Silde bài giảng cấu trúc rời rạc phần lý thuyết tập hợp

LYÙ THUYEÁT TAÄP HÔÏP

Nguyễn Quang Châu
Khoa Công Nghệ Thông Tin – Đại Học
Công Nghiệp Tp.Hồ Chí Minh
Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM


TOAÙN RÔØI RAÏC










Set theory
Vector space and matrices
Graph theory
Combinatorial analysis
Algebraic systems : group, ring, field
Languages, Grammars, Automata
Ordered sets and lattices
Mathematical logic
...
Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM

CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN






Khái niệm “Đònh nghóa” trong toán học
Hình thức
Phân loại
Sử dụng
Khái niệm “Đònh lý“
Đònh đề
Bổ đề
Hệ luận.
Mệnh đề.
Khái niệm “Chứng minh”

Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM


PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
Chứng minh trực tiếp.
 Chứng minh bằng dạng tương đương
eg : A ⇒ (B→C) ≡ (A ∧ B) ⇒ C.
 Chứng minh phản chứng.
eg : A→B ≡ (A ∧ ¬B) ⇒ mâu thuẫn.

 Chứng minh truy chứng.
* Hữu hạn.
* Vô hạn.
 Chứng minh bằng phản thí dụ.
Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM



CHỨNG MINH TRUY CHỨNG
Cho một họ vô hạn mệnh đề P1, P2, P3, …
Chứng minh tất cả Pi đều đúng.
Truy chứng hữu hạn (trên tập N) : Dạng 1.
P1

Giả sử Pn đúng

P2

Pn

Pn+1

• •

•
Chứng minh P1 đúng

Chứng minh Pn+1 đúng

→ Tất cả Pi đềuNguyễn
đúng Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM


CHỨNG MINH TRUY CHỨNG
Truy chứng hữu hạn (trên tập N) :
P1

P2

Giả sử P2 … Pn đúng

Pn

Dạng 2

Pn+1

• •

• •
Chứng minh P1 đúng

Chứng minh Pn+1 đúng

→ Tất cả Pi đều đúng
Truy chứng vô hạn hay siêu hạn (trên tập R).
Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM

PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ
Hệ tiên đề :
 A1. Thuật ngữ nguyên thủy :
+ Đối tượng
+ Quan hệ.
 A2. Thuật ngữ phổ dụng


A3. Hệ các tiên đề



A4. Hệ thống suy luận (logic)



A5. Đònh lý
Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM


HỆ TIÊN ĐỀ HÌNH HỌC EUCLID




Điểm, đường, thuộc về.
Họ, có, một, mọi, không.

Γ1. Đường là tập hợp các điểm.

(do Hilbert đề ra)

Γ2. Có ít nhất 2 điểm.
Γ3. Chỉ có 1 đường qua 2 điểm khác nhau.
Γ4. Có 1 điểm nằm ngoài 1 đường.




Γ5. Điểm A nằm ngoài đường (d) thì có 1 đường (h) song song
với (d) và A ∈ (h).
Hệ thống luận lý vò từ.
Tập hợp các đònh lý hình học.

Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM


PHệễNG THệC XAC ẹềNH


TAP HễẽP

Lieọt keõ

c
a
g

f
d

b h
e
b

, , , ,
Nguyn Quang Chõu Khoa
CNTT HCN Tp.HCM


PHƯƠNG THỨC XÁC ĐỊNH


TẬP HP

Trưng tính

X= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
Điều kiện lọc

1, 3, 5, 7, 9

(x lẻ và x <10)

Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM

PHƯƠNG THỨC XÁC ĐỊNH




TẬP HP

Liệt kê
* Các phần tử được chọn tùy ý.
* Tập hợp cùng lắm là đếm được.
* không có 2 phần tử trùng nhau.
* Các phần tử không có trật tự.
Trưng tính
* Cần một tập hợp cho trước.
* Tập hợp có thể đạt đến không đếm được.

Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM

s


ÝÙ NGHĨA CỦA TẬP HP
Mỗi tập hợp sau có bao nhiêu phần tử ?

{A, {∅}, ∅}
{A, {{∅}}, {{{∅}}} }
{∅ , ∅} ?= {∅}

Nguyễn Quang Châu – Khoa

CNTT ĐHCN Tp.HCM


ÝÙ NGHĨA CỦA TẬP HP
Một biểu diễn của thế giới thực

,

,

Tập hợp này có bao nhiêu phần tử ?

Thế giới thực

Một biểu diễn khác của thế giới thực

,

,

,

,

,

,
,
,
,

,
Nguyễn Quang Châu – Khoa
Tập hợp này có bao nhiêu phần tử ?
CNTT ĐHCN Tp.HCM


ÝÙ NGHĨA CỦA TẬP HP
,

,

Một biểu diễn khác

,

,

So sánh gì giữa 2 biểu diễn này ?

Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM


ÝÙ NGHĨA CỦA TẬP HP

,

,

∅,

∅
,

,

,

,
,

,

∅,

Tập hợp này có bao nhiêu phần tử ?

Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM


CÁC TẬP HP
Tập trống :
∅.
Tập con :
X ⊆ Y ↔ (∀x)( x ∈X → x ∈Y).
Tập 2X = P(X)
(power set ≠ power of set).
Tập phổ dụng.
Tập tách biệt.

Tập hữu hạn, vô hạn, đếm được, …
Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM

s


TẬP CÁC TẬP CON
Tìm tập tất cả tập con của X = {1, 2} ?.
Tập ∅ ⊆ X,
{1} ⊆ X,
{2} ⊆ X,
{1, 2} ⊆ X.
Lấy các tập con trên biến thành phần tử của một
tập hợp ký hiệu là 2X hay P(X).
Vậy 2X = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.
Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM

s


TẬP CÁC TẬP CON
Tìm tập tất cả tập con của X = {a, b, c} ?.
Tập con 0 phần tử : ∅.
Tập con 1 phần tử : a → {a}, b → {b}, c → {c}.
Tập con 2 phần tử : a, b → {a, b}, a, c → {a, c}, b, c → {b, c}.
Tập con 3 phần tử : a, b, c → {a, b, c}.
Vậy 2X = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM

s


CÁC TOÁN TỬ CỦA TẬP HP
Chứa trong : (⊆, ⊂)
A ⊆ B ↔ (∀x)( x ∈A → x ∈B).

B A
Bằng :

(=)
A = B ↔ ( A ⊆ B và B ⊆ A ).
Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM

s


CÁC TOÁN TỬ CỦA TẬP HP
Hội : ( ∪ )
Hội của 2 tập hợp là tập gồm tất cả phần tử của 2
tập hợp.
Một phần tử thuộc hội phải thuộc một trong 2 tập
hợp.
A ∪ B ↔ (∀x)( x ∈A hay x ∈B).
Giao : ( ∩ )
A ∩ B ↔ (∀x)( x ∈A và x ∈B).

B

A
Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM

s


CÁC TOÁN TỬ CỦA TẬP HP
Hiệu :( − )
A − B ↔ (∀x)( x ∈A và x ∉B).
Bù : ( ‘ )
A’ ↔ (∀x)( x ∈E và x ∉A).
Phụ.

A
A1

A2

Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM

s


CÁC TOÁN TỬ CỦA TẬP HP
Tích.

Thương.
Tương quan giữa các toán tử.

Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM

s


ÁNH XẠ
Sự dính dáng này là ánh xạ từ A vào BKHÔ
?
NG

•♦
ª♠
Hai điều kiện để là ánh xạ từ A vào B :
* Một phần tử của A chỉ dính dáng với 1 phần tử của B
Nguyễn
Châu
* Mọi phần tử của A phải dính
dángQuang
với phầ
n tử –củKhoa
a B.
CNTT ĐHCN Tp.HCM

s

PHÂN LOẠI ÁNH XẠ
Ánh xạ 1-1 từ A vào B

•♦ª
Ánh xạ trên từ B vào A

• ♦ª

Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM

s


MẶC NHIÊN THỎA
Nếu Điều kiện

thì

Hậu qủa.

Thí dụ :
P = ”Nếu tôi có tiền thì tôi học Cao học”.
Tình trạng 1 : có tiền + học Cao học.
Tình trạng 2 : có tiền + không học Cao học.
Tình trạng 3 : không có tiền + học Cao học.
Tình trạng 4 : không có tiền + không học Cao học.
Nguyễn Quang Châu – Khoa
CNTT ĐHCN Tp.HCM

s