ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN LÝ THUYẾT TẬP HỢP (Dùng cho sinh viên đại học sư phạm Toán)

1












ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
LÝ THUYẾT TẬP HỢP
(Dùng cho sinh viên đại học sư phạm Toán)


2

MỤC LỤC
CH
ƯƠNG 1. Những cơ sở của lý thuyết tập hợp 3
1.1. Tập hợp 3
1.1.1. Tập hợp và phần tử của tập hợp 3
1.1.2. Cách xác định một tập hợp 3
1.1.3. Tập hợp rỗng, tập hợp đơn tử, tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn 3
1.1.4. Tập con và quan hệ bao hàm 3
1.1.5. Tập hợp bằng nhau 4

1.1.6. Các phép toán và tính chất trên tập hợp 4
1.1.7. Tích Đềcác của các tập hợp 5
1.2. Quan hệ 6
1.2.1. Quan hệ hai ngôi 6
1.2.2. Quan hệ tương đương 6
1.2.3. Quan hệ thứ tự 7
1.3. Ánh xạ 8
1.3.1. Định nghĩa ánh xạ và ví dụ 8
1.3.2. Đồ thị của ánh xạ 9
1.3.3. Ánh xạ bằng nhau, thu hẹp và mở rộng ánh xạ 9
1.3.4. Ảnh và tạo ảnh 10
1.3.5. Tích ánh xạ 11
1.3.6. Đơn ánh – Toàn ánh – Song ánh 11
1.3.7. Ánh xạ ngược 12
1.4. Giải tích tổ hợp 13
1.4.1. Chỉnh hợp lặp 13
1.4.2. Chỉnh hợp không lặp 13
1.4.3. Hoán vị 14
1.4.4. Tổ hợp 14
1.4.5. Nhị thức Newtơn 15
CHƯƠNG 2. Những cơ sở của lôgíc Toán 23
2.1. Lôgic mệnh đề 23
2.1.1 Mệnh đề 23
2.1.2. Các phép toán lôgic trên mệnh đề 23
2.1.3. Công thức của lôgic mệnh đề 25
2.1.4. Giá trị của công thức 25
2.1.5. Sự bằng nhau của hai công thức 26
2.1.6. Phép biến đổi công thức 27
2.1.7. Luật của lôgic mệnh đề 28
2.2. Lôgic vị từ 28

2.2.1. Hàm mệnh đề 28
2.2.2. Các phép toán trên các hàm mệnh đề 29
2.2.3. Lượng từ 30
2.2.4. Quy tắc suy luận trong lôgic vị từ 30
2.3. Suy luận và chứng minh 31
2.3.1. Suy luận 31
2.3.2. Chứng minh 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO 41


3


CHƯƠNG 1
Những cơ sở của lý thuyết tập hợp
Số tiết: 15 (Lý thuyết: 10 tiết; bài tập, thảo luận: 05 tiết)

*) Mục tiêu:
- Sinh viên cần hiểu được một số khái niệm về tập hợp, cách xác định một tập hợp, các
phép toán trên trên tập hợp; Quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự, ánh xạ (ánh xạ tích, đơn ánh,
toàn ánh, song ánh); lôgíc lượng từ.
- Vận dụng vào giải các bài toán liên quan.

1.1. Tập hợp
1.1.1. Tập hợp và phần tử của tập hợp
- Khái niệm “ Tập hợp” là một trong những kháI niệm cơ bản nhất của Toán học.
Ví dụ. Tập hợp các số tự nhiên, tập các điểm cách đều một điểm cho trước, tập nghiệm của một
phương trình…
- Khái niệm tập hợp là khái niệm nguyên thuỷ không định nghĩa. Quan niệm tập hợp như sự tụ
tập các đối tượng có chung những tính chất nào đó. Các cá thể tạo thành tập hợp gọi là phần tử

của tập hợp.
- Để chỉ: a là phần tử của tập A ta viết:
a A
∈
, đọ
c là a thu
ộ
c A.
a không là ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p h
ợ
p A, ta vi
ế
t
a A
∉
,
đọ
c là a không thu
ộ
c A.

1.1.2. Cách xác định một tập hợp

a, Ph
ươ
ng pháp li
ệ
t kê
- Li
ệ
t kê
đầ
y
đủ
các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p h
ợ
p
- Li
ệ
t kê không
đầ
y
đủ
: Li
ệ

t kê m
ộ
t s
ố
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p h
ợ
p
đủ

để
bi
ế
t các ph
ầ
n t
ử
nào
đ
ó có
thu
ộ
c t

ậ
p h
ợ
p hay không.
Ví dụ.
{
}
{ }
B = 1, 2, 3, 4
C = 0, 2, 4, 6, 8,

b, Ph
ươ
ng pháp ch
ỉ
rõ thu
ộ
c tính
đặ
c tr
ư
ng
- Thu
ộ
c tính
đặ
c tr
ư
ng là thu
ộ

c tính mà d
ự
a vào
đ
ó có th
ể
bi
ế
t
đố
i t
ượ
ng thu
ộ
c t
ậ
p h
ợ
p hay
không.
Ví dụ.

{
}
A = x N / x 12
∈
⋮

{
}

E = M (P) : OM = r
∈
v
ớ
i O c
ố

đị
nh.

1.1.3. Tập hợp rỗng, tập hợp đơn tử, tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn.
- T
ậ
p r
ỗ
ng .
- T
ậ
p h
ợ
p
đơ
n t
ử
.
- T
ậ
p h
ợ
p h

ữ
u h
ạ
n.
- T
ậ
p h
ợ
p vô h
ạ
n.
1.1.4. Tập con và quan hệ bao hàm


4

Định nghĩa 1.
Cho hai t
ậ
p h
ợ
p A và B. N
ế
u m
ọ
i ph
ầ
n t
ử
c

ủ
a t
ậ
p A c
ũ
ng là ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p B thì
ta nói r
ằ
ng A
bao hàm trong
B hay A là
tập con
c
ủ
a B.
Kí hi
ệ
u:
A B
⊂

Ta có:

x x
A B A B
⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈

Ví dụ.
⊂ ⊂ ⊂ ⊂
ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ

Tính chất.
- Tính ph
ả
n x
ạ
:
A
∀
ta có
A A
⊂

- Tính b
ắ
c c
ầ
u: N
ế
u
A B
⊂
và

B C
⊂
thì
A C
⊂

- Tính ph
ả
n x
ạ
: N
ế
u
A B
⊂
và
B A
⊂
thì
A = B


Định nghĩa 2
. Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
t t

ậ
p h
ợ
p, t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p con c
ủ
a A là ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p m
ớ
i,
kí hi
ệ
u:

p
( )
A
,
đượ
c g
ọ
i là t
ậ
p t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p con c
ủ
a A.
Ví dụ.
{
}
A= a,b
. Khi
đ
ó:
p
{
}
{
}

{
}
{
}
( ) , a , b , a,b
A = ∅

1.1.5. Tập hợp bằng nhau
Định nghĩa 3.
Hai t
ậ
p A và B
đượ
c g
ọ
i là b
ằ
ng nhau khi và ch
ỉ
khi m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a A
đề
u là

ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a B và ng
ượ
c l
ạ
i m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a B
đề
u là ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a A. Kí hi
ệ
u: A = B.
Ví dụ.

1,
{
}
A = x : 0 < x < 5
∈
ℕ
,
{
}
B = 1, 2, 3, 4

Ta có: A = B.
2,
{
}
X = x : x 2, x 3
∈
ℕ ⋮ ⋮
,
{
}
Y = x : x 6
∈
ℕ ⋮

Ta có: X = Y

1.1.6. Các phép toán và tính chất trên tập hợp
a, Phép hợp

Định nghĩa 4
. Cho hai t
ậ
p h
ợ
p A và B. H
ợ
p c
ủ
a hai t
ậ
p h
ợ
p A và B, ký hi
ệ
u là
A B
∪
là m
ộ
t t
ậ
p
h
ợ
p g
ồ
m các ph
ầ
n t

ử
ho
ặ
c thu
ộ
c A ho
ặ
c thu
ộ
c B. V
ậ
y
{
}
/
A B x x A x B
∪ = ∈ ∨ ∈
.
Ví dụ.
1,
{
}
A = a, b, c, d, e
,
{
}
B = c, d, e, f

Suy ra:
{

}
A B = a, b, c, d, e, f
∪

2,
{
}
A = x : x = 2k + 1, k∈ ∈
ℤ ℤ
,
{
}
B = x : x = 2k, k∈ ∈
ℤ ℤ

Suy ra:
{
}
A B = ∪
ℤ

b, Phép giao
Định nghĩa 5
. . Cho hai t
ậ
p h
ợ
p A và B. Giao c
ủ
a hai t

ậ
p h
ợ
p A và B, ký hi
ệ
u là
A B ,
∩
là m
ộ
t
t
ậ
p h
ợ
p g
ồ
m các ph
ầ
n t
ử
v
ừ
a thu
ộ
c A v
ừ
a thu
ộ
c B. V

ậ
y
{
}
A B = x x A, x B
∩ ∈ ∈ .
Ví dụ.

{
}
A = a, b, c, d, e
,
{
}
B = c, d, e, f



5

Suy ra:
{
}
A B = c, d, e
∩

c, Tính chất của phép hợp và phép giao. ( Xem tài liệu [1])

d. Hiệu và phần bù của hai tập hợp
Định nghĩa 6

.
+ Cho hai t
ậ
p h
ợ
p A và B. Hi
ệ
u c
ủ
a hai t
ậ
p h
ợ
p A và B là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p, kí hi
ệ
u: A – B
ho
ặ
c A\B g
ồ
m t
ấ
t c
ả

các ph
ầ
n t
ử
thu
ộ
c A mà không thu
ộ
c B. V
ậ
y
{
}
A B = x: x A, x B
− ∀ ∈ ∉
+ Cho
B A
⊂
khi
đ
ó hi
ệ
u c
ủ
a A và B
đượ
c g
ọ
i là ph
ầ

n bù c
ủ
a t
ậ
p B
đố
i v
ớ
i t
ậ
p A. Kí
hi
ệ
u:
A
C (B)

Ví dụ.
1.
{
}
A= a, b, c, d, e
,
{
}
B= c, d, e, f

{
}
A B = a, b

⇒ −
,
{
}
B A = e, f
−

2.
{
}
X= x : x < 5
∈
ℝ
{
}
C (X) = x : x 5
⇒ ∈ ≥
ℝ
ℝ

Chú ý.
+
A B B A
− ≠ −

+
x B
x A B
x A
∈


∉ − ⇔

∉



1.1.7. Tích Đềcác của các tập hợp
- Cặp sắp thứ tự.
Cho hai
đố
i t
ượ
ng a, b b
ấ
t k
ỳ
, t
ừ
hai
đố
i t
ượ
ng này ta có th
ể
l
ậ
p thành
đố
i

t
ượ
ng th
ứ
ba kí hi
ệ
u: (a, b) và g
ọ
i là c
ặ
p (a, b).
Chú ý: Hai c
ặ
p (a, b) và (c, d) g
ọ
i là b
ằ
ng nhau khi và ch
ỉ
khi a = c, b = d.
N
ế
u a
≠
b thì c
ặ
p (a, b)
≠
(b, a)
Ta nói r

ằ
ng: M
ộ
t c
ặ
p (a, b) là m
ộ
t dãy có th
ứ
t
ự
c
ủ
a hai ph
ầ
n t
ử
a, b.
- Tích Đềcác của hai tập hợp.
Cho hai t
ậ
p h
ợ
p X và Y khác r
ỗ
ng. Ta g
ọ
i t
ậ
p g

ồ
m t
ấ
t c
ả
các c
ặ
p
s
ắ
p th
ứ
t
ự
(x, y) v
ớ
i x thu
ộ
c X và y thu
ộ
c Y là tích
Đề
các c
ủ
a t
ậ
p X và t
ậ
p Y.
Kí hi

ệ
u: X x Y ho
ặ
c X.Y
{
}
X Y = (a, b) a X, b Y
× ∈ ∈

N
ế
u X = Y:
2
X Y = X X= X
× ×

Quy
ướ
c:
A = A =
×∅ ∅× ∅

- Tích Đềcác của nhiều tập hợp.
Ta g
ọ
i tích
Đề
các c
ủ
a n t

ậ
p h
ợ
p
1 2 3 n
A ,A ,A , ,A
là t
ậ
p h
ợ
p
g
ồ
m t
ấ
t c
ả
các dãy s
ắ
p th
ứ
t
ự

(
)
1 2 3 n
a ,a ,a , ,a
trong
đ

ó
1 1 2 2
a A ,a A , ,
∈ ∈
n n
a A
∈
.
Kí hi
ệ
u:
1 2 3 n
A A A A
× × × ×

N
ế
u
1 2 3 n
A A A A
= = = =
thì tích
Đề
các c
ủ
a chúng
đượ
c kí hi
ệ
u:

n
A
.
Ví dụ.
1.
{
}
{
}
A = 1, 2, 3 ; B= a, b

Suy ra:
{
}
A B= (1, a);(1, b);(2, a);(2, b);(3, a);(3, b)
×

2.
{
}
{
}
{
}
A = 1, 2 ; B= 3 ; C = a, b

Suy ra:
{
}
A B C= (1, 3, a);(1, 3, b);(2, 3, a);(2, 3, b)

× ×



6

3.
3
ℝ
: T
ậ
p bi
ể
u th
ị
t
ậ
p các
đ
i
ể
m c
ủ
a không gian ba chi
ề
u.
1.2. Quan hệ
1.2.1. Quan hệ hai ngôi

Định nghĩa 7.

Gi
ả
s
ử
X và Y là hai t
ậ
p h
ợ
p tu
ỳ
ý khác r
ỗ
ng. Ta g
ọ
i m
ỗ
i t
ậ
p con R c
ủ
a t
ậ
p tích
Đề
Các
X Y
×
là m
ộ

t
quan h
ệ

trên
X Y
×
.
N
ế
u
(x, y) R
∈
ta nói “ x có quan h
ệ
R v
ớ
i y” và vi
ế
t
xRy
. N
ế
u
(x, y) R
∉
ta nói “ x không có
quan h
ệ
R v

ớ
i y” và vi
ế
t
xRy
.
Ví dụ.
Cho X là t
ậ
p h
ợ
p nh
ữ
ng ng
ườ
i
đ
àn bà, Y là t
ậ
p nh
ữ
ng ng
ườ
i
đ
àn ông c
ủ
a làng n
ọ
. R là t

ậ
p
các c
ặ
p s
ắ
p th
ứ
t
ự
(x, y) trong
đ
ó
,
x X y Y
∈ ∈
sao cho x là m
ẹ

đẻ
c
ủ
a y.
Định nghĩa 8
.
Cho X là t
ậ
p không r
ỗ
ng tu

ỳ
ý. Ta g
ọ
i m
ỗ
i t
ậ
p con R c
ủ
a bình ph
ươ
ng
Đề
Các
X X
×
là m
ộ
t quan h
ệ
hai ngôi xác
đị
nh trên t
ậ
p X.
N
ế
u
1 2
(x , ) R

x
∈
ta nói “
1
x
có quan h
ệ
R v
ớ
i
2
x
” và vi
ế
t
1 2
x Rx
.N
ế
u
1 2
(x , ) R
x
∉
ta nói “
1
x
không có quan h
ệ
R v

ớ
i
2
x
” và vi
ế
t
1 2
x Rx
.
Ví dụ
. Quan h
ệ
nh
ỏ
h
ơ
n ho
ặ
c b
ằ
ng thông th
ườ
ng trên t
ậ
p s
ố
th
ự
c R xác

đị
nh b
ở
i t
ậ
p con

{
}
2
( , ) /
R x x R x y
= ∈ ≤

là m
ộ
t quan h
ệ
hai ngôi trên R

Một số tính chất thường gặp.

Gi
ả
s
ử
R là m
ộ
t quan h
ệ

trên m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p X. Ta b
ả
o:
2.

R có tính ch
ấ
t
ph
ả
n x
ạ
trong X n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u
x X, (x, x) R
∀ ∈ ∈

(ii) R có tính ch
ấ

t
đố
i x
ứ
ng
trong X n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u
x X, y X
∀ ∈ ∀ ∈
,
(x, y) R (y, x) R
∈ ⇒ ∈

(iii) R có tính ch
ấ
t
ph
ả
n
đố
i x
ứ
ng
trong X n
ế

u và ch
ỉ
n
ế
u
x X, y X
∀ ∈ ∀ ∈
,
(x, y) R; (y, x) R x = y
∈ ∈ ⇒

(iv) R có tính ch
ấ
t
b
ắ
c c
ầ
u
trong X n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u
x X, y X, z X
∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
,
(x, y) R; (y, z) R (x, z) R

∈ ∈ ⇒ ∈

(v) R có tính ch
ấ
t toàn ph
ầ
n trong X n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u
x X, y X
∀ ∈ ∀ ∈
,
(x, y) R hay(y, x) R
∈ ∈

Ví dụ.
1. Quan h
ệ
“ b
ằ
ng nhau” trong m
ộ
t t
ậ
p h
ợ

p X nào
đ
ó có tính ph
ả
n x
ạ
.
2. Quan h
ệ
“ chia h
ế
t cho” trong t
ậ
p N các s
ố
t
ự
nhiên có tính ph
ả
n x
ạ
.
3. Quan h
ệ
“ nguyên t
ố
cùng nhau” trong t
ậ
p N các s
ố

t
ự
nhiên không có tính ph
ả
n x
ạ
.
4. Quan h
ệ
“
≤
” trên t
ậ
p R các s
ố
th
ự
c có tính ph
ả
n x
ạ
.

1.2.2. Quan hệ tương đương
Định nghĩa 9
.
Gi
ả
s
ử

X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p , S là m
ộ
t b
ộ
ph
ậ
n c
ủ
a
X X
×
. Th
ế
thì S g
ọ
i là m
ộ
t
quan
h
ệ
t
ươ
ng

đươ
ng
trong X n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
đ
ây tho
ả
mãn:
1. Tính ph
ả
n x
ạ
:
a X, aSa
∀ ∈
.
2. Tính
đố
i x

ứ
ng:
a, b X, a Sb
∀ ∈
thì
b S a
.
3. Tính b
ắ
c c
ầ
u:
a, b, c X, a Sb, b S c
∀ ∈
thì

a S c
.
N
ế
u S là m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng thì ng
ườ

i ta kí hi
ệ
u S b
ằ
ng “
∼
” và th
ườ
ng
đọ
c là “ a t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i b”.



7

Ví dụ.
1. Quan h
ệ
“=” là quan h
ệ
t
ươ
ng

đươ
ng.
2. G
ọ
i X là t
ậ
p các
đườ
ng th
ẳ
ng trong m
ặ
t ph
ẳ
ng, quan h
ệ
cùng ph
ươ
ng là m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng.
3. G
ọ
i X là t

ậ
p các tam giác khi
đ
ó quan h
ệ

đồ
ng d
ạ
ng gi
ữ
a các tam giác là m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng.
Định nghĩa 10
.
Gi
ả
s
ử
S là m
ộ
t quan h
ệ

t
ươ
ng
đươ
ng trong X và
a X
∈
. T
ậ
p h
ợ
p:
{
}
C(a) = x X x S a
∈
g
ọ
i là
l
ớ
p t
ươ
ng
đươ
ng
c
ủ
a a
đố

i v
ớ
i quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng S.
Vì S là ph
ả
n x
ạ
nên
a C(a)
∈
.
Ta th
ấ
y C(a) có các tính ch
ấ
t sau:
1. C(a)
≠ ∅

2.
x, y C(a) x S y
∈ ⇒
.
3.

x C(a), y Sx y C(a)
∈ ⇒ ∈
.
Bổ đề.

V
ớ
i hai ph
ầ
n t
ử
b
ấ
t kì a và b ta
đề
u có ho
ặ
c
C(a) C(b) =
∩ ∅
ho
ặ
c
C(a) C(b)
=
.
Định nghĩa 11
.
Ta b
ả

o ta th
ự
c hi
ệ
n m
ộ
t s
ự
chia l
ớ
p trên m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p X khi ta chia nó thành
nh
ữ
ng b
ộ
ph
ậ
n A, B, C, … khác
∅
, r
ờ
i nhau t
ừ
ng

đ
ôi m
ộ
t sao cho m
ọ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X thu
ộ
c m
ộ
t
trong các b
ộ
ph
ậ
n
đ
ó.
Định lý 1.

Gi
ả
s
ử
X là m

ộ
t t
ậ
p h
ợ
p, S là m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng trong
X.
Th
ế
thì các l
ớ
p
t
ươ
ng
đươ
ng phân bi
ệ
t c
ủ
a X
đố

i v
ớ
i S thành l
ậ
p m
ộ
t s
ự
chia l
ớ
p trên X.
Định nghĩa 12.

Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p, S là m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng

đươ
ng trong X. T
ậ
p h
ợ
p các
l
ớ
p t
ươ
ng
đươ
ng phân bi
ệ
t c
ủ
a X
đố
i v
ớ
i S g
ọ
i là
t
ậ
p th
ươ
ng
c
ủ

a X trên quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng S
và kí hi
ệ
u là X/S.
Ví dụ.
Cho X là t
ậ
p ng
ườ
i trên trái
đấ
t. N
ế
u chia X thành các t
ậ
p con U, V, W,… sao cho các t
ậ
p
con
đ
ó là t
ậ
p các ng
ườ

i cùng qu
ố
c t
ị
ch, coi r
ằ
ng không có ai có hai qu
ố
c t
ị
ch và b
ấ
t kì ng
ươ
ig
nào c
ũ
ng thu
ộ
c m
ộ
t qu
ố
c t
ị
ch nào
đ
ó thì ta có m
ộ
t s

ự
phân l
ớ
p trên t
ậ
p X.

1.2.3. Quan hệ thứ tự
Định nghĩa 13
.
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p, S là m
ộ
t b
ộ
ph
ậ
n c
ủ
a
X X

×
. Th
ế
thì S
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t
quan h
ệ
th
ứ
t
ự
trong X n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
đ

ây tho
ả
mãn:
1. Tính ph
ả
n x
ạ
:
a X, aSa
∀ ∈
.
2. Tính ph
ả
n
đố
i x
ứ
ng:
a,b X, a Sb
∀ ∈
,
b S a
thì a = b .
3. Tính b
ắ
c c
ầ
u:
a,b, c X, a Sb, b S c
∀ ∈

thì
a S c
.
Ng
ườ
i ta b
ả
o m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p X là s
ắ
p th
ứ
t
ự
n
ế
u trong X có m
ộ
t quan h
ệ
th
ứ
t
ự
.

Ví dụ.
1. Quan h
ệ
“
≤
” trong t
ậ
p N là m
ộ
t quan h
ệ
th
ứ
t
ự
.
2. Quan h
ệ
“chia h
ế
t” trong N không là m
ộ
t quan h
ệ
th
ứ
t
ự
.
3. Quan h

ệ
bao hàm gi
ữ
a các b
ộ
ph
ậ
n c
ủ
a m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p X.
- N
ế
u S là m
ộ
t quan h
ệ
th
ứ
t
ự
trong X thì ng
ườ
i ta th
ườ

ng kí hi
ệ
u S b
ằ
ng “
≤
” và
đọ
c “
a b
≤
” là
“a bé h
ơ
n b”.
Định nghĩa 14
. Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p s
ắ
p th
ứ

t
ự
. M
ộ
t ph
ầ
n t
ử

a X
∈
g
ọ
i là
ph
ầ
n t
ử
t
ố
i ti
ể
u
( ph
ầ
n t
ử
t
ố
i

đạ
i)
c
ủ
a X n
ế
u quan h
ệ

x a
≤
(
a x
≤
) kéo theo
x = a
.


8

Ví dụ.
1. Trong t
ậ
p h
ợ
p các s
ố
t
ự

nhiên th
ự
c s
ự
l
ớ
n h
ơ
n 1, s
ắ
p th
ứ
t
ự
theo quan h
ệ
chia h
ế
t, các ph
ầ
n t
ử

t
ố
i ti
ể
u là các s
ố
nguyên t

ố
.
2. T
ậ
p h
ợ
p các s
ố
th
ự
c v
ớ
i quan h
ệ
th
ứ
t
ự
thông th
ườ
ng, không có ph
ầ
n t
ử
t
ố
i
đạ
i c
ũ

ng không có
ph
ầ
n t
ử
t
ố
i ti
ể
u.
3. Trong t
ậ
p h
ợ
p các h
ệ
vect
ơ

độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a không gian vect
ơ

n

ℝ
s
ắ
p th
ứ
t
ự
theo quan
h
ệ
bao hàm, các h
ệ
vect
ơ
g
ồ
m n vect
ơ
là t
ố
i
đạ
i.


Định nghĩa 15.

Gi
ả
s

ử
X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p s
ắ
p th
ứ
t
ự
. M
ộ
t ph
ầ
n t
ử

a X
∈
g
ọ
i là
ph
ầ
n t
ử
bé nh

ấ
t
( ph
ầ
n t
ử
l
ớ
n nh
ấ
t)
c
ủ
a X n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
x X
∈
ta có
a x
≤
(
x a
≤
).
Ví dụ.

1. T
ậ
p h
ợ
p các s
ố
t
ự
nhiên s
ắ
p th
ứ
t
ự
theo quan h
ệ
“ chia h
ế
t” có ph
ầ
n t
ử
bé nh
ấ
t là 1 và ph
ầ
n t
ử

l
ớ
n nh
ấ
t là 0.
N
ế
u s
ắ
p th
ứ
t
ự
theo quan h
ệ
th
ứ
t
ự
thông th
ườ
ng, t
ậ
p h
ợ
p các s
ố
t
ự
nhiên có ph

ầ
n t
ử
bé nh
ấ
t là 0
và không có ph
ầ
n t
ử
l
ớ
n nh
ấ
t.
2. T
ậ
p h
ợ
p các s
ố
th
ự
c v
ớ
i quan h
ệ
th
ứ
t

ự
thông th
ườ
ng không có ph
ầ
n t
ử
bé nh
ấ
t c
ũ
ng không có
ph
ầ
n t
ử
l
ớ
n nh
ấ
t.
Định nghĩa 16
. Ta b
ả
o m
ộ
t t
ậ
p h
ợ

p X là
s
ắ
p th
ứ
t
ự
t
ố
t
n
ế
u nó là s
ắ
p th
ứ
t
ự
và n
ế
u m
ọ
i b
ộ
ph
ậ
n
khác r
ỗ
ng c

ủ
a X có m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
bé nh
ấ
t.

1.3. Ánh xạ
1.3.1. Định nghĩa ánh xạ và ví dụ
Định nghĩa 17
.
Gi
ả
s
ử
X và Y là hai t
ậ
p h
ợ
p tu
ỳ
ý. Ánh x
ạ
f
đ
i t

ừ
X
đế
n Y là m
ộ
t quy t
ắ
c nào
đ
ó
cho
ứ
ng m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử

x X
∈
v
ớ
i m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
duy nh

ấ
t
y Y
∈
.
Kí hi
ệ
u:

( )
f: X Y

x y f x
→
=
֏

ho
ặ
c
(
)
f
X Y,
x y f x
→ =
֏

trong
đ

ó, y = f(x) : y là giá tr
ị
c
ủ
a f t
ạ
i x.
T
ậ
p X: T
ậ
p ngu
ồ
n (mi
ề
n xác
đị
nh) c
ủ
a ánh x
ạ
f.
T
ậ
p Y: T
ậ
p
đ
ích (mi
ề

n giá tr
ị
) c
ủ
a ánh x
ạ
f.
Ví dụ.
1. Khi ch
ấ
m bài ng
ườ
i th
ầ
y giáo
đ
ã th
ự
c hi
ệ
n m
ộ
t ánh x
ạ
t
ừ
t
ậ
p bài
đế

n t
ậ
p các s
ố
{0,1,2,…,10}.
Qui t
ắ
c
ứ
ng v
ớ
i m
ỗ
i bài v
ớ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m chính là tiêu chu
ẩ
n cho
đ
i
ể
m.
2. Phép c
ộ

ng trên t
ậ
p các s
ố
t
ự
nhiên là m
ộ
t ánh x
ạ
:
× →
ℕ ℕ ℕ
.Ánh x
ạ
này
ứ
ng v
ớ
i m
ỗ
i c
ặ
p s
ố

t
ự
nhiên (x, y) v
ớ

i s
ố
x + y:
f:
× →
ℕ ℕ ℕ


(x, y) x+y
֏

Phép tr
ừ
không ph
ả
i ánh x
ạ
t
ừ

× →
ℕ ℕ ℕ
. T
ạ
i sao?
Phép tr
ừ
là m
ộ
t ánh x

ạ
t
ừ

× →
ℤ ℤ ℤ
hay
× →
ℝ ℝ ℝ
?
T
ươ
ng t
ự
xét v
ớ
i phép nhân và phép chia.


9

3. X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p b
ấ
t k

ỳ
. T
ươ
ng
ứ
ng m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử

x X
∈
v
ớ
i chính nó là m
ộ
t ánh x
ạ
t
ừ
t
ậ
p X
đế
n X.
Ta th
ườ
ng kí hi

ệ
u ánh x
ạ
này là
1
X
hay
X
id
và g
ọ
i là ánh x
ạ

đồ
ng nh
ấ
t.
4. Cho X = {1, 2, 3}, Y = {1, b, c, d}
1 2 3
f:
b b c
 
 
 
là m
ộ
t ánh x
ạ
.

5. Các hàm s
ố
mà ta g
ặ
p
ở
ph
ổ
thông
đề
u là nh
ữ
ng ánh x
ạ
mà mi
ề
n xác
đị
nh và mi
ề
n giá tr
ị
là
t
ậ
p các s
ố
th
ự
c R hay m

ộ
t b
ộ
ph
ậ
n c
ủ
a nó.
Chú ý.
+ M
ộ
t phép t
ươ
ng
ứ
ng các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X v
ớ
i các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a Y s

ẽ
không là ánh x
ạ
t
ừ
X
đế
n Y
khi có nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X không có ph
ầ
n t
ử
t
ươ
ng
ứ
ng trong Y ho
ặ
c khi có ph
ầ
n t
ử

c
ủ
a X
ứ
ng
v
ớ
i h
ơ
n m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
trong Y.
+ Trong m
ộ
t ánh x
ạ
m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
thu
ộ
c ngu
ồ

n
đề
u có
ả
nh duy nh
ấ
t
đ
i
ề
u
đ
ó có ngh
ĩ
a là n
ế
u:
f:X Y
→
là m
ộ
t ánh x
ạ
thì t
ừ

1 2 1 2
x x (x , x X)
= ∈

1 2
f(x ) f(x )
⇒ =
ho
ặ
c t
ừ

1 2
f(x ) f(x )
≠
ta ph
ả
i có
1 2
x x
≠
.
+ Tuy m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a ngu
ồ
n có m
ộ

t
ả
nh duy nh
ấ
t nh
ư
ng có th
ể
x
ả
y ra tr
ườ
ng h
ợ
p hi hay nhi
ề
u
ph
ầ
n t
ử
có chung m
ộ
t
ả
nh. C
ũ
ng nh
ư
v

ậ
y, có th
ể
x
ả
y ra tr
ườ
ng h
ợ
p m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p
đ
ích
không ph
ả
i là
ả
nh c
ủ
a b
ấ

t kì ph
ầ
n t
ử
nào c
ủ
a ngu
ồ
n.

1.3.2. Đồ thị của ánh xạ
Định nghĩa 18
.
Ánh x
ạ

f:X Y
→
. T
ậ
p F các c
ặ
p (x, y) sao cho y = f(x) g
ọ
i là
đồ
th
ị
c
ủ

a ánh x
ạ

f.
Ví dụ.
Xác
đị
nh
đồ
th
ị
c
ủ
a
2
y = x
.

1.3.3. Ánh xạ bằng nhau, thu hẹp và mở rộng ánh xạ
Định nghĩa 19
.
Gi
ả
s
ử
f và g là hai ánh x
ạ
t
ừ
X

đế
n Y. ánh x
ạ
f g
ọ
i là
b
ằ
ng nhau
n
ế
u
f (x) g(x)
=

v
ớ
i
x X
∀ ∈
.
Ví dụ.
1.
f:
→
ℝ ℝ
;
g:
→
ℝ ℝ

2
x x 1
−
֏

x (x 1)(x+1)
−
֏

Là hai ánh x
ạ
b
ằ
ng nhau.
2.
f:
→
ℝ ℝ
;
[
]
g: 1, 1
→ −
ℝ


x sin x
֏

x sin x
֏

Là hai ánh x
ạ
không b
ằ
ng nhau.
- Sự thu hẹp một ánh xạ.

Gi
ả
s
ử
cho ánh x
ạ

f:X Y
→
,
A X
⊂
. Khi
đ
ó ta xác
đị
nh m
ộ
t ánh x

ạ

g:A Y
→
sao cho
x A: g(x) = f(x).
∀ ∈
Ánh x
ạ
g xác
đị
nh nh
ư
v
ậ
y g
ọ
i là
ánh x
ạ
thu h
ẹ
p
c
ủ
a f
vào t
ậ
p con A và th
ườ

ng
đượ
c kí hi
ệ
u:
A
g = f
.
Ví dụ
. Ánh x
ạ
: , 2 1
f
g n n
A
= → +
ℕ ℤ ֏
là thu h
ẹ
p c
ủ
a ánh x
ạ

: , 2 1
f n n
→ +
ℤ ℤ ֏

10
- Sự mở rộng một ánh xạ.

Gi
ả
s
ử

g:A Y
→
là ánh x
ạ
xác
đị
nh trên t
ậ
p con A c
ủ
a X và gi
ả
s
ử

có
f:X Y
→
sao cho
A
f g.

=
Khi
đ
ó ta nói r
ằ
ng ánh x
ạ
f là
m
ở
r
ộ
ng
c
ủ
a ánh x
ạ
g trên toàn t
ậ
p
X.
Ví dụ.
M
ở
r
ộ
ng ánh x
ạ
g trong ví d
ụ

trên.

1.3.4. Ảnh và tạo ảnh
Cho ánh x
ạ

f:X Y
→
. Gi
ả
s
ử
x và y là các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X và Y sao cho y = f(x). ta g
ọ
i ph
ầ
n t
ử
y
là
ả
nh c
ủ
a ph

ầ
n t
ử
x qua ánh x
ạ
f, còn ph
ầ
n t
ử
x g
ọ
i là m
ộ
t t
ạ
o
ả
nh c
ủ
a ph
ầ
n t
ử
y.
a, Ảnh của một tập hợp
Định nghĩa 20
.
Cho ánh x
ạ

f:X Y
→
và A là m
ộ
t
t
ậ
p con
c
ủ
a X. T
ậ
p con c
ủ
a Y g
ồ
m
ả
nh c
ủ
a t
ấ
t
c
ả
các ph
ầ
n t
ử
c

ủ
a A g
ọ
i là
ả
nh c
ủ
a A qua ánh x
ạ
f, kí hi
ệ
u f(A).
T
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a ta th
ấ
y r
ằ
ng:
y Y, y f(A) x A: y = f(x)
∈ ∈ ⇔ ∃ ∈
.
hay:
{
}
f(A) = y Y x A: y = f(x)

∈ ∃ ∈

Imf = f(X):
Ả
nh toàn ph
ầ
n c
ủ
a X qua ánh x
ạ
f.
Ví dụ.
X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d, e, f}

f:
1 2 3 4

a d c d
 
 
 
; A = {1, 2, 3} ; B = {2, 3, 4} ; C = {2, 4}
Suy ra: f(A) = {a, d, c}, f(B) = {c, d}, f(C) = {d}, f(X) = {a, c, d}
Chú ý.
Ánh x
ạ

f:X Y
→
:

+
A , A X
≠ ∅ ⊂
thì f(A)
≠ ∅
.
+
{
}
A= a
thì
{
}
f(A) f(a)
=
.
Định lý 2.

Cho ánh x
ạ

f: X Y
→
v
ớ
i hai t
ậ
p con tu
ỳ
ý A, B c

ủ
a X ta có:
f(A B) = f(A) f(B)
f(A B) f(A) f(B)
∪ ∪
∩ ⊂ ∩

b, Tạo ảnh của một tập hợp
Định nghĩa 21.
Cho ánh x
ạ

f:X Y
→
và U là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p con tu
ỳ
ý c
ủ
a Y. T
ậ
p h
ợ
p con c
ủ

a X
g
ồ
m t
ấ
t c
ả
các ph
ầ
n t
ử

x X
∈
sao cho
f (x) U
∈
g
ọ
i là
t
ạ
o
ả
nh toàn ph
ầ
n
c
ủ
a U qua ánh x

ạ
f và
đượ
c kí hi
ệ
u b
ở
i
1
f (U)
−
.
{
}
1
f (U) = x X f(x) U
−
∈ ∈
Ví dụ.
X = {a, b, c, d}; Y ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6}
f:X Y
→
cho b
ở
i b
ả
ng:
a b c d
2 1 2 5
 

 
 

Cho: B = {1, 3} thì
{
}
1
f (B) = b
−

B = {1, 2} thì
{
}
1
f (B) = a, b, c
−

Chú ý.
+ N
ế
u B là t
ậ
p con khác r
ỗ
ng c
ủ
a Y thì
1
f (B)
−

là t
ậ
p con c
ủ
a X, t
ậ
p này có th
ể
là t
ậ
p r
ỗ
ng.
+ N
ế
u
1 2 1 2
y , y Y; y y
∈ ≠
thì
1
1
f (y )
−
và
1
2
f (y )
−
là hai t

ậ
p con r
ờ
i nhau c
ủ
a X:


11

1 1
1 2 1 2 1 2
y , y Y; y y f (y ) f (y )
− −
∈ ≠ ⇒ ∩ = ∅
.
Định lý 3.
Cho ánh x
ạ

f:X Y
→
. V
ớ
i hai t
ậ
p con tu
ỳ
ý A, B c
ủ

a Y ta có:
1 1 1
1 1 1
f (A B) = f (A) f (B)
f (A B) = f (A) f (B)
− − −
− − −
∪ ∪
∩ ∩


1.3.5. Tích ánh xạ
Định nghĩa 22.
Gi
ả
s
ử
cho hai ánh x
ạ

f:X Y
→
,
g :Y Z
→
. Ánh x
ạ
:
X Z, x g(f(x))
→

֏

đượ
c
g
ọ
i là tích c
ủ
a hai ánh x
ạ
f và g, kí hi
ệ
u b
ở
i:
g f

ho
ặ
c gf.
Theo
đị
nh ngh
ĩ
a ta có
x X: g f(x)= g(f(x))
∀ ∈

.
Ta c

ũ
ng có
f:X Y
→
tu
ỳ
ý ta luôn có:
Y X
1 f = f 1 f
=
 
trong
đ
ó 1
X
, 1
Y
là các ánh x
ạ

đồ
ng nh
ấ
t.
Ví dụ.
Cho

: , 2 1
: , 1
f x x

g y y
→ +
→ −
ℝ ℝ ֏
ℝ ℝ ֏
,
khi
đ
ó
: , 2
g f x x
→
 ℝ ℝ ֏
là tích c
ủ
a ánh x
ạ
f và g.
Chú ý.

g f f g
≠
 
ngh
ĩ
a là tích các ánh x
ạ
không có tính ch
ấ
t giao hoán.

Định lý 4.
Tích các ánh x
ạ
có tính ch
ấ
t k
ế
t h
ợ
p, ngh
ĩ
a là n
ế
u
f:X Y
→
,
g :Y Z
→
,
g :Z T
→

thì
h (g f) (h g) f
=
   
.
Định lý 5.

Tích hai ánh x
ạ
có các tính ch
ấ
t sau:
1. Tích c
ủ
a hai
đơ
n ánh là m
ộ
t
đơ
n ánh.
2. Tích c
ủ
a hai toàn ánh là m
ộ
t toàn ánh.
3. Tích c
ủ
a hai song ánh là m
ộ
t song ánh.
Định lý 6.

Cho
f:X Y
→
,

g :Y U
→
và
h = g f

.
1. N
ế
u h là
đơ
n ánh thì f là
đơ
n ánh.
2. N
ế
u h là
đơ
n ánh và f là toàn ánh thì g là
đơ
n ánh.
3. N
ế
u h là toàn ánh thì g là toàn ánh.
4. N
ế
u h là toàn ánh và g là
đơ
n ánh thì f là toàn ánh.

1.3.6. Đơn ánh – Toàn ánh – Song ánh

a, Đơn ánh
Định nghĩa 23.

Ta g
ọ
i ánh x
ạ

f:X Y
→
là
đơ
n ánh
n
ế
u v
ớ
i hai ph
ầ
n t
ử
khác nhau b
ấ
t kì
1 2
x , x

c
ủ
a X và

1 2
x x
≠
ta luôn có
1 2
f(x ) f(x )
≠
.
Nói khác
đ
i
f:X Y
→
là
đơ
n ánh n
ế
u m
ọ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a Y có t
ố
i
đ
a m

ộ
t t
ạ
o
ả
nh trong X.
Đơ
n ánh
f:X Y
→
còn
đượ
c g
ọ
i là ánh x
ạ
m
ộ
t- m
ộ
t t
ừ
X
đế
n Y. Ta có th
ể
phát bi
ể
u
đị

nh ngh
ĩ
a
d
ướ
i d
ạ
ng t
ươ
ng
đươ
ng:
f:X Y
→
là
đơ
n ánh n
ế
u t
ừ

1 2
f(x ) f(x )
=
ta luôn có
1 2
x x
=
.
Ví dụ.

1. D
ễ
dàng th
ấ
y r
ằ
ng ánh x
ạ

đồ
ng nh
ấ
t
x
1 :X X
→
là
đơ
n ánh.
2. Ánh x
ạ

f:
→
ℝ ℝ
là
đơ
n ánh vì n
ế
u

3 3
1 2
x x
=
thì
1 2
x x
=
.

3
x x
֏

Nh
ư
ng ánh x
ạ

g:
→
ℝ ℝ
,
2
x x
֏
không là
đơ
n ánh?

12

b, Toàn ánh
Định nghĩa 24.

Ánh x
ạ

f:X Y
→
g
ọ
i là m
ộ
t
toàn ánh
n
ế
u f(X) = Y. Nói khác
đ
i:
f:X Y
→
là
m
ộ
t toàn ánh n
ế
u v

ớ
i m
ọ
i
y Y
∈
t
ồ
n t
ạ
i
x X
∈
sao cho
f(x) = y
.
Toàn ánh:
f:X Y
→
còn g
ọ
i là ánh x
ạ
t
ừ
X lên Y.
Tóm t
ắ
t:
f:X Y

→
là toàn ánh
Imf = f(X) = Y
⇔

f:X Y
→
là toàn ánh
y Y, x X :f(x) = y
⇔ ∀ ∈ ∃ ∈
.
Ví dụ.
1. Ánh x
ạ

đồ
ng nh
ấ
t là m
ộ
t toàn ánh
x
1 :X X
→
.
2.
f:
→
ℝ ℝ
không ph

ả
i là toàn ánh

x sinx
֏

Nh
ư
ng :
[
]
f: 1, 1
→ −
ℝ
là toàn ánh

x sinx
֏

3. Ánh x
ạ

f:
→
ℝ ℝ
là toàn ánh

3
x x
֏

Nh
ư
ng ánh x
ạ

g:
→
ℝ ℝ
không là toàn ánh?

2
x x
֏

c, Song ánh
Định nghĩa 25.

Ánh x
ạ

f:X Y
→
là m
ộ
t
song ánh
n
ế
u nó v

ừ
a là
đơ
n ánh v
ừ
a là toàn ánh.
Nói khác
đ
i: ánh x
ạ

f:X Y
→
là m
ộ
t song ánh n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
y Y
∈
có m
ộ
t và ch
ỉ
m
ộ

t
x X
∈
sao
cho
f(x) = y
.( M
ọ
i
y Y
∈
t
ạ
o
ả
nh
1
f (y)
−
bao gi
ờ
c
ũ
ng là t
ậ
p m
ộ
t ph
ầ
n t

ử
).
Song ánh:
f:X Y
→
còn g
ọ
i là ánh x
ạ
m
ộ
t – m
ộ
t t
ừ
X lên Y.
Ví dụ.
1. Ánh x
ạ

đồ
ng nh
ấ
t
x
1 :X X
→
là song ánh.
ánh x
ạ

f:
→
ℝ ℝ
là song ánh .

3
x x
֏

2. Cho
{
}
X = 1, 2, 3
. Có 6 song ánh cho b
ở
i b
ả
ng sau:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 3 2 2 3 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 1 3 3 2 1 3 1 2
     
     
     
     
     
     

1.3.7. Ánh xạ ngượ
c
Định nghĩa 26.
Gi
ả
s
ử

f:X Y
→
và
g :Y X
→
là hai ánh x
ạ
sao cho
X
g f = 1

và
Y
f g = 1

(
X
1
,
Y
1

là các ánh x
ạ

đồ
ng nh
ấ
t). Khi
đ
ó g g
ọ
i là
ánh x
ạ
ng
ượ
c
c
ủ
a ánh x
ạ
f
Do tính ch
ấ
t
đố
i x
ứ
ng trong
đị
nh ngh

ĩ
a nên n
ế
u g là ánh x
ạ
ng
ượ
c c
ủ
a f thì f c
ũ
ng là ánh x
ạ

ng
ượ
c c
ủ
a g.


13
Ví dụ.
Ánh x
ạ
ng
ượ
c c
ủ
a ánh x

ạ

f:
→
ℝ ℝ
là ánh x
ạ

f:
→
ℝ ℝ


3
x x
֏

3
x x
֏

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
m
ộ

t ánh x
ạ
có ánh x
ạ
ng
ượ
c
Định lý 7.

Ánh x
ạ

f:X Y
→
có ánh x
ạ
ng
ượ
c khi và ch
ỉ
khi f là song ánh
.
Định lý 8.

Gi
ả
s
ử

g :Y X

→
và
g :Y X
′
→

đề
u là ánh x
ạ
ng
ượ
c c
ủ
a ánh x
ạ

f:X Y
→
. Khi
đ
ó:
g = g
′
.

1.4. Giải tích tổ hợp
1.4.1. Chỉnh hợp lặp
Định nghĩa 27.
Cho X là m
ộ

t t
ậ
p h
ợ
p n ph
ầ
n t
ử
. M
ộ
t b
ộ
s
ắ
p th
ứ
t
ự
m các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X trong
đ
ó
m
ỗ
i ph

ầ
n t
ử
có th
ể
l
ặ
p l
ạ
i nhi
ề
u l
ầ
n, g
ọ
i là m
ộ
t
ch
ỉ
nh h
ợ
p l
ặ
p ch
ậ
p m c
ủ
a n ph
ầ

n t
ử
c
ủ
a X.
Nh
ư
v
ậ
y theo
đị
nh ngh
ĩ
a, hai ch
ỉ
nh h
ợ
p l
ặ
p ch
ậ
p m
đượ
c coi là khác nhau n
ế
u chúng ch
ứ
a nh
ữ
ng

ph
ầ
n t
ử
không hoàn toàn gi
ố
ng nhau ho
ặ
c chúng ch
ứ
a nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
nh
ư
nhau nh
ư
ng th
ứ
t
ự
s
ắ
p
x
ế
p khác nhau.

Ví dụ.
Cho
{
}
, ,
X a b c
=
. Ta có
{
}
{
}
, , , , , , , , ,
a a b c b b a b c c
là hai ch
ỉ
nh h
ợ
p l
ặ
p c
ủ
a X.

Định lý 9.

S
ố
ch
ỉ

nh h
ợ
p l
ặ
p ch
ậ
p m c
ủ
a n ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X b
ằ
ng s
ố
ánh x
ạ
t
ừ
t
ậ
p m ph
ầ
n t
ử

đế

n
t
ậ
p n ph
ầ
n t
ử
và b
ằ
ng
m
n
, ký hi
ệ
u:
m m
n
F n
=
.
Ví dụ.
Có bao nhiêu bi
ể
n
đă
ng ký khác nhau n
ế
u m
ỗ
i bi

ể
n
đă
ng ký là dãy 3 trong các ch
ữ
s
ố
0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Ta th
ấ
y s
ố
bi
ể
n
đă
ng ký b
ẳ
ng ch
ỉ
nh h
ợ
p l
ặ
p ch
ậ
p 3 c
ủ
a 10 ph

ầ
n t
ử
.
V
ậ
y s
ố
bi
ể
n
đă
ng ký có th
ể
có là,
3
10 1000
=
.
10


1.4.2. Chỉnh hợp không lặp
Cho t
ậ
p X g
ồ
m có n ph
ầ
n t

ử
, k là m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng
1 .
k n
≤ ≤

Định nghĩa 28.
M
ỗ
i cách s
ắ
p x
ế
p k ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p h
ợ
p X theo m

ộ
t th
ứ
t
ự
nh
ấ
t
đị
nh
đượ
c g
ọ
i là
m
ộ
t ch
ỉ
nh h
ợ
p không l
ặ
p ch
ậ
p k c
ủ
a n phân t
ử

đ

ã cho.
Kí hi
ệ
u:
k
n
A
.
Ví dụ.
+ Cho t
ậ
p h
ợ
p
{ , , }
X a b c
=
. Hãy vi
ế
t t
ấ
t c
ả
các ch
ỉ
nh h
ợ
p ch
ậ
p 2 c

ủ
a X.
Ch
ỉ
nh h
ợ
p ch
ậ
p 2 c
ủ
a X:
{ , }
a b
,
{ , }
a c
,
{ , }
c b
,
{ , }
c a
,
{ , }
b c
,
{ , }
b a

+ Trong tr

ậ
n chung k
ế
t bóng
đ
á ph
ả
i phân
đị
nh th
ắ
ng thua b
ằ
ng
đ
á luân l
ư
u 11 mét. Hu
ấ
n
luy
ệ
n viên c
ủ
a m
ỗ
i
độ
i c
ầ

n trình v
ớ
i tr
ọ
ng tài m
ộ
t danh sách s
ắ
p th
ứ
t
ự
c
ầ
u th
ủ
trong s
ố
11 c
ầ
u
th
ủ

để

đ
á luân l
ư
u 5 qu

ả
11 mét.
M
ỗ
i danh sách có x
ế
p th
ứ
t
ự
5 c
ầ
u th
ủ

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t ch
ỉ
nh h
ợ
p ch
ậ
p 5 c
ủ
a 11 c
ầ

u th
ủ

Hu
ấ
n luy
ệ
n viên c
ủ
a m
ỗ
i
độ
i có th
ể
chon m
ộ
t trong 11 c
ầ
u th
ủ

để

đ
á qu
ả

đầ
u tiên. Ti

ế
p
theo có 10 cách ch
ọ
n c
ầ
u th
ủ

đ
á qu
ả
th
ứ
hai, r
ồ
i có 9 cách ch
ọ
n c
ầ
u th
ủ

đ
á qu
ả
th
ứ
ba, r
ồ

i l
ạ
i có
8 cách ch
ọ
n c
ầ
u th
ủ

đ
á qu
ả
th
ứ
t
ư
và cu
ố
i cùng có 7 cách ch
ọ
n c
ầ
u th
ủ

đ
á qu
ả
th

ứ
n
ă
m. theo quy
t
ắ
c nhân hu
ấ
n luy
ệ
n viên c
ủ
a m
ỗ
i
độ
i s
ẽ
có: 11 . 10 . 9 . 8 . 7 = 55440 cách ch
ọ
n.




14
Định lý 10.
S
ố
các ch

ỉ
nh h
ợ
p ch
ậ
p k c
ủ
a m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p n ph
ầ
n t
ử
(1 )
k n
≤ ≤
b
ằ
ng s
ố

đơ
n ánh t
ừ

t

ậ
p k ph
ầ
n t
ử
vào t
ậ
p n ph
ầ
n t
ử
và b
ằ
ng:
( 1)( 2) ( 1)
k
n
A n n n n k
= − − − +

Ví dụ.
Có bao nhiêu s
ố
khác nhau g
ồ
m 4 ch
ữ
s
ố

đượ
c thi
ế
t l
ậ
p t
ừ

{1,2,3,4,5}
.
Giải.
S
ố
các s
ố
khác nhau g
ồ
m 4 ch
ữ
s
ố
b
ằ
ng s
ố
các ch
ỉ
nh h
ợ
p không l

ặ
p ch
ậ
p 4 c
ủ
a 5 ph
ầ
n t
ử
, t
ứ
c là:

4
5
5!
120
(5 4)!
A = =
−
.
Ví dụ.
Có m
ấ
y cách ch
ọ
n 3 cu
ố
n sách t
ừ

t
ậ
p h
ợ
p g
ồ
m 7 cu
ố
n sách và s
ắ
p x
ế
p lên giá sách có 3
ch
ỗ
tr
ố
ng.
Giải.
M
ỗ
i cách s
ắ
p x
ế
p 3 cu
ố
n sách trong 7 cu
ố
n sách là m

ộ
t ch
ỉ
nh h
ợ
p ch
ậ
p 3 c
ủ
a 7 ph
ầ
n t
ử

đ
ã cho.
V
ậ
y s
ố
cách s
ắ
p x
ế
p khác nhau 3 cu
ố
n sách trong 7 cu
ố
n lên giá sách có 3 ch
ỗ

tr
ố
ng là:

3
7
7!
210
(7 3)!
A
= =
−


1.4.3. Hoán vị
Cho t
ậ
p h
ợ
p X g
ồ
m n ph
ầ
n t
ử
.
Định nghĩa 29.
M
ỗ
i cách s

ắ
p x
ế
p c
ủ
a n ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p h
ợ
p X theo m
ộ
t th
ứ
t
ự
nh
ấ
t
đị
nh
đượ
c
g
ọ

i là m
ộ
t hoán v
ị
c
ủ
a n ph
ầ
n t
ử

đ
ã cho.
Ví dụ.
Cho
{
}
, ,
X a b c
=
.
Có 6 hoán v
ị
khác nhau c
ủ
a X:
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)
, , , , , , , , , , , , , , , , ,
a b c a c b b a c b c a c a b c b a

Ký hi
ệ
u s
ố
các hoán v
ị
khác nhau c
ủ
a n ph
ầ
n t
ử
là
n
P
.
Định lý 10.
S
ố

hoán v
ị
c
ủ
a t
ậ
p n ph
ầ
n t
ử
b
ằ
ng s
ố
các
đơ
n ánh (
đồ
ng th
ờ
i c
ũ
ng là song ánh) t
ừ

t
ậ
p n ph
ầ
n t

ử
vào t
ậ
p n ph
ầ
n t
ử
và b
ằ
ng
! ( ! 1.2.3 )
n
P n n n
= =

Ngoài ra c
ũ
ng có th
ể
phát bi
ể
u. S
ố
hoán v
ị
c
ủ
a t
ậ
p n ph

ầ
n t
ử
b
ằ
ng s
ố
các phép th
ế
c
ủ
a t
ậ
p
đ
ó và
b
ằ
ng
!
n
.
Ví dụ.
Có bao nhiêu s
ố
khác nhau g
ồ
m 4 ch
ữ
s

ố

đượ
c thi
ế
t l
ậ
p t
ừ

{1,2,3,4}
.
Gi
ả
i:
4
4! 24
P
= =
s
ố
.
1.4.4. Tổ hợp
Định nghĩa 30.
Cho t
ậ
p A có n ph
ầ
n t
ử

và s
ố
nguyên k v
ớ
i
1
k n
≤ ≤
. M
ỗ
i t
ậ
p con c
ủ
a A có k
ph
ầ
n t
ử

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p ch

ậ
p k c
ủ
a n ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a A.
Kí hi
ệ
u:
k
n
C
.
Ví dụ.

{
}
, ,
X a b c
=
. T
ổ
h
ợ
p ch
ậ

p 2 c
ủ
a 3 ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X là:
(
)
(
)
(
)
, , , , ,
a b b c c a

Định lý 11.
S
ố
các t
ổ
h
ợ
p ch
ậ
p k c
ủ
a m

ộ
t t
ậ
p h
ợ
p cón ph
ầ
n t
ử

(1 )
k n
≤ ≤
b
ằ
ng s
ố
các t
ậ
p con k
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p n ph
ầ

n t
ử
và b
ằ
ng:

( 1) ( 1)
! !
k
k
n
n
A
n n n k
C
k k
− − +
= =

Chú ý.


15
+ V
ớ
i
1
k n
≤ ≤
ta có th

ể
vi
ế
t công th
ứ
c trên d
ướ
i d
ạ
ng
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
=
−
.
+ Ta quy
ướ
c
0
1
n
C
=

Ví dụ.

1. Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng cho m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p P g
ồ
m 7
đ
i
ể
m trong
đ
ó không có 3
đ
i
ể
m nào th
ẳ
ng hàng.
H
ỏ
i có bao nhiêu tam giác có 3
đỉ
nh

đề
u thu
ộ
c P?
2. Có bao nhiêu cách phân công 5 ng
ườ
i
đ
i lao
độ
ng trong s
ố
50 h
ọ
c sinh?
3. Trong m
ộ
t l
ớ
p có 20 h
ọ
c sinh nam và 15 h
ọ
c sinh n
ữ
. Th
ầ
y giáo ch
ủ
nhi

ệ
m c
ầ
n ch
ọ
n 4 h
ọ
c
sinh nam và 3 h
ọ
c sinh n
ữ

đ
i tham gia chi
ế
n d
ị
ch “Mùa hè xanh” c
ủ
a
Đ
oàn Thanh niên C
ộ
ng s
ả
n
H
ồ
Chí Minh. H

ỏ
i có bao nhiêu cách ch
ọ
n?
Giải.
1. V
ớ
i m
ỗ
i t
ậ
p con g
ồ
m 3
đ
i
ể
m b
ấ
t k
ỳ
c
ủ
a P, ta t
ạ
o
đượ
c m
ộ
t tam giác v

ớ
i các
đỉ
nh là 3
đ
i
ể
m
đ
ó.
Ng
ượ
c l
ạ
i, m
ỗ
i tam giác có 3
đỉ
nh thu
ộ
c P t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i m
ộ
t t
ậ

p con g
ồ
m 3
đ
i
ể
m c
ủ
a P. V
ậ
y s
ố

tam giác có 3
đỉ
nh thu
ộ
c P chính b
ằ
ng s
ố
các t
ổ
h
ợ
p ch
ậ
p 3 c
ủ
a t

ậ
p P, t
ứ
c là b
ằ
ng:
3
7
7.6.5
35
3!
C
= =
.
2. M
ỗ
i cách ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên 5 ng
ườ
i trong 50 ng
ườ
i là m
ộ
t t
ổ
h
ợ

p ch
ậ
p 5 c
ủ
a 50. V
ậ
y s
ố
cách
phân công khác nhau 5 ng
ườ
i trong 50
đ
i lao
độ
ng là:
5
50
50!
2118760
5!(50 5)!
C
= =
−
.
3. Ta có:
4
20
20.19.18.17
4845

1.2.3.4
C = = cách ch
ọ
n 4h
ọ
c sinh nam trong s
ố
20 h
ọ
c sinh nam và có
3
15
15.14.13
455
1.2.3
C = = cách ch
ọ
n 3 h
ọ
c sinh n
ữ
trong s
ố
15 h
ọ
c sinh n
ữ
. Theo quy t
ắ
c nhân, s

ố

cách ch
ọ
n là: 4845 . 455 = 2 204 475

1.4.5. Nhị thức Newtơn
.

( )
0 1 1 2 2 2 2 1
. . . . . . .
n
n n n n n n
n n n n n
a b C b C a b C a b C a b C a
− − −
+ = + + + + +
Ví dụ.

( )
3
0 1 2 2 2 1 3 3
3 3 2 3
. . . . .
n
a b C b C a b C a b C a
+ = + + +

3 2 2 3

3 3
b ab a b a
= + + +
.
*) Tài liệu học tập
[1]. Phan H
ữ
u Chân (1977), Tr
ầ
n Lâm Hách, Nh
ậ
p môn lý thuy
ế
t t
ậ
p h
ợ
p và lôgic, NXB Giáo
d
ụ
c.
[2]. Ngô Thúc Lanh (1995),
Đạ
i s
ố
và s
ố
h
ọ
c, NXB Giáo d

ụ
c.
[3]. V
ươ
ng Th
ụ
y (2001), Giáo trình t
ậ
p h
ợ
p và lôgic ,
Đạ
i h
ọ
c S
ư
ph
ạ
m Hà N
ộ
i II.
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
1.1

Các t
ậ
p d
ướ
i
đ

ây
đượ
c cho b
ằ
ng cách ch
ỉ
rõ thu
ộ
c tính
đặ
c tr
ư
ng. Hãy xác
đị
nh t
ậ
p h
ợ
p
đ
ó
b
ằ
ng cách li
ệ
t kê.
a) A = {x ∈ N | x có 2 ch
ữ
s
ố

và ch
ữ
s
ố
hàng ch
ụ
c c
ủ
a nó b
ằ
ng 3}.
b) B = {x ∈ N | x là
ướ
c c
ủ
a 15}.


16
c) C = {x ∈ N | x là s
ố
nguyên t
ố
không l
ớ
n h
ơ
n 16}.
1.2

Hãy phát vi
ế
t l
ạ
i các t
ậ
p sau
đ
ây theo cách ch
ỉ
rõ thu
ộ
c tính
đặ
c tr
ư
ng.
a) A = {3, 6, 9, 12, 15}.
b) B = {2, 3, 5, 7}.
c) C = {-2, -1, 0, 1, 2}.
d) D = {1, 4, 9}.
e) E = {1,
3
, -
3
}.
1.3

Cho A là t
ậ

p các s
ố
nguyên d
ươ
ng chia h
ế
t cho 3, còn B là t
ậ
p các s
ố
nguyên d
ươ
ng mà t
ổ
ng
các ch
ữ
s
ố
chia h
ế
t cho 3. Xét m
ố
i quan h
ệ
gi
ữ
a 2 t
ậ
p A, B.

1.4

Cho A = {n ∈
N
| n + m = 8 v
ớ
i m ∈
N
} và B ={m ∈
N
| n + m = 8 v
ớ
i n ∈
N
}.
Ch
ứ
ng minh A = B.
1.5

Cho A là t
ậ
p h
ợ
p g
ồ
m các
ướ
c s
ố

chung c
ủ
a a & b. G
ọ
i d là
ướ
c s
ố
chung l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a a & b
và B là t
ậ
p h
ợ
p các
ướ
c s
ố
c
ủ
a d. Ch
ứ
ng minh A = B. Cho ví d
ụ
minh ho

ạ
.
1.6

Hãy xét quan h
ệ
gi
ữ
a các t
ậ
p A & B cho d
ướ
i
đ
ây:

a) A = {n ∈
N
| n
2
< 7}.

B = {n ∈
N
| n
3
< 10}.
b) A là t
ậ
p h

ợ
p các
đ
a giác có chu vi 4 m.
B là t
ậ
p h
ợ
p các hình vuông có di
ệ
n tích 1 m
2
.
c) A là t
ậ
p h
ợ
p các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình x =
3 2
x
−
.
B là t
ậ

p h
ợ
p các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình x
2
= 3 – 2x.
1.7

G
ọ
i B
k
là t
ậ
p h
ợ
p các b
ộ
i c
ủ
a s
ố
nguyên k. Xét quan h
ệ
gi

ữ
a các t
ậ
p h
ợ
p sau:
a) B
2
và B
3
.
b) B
3
và B
6
.
c) B
1
và các t
ậ
p B
2
, B
3
, B
6
.
1.8

Vi

ế
t t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p con c
ủ
a t
ậ
p X = {a, b, c, d}.
1.9

Tìm t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p con c
ủ
a t
ậ
p M các s
ố
nguyên t
ố
l
ớ

n h
ơ
n 2 và bé h
ơ
n 8.
1.10

Ch
ứ
ng minh
đẳ
ng th
ứ
c A = B , v
ớ
i
A= {n ∈
ℕ

n
⋮
6 } ; B= {n ∈
ℕ

n
⋮
2 và n
⋮
3 }
1.11

G
ọ
i B
n
là t
ậ
p các b
ộ
i c
ủ
a s
ố
nguyên n.
a) Hãy xác
đị
nh các t
ậ
p B
2
∪ B
4
, B
2
∩ B
3
.
b) Tìm h
ệ
th

ứ
c liên h
ệ
gi
ữ
a m, n sao cho:
+ B
n
⊂ B
m
.


17
+ B
n
∩ B
m
= B
n.m
.
1.12

G
ọ
i C
n
là t
ậ
p các

ướ
c c
ủ
a s
ố
t
ự
nhiên n.
a) Hãy xác
đị
nh các t
ậ
p C
3
∪ C
2
, C
18
∩ C
24
.
b) Tìm h
ệ
th
ứ
c liên h
ệ
gi
ữ
a n, m sao cho:

+ C
n
⊂ C
m
.
+ C
n
∩ C
m
= {1}.
+ C
n
∪ C
m
= C
m
.
1.13

Tìm kho
ả
ng xác
đị
nh c
ủ
a các hàm s
ố
(bi
ế
n s

ố
th
ự
c) sau:
a) y =
2
2 1
1
x
x
+
−
+ lg(3x - 1).
b) y =
2
x
−
+ lg(– x
2
+ 3x – 2).
Gi
ả
i thích l
ờ
i gi
ả
i b
ằ
ng ngôn ng
ữ

c
ủ
a lý thuy
ế
t t
ậ
p h
ợ
p.
1.14

Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình và b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
a)
2x y 0
x y 3
− =


+ =


b)
2 2
2 2 2
(x 1) 7 (x 4)
(x 1) 3x (2x 1) 7

− + > +


+ + > − +



1.15
Ch
ứ
ng minh
đị
nh lý:
a) A

∩
B = A khi và ch
ỉ
khi A
⊂
B.
b) A

∪
B = B khi và ch
ỉ
khi A
⊂
B.
1.16
Cho A, B, C là 3 t
ậ
p h
ợ
p. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a) N
ế
u A

∩
C
⊂
A

∩
B và A

∪

C
⊂
A

∪
B thì C
⊂
B.
b) T
ừ
A

∪

B = A

∪
C có th
ể
suy ra
đượ
c B = C không ? Cho ví d
ụ
.
c) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế

u A

∪

C = A

∪
B và A

∩

C = A

∩
B thì B = C.
1.17
Cho A là t
ậ
p các
ướ
c c
ủ
a 24; B là t
ậ
p các
ướ
c c
ủ
a 1 (xét trên t
ậ

p các s
ố
t
ự
nhiên
N
).
Hãy xác
đị
nh t
ậ
p A – (A – B).
1.18
Cho
R
t
ậ
p s
ố
th
ự
c. Tìm C
R
(A) trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau:
a) A =
{

x
∈

R
| 0
≤
x
≤
1
}
.
b) A =
{
x
∈

R
| -1
<
x
≤
3
}
.
c) A =
{
x
∈
R
| x

<
-2 ho
ặ
c x > 3
}
.
Hãy bi
ể
u di
ễ
n các t
ậ
p và C
R
(A) b
ằ
ng hình v
ẽ
trên tr
ụ
c s
ố
cho t
ừ
ng tr
ườ
ng h
ợ
p.
1.19

Cho A, B là các t
ậ
p tu
ỳ
ý. Ch
ứ
ng minh:
a) B
∪
(A

–

B) = A

∪
B.


18
b) A – (A – B) = A
∩
B.
c) A – B = A – (A
∩
B).
d) (A – B)
∪
(B – A) = (A
∪

B) – (A
∩
B).
1.20

Gi
ả
s
ử
A, B là các t
ậ
p con c
ủ
a t
ậ
p X. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
C
X
(A) = B khi và ch
ỉ
khi A
∪
B = X và A
∩
B =
∅

.
1.21

Tích
đề
các A
×
B
×
C g
ồ
m bao nhiêu ph
ầ
n t
ử
n
ế
u:
a) A g
ồ
m 2 ph
ầ
n t
ử
, B g
ồ
m 4 ph
ầ
n t
ử

, C g
ồ
m 3 ph
ầ
n t
ử
.
b) A g
ồ
m p ph
ầ
n t
ử
, B g
ồ
m q ph
ầ
n t
ử
, C g
ồ
m r ph
ầ
n t
ử
.
1.22
Hãy li
ệ
t kê các ph

ầ
n t
ử
c
ủ
a các t
ậ
p con sau
đ
ây c
ủ
a t
ậ
p
N
×
N.
a) A =
{
(a, b) | a + b = 9, a
∈

N
, b
∈

N
}
.
b) B =

{
(a, b) | a = 5 – 2b, a
∈

N
, b
∈

N
}
.
1.23
a) Cho t
ậ
p h
ợ
p X =
{
1, 2, 3, 4, 5
}
. Trong X xác
đị
nh quan h
ệ
hai ngôi S nh
ư
sau : a S b
⇔
a +
b là s

ố
ch
ẵ
n
Hãy li
ệ
t kê t
ấ
t c
ả
các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a quan h
ệ
S . Xét xem quan h
ệ
S có nh
ữ
ng tính ch
ấ
t nào .
b) Trong t
ậ
p các s
ố
th

ự
c
R
cho quan h
ệ
S xác
đị
nh nh
ư
sau: x S y khi và ch
ỉ
khi
x
2
+ y
2
+ 4x = 6y – 15. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng quan h
ệ
S là t
ậ
p r
ỗ
ng.
1.24
Trên t
ậ

p
ℤ
các s
ố
nguyên xác
đị
nh quan h
ệ
S nh
ư
sau:
a S b khi và ch
ỉ
khi a + b chia h
ế
t cho 2. Hãy xem quan h
ệ
này có tính ch
ấ
t gì ?
1.25
Trên t
ậ
p
ℤ
các s
ố
nguyên xác
đị
nh quan h

ệ

ρ
nh
ư
sau: a
ρ
b khi và ch
ỉ
khi a – b chia h
ế
t cho
3. Hãy xem quan h
ệ
này có tính ch
ấ
t gì ?
1.26
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng cho
đườ
ng th
ẳ
ng a c
ố

đị

nh. Trên t
ậ
p X các
đ
i
ể
m c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng xác
đị
nh
quan h
ệ

ρ
nh
ư
sau: V
ớ
i M, N
∈
X, M
ρ
N khi và ch
ỉ
khi kho

ả
ng cách t
ừ
M t
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng a
b
ằ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
N t
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng a.
a) Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng

ρ
là m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng.
b) Cho A là
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh. Hãy xác
đị
nh t
ậ
p [A] b
ằ
ng cách s
ử
d
ụ
ng ngôn ng
ữ

qu
ỹ
tích.
1.27

Gi
ả
s
ử
X là t
ậ
p các
đ
i
ể
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng, O là
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh thu
ộ
c X. Trên X xác

đị
nh quan h
ệ
S
nh
ư
sau:
M S N khi và ch
ỉ
khi M, N, O cùng n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng nào
đ
ó.
a) S có ph
ả
i là quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng trên X không ?
b) S có ph
ả
i là quan h

ệ
t
ươ
ng
đươ
ng trên X –
{
O
}
không ?. N
ế
u ph
ả
i, xác
đị
nh l
ớ
p t
ươ
ng
đươ
ng
ch
ứ
a
đ
i
ể
m A. Hãy mô t
ả

t
ậ
p th
ươ
ng X –
{
O
}
/ S.
1.28

Trong t
ậ
p các s
ố
th
ự
c
ℝ
xác
đị
nh quan h
ệ
S nh
ư
sau: x S y
⇔
|x| = |y|.
a) Ch
ứ

ng t
ỏ
S là quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng.


19
b) Cho a là s
ố
th
ự
c, tìm [a].
1.29
Trong t
ậ
p

×
ℝ ℝ

ta xác
đị
nh quan h
ệ
S nh

ư
sau: (x
1
, y
1
) S (x
2
, y
2
)
⇔
x
1
= x
2
.
Ch
ứ
ng t
ỏ
S là quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng. Hãy xác
đị
nh l
ớ

p [a, b] và t
ậ
p th
ươ
ng
×
ℝ ℝ
/ S. Sau
đ
ó
minh ho
ạ
b
ằ
ng hình v
ẽ
(coi (x, y) là
đ
i
ể
m có to
ạ

độ
(x, y) trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ

i h
ệ
tr
ụ
c to
ạ

độ

Oxy).
1.30
Trong t
ậ
p
*
×ℤ
ℕ
ta xác
đị
nh quan h
ệ
~ nh
ư
sau: (a, n) ~ (b, m)
⇔
a.m

= b.n.
a) Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng ~ là quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng.
b) Hãy xác
đị
nh t
ậ
p th
ươ
ng
*
×ℤ
ℕ
/ ~.
1.31
Trong t
ậ
p các s
ố
th
ự
c
R
. Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng quan h
ệ
S trên
R
xác
đị
nh b
ở
i:
x S y khi và ch
ỉ
khi x
3
– y
3
= x – y là quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng.
Tu
ỳ
theo giá tr
ị
c

ủ
a a, tìm các ph
ầ
n t
ử
trong l
ớ
p t
ươ
ng
đươ
ng [a].
1.32

Cho X =
{
1, 2, 3
}
và m
ộ
t quan h
ệ
hai ngôi S trên X.
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u S là quan h

ệ
t
ươ
ng
đươ
ng trên X ch
ứ
a các ph
ầ
n t
ử

(1, 2) và (1, 3) thì S = X
×
X.
b) Trong tr
ườ
ng h
ợ
p S là t
ậ
p con th
ự
c s
ự
c
ủ
a X
×
X, ch

ứ
a (1, 2), hãy tìm S sao cho S là m
ộ
t quan
h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng trên X.
1.33

a) Trong t
ậ
p
R
các s
ố
th
ự
c xét quan h
ệ
S nh
ư
sau: x S y
⇔
x
3

≤
y
3
. S có là quan h
ệ
th
ứ
t
ự

không ? T
ậ
p
R
cùng v
ớ
i quan h
ệ
S có là t
ậ
p s
ắ
p th
ứ
t
ự
tuy
ế
n tính không ?
b) C

ũ
ng trong t
ậ
p
R
xét quan h
ệ
T nh
ư
sau: x T y
⇔
x
2

≤
y
2
. Quan h
ệ
T có là
quan h
ệ
th
ứ
t
ự
không ?
1.34
Trong t
ậ

p các s
ố
nguyên
Z
xét quan h
ệ
S nh
ư
sau: n S m
⇔
|n|
≤
|m|. Quan h
ệ
S có là quan h
ệ

th
ứ
t
ự
không ? t
ạ
i sao ?
1.35
Cho X =
{
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
}
.

A =
{
2, 4, 6, 8, 10
}
.
B =
{
2, 4, 8
}
.
Trên X xét quan h
ệ
th
ứ
t
ự
là quan h
ệ
“ chia h
ế
t ” ( \ ).
a) Tìm ph
ầ
n t
ử
nh
ỏ
nh
ấ
t l

ớ
n nh
ấ
t (n
ế
u có) c
ủ
a các t
ậ
p X, A, B.
b) Tìm các t
ậ
p T(A), D(A), T(B), D(B).
c) Tìm ch
ặ
n trên nh
ỏ
nh
ấ
t, ch
ặ
n d
ướ
i l
ớ
n nh
ấ
t (n
ế
u có) c

ủ
a các t
ậ
p A, B.
d) Tìm các ph
ầ
n t
ử
t
ố
i
đạ
i, t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a X.
1.36
Xét t
ậ
p h
ợ
p s
ắ
p th
ứ
t
ự

ℕ
v
ớ
i quan h
ệ
th
ứ
t
ự

≤
và b
ộ
ph
ậ
n c
ủ
a
ℕ
v
ớ
i
A =
{
2, 3, 4 , 5 , 6, 7
}
.
Tìm ph
ầ

n t
ử
l
ớ
n nh
ấ
t, ph
ầ
n t
ử
nh
ỏ
nh
ấ
t, ch
ặ
n trên, ch
ặ
n d
ướ
i, ch
ặ
n trên nh
ỏ
nh
ấ
t, ch
ặ
n d
ướ

i l
ớ
n
nh
ấ
t, ph
ầ
n t
ử
t
ố
i
đạ
i, ph
ầ
n t
ử
t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a b
ộ
ph
ậ
n A .

20
1.37
Xét t
ậ
p h
ợ
p s
ắ
p th
ứ
t
ự

*
ℕ
v
ớ
i quan h
ệ
th
ứ
t
ự
“ chia h
ế
t ” ( \ ) và b
ộ
ph
ậ
n A

⊂

*
ℕ
v
ớ
i
A =
{
2, 3, 4 , 5 , 6, 7
}
.
Tìm ph
ầ
n t
ử
l
ớ
n nh
ấ
t, ph
ầ
n t
ử
nh
ỏ
nh
ấ
t, ch
ặ

n trên, ch
ặ
n d
ướ
i, ch
ặ
n trên nh
ỏ
nh
ấ
t, ch
ặ
n d
ướ
i l
ớ
n
nh
ấ
t, ph
ầ
n t
ử
t
ố
i
đạ
i, ph
ầ
n t

ử
t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a b
ộ
ph
ậ
n A .
1.38
a) Gi
ả
s
ử
A là t
ậ
p các ph
ầ
n t
ử
có d
ạ
ng a
n
= 3
n
v

ớ
i n
∈
ℕ
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng A là t
ậ
p s
ắ
p th
ứ
t
ự

tuy
ế
n tính v
ớ
i quan h
ệ
th
ứ
t
ự
chia h
ế
t.

b) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trong m
ộ
t t
ậ
p s
ắ
p th
ứ
t
ự
tuy
ế
n tính ph
ầ
n t
ử
l
ớ
n nh
ấ
t (bé nh
ấ
t) là ph
ầ
n t
ử

t
ố
i
đạ
i ( t
ố
i ti
ể
u) và ng
ượ
c l
ạ
i.
1.39
G
ọ
i X là t
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả
nh
ữ
ng ng
ườ
i
đ

ã và
đ
ang s
ố
ng trên trái
đấ
t.
Hãy xét xem nh
ữ
ng quy t
ắ
c
đặ
t t
ươ
ng
ứ
ng d
ướ
i
đ
ây , quy t
ắ
c nào là ánh x
ạ
, quy t
ắ
c nào không
ph
ả

i là ánh x
ạ
t
ừ
X
đế
n X .
a) Quy t
ắ
c
ứ
ng m
ỗ
i ng
ườ
i v
ớ
i m
ẹ

đẻ
c
ủ
a mình .
m : X
→
X
x
֏
m(x) = m

ẹ

đẻ
c
ủ
a x
b) Quy t
ắ
c
ứ
ng m
ỗ
i ng
ườ
i v
ớ
i anh ru
ộ
t c
ủ
a mình
a : X
→
X
x
֏
a(x) = anh ru
ộ
t c
ủ

a x
c) Quy t
ắ
c
ứ
ng m
ỗ
i ng
ườ
i v
ớ
i con
đẻ
c
ủ
a mình
c : X
→
X
x
֏
c(x) = con
đẻ
c
ủ
a x .
1.40
Cho X =
{
a , b, c, d

}
.
Y =
{
1 , 2, 3, 4 , 5 , 6
}
.
a) Hãy thi
ế
t l
ậ
p m
ộ
t s
ố
ánh x
ạ
t
ừ
X
đế
n Y.
b) Ch
ỉ
ra ba quy t
ắ
c cho t
ươ
ng
ứ

ng các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X v
ớ
i các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a Y mà không ph
ả
i là
ánh x
ạ
t
ừ
X
đế
n Y. Dùng bi
ể
u
đồ
ven
để
minh ho

ạ
.
1. 41
Cho ánh x
ạ
f:
R

→

R

x
֏
x
2
– 3x + 1
Hãy tìm:
a)
ả
nh c
ủ
a các
đ
i
ể
m 0, 1 và –1.
b)
ả
nh c

ủ
a t
ậ
p các
đ
i
ể
m trên
đ
o
ạ
n [–1, 2].
c) Tìm t
ạ
o
ả
nh toàn ph
ầ
n c
ủ
a 1 , –1.
d) f
-1
([–1; 1]) .
1.42
Cho X =
{
1, 2, 3, 4, 5
}
, A =

{
1, 3, 5
}
,
Y =
{
a, b, c
}
.
ánh x
ạ
g: A
→
Y
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i b
ả
ng sau:


21

1 3 5
a b a
 
 

 

Hãy vi
ế
t t
ấ
t c
ả
các ánh x
ạ
f: X
→
Y sao cho f là m
ở
r
ộ
ng c
ủ
a g trên toàn X.
1.43
Cho ánh x
ạ

ϕ
:
R
×
R
→
R

×
R
(x, y)
֏
(2x, 2y)
Cho A =
{
(x, y)
∈

R
×
R
| (x – 4)
2
+ y
2
= 4
}
.

a) Tìm
ϕ
(A),
ϕ
–1
(A).
b) Bi
ể
u di

ễ
n các t
ậ
p A,
ϕ
(A),
ϕ
–1
(A) trên m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ

độ

R
×
R
.
1.44

Cho hàm s
ố

ϕ
:
R
→

R
, xác
đị
nh b
ở
i
ϕ
(x) = | x + 1|.
Hãy tìm f(A), f
–1
(f(A)), v
ớ
i A = [– 2, 1].
1.45

Cho ánh x
ạ
f: X
→
Y ; A, B là các t
ậ
p con c
ủ
a X ; U, V là các t
ậ
p con c
ủ
a Y.
Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng:
a) A
⊂
f
–1
(f(A)).
b) f(f
–1
(U))
⊂
U.
c) f(X) – f(A)
⊂
f(X – A).
d) f
–1
(Y – U) = X – f
–1
(U).
e) N
ế
u A
⊂
B thì f(A)
⊂
f(B).
N
ế

u U
⊂
V thì f
–1
(U)
⊂
f
–1
(V).
1.46

Cho f: X
→
Y.

x
֏
2x
ánh x
ạ

đ
ó có là
đơ
n ánh, toàn ánh, song ánh không trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau:
a) X =

Z
, Y =
R
.
b) X = Y =
Z
.
c) X = Y = 2
N
.
a) X = Y =
R

1.47

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u f: X
→
Y là m
ộ
t
đơ
n ánh và A, B là các t
ậ
p con c

ủ
a X thì:
a) f(A
∩
B) = f(A)
∩
f(B).
b) f(X – A) = f(X) – f(A).
1.48

Cho hàm s
ố
f:
R
→
R
và g:
R
→
R

x
֏
x
2
– x + 1 x
֏
2x – 1
Xác
đị

nh các hàm s
ố
h
ợ
p: f.g và g.f.
1.49

Cho ánh x
ạ
f: X
→
Y (X, Y ?
∅
). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a) f là
đơ
n ánh khi và ch
ỉ
khi có ánh x
ạ
g: Y
→
X sao cho g.f = 1
X
.
b) f là toàn ánh khi và ch

ỉ
khi có ánh x
ạ
g: Y
→
X sao cho f.g = 1
Y
.
1.50



22
Cho ánh x
ạ
f : X
→
Y và
g,g
′

: U
→
X. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a) N
ế

u f là
đơ
n ánh và
fg fg
′
=
thì
g g
′
=
.
b) N
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
g,g
′

mà t
ừ

fg fg
′
=
luôn kéo theo
g g
′

=
thì f là
đơ
n ánh.
1.51

Cho ba ánh x
ạ
f: X
→
Y và
h,h
′
: Y
→
X. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u f là toàn ánh và
hf h f
′
=
thì
h h
′
=
. Ng

ượ
c l
ạ
i n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
h,h
′
có
hf h f
′
=
luôn kéo theo
h h
′
=
thì f là m
ộ
t toàn ánh.
1.52
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các ánh x
ạ

sau là song ánh và tìm ánh x
ạ
ng
ượ
c c
ủ
a m
ỗ
i ánh x
ạ

đ
ó
a) f:
ℝ

→

ℝ
b) g:
ℝ

→

ℝ

x
֏
2x x
֏

- x
c) h:
ℝ

→

ℝ
d) k:
ℝ

→

ℝ

x
֏
x
3
x
֏

1
x

1.53

Cho
{
}
1,2,3,4 .

X =

a, Có bao nhiêu ánh x
ạ
t
ừ
X vào chính nó.
B, Có bao nhiêu s
ố
g
ồ
m 2 ch
ữ
s
ố
c
ủ
a t
ậ
p X? Vi
ế
t t
ấ
t c
ả
các s
ố

đ
ó.

1.54

Cho t
ậ
p
{
}
{
}
0,1 , , ,
A X a b c
= =
. Có bao nhiêu
đơ
n ánh t
ừ
A vào X.
1.55

Lúc khai m
ạ
c tr
ậ
n bóng
đ
á, các c
ầ
u th
ủ
c

ủ
a hai
độ
i b
ắ
t tay nhau. M
ỗ
i c
ầ
u th
ủ
c
ủ
a
độ
i này b
ắ
t tay
m
ộ
t c
ầ
u th
ủ
c
ủ
a
độ
i kia và ng
ượ

c l
ạ
i. Có th
ể
x
ả
y ra bao nhiêu cách l
ự
a ch
ọ
n
để
b
ắ
t tay gi
ữ
a các
c
ầ
u th
ủ
c
ủ
a hai
độ
i, bi
ế
t r
ằ
ng m

ỗ
i
độ
i bóng có 11 ng
ườ
i?
1.56

V
ớ
i 10 ch
ữ
s
ố

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu s
ố
khác nhau th
ỏ
a mãn các
đ
i
ề

u
ki
ệ
n sau
đ
ây:
a, M
ỗ
i ch
ữ
s
ố
ph
ả
i có m
ặ
t 1 l
ầ
n trong s
ố
l
ậ
p nên.
b, Ch
ữ
s
ố
0 không
đứ
ng

ở
v
ị
trí
đầ
u tiên ( t
ừ
trái qua ph
ả
i ).
1.57

Tìm s
ố
t
ự
nhiên n sao cho:
a,
6 5
1
3 4 ;
n n
C C
−
=
b,
4 5 6
1 1 1
n n n
C C C

− =

1.58

Tính
( )
5
2
x y
−
.







23
CHƯƠNG 2
Những cơ sở của lôgíc Toán
S
ố
ti
ế
t: 15 (Lý thuy
ế
t: 10; Bài t
ậ
p, th

ả
o lu
ậ
n: 05)
*) Mục tiêu:
- Sinh viên c
ầ
n n
ắ
m
đượ
c nh
ữ
ng khái ni
ệ
m c
ơ
b
ả
n c
ủ
a lôgíc toán nh
ư
: M
ệ
nh
đề
, hàm
m
ệ

nh
đề
và các phép toán trên m
ệ
nh
đề
và hàm m
ệ
nh
đề
.
-
Ứ
ng d
ụ
ng vào các bài toán suy lu
ậ
n và ch
ứ
ng minh trong toán h
ọ
c.

2.1. Lôgic mệnh đề
2.1.1 Mệnh đề
Trong ngôn ng
ữ
thông th
ườ
ng, ta hi

ể
u m
ệ
nh
đề
là nh
ữ
ng câu bi
ể
u th
ị
, di
ễ
n
đạ
t m
ộ
t ý gì
đ
ó.
Nh
ữ
ng câu ph
ả
n ánh
đ
úng ho
ặ
c sai th
ự

c t
ế
khách quan
đượ
c g
ọ
i là các m
ệ
nh
đề
.
Đố
i t
ượ
ng c
ủ
a lôgic m
ệ
nh
đề
là các m
ệ
nh
đề
. Ta qui
ướ
c các m
ệ
nh
đề

ph
ả
i tho
ả
mãn hai
đ
i
ề
u
ki
ệ
n sau:
- M
ỗ
i m
ệ
nh
đề

đề
u ph
ả
i ho
ặ
c
đ
úng ho
ặ
c sai.
- M

ỗ
i m
ệ
nh
đề
không th
ể
v
ừ
a
đ
úng v
ừ
a sai.
Trong lôgic m
ệ
nh
đề
ta ch
ỉ
quan tâm t
ớ
i tính
đ
úng sai c
ủ
a m
ệ
nh
đề

mà không quan tâm t
ớ
i ý
ngh
ĩ
a, n
ộ
i dung, c
ấ
u trúc ng
ữ
pháp c
ủ
a nó.
Ta qui
ướ
c m
ệ
nh
đề
có giá tr
ị
b
ằ
ng 1 n
ế
u nó
đ
úng, có giá tr
ị

b
ằ
ng 0 n
ế
u nó sai.
Vì m
ỗ
i m
ệ
nh
đề
ch
ỉ
có th
ể
ho
ặ
c
đ
úng ho
ặ
c sai nên nó ch
ỉ
có th
ể
nh
ậ
n
đượ
c m

ộ
t trong hai giá tr
ị

0 ho
ặ
c 1. Các giá tr
ị
1 ho
ặ
c 0 g
ọ
i là giá tr
ị
chân lí c
ủ
a các m
ệ
nh
đề
.
Ví dụ.
M
ệ
nh
đề
: 1 + 2 = 4.
S
ố
15 chia h

ế
t cho 3.
Giá tr
ị
chân lí c
ủ
a m
ệ
nh
đề
(1) b
ằ
ng 0
Giá tr
ị
chân lí c
ủ
a m
ệ
nh
đề
(2) b
ằ
ng 1.
Các m
ệ
nh
đề

đơ

n gi
ả
n, t
ứ
c là các m
ệ
nh
đề
không th
ể
chia nh
ỏ
thành các m
ệ
nh
đề
khác
đượ
c g
ọ
i
là các m
ệ
nh
đề
s
ơ
c
ấ
p.

2.1.2. Các phép toán lôgic trên mệnh đề.
V
ớ
i các phép toán
đạ
i s
ố
, t
ừ
các s
ố
x, y nào
đ
ó ta có th
ể
l
ậ
p
đượ
c các s
ố
m
ớ
i – x, x + y, x – y,
x.y, …. T
ươ
ng t
ự
nh

ư
th
ế
trên t
ậ
p h
ợ
p các m
ệ
nh
đề
v
ớ
i m
ộ
t vài m
ệ
nh
đề
cho tr
ướ
c b
ằ
ng m
ộ
t qui
t
ắ
c nh
ấ

t
đị
nh ta có th
ể
l
ậ
p
đượ
c các m
ệ
nh
đề
m
ớ
i. Các quy t
ắ
c thi
ế
t l
ậ
p m
ệ
nh
đề
m
ớ
i này g
ọ
i là
các phép toán m

ệ
nh
đề
.
a. Phép phủ định
Định nghĩa 1.
Ph
ủ

đị
nh c
ủ
a m
ệ
nh
đề
p, kí hi
ệ
u
p
,
đọ
c là “ không p”, m
ộ
t m
ệ
nh
đề
sai khi p
đ

úng và
đ
úng khi p sai.
B
ả
ng giá tr
ị
chân lí:
P
p

1 0
0 1
Ví dụ.
Ph
ủ

đị
nh c
ủ
a m
ệ
nh
đề

2 2
<
là m
ệ
nh

đề
“
2
không nh
ỏ
h
ơ
n 2”.
b. Phép hội


24
Định nghĩa 2.
H
ộ
i c
ủ
a hai m
ệ
nh
đề
p và q, kí hi
ệ
u là:
p q
∧
,
đọ
c là “ p và q” là m
ệ

nh
đề

đ
úng
khi c
ả
hai cùng
đ
úng và sai trong các tr
ườ
ng h
ợ
p còn l
ạ
i.
B
ả
ng giá tr
ị
chân lí:
p q
p q
∧

1 0 0
0 1 0
1 1 1
0 0 0
Ví dụ.

Xác
đị
nh h
ộ
i c
ủ
a hai m
ệ
nh
đề
và giá tr
ị
chân lí c
ủ
a
p q
∧
.
p: S
ố
1794 chia h
ế
t cho 3
q: S
ố
1794 chia h
ế
t cho 9
Ta có: p = 1, q = 0 nên
p q

∧
= 0.
H
ộ
i c
ủ
a hai m
ệ
nh
đề
là: “ S
ố
1794 v
ừ
a chia h
ế
t cho 3 v
ừ
a chia h
ế
t cho 9”.
c. Phép tuyển
Định nghĩa 3.
Tuy
ể
n c
ủ
a hai m
ệ
nh

đề
p và q, kí hi
ệ
u là
p q
∨
,
đọ
c là p ho
ặ
c q, là m
ộ
t m
ệ
nh
đề

sai khi c
ả
hai cùng sai và
đ
úng trong các tr
ườ
ng h
ợ
p còn l
ạ
i.
B
ả

ng giá tr
ị
chân lí:
p q
p q
∨

1 0 1
0 1 1
1 1 1
0 0 0
Ví dụ.
1. M
ệ
nh
đề
“2 bé h
ơ
n ho
ặ
c b
ằ
ng 3”
đ
úng vì nó là tuy
ể
n c
ủ
a hai m
ệ

nh
đề
“ 2 bé h
ơ
n 3” và m
ệ
nh
đề
“ 2 b
ằ
ng 3” trong
đ
ó có m
ệ
nh
đề
th
ứ
nh
ấ
t
đ
úng.
2. “ Hàm s
ố

2
y = (x + 1)
là hàm s
ố

ch
ẵ
n hay hàm s
ố
l
ẻ
” là tuy
ể
n c
ủ
a hai m
ệ
nh
đề
: “ Hàm s
ố

2
y = (x + 1)
là hàm s
ố
ch
ẵ
n” và m
ệ
nh
đề
: “ Hàm s
ố

2
y = (x + 1)
là hàm s
ố
l
ẻ
”. M
ệ
nh
đề
tuy
ể
n
này sai vì c
ả
hai m
ệ
nh
đề
t
ạ
o thành
đề
u sai.
d. Phép kéo theo.
Định nghĩa 4.
Cho hai m
ệ
nh
đề

p và q. M
ệ
nh
đề
kéo theo
p q
⇒

đọ
c là “p kéo theo q” hay “
N
ế
u p thì q” là m
ệ
nh
đề
ch
ỉ
sai khi p
đ
úng q sai.
B
ả
ng giá tr
ị
chân lí:
p q
p q
⇒

1 0 0
0 1 1
1 1 1
0 0 1
e. Phép tương đương
Định nghĩa 5.
Cho hai m
ệ
nh
đề
p và q. M
ệ
nh
đề
“p t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i q” hay “p n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u
q”, kí hi
ệ
u

p q
⇔
, là m
ộ
t m
ệ
nh
đề

đ
úng khi và ch
ỉ
khi c
ả
hai m
ệ
nh
đề
cùng
đ
úng ho
ặ
c cùng sai,
sai trong các tr
ườ
ng h
ợ
p còn l
ạ
i.

25
B
ả
ng giá tr
ị
chân lí:
p q
p q
⇔

1 0 0
0 1 0
1 1 1
0 0 1

2.1.3. Công thức của lôgic mệnh đề
Khái niệm về công thức

- Gi
ả
s
ử
cho p, q, r,… là các m
ệ
nh
đề
nào
đ

ó. T
ừ
các m
ệ
nh
đề

đ
ó s
ử
d
ụ
ng các phép toán
lôgic
, , , ,
− ∧ ∨
⇒
⇔
ta l
ậ
p
đượ
c nh
ữ
ng m
ệ
nh
đề
m
ớ

i ph
ứ
c t
ạ
p h
ơ
n. T
ừ
các m
ệ
nh
đề
m
ớ
i l
ậ
p
đượ
c
l
ạ
i áp d
ụ
ng các phép toán lôgic ta l
ạ
i
đượ
c các m
ệ
nh

đề
m
ớ
i. C
ứ
nh
ư
v
ậ
y ta ki
ế
n thi
ế
t
đượ
c m
ộ
t
dãy các kí hi
ệ
u g
ọ
i là công th
ứ
c c
ủ
a lôgic m
ệ
nh
đề

.
- Nh
ư
v
ậ
y m
ỗ
i công th
ứ
c c
ủ
a lôgic m
ệ
nh
đề
là m
ộ
t dãy các kí hi
ệ
u thu
ộ
c ba lo
ạ
i:
+ Các m
ệ
nh
đề
s
ơ

c
ấ
p p, q, r,…
+ Các kí hi
ệ
u phép toán lôgic
+ Các d
ấ
u ngo
ặ
c ch
ỉ
th
ứ
t
ự
các phép toán.
-
Đươ
ng nhiên theo
đị
nh ngh
ĩ
a
ở
trên thì:
+ B
ả
n thân các m
ệ

nh
đề
s
ơ
c
ấ
p c
ũ
ng là các công th
ứ
c.
+ N
ế
u P, Q là các công th
ứ
c thì
P,P Q, P Q, P Q, P Q
∧ ∨
⇒
⇔
c
ũ
ng là công th
ứ
c.
- Nh
ậ
n xét:
+ Khái ni
ệ

m công th
ứ
c trong lôgic m
ệ
nh
đề
t
ươ
ng t
ự
nh
ư
khái ni
ệ
m bi
ể
u th
ứ
c
đạ
i s
ố
trong
đạ
i
s
ố
.
+ Khi thay p, q, r,… trong công th
ứ

c b
ở
i các m
ệ
nh
đề
c
ụ
th
ể
thì công th
ứ
c s
ẽ
tr
ở
thành m
ộ
t m
ệ
nh
đề
xác
đị
nh.
+ M
ỗ
i công th
ứ
c bi

ể
u th
ị
c
ấ
u trúc c
ủ
a m
ộ
t lo
ạ
t các m
ệ
nh
đề
.
Ví dụ.
P: T
ứ
giác ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t
Q: T
ứ
giác ABCD là hình thoi.
R: T
ứ
giác ABCD là hình vuông.

Công th
ứ
c:
(p q) r
∧
⇒
tr
ở
thành m
ệ
nh
đề
: “N
ế
u t
ứ
giác ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t và là hình thoi
thì ABCD là hình vuông”.

2.1.4. Giá trị của công thức
Nh
ư
trên
đ
ã th
ấ

y khi thay p, q, r,… trong công th
ứ
c b
ở
i các m
ệ
nh
đề
c
ụ
th
ể
( t
ứ
c là bi
ế
t
tính
đ
úng sai c
ủ
a nó) thì công th
ứ
c s
ẽ
tr
ở
thành m
ộ
t m

ệ
nh
đề
xác
đị
nh.
Giá tr
ị
chân lí c
ủ
a m
ệ
nh
đề
này ph
ụ
thu
ộ
c vào giá tr
ị
chân lí c
ủ
a m
ệ
nh
đề
p, q, r,… và vào k
ế
t
qu

ả
th
ự
c hi
ệ
n các phép toán lôgic.
M
ộ
t cách t
ổ
ng quát, cho
1 2 n
S(p , p , , p )
là công th
ứ
c ch
ứ
a n m
ệ
nh
đề

1 2 n
p ,p , ,p
. Khi thay
1 2 n
p ,p , ,p
b
ằ
ng các m

ệ
nh
đề
c
ụ
th
ể
thì công th
ứ
c
1 2 n
S(p , p , , p )
tr
ở
thành m
ộ
t m
ệ
nh
đề
xác
đị
nh có m
ộ
t giá tr
ị
chân lí xác
đị
nh.