Silde bài giảng cấu trúc rời rạc phần quan hệ thứ tự

QUAN HỆ THỨ TỰ




Phản hồi.
Phản đối xứng.
Truyền.

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


QUAN HỆ THỨ TỰ
Thí dụ :
* Quan hệ ≤ trên tập hợp số là quan hệ thứ tự.
12 ≤ 26, 45 ≤ 90, 60 ≤ 60, …
* Quan hệ ⊆ chứa trong của tập hợp là quan hệ thứ tự.

A

B
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


QUAN HỆ THỨ TỰ
R = {(a, c), (a, d), (a, e), (d, d), (a, g), (a, h), (a, i), (a, j),
(a, k), (b, d), (i, i), (b, g), (b, i), (b, b), (c, d), (c, e), (c, g),
(c, h), (c, i), (e, e), (k, k), (c, j), (g, g), (c, k), (f, f), (d, g),
(d, i), (e, g), (h, h), (e, h), (j, j), (c, c), (e, i), (e, j), (e, k),

(f, h), (f, j), (f, k), (g, i), (h, j), (h, k), (a, a)}
Quan hệ thứ tự ?.
Miền trò = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}
Phản hồi
Phản đối xứng
Truyền.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


QUAN HỆ THỨ TỰ ⊆
Các tập con của X = {a, b, c, d} là
∅, {a}, {b}, {c}, {d},
∅
{a, b}, {a, c}, {a, d},
{b, c}, {b, d}, {c, d},
{a}
{b}
{c}
{d}
{a, b, c}, {a, b, d},
{a, c, d}, {b, c, d},
{a, b} {a, c} {a, d} {b, c} {b, d} {c, d}
{a, b, c, d}.
{a, b,
c}

{a, b, d} {a, c, d} {b, c, d}
{a, b, c, d}

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


QUAN HỆ THỨ TỰ
Quan hệ thứ tự toàn phần.
(∀x, y)( (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R)).
a
a
b
d
e

b
c

c
d
e
NguyễnfQuang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


QUAN HỆ THỨ TỰ
Quan hệ thứ tự riêng phần.
¬( (∀x, y)( (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R)) ).
(∃x, y)( (x, y) ∉ R ∧ (y, x) ∉ R)).
a
a
c

c

b
d
i

g
j

e

f
h

k

d
i

e
g
k

f
Nguyễn QuangbChâu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


CỰC ĐẠI-CỰC TIỂU
TỐI ĐẠI-TỐI TIỂU

Phần tử cực đại (maximum) của quan hệ thứ tự R là phần tử :
− có quan hệ với mọi phần tử,
− chỉ ở bên trái khi quan hệ với phần tử khác.
a
c
f

h

b

d

e

i

j
k

g

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


CỰC ĐẠI-CỰC TIỂU
TỐI ĐẠI-TỐI TIỂU
Phần tử cực tiểu (minimum) của quan hệ thứ tự R là phần tử :
− có quan hệ với mọi phần tử,

− chỉ ở bên phải khi quan hệ với phần tử khác.
a
f

c

b
e
j

h
k

d

g

i
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


CỰC ĐẠI-CỰC TIỂU
TỐI ĐẠI-TỐI TIỂU
Phần tử tối đại (maximal) của quan hệ thứ tự R là phần tử :
− chỉ ở bên trái khi có quan hệ với các phần tử khác.
(− không cần có quan hệ với mọi phần tử).
a
c

b
d
i

g
j

e

f
h

k
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM

s


CỰC ĐẠI-CỰC TIỂU
TỐI ĐẠI-TỐI TIỂU
Phần tử tối tiểu (minimal) của quan hệ thứ tự R là phần tử :
− chỉ ở bên phải khi có quan hệ với các phần tử khác.
(− không cần có quan hệ với mọi phần tử).
a
c

b
d
i

g
j

e

f
h

k
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


ĐỊNH NGHĨA MAX-MIN
R là quan hệ thứ tự trên X và S ⊆ X.
Cực đại (maximum) của quan hệ R là phần tử max thỏa :
(∀x ∈ X) (max, x) ∈ R.
Cực tiểu (minimum) của quan hệ R là phần tử min thỏa :
(∀x ∈ X) (x, min) ∈ R.
Tối đại (maximal) của quan hệ R là phần tử maxl thỏa :
(∀x ∈ X) ((maxl ≠ x) → ((x, maxl) ∉ R)).
Tối tiểu (minimal) của quan hệ R là phần tử minl thỏa :
(∀x ∈ X) ((minl ≠ x) → ((minl, x) ∉ R)).
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


VEÕ QUAN HEÄ THÖÙ TÖÏ
a

R = {(a, c), (a, d), (a, e),
(d, d), (a, g), (a, h), (a, i),
b
(a, j), (a, k), (b, d), (i, i),
c
f
d
e
(b, g), (b, i), (b, b), (c, d),
(c, e), (c, g), (c, h), (c, i),
g
(e, e), (k, k), (c, j), (g, g),
h
(c, k), (f, f), (d, g), (d, i),
j
i
k
(e, g), (h, h), (e, h), (j, j), (c, c),
(e, i), (e, j), (e, k), (f, h), (f, j), (f, k), (g, i), (h, j), (h, k), (a, a)}
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


VẼ QUAN HỆ THỨ TỰ
Vẽ hình quan hệ thứ tự :
R = {(a, c), (a, d), (a, e), (d, d), (a, g), (a, h), (a, i), (a, j),
(a, k), (b, d), (i, i), (b, g), (b, i), (b, b), (c, d), (c, e), (c, g),
(c, h), (c, i), (e, e), (k, k), (c, j), (g, g), (c, k), (f, f), (d, g),
(d, i), (e, g), (h, h), (e, h), (j, j), (c, c), (e, i), (e, j), (e, k),

(f, h), (f, j), (f, k), (g, i), (h, j), (h, k), (a, a)}
Bỏ đường chéo
R = {(a, c), (a, d), (a, e), (a, g), (a, h), (a, i), (a, j), (a, k), (b, d),
(b, g), (b, i), (c, d), (c, e), (c, g), (c, h), (c, i), (c, j), (c, k),
(d, g), (d, i), (e, g), (e, h), (e, i), (e, j), (e, k), (f, h), (f, j),
(f, k), (g, i), (h, j), (h, k)}
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


VẼ QUAN HỆ THỨ TỰ
R = {(a, c), (a, d), (a, e), (a, g), (a, h), (a, i), (a, j), (a,k),
(b, d), (b, g), (b, i), (c, d), (c, e), (c, g), (c, h), (c, i), (c, j),
(c, k), (d, g), (d, i), (e, g), (e, h), (e, i), (e, j), (e, k), (f,
h),
(f, j), (f, k), (g, i), (h, j), (h, k)}
RL = {a, b, c, d, e, f, g, h}.
RR = {c, d, e, g, h, i, j, k}.
Các phần tử tối đại : {a, b, f}
Các phần tử tối tiểu : {i, j, k}.
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


VẼ QUAN HỆ THỨ TỰ








R = {(a, c), (a,
d), (a,
e), (a,
g), (a,
h), (a,
i), (a,
j), (a,
k), (b, d),
(b, g), (b, i), (c, d), (c, e), (c, g), (c, h), (c, i), (c, j), (c, k),
(d, g), (d, i), (e, g), (e, h), (e, i), (e, j), (e, k), (f, h), (f, j),
(f, k), (g, i), (h, j), (h, k)}
Phần tử tối đại = {a, b, f} - Phần tử tối tiểu = {i, j, k}

Bỏ các phần tử truyền nối phía sau phần tử tối đại
xét (a, ?)
R = {(a, c), (b, d), (b, g), (b, i), (c, d), (c, e), (c, g), (c, h), (c, i),
(c, j), (c, k), (d, g), (d, i), (e, g), Nguyễn
(e, h), (e,
i), (e,Châuj), (e,Khoa
k),
Quang
(f, h), (f, j), (f, k), (g, i), (h, j), (h,CNTTk)} Trường CN Tp.HCM


VẼ QUAN HỆ THỨ TỰ


R = {(a, c), (b, d), (b,

g), (b,
i), (c, d), (c, e), (c, g), (c, h), (c, i),
(c, j), (c, k), (d, g), (d, i), (e, g), (e, h), (e, i), (e, j), (e, k),
(f, h), (f, j), (f, k), (g, i), (h, j), (h, k)}
Phần tử tối đại = {a, b, f} - Phần tử tối tiểu = {i, j, k}

Bỏ các phần tử truyền nối phía sau phần tử tối đại
Xét (b, ?)
R = {(a, c), (b, d), (c, d), (c, e), (c, g), (c, h), (c, i), (c, j), (c, k),
(d, g), (d, i), (e, g), (e, h), (e, i), (e, j), (e, k), (f, h), (f, j),
(f, k), (g, i), (h, j), (h, k)}
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


VẼ QUAN HỆ THỨ TỰ
R = {(a, c), (b, d), (c, d), (c, e), (c, g), (c, h), (c, i), (c, j), (c, k),

(d, g), (d, i), (e, g), (e, h), (e, i), (e, j), (e, k), (f, h), (f,
j),

(f,
k), (g, i), (h, j), (h, k)}
Phần tử tối đại = {a, b, f} - Phần tử tối tiểu = {i, j, k}
Bỏ các phần tử truyền nối phía sau phần tử tối đại
Xét (f, ?)
(các phần tử (f, ?) không chọn (f, j), (f, k) vì j, k là tối tiểu).
R = {(a, c), (b, d), (c, d), (c, e), (c, g), (c, h), (c, i), (c, j), (c, k),
(d, g), (d, i), (e, g), (e, h), (e, i), (e, j), (e, k), (f, h), (g, i),
(h, j), (h, k)}

Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


VẼ QUAN HỆ THỨ TỰ

R = {(a, c), (b, d), (c, d), (c, e), (c, g), (c, h), (c,
i), (c, j), (c, k),
 i), (e, g), (e, h), (e,

(d, g), (d,
i), (e, j), (e, k), (f, h), (g, i),
(h, j), (h, k)}
Phần tử tối đại = {a, b, f} - Phần tử tối tiểu = {i, j, k}

Bỏ đi các phần tử truyền nối phía trước phần tử tối tiểu
Xét (?, i)
R = {(a, c), (b, d), (c, d), (c, e), (c, g), (c, h), (c, j), (c, k), (d, g),
(e, g), (e, h), (e, j), (e, k), (f, h), (g, i), (h, j), (h, k)}
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


VẼ QUAN HỆ THỨ TỰ

R = {(a, c), (b, d), (c, d), (c, e), (c, g), (c, h), (c,
j), (c, k), (d, g),

(e, g), (e, h), (e,
j), (e, k), (f, h), (g, i), (h, j), (h, k)}

Phần tử tối đại = {a, b, f} - Phần tử tối tiểu = {i, j, k}

Bỏ các phần tử truyền nối phía trước phần tử tối tiểu
Xét (?, j)
R = {(a, c), (b, d), (c, d), (c, e), (c, g), (c, h), (c, k), (d, g), (e, g),
(e, h), (e, k), (f, h), (g, i), (h, j), (h, k)}
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


VẼ QUAN HỆ THỨ TỰ

R = {(a, c), (b, d), (c, d), (c, e), (c, g), (c, h), (c,
k), (d, g),

(e, g), (e, h), (e,
k), (f, h), (g, i), (h, j), (h, k)}
Phần tử tối đại = {a, b, f} - Phần tử tối tiểu = {i, j, k}

Bỏ các phần tử truyền nối phía trước phần tử tối tiểu
Xét (?, k)
R = {(a, c), (b, d), (c, d), (c, e), (c, g), (c, h), (d, g), (e, g),
(e, h), (f, h), (g, i), (h, j), (h, k)}
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM

s


VẼ QUAN HỆ THỨ TỰ



R = {(a, c), (b, d), (c, d), (c, e), (c,
g), (c,
h), (d, g), (e, g),
(e, h), (f, h), (g, i), (h, j), (h, k)}
Phần tử tối đại = {a, b, f} - Phần tử tối tiểu = {i, j, k}

Bỏ các phần tử truyền không chứa các phần tử tối tiểu, tối đại
Xét (c, d), (c, e), (d, g), (e, g), (e, h) và các phần tử nối
được 2 bên
R = {(a, c), (b, d), (c, d), (c, e), (d, g), (e, g), (e, h), (f, h), (g, i),
(h, j), (h, k)}
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


VEÕ QUAN HEÄ THÖÙ TÖÏ
R = {(a, c), (b, d), (c, d), (c, e), (d, g), (e, g), (e, h), (f, h), (g, i),
(h, j), (h, k)}
a
c

b

h

g
i

f

e

d
j

k
Nguyễn Quang Châu- Khoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM


CHẬN TRÊN-CHẬN DƯỚI
LUB-GLB

R là quan hệ thứ tự trên X và S ⊆ X.
Chận trên (upper bound) của S là phần tử :
− quan hệ được với mọi phần tử của S,
− chỉ ở bên trái khi có quan hệ với các phần tử của S.



 
a

c

b

S

e

d

g

i

f
h

Nguyễn
kQuang Châu- Khoa
j
CNTT- Trường CN Tp.HCM


CHẬN TRÊN-CHẬN DƯỚI
LUB-GLB

R là quan hệ thứ tự trên X và S ⊆ X.
Chận dưới (lower bound) của S là phần tử :
− quan hệ được với mọi phần tử của S,
− chỉ ở bên phải khi có quan hệ với các phần tử của S.
a
c

b

e

d
i

g


j

f



S

h

Nguyễn
Quang Châu- Khoa
k
CNTT- Trường CN Tp.HCM


CHẬN TRÊN-CHẬN DƯỚI
LUB-GLB

R là quan hệ thứ tự trên X và S ⊆ X.
Chận trên nhỏ nhất (least upper bound) của S là :
− chận trên của S,

− phần tử cực tiểu của tập chận trên của S.
Ký hiệu : lub(S) hay sup(S).
a



c

b
d

e

f

S
j
g
h
k
i
Nguyễn
Quang ChâuKhoa
CNTT- Trường CN Tp.HCM