KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC cần NHỚ lớp 11

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ LỚP 11
I- PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:

1

XUÂN TÂN – 11A 9NĐC

Phương trìng lượng giác cơ bản:
 x    k 2 ; k  Z
* sinx=sin   
 x      k 2
* tanx =tan   x =  +k ;  k  Z 

 x    k 2 ; k  Z
* cosx = cos   
 x    k 2
* cotx =cot   x=  +k  k  Z  .

 Phương trìng lượng giác cơ bản đặc biệt :
* sinx =0  x  k



* sinx =1  x 

2

* sinx = -1  x  

*cosx =0  x 

 k 2


2

 k 2


4

với k  Z

Z
tanx  a  x  arc tana +k , kk

Z
cotx  a  cotx  cot  x   +k , kk

cotx  1  x  

 k , k  k  Z

4
tanx  0  x  k , k  k  Z
tanx  1  x 

 k

*cosx =-1  x    k 2

k Z
 x  arc cosa+k 2
cosx  a  
,k 
arc sin
cosa
a++k 2k2
 x  - arc

tanx  1  x  

2

*cosx =1  x  k 2

 x  arcsin a+k 2
sin x  a  
, kk Z
x



arc
sin
a
+
k
2








cotx  0

 k , k  k  Z

x

cotx  1  x 


4



 k , k  k  Z

 k , k  k  Z

2


4

 k , k  k  Z

BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
x

rad

-

độ -180o


2
-90o


3
-60o
3
2


4
-45o


6
-30o

0

2

2

1
2

0

3
2
1
3

sin

0

-1

cos

-1

0

1
2

2
2

tan

0

||

- 3

-1

cot

||

0

-

1
3

-1

-

-

- 3

0

1
0
||


6
30o
1
2


4
45o


3
60o


2
90o

2
3
120o

3
4
135o

5
6
150o

2
2

3
2

1

3
2

2
2

1
2

3
2
1
3

2
2

1
2

0

-

1

3

||

- 3

-1

3

1

1
3

0

-

1
3

-1

1
2

Chú ý: Công thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại:

 x

  

.x  rad
 180 

;

 180 
x(rad )  
.x 
  

  180

0

;

2
2

-


2

3
2
1
3
-

- 3

 90

0


180o
0
-1
0
||


 Một số phương trình lượng giác thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công
thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.

b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
2
a.sin x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình
này ta đặt t bằng hàm số LG..(Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx)

2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là a 2  b 2  c 2 .
a
b
c
Cách giải : Chia hai vế phương trình cho a 2  b2 , ta được:
sin x 
cos x 
2
2
2
2
2
a b
a b
a  b2
a
b
Đặt:
 cos  ;
 sin  . Khi đó phương trình tương đương:
a 2  b2
a 2  b2
c
c

hay sin  x    
cos  sin x  sin  cos x 
 sin  .
a 2  b2
a 2  b2

3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).



 k .
2
+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.
1



Chú ý:
 tan 2 x  1  x   k 
2
2
cos x



Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với x 

4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Cách giải: Đặt t= sinx  cosx. Điều kiện  t   2 .

Dạng: a(sinx  cosx)+ bsinxcosx=c.

II- CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1) Công thức cộng:
 cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
 cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
tana - tanb
 tan(a - b) =
1 + tana.tanb
 sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
tana + tanb
 tan(a + b) = 1 - tana.tanb
 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

2) Công thức nhân đôi :
 sin2x = 2sinxcosx
 cos2x = cos2x – sin2x
= 2cos2x - 1
= 1 – 2sin2x

2tanx
 tan2x =
1  tan 2 x
cot 2 x  1
 cot2x =
2cotx
3) Công thức nhân 3:
3
 sin3x = 3 sin x  4 sin x

3
 cos3x = 4cos x – 3cosx
 tan3x =

4) Công thức hạ bậc:
1  cos 2 x
 cos 2 x 
2
1

c
os2 x
 sin 2 x 
2
5) Công thức tích thành tổng.
 cosxcosy=

1
cos( x  y )  cos( x  y )
2
 sinxcosy=

1
Sin( x  y)  Sin( x  y)
2
 sinxsiny=



1

 cos( x  y )  cos( x  y )
2

6) Công thức tổng(hiệu) thành tích:
 x y
 x y
 sinx + siny = 2sin 
 cos 

 2 
 2 
 x y  x y
 sinx – siny = 2cos 
 sin 

 2   2 
 x y
 x y
 cosx + cosy = 2cos 
 cos 

 2 
 2 
 x y  x y
 cosx – cosy = 2sin 
 sin 

 2   2 
sin( x  y )
 tanx + tany =

cos xcosy
sin( x  y )
 tanx – tany =
cos xcosy
sin( x  y )
 cotx + coty =
sin xsiny
sin( y  x )
 cotx – coty =
sin xsiny

3tanx  tan3 x
1  3tan 2 x

XUÂN TÂN – 11A 9NĐC

2


III- GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC (CUNG) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
1) Cung đối nhau:






2) Cung bù nhau:

 sin (  x )  sinx

 cos (  x)   cosx
 tan (  x )   tanx
 cot (  x )   cotx

cos(–x) = cosx
sin(–x) = – sinx
tan(–x) = – tanx
cot(–x) = – cotx

4) Cung phụ nhau.

 sin (



2

 cos (
 tan (
 cot (


2



2



2

3) Cung hơn kém:

 sin (  x)   sinx
 cos (  x)   cosx
 tan (  x )  tanx
 cot (  x )  cotx

5) Cung hơn kém.

 x ) = cosx  cosx = sin (900 – x )

 x ) = sinx  sinx = cos (900 – x )
 x ) = cotx  cotx = tan (900 – x )
 x ) = tanx  tanx = cotx (900 – x )


 sin(  x)  cosx  cosx = sin (900 + x )
2

 cos (  x ) =  sinx  - sinx = cos (900 + x )
2

 tan (  x ) = cotx  - cotx = tan (900 + x )
2

 cot (  x ) = tanx  - tanx = cotx (900 + x )
2

Ghi nhớ: Cos đối – Sin bù – Phụ chéo

VI- CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:
3
3
sinx

 sin x  cos x  (sinx  cos x)(1  sinx.cos x)
 t anx=
,(x   k)
3
3
cosx
2
 sin x  cos x  (sinx  cos x)(1  sinx.cos x)
cosx
1 2
 cotx=
,(x  k)
4
4
 sin x  cos x  1  sin 2 x
sinx
2
2
2
 sin x  cos x  1
3
6
6

2
 sin x  cos x  1  sin 2 x
1

2

4
 1  tan x,(x   k)
2
2
2
cos x
 1  sin 2 x   sin x  cos x 


1

2

sin x

 1  cot 2 x,(x  k)

 t anx.cotx=1,(x 

k
)
2

XUÂN TÂN – 11A 9NĐC





 sin x  cos x  2sin  x    2cos  x  
4
4






 sin x  cos x  2sin  x     2cos  x  
4
4



3


VI- KIẾN THỨC CƠ BẢN
y = sinx
Tập
xác đònh
Tập
giá trò
Chu kỳ

Tính
chẵn lẻ

Sự biến
thiên

y = tanx
D=R\{

D=R

T = [– 1 ; 1 ]

T = [– 1 ; 1 ]

R

R

T = 2

T = 2

T=

T=

Lẻ

Chẵn

Lẻ

Lẻ

Đồng biến trên:
 


   k2 ;  k2 
2
 2


Đồng biến trên:
   k2 ; k2 

Đồng biến trên mỗi
khoảng:
 


   k ;  k 
2
 2


Nghòch biến trên mỗi
khoảng:  k ;   k 

Nghòch biến trên:


3
 k2 
  k2 ;
2
2


y = sinx

–




2

0

Nghòch biến trên:
 k2 ;   k2 

0


2
1

0



x

0

y = tanx

–1
x

–




2

D = R \ {k}


2
+

–
0
1



x

y =cosx

0
+



y = cotx
–1

Đồ thò


+ k}
2

y = cotx

D=R

x

Bảng
biến
thiên

y = cosx

–1

–

a

a

y = sinx
……………………………………………………………………………….
y = cosx

y = tanx
…………………………………………………………………………………….
y = cotx

XN TÂN – 11A 9NĐC

4