Silde bài giảng cấu trúc rời rạc phần tích hai tập hợpk

TÍCH HAI TAÄP HÔÏP
Baûng cöûu chöông.
2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

6

8

10 12 14 16 18

3

6

9

12 15 18 21 24 27

4

8

12 16 20 24 28 32 36

5

10 15 20 25 30 35 40 45

6

12 18 24 30 36 42 48 54

7

14 21 28 35 42 49 56 63

8

16 24 32 40 48 56 64 72

9

18 27 36 45 54 63 72 81

Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


TÍCH HAI TẬP HP
Lấy A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}
B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4),
(b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4),
(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}.


Mỗi phần tử (x, y) của tập tích (A × B) :
* là một cặp có thứ tự (ie, x∈A và y∈ B).

Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


TCH HAI TAP HễẽP
A ì B = { | (a)(b) (aA vaứ bB vaứ = (a,b))}.
hay
A ì B = { (a, b) | aA vaứ bB }.
Mụỷ roọng :
A1 ì A2 ì A3 ì ì An = { (ai)i | ai Ai }.

Nguyn Quang Chõu - Khoa CNTT HCN TpHCM

s

TÍNH CHẤT CỦA TÍCH
A × B ≠ B × A.
A × ∅ = ∅.
∅ × A = ∅.
Tạo hai tập hợp tách biệt :
A × {0} và B × {1}.

B

B × {1}

A

A × {0}

Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


QUAN HỆ


Phân loại ngôn ngữ lập trình
Cấu trúc

Hàm

Logic

Object

Pascal
C++
Fortran
Prolog
Smalltalk
Cobol
Lisp
Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


QUAN HỆ
Biểu diễn quan hệ “loại ngôn ngữ lập trình” bằng tập hợp.
{(Pascal, cấutrúc), (C++, cấu trúc), (C++, đốitượng),
(Fortran, cấutrúc), (Prolog, logic), (Small talk, object),
(Cobol, cấutrúc), (Lisp, hàm)}.

Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


QUAN HỆ


Quan hệ R trên tập X = {a, b, c, d, e}.
a
a
b
c
d

b

c

d

e

Biểu diễn bằng tập hợp :
R = {(a, a), (a, c), (b, a), (b, d),
(b, e), (c, a), (c, c), (d, c),
(d, e), (e, a)}

e
Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


QUAN HỆ
R là quan hệ của A và B ↔ R ⊆ A × B.
Phần tử của R được viết dưới dạng :
(x, y) ∈ R, hay xRy.

A được gọi là Miền trò của R.
B được gọi là Miền ảnh của R.
Nếu X ⊇ A và Y ⊇ B thì
X cũng là miền trò của R,
Y cũng là miền ảnh của R.
Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


QUAN HỆ
R là quan hệ của A và B.
∅ cũng là quan hệ của A và B.
A × B cũng là quan hệ của A và B.


Nếu A = B thì
∆ = {(x, x) | (∀x)(x ∈ X)}
được gọi là quan hệ đường chéo.

Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


QUAN HỆ
Thí dụ :
Cho quan hệ R = {(a,b), (c,d), (a,c), (b,d), (b,a)} có :
 miền trò A = {a, b, c, d, e} và
 miền ảnh B = {a, b, c, d}.

Tập RL = {a, c, b} vẫn còn là miền trò của R.
Tập RR ={b, d, c} vẫn còn là miền ảnh của R.
RL = {x(∀x)(∃y)((x,y) ∈ R)}
RR = {y(∀y)(∃x)((x,y) ∈ R)}.
Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


QUAN HỆ
Tìm miền trò và miền ảnh của quan hệ “∈“ ?.
Thí dụ :
3 ∈ N,
a ∈{a, b, c, d}
Tìm miền trò và miền ảnh của quan hệ “⊆“ ?.
Thí dụ :
{3} ⊆ N,
{c, d} ⊆ {a, b, c, d}
Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


CAC TOAN Tệ TREN QUAN HE
Cho 2 quan heọ :
R = {(a, 1), (b, 2), (a, 3), (c, 2), (b, 4)},
S = {(x, m), (y, n), (x, p), (z, q)}.
R S = {(a, 1), (b, 2), (a, 3), (c, 2), (b, 4),
(x, m), (y, n), (x, p), (z, q)}.

Nguyn Quang Chõu - Khoa CNTT HCN TpHCM

s


CÁC TOÁN TỬ TRÊN QUAN HỆ
Hội 2 quan hệ :

hay

(R∪ S) ↔ (∀x)(∀y)((x, y) ∈ R ∨ (x, y) ∈ S)
(R∪ S) ↔ ((x, y) ∈ R) ∨ ((x, y) ∈ S).

Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


CAC TOAN Tệ TREN QUAN HE
Cho 2 quan heọ :
R = {(a, 1), (b, 2), (a, 3), (c, 2), (b, 4)},
S = {(1, m), (2, n), (4, p), (2, q)}.
(R : S) = {(a, m), (b, n), (b, q), (c, n), (c, q), (b, p)}

Nguyn Quang Chõu - Khoa CNTT HCN TpHCM

s


CÁC TOÁN TỬ TRÊN QUAN HỆ

Tích tương đối
(R : S) ↔ (∀x)(∀y)(∃z)( ((x, z) ∈ R) ∧ ((z, y) ∈ S) )


Thuật toán tìm tích tương đối.
Lấy từng phần tử của R kết nối với mọi phần tử của S,
nếu cặp nào kết nối được thì chọn.

Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


CÁC TOÁN TỬ TRÊN QUAN HỆ
Nhận xét :


Miền trò và miền ảnh của các quan hệ ∪, ∩, − … .



R : ∅ = ∅ và ∅ : R = ∅.



Phân biệt quan hệ đảo với ánh xạ đảo.



Quan hệ là tập hợp nên chứng minh như tập hợp.

Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


QUAN HỆ GIỮA CÁC TOÁN TỬ


R : (S : T)

=

(R : S) : T.

Chứng minh R : (S : T) ⊆ (R : S) : T.
Lấy (x, y) ∈ R : (S :T)
→ (∃z)((x, z) ∈ R và (z, y) ∈ (S : T)).
→ (∃z)((x, z) ∈ R và (∃t)((z, t) ∈ S và (t, y) ∈ T)).
→ (∃t)(∃z)((x, z) ∈ R và ((z, t) ∈ S và (t, y) ∈ T)).
→ (∃t)((∃z)((x, z) ∈ R và (z, t) ∈ S) và (t, y) ∈ T).
→ (∃t)((x, t) ∈ (R : S) và (t, y) ∈ T).
→ (x, y) ∈ (R : S) : T.
Chiều còn lại tương tự.
Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


QUAN HỆ GIỮA CÁC TOÁN TỬ


(R : S)−1

=

S−1 : R−1.

Chứng minh (R : S)−1 ⊆ S−1 : R−1.
Lấy (x, y) ∈ (R : S)−1
→ (y, x) ∈ (R : S).
→ (∃z)((y, z) ∈ R
và (z, x) ∈ S).
→ (∃z)((z, y) ∈ R−1 và (x, z) ∈ S−1).
→ (∃z)((x, z) ∈ S−1 và (z, y) ∈ R−1).
→ (x, y) ∈ S−1 : R−1.
Chiều ngược lại tương tự.
Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ
Trường hợp miền trò và miền ảnh trùng nhau :


Phản hồi

(reflexive).



Đối xứng

(symmetric).



Phản đối xứng

(antisymmetric).



Truyền

(transitive).
Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


KHÁI NIỆM ĐỊNH NGHĨA
Hình thức của một đònh nghóa

KHÁI NIỆM

ĐIỀU KIỆN

Một đònh nghóa luôn luôn tồn tại dạng phủ đònh

Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


QUAN HỆ PHẢN HỒI
Quan hệ "song song" giữa các đường thẳng.
 mọi đường thẳng đều song song với chính nó.
Quan hệ "bạn" giữa các sinh viên trong lớp.
 sinh viên A là bạn với chính anh ta.
Quan hệ "≤" trên tập hợp số nguyên.
 25 ≤ 25.
 (40, 40) ∈ ≤.
Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


QUAN HỆ PHẢN HỒI
Phản hồi :
(∀x)( (x, x) ∈ R ).

Nhận xét :
Tính phản hồi phụ thuộc vào miền trò.

Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s

QUAN HỆ PHẢN HỒI
Quan hệ R = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (b, a), (c, c), (d, d)}
là phản hồi trên tập X = {a, b, c, d}.
Quan hệ R không phản hồi trên tập X' = {a, b, c, d, e}.

Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


QUAN HỆ PHẢN HỒI
Quan hệ phản hồi ↔ chứa đường chéo.

a

b

c

d

e

a
b
c
d
e
Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s


QUAN HỆ PHẢN HỒI
Quan hệ “⊆” của tập hợp có phản hồi không ?.
Quan hệ “y chia chẵn cho x” (x = ky) trên tập hợp các số
nguyên có phản hồi không ?.
Quan hệ “modulo” có phản hồi không ?.
Quan hệ R = {(a, b), (a, c), (a, a), (b, d), (b, b), (b, c), (c, c),
(c, d), (d, d), (c, d)} có phản hồi không ?.
Nguyễn Quang Châu - Khoa CNTT ĐHCN TpHCM

s