ÔN THI THPTQG LƯỢNG GIÁC RẤT NGẮN GỌN VÀ ĐẦY ĐỦ

10 PHẢN XẠ HAY DÙNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC TRONG KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 x = α + k 2π
sin x = sin α ⇔ 
 x = π − α + k 2π

4 phương trình lượng giác cơ bản

 x = α + k 2π
cos x = cos α ⇔ 
 x = −α + k 2π

(Công thức nghiệm)

tan x = tan α ⇔ x = α + kπ

ĐỀ BÀI

Dùng các công thức

phương trình tích

Lượng giác (*) biến đổi về

(hoặc đánh giá)

cot x = cot α ⇔ x = α + kπ

Kiểm tra

ĐÁP SỐ

ĐK (nếu có)

a sin x + b cos x = c
a sin 2 x + b sin x cos x + c cos2 x + d = 0

4 dạng phương trình cơ bản

( 2* )

a ( sin x ± cos x ) + b sin x cos x + c = 0
1


CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Công thức thường gặp
Công thức cộng
sin ( a ± b ) = sin a cos b ± sin b cos a

cos ( a ± b ) = cos a cos b msin a sin b
tan ( a ± b ) =

tan a ± tan b
1 mtan a tan b

Công thức nhân đôi
sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cos 2 a − sin 2 a

1
sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2sin 2 a cos 2 a = 1 − sin 2 2 a
2
3
sin 6 x + cos 6 x = 1 − 3sin 2 a cos 2 a = 1 − sin 2 2a
4
2
2
sin x = 1 − cos x = ( 1 − cos a ) ( 1 + cos a )
cos 2 x = 1 − sin 2 x = ( 1 − sin a ) ( 1 + sin a )

Công thức cơ bản
sin a
cos a
cot a =
cos a
sin a
2
2
sin a + cos a = 1 tan a.cot a = 1
1
1
1 + cot 2 a =
1 + tan 2 a =
2
sin 2 a
cos a
tan a =

sin 2 a = 1 − cos 2 a 1 ± sin 2a = ( sin a ± cos a )

cos 2 a = 1 − sin 2 a cos 2a = ( cos a + sin a ) ( cos a − sin a )
2

cos 2a = 2 cos 2 a − 1
cos 2a = 1 − 2sin 2 b

Công thức hạ bậc
1 + cos 2a
cos 2 a =
2
1 − cos 2a
sin 2 a =
2

Công thức qui về góc nhọn
Góc
Hàm sincostancot

Công thức biến đổi tổng thành tích
Cùng tên, khác góc
Cùng góc, khác tên
a+b
a −b
cos
2
2
a+b
a −b
cos a + cos b = 2 cos
cos

2
2
a+b
a −b
sin a − sin b = 2 cos
sin
2
2
a+b
a −b
cos a − cos b = −2sin
sin
2
2
sin a + sin b = 2sin

π
π


sin a + cos a = 2 sin  a + ÷ = 2 cos  a − ÷
4
4


π
π


sin a − cos a = 2 sin  a − ÷ = − 2 cos  a + ÷

4
4


π

tan a + cot a = −2 cot 2a  ∀a ≠ k ÷
2

2 
π
tan a − cot a =
 ∀a ≠ k ÷
sin 2 x 
2

Công thức biến đổi tích thành tổng
1
 cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 
2
1
sin a sin b = − cos ( a + b ) − cos ( a − b ) 
2
1
sin a cos b = sin ( a + b ) + sin ( a − b ) 
2
cos a cos b =

2

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:
éu = v + k2p
ê
sinu
=
sinv
Û
 Dạng:
êu = p - v + k2p
ê
ë

Đặc biệt:

éu = v + k2p
ê
cosu
=
cosv
Û
 Dạng:
êu = - v + k2p
ê
ë

Đặc biệt:

tanu = tan v Û u = v + kp
 Dạng:

p
Ðk : u,v ¹
+ kp
2

Đặc biệt:

 Dạng:

cot u = cot v Û u = v + kp
Ðk : u,v ¹ kp

Đặc biệt:

ìï
ïï sinx = 0 Þ x = kp
ïï
í sinx = 1 Þ x = p + k2p
2
ïï
ïï sinx = - 1 Þ x = - p + k2p
ïïî
2
ìï
ïï cosx = 0 Þ x = p + kp
ïï
2
ïí cosx = 1 Þ x = k2p
ïï
ïï cosx = - 1 Þ x = p + k2p

ïïî
ìï tanx = 0 Û x = kp
ïï
í
ïï tan x = ±1 Û x = ± p + kp
ïî
4
ìï
ïï cot x = 0 Û x = p + kp
ï
2
í
ïï
p
ïï cot x = ±1 Û x = ± + kp
4
î

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
Dạng
asin x + bsin x + c = 0
acos2 x + bcosx + c = 0

Đặt ẩn phu
t = sin x
t = cosx

atan2 x + btanx + c = 0

t = tanx

acot2 x + bcot x + c = 0

t = cot x

2

Điều kiện
- 1£ t £ 1
- 1£ t £ 1
p
+ kp , (k Î ¢)
2
x ¹ kp , ( k Î ¢ )

x¹

3


Nếu đặt t = sin2 x hoặc t = sinx thì điều kiện là 0 £ t £ 1(tương tự cho cos)

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ CÁC KẾT QUẢ QUAN TRỌNG CẦN NHỚ KĨ:
2
 1+ sin2x = sin2 x + cos2 x + 2sinx cosx = ( sinx + cosx)
2
 1- sin2x = sin2 x + cos2 x - 2sinx cosx = ( sin x - cosx)
3
3
 sin x + cos x = ( sin x + cosx) ( 1- sin x cosx)

3
3
 sin x - cos x = ( sinx - cosx) ( 1+ sinx cos x )
sin x cosx sin2 x + cos2 x
2
+
=
=
cosx sinx
sinx cosx
sin2x
2
2
cosx sin x
cos x - sin x 2cos2x
 cot x - tanx =
=
=
= 2cot x
sinx cosx
sin x cosx
sin2x
1
1 1
3 + 1cos4x
 sin4 x + cos4 x = 1- sin2 2x = + cos2 2x =
2
2 2
4
4

4
2
2
2
2
 cos x - sin x = sin x + cos x cos x - sin x = cos2x
 tanx + cot x =

(

)(

)

3 2
5 + 3cos4x
sin 2x =
4
8
6
6
4
4
2
2
 cos x - sin x = cos2x sin x + cos x + sin x cos x

 sin6 x + cos6 x = sin4 x + cos4 x - sin2 xcos2 x = 1-

(

)

x
1
=
2 cosx
cosx
cos2 x
1- sin2 x
1+ sinx
=
=
=

1- sinx cosx ( 1- sinx)
cosx
cosx ( 1- sinx)
 1+ tanx tan

æ
ö
3p
3p
3p
÷
= sin .cosx + cos .sinx = - cosx
ç + x÷
 sinç
÷

÷
ç
2
2
è2
ø
4


æ
ö
7p
7p
7p
÷
= cos .cosx - sin .sinx = sinx
ç + x÷
 cosç
÷
÷
ç
2
2
è2
ø

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
asinx + bcosx = c( *)
a sin x + b cos x = c

Chia hai vế

a
a 2 + b2

sin x +

b
a 2 + b2

cos x =

c

sin ( x + α ) =

a 2 + b2

c

Điều kiện

a 2 + b2

ĐÁP SỐ

Ví dụ 1: (A,A1 2012) Giải phương trình:
Giải: hoặc
hoặc
Vậy nghiệm của phương trình là:

sin ( u + α ) = sin v

a sin u + b cos u = a 2 + b 2 sin v
Dạng mở rộng
a sin x + b cos x = c

Chia hai vế
a sin u + b cos u = a + b cos v

cos ( u + α ) = cos v

a sin u + b cos u = a sin v + b cos v

sin ( u + α ) = sin ( v + β )

2

Ví dụ 2: (B 2012) Giải phương trình:

2

ĐÁP SỐ

hoặc
Vậy nghiệm của phương trình là:

Giải:

5

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
asin2 x + bsinxcosx + ccos2 x + d = 0 ( * *)
Vô lí: không phải là nghiệm của (**)
Đúng: là nghiệm của (**)
Cách 1

ĐÁP SỐ
Chia hai vế
cho

A tan 2 x + B tan x + C = 0

Ví du: Giải phương trình:
Cách 1: *) Với : (**) có dạng: (vô lí)
*) Với : Chia cả hai vế (**) cho .

tan x = ?

Cách 2:

(**)

sin 2 x =

Cách 2

1 − cos 2x
1 + cos 2x

; cos 2 x =
2
2
1
sin x cos x = sin 2x
2

có dạng:

A sin 2x + B cos 2x + c = 0

Đưa về

Dạng

ĐÁP SỐ

6


PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COS
a( sinx ± cosx) + bsinx cosx + c = 0 ( 3*)
t = sinx + cosx

( 3*)

Đặt

t = sinx - cosx

Ví dụ 1: Giải phương trình:
Giải: Đặt
Khi đó: (1) có dạng:
Với thì

t2 - 1
sinxcosx =
2

2

t£

At + Bt + C = 0
1- t2
sinxcosx =
2

2

t=?

æ pö
÷
2sinç
x+ ÷
=t
ç
÷
ç

÷
4ø
è
ĐÁP SỐ

æ pö
÷
2sinç
=t
çx - ÷
÷
÷
ç
4ø
è

Ví dụ 2: Giải phương trình:
Giải: Điều kiện:
Khi đó:
Đặt
Khi đó: (2) có dạng:

7


PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI TAN VÀ COT

(

)

a tan2 x + cot2 x + b( tanx ± cot x) + c = 0( 4*)
ĐK:

( 4*)

Đặt:
khi có dấu “+”

tan 2 x + cot 2 x = t 2 m2

A t2 + B t+ C = 0

t ≥ 2

t =?

tan x + cot x = t

x =?

ĐÁP SỐ

có dấu “+”
Ví dụ 1: Giải phương trình
Giải: ĐK:

Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải: ĐK:

Đặt:
Khi đó ta được phương trình:

Đặt:
Khi đó ta được phương trình:
Với : Ta được:
thỏa mãn điều kiện.
Với : Ta được:
thỏa mãn điều kiện.

Với : Ta được:
thỏa mãn điều kiện.

8


CÁCH LOẠI NGHIỆM TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
ĐK:
DẠNG 1

Giải:
ĐK:

Giải PT

kπ
n
k, n ∈ ¢

x =α+

Biểu diễn
trên đường tròn đơn vị

m điểm

C = { C1 ,..., C m }

Kiểm tra ĐK

E = D\C
= { E1 ,..., E r }

Biểu diễn
trên đường tròn đơn vị

n điểm

Nghiệm

D = { D1 ,..., D n }

Kết hợp (1) & (2) ta được nghiệm:

9


CÁCH LOẠI NGHIỆM TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẠNG 2: TÌM NGHIỆM THUỘC MỘT KHOẢNG, ĐOẠN

Điều kiện

Giải
( nếu có ) PT

kπ
n
Chuyển về DẠNG k, n ∈ ¢
1
Kiểm tra ĐK

x =α+

x ∈ [ a; b ]

a ≤α+

Ví dụ 1: (D-2002) Tìm nghiệm đúng phương trình .
Giải:

Giải: ĐK:
Khi đó:

hoặc (loại)
Với

(loại) hoặc

k, n ∈ ¢
kπ

≤b
n

( k0; n0 )

x0 = α +

2k 0 π
n0

+) Với
Hay nghiệm của phương trình:
+) Với
Ví dụ 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng của phương trình:

10


10 PHẢN XẠ HAY DÙNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
PHẢN XẠ 1: Khi gặp các góc lớn ( từ 3x trở lên) thì có 3 hướng đi.
 Hướng 1: “Ghép bộ” để giảm góc và tạo tích bằng việc dùng công thức biến đổi tổng (hiệu) thành tích.
Ví dụ 1: (D-2012)
sin 3x + cos 3x − sin x + cosx = 2 cos 2x
⇔ ( sin 3x − sin x ) + ( cos 3x + cosx ) = 2 cos 2x

Ví dụ 2: (B-2007)
2sin 2 2x + sin 7x − 1 = sin x
⇔ ( sin 7x − sin x ) + ( 2sin 2 2x − 1) = 0

⇔ 2 cos 2x sin x + 2 cos 2x cos x = 2 cos 2x

⇔ 2 cos 4x sin 3x − cos 4x = 0

⇔ 2 cos 2x

(

)

⇔ 2 cos 2x cos x − 8cos 2 x + 2 cos x = 0
⇔ cos x ( cos 2x − 4 cos x + 1) = 0...

⇔ −2sin 2x sin x − 2sin 2 x = 0
⇔ 2sin 2 x ( cos x + 1) = 0...

⇔ cos 4x ( 2sin 3x − 1) = 0...

2 ( sin x + cos x ) − 1 = 0...

Ví dụ 4: (D-2002)
cos 3x − 4 cos 2 x + 3cos x − 4 = 0
⇔ ( cos 3x + cos x ) − 4 ( cos 2 x + 1) + 2 cos x = 0

Ví dụ 3: (D-2006)
cos 3x + cos 2 x − cos x − 1 = 0
⇔ ( cos 3x − cos x ) − ( 1 − cos 2 x ) = 0

Ví dụ 5: (B-2002)
sin 2 3x − cos 2 4x = sin 2 5x − cos 2 6x
1 − cos 6x 1 + cos8x 1 − cos10x 1 + cos12x

⇔
−
=
−
2
2
2
2
⇔ ( cos 6 x + cos8 x ) − ( cos10x + cos12x ) = 0

Ví dụ 6:
1 + 3cos x + cos 2 x − 2 cos 3x = 8sin 2 x cos x
⇔ ( 1 + cos 2 x ) − 2 ( cos 3x − cos x ) + cos x = 8sin 2 x cos x

⇔ 2 cos 7 xcosx − 2 cos11xcosx = 0

⇔ cos x ( 2cos x + 1) = 0...

⇔ cos x ( cos 7x − cos11x ) = 0...

⇔ 2cos 2 x + 4sin 2x sin x + cos x = 8sin 2 x cos x
⇔ 2cos 2 x + 8sin 2 x cos x + cos x = 8sin 2 x cos x

 Hướng 2: Chuyển về phương trình dạng a sin x + b cos x = c hoặc dạng mở rộng của nó.
3
Ví dụ 1: (B-2009) sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3 x = 2 ( cos 4x + sin x )

⇔ sin x ( 1 − 2sin 2 x ) + cos x sin 2 x + 3 cos 3x = 2 cos 4x
⇔ sin x cos 2x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2 cos 4x

Ví dụ 5: (D – 2009)

3 cos 5 x − 2sin 3 x cos 2 x − sin x = 0

⇔ 3 cos 5 x − ( sin 5 x + sin x ) − sin x = 0
⇔ 3 cos 5 x − sin 5 x = 2sin x...

⇔ sin 3x + 3 cos 3x = 2 cos 4x...

 Hướng 3: Khử và giảm số lượng góc lớn bằng việc sử dụng công thức cộng hoặc công thức tích thành tổng hoặc đánh giá.
Ví dụ: cos 4 x ( 2sin 3x − cos x ) = sin x ( sin 4x − 1) ⇔ cos 4 x ( 2sin 3x − cos x ) = sin x ( sin 4x − 1)
⇔ 2sin 3x cos 4x + sin x = cos 4x cos x + sin 4x sin x ⇔ sin 7x − sin x + sin x = cos 3x...
11


PHẢN XẠ 2: Khi xuất hiện 3

Ví dụ 1: (A,A1 – 2012)

thường chuyển về dạng

3 sin 2 x + cos 2 x = 2 cos x − 1

(

)

3 sin x + cos x − 1 = 0...

⇔ sin x cos 2 x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x

(

)

Ví dụ 2: (B – 2012) 2 cos x + 3 sin x cos x = cos x − 3 sin x + 1
⇔ ( 2 cos 2 x − 1) + 2 3 sin x cos x = cos x − 3 sin x
⇔ cos 2 x + 3 sin 2 x = cos x − 3 sin x...

( 1 − 2sin x ) cos x
( 1 + 2sin x ) ( 1 − sin x )

= 3 ( *)

−1
2
( *) ⇔ ( 1 − 2sin x ) cos x = 3 ( 1 − 2sin 2 x + sin x )

Điều kiện: sin x ≠ 1& sin x ≠

⇔ cos x − sin 2 x = 3 ( cos 2 x + sin x )

⇔ sin 3 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x...
Ví dụ 5: (D – 2009)

⇔ 3 sin 2 x + 2 cos 2 x − 1 = 2 cos x − 1

Ví dụ 3: (A – 2009)

3

Ví dụ 4: (B – 2009) sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3x = 2 ( cos 4 x + sin x )

⇔ sin x ( 1 − 2sin 2 x ) + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x

⇔ 3 sin 2 x + 2 cos 2 x − 1 = 2 cos x − 1
⇔ 2 cos x

asin x + bcosx = c hoặc dạng mở rộng của nó.

3 cos 5 x − 2sin 3 x cos 2 x − sin x = 0

⇔ 3 cos 5 x − ( sin 5 x + sin x ) − sin x = 0
⇔ 3 cos 5 x − sin 5 x = 2sin x...

Ví dụ 6: (B – 2008) sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x
⇔ sin 3 x − 3 cos 3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x

⇔ sin x ( cos 2 x − sin 2 x ) + 3 cos x ( cos 2 x − sin 2 x ) = 0

(

)

⇔ cos 2 x sin x + 3 cos x = 0...

⇔ cos x + 3 sin x = sin 2 x + 3 cos 2 x...

2

x

x
x
x

Ví dụ 7: (D – 2007)  sin + cos ÷ + 3 cos x = 2 ⇔ 1 + 2sin cos + 3 cos x = 2 ⇔ sin x + 3 cos x = 1...
2
2
2
2


12


PHẢN XẠ 3: Khi phương trình có nhiều biểu thức cùng chứa nhân tử chung, chúng ta nghĩ tới việc chuyển phương trình về
dạng tích (hoặc để giản ước nếu nhân tử chung ở dưới mẫu). Sau đây là các biểu thức chứa nhân tử chung thường gặp:
BẢNG TỔNG KẾT MỘT SỐ BIỂU THỨC CHỨA NHÂN TỬ CHUNG THƯỜNG GẶP
STT Nhân tử chung
`Biểu thức chứa nhân tử chung
tan x, sin 2 x, tan 2 x,1 − cos 2 x,sin 3 x,...
sinx
1
2

cosx

cot x,sin 2 x, tan 2 x,1 + cos 2 x, cos 3 x,...

3

s inx ± cosx

cos 2 x,1 + tan x,1 ± cot x,1 ± tan x,1 − cot 2 x,1 − tan 2 x,sin 3 x ± cos3 x,...

4

1 ± sin x

5

1 ± cos x

6

1 ± 2 sin x

cos x ± sin 2 x, 1 − 4 sin 2 x, 3 − 4 cos 2 x, 2 cos 2 x − 1, cot x ± 2 cos x, cos 3 x,...

7

1 ± 2cosx

sin x ± sin 2 x, 1 − 4 cos 2 x, 3 − 4sin 2 x, 2 cos 2 x + 1, tan x ± 2sin x, sin 3 x,...

x π
x π
x π
x π
cos 2 x, tan 2 x,sin 2  ± ÷, cos 2  ± ÷, tan 2  ± ÷, cot 2  ± ÷, 2 cos x ± sin 2 x,...
2 4

2 4
2 4
2 4
x
x
x
x
sin 2 x, tan 2 x, sin 2 , cos 2 , tan 2 , cot 2 , 2 sin x ± sin 2 x,...
2
2
2
2

Ví dụ 1: ( 2 cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin 2x − sin x

Phân tích: ( 2 cos x − 1) & sin 2x − sin x = sin x ( 2 cos x − 1) có nhân tử chung là ( 2 cos x − 1)
2
Ví dụ 2: 5sin x − 2 = 3 ( 1 − sin x ) tan x

sin 2 x
sin 2 x
=
đều có nhân tử là ( 1 − sin x ) , (giúp ta giản ước)
cos 2 x ( 1 − sin x ) ( 1 + sin x )
cos 2x
1
+ sin 2 x − sin 2x
Ví dụ 3: cot x − 1 =
1 + tan x
2

cos x − sin x
; cos 2 x = ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x )
Phân tích: *) cot x − 1 =
sin x
1
&sin 2 x − sin 2x = − sin x ( cos x − sin x ) đều chứa nhân tử chung là ( cos x − sin x ) .
2
1
*) cos 2 x = ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) &1 + tan x = ( cos x + sin x )
đều chứa nhân tử là
cos x
( cos x + sin x ) , (giúp ta giản ước).
2
Phân tích: ( 1 − sin x ) & tan x =

Ví dụ 4:
1 + sin 2x + cos 2x
= 2 sin 2x sin x
1 + cot 2 x
Phân tích:
1 + cos 2x = 2 cos 2 x; sin 2x = 2sin x cos x
Đều có nhân tử chung là cos x
Ví dụ 5:
sin 2x cosx + sin x cosx = cos 2x + sin x + cos x
Phân tích:
sin 2x cosx = 2sinx ( 1 − sin x ) ( 1 − cos x ) ;
cos 2x + sin x = ( 1 − sin x ) ( 1 + 2sin x ) và

cos x − sin x cosx = cos x ( 1 − sin x ) đều có

nhân tử là ( 1 − sin x ) .
sin 2x + 2 cos x − sin x − 1
=0
Ví dụ 6:
tan x + 3
Phân tích: − sin x − 1 = − ( sin x + 1)

& sin 2x + 2 cos x = 2 cos x ( sin x + 1) đều có

nhân tử chung là ( sin x + 1) .
Ví dụ 7: sin 2x − cos 2x + 3sin x − cos x − 1 = 0
Phân tích:
Ví dụ 8:
( 1 + sin 2 x ) cos x + ( 1 + cos2 x ) sin x = 1 + sin 2x
Phân tích:
Ví dụ 9:
1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0
Phân tích:
13


PHẢN XẠ 4: Khi nhóm được các bộ “cùng tên, cùng góc” thì nghĩ tới việc phân tích nó thành tích.
( 2sin2 x − sin x −1 = ( sin x −1) ( 2sin x +1) ;cos3 x + 3cos2 + 4cos x + 2 = ( cos x +1) ( cos2 x + 2cos x + 2) ;...)
(Hoặc nhẩm nghiệm, hoặc dung máy tính để trợ giúp tìm nghiệm,….)

Ví dụ 1: (D – 2010) sin 2 x − cos 2 x + 3sin x − cos x − 1 = 0
⇔ sin 2 x − ( 1 − 2sin 2 x ) + 3sin x − cos x − 1 = 0

Ví dụ 4: ( 2sin x + 1) ( cos x + 1) = cos 2 x + 2 cos x − 7 sin x + 5
⇔ 2sin x cos x + 2sin x + cos x + 1 = cos 2 x + 2 cos x − 7 sin x + 5

⇔ cos x ( 2sin x − 1) + ( 2sin x − 1) ( sin x + 2 ) = 0

⇔ cos x ( 2sin x − 1) + ( 2sin x − 1) ( sin x + 5 ) = 0

⇔ ( 6sin x cos x − 6 cos x ) + ( 2sin 2 x − 9sin x + 7 ) = 0

Ví dụ 5: 2 cos3 x + 3cos 2 x + 2sin 2 x − 4 cos x + 4sin x = 5
⇔ 2 cos3 x + 3 ( 2 cos 2 x − 1) + 2sin 2 x − 4 cos x + 4sin x = 5

⇔ ( sin 2 x − cos x ) + ( 2sin 2 x + 3sin x − 2 ) = 0

⇔ ( 2sin x − 1) ( sin x + cos x + 2 ) = 0...
Ví dụ 2: 9 sin x + 6 cos x − 3sin 2 x + cos 2 x = 8
⇔ 9sin x + 6 cos x − 6sin x cos x + 1 − 2sin 2 x = 8
⇔ 6 cos x ( sin x − 1) + ( sin x − 1) ( 2sin x − 7 ) = 0
⇔ ( sin x − 1) ( 2sin x + 6 cos x − 7 ) = 0...

6
6
Ví dụ 3: 8 ( sin x + cos x ) + 3 3 sin 4 x = 3 3 cos 2 x − 9sin 2 x + 11

 3

⇔ 8  1 − sin 2 2 x ÷+ 3 3 sin 4 x = 3 3 cos 2 x − 9sin 2 x + 11
 4

⇔ 3 ( sin 4 x − cos 2 x ) − ( 2sin 2 2 x − 3sin 2 x + 1) = 0

⇔ ( 2sin cos x − cos x ) + ( 2sin 2 x + 9sin x − 5 ) = 0

⇔ ( 2sin x − 1) ( sin x + cos x + 5 ) = 0...

⇔ ( cos3 x + 3cos 2 x − 2 cos x − 4 ) + ( sin 2 x + 2sin x ) = 0

⇔ ( cos x + 1) ( cos 2 x + 2 cos x − 4 ) + 2sin x ( cos x + 1) = 0
⇔ ( cos x + 1) ( cos 2 x + 2 cos x + 2sin x − 4 ) = 0...

2
⇔ cos x = −1 hoặc cos x + 2 ( cos x + sin x ) = 4 ( *)
2
(*) vô nghiệm vì cos x + 2 ( cos x + sin x ) ≤ 1 + 2 2 < 4

⇔ 3 cos 2 x ( 2sin 2 x − 1) − ( 2sin 2 x − 1) ( sin 2 x − 1) = 0
⇔ ( 2sin 2 x − 1)

(

)

3 cos 2 x − sin 2 x + 1 = 0

3
3 2
6
6
2
2
2
2
2

2
Chú ý: *) Trước khi làm ví dụ 3 ta nên chỉ ra sin x + cos x = ( sin x + cos x ) − 3sin x cos x ( sin x + cos x ) = 1 − sin 2 x
4
*) Các ví dụ 1,2,3,4 còn có cách tiếp cận khác.

14


PHẢN XẠ 5: Khi trong phương trình có mặt cos2x

thì ta dựa vào các dấu hiệu đi kèm để biến đổi.

: Nếu có yếu tố .

cos 2x =

: Nếu việc tạo ra số giúp ta khử được số tự do
: Nếu việc tạo ra số giúp ta khử được số tự do

: Nếu có .
Ví dụ 1: (ĐHY - 2000)

Ví dụ 5:

Ví dụ 2: (A,A1 – 2012)

Ví dụ 3: (D-2006)

Ví dụ 6: (A – 2003)
Điều kiện:

Ta có:

Ví dụ 4: (B-2010)

15


PHẢN XẠ 6: Khi gặp các biểu thức “đồng dạng” hãy nghĩ tới việc nhóm để tạo tích và khi gặp phương trình chứa

(

(

)(

)

(

)(

)

sin 2 x;cos2 x;1± sin 2x;cos2x hãy nghĩ tới các dạng tích của chúng sin 2 x = 1− cosx 1+ cos x ; cos2 x = 1−sin x 1+sin x ;

(

1 ± sin 2x = sin x ± cos x

)

2

(

;cos 2x = cos x −sin x

Ví dụ 1:

) ( cos x +sin x ) ÷÷


Ví dụ 2:

Ví dụ 3:
ĐK: . Khi đó phương trình đã cho

Cách 1:
Hoặc

Cách 2:

16


Khi phương trình có dạng a sin 2x + b cos 2x + c sin x + d cos x + e = 0 , ta nghĩ tới việc biến đổi phương trình về dạng
tích bằng một trong hai kĩ thuật sau:
I. Nhóm, tách ghép để làm xuất hiện nhân tử chung(Xem lại các phản xạ 1, 2, 3, 4, 5, 6)
II. Đưa phương trình về dạng Asin 2 x + Bsin x + C = 0 hoặc A cos2 x + Bcos x + C = 0 ( A, B, C có thể chứa hàm lượng giác) và quan
niệm là phương trình bậc hai đối với sinx hoặc cosx (phương pháp hằng số biến thiên)

PHẢN XẠ 7:

Ví dụ 1: (D – 2010)

Ví dụ 2:

Ví dụ 3: (B – 2005)

Chú ý: *) Các ví dụ 1, 2 xem lại cách giải khác ở phản xạ 4.
*) Cách giải ở ví dụ 3 chỉ chứng tỏ một điều có một góc nhìn
khác nhưng hơi dài – khi làm theo kĩ thuật I có thể nhìn thấy và khá
ngắn gọn.
*) Cách tiếp cận ở kĩ thuật II chỉ làm được khi delta có “hình
thức” là số chính phương (), nếu không được thì ta chuyển phương trình
bậc hai với sinx sang cosx hoặc ngược lại. Nếu vẫn không ổn thì ta sẽ đi
theo hướng kĩ thuật I (Kĩ thuật I mạnh hơn kĩ thuật II).

17


PHẢN XẠ 8: Khi xuất hiện góc cộng thêm

kπ kπ
kπ kπ
;
; ; kπ với k ∈ ¢ ) thì khử nó bằng cách “dùng bảng công thức
(
gồm
cả

6 4
3 2

chuyển về góc nhọn và các công thức cộng, tích, hạ bậc”.(Xem lại phần công thức ở phần đầu).
Ví dụ 1: (A – 2008)

Ví dụ 4: (ĐHXD – 1997)
ĐK: (Xem phần biến đổi)
Ta có:
Hoặc
Hoặc

Ví dụ 2: (D – 2005)

Khi đó:

Ví dụ 3: (D – 2003)
Ta có:

18


PHẢN XẠ 9: Khi giải phương trình lượng giác không quên việc đặt điều kiện nếu phương trình chứa ẩn dưới mẫu (không
nhất thiết phải giải chi tiết điều kiện) và phải kiểm tra lại điều kiện (xem lại cách loại nghiệm của phương trình lượng giác).
Trong quá trình có thể linh hoạt loại đi những nghiệm để rút gọn lời giải.

PHẢN XẠ 10: Khi đứng trước bài toán giải phương trình lượng giác trong kì thi Đại Học – Cao Đẳng “ Hãy ghi nhớ 9 phản
xạ đầu tiên”.

PHẢN XẠ 9: Khi giải phương trình lượng giác không quên PHẢN XẠ 1: Khi gặp các góc lớn ( từ 3x trở lên) thì có 3

việc đặt điều kiện nếu phương trình chứa ẩn dưới mẫu .…

hướng đi….

PHẢN XẠ 8:

PHẢN XẠ 2: Khi xuất hiện 3

kπ kπ
Khi xuất hiện góc cộng thêm 6 ; 4 ( gồm cả

kπ kπ
; ; kπ với k ∈ ¢ ) thì khử nó.…
3 2

PHẢN XẠ 7:

Khi phương trình có dạng
a sin 2x + b cos 2x + c sin x + d cos x + e = 0 , ta nghĩ tới việc biến đổi
phương trình về dạng tích bằng một trong hai kĩ thuật ….

thường chuyển về dạng
a sin x + bcos x = c hoặc dạng mở rộng của nó….

PHẢN XẠ 3: Khi phương trình có nhiều biểu thức cùng
chứa nhân tử chung, chúng ta nghĩ tới việc chuyển phương
trình về dạng tích ….
BẢNG TỔNG KẾT MỘT SỐ NHÂN TỬ CHUNG THƯỜNG GẶP

PHẢN XẠ 6: Khi gặp các biểu thức “đồng dạng” hãy nghĩ

PHẢN XẠ 4:

Khi nhóm được các bộ “cùng tên, cùng góc”
thì nghĩ tới việc phân tích nó thành tích….

tới việc nhóm để tạo tích và khi gặp phương trình chứa
sin 2 x;cos2 x;1± sin 2x;cos2x hãy nghĩ tới các dạng tích của
chúng…
PHẢN XẠ 5: Khi trong phương trình có mặt cos2x thì ta dựa vào các dấu hiệu đi kèm để biến đổi….

19


BÀI TẬP
Bài 1: Giải phương trình:
2 cos 4 x + 6co s 2 x + 1 + 3cos 2 x
a)
=0
cos x
1 − cos x( 2 cos x + 1) − 2 sin x
b)
=1
1 − cos x
c) 3cosx − 2 = −3(1 − cosx).cot 2 x
d) sin 6 x + cos 6 x = 2cos 2 x − 1
Bài 2: Tìm các nghiệm trên khoảng ( 0; π ) của phương trình:

a) 4 cos 3 2 x + 3 sin 6 x = 2 cos 4 x + 3 cos 2 x

 sin 3 x − cos 3 x

7
− cosx ÷ = 4 − cos 2 x
 2sin 2 x − 1

Bài 3: Giải phương trình
4sin 2 2 x + 6sin 2 x − 9 − 3cos 2 x
a)
=0
cos x

h)

b)

(

3
1
+
sin x cosx
k) sin 2 x + 2sin x − 1 = 4 sin 2 xcosx + cos 2 x − 2sin x cos 2 x
l) sinx + 4 cos x − sin 2 x + 2 cos 2 x = 1
m) 2sin 3 x − cos 2 x + cosx = 0
n) sin 3 x − cos 3 x = sinx + cosx
o) 8 sin 6 x + cos 6 x − 3 3 sin 4 x = 2
j) 8cosx =

)

=1
1 + sin 2 x
c) 5sinx − 2 = 3(1 − sinx).tan 2 x
17
8
8
2
d) sin x + cos x = cos 2 x
16
Bài 5: Tìm các nghiệm trên khoảng ( 0; 2π ) của phương trình:
cos 3 x + sin 3x 

5  sinx +
÷ = 3 + cos 2 x
1 + 2sin 2 x 


Bài 7: Giải phương trình:

3 (sin 3 x − cos x) = cos 3 x + sin x

i) 3 sin 3 x − 3 cos 9 x = 2 cos 3 x + 4 sin 3 3x

cos x 2 sinx + 3 2 − 2cos 2 x − 1

Bài 6: Cho phương trình : cos 2 x − (2m + 1) cos x + m + 1 = 0
a) Giải phương trình khi m = 3/2.
 π 3π
b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng  ;

2 2

3
1
+
cosx sinx
c) sin 2 x − cos 2 x − cos x − sin x = 0
d) 9 sin x + 3 cos x − 3 sin 2 x + cos 2 x = 8
e) 2cos 3 x + cos 2 x + sinx = 0
f) sin 3 x + cos 3 x = sinx − cosx
g) 4 (sin 4 x + cos 4 x) + 3 sin 4 x = 2
b) 8sinx =

(

p)

)

3 (cos 3 x + sin x) = sin 3x − cos x

q) cos 2 x − 3 sin 2 x = 1 + sin 2 x
(1)
2
2
r) 4sin x – 3sin x cos x + 3 + 4 cos x = 4

(

(*) .


÷.


)

(2)
s) 10 cos 2 x – 5sin x cos x + 3sin 2 x = 4
(3)
t) cos 2 x + sin x cos x + 3sin 2 x = 3
(4)
u) 3sin 2 x − 5 3 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
v) sin 2 x + (1 + 3) sin x cos x + 3cos 2 x = 0
20


x) 2sin 2 x + sin x cos x – 5cos 2 x = 1
y) cos 2 x – 3sin 2 x – 4sin x cos x = 0
z) tan x = sin x cos x − cos 2 x
Bài 8: Giải các phương trình sau :
a) cos 3 x = sin x + cos x
b) 3 sin 3 x − 2 cos 3 x + sin 2 x cos x + 2 cos x = 0
c) 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0
d) sin 6 x + cos 6 x = cos 2 2 x − sin x cos x
e) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
f) sin3x + cos3x + 2cosx = 0
g) sinx – 4sin3x + cosx = 0
h) sin 3 x − cos 3 x = sinx + cosx
i) 8 sin 6 x + cos 6 x − 3 3 sin 4 x = 2

(

)

j) 3 (cos 3 x + sin x) = sin 3x − cos x
k) sin 3 x + cos 3 x = sinx − cosx
l) 4 (sin 4 x + cos 4 x) + 3 sin 4 x = 2
3 (sin 3 x − cos x) = cos 3 x + sin x
17
8
8
2
n) sin x + cos x = cos 2 x
16
o) sin 6 x + cos 6 x = 2cos 2 x − 1
p) ( sin x − cos x ) sin 2 x + 12(cos x − sin x) + 12 cos 2 x = 0
π

q) 8 cos 2 x − 3 sin 2 x sin x = 3 sin 2 x cos x − 7 2 sin  x + 
4

3
2
r) sin x + sin x + 2 cos x − 2 = 0
s) sin 2 x cos x + 12(sin x − cos x + sin 2 x ) − sin x cos 2 x = 12
t) sin 2 x − sin x cos x + cos x + 2 sin 2 x(sin x − 1) = 1
u) (sin x cos x − 1) cos 2 x + cos x − sin x = 0
π

v) 2 sin 2 x(sin x + cos x − 1) + 2 cos x −  = 2 .

4

1
4
4
x) sin x − cos x + sin 4 x = sin x − cos x
2
m)

y) cos 3 x + cos 2 x + 2 sin x − 2 = 0
z) ( 3 + sin x ) 3 + sin 2 x = 8( 2 − cos x)

(

)

Bài 9: Giải các phương trình sau:
sin 3 x 

 = 3 − cos 2 x
a) 4 sin 2 x +
1 − 2 cos x 

b) sin 2 2 x + cos 2 3x = sin 2 x + cos 2 4 x
c) sin 3 x − 4 cos 2 x − 3 sin x + 4 = 0
1 2
d) sin 3 x + cos 2 x + sin x + sin 2 x + 1 = 0
2
6
6

2
cos x + sin x + sin x cos 2 x − sin x cos x
=0
e)
2 cos x − 2
1
4 − sin x cos x
2
=
g) cos x. cot x +
cos x
sin x
cos
2
x
(
1
+
sin
x
cos
x
)
+
cos
x
+ sin x = 0
h)
3
2

i) sin x − 3 sin x − 6 cos x + 6 = 0
Bài 10: Giải các phương trình sau:
π 
π

2 sin 4 x + cos 4 x + 2 sin  x +  cos x −  − 3
4 
4
a)

=0
2 − 2 sin x
b) ( sin x + cos x ) cot x = cos 2 x. cos x + 2 sin 3 x + cos 3 x + sin 2 x. cos x
c) 10 cos 2 x + cos x − 2 = 3(cos x − cos 2 x). cot g 2 x

(

(

)

)

d) 2 cos x − 3 ( 2 sin x + cos x ) = sin 2 x − 3 sin x
Bài 11: Giải các phương trình sau :
a) 1 + sin x − cos x − sin 2 x − cos 2 x − sin 3 x + cos 3 x = 0
1
2
b) 1 − sin x + cos x. cot x =
tan 2 x

2
c) 1 + (1 + sin x) cos x = sin 2 x + sin x(1 + cos 2 x)
d) tan 2 x − 2 tan x + cot 2 x + 2 cot x − 2 = 0
Bài 12:: Giải các phương trình :

21


(

)

8 sin 6 x + cos 6 x ( sin x − cos x )
+ sin 2 x − 1 = 0
4 − 3 sin 2 2 x
b) sin 2 3x. cos 2 x + sin 2 x = 0
sin 6 x + cos 6 x + sin 4 x + cos 4 x − 2 cos 2 x
c)
=0
5 cos 2 x − 3
d) sin x. tan x + sin 2 x = tan x
e) 1 + (1 + sin 2 x) cos x = sin 2 x + sin x(1 + cos 2 x)
g) 2 cos 2 x + cos x = 1 − cos 7 x
a)

Bài 13: Giải các phương trình :
a) (1 − sin 2 x) cos x − (1 − cos 2 x) sin x = sin 2 x − 1
2

x

x

b)  sin − cos  + 3 cos x = 1 + 2
2
2

c) 3 cos x(1 − cos 2 x) + 2 sin 2 x + sin x + cos 2 x = 0
1
1
5π 

−
= 4 cos x −

π
4 
d)

 3π


cos x −  sin 
− x
2

 2

3
cos
x

(
1
−
cos
2
x
)
+
2
sin
2
x
+ sin x + cos 2 x = 0
e)
f) sin 3 x + 3 cos 3 x + cos 2 x = sin x cos 2 x + 3 sin 2 x cos x
Bài 14: Giải phương trình:
(1 + 2 cos x ) sin x = 3
a)
(1 − 2 cos x )(1 + cos x)
2 cos x − 2 cos 3 x + 3 sin 3 x
= cos x − 2
cos 2 x
3 cos 3 x − 4 sin x cos 2 x
c)
= 3
cos x
Bài 15: Giải các phương trình sau :
cos 2 x
1
+ sin 2 x − sin 2 x

a) cot x − 1 =
1 + tan x
2
b)

2
sin 2 x
π
2 x
2
2 x
=0
c) sin  − . tan x − cos
2
2 4
Bài 16:Giải các phương trình sau :
a) 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan 2 x
b) (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2 x − sin x
Bài 17:Giải các phương trình sau :
a) cos 2 3 x. cos 2 x − cos 2 x = 0
b) 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0
π
π
3
4
4
c) cos x + sin x + cos( x − ). sin(3x − ) − = 0
4
4
2

Bài 18:Giải các phương trình sau :
2 cos 6 x + sin 6 x − sin x cos x
=0
a)
2 − 2 sin x
x
b) cot x + sin x(1 + tan x. tan ) = 4
2
c) cos 3x + cos 2 x − cos x − 1 = 0
b) cot x − tan x + 4 sin 2 x =

(

)

Bài 19:Giải các phương trình sau :
a) (1 + sin 2 x) cos x + (1 + cos 2 x) sin x = 1 + sin 2 x
b) 2 sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x
2

x
x

c)  sin + cos  + 3 cos x = 2
2
2

Bài 20:Giải các phương trình sau :
1
1

 7π

+
= 4 sin 
− x
3
π
a) sin x


 4

sin  x −

2 

3
3
b) sin x − 3 cos x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x
c) 2 sin x(1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2 cos x
Bài 21:Giải các phương trình sau :
22


a)

( 1 − 2sin x ) cos x
( 1 + 2sin x ) ( 1 − s inx )

= 3.

PTLG TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013

Bài 1 (ĐH A2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình :
cos 3x + sin 3x 
π
5π

5  sin x +
÷ = cos 2 x + 3 . ĐS : x = ; x =
1 + 2sin 2 x 
3
3

Bài 2 (ĐH B2002) Giải phương trình :
kπ
kπ
;x =
(k ∈Z )
sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x ĐS : x =
9
2
Bài 3 (ĐH D2002)Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm đũng của phương
trình :
π
3π
5π
7π
;x =
;x =

cos3x − 4cos2x + 3cosx − 4 = 0 ĐS : x = ; x =
2
2
2
2
Bài 4 (ĐH A2003) Giải phương trình :
π
cos 2 x
1
cot x − 1 =
+ sin 2 x − sin 2 x
ĐS : x = + kπ ( k ∈ Z )
1 + tan x
2
4
Bài 5 (ĐH B2003) Giải bất phương trình :
π
2
cot x − tan x + 4 sin 2 x =
ĐS : x = ± + kπ ( k ∈ Z )
sin 2 x
3
Bài 6 (ĐH D2003) Giải phương trình :
x
π
x π
sin 2  − ÷tan 2 x − cot 2 = 0. ĐS : x = π + k 2π ; x = − + kπ ( k ∈ Z )
2
4
2 4

Bài 7 (ĐH A2004) Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện .
cos2 A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3.
Tính ba góc của tam giác ABC.
ĐS : A = 900 ; B = C = 450
Bài 8 (ĐH B2004) Giải phương trình :
π
5π
+ k 2π ( k ∈ Z )
5sin x − 2 = 3(1 − s inx) tan 2 x. ĐS : x = + k 2π ; x =
6
6
Bài 9 (ĐH D2004) Giải phương trình:
π
π
(2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin 2 x − s inx. ĐS: x = ± + k 2π ; x = − + kπ
3
4
2
2
Bài 10 (ĐH A2005) Giải phương trình: cos 3x cos 2 x − cos x = 0 .

b) sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2(cos 4x + sin 3 x)
3 cos5x − 2sin 3x cos 2x − sin x = 0
kπ
ĐS : x =
(k ∈Z )
2
Bài 11 (ĐH B2005) Giải phương trình: 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos2 x = 0
2π
π

+ k 2π ; x = − + kπ ( k ∈ Z )
ĐS : x = ±
3
4
Bài 12 (ĐH D2005) Giải phương trình:
π 
π 3
π

cos 4 x + sin 4 x + cos  x − ÷sin  3 x − ÷− = 0. ĐS : x = + kπ ( k ∈ Z )
4 
4 2
4

Bài 13 (ĐH A2006) Giải phương trình:
2(cos 6 x + sin 6 x) − sin x cos x
5π
= 0 ĐS : x =
+ k 2π ( k ∈ Z )
4
2 − 2sin x
Bài 14 (ĐH B2006) Giải phương trình:
x
π
5π

cot x + s inx 1 + tan x tan ÷ = 4 ĐS : x = + kπ ; x =
+ kπ ( k ∈ Z )
2
12

12

Bài 15 (ĐH D2006) Giải phương trình:
2π
+ k 2π ( k ∈ Z )
cos3x + cos2 x − cos x − 1 = 0 ĐS : x = kπ ; x = ±
3
2
2
Bài 16 (A2007) Gptrình: ( 1 + sin x ) cos x + ( 1 + cos x ) sin x = 1 + sin 2 x
π
π
ĐS : x = k 2π ; x = + k 2π ; x = − + kπ ( k ∈ Z )
2
4
Bài 17 (ĐH B2007) Giải phương trình 2 sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x .
π kπ
π k 2π
5π k 2π
;x = +
;x =
+
ĐS : x = +
(k ∈Z )
8 4
18
3
18
3
c)




Bài 18 (ĐH D2007) Giải phương trình :  sin
ĐS : x =

π
π
+ k 2π ; x = − + k 2π ( k ∈ Z )
2
6

2

x
x
+ cos ÷ + 3 cos x = 2 .
2
2

23


1
1
7π
+
= 4sin( − x)
3

π
Bài 19 (ĐH A2008) Gptrình:
.
sin x sim( x − )
4
2
π
π
5π
+ kπ ( k ∈ Z )
ĐS : x = − + kπ ; x = − + kπ ; x =
4
8
8
Bài 20 (ĐH B2008) Gpt: sin 3 x − 3cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x .
π kπ
π
; x = − + kπ ( k ∈ Z )
ĐS : x = +
4 2
3
Bài 21 (ĐH D2008) Giải phương trình:
2π
π
2sinx ( 1 + cos2x ) + sin2x = 1 + 2cosx .ĐS: x = ±
+ k 2π ; x = + kπ
3
4
Bài 22 (ĐH A2009) Giải phương trình:
( 1 − 2 sin x ) cos x

π k 2π
= 3 ĐS : x = − +
(k ∈Z )
( 1 + 2 sin x ) ( 1 − sin x )
18
3
3
Bài 23 (ĐH B2009)Gpt: sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 ( cos 4 x + sin x )
π
π k 2π
+
ĐS : x = − + k 2π ; x =
(k ∈Z )
6
42
7
Bài 24 (ĐH D2009) Gptrình : 3 cos5x − 2sin 3x cos 2x − sin x = 0
π kπ
π kπ
;x = − +
ĐS : x = +
(k ∈Z )
18 3
6 2

Bài 25 (ĐH A2010) Gptrình :

(1 + sinx + cos 2 x) s in( x +
1 + t anx

π
7π
+ k 2π ; x =
+ k 2π ( k ∈ Z )
6
6
Bài 26 (ĐH B2010) Giải phương trình:

π
)
4 = 1 cos x
2

ĐS : x = −

(sin 2 x + cos2x) cos x + cos2 x − sinx=0

Bài 27 (ĐH D2010) Giải phương trình:
sin2x − cos 2 x + 3sin x − cos x − 1 = 0 ĐS: x =

ĐS : x =

π kπ
+
(k ∈Z )
4 2

π
5π
+ k 2π ; x =

+ k 2π ( k ∈ Z )
6
6

Bài 28 (ĐH A2011) Gptrình:

1 + sin 2 x + cos2 x
= 2 sin x sin 2 x
1 + cot 2 x

π
π
+ kπ ; x = + k 2π ( k ∈ Z )
2
4
Bài 29 (ĐH B2011) Giải phương trình:
ĐS : x =

s in2x cos x +sinxcosx=cos2x+sinx + cos x ĐS : x =

Bài 30 (ĐH D2011) Giải phương trình

π
π k 2π
+ k 2π ; x = +
2
3
3

sin2x + 2cos x − s in x − 1

=0
3 + t anx

π
+ k 2π ( k ∈ Z )
3
Bài 31 (ĐH A2012) Giải phương trình: 3 s in2x+cos2x=2cosx-1
π
2π
+ k 2π ( k ∈ Z )
ĐS : x = + kπ ; x = k 2π ; x =
2
3
Bài 32 (ĐH B2012) Giải phương trình:
2π
k 2π
+ k 2π ; x =
2(cos x + 3 sin x) cos x = cos x − 3 sin x + 1. ĐS : x =
3
3
Bài 33 (ĐH D2012) Giải phương trình:
sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x
π kπ
7π
π
;x =
+ k 2π ; x = − + k 2π ( k ∈ Z )
ĐS : x = +
4 2
12

12
π

Bài 34 (ĐH A2013) Giải phương trình: 1 + tan x = 2 2 sin  x + ÷
4

π
π
ĐS : x = − + kπ ; x = ± + k 2π ( k ∈ Z )
4
3
Bài 35 (ĐH B2013) Giải phương trình: sin 5x + 2 cos 2 x = 1
π k 2π
π k 2π
;x = − +
ĐS : x = − +
(k ∈Z )
6
3
14
7
Bài 36 (ĐH D2013) Giải phương trình sin 3x + cos 2x − s inx = 0
π kπ
π
7π
; x = − + k 2π ; x =
+ k 2π ( k ∈ Z )
ĐS : x = +
4 2
6

6
ĐS : x =

24