ta có th
ể

tính xác su
ấ
t h
ậ
u nghi
ệ
m t
ừ
các xác su
ấ
t ti
ề
n nghi
ệ
m :

( ) ( ). ( / )
( / )

( ) ( )
= =
i i i
i
P H A P H P A H
P H A
P A P A

Dùng (9), chúng ta có
5.1. Định lý BAYES.
Gi
ả
s
ử
H
1
, H
2
, . . ., H
n
là m
ộ
t phân ho
ạ
ch c
ủ
a
không gian xác su
ấ
t

M
và
A
là m
ộ
t bi
ế
n c
ố
b
ấ
t k
ỳ
trong

M
. Khi
ñ
ó, v
ớ
i m
ọ
i i
∈

{1, 2, , n }:

1
( ). ( / )
( ). ( / )

( / )
=
=
∑
P P
P P
P
i i
n
i i
i
H A H
i
H A H
H A
(10)
5.2. Thí dụ.
5.2.1.
Ba ng
ườ
i cùng vào m
ộ
t c
ử
a hàng. M
ỗ
i ng
ườ
i mu
ố

n mua m
ộ
t cái Tivi,
nh
ư
ng c
ử
a hàng ch
ỉ
còn hai cái Tivi. Ng
ườ
i bán hàng làm 3 lá th
ă
m, trong
ñ
ó có
hai lá
ñượ
c
ñ
ánh d
ấ
u. M
ỗ
i ng
ườ
i l
ầ
n l
ượ

t rút m
ộ
t lá th
ă
m. N
ế
u ai rút
ñượ
c lá có
ñ
ánh d
ấ
u thì
ñượ
c mua Tivi. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng cách làm trên là công b
ằ
ng cho c
ả

3 ng
ườ
i mua hàng.
Giải.

Đặ
t

A
i
: “ng
ườ
i th
ứ
i rút
ñượ
c lá th
ă
m có
ñ
ánh d
ấ
u” ( i
∈
{1,2,3} ), chúng
ta có:
•

P
(
A
1
) =
2
3
,
•
Vì

2 1 2 1 2
A A A A A
= +
nên
2 1 2 1 1 2 1
2 1 1 2
3 2 3 3
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / )
. . 1
P A P A P A A P A P A A
= +
= + =

• Vì
3 1 2 11
( )
A A A A
= + , nên

3 1 2 1 1
( ) ( ). ( / ) ( )
P A P A P A A P A
= +


2 1 1 2
3 2 3 3
.
= + =

Vì P(A
1
) = P(A
2
) = P(A
3
) =
2
3

nên cách làm trên là công b
ằ
ng cho c
ả
3
ng
ườ
i mua hàng.
Thí dụ 5.2.1
có th
ể

ñượ
c m
ở
r
ộ
ng nh
ư
sau:

Trong m
ộ
t
ñợ
t x
ổ
s
ố
, công ty phát hành N vé s
ố
, trong
ñ
ó có k vé trúng
th
ưở
ng (1 ≤ k ≤ N). n ng
ườ
i (1 ≤ n ≤ N) l
ầ
n l
ượ
t mua m
ỗ
i ng
ườ
i m
ộ
t vé s
ố

.


Chưng 1

XÁC SUT

15


Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n ng
ườ
i
ñ
ó
ñề
u có c
ơ
h
ộ
i trúng th
ưở
ng nh
ư
nhau. ( xem nh
ư

bài
t
ậ
p)
5.2.2.
M
ộ
t lô h
ạ
t gi
ố
ng g
ồ
m làm 3 lo
ạ
i
ñể
l
ẫ
n l
ộ
n. Lo
ạ
i 1 chi
ế
m 2/3 s
ố
h
ạ
t,

lo
ạ
i 2 chi
ế
m 1/4, còn l
ạ
i là lo
ạ
i 3. T
ỉ
l
ệ
n
ẩ
y m
ầ
m c
ủ
a lo
ạ
i 1, lo
ạ
i 2 và lo
ạ
i 3, theo
th
ứ
t
ự
, là 80%, 70% và 50%. L

ấ
y ng
ẫ
u nhiên m
ộ
t h
ạ
t t
ừ
lô h
ạ
t gi
ố
ng .
(a) Tính xác su
ấ
t
ñể
h
ạ
t gi
ố
ng l
ấ
y ra là n
ẩ
y m
ầ
m
ñượ

c. Ý ngh
ĩ
a c
ủ
a xác
su
ấ
t này
ñố
i v
ớ
i lô h
ạ
t gi
ố
ng là gì?
(b) Gi
ả
s
ử
h
ạ
t gi
ố
ng l
ấ
y ra là n
ẩ
y m
ầ

m
ñượ
c. Tính xác su
ấ
t
ñể
h
ạ
t gi
ố
ng
ñ
ó
thu
ộ
c lo
ạ
i 2.
(c) Gi
ả
s
ử
h
ạ
t gi
ố
ng l
ấ
y ra là không n
ẩ

y m
ầ
m
ñượ
c. Nhi
ề
u kh
ả
n
ă
ng nh
ấ
t là
h
ạ
t gi
ố
ng
ñ
ó thu
ộ
c lo
ạ
i nào? T
ạ
i sao?
Giải.

(a) G
ọ

i A: “h
ạ
t gi
ố
ng l
ấ
y ra là h
ạ
t n
ẩ
y m
ầ
m
ñượ
c”
và H
i
là bi
ế
n c
ố
" h
ạ
t gi
ố
ng l
ấ
y ra thu
ộ
c lo

ạ
i i" (i = 1, 2, 3),
chúng ta có:
P(H
1
) = 2/3, P (H
2
) = 1/4, P(H
3
) = 1/12,
P(A/H
1
) = 0,8; P (A/H
2
) = 0,7 và P(A/H
3
) = 0,5.

3
1
( ) ( ). ( / )
i i
i
P A P H P A H
=
=
∑

=
+ + =

2 1 1
3 4 12
.0,8 .0,7 .0,5 0,75.

Xác su
ấ
t P(A) chính là
tỉ lệ nẩy mầm chung của lô hạt giống
.
(b)

Gi
ả
s
ử
h
ạ
t gi
ố
ng l
ấ
y ra là n
ẩ
y m
ầ
m
ñượ
c.
Xác su
ấ

t ph
ả
i tính là P(H
2
/A).
Theo
Đị
nh lý Bayes,
0,25 0,7
7
2 2
2
0,75 30
( ). ( / )
( / )
( )
P H P A H
P H A
P A
×
= = =

(c)

Gi
ả
s
ử
h
ạ

t gi
ố
ng l
ấ
y ra là không n
ẩ
y m
ầ
m
ñượ
c.
So sánh giá tr
ị
các xác su
ấ
t:
1 2
( / ), ( / )
P H A P H A
và
3
( / )
P H A
;

s
ẽ
th
ấ
y nhi

ề
u kh
ả
n
ă
ng nh
ấ
t là h
ạ
t gi
ố
ng
ñ
ó thu
ộ
c lo
ạ
i 1. (
1
( / )
P H A

l
ớ
n nh
ấ
t).
B
ạ
n

ñọ
c t
ự
gi
ả
i.

5.2.3. Có hai hộp ñựng bi. Hộp thứ nhất có 2 bi trắng và 8 bi ñỏ; hộp thứ
hai có 3 bi trắng và 5 bi ñỏ.

16

Xác sut
−
−−
−
Thng kê






Phm Đc Thông



(a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 bi. Tính xác suất ñể lấy ñược 3 bi ñỏ;
lấy ñược 4 bi cùng màu.
(b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp ñó lấy ra 4 bi thì ñược 2 bi trắng.

Tính xác suất ñể 4 bi ñó thuôc hộp thứ nhất.
Giải.
(a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra hai viên bi:
Với i ∈ {0,1, 2} và j ∈ {0,1, 2}, ñăt tên các biến cố:
A
i
: “lấy ñược i bi ñỏ từ hộp 1”,
B
j
: “lấy ñược j bi ñỏ từ hộp 2”;
K: “lấy ñược 3 bi ñỏ và 1 bi trắng”;
và M: “lấy ñược 4 bi cùng màu”.
Các cặp biến cố (A
i
, B
j
) ñộc lập.
K = A
1
B
2
+ A
2
B
1

nên
P(K) = P(A
1
).P(B

2
) + P(A
2
).P(

B
1
);
P(K) =
1 1 2 1 1
2
5
8 2 5 8 3
2 2 2 2
10 8 10 8
C .C C C C
C
29
63
C C C C
. .+ = .
2 2 2 2
M A B A B
= +
nên

2 2 2 2
P(M) P(A ).P(B ) P(A ).P(B )
= +
;

= +
2 2 2
2
8 5 2 3
2 2 2 2
10 8 10 8
C C C
C
C C C C
P(M) . .

(b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp ñó lấy ra 4 bi:
Đặt H
i
: “lấy ñược hộp thứ i” ( i = 1, 2 )
và T : “lấy ñược 2 bi trắng”,
chúng ta có:
P(H
1
) = P(H
2
) =
1
2
;
P(T/H
1
) =
2 2

C .C
2 8
2
4 15
C
10
=

và P(T/H
2
) =
2 2
C .C
5
3 3
4 7
C
8
=



Chưng 1

XÁC SUT

17


Xác suất phải tính là P(H

1
/ T).
Vì T = H
1
T + H
2
T
nên P(T) = P(H
1
).P(T/H
1
) + P(H
2
).P(T/H
2
)
=
3 59
1 2 1
2 15 2 7 210
. .+ =

Vậy,

1 1
( ). ( / )
1
( )
210
1 14

15 59 59
( / )
. .
P H P T H
P T
P H T =
= =


6. QUÁ TRÌNH BERNOULLI

6.1. Định nghĩa.
(a) Giả sử một phép thử chỉ có hai kết quả sơ cấp; một ñược gọi là "Thành
công" ký hiệu là T, và kết quả kia ñược gọi là "Thất bại", ký hiệu là B. Nếu xác
suất cho thành công là p thì xác suất cho thất bại là q = 1 − p. Một phép thử như
thế ñược gọi là một phép thử Bernoulli, với xác suất cho thành công là p, ký hiệu
là B(p).
(b) Lặp lại phép thử B(p) n lần ñộc lập nhau, chúng ta có một phép thử
ñược gọi là một Quá trình Bernoulli (n,p), ký hiệu là B(n,p).
Không gian mẫu của B(n,p) chứa 2
n
ñiểm, mỗi ñiểm ñược biểu diễn bởi một
dãy n ký tự gồm các chữ T và B. Theo ñịnh nghĩa, P(TTBT BT) = ppqp qp.
Số lần thành công trong một quá trình B(n,p) có thể là 0, 1, 2, , n và bài toán
ñặt ra là: Tính xác suất ñể có x thành công trong quá trình (0 ≤ x ≤ n). Số trường
hợp biến cố " có x thành công trong quá trình" có thể xảy ra bằng với số trường
hợp phân phối x chữ T trong n vị trí; số ñó là
x
n
C

. Nói cách khác, biến cố trên
chứa
x
n
C
ñiểm, mỗi ñiểm có xác suất p
x
q
n
−
x
.
Vậy, với mọi x ∈ {0,1,…, n}, biến cố
T
x
: “có x thành công trong B(n, p)”
có xác suất là

( ) ( )
−
= −P C 1
x x n x
x n
T p p (11)
Đặ
c bi
ệ
t, xác su
ấ
t

ñể
không có l
ầ
n thành công nào là
q
n
và xác su
ấ
t
ñể
có ít
nh
ấ
t m
ộ
t l
ầ
n thành công là

1
−
−−
−
q
n
. ( v
ớ
i
q
= 1 −

p
)
(11)
ñượ
c g
ọ
i là công th
ứ
c Bernoulli.

18


Xác sut
−
−−
−
Thng kê






Phm Đc Thông



• N
ế

u gi
ữ
n và p c
ố

ñị
nh thì xác su
ấ
t P(
T
x
), ký hi
ệ
u là P
n
(x), là m
ộ
t hàm
theo
x
. Chúng ta kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên c
ủ
a P
n

(x) khi
x
t
ă
ng t
ừ
0
ñế
n n.
V
ớ
i m
ọ
i
x


{1, 2, . . . , n },
( )
( 1) ( 1)
1
( 1)
n
n
P x
n x p n p x
P x xq xq
− + + −
= = +
−

Do
ñ
ó,
P
n
(
x
) > P
n
(
x
−1) ⇔
x
< (
n
+ 1)
p
.
Ký hi
ệ
u [(n + 1)p] là ph
ầ
n nguyên c
ủ
a (n + 1)
p
, chúng ta có
6.2.
Đị

nh lý. Trong quá trình B(n,p), xác su
ấ
t
ñể
có
x
thành công,
x
∈ {0,
1,…, n}, là:

) ( )
−
= −C 1
x x n x
n n
P x p p
(14)
Ngoài ra, khi
x
t
ă
ng d
ầ
n t
ừ
0
ñế
n n thì P
n

(
x
) t
ă
ng d
ầ
n và
ñạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t
khi
x
= [(
n
+ 1)
p
],
sau
ñ
ó P
n
(
x
) gi
ả

m d
ầ
n.
Ng
ườ
i ta g
ọ
i
x
o
= [(
n
+ 1)p] là S
ố
thành công có xác su
ấ
t l
ớ
n nh
ấ
t hay
còn g
ọ
i là S
ố
thành công có kh
ả
n
ă
ng nh

ấ
t. Th
ự
c ra, khi n có giá tr
ị
l
ớ
n, t
ấ
t c
ả

các s
ố
h
ạ
ng P
n
(
x
)
ñề
u bé.
6.3. Thí d
ụ
.
6.3.1. T
ỉ
l
ệ

s
ả
n xu
ấ
t ra ph
ế
ph
ẩ
m c
ủ
a m
ộ
t máy là 8%. Kh
ả
o sát m
ộ
t lô hàng
g
ồ
m 75 s
ả
n ph
ẩ
m do máy
ñ
ó s
ả
n xu
ấ
t ra.

(a) Tính xác su
ấ
t
ñể
trong lô hàng, có 10 ph
ế
ph
ẩ
m
(b) Trong lô hàng, nhi
ề
u kh
ả
n
ă
ng nh
ấ
t là có bao nhiêu ph
ế
ph
ẩ
m? Tính xác
su
ấ
t t
ươ
ng
ứ
ng.
Gi

ả
i.
N
ế
u xem vi
ệ
c máy s
ả
n xu
ấ
t ra m
ộ
t s
ả
n ph
ẩ
m là m
ộ
t phép th
ử
Bernoulli, v
ớ
i
xác su
ấ
t cho “thành công” là p = 0,08, thì khi máy
ñ
ó s
ả
n xu

ấ
t 75 s
ả
n ph
ẩ
m, nó
ñ
ã
th
ự
c hi
ệ
n quá trình B(75; 0,08).
(a) Xác su
ấ
t ph
ả
i tính:
P
75
(10) =
10 10 65
75
C 0 08 0 92 0 03941
( , ) .( , ) ,=

(b) S
ố
ph
ế

ph
ẩ
m nhi
ề
u kh
ả
n
ă
ng nh
ấ
t trong lô hàng là:
[(75 + 1). 0,08] = 6,
v
ớ
i xác su
ấ
t t
ươ
ng
ứ
ng:


Chưng 1

XÁC SUT

19

P
75
(6) =
6 6 69
75
C 0 08 0 92 0 16745
( , ) .( , ) ,=

6.3.2. Ng
ườ
i ta mu
ố
n l
ấ
y ng
ẫ
u nhiên m
ộ
t s
ố
h
ạ
t gi
ố
ng t
ừ
m
ộ
t lô h
ạ

t gi
ố
ng
có t
ỉ
l
ệ
h
ạ
t lép là 3%
ñể
nghiên c
ứ
u. H
ỏ
i ph
ả
i l
ấ
y ít nh
ấ
t bao nhiêu h
ạ
t sao cho
xác su
ấ
t
ñể
có ít nh
ấ

t m
ộ
t h
ạ
t lép không bé h
ơ
n 95% ?.
Gi
ả
i.
G
ọ
i n là s
ố
h
ạ
t ph
ả
i l
ấ
y, chúng ta có B(n; 0,03). Xác su
ấ
t
ñể
có ít nh
ấ
t m
ộ
t
h

ạ
t lép là 1 − (1 − 0,03)
n
= 1 − (0,97)
n
.
Theo gi
ả
thi
ế
t, chúng ta có:
1 − (0,97)
n
≥ 0,95
⇔ (0,97)
n
≤ 0,05
⇔
ln 0,05
ln 0,97
n 98,3523
≥ =

V
ậ
y, ph
ả
i l
ấ
y ít nh

ấ
t 99 h
ạ
t gi
ố
ng.

7. NGUYÊN LÝ BI
Ế
N C
Ố
HI
Ế
M

Chúng ta
ñ
ã bi
ế
t, m
ộ
t trong nh
ữ
ng c
ơ
s
ở
c
ủ
a khái ni

ệ
m xác su
ấ
t c
ủ
a m
ộ
t
bi
ế
n c
ố
là tính
ổ
n
ñị
nh t
ầ
n su
ấ
t c
ủ
a bi
ế
n c
ố

ñ
ó. Nh
ư

v
ậ
y quy lu
ậ
t xác su
ấ
t s
ẽ
xu
ấ
t
hi
ệ
n khi có m
ộ
t s
ố
l
ớ
n các phép th
ử
. Tuy nhiên, trong th
ự
c t
ế
, khi ch
ỉ
ti
ế
n hành

m
ộ
t phép th
ử
, nguyên lý sau
ñ
ây, g
ọ
i là Nguyên lý bi
ế
n c
ố
hi
ế
m, s
ẽ

ñượ
c áp
d
ụ
ng.
Một biến cố có xác suất rất bé là biến cố rất khó xảy ra. Khi chỉ tiến hành
một phép thử về biến cố ñó, trong thực hành, biến cố ñó chắc chắn sẽ không xảy
ra.

Tùy theo m
ỗ
i l
ĩ

nh v
ự
c
ứ
ng d
ụ
ng, ng
ườ
i ta qui
ñị
nh m
ộ
t m
ứ
c α khác nhau;
xác su
ấ
t d
ướ
i m
ứ
c α
ñ
ó
ñượ
c coi là r
ấ
t bé. M
ứ
c α có th

ể
là 5%, 1%, có khi là vài
ph
ầ
n nghìn, e.g. trong sinh h
ọ
c, m
ộ
t bi
ế
n c
ố
có xác su
ấ
t không qu
ỏ
5% th
ườ
ng
ñượ
c xem là hi
ế
m, g
ầ
n nh
ư
không th
ể
có. N
ế

u ch
ỉ
th
ự
c hi
ệ
n m
ộ
t phép th
ử

ñ
ã th
ấ
y
m
ộ
t bi
ế
n c
ố
A x
ả
y ra thì xác su
ấ
t c
ủ
a bi
ế
n c

ố
A ph
ả
i l
ớ
n h
ơ
n α.
Nguyên lý bi
ế
n c
ố
hi
ế
m
ñượ
c dùng làm c
ơ
s
ở
lôgic cho nhi
ề
u phán
ñ
oán
th
ố
ng kê mà chúng ta s
ẽ
g

ặ
p
ở
ph
ầ
n th
ứ
hai c
ủ
a giáo trình.
Thí d
ụ
. M
ộ
t l
ớ
p có m
ặ
t 50 h
ọ
c sinh. Th
ầ
y giáo g
ọ
i ng
ẫ
u nhiên 2 h
ọ
c sinh
lên b

ả
ng, th
ấ
y c
ả
hai
ñề
u không thu
ộ
c bài. Hãy d
ự

ñ
oán xem, hôm nay, l
ớ
p có bao
nhiêu h
ọ
c sinh không thu
ộ
c bài?
Gi
ả
i.
Gi
ả
s
ử
trong l
ớ

p có
x
h
ọ
c sinh không thu
ộ
c bài, xác su
ấ
t
ñể
hai h
ọ
c sinh,
ñượ
c g
ọ
i ng
ẫ
u nhiên,
ñề
u không thu
ộ
c bài là:

20


Xác sut
−
−−

−
Thng kê






Phm Đc Thông



2
2
50
C
( 1)
50. 49
C
x
x x
−
=

Bi
ế
n c
ố
“hai h
ọ

c sinh
ñượ
c g
ọ
i lên
ñề
u không thu
ộ
c bài” x
ả
y ra ngay phép
th
ử

ñầ
u tiên, nên không ph
ả
i là m
ộ
t bi
ế
n c
ố
hi
ế
m.
Theo nguyên lý bi
ế
n c
ố

h
ỉế
m, n
ế
u l
ấ
y m
ứ
c α = 5% thì chúng ta có:

( 1)
5
50. 49 100
x x
−
>

⇔ 2
x
2
− 2
x
− 245 > 0
V
ậ
y, hôm nay, l
ớ
p có ít nh
ấ
t 12 h

ọ
c sinh không thu
ộ
c bài.




XS
T
K
K

2008









BÀI TẬP

1.1.

Cho ba biến cố A, B và C. Hãy viết thành biểu thức theo A, B và C
các biến cố sau:
(a) cả A, B và C ñều xảy ra;

(b) ít nhất một trong các biến cố A, B hoặc C xảy ra;
(c) chỉ có A xảy ra;


Chưng 1

XÁC SUT

21


(d) chỉ có một trong ba biến cố A, B hoặc C xảy ra.
1.2.

Kiểm tra lần lượt 4 sản phẩm. Mỗi sản phẩm thuộc một trong hai loại:
Chính phẩm hoặc phế phẩm. Đặt A
k
: “Sản phẩm ñược kiểm tra lần thứ k là phế
phẩm” (k ∈ {1, 2, 3, 4}). Hãy biểu diễn các biến cố sau ñây qua các A
k
:
(a) cả 4 sản phẩm ñều là phế phẩm,
(b) cả 4 sản phẩm ñều là chính phẩm;
(c) có ít nhất một sản phẩm là phế phẩm;
(d) chỉ có một chính phẩm.
1.3.

Có 3 bình. Mỗi bình chứa một số viên bi xanh và viên bi ñỏ. Từ mỗi
bình lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Đặt X
i

: “lấy ñược viên bi xanh từ bình thứ i”,
(i ∈ {1,2,3}). Hãy biểu diễn các biến cố sau ñây qua các X
i
:
(a) Lấy ñược 3 bi cùng màu;
(b) Lấy ñược 2 bi xanh;
(c) Lấy ñược ít nhất một bi ñỏ.
1.4.

Cho A và B là hai biến cố trong cùng một không gian xác suất, với
5
8
( )P A
=
,
1
2
( )P B
=
và
1
4
( )P AB
=
.
Tính:
(a) P(A ∪ B);
(b) P(
A B
∪

);
(c) P({cả A và B ñều không xảy ra});
(d) P({A và B không xảy ra ñồng thời});
(e) P({chỉ có A xảy ra});
(f) P({chỉ có một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra}).
1.5.

Một hệ thống bơm trong sản xuất nông nghiệp sẽ ngừng hoạt ñộng khi
máy bơm bị hỏng hoặc các chỗ nối bị rò rỉ. Có hai hệ thống bơm A và B ñược
chào hàng với các thông số kỹ thuật ñược cho trong bảng sau:
Hệ thống Xác suất hỏng bơm Xác suất rò rỉ Xác suất hỏng bơm và rò rỉ
A
B
0,07
0,09
0,10
0,12
0,00
0,06
Theo ý bạn, nên chọn hệ thống nào ñể việc sản xuất ít bị gián ñoạn hơn?
Nếu lắp ñặt cả hai hệ thống A và B và chúng hoạt ñộng ñộc lập, thì xác suất ñể cả
hai cùng ngưng hoạt ñộng là bao nhiêu?
1.6. Cho A và B là hai biến cố trong cùng một không gian xác suất, với

22

Xác sut
−
−−
−

Thng kê





Phm Đc Thông



P(A) =
1
3
, P(B) =
1
4
và P(A ∪ B) =
1
2
.
Tính xác suất ñể
(a) A xảy ra, biết rằng B ñã xảy ra;
(b) B xảy ra, biết rằng A ñã xảy ra;
(c) cả A và B ñều không xảy ra;
(d) chỉ có A xảy ra;
(e) A xảy ra, biết rằng B không xảy ra;
(f) B không xảy ra, biết rằng A không xảy ra.
1.7.

Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 8 người, gồm 5 nam và 3 nữ

nạp ñơn xin dự tuyển, và mỗi người ñều có cơ hội ñược tuyển như nhau. Tính xác
suất ñể trong 4 người ñược tuyển,
(a) có duy nhất một nam;
(b) có ít nhất một nữ;
(c) có không quá hai nam;
(d) có ba nữ, biết rằng có ít nhất một nữ ñã ñược tuyển.
1.8.

Một cửa hàng sách ước lượng rằng: Trong tổng số các khách hàng ñến
cửa hàng, có 30% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và
15% khách thực hiện cả hai ñiều trên. Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách.
Tính xác suất ñể người này (a) không thực hiện cả hai ñiều trên; (b) không mua
sách, biết rằng người này ñã hỏi nhân viên bán hàng.
1.9.

Cho ba biến cố A, B và C trong cùng một không gian xác suất, có xác
suất tương ứng: P(A) = 0,7; P(B) = 0,6; P(C) = 0,5; P(AB) = 0,4; P(BC) =
0,2; P(AC) = 0,3 và P(ABC) = 0,1. Tính xác suất ñể
(a) cả 3 biến cố A, B và C ñều không xảy ra;
(b) có ñúng hai trong 3 biến cố A, B và C xảy ra;
(c) có ñúng một trong 3 biến cố A, B và C xảy ra.

1.10.

Một cuộc ñiều tra cho thấy, ở một thành phố, có 20,7% dân số dùng
loại sản phẩm X, 50% dùng loại sản phẩm Y và trong số những người dùng Y, có
36,5% dùng X. Phỏng vấn ngẫu nhiên một người dân trong thành phố ñó, tính xác
suất ñể người ấy
(a) dùng cả X và Y;
(b) không dùng X, cũng không dùng Y;

(c) dùng Y, biết rằng người ấy không dùng X.
1.11.


Cho hai biến cố A và B có xác suất dương và xung khắc. A và B có
ñộc lập không? Tại sao?


Chưng 1

XÁC SUT

23


1.12.

Theo một cuộc ñiều tra thì xác suất ñể một hộ gia ñình có máy vi tính
nếu thu nhập hàng năm trên 20 triệu (VNĐ) là 0,75. Trong số các hộ ñược ñiều
tra thì 60% có thu nhập trên 20 triệu và 52% có máy vi tính. Tính xác suất ñể một
hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên
(a) có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên 20 triệu;
(b) có máy vi tính, nhưng không có thu nhập trên 20 triệu;
(c) có thu nhập hàng năm trên 20 triệu, biết rằng hộ ñó không có máy vi
tính.
1.13. Trong một ñội tuyển có hai vận ñộng viên A và B thi ñấu. A thi ñấu
trước và có hy vọng 80% thắng trận. Do ảnh hưởng tinh thần, nếu A thắng trận
thì có 60% khả năng B thắng trận, còn nếu A thua thì khả năng này của B chỉ còn
30%. Tính xác suất của các biến cố sau:
(a) Đội tuyển thắng hai trận;

(b) B thắng trận;
(c) Đội tuyển thắng ít nhất một trận;
(d) Đội tuyển chỉ thắng có một trận.
1.14.

Để thành lập ñội tuyển quốc gia về một môn học, người ta tổ chức
một cuộc thi tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy
70% thí sinh ñã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 45% thí sinh ñã qua vòng
thứ hai. Để vào ñược ñội tuyển, thí sinh phải vượt qua ñược cả 3 vòng thi Tính
xác suất ñể một thí sinh bất kỳ
(a) ñược vào ñội tuyển;
(b) bị loại ở vòng thứ ba;
(c) bị loại ở vòng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại.

1.15.

Một lô hàng có 9 sản phẩm giống nhau. Mỗi lần kiểm tra, người ta
chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm; kiểm tra xong trả sản phẩm lại lô hàng. Tính xác
suất ñể sau 3 lần kiểm tra, 9 sản phẩm ñều ñược kiểm tra.
1.16.

Một lớp học của Trường Đại học AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3
là nữ sinh viên. Số sinh viên quê ở An Giang chiếm tỉ lệ 40% trong nữ sinh
viên, và chiếm tỉ lệ 60% trong nam sinh viên.
(a) Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tính xác suất ñể chọn ñược một
sinh viên quê ở An Giang. Nếu biết rằng sinh viên vừa chọn quê ở An
Giang thì xác suất ñể sinh viên ñó là nam bằng bao nhiêu?
(b) Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại hai sinh viên của lớp. Tính xác suất ñể
có ít nhất một sinh viên quê ở An Giang, biết rằng lớp học có 60 sinh
viên.

1.17. Có ba hộp A, B và C ñựng các lọ thuốc. Hộp A có 10 lọ tốt và 5 lọ
hỏng, hộp B có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng, hộp C có 5 lọ tốt và 5 lọ hỏng

24

Xác sut
−
−−
−
Thng kê





Phm Đc Thông



(a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ thuốc, tính xác suất ñể ñược 3 lọ
cùng loại.
(b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp ñó lấy ra 3 lọ thuốc thì ñược 1 lọ
tốt và 2 lọ hỏng. Tính xác suất ñể hộp A ñã ñược chọn.
(c) Lấy ngẫu nhiên hai lọ thuốc từ hộp B bỏ vào hộp C, rồi tiếp theo lấy
ngẫu nhiên một lọ thuốc từ hộp C thì ñược lọ hỏng. Tính xác suất ñể
(i) lọ hỏng ñó là của hộp B bỏ sang;
(ii) hai lọ thuốc bỏ từ hộp B vào hộp C ñều là lọ hỏng.
1.18.

Trong một ñội tuyển có 3 vận ñộng viên A, B và C thi ñấu với xác

suất chiến thắng lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Giả sử mỗi người thi ñấu một trận ñộc
lập nhau. Tính xác suất ñể:
(a) ñội tuyển thắng ít nhất một trận,
(b) ñội tuyển thắng 2 trận,
(c) A thua trong trường hợp ñội tuyển thắng 2 trận.
1.19.

Trong năm học vừa qua, ở trường ñại học XYZ, tỉ lệ sinh viên thi
trượt môn Toán là 34% , thi trượt môn Tâm lý là 20,5%, và trong số các sinh viên
trượt môn Toán, có 50% sinh viên trượt môn Tâm lý.
(a) Gặp ngẫu nhiên một sinh viên của trường XYZ. Tính xác suất ñể anh ta
trượt cả hai môn Toán và Tâm lý; ñậu cả hai môn Toán và Tâm lý.
Nếu biết rằng sinh viên này trượt môn Tâm lý thì xác suất ñể anh ta ñậu
môn Toán là bao nhiêu?
(b) Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên của trường XYZ. Nhiều khả năng nhất là
sẽ có bao nhiêu sinh viên thi trượt cả hai môn Toán và Tâm lý. Tính xác
suất tương ứng.
(c) Phải chọn bao nhiêu sinh viên của trường XYZ sao cho, với xác suất
không bé hơn 99%, trong số ñó có ít nhất một sinh viên ñậu cả hai môn
Toán và Tâm lý.
1.20.

Ba máy A, B và C của một xí nghiệp sản xuất, theo thứ tự, 60%, 30%
và 10% tổng số sản phẩm của một xí nghiệp. Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của các
máy trên, theo thứ tự, là 2%, 3% và 4%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng
của xí nghiệp, trong ñó ñể lẫn lộn các sản phẩm do 3 máy sản xuất.
(a) Tính xác suất ñể sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Ý nghĩa của xác suất
ñó ñối với lô hàng là gì?
(b) Nếu sản phẩm lấy ñược là phế phẩm, thì nhiều khả năng nhất là do máy
nào sản xuất?

1.21.

Chia ngẫu nhiên 9 tấm vé số, trong ñó có 3 vé trúng thưởng, ñều cho
3 người (mỗi người 3 tấm). Tính xác suất ñể cả 3 người ñều ñược trúng thưởng.
1.22. Trong số các bệnh nhân ñang ñược ñiều trị tại một bệnh viện, có 50%
ñiều trị bệnh A, 30% ñiều trị bệnh B và 20% ñiều trị bệnh C. Tại bệnh viện này,


Chưng 1

XÁC SUT

25


xác suất ñể chữa khỏi các bệnh A, B và C, theo thứ tự, là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy
tính tỉ lệ bệnh nhân ñược chữa khỏi bệnh A trong tổng số bệnh nhân ñã ñược
chữa khỏi bệnh trong bệnh viện.
1.23.
Có hai bình như sau:
Bình A chứa 5 bi ñỏ, 3 bi trắng và 8 bi xanh;
bình B chứa 3 bi ñỏ và 5 bi trắng.
(a) Gieo một con xúc xắc vô tư: Nếu mặt 3 hoặc mặt 5 xuất hiện thì chọn
ngẫu nhiên một bi từ bình B; các trường hợp khác thì chọn ngẫu nhiên
một bi từ bình A. Tính xác suất ñể chọn ñược viên bi ñỏ. Nếu viên bi
trắng ñược chọn, tính xác suất ñể mặt 5 của con xúc xắc xuất hiện.
(b) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ bình A bỏ vào bình B, rồi từ bình B lấy
ngẫu nhiên 1 viên bi thì ñược bi ñỏ. Theo ý bạn, viên bi ñó vốn thuộc
bình nào?
1.24. Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng thứ nhất có 1 con thỏ trắng và 5 con

thỏ nâu; chuồng thứ hai có 9 con thỏ trắng và 1 con thỏ nâu. Từ mỗi chuồng bắt
ngẫu nhiên ra một con ñể nghiên cứu. Các con thỏ còn lại ñược dồn vào một
chuồng thứ ba. Từ chuồng thứ ba này lại bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Tính xác
suất ñể con thỏ bắt ra sau cùng là một con thỏ nâu.
1.25. Đàng nào dễ thắng cuộc hơn, nếu ñánh cuộc ñược ít nhất một mặt 6
khi gieo một lần 4 con xúc xắc vô tư, hay ñánh cuộc ñược cặp (6, 6) ít nhất một
lần khi gieo 24 lần một cặp xúc xắc vô tư?
(Bài toán này do hiệp sĩ De Méré ñặt ra cho nhà toán học Pascal).
1.26. (Bài toán của Samuel Pepys) Biến cố nào trong các biến cố sau ñây
có xác suất lớn nhất?
(a) Có ít nhất một mặt 6 xuất hiện khi gieo 6 con xúc xắc vô tư;
(b) Có ít nhất hai mặt 6 xuất hiện khi gieo 12 con xúc xắc vô tư;
(c) Có ít nhất ba mặt 6 xuất hiện khi gieo 18 con xúc xắc vô tư;
1.27. Ban giám ñốc một công ty liên doanh với nước ngoài ñang xem xét
khả năng ñình công của công nhân ñể ñòi tăng lương ở hai nhà máy A và B. Kinh
nghiệm cho họ biết cuộc ñình công ở nhà máy A và B xảy ra lần lượt với xác suất
0,75 và 0,65. Ngoài ra, họ cũng biết rằng nếu công nhân ở nhà máy B ñình công
thì có 90% khả năng ñể công nhân ở nhà máy A ñình công ủng hộ.
(a) Tính xác suất ñể công nhân ở cả hai nhà máy ñình công.
(b) Nếu công nhân ở nhà máy A ñình công thì xác suất ñể công nhân ở nhà
máy B ñình công ñể ủng hộ bằng bao nhiêu?
1.28
.

Một nhân viên kiểm toán nhận thấy 15% các bản cân ñối thu chi
chứa các sai lầm. Trong các bản chứa sai lầm, 60% ñược xem là các giá trị bất
thường so với các số xuất phát từ gốc. Trong tất cả các bản cân ñối thu chi thì