Bài giảng toán cao cấp bài 2 các dạng toán về ma trận

BÀI 2
( PHẦN 1 )
Dạng 1
TÌM ĐK ĐỂ TỒN TẠI A
-1

PP: Dùng định lý
A khả nghịch detA khác 0
A = ( x 2 3 )
Tìm x để A khả nghịch
Ví dụ 1:
x
-x
-1
A khả nghịch detA khác 0
A = (x 2 3)
x
-x
-1
= (x
2
-2x-3)
detA = x
2
-2x-3
A khả nghịch
x
2
-2x-3
0
x

x
-1
3
1 1 3
4 2 6
m-3 -9
A =
1 2 m
-3 2 1
-6-3 1-m
Tìm m để A khả nghịch
Ví dụ 2:
B
C
A = B.C
detA = detB.detC
1 1 3
4 2 6
m-3 -9
A =
1 2 m
-3 2 1
-6-3 1-m
1 3
2 6
-3 -9
= B.C
detB = 0, m
detA = 0, m
A

-1
không tồn tại
với mọi m

n=1:

n=2:
A
-1
=
1
detA
c d
a b
A =
Dạng 2
TÌM MA TRẬN A
n
-1

-
-
a
d
c
b
Nếu A = (a), a = 0
A = (2)
A
-1

=(1/2)
1 -2
-1 -3
A =
Ví dụ: Tìm A
-1
biết
thì
A
-1
=( )
1/a
1 -2
-1 -3
A =
1 -1
-2 3
A
-1
=
1
5
-
-
PP1: Dùng phép biến đổi sơ cấp

n 3:
PP2: Dùng công thức
°Đổi chỗ hai dòng
°Nhân một dòng với

một số khác 0
°Cộng vào một dòng k
lần một dòng khác
PP1: Dùng phép biến đổi sơ cấp
A

I
Phép bđsc
I
A
-
1

Ví dụ : Tìm A
-1
, biết:
A =
0
1
1
3
11
1
1
2
A I
I
A
-1
A

I =
0
1
1
3
11
1
1
2
0
0
1
1
00
1
0
0
d2-2d1 , d3-d1
0
1
1
1
00
1
1
0
0
0
1

1
0-1
1
0
-2
0
1
1
1
00
1
1
0
0
0
1
1
0-1
1
0
-2
d2-d3
0
0
1
1
00
1
1
0

0
-1
1
1
0-1
1
0
-1
d1-d2
0
0
1
1
00
1
0
0
1
-1
1
1
0-1
2
-1
-1
1
-1
1
1
0-1

2
-1
-1
A
-1
PP2: Dùng công thức
A
11
A
21
. . . A
n1
A
12
A
22
A
n
2
A
1
n
A
2
n
A
n
n
.
.

.
. . .
. . .
A
-1
=
A
1
 A
i j
= (-1)
i+j
D
i j
 D
i j
là định thức bỏ
dòng i, cột j từ detA
Ví dụ: Tính tổng các phần tử ở
dòng 1 của A
-1

A =
0
1
1
3
11
1
1

2
A
11
A
21
A
31
A
12
A
22
A
32
A
13
A
23
A
33
A
-1
=
A
1
A
11
A
21
A
31

A
1
S =
( A
11
A
21
A
31
)
A
1
+ +
A =
0
1
1
3
11
1
1
2
detA = 1
S = ( )
A
11
A
21
A
31

+ +
A =
0
1
1
3
11
1
1
2
A
11
=(-1)
1+1
D
11
= D
11
= 2
A
21
=(-1)
2+1
D
21
= -D
21
= -1
A
31

=(-1)
3+1
D
31
= D
31
= 1
S =


A
11
A
21
A
31
+ +
= 2
BÀI 2
( PHẦN 2)
Dạng 3
TÍNH CHẤT CỦA A
-1
TC3:
(AB)
-1
=
TC1:
(A
-1

)
-1
=
TC2:
(A
T
)
-1
=
A
(A
-1
)
T

B
-1
A
-1

Nếu A khả nghịch thì
mệnh đề sau đúng hay sai
(2A)
-1
= 2A
-1
Ví dụ1:
 Nếu A=(a) thì A
-1
=(1/a), a khác 0

A=(1)
2A =
(2A)
-1
=
A
-1
=
2A
-1
=
Vậy
mệnh
đề
trên
sai
(2)
(1/2)
(1/1)=(1)
(2)
Nếu A, B, C khả nghịch và
cùng cấp thì mệnh đề sau đúng hay
sai
(ABC)
-1
= C
-1
B
-1
A

-1
Ví dụ2:
 TC: (AB)
-1
= B
-1
A
-1

(ABC)
-1
=
= C
-1
(AB)
-1
= C
-1
B
-1
A
-1
Vậy mệnh đề trên đúng
[(AB)C]
-1
GIẢI PT MA TRẬN
dạng 4
PP1: Dùng ma trận nghịch đảo
PP2: Giải hpt tuyến tính
Chú ý

Nếu A,B vuông
detA=0, detB=0
thì pt AX=B VN
 Tìm cấp của X
 Tìm phần tử của X
AX =
B
= B X A
-
1
A
-1
A

Ví dụ1 : Tìm X để: AX=B(*)
4
A =
0
0
-1
2
6
-1
-1
-3
4
B =
1
2
-1

0
5
-1
0
0
detA =
Vậy: pt (*)vô nghiệm
2 -1
6 -3
= 0
detB =
20

0
(-1)
Ví dụ2 : Tìm X để: AX=B
1 -2
-1 -3
detA = 5
0 1
1 2
B =A =
1 -1
-2 3
A
-1
=
1
5
-

-
Cách1
AX =
B
= B X A
-
1
A
-1
A

X = A
-1
B
=
-1 -1
-2 3
1
5
0 1
1 2
X =
-1/5
-3/5
-2/5 -1/5
=
-1 -3
-2 -1
1
5

1 -2
-1 -3
0 1
1 2
B =A =
Cách2
AX = B
 Cấp của X:
2x2
X =
z
t
x y
1 -2
-1 -3
z t
x y
0 1
1 2
=
=
-y-3t
y-2t
 Phần tử của X
1
0
2
1
-x-3z
= x-2z

=
=
-x-3z = 1
x-2z = 0
-y-3t = 2
y-2t = 1
x = -2/5
y = -1/5
z = -1/5
t = -3/5
X =
-1/5
-3/5
-2/5 -1/5