Ôn thi phần Lượng giác

[sửa] Định nghĩa
Xem thêm các hàm lượng giác
[sửa] Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến
Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:
Tuần hoàn (k nguyên) Đối xứng Tịnh tiến
Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:
với
[sửa] Đẳng thức Pytago
Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago.
Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(x) và sin²(x).
[sửa] Tổng và hiệu của góc
Xem thêm Định lý Ptolemaios
Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler.
với
và
[sửa] Công thức góc bội
[sửa] Bội hai
Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de
Moivre với n = 2.
Công thức góc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì
(a
2
− b
2
, 2ab, c
2
) cũng vậy.
[sửa] Tổng quát
Nếu T
n
là đa thức Chebyshev bậc n thì

công thức de Moivre:
Hàm hạt nhân Dirichlet D
n
(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:
Hay theo công thức hồi quy:
sin(nx) = 2sin((n − 1)x)cos(x) − sin((n − 2)x)
cos(nx) = 2cos((n − 1)x)cos(x) − cos((n − 2)x)
[sửa] Bội ba
Ví dụ của trường hợp n = 3:
sin(3x) = 3sin(x) − 4sin
3
(x)
cos(3x) = 4cos
3
(x) − 3cos(x)
[sửa] Công thức hạ bậc
Giải các phương trình ở công thức bội cho cos
2
(x) và sin
2
(x), thu được:
[sửa] Công thức góc chia đôi
Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu
được:
Dẫn đến:
Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:
Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản
hóa:
Suy ra:
Nếu

thì:
and and
Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa
sin(x) và cos(x) thành hàm của t. Cách này giúp tính đạo hàm của biểu thức dễ dạng.
[sửa] Biến tích thành tổng
Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra.
[sửa] Biển tổng thành tích
Thay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (x – y) / 2 trong công thức trên, suy ra:
[sửa] Hàm lượng giác nghịch đảo